DIAPOSITIVAS GENERALIDADES VECTORIALES, ECUACIONES PARAMÉTRICAS

1. Profesor: Bachiller:
Ing. Pedro Beltrán Diana Guillén
C.I: 28.352.143
Barcelona, Octubre 2020.

2. INTRODUCCIÓN
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada
de estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices,
espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se
relaciona con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones
diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones,
gráficas computacionales, entre otras. A continuación vamos a
estudiar como ésta utiliza ecuaciones paramétricas para
representar una curva o superficie en el espacio. También se
estudiara el plano cartesiano y como encontrar la longitud del
arco de una curva.

3. Generalidades de Álgebra Vectorial
Álgebra Vectorial: es una rama de las matemáticas
encargada de estudiar sistemas de ecuaciones lineales,
vectores, matrices, espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como
ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis
funcional, investigación de operaciones, gráficas
computacionales, entre otras.

4. Fundamentos
El álgebra vectorial se originó del estudio de los
cuaterniones (extensión de los números reales) 1, i, j, y k,
así como también de la geometría cartesiana promovida
por Gibbs y Heaviside, quienes se dieron cuenta de que
los vectores servirían de instrumento para representar
varios fenómenos físicos.

5. El álgebra vectorial es estudiada a
través de tres fundamentos:
Geométricamente: Los vectores son representados por
rectas que tienen una orientación, y las operaciones como
suma, resta y multiplicación por números reales son
definidas a través de métodos geométricos.
Analíticamente: La descripción de los vectores y sus
operaciones es realizada con números, llamados
componentes. Este tipo de descripción es resultado de una
representación geométrica porque se utiliza un sistema de
coordenadas.

6.  Axiomáticamente: Se hace una descripción de los
vectores, independientemente del sistema de
coordenadas o de cualquier tipo de representación
geométrica.
El estudio de figuras en el espacio se hace a través de
su representación en un sistema de referencia, que
puede ser en una o más dimensiones.

7. Entre los principales sistemas se
encuentran
Sistema Unidimensional, que se trata de una recta
donde un punto (O) representa el origen y otro punto (P)
determina la escala (longitud) y el sentido de esta.

8. Sistema de coordenadas rectangulares
(bidimensional), que está compuesto por dos rectas
perpendiculares llamadas eje x y eje y, que pasan por un
punto (O) origen; de esa forma el plano queda divido en
cuatro regiones llamadas cuadrantes. En este caso un
punto (P) en el plano es dado por las distancias que
existen entre los ejes y P.

9. Sistema de coordenadas polares (bidimensional): En
este caso el sistema es compuesto por un punto O (origen)
que es llamado polo y una semirrecta con origen en O
llamada eje polar. En este caso el punto P del plano, con
referencia al polo y al eje polar, es dado por el ángulo (Ɵ),
que se forma por la distancia que existe entre el origen y el
punto P.

10. Sistema tridimensional rectangular, formado por tres
rectas perpendiculares (x, y, z) que tienen como origen un
punto O en el espacio. Se forman tres planos
coordenados: xy, xz y yz; el espacio quedará dividido en
ocho regiones llamadas octantes. La referencia de un
punto P del espacio es dada por las distancias que existen
entre los planos y P.

11. Vectores
Son representaciones gráficas de una magnitud vectorial;
es decir, son segmentos de recta en los que su extremo
final es la punta de una flecha.
Estos son determinados por su módulo o longitud del
segmento, su sentido que es indicado por la punta de su
flecha y su dirección de acuerdo con la recta a la que
pertenezca. El origen de un vector es también conocido
como el punto de aplicación.

12. Los elementos de un vector son los
siguientes:
 Módulo: Es la distancia que hay desde el origen hasta el
extremo de un vector, representada por un número real
junto con una unidad.
Por ejemplo:
|OM| = |A| = A = 6 cm

13.  Dirección: Es la medida
del ángulo que existe
entre el eje x (a partir del
positivo) y el vector, así
como también se utilizan
los puntos cardinales
(norte, sur, este y oeste).  Sentido: Es dado por la
punta de flecha ubicada
en el extremo del vector,
indicando hacia dónde se
dirige este.

