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1 taller modelación matemática 2018-1 UNAL

El documento presenta tres casos de estudio para modelación matemática con ecuaciones diferenciales ordinarias. Para el primer caso, sobre un sistema de enrollamiento, se debe construir un modelo matemático, implementarlo computacionalmente y analizar los efectos de cambios en los parámetros. Para el segundo caso, sobre vibraciones en un automóvil, se debe presentar un modelo lineal, calcular la solución analítica y numérica, y determinar la velocidad de los asientos. Para el tercer caso, sobre contaminación en reservorios acuíferos, se debe construir

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Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica
Taller 01 Sem I - 2018 Modelación Matemática
MODELOS BASADOS EN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Nombre estudiante Código Grupo
Puntos importntes:
Con el fín de analizar el sistema acoplado, y dadas las consideraciones anteriores, su grupo debería:
En todos los casos de estudio, y donde corresponda, su grupo deberá presentar coherente y claramente los
diferentes pasos del proceso de modelación, así como una clara argumentación de las simplificaciones o
suposiciones usadas para la construcción y/o estudio de los diferentes casos y modelos.
Debe siempre indicarse de forma explícita en el texto el o los principios de conservación usados
Deben incluirse los códigos fuente de cualquier modelo computacional elaborado (independiente del lenguaje)
Los informes impresos deberán tener como portada la presente hoja. (SIN ESTA HOJA DE PORTADA NO
SE CALIFICARÁ EL TALLER)
La calidad de la presentación de los informes escritos será especialmente considerada en la calificación.
Esto incluye la calidad, resolución y claridad de los gráficos, así como de las conclusiones que se extraigan de
ellos.
Los casos de estudio del presente taller, y sus respectivas ponderaciones de calificación son:
Caso de estudio Ponderación
Sección Caso 1 33 %
Sección Caso 2 33 %
Sección Caso 3 34 %
Fecha de entrega: Lunes 16 de Abril de 2018
Fecha de entrega extendida: Viernes 20 de Abril de 2018 (Reducción 20 % en la calificación final) Entrega debe
incluir:
Reporte escrito
Impresión corta de códigos fuente
Envío por correo electrónico de archivos con Códigos Fuente, Makefiles o scripts de compilación
Envío por correo electrónico de instructivos de compilación y ejecución y cualquier otro anexo que considere
pertinente
Los archivos deberán enviarse en UN SOLO ARCHIVO COMPRIMIDO, cuyo nombre deberá cumplir el siguiente
formato: <Nombre>_<Apellido>_Taller01.zip
ES IMPORTANTE QUE OBSERVE ESTAS CONDICIONES DE ENTREGA. EN CASO QUE NO SE
CUMPLAN, SE CONSIDERARÁ QUE EL TALLER NO SE ENTREGÓ.
Modelación Matemática Página 1 de 8
Taller 01 - Modelación con EDO’s
Caso 1. Sistema de enrollamiento.
El enrollamiento de cintas magnéticas, cables, fibras textiles y tiras de papel o plástico de un carrete a otro se realiza a
menudo empleando un par de motores eléctricos en cuyos ejes se encuentran dos carretes (uno en cada eje) acoplados por
el cinturón de material que se está enrollando.
Usualmente en este tipo de sistemas se necesita regular la velocidad de enrollado y la tensión del rollo de material. Para
lograr este fin, se puede incorporar una polea de resorte al sistema de carretes. Así, la deflexión del resorte indica la tensión
del cinturón de material, mientras que la velocidad de la polea está relacionada con la velocidad del cinturón entre los dos
carretes. Una representación esquemática del sistema indicado se muestra en la Figura 1.
Figura 1: Esquema del sistema de enrollado de un material flexible.
Considere que el sistema tiene las siguientes características:
Cada carrete está controlado por dos motores de corriente eléctrica que generan dos torques τ1 y τ2
El rollo de material se enrolla en el carrete 2 por el torque τ2.
El torque τ1 es un torque inverso que tensiona el rollo de material y se enrolla al carrete 1.
Además de lo anterior, considere que:
Ambos carretes poseen coeficientes de fricción rotacional β1, para el carrete 1; y β2, para el carrete 2. Los carretes
poseen momentos de inercia constantes I1 e I2.
Los ángulos de inclinación θ1 y θ2 son iguales.
Cada sección de material se considera como la combinación de un resorte con comportamiento lineal (constante ki)
y un disipador (coeficiente bi).
Como punto de partida, el sistema opera con las siguientes características:
El momento de inercia de los motores es de 8 × 10−4
kg · m2
Radio de los carretes: 0.03 m
La constante elástica del resorte de la polea es de 200 Nm−1
La constante elástica de las secciones del material enrollado es: 50Nm−1
La constante de disipación de las secciones del material enrollado es: 0.2 Nsm−1
Los torques de los motores tienen un valor de: 32 Kgcm
Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 2 de 8
Taller 01 - Modelación con EDO’s
Los motores están girando a una velocidad angular de: 3000 rpm
Los motores pesan 50kg
Alcance y objetivos:
De acuerdo a la descripción anterior del modelo, su grupo de trabajo debe
Construir el modelo matemático del sistema.
Implementar el(los) modelo(s) computacional(es) para el caso planteado y realizar la validación apropiada de
los componentes del modelo. El modelo computacional debe servir como herramienta de diseño del sistema
completo y puede ser tipo script.
Suponga que, por fallas operativas, el motor 1 fue reemplazado por uno que opera al 80 % de las condiciones
del original (asuma que son el torque, la velocidad angular y el momento de inercia), pero que es 1.5 veces
más pesado que el motor original. Con base en esta información, describa el efecto de dicho cambio sobre el
comportamiento dinámico del sistema, y compare sus resultados con el modelo original.
Adicionalmente ustedes deben realizar una simplificación del modelo, considerando que el material enrollado
se comporta como un resorte de comportamiento lineal, esto es; despreciando el término del disipador. Con
esta simplificación deben reformular el modelo, descríbirlo en detalle y comparar resultados de este modelo
simplificado con el modelo original. ¿Qué descripción física podría representar esta última suposición?
Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 3 de 8
Taller 01 - Modelación con EDO’s
Caso 2. Análisis de vibraciones en un automóvil.
La suspensión de cierto automóvil está conformada por amortiguadores de gas. Estos tienen la función de transmitir las
vibraciones, reduciendo las amplitudes de oscilación de los neumáticos hacia los asientos, generando mayor confort a
los usuarios. Con el fin de determinar, las vibraciones a las cuales están sometidos los asientos que hacen parte de este
vehículo; se muestra un esquema en la figura 1 que representa el comportamiento mecánico de la suspensión.
Figura 2: Esquema. Suspensión del automóvil.
Las vibraciones son transmitidas de la masa 1 a la masa 3, en donde la primera representa los neumáticos del automóvil
y la última los asientos del mismo. Lo que es el conjunto de la masa 2 con sus resortes y amortiguadores acoplados,
representa el amortiguador de gas. En este caso de estudio, las vibraciones se propagan a través de resortes, que ejercen
una fuerza F1 directamente proporcional a su deformación; siguiendo la ley de Hooke:
F1 = −kx
Donde k es la constante de elasticidad del resorte y x es la deformación de elongación o compresión del mismo. El signo
negativo indica que si el resorte se estira (x > 0), la fuerza será de compresión (F < 0).
Por otro lado, el movimiento de cada masa es frenado por amortiguadores; en donde la fuerza de frenado F2 es proporcional
a la velocidad relativa V entre sus dos extremos:
F2 = bV
En donde b es la constante de amortiguación del amortiguador.
A continuación se muestra en la tabla 1 los valores de las masas, de las constantes de elasticidad y amortiguación para el
esquema mostrado en la figura 1.
Basándose en que el automóvil de este caso de estudio, debe hacer un recorrido en una superficie irregular, la cual puede
llegar a tener baches de 10 cm de profundidad; suponga que inicialmente la masa 1 está desplazada 10 cm de su posición
Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 4 de 8
Taller 01 - Modelación con EDO’s
Parámetro Cantidad
m1 1kg
m2 0.5kg
m3 2kg
k1 500N/m
k2 100N/m
k3 200N/m
k4 1000N/m
b1 1Ns/m
b2 3Ns/m
Tabla 1: Parámetros del modelo.
de equilibrio (elongando el resorte k1); y que el sistema se encuentra en reposo. Desprecie el peso de cada masa y la
fricción que pueda generar en las vibraciones.
Alcance y objetivos:
Dadas las consideraciones anteriores, su grupo de trabajo debe:
Presentar un modelo matemático lineal como un problema de valor inicial. Comente los principios de
conservación utilizados y las simplificaciones que tuvo en cuenta para su modelo.
Calcular la solución analítica del modelo propuesto. Presente gráficas dinámicas de la posición y la velocidad
de cada masa, hasta un tiempo de 5 segundos.
Solucionar el modelo matemático, utilizando un método de marcha en el tiempo deseado; y presente los
errores absolutos de posición y velocidad, con respecto a la solución analítica. Comente el comportamiento
de los errores para cada caso (si es constante, oscila, converge o diverge).
Responder: Según su modelo, ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del asiento, después de 1 segundo de
que el automóvil haya pasado un bache de 10 cm de profundidad?
Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 5 de 8
Taller 01 - Modelación con EDO’s
Caso 3. Contaminación en un sistema de reservorios acuiferos.
Modelos basados en arreglos o sistemas de tanques interconectados son frecuentemente encontrados en aplicaciones de
ingeniería, particularmente en plantas piloto químicas, así como en aplicaciones industriales de mezclado o para el estudio
de condiciones de contaminación en sistemas de flujos interconectados.
En particular, en el presente caso de estudio, se deben examinar las condiciones de avance en el tiempo de los niveles
de contaminación en un sistema de lagos, o reservorios acuíferos, que están interconectados, y en los cuales se está
descargando un contaminante x a través de dos puntos. El sistema de reservorios se presenta de forma esquemática en la
Figura 3.
Figura 3: Esquema de un sistema de reservorios acuíferos interconectados. Las corrientes q1 y q8 presentan niveles de
contaminación intermitentes. Todas las demás corrientes de entrada se pueden considerar totalmente limpias.
Se conoce que debido a condiciones de uso no reglamentario, la corriente de alimentación del reservorio 1 (q1) y una de
las del reservorio 5 (q8) presentan niveles de contaminación, intermitentes en el tiempo, y las cuales causan que todos los
reservorios tengan algún nivel de contaminación en cualquier momento. Las demás corrientes de alimentación se pueden
considerar, en general, limpias o carentes del contaminante en estudio x (es decir la concentración de contaminante se
puede asumir nula en las corrientes de entrada q2, q3 y q5). En las corrientes de entrada q1 y q8 se adicionan cantidades
de reactivo x, con concentraciones c1, y c8, respectivamente.
Algunas características específicas del sistema son:
El valor de concentración de contaminante en la corriente de alimentación del reservorio 1 ha sido medido en función
del tiempo experimentalmente. Este se puede aproximar de acuerdo a la siguiente expresión analítica,
c1(t) = a0 +
3
i=1
ai cos(ωit) + bi sin(ωit) (1)
donde
i ωi, [rad s−1
] ai, [Kg/m3
] bi, [Kg/m3
]
0 NA 0.12 NA
1 0.26 0.09 0.06
2 0.48 0.15 0.03
3 0.25 0.03 0.005
Por mediciones diarias, se sabe que el valor de concentración de contaminante en la corriente q8 describe un
comprotamiento semi-periódico cada hora (periodo de 3600s), y el cuál se puede aproximar como:
c8(t) =



