Ejercicios y apuntes de matematica discreta

1. MATEMÁTICA
DISCRETA
Ing. Pablo Landeta López, Mgs
26-04-2021

2. AGENDA
• UNIDAD 2: LÓGICA DE CONJUNTOS
• TEMA 1: Teoría de Conjuntos
• Subtema 1: Tipos y relaciones entre conjuntos
• Subtema 2: Operaciones entre conjuntos.
• Subtema 3: Diagramas de Euler-Venn.
• TEMA 2: Algebra Booleana y Funciones lógicas
• Subtema 1: Leyes y propiedades del Álgebra Booleana
• Subtema 2: Compuertas lógicas
• Subtema 3: Mapas de Karnaugh

3. OBJETIVOS
Realizar operaciones basadas en teorías de conjuntos y algebra
booleana que permita desarrollar la habilidad de resolver
ejercicios lógicos aplicando lógica de conjuntos.

4. SUBTEMA 1:
Tipos y relaciones entre
conjuntos

5. Tipos y relaciones entre conjuntos
A fines del siglo XIX, Georg Cantor fue el primero en darse cuenta de la utilidad potencial de
investigar propiedades de los conjuntos.
Todos los objetos matemáticos (¡aún los números!) pueden definirse en términos de conjuntos y
el lenguaje de la teoría de conjuntos se utiliza en todos los temas matemáticos.
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si que se
llaman elementos del mismo.

6. Tipos y relaciones entre conjuntos
Φ: conjunto vacío o que carece de elementos
N: conjunto de los números naturales. Ej: 1,2,3,4
Z: conjunto de los números enteros. Ej: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ,5
Q: conjunto de los números racionales (entero / natural positivo), es decir fraccionarios.
R: conjunto de los números reales (incluye irracionales, racionales, trascendentes)
C: conjunto de los números complejos (suma de número real más imaginario)

7. Tipos y relaciones entre conjuntos
Un conjunto se denota encerrando entre llaves a sus elementos
A={1,2,3,,…,n}
B={p ∈ Z | p es par}
Se dice que A es un subconjunto de B (A esta contenido en B o A es una parte de B) y se denota A⊆B
si todo elemento de A lo es también de B.

8. Tipos y relaciones entre conjuntos
Conjunto finito: todos sus elementos pueden ser contabilizados
Ej:
{Letras del alfabeto} = {a, b, c, d, e, f, g, h…, x, y, z}
{Números enteros entre 20 y 25} = {21, 22, 23, 24}
Conjuntos infinitos: Se acepta que un conjunto sea infinito, lo importante es que debe de
estar bien definido.
Ej:
{Números impares enteros} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …}
{Números enteros positivos} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}
Conjuntos disyuntivos: Dos conjuntos se denominan disyuntivos cuando no existen similitud
en sus elementos.
Ej:
A= {A, B, C, D} y B= {G, H, I, J} son conjuntos disyuntivos.

9. Tipos y relaciones entre conjuntos
Conjunto vacío o nulo: Un conjunto vacío no contiene ningún elemento, se representa
de la siguiente manera: Φ o { }.
Conjunto unitario: Un conjunto unitario contiene un único elemento.
Ej:
A= {1}
B= {primera letra del alfabeto},
Conjunto referencial o universo: Un conjunto universo tiene varios subconjuntos
como parte de sus elementos se simboliza como “U”
Ej:
El conjunto universo son todos los números naturales
Conjuntos superpuestos: Se denominan conjuntos superpuestos, cuando dos
conjuntos contienen por lo menos un elemento en común.
Ej:
Si, A= {10, 20, 30, 40} y B= {40, 50, 60, 70}

