Transformación de coordenadas

1. Instituto Universitario Santiago Mariño
Ampliación Maracaibo
Cátedra: Geometría Analítica I.
Prof: Ely Ramírez.
Maracaibo, 9/12/2021
Realizado por:
Gómez S. Héctor
C.I.27999726
Escuela: Ingeniería Química (49)
“Transformación de
coordenadas”
Sección B

2. Cambio de posición de los ejes de
referencia en un sistema de coordenadas, ya sea
por traslación, rotación, o ambas. El propósito
de dicho cambio por lo general es simplificar la
ecuación de una curva para manejo posterior.
1. Concepto básico de transformación de
coordenadas.

3. 2. Explicación de cómo se realiza una transformación de
coordenadas, de rectangulares a polares.
La relación entre coordenadas
cartesianas y polares queda
determinada por las ecuaciones:
Debido a que en un plano cartesiano solo nos dan puntos en X e Y,
cualesquiera que sean.
Sea O un punto cualquiera y una semirrecta OX con origen en O. Un punto
P del plano queda determinado solamente por r, el modulo, y α, ángulo que
la semirrecta OX forma en sentido positivos con la recta OP.
Los puntos (r, α) son los llamados coordenadas polares de P respecto a la
referencia polar definida por el origen O y la semirrecta OX.
Donde r es el
modulo y theta o
alfa es el ángulo.
Puntos necesarios
para una
coordenada polar.

4. La relación entre
coordenadas cartesianas y
polares queda determinada
por las ecuaciones
3. Explicación de cómo se realiza una transformación de
coordenadas, de polares a rectangulares.
Y= r. sen α
X= r.cos α
Ya que se forma un triangulo rectángulo entre los puntos en el plano con
respecto a X ,Y, y así trabajar con teorema de Pitágoras…
En el triangulo rectángulo
Sen α= co/h
Cos α= ca/h y si lo reflejamos en el plano: co=x; ca=y; h=r
En coordenadas polares nos facilitan modulo y ángulo (r, α), y para
obtener coordenadas cartesianas o rectangulares necesitamos x,y, por
ello despejamos x, y, en las ecuaciones anteriores; quedando
exactamente así:
Y= r. sen α
X= r.cos α

5. 4. Ejemplo de transformaciones de coordenadas
Dado un punto en el plano, ej A(8,3) dichos puntos como ya sabemos
pertenecen a “X e Y” en ese orden respectivamente. Para transformarla a coordenadas
polares necesitamos “r”, la magnitud o modulo y α, el ángulo… los cuales pueden
hallarse usando trigonometría.
1ero se forma el triangulo rectángulo que forman los puntos, según el Angulo, el
cateto adyacente seria nuestra ubicación en el eje “X” y el cateto opuesto seria el
movimiento en “Y”.
Deberemos pues, hallar el modulo r: siendo esta la hipotenusa…
Recordamos: h2=ca2+co2
Como h=r , ca=x y co=y
r2=x2+y2
De rectangulares a polares.

6. En nuestro ejemplo queremos hallar r, así que sustituimos los datos respectivamente
Y nos queda que,
r2=82+32 = ello nos queda r2=64+9 r2=73
r=8,544
2do Para hallar el ángulo, partir de los datos iniciales preferiblemente para operar,
recordamos que tan α= co/ca
Y en nuestro caso tan α= y/x, sustituimos pues los datos que tenemos y
tan α= 3/8 entonces necesitamos hallar es el ángulo solo así que despejamos α
α= arctan(3/8)= 8.946º
Ya teniendo nuestros datos (8,544; 8,946º)

7. Dados el modulo, r, y el ángulo. Ej A(9,30º). Formamos un triangulo
rectángulo para apoyarnos de las funciones trigonométricas…
Donde el angulo se nos da, junto a la hipotenusa, r, pero queremos
hallar, cateto opuesto o Y, y cateto adyecento o X.
Usamos las siguientes formulas ya antes deducidas:
De polares a rectangulares.
Y= r. sen α
X= r.cos α
Y sustituimos los datos con los que
tenemos:
Y= 9. sen 30º=4,5
X=9.cos 30º=7,79
Ya tenemos X e Y, asi el punto en
el plano cartesiano es A(7,8; 4,5)

8. 5. Explicación de cómo se realiza la traslación de
ejes:
¿Qué es?: es el cambio de los ejes de referencia sin
girarlos, de manera que cada eje permanece paralelo a su posición
original. Para que se cumpla el origen de las coordenadas O se
traslada a un lugar dentro del plano (X, Y) llamado O´, a la vez
deben contener sus ejes homólogos paralelos: X a X ´ e Y a Y ´ , y las
mismas unidades de escala.
¿Cómo se realiza?: una vez que el origen de un sistema de ejes X e Y se cambia al punto
O´(xo , yo ) en el sistema original, es necesario dar a cada punto p(x, y) en el sistema
original un nuevo conjunto de coordenadas p´(x´, y´) en el nuevo sistema. Donde h es el
movimiento en unidades que aumenta en X y K en Y. Donde:
x = x´+ h y = y´ + k “se usan para nuevo plano trasladado”.
Y también del despeje de x´ e y´ se obtienen los datos para el eje sin trasladar :
x´ = x – h y´ = y - k

9. “Un sistema de coordenadas
cartesianas rotada en un ángulo
origina un nuevo sistema de
coordenadas cartesianas”
6. Explicación de la rotación de ejes
¿Qué es?: es el cambio de la orientación de los ejes de
referencia mientras se conserva el origen. Si los ejes
originales X e Y rotan en sentido contrario al reloj un
ángulo α , para cualquier punto P(x, y), las coordenadas
originales (x, y) se convierten en las nuevas coordenadas
(x´, y´), que son: x´ = x cos α + y sen α; y´ = y cos
α- x sen α
¿Cómo se realiza?: se giran los ejes X , Y a un ángulo α alrededor del origen O en
dirección opuesta a las agujas del reloj, y entonces las coordenadas (x, y) y (x´, y´)
de un punto P en los dos sistemas está relacionados de la siguiente manera:
x = x´ cos α - y´ sen α, y = x´ sen α + y´ cos α,
x´= x cos α + y sen α, y´= -x´ sen α + y cos α

10. 7. Realiza una representación grafica de una circunferencia
y una parábola en coordenadas polares
Coordenadas polares, el centro es el polo y el eje
horizontal es el eje polar, y grados sexagesimales
correspondientes…

11. Circunferencia y sus valores en
coordenadas polares

12. Parábola en coordenadas polares
respectivos valores.