0.00Kg/m3
, 0 < t < 100s
0.15Kg/m3
, 100s ≤ t < 1000s
0.28Kg/m3
, 1000s ≤ t < 2500s
0.01Kg/m3
, 2500s ≤ t < 3600s
(2)
Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 6 de 8
Taller 01 - Modelación con EDO’s
Los valores de caudales de operación conocidos son:
q1 = 0.52 m3
s−1
, q2 = 0.38 m3
s−1
, q3 = 0.18 m3
s−1
,
q5 = 0.05 m3
s−1
, q8 = 0.93 m3
s−1
, q10 = 0.48 m3
s−1
Los valores de las capacidades volumétricas de cada reservorio son:
V1 = 130 m3
, V2 = 115 m3
, V3 = 87.5 m3
, V4 = 53.3 m3
, V5 = 185 m3
, V6 = 232.5 m3
¿Para qué se necesita el modelo? ¿Qué se debe entregar?
Sabiendo que, en las condiciones de operación actual, los niveles de contaminación del reservorio 4 son dos veces y
media (2.5) mayores que los permitidos por legislación, construya un modelo matemático que permita analizar el
sistema y dar sugerencias para solucionar el problema de contaminación.
En particular, dadas los datos anteriores, su grupo debe:
Construir el modelos matemáticos para simular los flujos volumétricos (Caudales) y la evolución de la
concentración de x en cada uno de los reservorios y a la descarga del sistema (c6).
Construir un modelo computacional parametrizado de manera que se puedan evaluar diferentes condiciones
de operación. El modelo computacional debe servir como herramienta de diseño del sistema completo y
debería ser una aplicación ejecutable hecha en algún lenguaje compilable. Se desea tener un programa
ejecutable independiente!
Usar el modelo computacional para sacar conclusiones acerca de la respuesta dinámica del sistema de
reservorios y estimar nuevas condiciones de operación que permitan tener aportes de contaminante en los
puntos de alimentación originales, sin sobrepasar los límites legales. SU GRUPO DEBE PROPONER UNA
SOLUCIÓN (diferente a la trivial!!!)
Presentar curvas de operación del sistema (perfiles temporales o retratos de fase).
Sugerencias
Construya el modelo de forma paramétrica, de forma que sea fácil cambiar valores numéricos.
Si su modelo presenta problemas de estabilidad, utilice valores diferetes de caudal q1.
Por simplicidad, considere que los valores de concentración son nulos en TODOS los reservorios en un
instante inicial de análisis (t = 0).
En caso de requerirlo, su grupo puede adoptar suposiciones adicionales, siempre y cuando sean justificadas.
Referencias
[1] Chalupa, P. and Novák, J. and Jarmar, M. (2016), Model of Coupled Drives Apparatus – Static and Dynamic
Characteristics. MATEC Web Conf, 2016, 76, 02011.
[2] Dowds, P. and O’Dwyer, A., Modelling and control of a suspension system forvehicle applications. Proceedings of the
4th Wismarer Automatisierungssymposium, Wismar, Germany, September 22-23.
[3] Orlob, GT (1983). Mathematical Modeling of Water Quality: Streams, Lakes and Reservoirs. John Wiley & Sons.
ISBN 978-0471100317
[4] Finney, G. A. (2000), Analysis of a water-propelled rocket: A problem in honors physics. American Journal of Physics,
2000, 68(3), 223-227.
Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 7 de 8
TALLER I Modelaci´on Matem´atica
Berthing Guti´errez1
, Robinson Munevar1
, Alberto Preciado1
1
Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica y Mecatr´onica
Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogot´a
{bgutierrezb@unal.edu.co,rsmunevarp@unal.edu.co,dapreciador@unal.edu.co}
1. CASO I. SISTEMA DE ENROLLAMIENTO DE MATERIAL
FLEXIBLE
1.1. Enunciado
El enrollamiento de cintas magn´eticas, cables, fibras textiles y tiras de papel o
pl´astico de un carrete a otro se realiza a menudo empleando un par de motores el´ectricos
en cuyos ejes se encuentran dos carretes (uno en cada eje) acoplados por el cintur´on de
material que se est´a enrollando.
Usualmente en este tipo de sistemas se necesita regular la velocidad de enrollado
y la tensi´on del rollo de material. Para lograr este fin, se puede incorporar una polea de
resorte al sistema de carretes. As´ı, la deflexi´on del resorte indica la tensi´on del cintur´on
de material, mientras que la velocidad de la polea est´a relacionada con la velocidad del
cintur´on entre los dos carretes. Una representaci´on esquem´atica del sistema indicado se
muestra en la Figura 1.
Figura 1. sistema enrollamiento de material flexible
1.2. Consideraciones
cada carrete esta controlado por dos motores de corriente el´ectrica que generan
dos torques τ1 y τ2.
El rollo de material se enrolla en el carrete 2 por el torque τ2
El torque τ1 es un torque inverso que tensiona el rollo de material y se enrolla al
carrete 1.
ademas de lo anterior considere.
Ambos carretes poseen coeficientes de fricci´on rotacional β1, para el carrete 1; y
β2, para el carrete 2. Los carretes poseen momentos de inercia constantes I1 e I2
Los ´angulos de inclinaci´on θ1 y θ2 son iguales.
Cada seccion de material se considera como la combinacion de un resorte con un
comportamiento lineal (considere ki) y un disipador (coeficiente bi).
como punto de partida el sistema opera con las siguientes caracter´ısticas
El momento de inercia de los motores es de 0.0008 kg · m2
.
Radio de los carretes: 0.03 m.
La constante el´astica del resorte de la polea es de 200 N · m−1
.
La constante de disipaci´on de las secciones del material enrollado es: 0.2 N·sm−1
.
Los torques de los motores tienen un valor de: 32 kgcm.
Los motores est´an girando a una velocidad angular de: 3000 rpm.
Los motores pesan 50 kg.
adicional a los plateamientos originales del problema planteado se asume de ma-
nera arbitraria que la polea superior tiene una masa de 2 kg.
1.3. Modelo Matem´atico del sistema
Para la construcci´on del modelo matem´atico se emplearon los principios de con-
servaci´on de la cantidad de movimiento para el momento lineal y angular, de igual manera
en la aplicaci´on de la segunda ley de newton como se muestra a continuaci´on.
lo primero que se realizamos es la descomposici´on del sistema en peque˜nos sub-
sistemas utilizando como herramienta de an´alisis los diagrama de cuerpo libre (DCL) para
cada uno de los elementos que componen el mismo
Figura 2. diagrama de cuerpo libre sistema de enrollamientos material flexible
para el desarrollo del modelo se emplearon las siguientes relaciones para momento
lineal, momento angular, velocidad y aceleraci´on tangencial.
hi = Iωi pi = mvi vi = ωiri ai = αiri
En la polea superior tenemos que por el principio de conservaci´on de la energ´ıa:
Fc ˙xc = F(v1 − v2)
2Fcos(θ) ˙xc = F(v1 − v2)
2cos(θ) ˙xc = (ω1r1 − ω2r2)
ahora para el DCL de la polea sujeta al motor 1 tendremos que:
τ = I · α
F1r1 − βω1 − τ1 = I ˙ω1
F1r1 − β h1
I
− τ1 = ˙h1
de manera similar tendremos para DCL en la polea en el motor 2 tenemos:
−F2r2 − βω2 + τ2 = I ˙ω2
−F2r2 − β h2
I
+ τ2 = ˙h2
ahora parea las secciones 1 y 2 de material el´astico con termino disipativo tendre-
mos que :
F = ma
F1,2 + b ˙x1,2 + kx1,2 = ma1,2
kcxc
2cos(θ)
+ bap1,2 + kaxa = ˙p1,2
realizando las sustituciones correspondientes tendremos el siguiente sistema de
ecuaciones.
˙ω1 =
kcxc
2cos(θ)
r1 − β
ω1
I
−
τ1
I
(1)
˙ω2 = −
kcxc
2cos(θ)
r2 − β
ω2
I
+
τ2
I
(2)
˙xc =
ω1r1
2cos(θ)
−
ω2r2
2cos(θ)
(3)
˙xa =
p
ma
(4)
˙p =
kcxc
2cos(θ)
+ ba
p
ma
+ kaxa (5)
ahora Suponemos que, por fallas operativas, el motor 1 fue reemplazado por uno
que opera al 80 % de las condiciones del originales (asumiendo que son el torque, la
velocidad angular y el momento de inercia), pero que es 1.5 veces m´as pesado que el
motor original.con lo cual ajustamos nuestro modelo
as´ı que primero debemos hacer una nueva relaci´on de las fuerzas presentes en al
polea con lo cual
F = ma
Fc = F1cos(θ) + F2cos(θ)
kcxc = F1cos(θ) + F2cos(θ)
kcxc
cos(θ)
− F2 = F1
recordando que:
ω1 = ω2 τ1 = τ2 I1 = I2
replanteamos nuestro modelo de la siguiente forma:
˙ω1 =
kcxc
cos(θ)
r1 − F2r1 − β
ω1
I1
−
τ1
I1
(6)
˙ω2 = −F2r2 − β
ω2
I2
+
τ2
I2
(7)
˙xc =
ω1r1
2cos(θ)
−
ω2r2
2cos(θ)
(8)
˙xa =
pa
mb · 1,5
(9)
˙pa =
kcxc
2cos(θ)
+ ba
pa
mb · 1,5
+ kaxa (10)
˙xb =
pb
mb
(11)
˙pb =
kcxc
2cos(θ)
+ bb
pb
mb
+ kbxb (12)
Realizando la simplificaci´on del modelo considerando que el material enrollado
se comporta como un resorte de comportamiento lineal, esto es; despreciando el t´ermino
del disipador. Con esta simplificaci´on se re formular el modelo, describirlo en detalle y
comparar resultados de este modelo simplificado con el modelo original.
nuevamente con el principio de conservaci´on de la energ´ıa en la polea superior
podemos decir que:
Fc ˙xc = F(v1 − v2)
2Fcos(θ) ˙xc = F(v1 − v2)
2cos(θ) ˙xc = (ω1r1 − ω2r2)
ahora para el DCL de la polea sujeta al motor 1 tendremos que:
τ = I · α
F1r1 − βω1 − τ1 = I ˙ω1
kcxc
2cos(θ)
r1 − β ω1
I
− τ1
I
= ˙ω1
de manera similar tendremos para DCL en la polea en el motor 2 tenemos:
−F2r2 − βω1 + τ1 = I ˙ω1
− kcxc
2cos(θ)
r2 − β ω2
I
+ τ2
I
= ˙ω1
ahora parea las secciones 1 y 2 de material el´astico sin el termino disipativo ten-
dremos que :
F = ma
F1,2 − kx1,2 = ma1,2
kcxc
2cos(θ)
− kaxa = ˙p1,2
finalmente tendr´ıamos el siguiente sistema
˙ω1 =
kcxc
2cos(θ)
r1 − β
ω1
I
−
τ1
I
(13)
˙ω2 = −
kcxc
2cos(θ)
r2 − β
ω2
I
+
τ2
I
(14)
˙xc =
ω1r1
2cos(θ)
−
ω2r2
2cos(θ)
(15)
˙xa =
p
ma
(16)
˙p =
kcxc
2cos(θ)
− kaxa (17)
1.4. Analisis de Resultados
Realizando la simulaci´on num´erica encontramos la respuesta del sistema al
desplazamiento de la polea de la parte superior xc y la elongaci´on del material el´astico
xa = xb considerando que este material tiene un termino disipativo en la secci´on de
inter´es, as´ı mismo un modelo en el cual no se considera dicho termino.
para esto se formulo los diferentes sistemas de ecuaciones segun fuese el caso y
se solucionaron por el m´etodo de euler
par´ametros del sistema
Figura 3. codigo en julia parametros del sistema
Figura 4. codigo en julia sistema con termino disipativo
Figura 5. codigo en julia sistema sin termino disipativo
Figura 6. codigo en julia metodo numerico de euler
Figura 7. desplazamientos en (c) y (a) en sistema de material flexible con termino
disipativo
se observa que se obtiene como respuesta un movimiento ondulatorio amortiguado
en la elongaci´on del material flexible que se esta enrollando, lo que se espera en un sistema
masa resorte amortiguador, donde claramente se observa la acci´on ondulatoria del resorte
y como esta es disipada por el efecto del amortiguamiento para finalmente tener una
elongaci´on que tiende a estabilizarse en valores cercanos a 0.3 m.
as´ı mismo vemos como al asumir un desplazamiento inicial, esto por efecto elon-
gaci´on del resorte superior a causa de la masa de la polea, donde la posici´on inicial de
la polea sera 0.098 m por debajo del punto inicial, as´ı mismo vemos como esta continua
desplaz´andose por efecto de la fuerzas inducidas por la tensi´on del material el´astico que
se esta enrollando
Figura 8. desplazamientos en (c) y (a) sistema de material flexible sin termino
disipativo
Ahora podemos ver que al igual que en el caso anterior para sistema con amorti-
guamiento en el material flexible que se esta enrollando, la posici´on inicial para la polea
de la parte superior es 0.098 m y esta crece por efecto de la tensi´on generada en el material
que se esta enrollando, pero para la elongaci´on en el material el´astico vemos como esta
tiene un comportamiento oscilatorio en su elongaci´on, en la cual se deforma y contrae
pero no hasta su estado original sino con un remanente de la deformaci´on anterior tenien-
do este comportamiento una tendencia de crecimiento general con lo cual el material en
t´erminos absolutos se deforma peque˜nas cantidades de manera creciente depues de cada
oscilaci´on ,esto por efecto de como se modelo la constitucional interna del material solo
con el la constante el´astica sin termino disipativo, siendo consistente con lo que se espera
en teor´ıa para un movimiento arm´onico simple con vibraci´on libre.
Figura 9. velocidad en los motores en sistema de material flexible con termino
disipativo
El prop´osito del desarrollo del modelo matem´atico en este sistema de enrollamien-
to del material flexible es establecer la velocidades de operaci´on de los motores 1 y 2 para
tener una tensi´on constante en el material considerando la deformaci´on del interna del
mismo enrollando el material en uno de los carretes entendiendo que estos deben tener
el sentido del torque generado en sentidos opuesto como se muestra en la figura 1, as´ı
pues, vemos como las velocidades delos motores convergen a valores concretos hasta te-
ner un comportamiento estable, esta velocidad con una magnitud de 29.024 m/s para su
operaci´on con sentidos de giro contrario en los motores 1 y 2.
Figura 10. velocidad en los motores en sistema de material flexible sin termino
disipativo
para el caso en el cual no se considera el termino disipativo en la constituci´on
interna del material, podemos ver como de igual manera la magnitud de la velocidad de
operaci´on no cambia teniendo esta un valor de 29.024 m/s con direcciones opuestas en
los sentidos de giro para los motores 1 y 2
Figura 11. retrato de fase en (a) en sistema de material flexible con termino disi-
pativo
En este retrato de fase es para evaluar el comportamiento general del sistema
din´amico que para la velocidad y el desplazamiento producto de la elongaci´on del material
en una secci´on con los par´ametros definidos podemos ver como esta tiene una tendencia
a estabilizarse por acci´on del amortiguamiento cuando la deformaci´on en el material es
cercana a los 0.28 m
Figura 12. retrato de fase en en (a) sistema de material flexible sin termino disi-
pativo
para este caso podemos ver como la trayectoria tiene un comportamiento c´ıclico
del modelo masa resorte en el material, siendo consistente con el diagrama de fase de un
oscilador
2. CASO II AN ´ALISIS DE VIBRACIONES EN UN AUTOM ´OVIL
2.1. Enunciado
La suspensi´on de cierto autom´ovil est´a conformada por amortiguadores de gas.
Estos tienen la funci´on de transmitir las vibraciones, reduciendo las amplitudes de oscila-
ci´on de los neum´aticos hacia los asientos, generando mayor confort a los usuarios. Con el
fin de determinar, las vibraciones a las cuales est´an sometidos los asientos que hacen parte
de este veh´ıculo; se muestra un esquema en la figura ?? que representa el comportamiento
mec´anico de la suspensi´on.
Figura 13. Esquema de suspensi´on de autom´ovil
Las vibraciones son transmitidas de la masa 1 a la masa 3, en donde la primera
representa los neum´aticos del autom´ovil y la ´ultima los asientos del mismo. Lo que es el
conjunto de la masa 2 con sus resortes y amortiguadores acoplados, representa el amorti-
guador de gas. En este caso de estudio, las vibraciones se propagan a trav´es de resortes,
que ejercen una fuerza F1 directamente proporcional a su deformaci´on; siguiendo la ley
de Hooke:
F1 = −kx
Donde k es la constante de elasticidad del resorte y x es la deformaci´on de elongaci´on
o compresi´on del mismo. El signo negativo indica que si el resorte se estira (x > 0), la
fuerza ser´a de compresi´on (F < 0). Por otro lado, el movimiento de cada masa es frenado
por amortiguadores; en donde la fuerza de frenado F2 es proporcional a la velocidad
relativa V entre sus dos extremos:
F2 = −bV
En donde b es la constante de amortiguaci´on del amortiguador, la fuerza es negativa por
oponerse al movimiento. A continuaci´on se muestra en el cuadro 1 los valores de las
masas, de las constantes de elasticidad y amortiguaci´on para el esquema mostrado en la
figura ??.
Par´ametro Cantidad
m1 1 kg
m2 0.5 kg
m3 2 kg
k1 500 N/m
k2 100 N/m
k3 200 N/m
k4 1000 N/m
b1 1 Ns/m
b2 3 Ns/m
Cuadro 1. Par´ametros del modelo
Bas´andose en que el autom´ovil de este caso de estudio, debe hacer un recorrido
en una superficie irregular, la cual puede llegar a tener baches de 10 cm de profundidad;
suponga que inicialmente la masa 1 est´a desplazada 10 cm de su posici´on de equilibrio
(elongando el resorte k1 ); y que el sistema se encuentra en reposo. Desprecie el peso de
cada masa y la fricci´on que pueda generar en las vibraciones.
2.2. Modelo matem´atico
De acuerdo a la figura ??, de acuerdo a un Diagrama de cuerpo libre sobre ca-
da masa, y aplicando conservaci´on de momemtum lineal, con la consideraci´on que las
fuerzas de resortes y amortiguadores se oponen al movimiento
−k1x1 + k2(x2 − x1) + b1( ˙x2 − ˙x1) = m1 ¨x1
−k2(x2 − x1) − b1( ˙x2 − ˙x1) + k3(x3 − x2) + b2( ˙x3 − ˙x2) = m2 ¨x2
−k3(x3 − x2) − b2( ˙x3 − ˙x2) − k4x3 = m3 ¨x3
reagrupando en funci´on de t´erminos semejantes con variables dependientes,
m1 ¨x1 = −(k1 + k2)x1 − b1 ˙x1 + k2x2 + b1 ˙x2
m2 ¨x2 = k2x1 + b1 ˙x1 − (k2 + k3)x2 − (b1 + b2) ˙x2 + k3x3 + b2 ˙x3
m3 ¨x3 = k3x2 + b2 ˙x2 − (k3 + k4)x3 − b2 ˙x3
Asignando la siguiente transformaci´on de variables
y1 = x1
y2 = ˙y1 = ˙x1
y3 = ˙y2 = ¨x1
y4 = x2
y5 = ˙y4 = ˙x2
y6 = ˙y5 = ¨x2
y7 = x3
y8 = ˙y7 = ˙x3
y9 = ˙y8 = ¨x3
Con la asignaci´on de variables se vuelve a escribir el sistema de ecuaciones
˙y1 = y2
m1 ˙y2 = −(k1 + k2)y1 − b1y2 + k2y4 + b1y5
˙y4 = y5
m2 ˙y5 = k2y1 + b1y2 − (k2 + k3)y4 − (b1 + b2)y5 + k3y7 + b2y8
˙y7 = y8
m3 ˙y8 = k3y4 + b2y5 − (k3 + k4)y7 − b2y8
Expresado en forma matricial
d
dt








