Matemáticas , física Álgebra vectorial

1. Asignatura: Matemáticas III
Alumna: Andreina Pérez
C.I: 30.089.902
Carrera : Arquitectura
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Sede: Barcelona
19/10/2020

2. Desde la antigüedad, el ser humano comenzó a preguntarse sobre diversos aspectos de la vida cotidiana lo que lo llevó a
inventar herramientas que le permitieran medir longitudes, ordenar y contar objetos, así como reconocer fenómenos
periódicos de la naturaleza. Como resultado de este proceso, el ser humano ha construido modelos que le han facilitado la
tarea de resolver problemas concretos o que le han ayudado a encontrar una solución al problema específico que lo afecta.
Todo esto con el propósito de favorecer tanto su forma de vida como la de los miembros de su medio local.
Las operaciones con vectores, tales como la suma, resta y multiplicación, permiten resolver situaciones de la vida
cotidiana; como las ganancias que obtiene un comerciante se pueden determinar por medio del producto escalar. Los
productos vectoriales tienen diversas aplicaciones, sobre todo en las ramas de la física; el triple producto te permitirá hallar
el volumen de un paralelepípedo sin necesidad de aplicar la fórmula geométrica; esto lo puedes hacer representando la
figura en el plano y conociendo los valores de cada uno de los componentes del vector.

3. Generalidades de Álgebra Vectorial
Álgebra lineal o vectorial es una rama de las matemáticas modernas
que estudia conceptos tales como ecuaciones lineales, vectores,
matrices, espacios vectoriales y ecuaciones de tipo lineal.
El Álgebra Vectorial
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y
fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones
diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora,
ingeniería, entre otras y se caracteriza principalmente por el estudio de
estructuras matemáticas, llamadas espacios vectoriales.
1

4. 4
Fundamentos del Álgebra vectorial
El Álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos:
Los vectores son representados por
rectas que tienen una orientación, y
las operaciones como suma, resta y
multiplicación por números reales
son definidas a través de métodos
geométricos.
Geométricamente
La descripción de los vectores y sus
operaciones es realizada con números,
llamados componentes. Este tipo de
descripción es resultado de una
representación geométrica porque se
utiliza un sistema de coordenadas.
Analíticamente
Se hace una descripción de los vectores, independientemente del
sistema de coordenadas o de cualquier tipo de representación
geométrica.
El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su
representación en un sistema de referencia, que puede ser en una o
más dimensiones. Entre los principales sistemas se encuentran: –
Sistema unidimensional y el sentido de esta que posee: Sistema de
coordenadas rectangulares (bidimensional), Sistema tridimensional
rectangular.
Axiomáticamente

5. Magnitudes
Escalares y Vectoriales
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¿Qué son magnitudes ?
Son cantidades medibles de un sistema físico, es decir, a la
que se le pueden asignar distintos valores como resultado de
una medición o una relación de medidas. Estas son
estudiadas por las ciencias experimentales y para cada
magnitud se define una unidad y su medida será dada por un
número de dicha unidad.

6. Las magnitudes se clasifican en magnitudes Escalares y Magnitudes vectoriales
Magnitud escalar
Una magnitud o cantidad escalar es
aquella que solo se describe mediante
un número y una unidad, como el tiempo,
el volumen, el área, la masa entre otras.
Magnitud vectorial
son aquellas magnitudes que, además de representarse con un
número y una unidad, requieren también ser expresadas en el
espacio con una dirección y un sentido. Como lo son la fuerza, la
velocidad, la aceleración entre otras.
Ejemplo :
Longitud: 20 m
tiempo: 10 s
Temperatura: 22 °C
Masa: 8 kg
Ejemplo:
Velocidad: (5ȋ – 3ĵ) m/s.
Aceleración: 13 m /s2; S 45º E.
Fuerza: 280 N, 120º.
Peso: -40 ĵ kg-f.

