Modelación de transporte reactivo

Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica
Taller 02 Sem I - 2018 Modelación Matemática
TALLER 02 - MODELACIÓN MATEMÁTICA: PDEs, Optimización y Eventos Discretos
Nombre estudiante Código Grupo
Puntos importantes:
Para el presente Taller es SUMAMENTE IMPORTANTE que su grupo cumpla con los siguientes puntos
En todos los casos de estudio, y donde corresponda, su grupo deberá presentar los diferentes pasos del
proceso de modelación, así como una clara argumentación de las simplificaciones o suposiciones usadas en
los diferentes casos y modelos.
Deben incluirse los códigos fuente de cualquier modelo computacional elaborado (independiente del lenguaje)
Los informes impresos deberán tener como portada la presente hoja. (SIN ESTA HOJA DE PORTADA NO
SE CALIFICARÁ EL TALLER)
La calidad de la presentación de los informes escritos será especialmente considerada en la calificación: calidad,
resolución y claridad de los gráficos, y calidad así como de las conclusiones que se extraigan de ellos.
Los casos de estudio del presente taller, y sus respectivas ponderaciones de calificación son:
Caso de estudio Ponderación
Sección Caso 1 45 %
Fecha de entrega: Jueves 31 de Mayo de 2018
Condiciones de entrega: Para que la entrega del taller se considere válida, debe cumplir los siguientes criterios/condiciones
1. Entrega física del taller impreso: Mayo 31 de 2018 antes de las 13:00 (1:00 p.m.)
2. Reporte impreso debe incluir impresión corta de códigos fuente
3. Entrega de archivos y códigos de forma digital: Envío de UN SOLO archivo ZIP, con toda la información relevante
al sitio virtual del curso. Carga de este ÚNICO archivo ZIP deberá hacerse antes de las 23:59 del Jueves 31 de
Mayo de 2018.
4. Los archivos deberán enviarse en UN SOLO ARCHIVO COMPRIMIDO, cuyo nombre deberá cumplir el siguiente
formato: <ApellidoEstudante01>_<ApellidoEstudante02>_<ApellidoEstudante03>_Taller02.zip
5. Instrucciones específicas de como cargar el archivo comprimido se publicarán en la sección de anuncios del aula
virtual del curso.
Modelación Matemática Página 1 de 4

Taller 02 - Modelación con EDP’s y Optimización
Caso 1. Transporte transitorio en un reactor unidimensional (45 %)
La ecuación de advección-difusión-reacción unidimensional, ecuación (1), es un modelo matemático válido para calcular la
distribución de la concentración de un reactivo a lo largo de un reactor químico de sección transversal constante (ver
Figura 1), tal como se presenta a continuación:
∂c
∂t
= D
∂2
c
∂x2
− U
∂c
∂x
− κ c (1)
donde
c : Concentración de reactivo (kg/m3
)
t : Tiempo (s)
D : Coeﬁciente de difusión (m2
/s)
x : Distancia longitudinal (m)
U : Velocidad promedio en x (m/s)
κ : Velocidad de reacción del reactivo (s−1
)
Figura 1: Reactor con un solo punto de entrada y salida.
Este problema en particular viene dado con las siguientes condiciones de frontera,
∂c
∂x
= 0.05
cref
L
en x = 0 y − D
∂c
∂x
+ U c = U cref en x = L (2)
donde cref es un valor de referencia de la concentración. Considere que el reactor opera bajo los siguientes valores
paramétricos:
D : 1.8 m2
/s L : 0.9 m U : 0.2 m/s cref : 0.1 kg/m3
κ : 5 s−1
¿Qué se debe realizar?
Dadas las consideraciones anteriores, usted debe:
1. Formular el problema en forma discreta usando:
a) Un esquema de discretización espacial usando FDM de 2o orden y un esquema temporal explícito
(Euler Forward)
b) Un esquema de discretización espacial usando FDM de 3er orden y un esquema temporal semi-implícito
(Crank-Nicholson)
2. Escribir un código computacional para resolver los modelos discretos planteados
3. Para cada esquema temporal presentar curvas de concentración vs. posición x para diferentes instantes t
4. Presentar la curva de concentración a lo largo del reactor para t = 10 s, para cada una de las combinaciones
de esquema temporal y espacial
Importante: Adimensionalice la ecuación (1), así como las condiciones de frontera. Sugerencia: Solo normalice variables
dependientes e independientes, y tome como tiempo característico el valor τ = L/U.
Modelación Matemática Actualización: Mayo/2018 Página 2 de 4

Caso 2. Diseño óptimo paramétrico de un resorte helicoidal (35 %)
Se desea determinar la sensibilidad del proceso optimización de diseño de un resorte helicoidal sometido a una carga de
compresión cíclica (similar al caso de estudio disponible en notas de clase – por favor solicitarlas!). Una representación
esquemática e indicación de dimensiones genéricas se presenta en la Figura 2
Figura 2: Esquema de un resorte helicoidal.
En este caso se desea encontrar los valores óptimos de los diferentes parámetros para que el resorte tenga, en cualquier
caso, una masa mínima. Especíﬁcamente, se desea conocer la sensibilidad del modelo de optimización para diferentes
combinaciones de esfuerzo cortante admisible y frecuencia de carga, para tres valores de carga diferentes. Los valores
cuyas combinaciones se desean explorar son:
Valores de esfuerzo cortante admisible (en ksi): τadm = 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95100
Valores de frecuencia de carga (en Hz): ω0 = 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110
Valores de carga máxima aplicada (en lbf): P = 8, 12, 16
¿Qué se debe realizar?
Dadas las consideraciones anteriores, su grupo debe:
1. Formular el problema de optimización en forma estándar usando condiciones KKT
2. Construir y utilizar un código computacional adecuado para llevar a cabo el proceso de optimización con
cada combinación de parámetros y restricciones
3. Concebir y utilizar una forma adecuada de presentación de resultados en donde sea clara la inﬂuencia de la
variación de cada uno de los parámetros empleados
4. Determinar el nivel de sensibilidad del modelo construcido a las diferentes combinaciones de parámetros
5. Proponer un escenario alternativo, pero real, de uso de la técnica de optimización empleada y del análisis de
sensibilidad elaborado