y1
y2
y4
y5
y7
y8








=








0 1 0 0 0 0
−k1+k2
m1
− b1
m1
k2
m1
b1
m1
0 0
0 0 0 1 0 0
k2
m2
b1
m2
−k2+k3
m2
−b1+b2
m2
k3
m2
b2
m2
0 0 0 0 0 1
0 0 k3
m3
b2
m3
−k3+k4
m3
− b2
m3
















y1
y2
y4
y5
y7
y8








resulta conveniente expresarlo en esta forma por que se busca la soluci´on por el camino
de los valores y vectores propios; los valores propios son
se aprecia que estos tienen son complejos (aparecen conjugados), se espera el
mismo comportamiento en los vectores propios de manera que la soluci´on tiene la forma
y = c1.eat
(vcr.cos(bt) − vci.sen(bt)) + c2.eat
(vci.cos(bt) + vcr.sen(bt))
donde a+bi es el valor propio complejo y vcr es el la componente real del vector propio
y vci es la componente imaginaria del vector propio que es complejo, visualizar que vcr
y vci intercambian de posici´on entre el primer y segundo sumando. para nuestro caso en
concreto como hay 6 valores propios (3 valores complejos conjugados) la soluci´on tiene
la forma








y1
y2
y3
y4
y5
y6








= c1.e−4,013t
[








0,006
−0,277
−0,004
0,886
0,005
−0,318








.cos(28,449t) −








0,009
0,153
−0,031
0
0,01
0,107








.sen(28,449t)]+
c2.e−4,013t
[








0,009
0,153
−0,031
0
0,01
0,107








.cos(28,449t) +








0,006
−0,277
−0,004
0,886
0,005
−0,318








.sen(28,449t)]+
c3.e−0,578t
[








−0
0,903
−0,001
−0,012
0,002
−0,424








.cos(24,499t) −








−0,037
0
0
−0,032
0,017
0,041








.sen(24,499t)]+
c4e−0,578t
[








−0,037
0
0
−0,032
0,017
0,041








.cos(24,499t) +








−0
0,903
−0,001
−0,012
0,002
−0,424








.sen(24,499t)]+
c−0,659t
5 [








−0,003
−0,355
0,001
−0,852
−0,004
−0,358








.cos(19,044) −








0,018
−0,077
0,044
0,0
0,0189
−0,097








.sen(19,044t)]+
c6−0,659t[








0,018
−0,077
0,044
0,0
0,0189
−0,097








.cos(19,044) +








−0,003
−0,355
0,001
−0,852
−0,004
−0,358








.sen(19,044t)]
qued´andonos el trabajo de hallar los valores de las constantes, determinadas a partir de
las condiciones iniciales, consiste en un sistema lineal que se program´o en Julia cuyo
resultado fue
graficando estos resultados se obtiene
Figura 14. Desplazamiento vs tiempo en los tres cuerpos
resultado esperado al tratarse de un movimiento amortiguado, se observa que para
la segunda oscilaci´on el cuerpo 1 reduce su amplitud a la mitad, 5 segundos es un tiempo
suficiente, donde se aten´ua la oscilaci´on.
Figura 15. velocidad vs tiempo en los tres cuerpos
el primer y segundo cuerpo alcanzan velocidades en el primer ciclo de hasta 1.0
m/s, se aten´ua r´apidamente a hasta los 3 segundos, reduciendo hasta 5 segundos, donde
”desaparece ”la oscilaci´on en velocidad.
2.2.1. Programa Julia
el siguiente programa nos colabor´o en la b´usqueda de los valores propios y vecto-
res propios para determinar la soluci´on del sistema de ecuaciones diferenciales as´ı como
el sistema de ecuaciones lineales necesario para determinar el valor de las constantes con
las condiciones iniciales dadas, definiendo previamente los par´ametros del sistema as´ı
como el n´umero de iteraciones definido por el punto inicial,final y el paso.
A=[0 1 0 0 0 0;
(-k1-k2)/m1 -b1/m1 k2/m1 b1/m1 0 0;
0 0 0 1 0 0;
k2/m2 b1/m2 (-k2-k3)/m2 (-b1-b2)/m2 k3/m2 b2/m2;
0 0 0 0 0 1;
0 0 k3/m3 b2/m3 (-k3-k4)/m3 -b2/m3]
eival=eigvals(A);
vlpr=real(eival)
vlpi=imag(eival)
eivec=eigvecs(A)
vcpr=real(eivec[:,1:2:size(eivec,1)])
vcpi=imag(eivec[:,1:2:size(eivec,1)])
t0=0
mak1=exp(vlpr[1]*t0)*(vcpr[:,1]*cos(vlpi[1]*t0)-vcpi[:,1]
*sin(vlpi[1]*t0))
mak2=exp(vlpr[1]*t0)*(vcpi[:,1]*cos(vlpi[1]*t0)+vcpr[:,1]
*sin(vlpi[1]*t0))
mak3=exp(vlpr[3]*t0)*(vcpr[:,2]*cos(vlpi[3]*t0)-vcpi[:,2]
*sin(vlpi[3]*t0))
mak4=exp(vlpr[3]*t0)*(vcpi[:,2]*cos(vlpi[3]*t0)+vcpr[:,2]
*sin(vlpi[3]*t0))
mak5=exp(vlpr[5]*t0)*(vcpr[:,3]*cos(vlpi[5]*t0)-vcpi[:,3]
*sin(vlpi[5]*t0))
mak6=exp(vlpr[5]*t0)*(vcpi[:,3]*cos(vlpi[5]*t0)+vcpr[:,3]
*sin(vlpi[5]*t0))
mak=[mak1 mak2 mak3 mak4 mak5 mak6]
ci=[0.1 0 0 0 0 0]’
pana=makci
#pana=[0.0049 1.5039 -0.1303 -2.0259 0.0825 1.4061]’
function analit(t)
maka1=exp(vlpr[1]*t)*(vcpr[:,1]*cos(vlpi[1]*t)-vcpi[:,1]
*sin(vlpi[1]*t))
maka2=exp(vlpr[1]*t)*(vcpi[:,1]*cos(vlpi[1]*t)+vcpr[:,1]
*sin(vlpi[1]*t))
maka3=exp(vlpr[3]*t)*(vcpr[:,2]*cos(vlpi[3]*t)-vcpi[:,2]
*sin(vlpi[3]*t))
maka4=exp(vlpr[3]*t)*(vcpi[:,2]*cos(vlpi[3]*t)+vcpr[:,2]
*sin(vlpi[3]*t))
maka5=exp(vlpr[5]*t)*(vcpr[:,3]*cos(vlpi[5]*t)-vcpi[:,3]
*sin(vlpi[5]*t))
maka6=exp(vlpr[5]*t)*(vcpi[:,3]*cos(vlpi[5]*t)+vcpr[:,3]
*sin(vlpi[5]*t))
maka=[maka1 maka2 maka3 maka4 maka5 maka6]
analitic=maka*pana
return analitic’
end
#Soluci´on anal´ıtica PREVIA
xa=Array(Float64,trunc(nc)+1,6)
#cada columna guardar´a la soluci´on de una concentraci´on
ta=Array(Float64,trunc(nc)+1,1)
# vector columna de la variable independiente tiempo
ta[1,1]=t_0
xa[1,:]=[x1_0,v1_0,x2_0,v2_0,x3_0,v3_0]
for i=1:nc
ta[i+1,1]=ta[i]+dt
xa[i+1,:]=analit(ta[i+1,1])
end
#Gr´afica anal´ıtica
using Plots
plot(ta,xa)
2.3. Soluci´on del modelo matem´atico
se utilizo Runge-Kutta de 4 grado presentando los siguientes resultados
Figura 16. Desplazamiento vs tiempo en los tres cuerpos RUNGE-KUTTA
y para las velocidades
Figura 17. Error en posici´on vs tiempo en los tres cuerpos RUNGE-KUTTA
los errores para la posici´on son
Figura 18. Errores en velocidad para los 3 cuerpos. RUNGE KUTTA
los errores son muy peque˜nos esto es debido al tambi´en peque˜no paso que se
tomo de 1 mil´esima de segundo (0.001 s), en ambos casos el comportamiento del error
es oscilatorio con una tendencia a reducirse en el tiempo, seg´un observaci´on del ´ultimo
tramo.
2.3.1. Julia para Runge-Kutta de 4 grado
#Soluci´on por Runge Kutta
xrg=Array(Float64,trunc(nc)+1,6)
#cada columna guardar´a la soluci´on sea de posici´on o velocidad
x1rg=Array(Float64,trunc(nc),6)
# columna que almacenar´a el 1 paso de Runge Kutta
x2rg=Array(Float64,trunc(nc),6)
# columna que almacenar´a el 2 paso de Runge Kutta
x3rg=Array(Float64,trunc(nc),6)
# columna que almacenar´a el 3 paso de Runge Kutta
x4rg=Array(Float64,trunc(nc),6)
# columna que almacenar´a el 4 paso de Runge Kutta
trg=Array(Float64,trunc(nc)+1,1)
# vector columna de la variable independiente tiempo
trg[1,1]=t_0
# valor inicial en el la variable independiente tiempo
xrg[1,:]=[x1_0,v1_0,x2_0,v2_0,x3_0,v3_0]
#valores iniciales de las varibles dependientes
#xih[1,:]=xh[1,:]+derivadas(xh[1,:])*dth
#soluci´on por Runge Kutta
for i=1:nc
x1rg[i,:]=derivadas(xrg[i,:])*dt;
#es delta de la ordenada el primer paso (paso completo)
x2rg[i,:]=derivadas(xrg[i,:]+1/2*x1rg[i,:])*dt;
x3rg[i,:]=derivadas(xrg[i,:]+1/2*x2rg[i,:])*dt;
x4rg[i,:]=derivadas(xrg[i,:]+x3rg[i,:])*dt;
xrg[i+1,:]=xrg[i,:]+1/6*(x1rg[i,:]+2*x2rg[i,:]
+2*x3rg[i,:]+x4rg[i,:])
trg[i+1,1]=trg[i]+dt
end
2.4. Responder
Seg´un su modelo, ¿Cu´al es la magnitud de la velocidad del asiento, despu´es de 1
segundo de que el autom´ovil haya pasado un bache de 10 cm de profundidad?
Figura 19. posiciones y velocidades despu´es de 1 segundo. RUNGE KUTTA
se considera que la velocidad del asiento es igual a la de la masa 3, la m´as distante
al suelo, el asiento para un an´alisis inicial est´a inamovible, para este caso extraemos dicha
restricci´on de movimiento igualando su velocidad a a m3, que es la ´ultima columna de la
figura mostrada, se aprecia que su velocidad es de 0.3764 m/s, dirigido hacia abajo.
3. CASO III CONTAMINACI ´ON EN UN SISTEMA DE RESERVORIOS
ACUIFEROS
3.1. Enunciado
Modelos basados en arreglos o sistemas de tanques interconectados son frecuente-
mente encontrados en aplicaciones de ingenier´ıa, particularmente en plantas piloto qu´ımi-
cas, as´ı como en aplicaciones industriales de mezclado o para el estudio de condiciones
de contaminaci´on en sistemas de flujos interconectados. En particular, en el presente caso
de estudio, se deben examinar las condiciones de avance en el tiempo de los niveles de
contaminaci´on en un sistema de lagos, o reservorios acu´ıferos, que est´an interconectados,
y en los cuales se est´a descargando un contaminante x a trav´es de dos puntos. El sistema
de reservorios se presenta de forma esquem´atica en la siguiente figura.
Figura 20. Distribuci´on del sistema de reservorios acu´ıferos
Las corrientes q1 y q8 presentan niveles de contaminaci´on intermitentes. Todas
las dem´as corrientes de entrada se pueden considerar totalmente limpias. Se conoce que
debido a condiciones de uso no reglamentario, la corriente de alimentaci´on del reservorio
1 (q1) y una de las del reservorio 5 (q8) presentan niveles de contaminaci´on, intermi-
tentes en el tiempo, y las cuales causan que todos los reservorios tengan alg´un nivel de
contaminaci´on en cualquier momento. Las dem´as corrientes de alimentaci´on se pueden
