El documento explica los conceptos de límites infinitos y límites al infinito. Define los símbolos que representan cuando una función tiende a infinito o menos infinito, ya sea de forma positiva o negativa. También define los límites cuando una función tiende a un número fijo al acercarse al infinito. El documento incluye ejemplos y gráficas para ilustrar estos conceptos.

1. LIMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO
El símbolo se lee infinito, es de carácterposicional, no representa ningún
número real.
Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de
valores positivos, se escribe (que se lee: tiende a más infinito), y si
decrece a través de valores negativos, se denota como (que se lee:
tiende a menos infinito).
Similarmente, cuando crece indefinidamente y toma valores positivos cada
vez mayores, se escribe , y si decrece tomando valores negativos
escribimos .
Consideramos la función definida por para . Vamos a
determinar el comportamiento de la función cuando cuando y
cuando . Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:
a.
En este caso, cuando , la función tiende a tomar
valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como
, es decir
b.

2. Ahora, cuando toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función
tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir,
cuando , o sea .
c.
Ahora observe que es la que tiende a tomar valores positivos cada vez
mayores, obteniendo como resultado que tiende a valores cercanos a
cero.
Así , o sea, cuando .
d.
En forma similar a la tabla anterior se tiene que cuando es
decir,
Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función en
la forma siguiente.

3. Consideramos ahora la función definida por para ,
cuya representación gráfica es la siguiente:
Podemos decir que:
a. y
b. y
Ejercicio
Determine: , , , , , ,
utilizando para ello la función .

4. Daremos ahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito.
Definición
Se dice que crece sin límite cuando tiende a , que se denota
, si para todo número real , (sin importar su magnitud),
existe tal que siempre que .
Gráficamente se tiene:
Esta definición nos dice que es posible hacer tan grande como se quiera, (es
decir, mayor que cualquier número positivo ), tomando suficientemente cerca
de .
Ejemplo
Consideremos la representación gráfica de la función definida por:

5. Demostremos ahora que
Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un existe tal que
.
Observe que: .
Luego, dado , escogemos de tal forma que se satisfaga que
.
Si tomamos, por ejemplo, cuando , es decir,
cuando .
Definición
Se dice que decrece sin límite cuando tiende a , que se denota por
, si para todo número real , existe una tal que

6. Gráficamente se tiene que:
La definición anterior afirma que es posible hacer menor que cualquier
número negativo , tomando suficientemente cerca de .
Ejemplo
Consideremos la representación gráfica de la función definida por
Demostremos ahora que
Para hacer la prueba debe establecerse que dado un , existe

7. siempre que
Observe que (el sentido de la desigualdad cambia
pues ).
Además .
Note que sí tiene sentido pues
Luego, si y solo si por lo tanto tomamos .
Así, dada , existe , tal que siempre que
Si por ejemplo, tomamos entonces o sea , por lo
que siempre que
Definición
Se dice que tiende a cuando tiende a por la derecha, y se
escribe , si se cumple que a cada número positivo , (tan
grande como se quiera), corresponde otro número positivo , (que depende
de ) tal que .
Similarmente, se dice que tiende a cuando tiende a por la izquierda y
se escribe si siempre que (Observe que es
mayor que cero pues ya que ).

8. -El comportamiento de la función definida por cuando , está
regido por la definición anterior.
Recuerde la representación gráfica de esta función hecha anteriormente.
-Los símbolos y se definen análogamente,
escribiendo en vez de . (note que si entonces )
Gráficamente se tiene:
En esta representación gráfica se tiene que tanto al acercarnos a por la derecha
como por la izquierda, los valores de la función son negativos cada vez mayores,
(mayores en el valor absoluto), es decir, se tiene que y
cuando
Definición
Se dice que cuando es decir, si para cada
número positivo existe otro número positivo , tal que
.

9. Podríamos representar gráficamente este comportamiento de una función como
sigue:
Observe que y que
Podemos anotar que
Ejemplo:
Demostraremos que
Para probar este límite, se debe establecer que dado un , debe existir
siempre que
Ahora, como si y solo si , entonces, para cualquier número ,
podemos tomar de tal forma que se cumpla que .
Por ejemplo, si entonces . Esto significa que es
mayor a 1000 siempre que sea mayor que 10.
La función f definida por , con , tiene como representación gráfica
la siguiente

10. Nota: En forma similar a la definición anterior pueden definirse
, y
En las siguientes representaciones gráficas vamos a ejemplificar el
comportamiento de una función f en el que se evidencien los límites anteriores:
a.
b.

11. c.
Ejercicio:
En cada caso, utilizando el dibujo que se da, determine los límites que se indican:
a) b) c) d)
a) b) c) d)
Consideraremos ahora la función f definida por

12. En las siguientes tablas vamos a evidenciar su comportamiento cuando y
cuando :
a.
b.
En ambas tablas puede observarse que cuando toma valores positivos o valores
negativos cada vez mayores, (mayores en valor absoluto), se tiene que la
función tiende a acercarse a 2, por lo que se puede escribir que:
y
A continuación hacemos la respectiva representación gráfica de la función :

13. Damos ahora las definiciones para los límites cuyo resultado es una constante
cuando y cuando
Definición
Sea una función con dominio tal que para cualquier número existen
elementos de en el intervalo .
El límite de cuando tiende a más infinito es , que se representa
, si para cada existe un número tal que
para toda y .
Ejemplo
Probar que
Hay que demostrar que para existe tal que si
Se tiene que
Si entonces por lo que:
Luego, dada se cumple que si y solo si , o sea, si
, por lo que podemos tomar de tal forma que se verifique
que siempre que .

14. Por ejemplo, si entonces por lo que:
La representación gráfica de la función es la siguiente:
Definición
Sea una función con dominio tal que para cualquier número , existen
elementos de en el intervalo .
El límite de cuando tiende a menos infinito es , que se representa
, si para todo existe un número tal
que para cada y .