14. Clasificación de los Vectores
Generalmente, los vectores
son clasificados como:
 Vector fijo: Es aquel cuyo
punto de aplicación (origen)
es fijo; es decir, que se
mantiene ligado a un punto
del espacio, por lo que no
puede desplazarse en este.

15.  Vector libre: Puede
moverse libremente en el
espacio porque su origen se
traslada a cualquier punto
sin cambiar su módulo,
sentido o dirección.
Vector deslizante: Es
aquel que puede
trasladar su origen a lo
largo de su línea de
acción sin cambiar su
módulo, sentido o
dirección.

16. Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las
variables “x” y “y”, cada una separadamente, están
expresadas en función de la misma tercera variable. Según
esto, designando por la letra “z” la tercera variable,
comúnmente llamada variable paramétricas, estas
ecuaciones se representan en la siguiente forma general:
x = F (z) y = F (z)
Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones
paramétricas representan una sola curva perfectamente
referida a un sistema de ejes cartesianos.
Ecuaciones Paramétricas

17. Trazado de una curva dadas sus ecuaciones
paramétricas.
En forma directa se le asignan valores ordenados al
parámetro con lo cual las ecuaciones paramétricas
determinan los valores correspondientes a “x” y “y”, que
representan las coordenadas de un punto de la curva.
Uniendo los puntos así determinados resulta una curva,
que es la representación gráfica de las ecuaciones
paramétricas.
Ecuaciones Paramétricas

18.  Circunferencia:
Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean
además M(x,y) un punto de la curva y Θ=ángXOM.
Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la
circunferencia:
x= a cos θ
y= a sen θ
Gráficas de Ecuaciones Paramétricas

19.  Cicloide:
Es la curvatura descrita por un punto fijo de una
circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una
recta fija.
Tómese al eje “x” como la recta fija OX sobre la cual se
hace rodar la circunferencia de centro C y radio r, y sea M el
punto fijo que describe la curva.
Gráficas de Ecuaciones Paramétricas

20. En el momento en que comienza a rodar la circunferencia,
el punto M coincide en el origen con T, punto de contacto
de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A,
cada punto habrá hecho un recorrido igual a 2πr, es decir,
en todo instante genérico, la distancia OT es igual al arco
TM. Teniendo presente que cuando la medida del ángulo
se da en radianes, el arco es igual al radio multiplicado por
el número que mide el ángulo, se puede escribir:
x=OP=OT - MN=r θ –r sin θ;
y=PM=-TC - NC=r –r cos θ;
De donde:
x = r (θ − r sin θ);
y = r (1−cos θ) ;
que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide.
Gráficas de Ecuaciones Paramétricas

21.  Hipocicloide:
Es la curvatura que describe un punto fijo de una
circunferencia que rueda, sin resbalar, permaneciendo
siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija.
Sean a el radio de la circunferencia
fija de centro O, b el radio de la
circunferencia menor, de centro O´,
que rueda, permaneciendo siempre
tangente a la circunferencia mayor, M
el punto fijo de la circunferencia
menor que describe la hipocicloide, y
T el punto de tangencia.
En A coinciden M y T. cuando M haya
descrito la arcada AB; habrá girado
360°, y el punto T habrá recorrido el
arco AB; o sea: arco AB=2πb.

22.  Hipocicloide:
Conviene expresar el ángulo φ en función de Θ para que
figure un parámetro solamente.
Que son las ecuaciones paramétricas del hipocicloide

23.  Astroide:
Si los radios de las circunferencias que intervienen en la
generación de la hipocicloide son inconmensurables, la
curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. Pero, si los
radios a y b son conmensurables, resulta una curva
cerrada. En el caso particular de b=(1/4)a, se obtiene una
curva llamada astroide. Las ecuaciones paramétricas de
esta curva se deducen de las de la hipocicloide,
sustituyendo b por (1/4)a y después reduciendo queda:
x= a cos3 θ
y= asen3 θ
Que son las ecuaciones
paramétricas de la
astroide.