considerar, en general, limpias o carentes del contaminante en estudio x (es decir la con-
centraci´on de contaminante se puede asumir nula en las corrientes de entrada q2, q3 y
q5). En las corrientes de entrada q1 y q8 se adicionan cantidades de reactivo x, con con-
centraciones c1, y c8, respectivamente.
3.2. Objetivos
Como objetivos en este tercer caso de estudio se tiene el identificar los caudales y
la concentraci´on de contaminante en cada uno de los reservorios y en la descarga del sis-
tema, ademas de esto tambi´en se desea realizar, por medio del lenguaje de programaci´on
de Julia, un programa en el cual se puede analizar el problema y de ser preciso realizar
cambios en los datos de entrada y por ´ultimo tener las condiciones para que la red de
reservorios este dentro de los limites de contaminaci´on permitidos.
3.3. Marco Te´orico
Modelos compartimentales: este tipo de modelos se caracterizan porque dividen
el sistema en varias partes y estos a su vez interaccionan entre ellos intercambiando sus-
tancias, tal como se observa en nuestro caso de estudio, el cual tiene 6 compartimientos
que intercaran entre ellos por medio de canales.
Este tipo de modelo tambi´en es conocido como deterministas, y se basa en el
conocimiento del futuro con base en entradas del presente.Los sistemas compartimentales
se consideran cerrados si no existe ninguna interacci´on entre el sistema y el entrono, esto
quiere decir que no existe intercambio de masa, en la siguiente figura se puede observar
un sistema compartimental cerrado con un ingreso ´unico de materia X1 e interacci´on entre
los dos compartimentos.
Figura 21. Sistema bicompartimental cerrado
Este tipo de modelos es muy usado en la farmacolog´ıa, ya que ayuda a predecir
el resultado que genera el consumo de f´armacos en el organismo, ademas que el cuerpo
trabaja de manera compartimental intercambiado ´acidos y flujos importantes para el buen
funcionamiento del metabolismos y otras partes, tal como se observa en la siguiente fi-
gura donde se observa un modelo cin´etico del metabolismo del colesterol en el humano,
representado por un sistema multicompartimental.
Figura 22. Modelo cin´etico del metabolismo del colesterol en el humano
3.4. Datos de entrada
El valor de los caudales iniciales es:
q1 = 0,52m3
/s
q2 = 0,38m3
/s
q3 = 0,18m3
/s
q5 = 0,05m3
/s
q8 = 0,93m3
/s
q10 = 0,48m3
/s
Y las capacidades de cada uno de los reservorios es:
V 1 = 130m3
V 2 = 115m3
V 3 = 87,5m3
V 4 = 53,3m3
V 5 = 185m3
V 6 = 232,5m3
Como se observa algunos caudales no est´an definidos, pero se pueden obtener
mediante las siguientes ecuaciones, que tambi´en est´an programadas en el programa reali-
zado.
q6 = q1 − q4 + q2
q4 = q10 − q3
q9 = q6 + q7
q7 = q5 + q8
q11 = q10 − q9
Consideraciones para el desarrollo del caso.
∗ Se considera los recipientes adiab´aticos y sin transferencia de masa.
∗ No se consideran procesos de difusi´on en ning´un reservorio.
∗ Las mezclas son homog´eneas e instant´aneas.
∗ las corrientes q2, q3 y q5 son carentes de contaminantes.
∗ Las corrientes de los caudales q1 y q8 contienen niveles de contaminaci´on.
∗ La concentraci´on del contaminante x varia con el tiempo en todos los lagos.
Planteamiento
Partiendo de la ley de conservaci´on de masas y atacando el problema como
un problema compartimental tenemos que para cada uno de los lagos se obtienen una
ecuaci´on diferencial como sigue:
dx1
dt
= q1c1(t) − q1
x1
v1
(18)
dx2
dt
= q1
x1
v1
− q6
x2
v2
− q4
x2
v2
(19)
dx3
dt
= q4
x2
v2
− q10
x3
v3
(20)
dx4
dt
= q6
x2
v2
+ q7
x5
v5
− q9
x4
v4
(21)
dx5
dt
= q8c8(t) − q7
x5
v5
(22)
dx6
dt
= q10
x3
v3
+ q9
x4
v4
− q11
x6
v6
(23)
Debemos tener en cuenta que de acuerdo a las condiciones planteadas en este
caso la concentraci´on C1(t) tiene un comportamiento de acuerdo a la siguiente ecuaci´on:
c1(t) = a0 +
3
i=1
aicos(wit) + bisin(wit)
Los valores de cada una de las constantes est´an dados por la siguiente tabla:
Figura 23. Datos experimentales para la expresi´on anal´ıtica del valor de la con-
centraci´on c1(t) de la corriente q1.
De igual manera seg´un datos iniciales el caudal q8 tiene un comportamiento pe-
ri´odico tal como se observa:



0,00 kg
m3 ; 0 < t < 100s
0,15 kg
m3 ; 100s ≤ t < 1000s
0,28 kg
m3 ; 1000s ≤ t < 2500s
0,01 kg
m3 ; 2500s ≤ t < 3600s
3.5. Programa
El programa para la soluci´on del este caso se realizo en la plataforma de Julia box.
se inicio planteando los datos de ingreso y hallando los caudales faltantes.
Figura 24. Par´ametros de entrada
Luego se defini´o las condiciones iniciales para cada lago en cuanto a concentra-
ci´on y se estableci´o la funci´on del caudal 1 y sus variaciones en el tiempo.
Figura 25. condiciones iniciales y variaciones
el siguiente paso es la definici´on de las EDO y la definici´on del paso y el tiempo
de simulaci´on:
Figura 26. Definici´on de las EDO
Finalmente se solucionan el sistema de ecuaciones diferenciales por medio del
m´etodo de Runge Kutta.
Figura 27. Soluci´on por Runge Kutta
3.6. Resultados y an´alisis de resultados
En los resultados arrojados por el programa podemos ver la gr´afica de las con-
centraciones versus el tiempo transcurrido de cada uno de los reservorios, en la siguiente
figura se observa la concentraci´on para el reservorio 1:
Figura 28. Concentraci´on de contaminante reservorio 1 VS tiempo
De la gr´afica podemos decir que para el reservorio 1 la concentraci´on aumenta
r´apidamente entre de 0 a 1000 segundos tomando un valor de alrededor de 15 kilogramos
por metro cubico estabiliz´andose en este valor hasta un tiempo infinito.
Pasamos al reservorio 2 el cual tiene el comportamiento mostrado en la siguiente
gr´afica:
Figura 29. Concentraci´on de contaminante reservorio 3 VS tiempo
Este reservorio tambi´en tiene un comportamiento constantes desde 1200 segundos
con un valor de 7 kilogramos por metro cubico de contaminante.
Para el reservorio 3 se tiene de igual manera un comportamiento constante a partir
del trascurso de 2000 segundos con un valor de 4 kilogramos por metro cubico tal como
se observa en la siguiente figura.
Figura 30. Concentraci´on de contaminante reservorio 3 VS tiempo
Pasamos ahora al reservorio 4 el cual toma el siguiente comportamiento:
Figura 31. Concentraci´on de contaminante reservorio 4 VS tiempo
para el reservorio 5 tenemos que:
Figura 32. Concentraci´on de contaminante reservorio 5 VS tiempo
y finalmente el reservorio 6:
Figura 33. Concentraci´on de contaminante reservorio 6 VS tiempo
Los caudales de las salidas de q4 y q6 se pueden controlar de tal manera que para
que la cantidad de contaminante que entra a los reservorios 4 y 3 sea mas apropiada esto
ayudara a que el reservorio 4 no tenga la cantidad de contaminante indeseado.
El reservorio 5 es el que mayor cantidad de contaminante presenta ya que el caudal
q8 esta directamente conectado en entrada a este reservorio por tal razon es el que presenta
una mayor cantidad del agente X, este caudal q8 ademas de influir en el reservorio 5
tambi´en tiene una gran influencia en los reservorios 4 y 6.
Para disminuir la cantidad de contaminante en los reservorios con mayor influen-
cia (reservorioa 4, 5 y 6) realizando analisi por medio del programa se observa que si el
valor del caudal 8 (q8) se disminuye considerablemente se podria empezar a tener unos
niveles de contaminante aceptables dentro del marco legal.
otra forma de mejorar los niveles de contaminante es aumentando los caudales de
los que no insertan contaminante a los reservorios, para nuestro caso seria el aumento de
los caudales q2, q3 y q5 y de esta manera se tendr´a una mejor´ıa aun mayor en el sistema
de reservorios.
Referencias
Facultad de ingenier´ıa - Universidad Nacional de La Plata (1992). APUN-
TES DE : ”DISE ˜NO DE LINEAS ELECTRICAS”. [online] Available at:
https://catedra.ing.unlp.edu.ar/electrotecnia/sispot/Libros202007/le-index.htm [Accessed
26 Mar. 2018].
Gavil´an, M. E. (2006). AN ´ALISIS DEL MOVIMIENTO DE UN COHETE PRO-
PULSADO POR AGUA. Revista Colombiana de F´ısica, 38(1).
Villar, J. I. (2014). C´alculo y dise˜no de cohetes de agua como proyecto did´actico
integrador en mec´anica de los fluidos. In III Congreso Argentino de Ingenier´ıa Aeron´auti-
ca (CAIA 3)(La Plata 2014).
Hern´andez, P. A. Q. (2008). M´etodos de soluci´on de ecuaciones diferenciales y
aplicaciones. Revert´e.
Gershenfeld, N. A. (1999). The nature of mathematical modeling. Cambridge uni-
versity press.
Ogata, K. (2003). Ingenier´ıa de control moderna. Pearson Educaci´on.
Sofia Carlos Alberola, Sergio Gallardo Bermell, Sebasti´an Martorell Alsina
(2013), Modelos compartimentales para el c´alculo de dosis interna.
Mar´ıa Jos´e Garc´ıa Mesenguer (1997), An´alisis cin´etico de los sistemas lineales de
compartimentos: aplicaci´on a la evaluaci´on de par´ametros medios.

