Funciones algebraicas y trascendentes

1. Funciones algebraicas
• Una función polinomial es de la forma
donde , y .
• Una función racional es de la forma donde y son funciones
polinomiales.
Ejemplos
1. La potencia eléctrica medida en watts en un circuito con dos resistencias en
serie, conectadas a una fuente de 25 volts, donde una de las resistencias es de 10
ohms , está dada por la ecuación
2. La media armónica de dos números y está dada por la función
3. La iluminación que proporciona una fuente de luz es inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia desde ella. Un objeto situado a metros de la fuente
recibirá una iluminación de donde es la iluminación a la salida de
la fuente.
Las funciones polinomiales, cocientes de polinomios, raíces de polinomios o cualquier
combinación de las anteriores usando los símbolos , , , , es llamada función
algebraica.
Ejemplos
1. La velocidad del sonido en el aire depende de la temperatura y está dada por la
función donde se mide en m/seg y en grados
centígrados.
2. La tercera ley de Kepler puede ser escrita como donde es la
distancia media del planeta al Sol y es el periodo, es decir el tiempo que tarda
el planeta en dar una vuelta alrededor del Sol

2. Funciones trascendentes
• Funciones trigonométricas:
o Para ángulos menores que un ángulo recto, las funciones seno y coseno
se definen a partir de un triángulo rectángulo, como en los cursos de
trigonometría
Hay dos maneras usuales de medir los
ángulos: en grados y en radianes. En cálculo se utilizan los radianes, ya
que de esta manera las fórmulas de derivación de las funciones
trigonométricas resultan más simples. El radián es la medida angular
definida que un ángulo de un radian En un círculo de radio 1, un ángulo
con vértice en el centro del círculo, que subtiende un arco de longitud
mide radián, así, como el perímetro del circulo unitario mide un
ángulo que da una vuelta completa mide radianes. Así que
corresponden a radianes y podemos convertir grados a radianes y
viceversa utilizando una regla de tres. Un radián equivale a
Para definir el seno y el coseno de ángulos mayores de ( )
consideramos un segmento de longitud y lo enrollamos hacia la
izquierda en el círculo con centro en el origen y radio a partir del
punto El extremo de la cuerda enrollada en el círculo tiene
coordenadas: Observa que esta definición coincide
con la definición a partir del triángulo rectángulo para ángulos agudos,

3. ya que la hipotenusa del triángulo formado mide
Para se considera un segmento de longitud y se enrolla en el
círculo a partir del mismo punto pero girando hacia la derecha.
Observa que como el círculo unitario tiene perímetro igual a
entonces un segmento de longitud y uno de longitud terminan en
el mismo punto luego de enrollarse sobre el círculo, esto significa que
o El dominio de la función seno es el conjunto de los números reales, es
decir: Utiliza el graficador Función para ver su
gráfica. Escribe sen(x) o sin(x) en la regla de correspondencia.
o El dominio de la función coseno es el conjunto de los números reales, es
decir: Utiliza el graficador Función para ver su
gráfica. Escribe cos(x) en la regla de correspondencia.
El resto de las funciones trigonométricas se define a partir de las
funciones seno y coseno.
o La función tangente es su dominio es el conjunto
, ya que en los números
el coseno vale cero, así:
Utiliza el graficador Función para
ver su gráfica. Escribe tan(x) en la regla de correspondencia.
o La función cotangente es su dominio es el conjunto
, ya que en los números

4. el seno vale cero, así
Utiliza el graficador Función para ver su
gráfica. Escribe cot(x) en la regla de correspondencia.
o La función secante es como en el caso de la tangente,
los números donde el coseno vale cero no están en su dominio, así
Utiliza el graficador Función para
ver su gráfica. Escribe sec(x) en la regla de correspondencia.
o La función cosecante es como en el caso de la
cotangente, los números donde el seno vale cero no están en su dominio,
así, Utiliza el graficador Función para
ver su gráfica. Escribe csc(x) en la regla de correspondencia.
1. El movimiento vertical de un peso de masa kg que cuelga de un resorte
con elasticidad N/m está dado por
donde es el tiempo.
2. La fórmula que describe la onda de un sonido sencillo es
donde es el valor de la frecuencia por segundo
con la que oscila un diapasón y es la amplitud del movimiento de una
molécula de aire.
• Funciones trigonométricas inversas:
y Utiliza el graficador Función
para ver sus gráficas. Escribe asen(x), acos(x) y atan(x) en la regla de
correspondencia para ver las tres primeras. Como el graficador no tiene las otras