7. Ejemplos
un vehículo que viaja de Barcelona a caracas
recorrerá una distancia de 1323 km (magnitud
escalar) pero tendrá un desplazamiento de 1007
km (magnitud vectorial).
Masa
La masa es la propiedad que mide la cantidad de
materia de un cuerpo, y además caracteriza las
propiedades inerciales del mismo. A mayor masa,
mayor fuerza hay que aplicar para causar una
aceleración del mismo. Es una cantidad escalar pues
la masa de un cuerpo no cambia con el cambio de
dirección que pueda experimentar ese cuerpo.

8. Segmento dirigido en una porción de una recta del que
se conoce su origen y su final en algebra vectorial se
utiliza el termino vector para cada elemento de una
estructura algebraica llamada espacio vectorial.
8
Vectores3
En matemática, en el área de cálculo vectorial,
vector es un segmento de recta orientado, que
depende de un sistema de coordenadas, en el
cual se puede llevar un importante número de
operaciones, como suma, resta,
descomposición, ángulo entre dos vectores,
etc.
El término vector proviene del latín
vector, vectoris, cuyo significado es ‘el
que conduce’, o ‘el que transporta’.
¿Qué es un vector ?
Un vector tiene 3 elementos: módulo,
dirección y sentido, un vector permite
representar magnitudes físicas vectoriales

9. Elementos y partes de un Vector
Punto inicial: es el punto en donde inicia o parte el vector.
Magnitud o Módulo : Es un numero real, que consiste en el valor de la distancia que hay desde
el origen hasta el extremo de un vector, representada por un número real junto con una unidad.
Ejemplo: OM| = |A| = A = 6 cm
Dirección: está formada por la línea que se sigue para ir desde el punto inicial hasta el
punto final.
Es la medida del ángulo que existe entre el eje x (a partir del positivo) y el vector, así
como también se utilizan los puntos cardinales (norte, sur, este y oeste).
Sentido: se refiere a la orientación del vector, indicado por la cabeza de la flecha del vector.
Punto final: es el punto en donde termina o finaliza el vector.

10. Tipos de Vectores
Libres.- Sin localización especifica en el espacio. Un vector libre puede trasladar su origen a cualquier punto del
espacio, siempre que conserve su módulo y sentido y mantenga paralela su dirección.
Deslizantes.- Sin localización especifica a lo largo de una recta dada. Un vector deslizante solo puede trasladar su
origen a lo largo de su recta de aplicación. Ej. la fuerza aplicada a un sólido.
Fijos.- Es aquel cuyo punto de aplicación (origen) es fijo; es decir, que se mantiene ligado a un punto del espacio, por
lo que no puede desplazarse en este. Ej. la intensidad del campo gravitatorio en un punto dado.
Los vectores en general pueden ser:

11. Vectores equipolentes.- Son los
que tienen igual módulo, la misma
dirección o direcciones paralelas y
el mismo sentido.
La equipolencia es una relación de
equivalencia, que establece una
partición del conjunto de los
vectores en clases de equivalencia.
Vectores iguales.- Son los que
tienen la misma magnitud,
dirección y sentido.
Vectores equivalentes.- Son los
que producen el mismo efecto.
Comparativamente pueden
ser:
Vectores polares.- Son los que
representan magnitudes físicas
relacionadas con una traslación, como la
velocidad lineal por ejemplo.
Vectores axiales.- Son los que representa
magnitudes físicas ligadas a una rotación,
como el vector velocidad angular
Atendiendo a lo que representan
pueden ser:

12. Vector Nulo
Es un vector que tiene módulo cero , consecuentemente carece
de dirección y sentido . es decir el punto de origen y extremo
coinciden en un mismo punto.
¿Que es un vector en el espacio?
Se le llaman vectores en el espacio a todos
aquellos vectores que se encuentran en o bien,
a aquellos vectores que se representan
utilizando tres coordenadas o componentes,
por ejemplo, el vector w = (a, b, c).
Vector unitario
Es aquel vector cuyo modulo es igual a la unidad es decir 1 , este
se obtiene dividiendo el vector para su modulo y determina la
dirección y sentido de un vector en el plano o el espacio para lo
cual se utilizan los vectores base o unitarios. normalizados i,j,k