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1 taller modelación matemática 2018-1 UNAL

  • 1. Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica Taller 01 Sem I - 2018 Modelación Matemática MODELOS BASADOS EN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Nombre estudiante Código Grupo Puntos importntes: Con el fín de analizar el sistema acoplado, y dadas las consideraciones anteriores, su grupo debería: En todos los casos de estudio, y donde corresponda, su grupo deberá presentar coherente y claramente los diferentes pasos del proceso de modelación, así como una clara argumentación de las simplificaciones o suposiciones usadas para la construcción y/o estudio de los diferentes casos y modelos. Debe siempre indicarse de forma explícita en el texto el o los principios de conservación usados Deben incluirse los códigos fuente de cualquier modelo computacional elaborado (independiente del lenguaje) Los informes impresos deberán tener como portada la presente hoja. (SIN ESTA HOJA DE PORTADA NO SE CALIFICARÁ EL TALLER) La calidad de la presentación de los informes escritos será especialmente considerada en la calificación. Esto incluye la calidad, resolución y claridad de los gráficos, así como de las conclusiones que se extraigan de ellos. Los casos de estudio del presente taller, y sus respectivas ponderaciones de calificación son: Caso de estudio Ponderación Sección Caso 1 33 % Sección Caso 2 33 % Sección Caso 3 34 % Fecha de entrega: Lunes 16 de Abril de 2018 Fecha de entrega extendida: Viernes 20 de Abril de 2018 (Reducción 20 % en la calificación final) Entrega debe incluir: Reporte escrito Impresión corta de códigos fuente Envío por correo electrónico de archivos con Códigos Fuente, Makefiles o scripts de compilación Envío por correo electrónico de instructivos de compilación y ejecución y cualquier otro anexo que considere pertinente Los archivos deberán enviarse en UN SOLO ARCHIVO COMPRIMIDO, cuyo nombre deberá cumplir el siguiente formato: <Nombre>_<Apellido>_Taller01.zip ES IMPORTANTE QUE OBSERVE ESTAS CONDICIONES DE ENTREGA. EN CASO QUE NO SE CUMPLAN, SE CONSIDERARÁ QUE EL TALLER NO SE ENTREGÓ. Modelación Matemática Página 1 de 8
  • 2. Taller 01 - Modelación con EDO’s Caso 1. Sistema de enrollamiento. El enrollamiento de cintas magnéticas, cables, fibras textiles y tiras de papel o plástico de un carrete a otro se realiza a menudo empleando un par de motores eléctricos en cuyos ejes se encuentran dos carretes (uno en cada eje) acoplados por el cinturón de material que se está enrollando. Usualmente en este tipo de sistemas se necesita regular la velocidad de enrollado y la tensión del rollo de material. Para lograr este fin, se puede incorporar una polea de resorte al sistema de carretes. Así, la deflexión del resorte indica la tensión del cinturón de material, mientras que la velocidad de la polea está relacionada con la velocidad del cinturón entre los dos carretes. Una representación esquemática del sistema indicado se muestra en la Figura 1. Figura 1: Esquema del sistema de enrollado de un material flexible. Considere que el sistema tiene las siguientes características: Cada carrete está controlado por dos motores de corriente eléctrica que generan dos torques τ1 y τ2 El rollo de material se enrolla en el carrete 2 por el torque τ2. El torque τ1 es un torque inverso que tensiona el rollo de material y se enrolla al carrete 1. Además de lo anterior, considere que: Ambos carretes poseen coeficientes de fricción rotacional β1, para el carrete 1; y β2, para el carrete 2. Los carretes poseen momentos de inercia constantes I1 e I2. Los ángulos de inclinación θ1 y θ2 son iguales. Cada sección de material se considera como la combinación de un resorte con comportamiento lineal (constante ki) y un disipador (coeficiente bi). Como punto de partida, el sistema opera con las siguientes características: El momento de inercia de los motores es de 8 × 10−4 kg · m2 Radio de los carretes: 0.03 m La constante elástica del resorte de la polea es de 200 Nm−1 La constante elástica de las secciones del material enrollado es: 50Nm−1 La constante de disipación de las secciones del material enrollado es: 0.2 Nsm−1 Los torques de los motores tienen un valor de: 32 Kgcm Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 2 de 8
  • 3. Taller 01 - Modelación con EDO’s Los motores están girando a una velocidad angular de: 3000 rpm Los motores pesan 50kg Alcance y objetivos: De acuerdo a la descripción anterior del modelo, su grupo de trabajo debe Construir el modelo matemático del sistema. Implementar el(los) modelo(s) computacional(es) para el caso planteado y realizar la validación apropiada de los componentes del modelo. El modelo computacional debe servir como herramienta de diseño del sistema completo y puede ser tipo script. Suponga que, por fallas operativas, el motor 1 fue reemplazado por uno que opera al 80 % de las condiciones del original (asuma que son el torque, la velocidad angular y el momento de inercia), pero que es 1.5 veces más pesado que el motor original. Con base en esta información, describa el efecto de dicho cambio sobre el comportamiento dinámico del sistema, y compare sus resultados con el modelo original. Adicionalmente ustedes deben realizar una simplificación del modelo, considerando que el material enrollado se comporta como un resorte de comportamiento lineal, esto es; despreciando el término del disipador. Con esta simplificación deben reformular el modelo, descríbirlo en detalle y comparar resultados de este modelo simplificado con el modelo original. ¿Qué descripción física podría representar esta última suposición? Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 3 de 8
  • 4. Taller 01 - Modelación con EDO’s Caso 2. Análisis de vibraciones en un automóvil. La suspensión de cierto automóvil está conformada por amortiguadores de gas. Estos tienen la función de transmitir las vibraciones, reduciendo las amplitudes de oscilación de los neumáticos hacia los asientos, generando mayor confort a los usuarios. Con el fin de determinar, las vibraciones a las cuales están sometidos los asientos que hacen parte de este vehículo; se muestra un esquema en la figura 1 que representa el comportamiento mecánico de la suspensión. Figura 2: Esquema. Suspensión del automóvil. Las vibraciones son transmitidas de la masa 1 a la masa 3, en donde la primera representa los neumáticos del automóvil y la última los asientos del mismo. Lo que es el conjunto de la masa 2 con sus resortes y amortiguadores acoplados, representa el amortiguador de gas. En este caso de estudio, las vibraciones se propagan a través de resortes, que ejercen una fuerza F1 directamente proporcional a su deformación; siguiendo la ley de Hooke: F1 = −kx Donde k es la constante de elasticidad del resorte y x es la deformación de elongación o compresión del mismo. El signo negativo indica que si el resorte se estira (x > 0), la fuerza será de compresión (F < 0). Por otro lado, el movimiento de cada masa es frenado por amortiguadores; en donde la fuerza de frenado F2 es proporcional a la velocidad relativa V entre sus dos extremos: F2 = bV En donde b es la constante de amortiguación del amortiguador. A continuación se muestra en la tabla 1 los valores de las masas, de las constantes de elasticidad y amortiguación para el esquema mostrado en la figura 1. Basándose en que el automóvil de este caso de estudio, debe hacer un recorrido en una superficie irregular, la cual puede llegar a tener baches de 10 cm de profundidad; suponga que inicialmente la masa 1 está desplazada 10 cm de su posición Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 4 de 8
  • 5. Taller 01 - Modelación con EDO’s Parámetro Cantidad m1 1kg m2 0.5kg m3 2kg k1 500N/m k2 100N/m k3 200N/m k4 1000N/m b1 1Ns/m b2 3Ns/m Tabla 1: Parámetros del modelo. de equilibrio (elongando el resorte k1); y que el sistema se encuentra en reposo. Desprecie el peso de cada masa y la fricción que pueda generar en las vibraciones. Alcance y objetivos: Dadas las consideraciones anteriores, su grupo de trabajo debe: Presentar un modelo matemático lineal como un problema de valor inicial. Comente los principios de conservación utilizados y las simplificaciones que tuvo en cuenta para su modelo. Calcular la solución analítica del modelo propuesto. Presente gráficas dinámicas de la posición y la velocidad de cada masa, hasta un tiempo de 5 segundos. Solucionar el modelo matemático, utilizando un método de marcha en el tiempo deseado; y presente los errores absolutos de posición y velocidad, con respecto a la solución analítica. Comente el comportamiento de los errores para cada caso (si es constante, oscila, converge o diverge). Responder: Según su modelo, ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del asiento, después de 1 segundo de que el automóvil haya pasado un bache de 10 cm de profundidad? Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 5 de 8
  • 6. Taller 01 - Modelación con EDO’s Caso 3. Contaminación en un sistema de reservorios acuiferos. Modelos basados en arreglos o sistemas de tanques interconectados son frecuentemente encontrados en aplicaciones de ingeniería, particularmente en plantas piloto químicas, así como en aplicaciones industriales de mezclado o para el estudio de condiciones de contaminación en sistemas de flujos interconectados. En particular, en el presente caso de estudio, se deben examinar las condiciones de avance en el tiempo de los niveles de contaminación en un sistema de lagos, o reservorios acuíferos, que están interconectados, y en los cuales se está descargando un contaminante x a través de dos puntos. El sistema de reservorios se presenta de forma esquemática en la Figura 3. Figura 3: Esquema de un sistema de reservorios acuíferos interconectados. Las corrientes q1 y q8 presentan niveles de contaminación intermitentes. Todas las demás corrientes de entrada se pueden considerar totalmente limpias. Se conoce que debido a condiciones de uso no reglamentario, la corriente de alimentación del reservorio 1 (q1) y una de las del reservorio 5 (q8) presentan niveles de contaminación, intermitentes en el tiempo, y las cuales causan que todos los reservorios tengan algún nivel de contaminación en cualquier momento. Las demás corrientes de alimentación se pueden considerar, en general, limpias o carentes del contaminante en estudio x (es decir la concentración de contaminante se puede asumir nula en las corrientes de entrada q2, q3 y q5). En las corrientes de entrada q1 y q8 se adicionan cantidades de reactivo x, con concentraciones c1, y c8, respectivamente. Algunas características específicas del sistema son: El valor de concentración de contaminante en la corriente de alimentación del reservorio 1 ha sido medido en función del tiempo experimentalmente. Este se puede aproximar de acuerdo a la siguiente expresión analítica, c1(t) = a0 + 3 i=1 ai cos(ωit) + bi sin(ωit) (1) donde i ωi, [rad s−1 ] ai, [Kg/m3 ] bi, [Kg/m3 ] 0 NA 0.12 NA 1 0.26 0.09 0.06 2 0.48 0.15 0.03 3 0.25 0.03 0.005 Por mediciones diarias, se sabe que el valor de concentración de contaminante en la corriente q8 describe un comprotamiento semi-periódico cada hora (periodo de 3600s), y el cuál se puede aproximar como: c8(t) =    0.00Kg/m3 , 0 < t < 100s 0.15Kg/m3 , 100s ≤ t < 1000s 0.28Kg/m3 , 1000s ≤ t < 2500s 0.01Kg/m3 , 2500s ≤ t < 3600s (2) Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 6 de 8