Caso 3. Introducción a Técnicas de Simulación de Sistemas de Eventos
Discretos (20 %)
Un sistema de eventos discretos es un sistema de estados discretos que es gobernado por eventos específicos. En tal
sistema los cambios de estado del mismo dependen enteramente de la ocurrencia de eventos discretos sobre el tiempo.
Ejemplos de sistemas de eventos discretos son: sistemas de manufactura, sistemas de transporte tales como redes de
tráfico urbano, sistemas de servicio como hospitales y sistemas de comunicación como redes inhalambricas, entre otros.
Con este punto se desea que usted y su equipo de trabajo haga un acercamiento general a las técnicas de simulación de
eventos discretos. Para este fin, su equipo de trabajo debe:
1. Hacer una corta revisión teórica de Sistemas de Eventos Discretos, incluyendo ejemplos concretos.
2. Reponder, ¿Cuál es la metodología general de modelación de sistemas de eventos discretos?
3. Definir: (i) Rutinas de eventos, (ii) Trayectoria de un modelo de simulación, (iii) Pasos básicos requeridos para una
simulación de eventos discretos
4. Presentar la definición de un ejemplo simple, práctico y concreto del uso de técnicas de simulación de eventos
discretos
5. Llevar a cabo una implementación computacional simple del ejemplo descrito anteriormente.
Las referencias que pueden ser consultadas para abordar este punto incluyen: Carson et al. [1], Zeigler et al. [2], Law et al.
[3], Wainer [4], Fishman [5], Choi and Kang [6], Wainer and Mosterman [7]
Referencias
[1] JS Carson, Jerry Banks, and Barry L Nelson. Discrete-event system simulation, 1996.
[2] Bernard P Zeigler, Herbert Praehofer, and Tag Gon Kim. Theory of modeling and simulation: integrating discrete
event and continuous complex dynamic systems. Academic press, 2000.
[3] Averill M Law, W David Kelton, and W David Kelton. Simulation modeling and analysis, volume 3. McGraw-Hill New
York, 2007.
[4] Gabriel A Wainer. Discrete-event modeling and simulation: a practitioner’s approach. CRC press, 2009.
[5] George S Fishman. Discrete-event simulation: modeling, programming, and analysis. Springer Science & Business
Media, 2013.
[6] Byoung Kyu Choi and Donghun Kang. Modeling and simulation of discrete event systems. John Wiley & Sons, 2013.
[7] Gabriel A Wainer and Pieter J Mosterman. Discrete-event modeling and simulation: theory and applications. CRC
Press, 2016.

TALLER II Modelación Matemática
Berthing Gutiérrez1
, Robinson Munevar1
, Alberto Preciado1
1
Departamento de Ingenier´ıa Mecánica y Mecatrónica
Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogotá
{bgutierrezb@unal.edu.co,rsmunevarp@unal.edu.co,dapreciador@unal.edu.co}
1. Caso 1. Transporte transitorio en un reactor unidimensional
1.1. Enunciado
La ecuación de advección-difusión-reacción unidimensional, ecuación (1), es un
modelo matemático válido para calcular la distribución de la concentración de un reactivo
a lo largo de un reactor qu´ımico de sección transversal constante (ver Figura), tal como se
presenta a continuación:
∂c
∂t
= D
∂2
c
∂x2
− U
∂c
∂x
− κc (1)
donde:
c : Concentración del reactivo (kg/m3
)
t : tiempo (s)
D : Coeficiente de difusión (m)
x : distancia longitudinal (m2
/s)
U : velocidad promedio en x (m/s)
κ : velocidad reacción del reactivo (s−
1)
Este problema en particular viene dado con las siguientes condiciones de frontera
∂c(x = 0)
∂x
= 0,05
cref
L
(2)
−D
∂c(x = L)
∂x
+ U.c(x = L) = U.cref (3)
donde cref es un valor de referencia de la concentración. Considere que el reactor opera
bajo los siguientes valores paramétricos:
D : 1.8 (m2
/S)
L : 0.9 (m)
U : 0.2 (m/s)
cref : 0.1 (kg/m3
)
κ : 5 (s−
1)