13. 13
Las componentes de un vector se definen como las proyecciones sobre los ejes tomadas como referencia. su
utilidad es de gran importancia en muchos estudios de la física, al simplificar muchos de ellos que se
realizan cuando intervienen magnitudes vectoriales o efectos vectoriales supuestos. de acuerdo a su
descomposición del vector ya sea en los ejes de dos o tres dimensiones , se obtendrá de igual modo dos o
tres componentes respectivamente.
Componentes de un Vector
Componente de un vector en el espacio
Considere un vector que actúa en el origen O de un sistema de
coordenadas rectangulares tridimensionales X,Y,Z, hasta el punto
P sin embarga cuando esta dirigido dentro de un octante del
cuadrante X,Y,Z.

14. 14
Si proyectamos el extremo del vector sobre el plano XZ
, obtenemos un vector proyección de A sobre dicho
plano , cuyas componentes son Ax y Ay,
Además la componente Ay y la proyección del vector
en el plano xz , forman un paralelogramo , entonces el
vector A es la suma de dos vectores componentes
rectangulares .
Los componentes desde el punto de vista algebraico
son números reales siendo positivas, negativas o valor
cero.

15. Adición de vectores
Sumar o componer dos o más vectores es hallar otro vector
resultante cuyas componentes sean iguales a la suma de las
componentes de los vectores sumados. Gráficamente se pueden
sumar vectores usando la ley del paralelogramo.
Propiedades de los Vectores
Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos.
Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera
que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas
paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de
igual longitud, formando así un paralelogramo .
El vector resultado de la suma es la diagonal de dicho
paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.
•Método del paralelogramo

16. .La resta de vectores es muy similar a la suma; para poder obtener la resta de
dos vectores, se restan las coordenadas que se encuentran en la misma posición
de cada uno de los vectores; para ser más explícitos.
Resta de vectores
•Método del Triangulo
Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro,
ordenadamente: el origen de cada uno de los vectores coincidirá
con el extremo del siguiente. El vector resultante es aquel cuyo
origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del
último.
Para sumar o restar dos o mas vectores analíticamente se puede realizar
de dos formas geométricamente y vectorialmente.
Suma y Resta de vectores Analíticamente

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Geométricamente
Este método sirve para determinar la suma o resta de dos vectores que forman un triangulo o paralelogramo y
se puede encontrar su modulo y dirección del vector resultante utilizando la ley del coseno y la ley del seno
Vectorialmente
Para sumar o restar dos o mas vectores vectorialmente, se puede realizar de dos formas: en función de
sus componentes rectangulares y en función de sus vectores bases
Propiedad Conmutativa.- El orden de los vectores no altera su resultante. A + B = B + A 2.-
Propiedad Asociativa.- Si se suman primero dos vectores y luego se suma un tercero, su resultante no cambia. ( A +
B ) + C = A + ( B + C )
.- Propiedad Distributiva Vectorial.- Si se multiplica un escalar por la suma de vectores es igual al producto del
escalar por cada vector. m ( A + B ) = mA + mB 4.-
Propiedad Distributiva Escalar
Si se multiplica un vector por la suma de dos escalares es igual al producto del vector por cada escalar. A ( m + n ) =
mA + nA 5.-
Propiedad del Idéntico Aditivo.- Si se suma un vector con un vector nulo, su resultado es el mismo vector

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Multiplicación de vectores
La multiplicación de vectores de diferente naturaleza permite generar cantidades
físicas diferentes a las que las generaron . por supuesto que no se puede generalizar
las reglas de multiplicación para escalares , pues los vectores tienen a mas magnitud
una dirección y un sentido a continuación definiremos tres tipos de productos que se
pueden efectuar entre vectores : multiplicación de un escalar por un vector , producto
escalar y producto vectorial.
•Producto por un escalar
El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del
escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo
sentido es contrario a este si el escalar es negativo.
Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su
dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.

19. Ecuaciones Paramétricas4
Un sistema de ecuaciones paramétricas permite
representar una curva o superficie en el plano o en el
espacio, mediante valores que recorren un intervalo de
números reales, mediante una variable , llamada
parámetro, considerando cada coordenada de un punto
como una función dependiente del parámetro.
Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta r se obtienen por medio
de la siguiente expresión:
Donde:
x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.
a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).
v1 y v2 son las componentes de un vector director v→=(v1,v2) de r.
λ es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del
valor que se le asigne.