5. tres funciones, hay que hacer un poco de álgebra paa poder dibujarlas. Por
ejemplo, para hacemos así
Similarmente
• Funciones logarítmicas
El dominio de la función logaritmo natural o logaritmo base es , es decir:
Utiliza el graficador Función para ver su gráfica. Escribe
log(x) en la regla de correspondencia.
Como otro ejemplo de , veamos el caso :
El dominio de la función logaritmo base es , es decir:
Utiliza el graficador Función para ver su gráfica. Escribe
log10(x) en la regla de correspondencia.
Ejemplos
1. La acidez de una solución, conocida como el , está dado por
donde es la concentración de iones de hidrógeno. El
varía entre 0 y 14. El agua pura tiene un . Las sustancias ácidas tienen
y las sustancias alcalinas .
2. El nivel de intensidad de un sonido medido en decibeles está dada por
donde es la intensidad del sonido. La constante
es la intensidad del sonido más débil que puede percibir el oído humano.

6. 3. Para medir la intensidad de un movimiento sísmico se utiliza la escala Richter
que se define como donde es la amplitud de la mayor
onda sísmica del terremoto. mm. es la lectura sismográfica de un terremoto
de nivel cero a una distancia de kilómetros del epicentro.
• Funciones exponenciales La inversa
de la función logaritmo natural es la función exponencial, que está definida en
, es decir La exponencial es la inversa del logaritmo base
también conocida como exponencial con base . Utiliza el graficador Función
para ver su gráfica. Escribe exp(x) en la regla de correspondencia.
La inversa de la función logaritmo base es la llamada exponencial base . El
dominio de la función exponencial base es , es decir Como
ejemplo dibujamos el caso : Utiliza el graficador Función para ver su
gráfica. Escribe exp(x*log(x)) en la regla de correspondencia. Después veremos
por qué es así su fórmula.
Cualquier función de uno de los cuatro tipos anteriores es llamada función trascendente.
Ejemplos
1. Las sustancias radiactivas, se desintegran y por tanto, la cantidad de un material
radiactivo disminuye con el tiempo. La cantidad de material presente al
instante está dada por la fórmula donde es una constante,
que varía de acuerdo a la sustancia de que se trate, y es la cantidad al instante
2. La gráfica de la ecuación es la curva llamada catenaria que
describe la forma de un cable colgante. Por ejemplo, un cable de luz entre dos
postes describe una catenaria.

7. 3. Para medir la intensidad de un movimiento sísmico se utiliza la escala Richter
que se define como donde es la amplitud de la mayor
onda sísmica del terremoto. mm. es la lectura sismográfica de un terremoto
de nivel cero a una distancia de kilómetros del epicentro.
• Funciones exponenciales La inversa
de la función logaritmo natural es la función exponencial, que está definida en
, es decir La exponencial es la inversa del logaritmo base
también conocida como exponencial con base . Utiliza el graficador Función
para ver su gráfica. Escribe exp(x) en la regla de correspondencia.
La inversa de la función logaritmo base es la llamada exponencial base . El
dominio de la función exponencial base es , es decir Como
ejemplo dibujamos el caso : Utiliza el graficador Función para ver su
gráfica. Escribe exp(x*log(x)) en la regla de correspondencia. Después veremos
por qué es así su fórmula.
Cualquier función de uno de los cuatro tipos anteriores es llamada función trascendente.
Ejemplos
1. Las sustancias radiactivas, se desintegran y por tanto, la cantidad de un material
radiactivo disminuye con el tiempo. La cantidad de material presente al
instante está dada por la fórmula donde es una constante,
que varía de acuerdo a la sustancia de que se trate, y es la cantidad al instante
2. La gráfica de la ecuación es la curva llamada catenaria que
describe la forma de un cable colgante. Por ejemplo, un cable de luz entre dos
postes describe una catenaria.