1.2. Identificación del problema
se identifica la naturaleza de las variables del problema
Se tiene como punto de partida el planteamiento anal´ıtico de la ecuación de difu-
sión - advección - reacción :
∂c
∂t
= D
∂2
c
∂x2
− U
∂c
∂x
− κc (4)
Esta ecuación describe los fenómenos que determinan la concentración transitoria del
reactivo C a lo largo de la longitud del reactor. se adimensionalizan las variables depen-
dientes e independientes, para ello se establecen los siguientes términos adimensionales.
c∗ = c
cref
; t∗ = t
tref
; x∗ = x
Lref
= x
L
Para el tiempo de referencia se establece:
tref =
L
U
→ t = t ∗ .tref =
L
U
t∗ → ∂t =
L
U
∂t∗
realizando la equivalencia de derivadas originales con derivadas de variables adimensio-
nales
c = cref .c∗ → ∂c = cref .∂c∗ → ∂2
c = cref .∂2
c∗
y
x = L.x∗ → ∂x = L.∂x∗ → ∂2
x = L∂2
x∗
reemplazando estos valores previos en (4)
cref ∂c∗
L
U
∂t∗
= D
cref
L2
∂2
c∗
∂x∗2
− U
cref
L
∂c∗
∂x∗
− κcref c∗
∂c∗
∂t∗
=
D
LU
∂2
c∗
∂x∗2
−
∂c∗
∂x∗
−
KL
U
c∗
estableciéndose las variables:
K1 = D
LU
; K2 = KL
U
(5)
∂c∗
∂t∗
= K1
∂2
c∗
∂x∗2
−
∂c∗
∂x∗
− K2c∗ (6)
Para los extremos del reactor se establecen restricciones o condiciones de frontera, que
determinan el comportamiento del reactivo al inicio y final del reactor para todos los
instantes, estas son:
∂c(x = 0)
∂x
= 0,05
cref
L

−D
∂c(x = L)
∂x
+ U.c(x = L) = U.cref
adimensionalizando las condiciones de frontera:
∂c(x = 0)
∂x
= 0,05
cref
L
→ z1 = 0,05
cref
L
∂c ∗ (x = 0)
∂x∗
= z1
cref
L
para obtener la condición de frontera adimensionalizada en el extremo izquierdo (x = 0):
∂c ∗ (x = 0)
∂x∗
= z1 (7)
con la condición de frontera de Neumann en el extremo derecho (x∗ = 1):
−D
cref
L
∂c ∗ (x = L)
∂x∗
+ U.cref c ∗ (x∗ = 1) = U.cref
∂c ∗ (x = L)
∂x∗
−
UL
D
c ∗ (x∗ = 1) = −
UL
D
obteniendo la ecuación diferencial adimensionalizada (con los valores prescritos en 5):
∂c ∗ (x∗ = 1)
∂x∗
−
1
K1
c ∗ (x∗ = 1) = −
1
K1
= z2
∂c ∗ (x∗ = 1)
∂x∗
+ z2c ∗ (x∗ = 1) = z2 (8)
1.3. Un esquema de discretización espacial usando FDM de 2o orden y un
esquema temporal expl´ıcito (Euler Forward)
a partir de este punto se prefiere omitir el * de la ecuación diferencial y sus con-
diciones de fronteras por comodidad. utilizando un esquema temporal expl´ıcito para el
derivada temporal y DFM de orden dos para todas las derivadas
definimos las variables
a1 = K1
k
h2 a2 = −2K1
k
h2 a3 = K1
k
h2
b1 = − 1
2h
b3 = 1
2h
quedando la expresión
Cn+1
= (a1 − b1)Ci−1 + (a2 − K2k + 1)Ci + (a3 − b3)Ci+1
definiendo las variables
c1 = a1 − b1 c2 = a2 − K2k + 1 c3 = a3 − b3
resultando
Cn+1
= c1Ci−1 + c2Ci + c3Ci+1

quedando matricialmente como
averiguamos el valor de los en los nodos que salen del dominio discretizando
ambas condiciones de frontera, en la frontera (x*=0)
∂c(x = 0)
∂x
= z1 →
C2 − C0
2h
→ C0 = C2 − 2hz1
y con la frontera (x*=1), de 8
CN+1 − CN−1
2h
−
1
K1
CN = z2 → CN+1 = CN−1 + d1CN + d2
donde
d1 = 2h
K1
d2 = 2z2h
quedando la formulación matricial de la manera
1.3.1. código computacional Euler expl´ıcito
%% parametros de problema
clc,clear,close all
D=1.8; %coeficiente de difusión
L=0.9; %longitud de reactor
U=0.2; %velocidad promedio en x
c_ref=0.1; %concentracion reactivo referencia
K=5; %velocidad reaccion del reactivo
K1=D/(L*U); K2=K*L/U;
z1=0.05; % condicion Neumann x=0
z2=-1/K1; %condicion Fourier x=1
%% parametros de simulacion ---previas
x1=0;
xN=1;
h=0.1; %paso espacial
N=round((xN-x1)/h)+1;
k=0.0001; %paso de tiempo
a1=K1*k/hˆ2; a2=-2*K1*k/hˆ2; a3=K1*k/hˆ2;
b1=-1/(2*h); b3=-b1;
c1=a1-b1; c2=a2-(K2*k)+1; c3=a3-b3;
d1=2*h/(K1); d2=2*z2*h;
%% llenado matriz11 contiene información desde nodo 1 hasta nodo N en tiempo n+1
for i=1:N
matriz1(i,i)=c2;
if i-1>0