10. Tipos y relaciones entre conjuntos
Conjuntos congruentes: Se denominan conjuntos congruentes cuando los elementos
de un conjunto tienen exactamente la misma relación en distancia con los elementos del
otro conjunto
Ej:
M= {2, 4, 6, 8, 10} y N= {4, 6, 8, 10, 12}
Conjuntos no congruentes: Se denominan conjuntos no congruentes cuando los
elementos de un conjunto no tienen una relación de distancia con los elementos del otro
conjunto.
Ej:
S= {1, 10, 35, 70, 105} y T= {2, 4, 6, 8, 10}
Conjunto homogéneo: Un conjunto es homogéneo cuando todos sus elementos
pertenecen a una misma clase, categoría o tipo.
Ej:
S= {3, 7, 19, 99, 499}
Conjunto heterogéneo: Un conjunto es heterogéneo cuando los elementos que lo
conforman son de diferente tipo, categoría o clase.
Ej: T= {1, A, azul, uva, bus, radio}

11. Tipos y relaciones entre conjuntos
Ej:
Ej:
Si r=1 entonces m=6(1)+12=18 Si s=6 entonces n=3(6)=18
Si r=2 entonces m=6(2)+12=24 Si s=8 entonces n=3(8)=24
Por tanto A⊆B

12. Tipos y relaciones entre conjuntos
Igualdad de conjuntos: Dados los conjuntos A y B, A es igual a B, que se escribe A = B, si y sólo si,
cada elemento de A está en B y cada elemento de B está en A.
Ej:
Si a=1 m=2(1)=2 si b=2 n=2(2)-2=2
Si a=2 m=2(2)=4 si b=3 n=2(3)-2=4
Por tanto A=B

13. Tipos y relaciones entre conjuntos
Equivalencia de conjuntos: Los conjuntos son equivalentes solo cuando ambos cuentan con el
mismo número de elementos, n (M) = n (N). El símbolo para expresar su equivalencia es ↔.
Ej:
M= {5, 6, 7, 8}, n (M) = 4, M tiene 4 elementos
N= {a, b, c, d}, n (N) = 4, N tiene 4 elementos
Entonces, M ↔ N

14. SUBTEMA 2:
Operaciones con conjuntos

15. Operaciones con conjuntos
Unión de conjuntos
La unión de dos conjuntos tales sean M y N, es el conjunto del total de elementos que
pertenecen al conjunto M o pertenecen al conjunto N o a los dos, se lo expresa de lo
siguiente manera: M U N. La operación se la puede definir M Ս N= {x ∈ U | x ∈ M o x
∈ N}
Ej: Sean A={1,2,3,6,7,8} y B={x|x ∈ Z+; x ≤ 12; x es par}
A U B= { 1,2,3,4,6,7,8,10,12}

16. Operaciones con conjuntos
Intersección de conjuntos
La intersección de dos conjuntos tales sean M y N, es el conjunto que se forma por los
elementos que los conjuntos tengan en común, es decir que pertenecen a los dos
conjuntos, se lo expresa de la siguiente manera: M Ո N. La operación se la puede
definir M Ո N = {x ∈ U | x ∈ M y x ∈ N}
Ej: Sean A={1,2,3,6,7,8} y B={x|x ∈ Z+; x ≤ 12; x es par}
A Ո B= { 2,6,8}

17. Operaciones con conjuntos
Diferencia de conjuntos
La diferencia de M y N o también denominado complemento relativo de N con respecto a M,
se trata del conjunto de los elementos que pertenezcan al conjunto M pero que no
pertenezcan al conjunto N, se expresa de la siguiente manera: M – N o M N. La operación
se la puede definir M - N = {x ∈ U | x ∈ M y x ∉ N}
Ej: Sean A={1,2,3,4,7,9,10} y B={3,4,5,6,7,8}
A - B= { 1,2,9,10} B – A={5,6,8}

18. Operaciones con conjuntos
Complemento
Al tener el conjunto universo “U” y otro conjunto cualquiera “M”, el conjunto de los
elementos que pertenezcan al conjunto universo “U” pero que no pertenezcan al conjunto
“M” se denomina complemento del conjunto M y se expresa de la siguiente manera: M’ o
Mc. La operación se la puede definir M’= {x ∈ U | x ∈ U y x ∉ N}
Ej: Sean U={x | x ∈ Z} y A={1,3,5,8}
A’= {x | x ∈ Z; x ∉ {1,3,5,8} } = {x | x ∈ Z; x ≠ 1; x ≠ 3; x ≠ 5; x ≠ 8}