24. Si una curva suave C está dada por x = f(t) y y = g(t) y C
no se interseca así misma en el intervalo a ≤ t ≤ b,
entonces la longitud de arco de C en este intervalo está
dada por:
 Ejemplo: Un circulo de radio 1, rueda sobre otro circulo
mayor de radio 4. La epicicloide trazada por un punto en
el circulo mas pequeño esta dada por:
x= 5cos t – cos 5t y
x= 5 sen t – sen 5t
Longitud de un arco en forma
paramétricas
Longitud de un arco en forma
paramétricas

25.  Hallar la distancia recorrida por el punto al dar una vuelta
completa alrededor del círculo mayor.

26. La representación paramétrica de una curva en un espacio
n dimensional consiste en n funciones de una variable t
que en este caso es la variable independiente o parámetro
de la forma donde representa la i-ésima coordenada del
punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t.
Representación paramétrica de una
curva
Representación paramétrica de una
curva

27. Una curva plana se define por dos variable, a saber, “x” e “y”.
Tal plano se conoce como Plano Cartesiano y su ecuación
se llama Ecuación Cartesiana.
Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en
términos de un solo parámetro, generalmente, este
parámetro es “t”. Una curva que represente tal ecuación es
llamada curva paramétrica . Para ello las variables de la
ecuación cartesiana son transformadas con el fin de
representar el parámetro “t” como: x= f(t) y= g(t)
Comparar la gráfica de ecuaciones
paramétricas con la gráfica de
ecuaciones cartesianas

28. Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas
formas diferentes y la más convenientes entre ellas es la
selección de ciertos valores de “t” y obtener los valores
correspondientes de f(t) y g(t), es decir; “x” e “y”.
Entonces estos después son trazados en coordenadas
Cartesianas.

29.  Para encontrar la longitud de arco de una curva,
construimos una integral de la forma:
 Cuando una curva está definida en forma paramétrica,
con ”x” y ”y” como funciones de ”t”, calcula las derivadas
de ambas funciones para obtener ”dx” y ”dy” en términos
de ”dt”.
Sustituye estas expresiones en la integral y factoriza el
término, fuera del radical.
Determinar la longitud de un arco en
forma paramétricas

30.  Considera la curva paramétrica por las siguientes
ecuaciones:
Si dejamos que “t” varié de -1,5 a 1,5, la curva resultante
se ve así;

31. Las ecuaciones paramétricas son sistema de ecuaciones
que permite representar una curva o superficie en el
espacio, mediante valores que recorren un intervalo de
números reales, mediante una variable , llamada parámetro,
considerando cada coordenada de un punto como una
función dependiente del parámetro. En las generalidades del
algebra vectorial estudiar los sistemas de ecuaciones
lineales, vectores, espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como
ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis
funcional, investigación de operaciones y gráficas
computacionales. En matemática la longitud de arco es la
medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una
curva o dimensión lineal. Una curva también es un conjunto
de puntos que representan las distintas posiciones
ocupadas por un punto que se mueve.
Conclusión

32. https://www.youtube.com/watch?v=buX2WIloCSU
https://www.youtube.com/watch?v=zuAD Qhh8huo
https://www.youtube.com/watch?v=1x5zGY9DOdg
Anexos

33.  Anabel Basulto. Marzo 2016
https://www.ecured.cu/Ecuaciones_param%C3%A9tricas
 Néstor Fernando Obregon.Wordpress.com.Vectores.
 Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind. Julio
2003.Generalidades sobre espacios vectoriales.
www.yumpu.com.document.view.
Introducción a la longitud de arco de gráficas de funciones
...es.khanacademy.org › multivariable-calculus › arc-length
Bibliografía