matriz1(i,i-1)=c1;
end
if i+1<(N+1)
matriz1(i,i+1)=c3;
end
end
matriz1(1,2)=matriz1(1,2)+1;
matriz1(N,N-1)=matriz1(N,N-1)+1;
matriz1(N,N)=matriz1(N,N)+d1;
vector1=zeros(size(matriz1,1),1); %vector agrega tiempo n+1, nodo 1:N-4
vector1(1)=-2*h*z1;
vector1(end)=d2;
%% solucion por matrices, la configuracion matrices es ecuacion nodo
Ctiempon_1=zeros(size(vector1)); %las concentraciones en el tiempo n
Ctiempon_n=zeros(N,1);
x=[0:h:1]’; %abscisas
t=0
while t<1
Ctiempon_n=matriz1*Ctiempon_1+vector1; %ecuación matricial expl´ıcita
Ctiempon_1=Ctiempon_n;
t=t+k;
end
plot(x,Ctiempon_n)
1.4. Un esquema de discretización espacial usando FDM de 3er orden y un
esquema temporal semi-impl´ıcito (Crank-Nicolson)
utilizando discretización por Crank-Nicolson para el tiempo, discretización con
cinco puntos para la segunda derivada (-3:1 tres elementos atrás y uno hacia adelante esto
se hace por que se necesita introducir las condiciones de borde con las expresiones que
se salgan del dominio) (orden 3) y discretización hacia atrás con 3 puntos y uno hacia
adelante (en total 5 puntos) para la primera derivada (4 orden), la diferencia del orden va
en la igualdad de puntos tomados.
de http://web.media.mit.edu/ crtaylor/calculator.html
Figura 1. coeficientes de diferencias finitas en aproximación de una derivada de segundo orden con
5 puntos de aproximación (3er orden en precisión),desde -3:1

Figura 2. coeficientes de diferencias finitas en aproximación de una derivada de primer orden con 5
puntos de aproximación (4er orden en precisión),desde -3:1
se obtienen los distintos valores de los coeficientes as y bs definiéndose las si-
guientes constantes
a1 = −1
12
a2 = 4
12
a3 = 6
12
a4 = −20
12
a5 = 11
12
b1 = −1
12
b2 = 6
12
b3 = −18
12
b4 = 10
12
b5 = 3
12
c1 = K1∗a1∗k
2h2 c2 = K1∗a2∗k
2h2 c3 = K1∗a3∗k
2h2 c4 = K1∗a4∗k
2h2 c5 = K1∗a5∗k
2h2
d1 = K1∗a1∗k
2h2 d2 = K1∗a2∗k
2h2 d3 = K1∗a3∗k
2h2 d4 = K1∗a4∗k
2h2 d5 = K1∗a5∗k
2h2
obteniéndose
definiendo las variables e
e1 = c1 − d1 e2 = c2 − d2 e3 = c3 − d3
e6 = c4 − d4 − K2
2
− 1 e5 = c5 − d5 e7 = c4 − d4 − K2
2
+ 1
la discretización queda de la forma
como sistema matricial se obtiene

Figura 3. sistema matricial discretizado con valores ficticios fuera del dominio
Ambos son uno, donde la parte de arriba de la izquierda representa la discretiza-
ción para el tiempo n + 1 y la parte de abajo, la de la derecha representa la discretización
para el tiempo n. para determinar los vectores que añaden en cada lado de la ecuación,
vectores que involucran a valores ficticios fuera de nuestro dominio, para hallar su valor
se utiliza aproximación de las derivadas de acuerdo a la condición de frontera en cada
borde. para la condición de frontera Neumann en el borde izquierdo (parte superior del
vector que añade) se aproximan dichos valores por aproximación en diferencias finitas de
la derivada, se plantea las ecuaciones de arriba hacia abajo hallando primero el valor c0
escalando para hallar finalmente c−3

de 36,4,4,5
f1 = −1
12∗h
f2 = 6
12∗h
f3 = −18
12∗h
f4 = 10
12∗h
f5 = 3
12∗h
g1 = 1
12∗h
g2 = −8
12∗h
g3 = 0
12∗h
g4 = 8
12∗h
g5 = −1
12∗h
h1 = −3
12∗h
h2 = −10
12∗h
h3 = 18
12∗h
h4 = −6
12∗h
h5 = 1
12∗h
siendo el sistema de ecuaciones a resolver
donde cM1 = c−1 cM2 = c−2
este sistema ser´a resuelto de manera descendente para insertar estos valores
”ponderados.en
la matriz de la ecuaci´on discretizada

insertando nuevas variables que simplifiquen el tipo.
−e1c0 = i1c1 + i2c2 + i3c3 + i4c4 + i5z1
−e1c−1 − e2c0 = j1c1 + j2c2 + j3c3 + j4c4 + j5z1
−e1c−2 − e2c−1 − e3c0 = k1c1 + k2c2 + k3c3 + k4c4 + k5z1
para las ecuaciones en el tiempo n (parte derecha de la ecuación matricial), en este punto
ya se hallo el valor de c−3,c−2,c−1,c0,determinando los valores ”ponderados”para este
tiempo en particular
e1c0 = −i1c1 − i2c2 − i3c3 − i4c4 − i5z1
e1c−1 + e2c0 = −j1c1 − j2c2 − j3c3 − j4c4 − j5z1
e1c−2 + e2c−1 + e3c0 = −k1c1 − k2c2 − k3c3 − k4c4 − k5z1
para la otra frontera de x*=1 se tiene la condición de Fourier 8 los valores que están fuera
de la frontera se aproximan por diferencias finitas por medio de la condición de frontera
en esta frontera con la aproximación de primera derivada de 36 la ecuación a ser resuelta
para encontrar el valores de cN+1, y hallando el correspondiente valor de −e5cN+1
donde cNM1 = cN+1 introduciendo nuevas variables para simplificar el tipeo,
estos valores fuera del dominio ”ponderados.es
tán de la forma
−e5cN+1 = l1cN−3 + l2cN−2 + l3cN−1 + l4cN + l5z2 (9)

