La derivada de una función se define como el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando tiende a cero. Para encontrar la derivada, la regla de los cuatro pasos consiste en: 1) sustituir la variable independiente por su incremento, 2) restar la función original, 3) dividir el incremento de la función entre el incremento de la variable, y 4) calcular el límite cuando el incremento tiende a cero. La regla de L'Hôpital permite evaluar límites indeterminados derivando numerador y denominador.

1. Que es la derivada y la regla de los 4 pasos
La derivada de una función se define como el límite de la razón del
incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando
tiende a cero.
Para encontrar la derivada de una función se utiliza la Regla General para la
Derivación que consta de cuatro pasos:
Primer paso.- Se sustituye en la función “X” por (X + ΔX), y “Y” por (Y + ΔY).
Segundo paso.- Se resta a la nueva función el valor de la función original,
obteniendo únicamente Δy ( incremento de la función ).
Tercer paso.- Se divide la nueva ecuación Δy (incremento de la función )
entre Δx ( incremento de la variable independiente).
Cuarto paso.- Se calcula el límite cuando Δx (incremento de la variable
independiente ) tiende a cero.
Ejemplo 1: Y = x3 + 2x2 – 3x – 1
Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el
Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.
Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función
original.Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y
terminado se le restará la función original al resultado.
Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Y + ∆y = (x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) + 2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x
–1
3
2
2
Y + ∆y = x + 3x ∆x + 3x∆x + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x –
1
∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x
Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es
decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)
∆y/∆x = 3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3
Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la

2. función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se
multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)
∆y/∆x = 3x2 + 3x[0] + [0]2 + 4x + 2[0] – 3
∆y/∆x = 3x2 + 4x – 3
Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos
para derivar una ecuación.
Regla de cadena
Si U es una function deferenciable de (x), y (f) es una funcion diferenciable de
u, entonces f es una funcion diferenciable de x.
=
Ejemplo:
1.
3(1
2x
6x(
2. y=(
y’=
-1
3.y=
y’=(10x
4.y=

3. y’=
5.y=
y’=
Funcion implicita
Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) =
0 en lugar de la habitual.
Por ejemplo, puede probarse que la
siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de
las variables x e y:
entre
Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el
caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva
directamente, para la variable dependiente se considera como una función
que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función
, implícita, si queremos calcular la derivada
de y respecto de x:
.
Si consideramos
independiente x y
dependiente y, dado que
es una función en términos de la variable
es una función en términos de la variable
, entonces para obtener la derivada:
Ejemplo:

4. Obtener la derivada de:
El término
se puede considerar que son dos funciones,
por lo que se derivará como un producto:
El término
El término
y
se deriva como:
se deriva de forma normal como:
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0,
como corresponde a un valor constante.
El término
se puede considerar como un producto y se deriva
como:
Al unir todos los términos se obtiene:
Ordenando:
Factorizando respecto a (
) los valores son:

5. Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
Investigacion de L’Hopital
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de
l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli1 es una regla que usa derivadas para
ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo
XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 -1704), quien
dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour
l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito
sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe
a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró
Enunciado o teorema de L’Hopital
Este enunciado o en este caso regla de L’Hopital como consecuencia del
teorema de valor medio de Cauchy en el caso de las indeterminaciones
como:
ó
La demostracion o representacion de lo anterior seria lo siguiente:
“Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0,
con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el
límite de f/g (en c) y es igual al anterior’. Por lo tanto,
O sea que cuando en la funcion del limite en dado caso que el resultado te
de cero sobre cero o infinito sobre infinito , se aplicara la regla de L’Hopital
que dice de la funcion se van a derivar las funciones f y g.
Como por ejemplo esta aplicacion sencilla de la dicha regla:

6. Que en este caso se muestra que la primera operacion se obtiene una
indeterminacion por que se hizo de manera directa pero al hacerla con la
regla se aprecia que a la funcion seno de x sobre x se deriva por el coseno
de x sobre 1 que daria igual a 1/1=1 y se obtiene un resultado determinado.
Mas ejemplos de esta regla…
EJEMPLO # 1
EJEMPLO #2

7. EJEMPLO # 3
EJEMPLO # 4
EJEMPLO # 5
L’Hopital