20. Grafica de ecuaciones paramétricas
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Ejemplo
Su grafica seria la siguiente :

22. Para hallar la ecuación cartesiana cuando esta escrita en ecuación Paramétrica
se deben igualar las coordenadas
se escribe como un sistema de ecuación correspondiente
se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal en variables(x,y,z)
Transformación de ecuaciones paramétricas en cartesianas
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Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva
perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos

23. Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma
Longitud de arco en ecuaciones Paramétricas
Podrías estimar la longitud de la curva dibujando triángulos rectos, calculando la longitud de cada hipotenusa o
sumando todas las longitudes. Si usaste triángulos muy grandes, tu estimado no será muy preciso. Pero, entre más
pequeños son tus triángulos, tu estimado será más preciso. Si pudieras hacer los triángulos infinitamente más
pequeños, serías capaz de calcular la medida exacta de la curva. De cierta forma, la fórmula de la distancia de las
ecuaciones Paramétricas te permite medir la curva con una cadena continua de triángulos pequeños infinitos.
La ecuación para el largo de una curva en forma paramétrica es:
En matemática la longitud de arco
también llamada rectificación de un
curva , es la medida de la distancia
o camino recorrido a lo largo de una
curva o dimensión lineal

24. Una sola curva puede ser parametrizada en muchas
formas dependiendo de qué tan rápido un objeto la
atraviesa. Si no prestas atención a la velocidad del objeto,
puede que obtengas medidas muy disímiles para una
curva con dos parametrizaciones distintas. Por ejemplo,
imagina un círculo con un centro en el origen y un radio de
5. Puedes escribir un número infinito de ecuaciones
paramétricas para este círculo y cada ecuación atravesará
la curva de una forma distinta.

25. 25
El algebra vectorial tiene múltiples aplicaciones Esta rama de las matemáticas es una
herramienta imprescindible para estudiar de física, ingeniería o arquitectura, entre otras. Pero
también se puede aplicar a diversas áreas como la arqueología, el análisis del tráfico, los
circuitos eléctricos, las redes de comunicación etc.
Dentro de este ámbito científico, y también de las Matemáticas, se hace necesario dejar patente
que existe una gran variedad de vectores. De tal manera, que podemos hablar de fijos,
paralelos, deslizantes, opuestos, concurrentes, libres o colineales, entre otros muchos más.
El vector encargado de determinar la dirección de la recta recibe el nombre de vector director y
como podrás imaginar este no es único ya que cualquier vector paralelo a este nos sirve también
para determinar la dirección de la recta. De esta forma, si v→ es un vector director de la recta r,
también lo serán cualquier múltiplo de v→ (λ⋅v→ λ∈R).

26. 26
Pajón, Javier y Dávila, Juan Antonio (1999). ÁLGEBRA VECTORIAL; FUNDAMENTOS. LECCIONES
Y APUNTES DE MECÁNICA GENERAL: ÁLGEBRA VECTORIAL; FUNDAMENTOS.
Ecuaciones paramétricas/ ECUREED(2020)https://www.ecured.cu/Ecuaciones_param%C3%A9tricas
Lay, D. C. (2007). Álgebra lineal y sus aplicaciones (tercera edición). México: Pearson Educación.
Bernard Kolman, David R. Hill. (2006). Álgebra lineal (8a. Edición). México: Pearson
Educación.
Logro Valeria (2019) slideshare https://es.slideshare.net/ValeriaLogroo1/lgebra-vectorial-
78403178
Ortega Pulido, Pedro. (2002). La enseñanza del álgebra lineal mediante sistemas informáticos de
cálculo algebraico. Trabajo de grado. Madrid: Universidad Complutense de Madrid.

27. 27
https://youtu.be/uCm3HvF-EtQ
https://youtu.be/gsmsCc7Hr44
https://youtu.be/uTfgzxabMbo
Videos relacionados con el tema :

28. Gracias!