que son los valores para el tiempo n + 1 en la frontera x∗ = 1
para el tiempo n usando los valores hallados de cN+1 y como las ecuaciones que ”ponde-
ran”tienen una forma similar quedando de la forma
e5cN+1 = −l1cN−3 − l2cN−2 − l3cN−1 − l4cN − l5z2 (10)
finalmente el sistema matricial queda de la forma
1.4.1. código computacional Crank Nicolson
%% parametros de problema
clc,clear,close all
D=1.8; %coeficiente de difusión
L=0.9; %longitud de reactor
U=0.2; %velocidad promedio en x
c_ref=0.1; %concentracion reactivo referencia
K=5; %velocidad reaccion del reactivo
K1=D/(L*U); K2=K*L/U;
z1=0.05; % condicion Neumann x=0
z2=1/K1; %condicion Fourier x=1
%% parametros de simulacion ---previas
x1=0;
xN=1;
h=0.1; %paso espacial
N=round((xN-x1)/h)+1;
k=0.0001; %paso de tiempo
a1=-1/12; a2=4/12; a3=6/12; a4=-20/12; a5=11/12;
b1=-1/12; b2=6/12; b3=-18/12; b4=10/12; b5=3/12;
c1=K1*a1*k/(2*hˆ2); c2=K1*a2*k/(2*hˆ2); c3=K1*a3*k/(2*hˆ2); c4=K1*a4*k/(2*hˆ2); c5=K1*a5*k/(2*hˆ2);
d1=b1*k/(2*h); d2=b2*k/(2*h); d3=b3*k/(2*h); d4=b4*k/(2*h); d5=b5*k/(2*h);
e1=c1-d1; e2=c2-d2; e3=c3-d3; e6=c4-d4-K2/2-1; e5=c5-d5; e7=c4-d4-K2/2+1;
%% parametros para la condición frontera Neumann en x=0
f1=-1/(12*h); f2=6/(12*h); f3=-18/(12*h); f4=10/(12*h); f5=3/(12*h);
%coeficientes diferencias finitas 1 derivada -3:1
g1=1/(12*h); g2=-8/(12*h); g3=0/(12*h); g4=8/(12*h); g5=-1/(12*h);
h1=-3/(12*h); h2=-10/(12*h); h3=18/(12*h); h4=-6/(12*h); h5=1/(12*h);
%aproximaciones de valores ficticios anteriores
% i
i1=e1*h2/h1; i2=e1*h3/h1; i3=e1*h4/h1; i4=e1*h5/h1; i5=-e1/h1;
% j
j1=e1*g3/g1+e2*h2/h1-e1*g2*h2/(g1*h1);
j2=e1*g4/g1+e2*h3/h1-e1*g2*h3/(g1*h1);
j3=e1*g5/g1+e2*h4/h1-e1*g2*h4/(g1*h1);

j4=e2*h5/h1-e1*g2*h5/(g1*h1);
j5=-e2/h1-e1/g1+e1*g2/(g1*h1);
% k
k1=e1*f4/f1+e2*g3/g1+e3*h2/h1-e1*f2*g3/(f1*g1)-e1*f3*h2/(f1*h1)-e2*g2*h2/(g1*h1)...
-e1*f2*g3/(f1*g1)-e1*f3*h2/(f1*h1)-e2*g2*h2/(g1*h1)+e1*f2*g2*h2/(f1*g1*h1);
k2=e1*f5/f1+e2*g4/g1+e3*h3/h1-e1*f2*g4/(f1*g1)-e1*f3*h3/(f1*h1)-e1*f2*g4/(f1*g1)...
-e1*f3*h3/(f1*h1)-e1*f2*g4/(f1*g1)-e1*f3*h3/(f1*h1)-e2*g2*h3/(g1*h1)+e1*f2*g2*h3/(f1*g1*h1);
k3=e2*g5/g1+e3*h4/h1-e1*f2*g5/(f1*g1)-e1*f3*h4/(f1*h1)-e1*f2*g5/(f1*g1)...
-e1*f3*h4/(f1*h1)-e2*g2*h4/(g1*h1)+e1*f2*g2*h4/(f1*g1*h1);
k4=e3*h5/h1-e1*f3*h5/(f1*h1)-e2*g2*h5/(g1*h1)+e1*f2*g2*h5/(f1*g1*h1);
k5=-e2/g1-e3/h1-e1/f1+e1*f2/(f1*g1)+e1*f3/(f1*h1)+e2*g2/(g1*h1)-e1*f2*g2/(f1*g1*h1);
%% condición de frontera Fourier x*=0
% l
l1=e5*f1/f5; l2=e5*f2/f5; l3=e5*f3/f5; l4=e5*f4/f5; l5=-e5/f5;
%% llenado matriz11 contiene información desde nodo 1 hasta nodo N en tiempo n+1
for i=1:N
matriz1(i,i)=-e6;
if i-1>0
matriz1(i,i-1)=-e3;
end
if i-2>0
matriz1(i,i-2)=-e2;
end
if i-3>0
matriz1(i,i-3)=-e1;
end
if i+1<(N+1)
matriz1(i,i+1)=-e5;
end
end
matrizcom1=zeros(size(matriz1));%complemento matriz tiempo n+1, nodo 1:N-4
matrizcom1([1:3],[1:4])=[k1 k2 k3 k4;j1 j2 j3 j4;i1 i2 i3 i4];
matriz1=matriz1+matrizcom1; %ensamblando matriz tiempo n+1, nodo 1:N-4
vector1([1:3])=z1*[k5;j5;i5];
vector1(end)=z2*l5; %condicion Fourier en x*=1 en tiempo n+1
%% llenado matriz2 contiene información desde nodo 1 hasta nodo N en tiempo n
matriz2=zeros(N,N); %matriz tiempo n+1, nodo 1:N-4
for i=1:N
matriz2(i,i)=e7;
if i-1>0
matriz2(i,i-1)=e3;
end
if i-2>0
matriz2(i,i-2)=e2;
end
if i-3>0
matriz2(i,i-3)=e1;
end
if i+1<(N+1)
matriz2(i,i+1)=e5;
end
end
matrizcom2=zeros(size(matriz2));%complemento matriz tiempo n+1, nodo 1:N-4
matrizcom2([1:3],[1:4])=-1*[k1 k2 k3 k4;j1 j2 j3 j4;i1 i2 i3 i4];
matriz2=matriz2+matrizcom2; %ensamblando matriz tiempo n+1, nodo 1:N-4
vector2([1:3])=z1*-1*[k5;j5;i5];
vector2(end)=z2*l5;%condicion Fourier en x*=1 en tiempo n
%% solucion por matrices, la configuracion matrices es ecuacion nodo
Ctiempon_1=zeros(size(vector1)); %las concentraciones en el tiempo n+1, 1ra parte de la matriz [1:N]
Ctiempon_2=zeros(size(vector2)); %las concentraciones en el tiempo n, 1ra parte de la matriz [1:N]
Ctiempon_n=zeros(N,1);
Ctiempon_n(:,1)=Ctiempon_1; %condiciones iniciales de la funcion en tiempo 0
x=[0:h:1]’; %abscisas
matriz1inv=inv(matriz1);
t=0;
while t<10
Ctiempon_1=matriz1inv*(matriz2*Ctiempon_2+vector2-vector1);
%sobre los ´ındices (xy) x es posición ecuacion, y posicion matriz
Ctiempon_2=Ctiempon_1;
Ctiempon_n=Ctiempon_2;
t=t+k;
end
plot(x,Ctiempon_n)
1.4.2. Gráficas de resultados
planteado el sistema matricial, se obtuvieron los siguientes resultados