19. Operaciones con conjuntos
Diferencia Simétrica
Teniendo dos conjuntos cualesquiera como M y N, el conjunto de los elementos que
pertenezcan al conjunto M o al conjunto N, pero que no pertenezcan a los dos, se
denomina diferencia simétrica de M y N, se expresa de la siguiente manera: M N o M + N.
Entonces M N{(M - N) U (N – M)}
Ej: Sean A={1,2,3,4,7,9,10} y B ={3,4,5,6,7,8}
A B = {1,2,5,6,8,9,10}

20. SUBTEMA 3:
Diagramas de Euler - Venn

21. Diagramas de Euler - Venn
En un curso de matemática y física se inscribieron 200 alumnos, 76 no aprobaron
el curso, 27 aprobaron matemáticas y 18 aprobaron matemáticas y física.
¿Cuántos aprobaron solo física?

22. Diagramas de Euler - Venn
En una encuesta realizada a 200 personas sobre 2 canales de televisión Tc y
Ecuavisa, 98 no observan Tc, 106 no observan Ecuavisa, 54 no observan ningún
canal. ¿Cuántas personas solo observan un canal?

23. Diagramas de Euler - Venn
Se realizó una encuesta a 500 personas sobre sus preferencias al tomar leche, café
o té: 265 toman leche, 107 dijeron que toman café, 88 toman té, 41 personas dijeron
tomar leche y café, además ninguna de las personas que prefieren té toma leche o
café. Se pide:
1) Conocer cuántas personas toman 2 de los líquidos mencionados.
2) Conocer el número de personas que toman café.
3) Conocer el número de personas que toman leche.
4) Conocer cuántas personas no toman ninguno de los líquidos mencionados.

24. Diagramas de Euler - Venn
Se realizó un curso vacacional para niños donde se ofertaron 3 deportes, futbol,
baloncesto y natación. Se tiene la siguiente información:
80 se inscribieron en futbol.
90 se inscribieron en baloncesto
80 se inscribieron en natación
30 se inscribieron en baloncesto y natación
25 se inscribieron en futbol y baloncesto
30 se inscribieron en futbol y natación
10 se inscribieron en los 3 deportes.
Se desea conocer ¿cuántos niños son en total?

25. Diagramas de Euler - Venn
En una encuesta a 250 personas acerca de las marcas de gaseosas Pepsi, Coca
Cola y Big Cola, se tiene los siguientes datos:
140 consumen Coca Cola
60 consumen Pepsi
50 consumen Big Cola,
10 consumen Pepsi y Big Cola
25 consumen Coca Cola y Big Cola
13 consumen Coca Cola y Pepsi
5 consumen las 3 marcas
Se desea conocer:
¿Cuántas personas no consumen ninguna
de las tres marcas?
¿Cuántas personas consumen solo la
marca Coca Cola?

26. TEMA 2
Algebra Booleana y funciones
lógicas

27. SUBTEMA 1:
Compuertas lógicas

28. LÓGICA BINARIA
La lógica binaria se ocupa de variables que adoptan dos valores discretos y de operaciones que
asumen un significado lógico. Los dos valores que pueden adoptar las variables reciben
diferentes nombres (verdadero y falso, sí y no, etcétera), pero para nuestros fines es conveniente
pensar en ellos en términos de bits y asignarles los valores 1 y 0.
La lógica binaria consiste en variables binarias y operaciones lógicas. Las variables se designan
con letras del alfabeto, como A, B, C, x, y, z, etcétera, y cada variable tiene dos y sólo dos
posibles valores: 1 y 0. Hay tres operaciones lógicas básicas: AND, OR y NOT.
1. AND: Esta operación se representa con un punto u omitiendo el operador.
Por ejemplo, x y=z o xy=z se lee “x AND y es igual a z”.
2. OR: Esta operación se representa con un signo más.
Por ejemplo, x+y=z se lee “x OR y es igual a z”
3. NOT: Esta operación se representa con un apóstrofo (y a veces con una testa).
Por ejemplo, x’=z (o ) se lee como “no x es igual a z”. La operación NOT también se llama
operación de complemento

29. Compuertas lógicas
Las compuertas lógicas son circuitos electrónicos que operan con una o más señales de entrada
para producir una señal de salida.

