Presentación sobre las funciones de varias variables. Jesús Lugo. Matemática III

1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
2do semestre “Ingeniería Industrial”
Realizado por:
Jesús D. Lugo V
C.I: 28.501.507

2. INTRODUCCIÓN
En la siguiente presentación se tiene como objetivo principal, estudiar los conceptos básicos
asociados a funciones de varias variables, analizando su representación grafica, (en el plano R2,
y en el espacio R3) su dominio y su rango. Adicionalmente, se estudiara los diferentes sistemas
de representación grafica como lo son: Sistema de Coordenadas Cartesianas, Sistema de
Coordenadas Cilíndricas, Sistema de Coordenadas Esféricas. Tratando de que la presentación
sea lo mas clara posible.

3. SISTEMAS DE COORDENADAS
En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números
(coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico. El
orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su
posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo
«la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría
analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica“
En otras palabras, Es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de
cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto
de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las
coordenadas de cualquier punto constituyen lo que se denomina sistema de referencia.

4. SISTEMAS DE COORDENADAS
Ejemplo de sistemas
de coordenadas:

5. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Coordenadas cartesianas es el nombre que se da al sistema para localizar un punto en el
espacio. En las enseñanzas obligatorias trabajamos las coordenadas cartesianas en espacios de
dos dimensiones, “los planos”, pero podemos dar coordenadas cartesianas en espacios de tres o
más dimensiones
Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por dos rectas perpendiculares graduadas
a las que llamamos ejes de coordenadas. Se suele nombrar como X el eje horizontal e Y al eje
vertical. Estos dos ejes se cortan en un punto al que se le denomina origen de coordenadas, O.
Otro nombre que reciben los ejes de coordenadas es el de abscisas para el eje X (horizontal), y
ordenadas para el eje Y (vertical).Cuando queremos saber cuáles son las coordenadas de un
determinado punto (al que nombramos generalmente con letras mayúsculas P, Q, R… o A, B,
C… debemos tener en cuenta que se colocan así:

6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
 (abscisa, ordenada)
Así que si decimos que el punto P tiene coordenadas (2,4) estamos diciendo que se encuentra
sobre el 2 del eje horizontal a altura 4.
¿Cómo funcionan las coordenadas cartesianas?
 Una medida horizontal: izquierda-derecha. A la que llamamos X.
 Una medida vertical: arriba-abajo. A la que llamamos Y.
 Un punto de referencia desde el que empezar a medir: el origen. Lo llamamos origen de
coordenadas, O.

7. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Llamamos origen de coordenadas al punto O, donde está el
planeta verde, porque es el punto del que parten las líneas
que marcan los dos ejes de coordenadas.
Ejemplos de coordenadas cartesianas:
El origen siempre está situado en las coordenadas (0,0). Es decir, está lo más a la izquierda
y abajo posible. O es un punto especial, desde él comienzan los ejes de coordenadas y está
“0 posiciones a la derecha y 0 posiciones arriba”. Éste es el punto desde el que se empieza
a contar. Entonces (0,3) estaría 0 posiciones a la derecha y 3 arriba. Y (5,0) 5 posiciones a
la derecha y 0 arriba.

8. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Ejemplo de Coordenadas Cartesianas
Por ejemplo, un avión azul esta en las coordenadas (3,2)
Explicación: La primera
coordenada nos indica la
posición en el eje X. Hay
que contar 3 posiciones
desde el origen hacia la
derecha. Y la segunda
coordenada la posición
del eje Y, contar 2
posiciones hacia arriba.
Así situamos al avión
azul 3 posiciones a la
derecha del origen y 2
hacia arriba.

