Cálculo de integrales múltiples y sus aplicaciones
1. INTEGRALES MÚLTIPLES
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
M.P.P. PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA
ACESGECORVT
CENTRO REGIONAL DE APOYO TECNOLÓGICO VALLES DEL TUY
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ALUMNO:
CARRASQUEL ANGEL
V-18.542.389
PROFESORA:
ING. BRAVO MAYIRA
2. INTEGRALES ITERADAS
Las integrales iteradas o integrales múltiples son una
extensión natural del concepto de integral definida de
Riemann sobre un intervalo a, b. Resultarán de especial
interés por sus aplicaciones, las extensiones a funciones
de dos variables sobre dominios acotados de R2
(integral doble) y de funciones de tres variables sobre
dominios acotados de R3 (integral triple).
3. INTEGRALES ITERADAS
Las notaciones usuales que se emplean para este tipo de integrales, en coordenadas
cartesianas, son:
4. INTEGRALES ITERADAS
En principio, el cálculo de una integral múltiple (en varias variables) se
reduce a ir calculando integrales de una variable en el orden
especificado.
El diferencial nos informa acerca del nombre de la variable con respecto
a la que debemos integrar y su posición indica el orden de integración,
correspondiendo los diferenciales más interiores a las integrales que hay
que calcular primero.
5. INTEGRALES ITERADAS
La mayor parte de las integrales múltiples que
aparecen en las aplicaciones son integrales
dobles o integrales triples, esto es, con 2 o 3
variables. En cuanto a la integración iterada,
el número de variables es irrelevante.
6. TABLA DE
INTEGRALES
INMEDIATAS
Las integrales inmediatas son
las que salen directamente
por la propia definición de
integral, es decir, la que se
puede resolver de forma más
o menos intuitiva pensando en
una función que cuando se
derive me dé la que está en la
integral.
7. TEOREMA DE FUBINI
El Teorema que vamos
a enunciar nos
proporciona una
importante herramienta
para el calculo de
integrales múltiples , ya
que permite reducir el
calculo de una integral
múltiple sobre al
cálculo de n integrales
ordinarias.
8. INTEGRALES DOBLES
Al igual que las integrales de una variable sirven para calcular el área bajo una gráfica,
las integrales dobles sirven, para calcular volúmenes. Concretamente, cuando F >= 0, la
integral
es el volumen bajo la gráfica en el rectángulo [a, b]*[c, d], esto es,
Lo mismo se cumple en regiones más generales. Es decir, si R es una región del plano y
F= F (x, y) es una función no negativa en ella, entonces:
Sí F=1, entonces como el volumen es el área de la base por la altura (uno en este caso)
Para dotar de significado a ∫∫R F hay que transformarla en una integral iterada como las
de antes con unos límites específicos. Para ello podemos dividir la región R en “rodajas”
(secciones) verticales u horizontales.
10. INTEGRALES TRIPLES
Para definir una integral para
una función de tres variables,
análogamente a integrales
dobles, deberíamos pensar
que nuestra región de
integración se extendería a la
forma [a,b]×[c,d ]×[e, g] ; es
decir, ahora se tendría un
paralelepípedo, una región
de , la cual se la denota
como Q:
11. INTEGRALES TRIPLES
Si hacemos particiones de Q, la
ijk-ésima partición tendría la forma:
Y su volumen sería:
Una función de tres variables
w = f ( x, y, z) definida en Q, para
esta partición sería de la forma:
12. INTEGRALES TRIPLES
Donde representa un punto cualquiera de la ijk–ésima partición.
Para todo Q, habría que considerar una cantidad infinita de particiones, es decir:
Se le denomina la Integral Triple de f en Q y se la denota de la siguiente manera:
Además, si existe este límite decimos que f es integrable en Q.