Figura 6. valores de concentraci´on para un tiempo t=1s.

1.4.3. Comentarios
Podemos ver que la concentración siempre inicia negativa para todos los tiempos
simulados, esto se considera que es debido a las condiciones de frontera que se dieron para
la realización del problema, y mas exactamente por el signo que se le otorga a la variable
D que representa la difusión del proceso cuando este coeficiente según la literatura debe
estar entre 0.00001 y 0.000000001 cm/s dependiendo si se trata de un gas o un sólido.
De igual manera vemos que la concentración en alrededor de 0.3 m del reactor
se vuelve cero, indicando que se diluye el reactivo en esta longitud del reactor, con esto
concluimos que al final de este mismo la mezcla es perfecta.
Otro punto importante es el espacio entre 0.1 m y 0.2 m ya que en este punto la
concentración es contante y positiva con un valor cercano a 1luego esta concentración
baja a cero linealmente.
Con la entrega del presente se añade un video en el que si visualiza que existe un
periodo corto de variación hasta que finalmente la concentración se estabiliza con un valor
de cero en todo el dominio, posiblemente este problema se refiere a las dos condiciones de
frontera con derivada, que en otras palabras nos dice que hay un flujo entrando y saliendo
del reactor.
Podemos concluir que el planteamiento del problema en sus condiciones esta da-
do para que la concentración empiece negativamente, y que no es un problema que se
acerque a la realidad de lo que pueda suceder en la concentración de un reactivo ya que
normalmente el comportamiento se debe parecer a un exponencial decreciente, indicando
que la concentración disminuye gradualmente a medida que se pasa por el reactor, esta si
seria una solución mas real al problema.

2. Caso 2. Diseño óptimo paramétrico de un resorte helicoidal
2.1. Enunciado
Se requiere diseñar un resorte helicoidal de compresión que deberá estar some-
tido a una carga c´ıclica, de forma que cumpliendo con los requerimientos mecánicos se
logre obtener una geometr´ıa que optimice la cantidad de material empleado, Una repre-
sentación esquemática e indicación de dimensiones genéricas se presenta en la figura a
continuación.
Figura 10. Esquema de un resorte helicoidal.
De tal manera que se desea encontrar los valores óptimos de los diferentes paráme-
tros para que el resorte tenga, en cualquier caso, una masa m´ınima. Espec´ıficamente, se
desea conocer la sensibilidad del modelo de optimización para diferentes combinaciones
de esfuerzo cortante admisible y frecuencia de carga, para tres valores de carga diferentes.
Los valores cuyas combinaciones se desean explorar son:
Valores de esfuerzo cortante admisible (en ksi): τadm = 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90,
95, 100
Valores de frecuencia de carga (en hz): ω0 = 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110
Valores de frecuencia de carga (en lbf): P = 8, 12, 16
2.2. Consideraciones
Para una mayor comprensión del lector se especifica a continuación la notación
utilizada en esta sección del documento.
− P = Carga
− δ = Deformación
− ∆ = Deformación minima
− K = Constante de rigidez
− D = Diámetro
− d = Diámetro del alambre
− DExt = Diámetro externo
− N = Numero de espiras activas
− Q = Numero de espiras inactivas

