investigacion para geometria analitica

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Extensión Maracaibo
Estudiante: Aljiannys Villalobos
Profesor: Eli Ramírez
Docente de la Asignatura: Geometría Analítica
C.I. 29.579.395
Sección: B
Escuela:50
Maracaibo 10 de Enero del 2022

2. Transformación de Coordenadas
Es un proceso general, se considera reducido a
dos movimientos, uno de traslación y otro de
rotación. Se utiliza para simplificar las
ecuaciones y hacer más fácil los cálculos o las
realizar las gráficas de las figuras a transformar

3. Transformación de Coordenadas
Rectangulares a Polares
Usando el triángulo rectángulo, podemos obtener
relaciones para las coordenadas polares en
términos de las coordenadas rectangulares.
Observamos que las coordenadas en x forman la
base del triángulo rectángulo y las coordenadas en
y forman la altura. Además, vemos que la distancia
r corresponde a la hipotenusa del triángulo.
Entonces, podemos usar el teorema de Pitágoras
para encontrar la longitud de la hipotenusa
El ángulo θ puede ser encontrado usando la
función tangente. Recordemos que la
tangente de un ángulo es igual al lado
opuesto dividido por el lado adyacente. El
lado opuesto es el componente y y el lado
adyacente es el componente x. Entonces,
tenemos:

4. Transformación de Coordenadas
Polares a Rectangulares
Las coordenadas polares tienen la forma (r,
theta), en donde, r es la distancia del punto
desde el origen y θ es el ángulo formado por
la línea y el eje x. Las coordenadas
rectangulares o coordenadas cartesianas
tienen la forma (x, y). Para transformar de
coordenadas polares a coordenadas
rectangulares, usamos trigonometría y
relacionamos a estas dos coordenadas.
Claramente, vemos que podemos
encontrar las coordenadas x usando la
función coseno y podemos encontrar las
coordenadas en y usando la función
seno. Entonces, tenemos las fórmulas:.

5. Ejemplo de transformación de
Coordenadas rectangulares a polares
Tanto el componente en x como el componente en y son positivos, por lo que el punto
está en el primer cuadrante. Esto significa que el ángulo obtenido es el correcto.
Las coordenadas polares son (5, 0.93 rad).
Tenemos los valores . Usamos las fórmulas
dadas arriba junto con estos valores para
encontrar las coordenadas polares. Entonces,
el valor de r es encontrado usando el teorema
de Pitágoras:
Ahora, encontramos el valor de
θ usando la tangente inversa:

6. Ejemplo de transformación de
Coordenadas polares a rectangulares
Entonces, las coordenadas rectangulares son (2.5, 4.33).
Podemos observar los valores y . Usamos las
fórmulas encontradas anteriormente para
convertir a coordenadas rectangulares.
Entonces, el valor de x es encontrado usando
la función coseno:
El valor de y es encontrado usando la
función seno:

7. Traslación de ejes
Cambio de los ejes de referencia sin
girarlos, de manera que cada eje
permanece paralelo a su posición original.
Una vez que el origen de un sistema de
ejes x e y se cambia al punto O´(xo, yo) en
el sistema original, es necesario dar a cada
punto p(x, y) en el sistema original un
nuevo conjunto de coordenadas p´(x´, y´)
en el nuevo sistema, de acuerdo con las
siguientes relaciones:
x = x´ + xo
y = y´ + yo
.
El propósito de tal traslación de ejes
es simplificar la ecuación de una
curva para procesamiento posterior.
Por ejemplo, un círculo con centro
en (1, 2) y un radio r = 3, se puede
describir por medio de la siguiente
ecuación:
(x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 32
Cuando los ejes de referencia se
cambian a O´(1, 2), el mismo círculo se
puede describir como:
[(x´+1) - 1] 2 + [(y´+2) - 2] 2 = 32
o
(x´) 2 + (y´)2 = 32
Como se muestra, es
definitivamente más
fácil trabajar con la
ecuación en el nuevo
sistema

8. Rotación de ejes
Cambio de la orientación de los ejes de referencia mientras se
conserva el origen. La principal razón para rotar los ejes es que
una ecuación dada es mucho más simple en el nuevo sistema de
coordenadas que en el sistema original .Si los ejes
originales x y y rotan en sentido contrario al reloj un ángulo , para
cualquier punto P(x, y), las coordenadas originales (x, y) se
convierten en las nuevas coordenadas (x ´, y ´), que son:
x ´ = x cos + y sen
y´ = - x sen + y cos
Para derivar la ecuación en las nuevas coordenadas, necesitamos
expresar las coordenadas originales en las nuevas coordenadas:
x = x ´ cos - y ´ sen
y = x ´ sen + y cos

9. Rotación de ejes
Como ejemplo de rotación, considera una ecuación simple y = x + 21/2, que
es una línea. Si los ejes originales x e y rotan en sentido contrario al reloj un
ángulo de 45°, las coordenadas originales se pueden expresar como:
x = x ´ cos 45° - y ´ sen 45°
y = x ´ sen 45° + y ´ cos 45°
Por lo tanto,
x = x ´ (21/2/2) - y ´ (21/2/2)
y = x ´ (21/2/2) + y ´ (21/2/2)
Entonces, la ecuación y = x + 21/2 se convierte en:
x ´ (21/2/2) + y ´ (21/2/2) = x ´ (21/2/2) - y ´ (21/2/2) + 21/2
y ´ = 1
En las nuevas coordenadas, la ecuación es una línea paralela al eje x ´, +1
unidad separada del eje x ´.

10. Gráfica de una
Circunferencia

11. Gráfico de
una Parábola