9. SISTEMAS DE COORDENADAS CILÍNDRICAS
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas que permite definir la posición de un
punto del espacio. Es una extensión de las coordenadas polares para tres dimensiones.
En Matemáticas y más específicamente, Geometría Analítica y Análisis Matemático dícese de la
forma de identificar un punto en el espacio tridimensional colocado en la superficie lateral de un
cilindro cuya base está en el plano OXY y tiene por centro el origen de coordenadas y un radio
determinado. Así todo punto queda determinado mediante tres magnitudes: el radio r, un ángulos
en radianes a y la altura z. Los dos primeros elementos son similares a cómo se define un punto
en coordenadas polares y la altura le aporta el componente de espacialidad. Este sistema de
coordenadas es de gran utilidad en los cálculos matemáticos porque permiten modelar de una
manera más cómoda situaciones, modelos y fenómenos de diversas áreas.
Generalmente, en lugar de utilizar x, y y z, se usan r, el ángulo theta y la variable z, x o y. La
última variable designa la extensión máxima de una superficie

10. SISTEMAS DE COORDENADAS CILÍNDRICAS
El nombre de estas coordenadas proviene de la idea de que cada punto en el espacio es un
punto de la superficie de una infinita cantidad de cilindros circulares, todos con un radio arbitrario
de valor r.

11. SISTEMAS DE COORDENADAS ESFÉRICAS
Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usa en espacios
euclidianos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes
mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre
el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la
posición del punto.

12. SISTEMAS DE COORDENADAS ESFÉRICAS
Las coordenadas esféricas constituyen otra generalización de las coordenadas polares del plano,
a base de girarlas alrededor de un eje. Su definición es la siguiente:
 La coordenada radial “r”: distancia al origen
 La coordenada polar “theta” ,: ángulo que el vector de posición forma con el eje Z,.
 La coordenada acimutal : ángulo que la proyección sobre el plano XY, forma con el eje X.
Los rangos de variación de estas coordenadas son:
El ángulo también puede variar en el intervalo [0,2π)

13. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS DIFERENTES
SISTEMAS DE COORDENADAS
 Transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas
Para poder realizar la transformación de un punto que esta expresado en coordenadas
cartesianas, a coordenadas cilíndricas, se deben aplicar las siguientes ecuaciones:

14. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS DIFERENTES
SISTEMAS DE COORDENADAS
 Transformación de coordenadas cartesianas a esféricas
Para poder realizar la transformación de un punto que esta expresado en coordenadas
cartesianas, a coordenadas esféricas, se deben aplicar las siguientes ecuaciones:

15. SIMETRÍA
Como simetría, denominamos a la correspondencia exacta que se verifica en la forma, el tamaño
y la posición de las partes de un objeto considerado como un todo. La simetría, como tal, es un
concepto afín a distintas disciplinas como la geometría, el dibujo, el diseño gráfico, la arquitectura
y las demás artes. Asimismo, podemos encontrarla ciencias como la biología, la física, la química
y la matemática.
La simetría es uno de los conceptos matemáticos que antes se empiezan a tratar en el colegio.
Ya en educación infantil estudian y construyen figuras simétricas, sin utilizar una definición
rigurosa.
“Decimos que una figura es simétrica respecto
a una recta cuando cada punto a un lado de
esa recta tiene otro punto al otro lado y a la
misma distancia de esa recta”.

16. TIPOS DE SIMETRÍA
 Simetría esférica: es aquella que ocurre bajo cualquier tipo de rotación.
 Simetría axial (también llamada rotacional, radial o cilíndrica): es aquella que ocurre a partir de un
eje, lo que significa que cualquier giro producido a partir de ese eje no conduce a ningún cambio
de posición en el espacio.
 Simetría reflectiva o especular: es aquella definida por la existencia de un único plano donde una
mitad es el reflejo de la otra.
 Simetría de traslación o traslacional: es aquella que se verifica en un objeto o figura cuando este
se repite a una distancia siempre idéntica del eje y a lo largo de una línea que puede estar
colocada en cualquier posición y que puede ser infinita.

17. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le
corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la definición matemática de una
función. Existen funciones comunes que poseen una variable independiente (x) que cambia
libremente sin depender de ningún parámetro y una variable dependiente (y) que cambia
respecto a x. El cambio que sufre y está definido por una expresión algebraica que funge como
regla.
Se puede entender a una función como una máquina por la que entra algo y sale algo
diferente, procesado:

18. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
La imagen anterior lo ilustra perfectamente. La función genera resultados para y = f(x)
dependiendo el valor que tome x. En el mundo real, estas funciones describen fenómenos que
dependen de solo una variable. Por ejemplo, en cinemática, la rama de la física que estudia el
movimiento sin preocuparse por las causas que lo provocan, la posición de un objeto se define
por funciones que varían respecto al tiempo t. Son funciones de una única variable
dependiente. Sin embargo, existen fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no
depende únicamente de un solo factor. Estas son funciones de varias variables.
“Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma
definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida
por más de una variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres
variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el
valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les
corresponde un valor de z”.

19. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su comportamiento y
entenderlo con más claridad. Las funciones de varias variables no están exentas de ello. El
problema es que no todas las funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho, el
máximo número de variables que permite graficar es de tres variables. ¿Por qué? Pues porque
dimensionalmente no se pueden observar más de tres variables interactuando entre sí, o al
menos no gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres variables es el
siguiente:
Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias
superficies tridimensionales son funciones de tres variables. Los
planos, paraboloides, etcétera. Pero, no todas las gráficas en tercera
dimensión son funciones. ¿Cómo saberlo? Aplicando la prueba de la
recta vertical. Tanto en funciones de dos variables como de tres, la
recta vertical sirve para demostrar que una gráfica no es función.
Una esfera, por ejemplo, no es función puesto que no pasa dicha
prueba; esto significa que a un mismo punto coordenados (x, y) le
corresponden dos valores de z. Rompe con la definición de función.

20. DOMINIO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y como ocurre en
funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma. El dominio es el conjunto de
valores que puede tomar el argumento de la función sin que esta se indefina. El rango es el
conjunto de valores reales que toma la función z en función del dominio.
El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos variables, pero
ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables del argumento. Es decir, el
dominio depende de como interactúan estas variables. Por ejemplo:
Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de “x” y de “y” ,tal que ambas
variables pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto que la función f jamás se
indefinirá. La manera formal de escribirlo es:

21. DOMINIO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
De tal manera que el rango de la función es el conjunto de valores toma f o z, que en realidad son
todos los reales, pues nunca se indefine:
Para el siguiente ejemplo de función:
Esta función es algo más compleja. Existe una raíz que afecta al argumento. El método para
encontrar dominios no es siempre el mismo. En este caso, se sabe que argumento de una raíz
cuadrada no puede ser negativo, por lo que el dominio queda de la siguiente forma:

22. DOMINIO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Es bastante simple de anotar para cualquier caso. Este dominio es el conjunto de puntos que
simplemente no indefinen a la función f. La imagen se encuentra evaluando a la función desde el
punto en que comienza a definirse y el punto donde se alcanza el valor máximo de f, si es que lo
hay:
Valor Máximo:
Valor Mínimo:

23. DOMINIO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Ahora se escribe la imagen:
Esta función resulta ser una semiesfera que abarca al eje z positivo. La circunferencia que
describe a la mitad es justamente la frontera del dominio.

24. DOMINIO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Otro ejemplo:
El último dominio que se puede graficar es el de una función de cuatro variables. En estos caso, el
dominio es una gráfica tridimensional. Por ejemplo:
El dominio se encuentra de la misma forma. Aunque la función tenga tres variables en su
argumento, existe un conjunto de valores que probablemente indefinan a f. La raíz cuadrada del
denominador no puede ser igual a 0. Así mismo, su argumento no puede ser negativo. Por la
conjunción de ambas condiciones se tiene que el dominio es:

25. CONCLUSIÓN
 En esta presentación , pudimos estudiar los diferentes sistemas de coordenadas, con los
cuales podemos representar a un punto en el espacio (R3), validando la conveniencia del uso
de un determinado sistema de acuerdo a los datos del problema (distancias y ángulos),y
simetría.
 Estudiamos la grafica de la función de varias variables, encontrando limitaciones para aquellas
expresiones de mas de tres variables. Adicionalmente, se analizo, la manera de determinar el
dominio y el rango de dicha funciones.

26. BIBLIOGRAFÍAS
 https://www.youtube.com/watch?v=XkKXfu3PDw8
 https://www.youtube.com/watch?v=vOCrjJktY0k
 https://www.youtube.com/watch?v=wd56qQZAhx0