  • 7. Taller 01 - Modelación con EDO’s Los valores de caudales de operación conocidos son: q1 = 0.52 m3 s−1 , q2 = 0.38 m3 s−1 , q3 = 0.18 m3 s−1 , q5 = 0.05 m3 s−1 , q8 = 0.93 m3 s−1 , q10 = 0.48 m3 s−1 Los valores de las capacidades volumétricas de cada reservorio son: V1 = 130 m3 , V2 = 115 m3 , V3 = 87.5 m3 , V4 = 53.3 m3 , V5 = 185 m3 , V6 = 232.5 m3 ¿Para qué se necesita el modelo? ¿Qué se debe entregar? Sabiendo que, en las condiciones de operación actual, los niveles de contaminación del reservorio 4 son dos veces y media (2.5) mayores que los permitidos por legislación, construya un modelo matemático que permita analizar el sistema y dar sugerencias para solucionar el problema de contaminación. En particular, dadas los datos anteriores, su grupo debe: Construir el modelos matemáticos para simular los flujos volumétricos (Caudales) y la evolución de la concentración de x en cada uno de los reservorios y a la descarga del sistema (c6). Construir un modelo computacional parametrizado de manera que se puedan evaluar diferentes condiciones de operación. El modelo computacional debe servir como herramienta de diseño del sistema completo y debería ser una aplicación ejecutable hecha en algún lenguaje compilable. Se desea tener un programa ejecutable independiente! Usar el modelo computacional para sacar conclusiones acerca de la respuesta dinámica del sistema de reservorios y estimar nuevas condiciones de operación que permitan tener aportes de contaminante en los puntos de alimentación originales, sin sobrepasar los límites legales. SU GRUPO DEBE PROPONER UNA SOLUCIÓN (diferente a la trivial!!!) Presentar curvas de operación del sistema (perfiles temporales o retratos de fase). Sugerencias Construya el modelo de forma paramétrica, de forma que sea fácil cambiar valores numéricos. Si su modelo presenta problemas de estabilidad, utilice valores diferetes de caudal q1. Por simplicidad, considere que los valores de concentración son nulos en TODOS los reservorios en un instante inicial de análisis (t = 0). En caso de requerirlo, su grupo puede adoptar suposiciones adicionales, siempre y cuando sean justificadas. Referencias [1] Chalupa, P. and Novák, J. and Jarmar, M. (2016), Model of Coupled Drives Apparatus – Static and Dynamic Characteristics. MATEC Web Conf, 2016, 76, 02011. [2] Dowds, P. and O’Dwyer, A., Modelling and control of a suspension system forvehicle applications. Proceedings of the 4th Wismarer Automatisierungssymposium, Wismar, Germany, September 22-23. [3] Orlob, GT (1983). Mathematical Modeling of Water Quality: Streams, Lakes and Reservoirs. John Wiley & Sons. ISBN 978-0471100317 [4] Finney, G. A. (2000), Analysis of a water-propelled rocket: A problem in honors physics. American Journal of Physics, 2000, 68(3), 223-227. Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 7 de 8
  • 8. TALLER I Modelaci´on Matem´atica Berthing Guti´errez1 , Robinson Munevar1 , Alberto Preciado1 1 Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica y Mecatr´onica Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogot´a {bgutierrezb@unal.edu.co,rsmunevarp@unal.edu.co,dapreciador@unal.edu.co} 1. CASO I. SISTEMA DE ENROLLAMIENTO DE MATERIAL FLEXIBLE 1.1. Enunciado El enrollamiento de cintas magn´eticas, cables, fibras textiles y tiras de papel o pl´astico de un carrete a otro se realiza a menudo empleando un par de motores el´ectricos en cuyos ejes se encuentran dos carretes (uno en cada eje) acoplados por el cintur´on de material que se est´a enrollando. Usualmente en este tipo de sistemas se necesita regular la velocidad de enrollado y la tensi´on del rollo de material. Para lograr este fin, se puede incorporar una polea de resorte al sistema de carretes. As´ı, la deflexi´on del resorte indica la tensi´on del cintur´on de material, mientras que la velocidad de la polea est´a relacionada con la velocidad del cintur´on entre los dos carretes. Una representaci´on esquem´atica del sistema indicado se muestra en la Figura 1. Figura 1. sistema enrollamiento de material flexible 1.2. Consideraciones cada carrete esta controlado por dos motores de corriente el´ectrica que generan dos torques τ1 y τ2. El rollo de material se enrolla en el carrete 2 por el torque τ2 El torque τ1 es un torque inverso que tensiona el rollo de material y se enrolla al carrete 1.
  • 9. ademas de lo anterior considere. Ambos carretes poseen coeficientes de fricci´on rotacional β1, para el carrete 1; y β2, para el carrete 2. Los carretes poseen momentos de inercia constantes I1 e I2 Los ´angulos de inclinaci´on θ1 y θ2 son iguales. Cada seccion de material se considera como la combinacion de un resorte con un comportamiento lineal (considere ki) y un disipador (coeficiente bi). como punto de partida el sistema opera con las siguientes caracter´ısticas El momento de inercia de los motores es de 0.0008 kg · m2 . Radio de los carretes: 0.03 m. La constante el´astica del resorte de la polea es de 200 N · m−1 . La constante de disipaci´on de las secciones del material enrollado es: 0.2 N·sm−1 . Los torques de los motores tienen un valor de: 32 kgcm. Los motores est´an girando a una velocidad angular de: 3000 rpm. Los motores pesan 50 kg. adicional a los plateamientos originales del problema planteado se asume de ma- nera arbitraria que la polea superior tiene una masa de 2 kg. 1.3. Modelo Matem´atico del sistema Para la construcci´on del modelo matem´atico se emplearon los principios de con- servaci´on de la cantidad de movimiento para el momento lineal y angular, de igual manera en la aplicaci´on de la segunda ley de newton como se muestra a continuaci´on. lo primero que se realizamos es la descomposici´on del sistema en peque˜nos sub- sistemas utilizando como herramienta de an´alisis los diagrama de cuerpo libre (DCL) para cada uno de los elementos que componen el mismo Figura 2. diagrama de cuerpo libre sistema de enrollamientos material flexible
  • 10. para el desarrollo del modelo se emplearon las siguientes relaciones para momento lineal, momento angular, velocidad y aceleraci´on tangencial. hi = Iωi pi = mvi vi = ωiri ai = αiri En la polea superior tenemos que por el principio de conservaci´on de la energ´ıa: Fc ˙xc = F(v1 − v2) 2Fcos(θ) ˙xc = F(v1 − v2) 2cos(θ) ˙xc = (ω1r1 − ω2r2) ahora para el DCL de la polea sujeta al motor 1 tendremos que: τ = I · α F1r1 − βω1 − τ1 = I ˙ω1 F1r1 − β h1 I − τ1 = ˙h1 de manera similar tendremos para DCL en la polea en el motor 2 tenemos: −F2r2 − βω2 + τ2 = I ˙ω2 −F2r2 − β h2 I + τ2 = ˙h2 ahora parea las secciones 1 y 2 de material el´astico con termino disipativo tendre- mos que : F = ma F1,2 + b ˙x1,2 + kx1,2 = ma1,2 kcxc 2cos(θ) + bap1,2 + kaxa = ˙p1,2 realizando las sustituciones correspondientes tendremos el siguiente sistema de ecuaciones. ˙ω1 = kcxc 2cos(θ) r1 − β ω1 I − τ1 I (1) ˙ω2 = − kcxc 2cos(θ) r2 − β ω2 I + τ2 I (2) ˙xc = ω1r1 2cos(θ) − ω2r2 2cos(θ) (3) ˙xa = p ma (4) ˙p = kcxc 2cos(θ) + ba p ma + kaxa (5)
  • 11. ahora Suponemos que, por fallas operativas, el motor 1 fue reemplazado por uno que opera al 80 % de las condiciones del originales (asumiendo que son el torque, la velocidad angular y el momento de inercia), pero que es 1.5 veces m´as pesado que el motor original.con lo cual ajustamos nuestro modelo as´ı que primero debemos hacer una nueva relaci´on de las fuerzas presentes en al polea con lo cual F = ma Fc = F1cos(θ) + F2cos(θ) kcxc = F1cos(θ) + F2cos(θ) kcxc cos(θ) − F2 = F1 recordando que: ω1 = ω2 τ1 = τ2 I1 = I2 replanteamos nuestro modelo de la siguiente forma: ˙ω1 = kcxc cos(θ) r1 − F2r1 − β ω1 I1 − τ1 I1 (6) ˙ω2 = −F2r2 − β ω2 I2 + τ2 I2 (7) ˙xc = ω1r1 2cos(θ) − ω2r2 2cos(θ) (8) ˙xa = pa mb · 1,5 (9) ˙pa = kcxc 2cos(θ) + ba pa mb · 1,5 + kaxa (10) ˙xb = pb mb (11) ˙pb = kcxc 2cos(θ) + bb pb mb + kbxb (12) Realizando la simplificaci´on del modelo considerando que el material enrollado se comporta como un resorte de comportamiento lineal, esto es; despreciando el t´ermino del disipador. Con esta simplificaci´on se re formular el modelo, describirlo en detalle y comparar resultados de este modelo simplificado con el modelo original. nuevamente con el principio de conservaci´on de la energ´ıa en la polea superior podemos decir que: Fc ˙xc = F(v1 − v2)
  • 12. 2Fcos(θ) ˙xc = F(v1 − v2) 2cos(θ) ˙xc = (ω1r1 − ω2r2) ahora para el DCL de la polea sujeta al motor 1 tendremos que: τ = I · α F1r1 − βω1 − τ1 = I ˙ω1 kcxc 2cos(θ) r1 − β ω1 I − τ1 I = ˙ω1 de manera similar tendremos para DCL en la polea en el motor 2 tenemos: −F2r2 − βω1 + τ1 = I ˙ω1 − kcxc 2cos(θ) r2 − β ω2 I + τ2 I = ˙ω1 ahora parea las secciones 1 y 2 de material el´astico sin el termino disipativo ten- dremos que : F = ma F1,2 − kx1,2 = ma1,2 kcxc 2cos(θ) − kaxa = ˙p1,2 finalmente tendr´ıamos el siguiente sistema ˙ω1 = kcxc 2cos(θ) r1 − β ω1 I − τ1 I (13) ˙ω2 = − kcxc 2cos(θ) r2 − β ω2 I + τ2 I (14) ˙xc = ω1r1 2cos(θ) − ω2r2 2cos(θ) (15) ˙xa = p ma (16) ˙p = kcxc 2cos(θ) − kaxa (17)
  • 13. 1.4. Analisis de Resultados Realizando la simulaci´on num´erica encontramos la respuesta del sistema al desplazamiento de la polea de la parte superior xc y la elongaci´on del material el´astico xa = xb considerando que este material tiene un termino disipativo en la secci´on de inter´es, as´ı mismo un modelo en el cual no se considera dicho termino. para esto se formulo los diferentes sistemas de ecuaciones segun fuese el caso y se solucionaron por el m´etodo de euler par´ametros del sistema Figura 3. codigo en julia parametros del sistema Figura 4. codigo en julia sistema con termino disipativo
  • 14. Figura 5. codigo en julia sistema sin termino disipativo Figura 6. codigo en julia metodo numerico de euler Figura 7. desplazamientos en (c) y (a) en sistema de material flexible con termino disipativo se observa que se obtiene como respuesta un movimiento ondulatorio amortiguado en la elongaci´on del material flexible que se esta enrollando, lo que se espera en un sistema
  • 15. masa resorte amortiguador, donde claramente se observa la acci´on ondulatoria del resorte y como esta es disipada por el efecto del amortiguamiento para finalmente tener una elongaci´on que tiende a estabilizarse en valores cercanos a 0.3 m. as´ı mismo vemos como al asumir un desplazamiento inicial, esto por efecto elon- gaci´on del resorte superior a causa de la masa de la polea, donde la posici´on inicial de la polea sera 0.098 m por debajo del punto inicial, as´ı mismo vemos como esta continua desplaz´andose por efecto de la fuerzas inducidas por la tensi´on del material el´astico que se esta enrollando Figura 8. desplazamientos en (c) y (a) sistema de material flexible sin termino disipativo Ahora podemos ver que al igual que en el caso anterior para sistema con amorti- guamiento en el material flexible que se esta enrollando, la posici´on inicial para la polea de la parte superior es 0.098 m y esta crece por efecto de la tensi´on generada en el material que se esta enrollando, pero para la elongaci´on en el material el´astico vemos como esta tiene un comportamiento oscilatorio en su elongaci´on, en la cual se deforma y contrae pero no hasta su estado original sino con un remanente de la deformaci´on anterior tenien- do este comportamiento una tendencia de crecimiento general con lo cual el material en t´erminos absolutos se deforma peque˜nas cantidades de manera creciente depues de cada oscilaci´on ,esto por efecto de como se modelo la constitucional interna del material solo con el la constante el´astica sin termino disipativo, siendo consistente con lo que se espera en teor´ıa para un movimiento arm´onico simple con vibraci´on libre.