− τ= Esfuerzo cortante maximo
− τadm= Esfuerzo cortante admisible
− ω = Frecuencia natural
− ω0 = Frecuencia de carga
− G = Constante de rigidez del material
− ρ = Densidad del material
− M = Masa del resorte
− V = Volumen del resorte
2.2.1. Relaciones fundamentales
Las relaciones fundamentales para el diseño propuesto se resumen a continuación
ley de hooke P= K · δ
Constante elestica K =
d4
G
8D3N
Esfuerzo cortante en un elemento circular curvo τ =
8kPD
πd3
Siendo k =
(4D − d)
(4D − 4d)
+
0,615d
D
Frecuencia natural ω =
d
2πD2N
G
2ρ
2.2.2. Requerimientos iniciales
Los valores de los requerimientos iniciales empleados en el diseño del resorte
helicoidal son:
− ∆ Deformación minima = 0.5 in
− DExt Diámetro externo = 1.5 in
− Q Numero de espiras inactivas = 2
− τadm Esfuerzo cortante admisible = 80 ksi
− ω0 Frecuencia de carga = 100 hz
− G Constante de rigidez del material = 1.15E7 psi
− ρ Densidad del material = 0.283 lb/in3

2.3. Formulación problema de optimizacion
Entendiendo que el requerimiento de diseño esta orientado a disminuir la masa del
resorte emplearemos la relación de densidad con lo cual sabiendo que:
ρ =
M
V
donde
V =
πd2
4
(N + Q)πD
Con lo cual podemos decir que la relación para calcular la masa para el resorte es
M = V ρ =
π2
d2
4
(N + Q)Dρ
siendo esta la función objetivo en la formulación de nuestro problema a minimizar
ahora tomando las relaciones anteriormente mencionadas en als consideraciones
de nuestro problema, realizamos la sustitución de la constante elástica en la ley de hooke
con lo cual tendremos
∆ ≤
8PD3
N
d4G
para el esfuerzo cortante admisible tendremos
τadm ≥
8PD
πd3
(4D − d)
(4D − 4d)
+
0,615d
D
para la frecuencia de carga del resorte
ω0 ≤
d
2πD2N
G
2ρ
≤ 0
Como se ilustro en la figura 6 entendemos que el diámetro externo para el resorte
es la suma del diametro medio de la espira y del diametro del alambre utilizado, lo cual
lo podemos reexpresar como:
DExt ≥ D + d
As´ı mismo se establecen un rango de valores para las dimensiones como el diáme-
tro del alambre y diametro medio de la espira, esta condición puede estar dada por la dis-
ponibilidad de los materiales o referencia o la capacidad tecnologica para conformarlos,
asi pues esto condiciona la solucion de nuestro problema de diseño optimo a una region
limitada de valores dimensionales que podemos expresarlo de la siguiente manera:

dmin ≤ d ≤ dmax
Dmin ≤ D ≤ Dmax
Nmin ≤ N ≤ Nmax
Donde el diametro minimo del alambre empleado en el diseño del resorte sera de
0.05 in y podra tomar un valor maximo de 0.2 in , de manera similar el diametro medio
de la espira puede tener un valor minimo de 0.25 in y uno maximo de 1.3 in, en el caso
del numero de numero de espiras activas se podran utilizar minimo 2 espiras y un maximo
13 espiras en el diseño del resorte helicoidal.
una vez realizado este planteamiento podemos ver como el problema esta condi-
cionado a un conjunto de 10 restricciones de factibilidad o de des igualdad, dentro de las
cuales encontramos que tres de estas son restricciones no lineales, y que el conjunto de
variables que componen la formulacion las podemos clasificar de la siguiente manera:
Variables independientes D, d, N
Parametros P, DExt, Q, τadm, ω0, G, ρ, ∆
Variables dependientes M
Finalmente podremos podemos expresar nuestro problema de optimizacion de for-
ma estándar con lo cual tendremos:
Función Objetivo
MinM(d, D, N) =
π2
d2
4
(N + Q)Dρ (1)
Restricciones
R1 = 1 −
8PD3
N
∆d4G
≤ 0 (2)
R2 =
8PD
τadmπd3
(4D − d)
(4D − 4d)
+
0,615d
D
− 1 ≤ 0 (3)
R3 = 1 −
d
2πωD2N
G
2ρ
≤ 0 (4)
R4 =
D + d
DExt
− 1 ≤ 0 (5)
Dominio de las variables de diseño

0,05 in ≤ d ≤ 0,2 in (6)
0,25 in ≤ D ≤ 1,3 in (7)
2 ≤ N ≤ 15 (8)
2.4. Implementacion computacional para la solucion
Para la solucion del problema de diseño optimo del resorte helicoidal, se utilizo
el software MATLAB, el cual ofrece una serie de funciones disponibles en el toolbox de
optimizacion, ajustandose a nuestro proposito se empleo la funcion fmincon, en donde
el propósito de esta función es encontrar el m´ınimo del valor escalar que devuelve una
función de varias variables no lineal y sujeta a una serie de restricciones, como lo es
nuestro caso.
En donde se definieron como variables de salida x = Masa del resorte [M] y junto
con este fval = vector con los valores de [N, D, d] numero de espiras, Diámetro medio
de la espira y diámetro del alambre.Adicionalmente la función la variable exitflag nos
suministrara información acerca de la convergencia de esta funcion.
Exitflag > 0, indica que la función converge en la solución x.
Exitflag = 0, indica que se ha alcanzado el número máximo de evaluaciones per-
mitidas a la función f(x) o de iteracciones de la función fmincon.
Exitflag < 0, indica que la función no converge a una solución.
As´ı mismo definimos la función objetivo myfun expresándola de la siguiente ma-
nera:
entendiéndose como
x =


x(1)
x(2)
x(3)

