límite en el infinito

1. Instituto Universitario de Tecnología
Antonio José de Sucre
Extensión Barquisimeto
Delys Rodríguez
Matemática I
Sección: S1

2. 2
LÍMITES DE FUNCIONES
Limites infinitos
Límites en el infinito

3. tiempo
(años)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
clientes
f
¿Cuál es el máximo número esperado de
clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
Analicemos …
En una empresa el número de clientes a lo largo de los años
evoluciona con arreglo a la siguiente gráfica
¿ ?
¿ ?
50
+∞→t
Entonces: 50)(lim =
+∞→
tf
t
Esto es un límite en el infinito, que nos indica a qué valor
se aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
3

5. Se dice que es un límite infinito si f (x)
aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.
Técnicamente, este límite no existe, pero se puede
dar más información acerca del comportamiento
de la función escribiendo:
5
Límites infinitos
lim ( )
x a
f x
→
= −∞
lim ( )
x a
f x
→
lim ( )
x a
f x
→
= +∞ si f (x) crece sin límite cuando x→a.
si f (x) decrece sin límite cuando x→a.

6. 6
Para una función dada f (x), hay cuatro casos, en los que asíntotas
verticales se pueden presentar:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Límites infinitos

7. 7
Si los valores de la función f (x) tienden al número L
cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim ( )
x
f x L
→+∞
=
Análogamente, si los valores de la función f (x) tienden
al número M cuando x disminuye indefinidamente,
se escribe:
lim ( )
x
f x M
→−∞
=
Límites en el infinito

8. 8
y = f (x)
y
y = L
y = M M
L
lim ( )
x
f x L
→+∞
=
lim ( )
x
f x M
→−∞
=
x
Por ejemplo….
Límites en el infinito

9. 9
Para funciones polinómicas
1
1 1 0( ) n n
n nf x a x a x a x a−
−= + + + +K
lim ( ) lim n
n
x x
f x a x
→±∞ →±∞
 =  
Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el
infinito, se halla el límite del término de mayor grado
(término dominante).
Ejemplos:
a) 32 59
lim
3 6x
x x
→+∞
 
− + −  
b) )5( 24
lim +−+−
+∞→
xxx
x
Límites en el infinito

10. 1
1 1 0
1
1 1 0
( )
n n
n n
m m
m m
a x a x a x a
f x
b x b x b x b
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +
K
K
1
1 1 0
1
1 1 0
lim ( ) lim
n n
n n
m
m mx x
m m
m
a x a x a x a
xf x
b x b x b x b
x
−
−
−→±∞ →±∞
−
 + + + +
 
=  
+ + + + 
  
K
K
Divida el numerador y denominador entre el x elevado al
mayor grado del denominador y calcule el límite de la
nueva expresión:
Resolución:
Para funciones racionales
10
Límites en el infinito

11. 11
Para funciones racionales:
1
1 1 0
1
1 1 0
( )
n n
n n
m m
m m
a x a x a x a
f x
b x b x b x b
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +
K
K
Resolución simplificada:
Calcular el límite, tomando en cuenta el término
dominante del numerador y del denominador:
m
m
n
n
x xb
xa
lim±∞→
Límites en el infinito