  • 16. Figura 9. velocidad en los motores en sistema de material flexible con termino disipativo El prop´osito del desarrollo del modelo matem´atico en este sistema de enrollamien- to del material flexible es establecer la velocidades de operaci´on de los motores 1 y 2 para tener una tensi´on constante en el material considerando la deformaci´on del interna del mismo enrollando el material en uno de los carretes entendiendo que estos deben tener el sentido del torque generado en sentidos opuesto como se muestra en la figura 1, as´ı pues, vemos como las velocidades delos motores convergen a valores concretos hasta te- ner un comportamiento estable, esta velocidad con una magnitud de 29.024 m/s para su operaci´on con sentidos de giro contrario en los motores 1 y 2. Figura 10. velocidad en los motores en sistema de material flexible sin termino disipativo para el caso en el cual no se considera el termino disipativo en la constituci´on interna del material, podemos ver como de igual manera la magnitud de la velocidad de operaci´on no cambia teniendo esta un valor de 29.024 m/s con direcciones opuestas en los sentidos de giro para los motores 1 y 2
  • 17. Figura 11. retrato de fase en (a) en sistema de material flexible con termino disi- pativo En este retrato de fase es para evaluar el comportamiento general del sistema din´amico que para la velocidad y el desplazamiento producto de la elongaci´on del material en una secci´on con los par´ametros definidos podemos ver como esta tiene una tendencia a estabilizarse por acci´on del amortiguamiento cuando la deformaci´on en el material es cercana a los 0.28 m Figura 12. retrato de fase en en (a) sistema de material flexible sin termino disi- pativo para este caso podemos ver como la trayectoria tiene un comportamiento c´ıclico del modelo masa resorte en el material, siendo consistente con el diagrama de fase de un oscilador
  • 18. 2. CASO II AN ´ALISIS DE VIBRACIONES EN UN AUTOM ´OVIL 2.1. Enunciado La suspensi´on de cierto autom´ovil est´a conformada por amortiguadores de gas. Estos tienen la funci´on de transmitir las vibraciones, reduciendo las amplitudes de oscila- ci´on de los neum´aticos hacia los asientos, generando mayor confort a los usuarios. Con el fin de determinar, las vibraciones a las cuales est´an sometidos los asientos que hacen parte de este veh´ıculo; se muestra un esquema en la figura ?? que representa el comportamiento mec´anico de la suspensi´on. Figura 13. Esquema de suspensi´on de autom´ovil Las vibraciones son transmitidas de la masa 1 a la masa 3, en donde la primera representa los neum´aticos del autom´ovil y la ´ultima los asientos del mismo. Lo que es el conjunto de la masa 2 con sus resortes y amortiguadores acoplados, representa el amorti- guador de gas. En este caso de estudio, las vibraciones se propagan a trav´es de resortes, que ejercen una fuerza F1 directamente proporcional a su deformaci´on; siguiendo la ley de Hooke: F1 = −kx Donde k es la constante de elasticidad del resorte y x es la deformaci´on de elongaci´on o compresi´on del mismo. El signo negativo indica que si el resorte se estira (x > 0), la fuerza ser´a de compresi´on (F < 0). Por otro lado, el movimiento de cada masa es frenado por amortiguadores; en donde la fuerza de frenado F2 es proporcional a la velocidad relativa V entre sus dos extremos: F2 = −bV En donde b es la constante de amortiguaci´on del amortiguador, la fuerza es negativa por oponerse al movimiento. A continuaci´on se muestra en el cuadro 1 los valores de las masas, de las constantes de elasticidad y amortiguaci´on para el esquema mostrado en la figura ??.
  • 19. Par´ametro Cantidad m1 1 kg m2 0.5 kg m3 2 kg k1 500 N/m k2 100 N/m k3 200 N/m k4 1000 N/m b1 1 Ns/m b2 3 Ns/m Cuadro 1. Par´ametros del modelo Bas´andose en que el autom´ovil de este caso de estudio, debe hacer un recorrido en una superficie irregular, la cual puede llegar a tener baches de 10 cm de profundidad; suponga que inicialmente la masa 1 est´a desplazada 10 cm de su posici´on de equilibrio (elongando el resorte k1 ); y que el sistema se encuentra en reposo. Desprecie el peso de cada masa y la fricci´on que pueda generar en las vibraciones. 2.2. Modelo matem´atico De acuerdo a la figura ??, de acuerdo a un Diagrama de cuerpo libre sobre ca- da masa, y aplicando conservaci´on de momemtum lineal, con la consideraci´on que las fuerzas de resortes y amortiguadores se oponen al movimiento −k1x1 + k2(x2 − x1) + b1( ˙x2 − ˙x1) = m1 ¨x1 −k2(x2 − x1) − b1( ˙x2 − ˙x1) + k3(x3 − x2) + b2( ˙x3 − ˙x2) = m2 ¨x2 −k3(x3 − x2) − b2( ˙x3 − ˙x2) − k4x3 = m3 ¨x3 reagrupando en funci´on de t´erminos semejantes con variables dependientes, m1 ¨x1 = −(k1 + k2)x1 − b1 ˙x1 + k2x2 + b1 ˙x2 m2 ¨x2 = k2x1 + b1 ˙x1 − (k2 + k3)x2 − (b1 + b2) ˙x2 + k3x3 + b2 ˙x3 m3 ¨x3 = k3x2 + b2 ˙x2 − (k3 + k4)x3 − b2 ˙x3 Asignando la siguiente transformaci´on de variables y1 = x1 y2 = ˙y1 = ˙x1 y3 = ˙y2 = ¨x1 y4 = x2 y5 = ˙y4 = ˙x2 y6 = ˙y5 = ¨x2 y7 = x3 y8 = ˙y7 = ˙x3 y9 = ˙y8 = ¨x3
  • 20. Con la asignaci´on de variables se vuelve a escribir el sistema de ecuaciones ˙y1 = y2 m1 ˙y2 = −(k1 + k2)y1 − b1y2 + k2y4 + b1y5 ˙y4 = y5 m2 ˙y5 = k2y1 + b1y2 − (k2 + k3)y4 − (b1 + b2)y5 + k3y7 + b2y8 ˙y7 = y8 m3 ˙y8 = k3y4 + b2y5 − (k3 + k4)y7 − b2y8 Expresado en forma matricial d dt         y1 y2 y4 y5 y7 y8         =         0 1 0 0 0 0 −k1+k2 m1 − b1 m1 k2 m1 b1 m1 0 0 0 0 0 1 0 0 k2 m2 b1 m2 −k2+k3 m2 −b1+b2 m2 k3 m2 b2 m2 0 0 0 0 0 1 0 0 k3 m3 b2 m3 −k3+k4 m3 − b2 m3                 y1 y2 y4 y5 y7 y8         resulta conveniente expresarlo en esta forma por que se busca la soluci´on por el camino de los valores y vectores propios; los valores propios son se aprecia que estos tienen son complejos (aparecen conjugados), se espera el mismo comportamiento en los vectores propios de manera que la soluci´on tiene la forma y = c1.eat (vcr.cos(bt) − vci.sen(bt)) + c2.eat (vci.cos(bt) + vcr.sen(bt)) donde a+bi es el valor propio complejo y vcr es el la componente real del vector propio y vci es la componente imaginaria del vector propio que es complejo, visualizar que vcr y vci intercambian de posici´on entre el primer y segundo sumando. para nuestro caso en concreto como hay 6 valores propios (3 valores complejos conjugados) la soluci´on tiene
  • 21. la forma         y1 y2 y3 y4 y5 y6         = c1.e−4,013t [         0,006 −0,277 −0,004 0,886 0,005 −0,318         .cos(28,449t) −         0,009 0,153 −0,031 0 0,01 0,107         .sen(28,449t)]+ c2.e−4,013t [         0,009 0,153 −0,031 0 0,01 0,107         .cos(28,449t) +         0,006 −0,277 −0,004 0,886 0,005 −0,318         .sen(28,449t)]+ c3.e−0,578t [         −0 0,903 −0,001 −0,012 0,002 −0,424         .cos(24,499t) −         −0,037 0 0 −0,032 0,017 0,041         .sen(24,499t)]+ c4e−0,578t [         −0,037 0 0 −0,032 0,017 0,041         .cos(24,499t) +         −0 0,903 −0,001 −0,012 0,002 −0,424         .sen(24,499t)]+ c−0,659t 5 [         −0,003 −0,355 0,001 −0,852 −0,004 −0,358         .cos(19,044) −         0,018 −0,077 0,044 0,0 0,0189 −0,097         .sen(19,044t)]+ c6−0,659t[         0,018 −0,077 0,044 0,0 0,0189 −0,097         .cos(19,044) +         −0,003 −0,355 0,001 −0,852 −0,004 −0,358         .sen(19,044t)] qued´andonos el trabajo de hallar los valores de las constantes, determinadas a partir de las condiciones iniciales, consiste en un sistema lineal que se program´o en Julia cuyo resultado fue
  • 22. graficando estos resultados se obtiene Figura 14. Desplazamiento vs tiempo en los tres cuerpos resultado esperado al tratarse de un movimiento amortiguado, se observa que para la segunda oscilaci´on el cuerpo 1 reduce su amplitud a la mitad, 5 segundos es un tiempo suficiente, donde se aten´ua la oscilaci´on.
  • 23. Figura 15. velocidad vs tiempo en los tres cuerpos el primer y segundo cuerpo alcanzan velocidades en el primer ciclo de hasta 1.0 m/s, se aten´ua r´apidamente a hasta los 3 segundos, reduciendo hasta 5 segundos, donde ”desaparece ”la oscilaci´on en velocidad. 2.2.1. Programa Julia el siguiente programa nos colabor´o en la b´usqueda de los valores propios y vecto- res propios para determinar la soluci´on del sistema de ecuaciones diferenciales as´ı como el sistema de ecuaciones lineales necesario para determinar el valor de las constantes con las condiciones iniciales dadas, definiendo previamente los par´ametros del sistema as´ı como el n´umero de iteraciones definido por el punto inicial,final y el paso. A=[0 1 0 0 0 0; (-k1-k2)/m1 -b1/m1 k2/m1 b1/m1 0 0; 0 0 0 1 0 0; k2/m2 b1/m2 (-k2-k3)/m2 (-b1-b2)/m2 k3/m2 b2/m2; 0 0 0 0 0 1; 0 0 k3/m3 b2/m3 (-k3-k4)/m3 -b2/m3] eival=eigvals(A); vlpr=real(eival) vlpi=imag(eival) eivec=eigvecs(A) vcpr=real(eivec[:,1:2:size(eivec,1)]) vcpi=imag(eivec[:,1:2:size(eivec,1)]) t0=0 mak1=exp(vlpr[1]*t0)*(vcpr[:,1]*cos(vlpi[1]*t0)-vcpi[:,1] *sin(vlpi[1]*t0))
  • 24. mak2=exp(vlpr[1]*t0)*(vcpi[:,1]*cos(vlpi[1]*t0)+vcpr[:,1] *sin(vlpi[1]*t0)) mak3=exp(vlpr[3]*t0)*(vcpr[:,2]*cos(vlpi[3]*t0)-vcpi[:,2] *sin(vlpi[3]*t0)) mak4=exp(vlpr[3]*t0)*(vcpi[:,2]*cos(vlpi[3]*t0)+vcpr[:,2] *sin(vlpi[3]*t0)) mak5=exp(vlpr[5]*t0)*(vcpr[:,3]*cos(vlpi[5]*t0)-vcpi[:,3] *sin(vlpi[5]*t0)) mak6=exp(vlpr[5]*t0)*(vcpi[:,3]*cos(vlpi[5]*t0)+vcpr[:,3] *sin(vlpi[5]*t0)) mak=[mak1 mak2 mak3 mak4 mak5 mak6] ci=[0.1 0 0 0 0 0]’ pana=makci #pana=[0.0049 1.5039 -0.1303 -2.0259 0.0825 1.4061]’ function analit(t) maka1=exp(vlpr[1]*t)*(vcpr[:,1]*cos(vlpi[1]*t)-vcpi[:,1] *sin(vlpi[1]*t)) maka2=exp(vlpr[1]*t)*(vcpi[:,1]*cos(vlpi[1]*t)+vcpr[:,1] *sin(vlpi[1]*t)) maka3=exp(vlpr[3]*t)*(vcpr[:,2]*cos(vlpi[3]*t)-vcpi[:,2] *sin(vlpi[3]*t)) maka4=exp(vlpr[3]*t)*(vcpi[:,2]*cos(vlpi[3]*t)+vcpr[:,2] *sin(vlpi[3]*t)) maka5=exp(vlpr[5]*t)*(vcpr[:,3]*cos(vlpi[5]*t)-vcpi[:,3] *sin(vlpi[5]*t)) maka6=exp(vlpr[5]*t)*(vcpi[:,3]*cos(vlpi[5]*t)+vcpr[:,3] *sin(vlpi[5]*t)) maka=[maka1 maka2 maka3 maka4 maka5 maka6] analitic=maka*pana return analitic’ end #Soluci´on anal´ıtica PREVIA xa=Array(Float64,trunc(nc)+1,6) #cada columna guardar´a la soluci´on de una concentraci´on ta=Array(Float64,trunc(nc)+1,1) # vector columna de la variable independiente tiempo ta[1,1]=t_0 xa[1,:]=[x1_0,v1_0,x2_0,v2_0,x3_0,v3_0] for i=1:nc ta[i+1,1]=ta[i]+dt xa[i+1,:]=analit(ta[i+1,1]) end #Gr´afica anal´ıtica using Plots plot(ta,xa)
  • 25. 2.3. Soluci´on del modelo matem´atico se utilizo Runge-Kutta de 4 grado presentando los siguientes resultados Figura 16. Desplazamiento vs tiempo en los tres cuerpos RUNGE-KUTTA y para las velocidades Figura 17. Error en posici´on vs tiempo en los tres cuerpos RUNGE-KUTTA los errores para la posici´on son
  • 26. Figura 18. Errores en velocidad para los 3 cuerpos. RUNGE KUTTA los errores son muy peque˜nos esto es debido al tambi´en peque˜no paso que se tomo de 1 mil´esima de segundo (0.001 s), en ambos casos el comportamiento del error es oscilatorio con una tendencia a reducirse en el tiempo, seg´un observaci´on del ´ultimo tramo. 2.3.1. Julia para Runge-Kutta de 4 grado #Soluci´on por Runge Kutta xrg=Array(Float64,trunc(nc)+1,6) #cada columna guardar´a la soluci´on sea de posici´on o velocidad x1rg=Array(Float64,trunc(nc),6) # columna que almacenar´a el 1 paso de Runge Kutta x2rg=Array(Float64,trunc(nc),6) # columna que almacenar´a el 2 paso de Runge Kutta x3rg=Array(Float64,trunc(nc),6) # columna que almacenar´a el 3 paso de Runge Kutta x4rg=Array(Float64,trunc(nc),6) # columna que almacenar´a el 4 paso de Runge Kutta trg=Array(Float64,trunc(nc)+1,1) # vector columna de la variable independiente tiempo trg[1,1]=t_0 # valor inicial en el la variable independiente tiempo xrg[1,:]=[x1_0,v1_0,x2_0,v2_0,x3_0,v3_0] #valores iniciales de las varibles dependientes #xih[1,:]=xh[1,:]+derivadas(xh[1,:])*dth #soluci´on por Runge Kutta