30. Compuertas lógicas

31. SUBTEMA 2:
Leyes y propiedades del
Álgebra Booleana

32. Leyes y propiedades del Álgebra Booleana
Leyes de idempotencia
𝒂+𝒂=𝒂 y 𝒂•𝒂=𝒂 para todo 𝒂∈𝑩
Leyes de dominancia
𝒂+𝟏=𝟏 y 𝒂•𝟎=𝟎 para todo 𝒂∈𝑩
Leyes de absorción
𝒂•(𝒂+𝒃)=𝒂 y 𝒂+𝒂•𝒃=𝒂 para todo 𝒂,𝒃∈𝑩
Leyes de De Morgan
(𝒂+𝒃)′=𝒂′•𝒃′ y (𝒂•𝒃)′=𝒂′+𝒃′ para todo 𝒂,𝒃∈𝑩
Doble complemento o ley de involución
(𝒂′)′=𝒂 para todo 𝒂∈𝑩
Ley de cero y uno
𝟎′=𝟏 y 𝟏′=𝟎

33. Funciones booleanas
Una función booleana descrita por una expresión algebraica consta de variables binarias, las
constantes 0 y 1, y los símbolos lógicos de operación.
Ej:

34. Minitérminos y maxitérminos
Una variable binaria podría aparecer en su forma normal (x) o en su forma complementada (x’).
Considere ahora dos variables binarias x y y que se combinan con una operación AND.
Cada variable podría aparecer en cualquiera de sus dos formas y hay cuatro combinaciones
posibles:
x’y’, x’y, xy’ y xy. Cada uno de estos cuatro términos AND es un minitérmino. Podemos combinar
n variables para formar 2n minitérminos.
Asimismo, n variables que forman un término OR, que dan 2n posibles combinaciones, llamadas
maxitérminos

35. Minitérminos y maxitérminos
Ej:

36. Suma de minitérminos
Ej: Exprese la función booleana F=A+B’C como suma de minitérminos

37. Producto de maxitérminos
Ej: Exprese la función booleana F=xy+x’z en forma de producto de maxitérminos

38. SUBTEMA 3:
Mapas de Karnaugh

39. Mapas de Karnaugh
El método del mapa ofrece un procedimiento sencillo y directo para minimizar las funciones
booleanas. Este método podría considerarse como una versión pictórica de la tabla de verdad. El
método del mapa también se conoce como mapa de Karnaugh o mapa K.
El mapa es un diagrama hecho de cuadrados, cada uno de los cuales representa un minitérmino de la
función. Puesto que cualquier función booleana se puede expresar como una suma de minitérminos,
toda función booleana se reconocerá gráficamente en el mapa por el área delimitada por los cuadrados
cuyos minitérminos están incluidos en la función

40. Mapas de Karnaugh
Ej:

41. Mapas de Karnaugh
Mapa con tres variables

42. Mapas de Karnaugh
Mapa con tres variables
Ej: Simplifique la función booleana Ej: Simplifique la función booleana

43. Mapas de Karnaugh
Mapa con cuatro variables

44. Mapas de Karnaugh
Mapa con cuatro variables
Ej: Simplifique la función booleana

45. Mapas de Karnaugh
Mapa con cuatro variables
Ej: Simplifique la función booleana

46. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Espinosa Armenta, R. (2010). Matemáticas Discretas. ALFAOMEGA.
Richard, J. (2015). Matemáticas Discretas. PEARSON.
T, V. (2008). Matemáticas Discretas con Teoría de Gráficas y Combinatoria. MC GRAW HILL.
Morris, M (2003). Diseño Digital. Pearson Educación

47. Muchas Gracias