La derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente en un punto y se obtiene como el límite del cociente entre el cambio en la función y el cambio en la variable independiente cuando este último tiende a cero. Se presentan ejemplos de calcular la derivada de funciones usando esta definición.
1. Ing. Santiago Tisalema,Mg.
TEMA No 11. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
La derivada de una función es una de las herramientas más poderosas en las matemáticas. En efecto,
es indispensable para las investigaciones no elementales tanto en las ciencias naturales como en las
ciencias sociales y las humanidades.
DEFINICIÓN.
La derivada de una función real de variable real continua, se obtiene como el límite del cociente del
incremento de la función entre el incremento de la variable independiente, cuando el incremento de la
variable independiente tiende a cero, esto es:
Derivada de
x
x
f
x
f
x
)
(
lim
)
(
0
También la derivada de una función se expresa como:
Derivada de
x
x
f
x
x
f
x
f
x
)
(
)
(
lim
)
(
0
A efecto de simplificar la notación, es común representar a x
mediante la letra h, con lo cual se
tiene:
Derivada de
h
x
f
h
x
f
x
f
h
)
(
)
(
lim
)
(
0
NOTACIÓN.
La derivada de una función real de variable real con regla de correspondencia )
(x
f
y se denota de
las siguientes seis formas:
)
(x
f
Dx ,
y
Dx , )
(
' x
f , Y’,
dx
x
df )
(
, dx
dy
La derivada de una función en cualquiera de sus puntos, geométricamente representa la pendiente de
las rectas tangentes a la curva en esos puntos. Esto es
)
(x
f
D
m x
T
2. Ing. Santiago Tisalema,Mg.
Ejemplo 1: Obtener la derivada de la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 4𝑥2
+ 2𝑥 − 3
Aplicando la definición de derivada:
𝐷𝑥𝑓(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
Resulta
= lim
ℎ→0
4(𝑥 + ℎ)2
+ 2(𝑥 + ℎ) − 3 − (4𝑥2
+ 2𝑥 − 3)
ℎ
= lim
ℎ→0
4(𝑥2
+ 2𝑥ℎ + ℎ2) + 2𝑥 + 2ℎ − 3 − 4𝑥2
− 2𝑥 + 3
ℎ
= lim
ℎ→0
4𝑥2
+ 8𝑥ℎ + 4ℎ2
+ 2𝑥 + 2ℎ − 3 − 4𝑥2
− 2𝑥 + 3
ℎ
S
implificando:
= lim
ℎ→0
8𝑥ℎ + 4ℎ2
+ 2ℎ
ℎ
Realizando la división
= lim
ℎ→0
(8𝑥 + 4ℎ + 2)
Finalmente, calculando el límite cuando ℎ → 0 se tiene la derivada de la función
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8𝑥 + 2
Resumen: La derivada de una función real de variable real continua, se obtiene como el límite del
cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable independiente, cuando el
incremento de la variable independiente tiende a cero.
Ejercicios de práctica.
Utilizando la definición, calcular la derivada de las siguientes funciones.
1.- 𝑓(𝑥) = 5 − 2𝑥 + 5𝑥2
resp:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2 +10x
2..- 𝑓(𝑥) = 5 − 2𝑥 + 5𝑥2
