2. Cálculo
INDICE
Definición de la derivada
Método de los 4 pasos para obtener la derivada
Reglas de derivación
Notaciones de la derivada
La derivada de la suma o resta de dos o más funciones
La derivada del producto de dos funciones
La derivada del cociente de dos funciones
La derivada de una función elevada a una potencia
La derivada de funciones trigonométricas
3. Definición de la derivada
Se puede definir a la derivada como el valor limite de la relación entre el
incremento del valor de una función y el incremento de la variable independiente,
cuando este tiende a cero
𝑓′
𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
4. Método de los 4 pasos para obtener la
derivada
PASO DESARROLLO
1 Incrementar la función original. Si f(x) es una función real y h un
incremento, entonces f(x + h)
2 Restar a la función incrementada la función original para obtener el
incremento de la función:
f(x + h) – f(x) = ∆y.
3 Dividir la diferencia de la función incrementada y la función original
entre el incremento:
f(x + h) – f(x) = ∆y
h ∆x
4 Evaluar el límite cuando h→0, por lo tanto:
f’(x)= lím(f(x + h) – f(x))
h→0 h
5. Reglas de derivación
Teorema 1: La derivada de una función constante s cero
Teorema 2: La derivada de una función identidad es 1
Teorema 3: La derivada de una variable multiplicada por una constante, es el
valor de la constante
Teorema 4: La derivada de una variable elevada a una potencia n es igual a la
variable multiplicada por n y elevada a la n-1
6. Notaciones de la derivada
El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el
primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos
(sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e
Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y
otro país.
Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz
estudiando la velocidad de un móvil.
7. La derivada de la suma o resta de dos o
más funciones
Si h(x) es la suma o la diferencia de dos funciones, entonces su derivada será:
ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥
ℎ′
𝑥 = 𝑓′
𝑥 ± 𝑔′
𝑥
En otras palabras, la derivada de la suma o resta de dos funciones, es igual a la
suma o resta de ambas funciones
8. La derivada del producto de dos funciones
Para obtener la derivada del producto de dos funciones de manera directa, se
recomienda utilizar el siguiente teorema:
Si:
h(x)=f(x)*g(x)
h’(x)=f(x)g’(x)+g(x)f’(x)
En otras palabras, la derivada de un producto de dos funciones es igual a la
primera función multiplicada por la derivada de la segunda, más la segunda
función multiplicada por la derivada de la primera
9. La derivada del cociente de dos funciones
Para obtener la derivada de una división de funciones de manera directa se
recomienda, se recomienda hacer uso del siguiente teorema:
Si h(x)=
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
h’(x)=
𝑔 𝑥 𝑓′ 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥) 2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒; 𝑔(𝑥) ≠ 0
10. La derivada de una función elevada a una
potencia
La regla de la cadena se aplica cuando una función está elevada a una potencia;
si u es un polinomio diferenciable y n es un número real, entonces:
𝑑
𝑑𝑥
(𝑢) 𝑛= 𝑛𝑢(𝑛−1)
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
