Funciones de varias variables
Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Extensión – Barcelona
Escuela de Ingeniería Electrónica
Bachiller:
Fereira Kenny
C.I:27943254
Profesor:
Pedro Beltrán

Introducción
En Física y Matematicás es muy frecuente encontrarnos en situaciones donde la
magnitud a estudiar depende de más de una variable. Efectivamente, si la región
de estudio no es unidimensional y contemplamos el estudio en un plano, a la
variable x se le debe añadir una nueva variable, llamémosla y, con lo que
tendremos entonces como variable genérica de la función a puntos (x,y). Si el
estudio es en el espacio tridimensional, añadimos las variables y, z, y tendremos
puntos (x,y,z).
Las funciones de varias variables son funciones como
cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una
relación. La diferencia es que una variable dependiente estará
regida por más de una variables independiente. Es muy común
trabajar con funciones de tres variables, generalmente
llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto
que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino
de puntos coordenados a los que les corresponde un valor
de z.

Sistema de coordenadas
Un sistema de coordenadas es un método que usa uno o más números, llamados
coordenadas, para establecer inequívocamente la posición de un punto o de un objeto
geométrico en el espacio. Siendo de cualquier punto de un espacio geométrico
respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que
confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier
punto constituyen lo que se denomina sistema de referencia.
Solemos identificar sistema de coordenadas como sinónimo de plano cartesiano, sin
embargo estos dos conceptos no significan lo mismo. El plano cartesiano es un sistema
de coordenadas cartesianas, pero existen además otros tipos de sistemas de
coordenadas, es decir, otras formas de determinar la posición específica de un punto en
el espacio, ello se logra mediante números que forman tuplas ordenadas.

Sistema de coordenadas
Las coordenadas se expresan en forma de tuplas ordenadas, dos coordenadas forman
una dupla, tres un trío, cuatro una cuádrupla, y así sucesivamente; el que sean ordenadas
significa que el orden en que se escriben las coordenadas es muy importante, ya que
escribirlas con un ordenamiento diferente hará referencia a otra ubicación, es más, muchas
veces se identifica a las coordenadas por su ubicación en la tupla ordenada.
Existen diferentes tipos de sistemas de coordenadas, estos
son las coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas,
coordenadas esféricas y coordenadas polares.

Sistema de coordenadas
cartesianas
Las coordenadas cartesianas son las más utilizadas, este tipo de
coordenadas se ubican en un plano cartesiano al que están asociados los ejes
‘x’, ‘y’ y ‘z’. Todos los ejes coordenados deben estar escalados bajo el mismo
criterio y ser perpendiculares entre sí, estos ejes pueden conformar un sistema
bidimensional o tridimensional dependiendo de si está formado por dos o tres
ejes.
Las tuplas ordenadas de este sistema de referencia tendrán la forma de
pares ordenados (x,y) o tríos ordenados (x,y,z), en ambos casos el origen del
sistema de referencia será el punto de intersección entre los dos o tres ejes y
será en relación a éste punto que se medirán las distancias.
Formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente
perpendiculares que se cortan en el origen. Las coordenadas de un punto
cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el punto y
el origen sobre cada uno de los ejes.

Sistema de coordenadas
cartesianas
Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y
x=0, rectas que se cortan en el origen O cuyas coordenadas son,
obviamente, (0,0). Los ejes dividen el espacio en cuatro
cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de
positivo a negativo. Las coordenadas de un punto cualquiera
vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen
y el punto sobre cada uno de los ejes.
En el espacio 3D, la posición de un punto en coordenadas
cartesianas, vendrá dada por un trío ordenado de números que
nos indicarán los valores de x, y y z, en ese orden

Sistema de coordenadas
cartesianas en el espacio
Los planos de referencia XY (z=0) XZ (y=0) e YZ (x=0) dividen el espacio en 8
octantes en los que como en el caso anterior los signos de las componentes cambian
de positivo a negativo según sean los valores de las tres coordenadas.
Muchas de las formulas que Ustedes
conocen del espacio R2, tienen su extensión
en el espacioR3. Así por ejemplo la distancia
entre dos puntos en el plano es:

Sistema de coordenadas
cartesianas
Ejemplo: Coordenadas cartesianas en el plano

Sistema de coordenadas
polares
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera
coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la
segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
El sistema de referencia está compuesto por un único punto “O” del plano, al que se
denomina origen o polo, y una recta que pasa por este punto, llamada eje polar
(equivalente al eje “x” en el sistema cartesiano). Así, todo punto “P” del plano tendrá la
forma de par ordenado (r,θ), donde “r” –llamada coordenada radial o radio vector- es la
distancia de “P” al origen y TETA –llamada coordenada angular o ángulo polar- es el
ángulo formado entre el eje polar y la recta OP; como convención se ha establecido que
θ crece en sentido anti horario y decrece en sentido horario y que el origen está ubicado
en el (0,0°).

Sistema de coordenadas
polares
Ejemplo: Sistema de coordenadas polares

Sistema de coordenadas
cilíndricas
Generalización del sistema de coordenadas polares plano, al que se añade un tercer
eje de referencia perpendicular a los otros dos.
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas tridimensional en el
que la ubicación de un punto en el espacio está determinada por una distancia, una
altura y un ángulo.
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y un
punto “O”, denominado origen, que corresponde al punto de intersección de los
tres ejes. De esta forma un punto “P” queda representado por el trio ordenado (ρ,
φ, z), donde “ρ” –coordenada radial- es la distancia de “P” al eje “z”, “φ” –
coordenada acimutal- es el ángulo formado entre el eje “x” y “RO” y “z” –
coordenada vertical- es la distancia desde “P” al plano “x”-“y”.

Sistema de coordenadas
cilíndricas
Ejemplo: Sistema coordenadas cilíndricas

Sistema de coordenadas
esféricas
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas tridimensional basado en la
misma idea que las coordenadas polares, en este sistema la ubicación de un punto en el
espacio está determinada por una distancia y dos ángulos.
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y un
punto “O”, denominado origen, que corresponde al punto de intersección de los tres ejes.
De esta forma un punto “P” queda representado por el trio ordenado (r, θ, φ), donde “r” es
la distancia de “P” al origen, “θ” -colatitud- es el ángulo formado entre el eje “z” y la recta
“OP” y “φ” – azimut- es el ángulo formado entre el eje “x” y la proyección de la recta “OP”
en el plano x-y
El sistema de coordenadas esféricas es un cambio total de las variables en el espacio
tridimensional. El cambio se da por las siguientes fórmulas:

Las nuevas variables anteriores representan la posición de un punto respecto a la
distancia que hay entre este y el origen y los ángulos que se forman entre ese vector y el
eje z y la proyección del mismo vector y el eje x. Al igual que en coordenadas cilíndricas,
el sistema de referencia puede cambiar.
Sistema de coordenadas
esféricas

Sistema de coordenadas
esféricas
Ejemplo: Sistema coordenadas esféricas

Transformación de coordenadas de
cartesianas a polares
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ),
necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.

Transformación de coordenadas de polares a
cartesianas
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y)
necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:

Transformación de coordenadas de
cartesianas a cilíndricas
De cilíndricas cartesianas:

Transformación de coordenadas de
cartesianas a esféricas
De esféricas a cartesianas:

Transformación de coordenadas de esféricas a
cilíndricas
De cilíndricas a esféricas

Simetría
En Geometría, se denomina simetría a la correspondencia exacta que se registra en la
disposición regular de las partes o puntos que conforman un cuerpo o figura, considerado
con relación a un centro, eje o plano.
Tipos de simetría
El carácter de las funciones puede ser de dos tipos:
–Simetría respecto del eje OY, también llamada simetría par: Diremos que una función tiene
simetría para cuando la función f(x)=f(-x); ; es decir, cuando cada valor de la función en un
punto, coincide con el valor de la función en el inverso. Por ejemplo, si f(5)=1, entonces f(-
5)=1.

