El documento explica cómo transformar entre coordenadas rectangulares y polares usando relaciones trigonométricas. También cubre cómo realizar traslaciones y rotaciones de ejes de coordenadas para simplificar ecuaciones.

1. Transformación de
Coordenadas
Cristian Giraldo
Cedula: 28.704.750
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”

2. Concepto Básico de Trasformación de
Coordenadas
• Cambio de posición de los ejes de referencia en un sistema
de coordenadas, ya sea por traslación, rotación, o ambas. El
propósito de dicho cambio por lo general es simplificar la
ecuación de una curva para manejo posterior.
•

3. ¿Cómo transformar de coordenadas
rectangulares a coordenadas polares?
• Recordamos que las coordenadas
rectangulares son escritas de la forma y
las coordenadas polares son escritas de la
forma , en donde, r es la distancia desde
el origen hasta el punto y θ es el ángulo
formado por la línea y el eje x. Estas
coordenadas son relacionadas usando
trigonometría.
• Observemos el siguiente diagrama:

4. • Usando el triángulo rectángulo, podemos
obtener relaciones para las coordenadas
polares en términos de las coordenadas
rectangulares.Observamos que las
coordenadas en x forman la base del
triángulo rectángulo y las coordenadas
en y forman la altura. Además, vemos que
la distancia r corresponde a la hipotenusa
del triángulo. Entonces, podemos usar el
teorema de Pitágoras para encontrar la
longitud de la hipotenusa:

5. • El ángulo θ puede ser encontrado usando la
función tangente. Recordemos que la tangente de
un ángulo es igual al lado opuesto dividido por el
lado adyacente. El lado opuesto es el
componente y y el lado adycente es el
componente x. Entonces, tenemos:
• Debido a que el rango de la función tangente
inversa va desde hasta , esto no cubre los cuatro
cuadrantes del plano cartesiano, por lo que
muchas veces, la calculadora puede dar el valor
incorrecto de . Esto depende en el cuadrante en
el que se ubica el punto. Podemos usar lo
siguiente para arreglar esto:

6. Ejemplo
de coordenadas rectangulares
a coordenadas polares
• Si es que tenemos las coordenadas
rectangulares (3, 4), ¿cuál es su
equivalente en coordenadas polares?
• Podemos observar los valores .
Encontramos el valor de r usando el
teorema de Pitágoras junto con los
valores dados:

7. • Para encontrar el valor de θ, usamos la tangente inversa:
• El componente en x es negativo y el componente en y es
positivo, por lo que el punto está en el segundo cuadrante.
Esto significa que tenemos que sumar π al ángulo obtenido. El
ángulo correcto es:

8. ¿Cómo transformar de coordenadas polares a
coordenadas rectangulares?
• Transformación de coordenadas polares a coordenadas
rectangulares. Si se dispone de las coordenadas polares, es
decir, el rumbo y la distancia de un punto, solo hay que seguir
la siguiente fórmula: X= D senR Y= D cosR Siendo D la
distancia reducida y R el rumbo.

9. Ejemplo de coordenadas
polares a coordenadas
rectangulares
Convertir las siguientes
coordenadas polares a
coordenadas rectangulares.
a) (2, π).
Solución. Se determinan los
valores correspondientes para
obtener las coordenadas
rectangulares.

10. • Por tanto, la coordenada
rectangular encontrada es
• b) (√3,π/6)
• Solución. Se determinan los
valores correspondientes para
obtener las coordenadas
rectangulares.

11. Traslación de Ejes
• Cambio de los ejes de referencia sin girarlos, de manera que cada eje
permanece paralelo a su posición original. Una vez que el origen de un
sistema de ejes x e y se cambia al punto O´(xo, yo) en el sistema original,
es necesario dar a cada punto p(x, y) en el sistema original un nuevo
conjunto de coordenadas p´(x´, y´) en el nuevo sistema, de acuerdo con
las siguientes relaciones:
• x = x´ + xo
y = y´ + yo
• El propósito de tal traslación de ejes es simplificar la ecuación de una
curva para procesamiento posterior. Por ejemplo, un círculo con centro
en (1, 2) y un radio r = 3, se puede describir por medio de la siguiente
ecuación:

12. • (x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 32
• Cuando los ejes de referencia se cambian a O´(1, 2), el mismo
círculo se puede describir como:
• [(x´+1) - 1] 2 + [(y´+2) - 2] 2 = 32
o
(x´) 2 + (y´)2 = 32
• Como se muestra, es definitivamente más fácil trabajar con la
ecuación en el nuevo sistema.

13. Rotación de Ejes
• Cambio de la orientación de los ejes de referenciamientrasse conserva el origen. La
principal razón para rotar los ejes es que una ecuación dada es mucho más simple en
el nuevo sistema de coordenadas que en el sistema original.
• Si los ejes originales x y y rotan en sentido contrario al reloj un ángulo , para cualquier
punto P(x, y), las coordenadas originales (x, y) se convierten en las nuevas coordenadas
(x ´, y ´), que son:
• x ´ = x cos + y sen
y´ = - x sen + y cos
• Para derivar la ecuación en las nuevas coordenadas, necesitamosexpresar las
coordenadas originales en las nuevas coordenadas:
• x = x ´ cos - y ´ sen
y = x ´ sen + y cos

14. • Como ejemplo de rotación, considera una ecuación simple y = x + 21/2, que es
una línea. Si los ejes originales x e y rotan en sentido contrario al reloj un
ángulo de 45°, las coordenadas originales se pueden expresar como:
• x = x ´ cos 45° - y ´ sen 45°
y = x ´ sen 45° + y ´ cos 45°
• Por lo tanto,
• x = x ´ (21/2/2) - y ´ (21/2/2)
y = x ´ (21/2/2) + y ´ (21/2/2)
• Entonces, la ecuación y = x + 21/2 se convierte en:
• x ´ (21/2/2) + y ´ (21/2/2) = x ´ (21/2/2) - y ´ (21/2/2) + 21/2
• y ´ = 1
• En las nuevas coordenadas, la ecuación es una línea paralela al eje x ´, +1
unidad separada del eje x

15. Ejemplo de
Grafico de una
Circunferencia

16. Ejemplo
grafico de una
parábola en
coordenadas
polares