  • 27. for i=1:nc x1rg[i,:]=derivadas(xrg[i,:])*dt; #es delta de la ordenada el primer paso (paso completo) x2rg[i,:]=derivadas(xrg[i,:]+1/2*x1rg[i,:])*dt; x3rg[i,:]=derivadas(xrg[i,:]+1/2*x2rg[i,:])*dt; x4rg[i,:]=derivadas(xrg[i,:]+x3rg[i,:])*dt; xrg[i+1,:]=xrg[i,:]+1/6*(x1rg[i,:]+2*x2rg[i,:] +2*x3rg[i,:]+x4rg[i,:]) trg[i+1,1]=trg[i]+dt end 2.4. Responder Seg´un su modelo, ¿Cu´al es la magnitud de la velocidad del asiento, despu´es de 1 segundo de que el autom´ovil haya pasado un bache de 10 cm de profundidad? Figura 19. posiciones y velocidades despu´es de 1 segundo. RUNGE KUTTA se considera que la velocidad del asiento es igual a la de la masa 3, la m´as distante al suelo, el asiento para un an´alisis inicial est´a inamovible, para este caso extraemos dicha restricci´on de movimiento igualando su velocidad a a m3, que es la ´ultima columna de la figura mostrada, se aprecia que su velocidad es de 0.3764 m/s, dirigido hacia abajo. 3. CASO III CONTAMINACI ´ON EN UN SISTEMA DE RESERVORIOS ACUIFEROS 3.1. Enunciado Modelos basados en arreglos o sistemas de tanques interconectados son frecuente- mente encontrados en aplicaciones de ingenier´ıa, particularmente en plantas piloto qu´ımi- cas, as´ı como en aplicaciones industriales de mezclado o para el estudio de condiciones de contaminaci´on en sistemas de flujos interconectados. En particular, en el presente caso de estudio, se deben examinar las condiciones de avance en el tiempo de los niveles de contaminaci´on en un sistema de lagos, o reservorios acu´ıferos, que est´an interconectados, y en los cuales se est´a descargando un contaminante x a trav´es de dos puntos. El sistema de reservorios se presenta de forma esquem´atica en la siguiente figura.
  • 28. Figura 20. Distribuci´on del sistema de reservorios acu´ıferos Las corrientes q1 y q8 presentan niveles de contaminaci´on intermitentes. Todas las dem´as corrientes de entrada se pueden considerar totalmente limpias. Se conoce que debido a condiciones de uso no reglamentario, la corriente de alimentaci´on del reservorio 1 (q1) y una de las del reservorio 5 (q8) presentan niveles de contaminaci´on, intermi- tentes en el tiempo, y las cuales causan que todos los reservorios tengan alg´un nivel de contaminaci´on en cualquier momento. Las dem´as corrientes de alimentaci´on se pueden considerar, en general, limpias o carentes del contaminante en estudio x (es decir la con- centraci´on de contaminante se puede asumir nula en las corrientes de entrada q2, q3 y q5). En las corrientes de entrada q1 y q8 se adicionan cantidades de reactivo x, con con- centraciones c1, y c8, respectivamente. 3.2. Objetivos Como objetivos en este tercer caso de estudio se tiene el identificar los caudales y la concentraci´on de contaminante en cada uno de los reservorios y en la descarga del sis- tema, ademas de esto tambi´en se desea realizar, por medio del lenguaje de programaci´on de Julia, un programa en el cual se puede analizar el problema y de ser preciso realizar cambios en los datos de entrada y por ´ultimo tener las condiciones para que la red de reservorios este dentro de los limites de contaminaci´on permitidos. 3.3. Marco Te´orico Modelos compartimentales: este tipo de modelos se caracterizan porque dividen el sistema en varias partes y estos a su vez interaccionan entre ellos intercambiando sus- tancias, tal como se observa en nuestro caso de estudio, el cual tiene 6 compartimientos que intercaran entre ellos por medio de canales. Este tipo de modelo tambi´en es conocido como deterministas, y se basa en el conocimiento del futuro con base en entradas del presente.Los sistemas compartimentales se consideran cerrados si no existe ninguna interacci´on entre el sistema y el entrono, esto quiere decir que no existe intercambio de masa, en la siguiente figura se puede observar un sistema compartimental cerrado con un ingreso ´unico de materia X1 e interacci´on entre los dos compartimentos.
  • 29. Figura 21. Sistema bicompartimental cerrado Este tipo de modelos es muy usado en la farmacolog´ıa, ya que ayuda a predecir el resultado que genera el consumo de f´armacos en el organismo, ademas que el cuerpo trabaja de manera compartimental intercambiado ´acidos y flujos importantes para el buen funcionamiento del metabolismos y otras partes, tal como se observa en la siguiente fi- gura donde se observa un modelo cin´etico del metabolismo del colesterol en el humano, representado por un sistema multicompartimental. Figura 22. Modelo cin´etico del metabolismo del colesterol en el humano
  • 30. 3.4. Datos de entrada El valor de los caudales iniciales es: q1 = 0,52m3 /s q2 = 0,38m3 /s q3 = 0,18m3 /s q5 = 0,05m3 /s q8 = 0,93m3 /s q10 = 0,48m3 /s Y las capacidades de cada uno de los reservorios es: V 1 = 130m3 V 2 = 115m3 V 3 = 87,5m3 V 4 = 53,3m3 V 5 = 185m3 V 6 = 232,5m3 Como se observa algunos caudales no est´an definidos, pero se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones, que tambi´en est´an programadas en el programa reali- zado. q6 = q1 − q4 + q2 q4 = q10 − q3 q9 = q6 + q7 q7 = q5 + q8 q11 = q10 − q9 Consideraciones para el desarrollo del caso. ∗ Se considera los recipientes adiab´aticos y sin transferencia de masa. ∗ No se consideran procesos de difusi´on en ning´un reservorio. ∗ Las mezclas son homog´eneas e instant´aneas. ∗ las corrientes q2, q3 y q5 son carentes de contaminantes. ∗ Las corrientes de los caudales q1 y q8 contienen niveles de contaminaci´on. ∗ La concentraci´on del contaminante x varia con el tiempo en todos los lagos.
  • 31. Planteamiento Partiendo de la ley de conservaci´on de masas y atacando el problema como un problema compartimental tenemos que para cada uno de los lagos se obtienen una ecuaci´on diferencial como sigue: dx1 dt = q1c1(t) − q1 x1 v1 (18) dx2 dt = q1 x1 v1 − q6 x2 v2 − q4 x2 v2 (19) dx3 dt = q4 x2 v2 − q10 x3 v3 (20) dx4 dt = q6 x2 v2 + q7 x5 v5 − q9 x4 v4 (21) dx5 dt = q8c8(t) − q7 x5 v5 (22) dx6 dt = q10 x3 v3 + q9 x4 v4 − q11 x6 v6 (23) Debemos tener en cuenta que de acuerdo a las condiciones planteadas en este caso la concentraci´on C1(t) tiene un comportamiento de acuerdo a la siguiente ecuaci´on: c1(t) = a0 + 3 i=1 aicos(wit) + bisin(wit) Los valores de cada una de las constantes est´an dados por la siguiente tabla:
  • 32. Figura 23. Datos experimentales para la expresi´on anal´ıtica del valor de la con- centraci´on c1(t) de la corriente q1. De igual manera seg´un datos iniciales el caudal q8 tiene un comportamiento pe- ri´odico tal como se observa:    0,00 kg m3 ; 0 < t < 100s 0,15 kg m3 ; 100s ≤ t < 1000s 0,28 kg m3 ; 1000s ≤ t < 2500s 0,01 kg m3 ; 2500s ≤ t < 3600s 3.5. Programa El programa para la soluci´on del este caso se realizo en la plataforma de Julia box. se inicio planteando los datos de ingreso y hallando los caudales faltantes. Figura 24. Par´ametros de entrada Luego se defini´o las condiciones iniciales para cada lago en cuanto a concentra- ci´on y se estableci´o la funci´on del caudal 1 y sus variaciones en el tiempo.
  • 33. Figura 25. condiciones iniciales y variaciones el siguiente paso es la definici´on de las EDO y la definici´on del paso y el tiempo de simulaci´on: Figura 26. Definici´on de las EDO Finalmente se solucionan el sistema de ecuaciones diferenciales por medio del m´etodo de Runge Kutta.
  • 34. Figura 27. Soluci´on por Runge Kutta 3.6. Resultados y an´alisis de resultados En los resultados arrojados por el programa podemos ver la gr´afica de las con- centraciones versus el tiempo transcurrido de cada uno de los reservorios, en la siguiente figura se observa la concentraci´on para el reservorio 1: Figura 28. Concentraci´on de contaminante reservorio 1 VS tiempo De la gr´afica podemos decir que para el reservorio 1 la concentraci´on aumenta r´apidamente entre de 0 a 1000 segundos tomando un valor de alrededor de 15 kilogramos por metro cubico estabiliz´andose en este valor hasta un tiempo infinito.
  • 35. Pasamos al reservorio 2 el cual tiene el comportamiento mostrado en la siguiente gr´afica: Figura 29. Concentraci´on de contaminante reservorio 3 VS tiempo Este reservorio tambi´en tiene un comportamiento constantes desde 1200 segundos con un valor de 7 kilogramos por metro cubico de contaminante. Para el reservorio 3 se tiene de igual manera un comportamiento constante a partir del trascurso de 2000 segundos con un valor de 4 kilogramos por metro cubico tal como se observa en la siguiente figura. Figura 30. Concentraci´on de contaminante reservorio 3 VS tiempo Pasamos ahora al reservorio 4 el cual toma el siguiente comportamiento:
  • 36. Figura 31. Concentraci´on de contaminante reservorio 4 VS tiempo para el reservorio 5 tenemos que: Figura 32. Concentraci´on de contaminante reservorio 5 VS tiempo y finalmente el reservorio 6:
  • 37. Figura 33. Concentraci´on de contaminante reservorio 6 VS tiempo Los caudales de las salidas de q4 y q6 se pueden controlar de tal manera que para que la cantidad de contaminante que entra a los reservorios 4 y 3 sea mas apropiada esto ayudara a que el reservorio 4 no tenga la cantidad de contaminante indeseado. El reservorio 5 es el que mayor cantidad de contaminante presenta ya que el caudal q8 esta directamente conectado en entrada a este reservorio por tal razon es el que presenta una mayor cantidad del agente X, este caudal q8 ademas de influir en el reservorio 5 tambi´en tiene una gran influencia en los reservorios 4 y 6. Para disminuir la cantidad de contaminante en los reservorios con mayor influen- cia (reservorioa 4, 5 y 6) realizando analisi por medio del programa se observa que si el valor del caudal 8 (q8) se disminuye considerablemente se podria empezar a tener unos niveles de contaminante aceptables dentro del marco legal. otra forma de mejorar los niveles de contaminante es aumentando los caudales de los que no insertan contaminante a los reservorios, para nuestro caso seria el aumento de los caudales q2, q3 y q5 y de esta manera se tendr´a una mejor´ıa aun mayor en el sistema de reservorios. Referencias Facultad de ingenier´ıa - Universidad Nacional de La Plata (1992). APUN- TES DE : ”DISE ˜NO DE LINEAS ELECTRICAS”. [online] Available at: https://catedra.ing.unlp.edu.ar/electrotecnia/sispot/Libros202007/le-index.htm [Accessed 26 Mar. 2018]. Gavil´an, M. E. (2006). AN ´ALISIS DEL MOVIMIENTO DE UN COHETE PRO- PULSADO POR AGUA. Revista Colombiana de F´ısica, 38(1). Villar, J. I. (2014). C´alculo y dise˜no de cohetes de agua como proyecto did´actico integrador en mec´anica de los fluidos. In III Congreso Argentino de Ingenier´ıa Aeron´auti- ca (CAIA 3)(La Plata 2014).
  • 38. Hern´andez, P. A. Q. (2008). M´etodos de soluci´on de ecuaciones diferenciales y aplicaciones. Revert´e. Gershenfeld, N. A. (1999). The nature of mathematical modeling. Cambridge uni- versity press. Ogata, K. (2003). Ingenier´ıa de control moderna. Pearson Educaci´on. Sofia Carlos Alberola, Sergio Gallardo Bermell, Sebasti´an Martorell Alsina (2013), Modelos compartimentales para el c´alculo de dosis interna. Mar´ıa Jos´e Garc´ıa Mesenguer (1997), An´alisis cin´etico de los sistemas lineales de compartimentos: aplicaci´on a la evaluaci´on de par´ametros medios.