Simetría respecto del origen, también llamada simetría impar: Diremos que una función tiene
simetría impar cuando la función f(x)=-f(-x). Cuando una función tiene este tipo de simetría,
decir que para cada valor de la función en un punto, es el valor opuesto del punto opuesto. Por
ejemplo si f(2)=6, entonces f(-2)=-6.
De forma gráfica, nos podemos dar cuenta cuando si doblamos el papel por el eje OX, la
aparentemente tiene simetría con respecto del eje OY o simetría par; y si la volviésemos a doblar
por el eje OY, las funciones se superpondrán.
Simetría

Funciones de varias variables
Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le
corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la definición matemática de una función. Existen
funciones comunes que poseen una variable independiente (x) que cambia libremente sin depender de
ningún parámetro y una variable dependiente (y) que cambia respecto a x. El cambio que sufre y está
definido por una expresión algebraica que funge como regla.
Se puede entender a una función como una máquina por la que entra algo y sale algo diferente,
procesado:
La imagen anterior lo ilustra perfectamente. La función genera resultados para y = f(x) dependiendo el
valor que tome x. En el mundo real, estas funciones describen fenómenos que dependen de solo una
variable. Por ejemplo, en cinemática, la rama de la física que estudia el movimiento sin preocuparse por
las causas que lo provocan, la posición de un objeto se define por funciones que varían respecto al
tiempo t. Son funciones de una única variable dependiente. Sin embargo, existen fenómenos de la
naturaleza cuyo comportamiento no depende únicamente de un solo factor. Estas son funciones de varias
variables.

Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de
función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variables
independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La
idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de
puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.
Funciones de varias variables
Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su
comportamiento y entenderlo con más claridad. Las funciones de
varias variables no están exentas de ello. El problema es que no
todas las funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho,
el máximo número de variables que permite graficar es de tres
variables. ¿Por qué? Pues porque dimensionalmente no se pueden
observar más de tres variables interactuando entre sí, o al menos no
gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres
variables es el siguiente:

Funciones de varias variables
Ejemplos:

Dominio de una función de varias variables
El dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la función sin que
esta se indefina.
El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos variables, pero
ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables del argumento. Es decir,
el dominio depende de como interactúan estas variables. Por ejemplo:
Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de
valores de x y de y tal que ambas variables pueden
tomar cualquier valor de los números reales, puesto que
la función f jamás se indefinirá. La manera formal de
escribirlo es:

Conclusión
Los sistemas de coordenadas abren las puertas a representar de manera matemática
objetivos en el plano y el espacio para su comprensión dependiendo el caso utilizando
ya sean las cartesianas, polares, cilíndricas o esféricas nos permitirán adquirir una gran
fuente de información de una representación grafica de dicho objeto.
Las funciones de varias variables son una gran ayuda en problemas tales como física
donde permiten calcular datos que son mayormente influencias por mas de una variable
algún ejemplo como el gasto mensual de electricidad de una casa se ve influenciado por
diferentes aspectos y aquí es donde entran las funciones de varias variables para ayudar
a solucionar estas incógnitas

Anexos
https://www.youtube.com/watch?v=P
8QHsN-dS1s
https://www.youtube.com/
watch?v=y9U-
TWcmCtA&t=384s
https://www.youtube.com/watc
h?v=uCm3HvF-EtQ&t=143s

Bibliografía
Gustavo A.(2015) Funciones de varias variables. Recuperado de:
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/
Ana M.(2011) Sistemas de coordenadas. Recuperado de:
https://sites.google.com/site/maritareas/unidad-1/sistemas-cordenados
Anónimo. Sistema de coordenadas en el espacio. Recuperado de:
https://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIV/UT1/UT1_A.htm
Escalares.net. Sistema de coordenadas. Recuperado de:
https://www.escolares.net/fisica/sistema-de-coordenadas/
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http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/coordenadas-polares-
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Camilo S. Calculo vectorial y varias variables. Recuperado de:
https://www.tareasplus.com/calculo-vectorial-y-varias-variables/transformacion-
coordenadas-cartersianas-a-esfericas/Camilo-Serna
Anónimo. Simetría. Recuperado de: https://www.significados.com/simetria/