 =


N
D
d


Ahora el conjunto de restricciones lo expresamos en la función nonlcon de esta
manera:

como previamente se definieron el conjunto de restricciones ahora definimos un
vector que contenga los limites inferiores[lb] y superiores[ub] para cada variables, esta-
bleciendo as´ı una región factible de diseño para el resorte, as´ı mismo la función a imple-
mentar requiere que sea definido valor de inicio [x0] o punto de partida partida para las
variables [N, D, d].
Para realizar el análisis se utilizo el conjunto de valores definidos anteriormente
para esfuerzo cortante admisible, frecuencia de carga y la carga máxima aplicada.
2.5. Análisis de resultados
a continuación se exponen los resultados obtenidos de la variación de cada uno de
los parámetros del modelo respecto a la masa, siendo este el objetivo del diseño optimo
para el resorte.
Figura 11. segmento resultados con valor at´ıpico
al revisara lo valores obtenidos para cada una de las combinaciones de parámetros
encontramos que para el caso de una carga de 8 lb con una frecuencia de aplicación de la

carga de 80 hz y un esfuerzo cortante admisible de 100 ksi, vemos como rompe la clara
tendencia a disminuir el valores de el numero de espiras la masa del resorte, y lo que al
parecer era un valor constante para el diámetro del alambre.
siendo este el único valor at´ıpico en todas las combinaciones posibles ya que ve-
mos como permanece constante el valor de la masa con el cambio de parámetro de la
frecuencia, donde este valor cambia para los diferentes valores de carga y repitiéndose
con cada variación del cortante admisible
a continuación tenemos las gráficas obtenidas y sus respectivo análisis para esta-
blecer la relación en la variación de la masa respecto a ala combinación de cada uno de
los parámetros posibles.
Figura 12. Gráfica esfuerzo cortante vs. masa del resorte
En la figura 12 se expone la relación del esfuerzo cortante junto con la masa m´ıni-
ma que se puede obtener sujeto unas condiciones de carga dadas, podemos ver como esta
tiene un comportamiento decreciente para el rango de parámetros establecido de esfuer-
zo cortante admisible para los tres valores de carga, de igual manera esta nos indica una
relación inversamente proporcional para para la magnitud de la masa en relación con el
esfuerzo cortante admisible.

Figura 13. Gráfica de frecuencia de carga vs. masa del resorte, a esfuerzo cortante admisible cons-
tante [60 ksi]
La figura 13 nos muestra el comportamiento de la masa en relación con la frecuen-
cia de aplicación de la carga, con un parámetro de esfuerzo cortante admisible constante
de 60 ksi, en la cual encontramos que la masa permanece constante en relación a la va-
riación de la frecuencia con la cual se le aplicara la carga al resorte helicoidal,
Figura 14. Gráfica diámetro del alambre vs. masa del resorte
En la figura 14 nos muestra lo valores que toma la masa en relación con el dia-
metro del alambre, podemos ver claramente como actúa la restricción del dominio para
el diámetro del alambre en el limite inferior y de esta manera para el caso en particular
de la carga de 8 lbf para todos las posibles variaciones de esfuerzo cortante admisible la

condición mas optima para el diseño del resorte es utilizar un alambre de 0.05 in, también
podemos ver como con una mayor asignación de carga al resorte es necesario incrementar
el diámetro del alambre y por tal razón la masa del resorte incrementa,
Figura 15. Gráfica numero de espiras vs. masa del resorte
En la figura 15 tenemos la relación del numero de espiras activas con la masa,
como es de esperarse a mayor numero de espiras incrementa la masa del resorte para las
tres condiciones de carga dadas,por otra parte de como en el caso del limite inferior para
el diámetro del alambre de la figura 13, en este caso podemos ver como como actúa el
limite superior impuesto para el numero de espiras activas, para los valores de carga de
16 y 12 lbf, as´ı mismo para estos valores de carga tenemos que el valor de masa presenta
mayores variaciones, como es en el caso de 16 lbf esta presenta una variación entre 0.07
lb y 0.18 lb, en comparación con la carga de 8 lbf en donde la magnitud de la masa toma
valores aproximados entre 0.05 lb hasta 0.09 lb. siendo esta dos condiciones de carga la
que nos muestran el valor máximo[0.018 lb] y m´ınimo [0.018 lb] global que puede tomar
la masa sujeta a ese conjunto de restricciones.
En relación con el diámetro medio de la espira del resorte junto con el valor de
la masa representado en la figura 16 nuevamente se muestran cada uno de los valores
de carga en todos las combinaciones posibles para lo casos de variación de frecuencia
y cortante admisible, donde nuevamente al igual que en el numero de espiras, la menor
variación en la magnitud de la masa se presenta cuando se tiene una carga máxima de
8 lfb, en al cual nuevamente se muestran valores aproximados entre 0.05 lb hasta 0.09
lb, as´ı mismo la mayor variación en la magnitud de la masa se tiene cuando se aplica la
carga mayor en este caso de 16 lbf con una variación entre 0.07 lb y 0.18 lb, con limites
globales para la magnitud de la masa de máximo[0.018 lb] y m´ınimo [0.018 lb].

Figura 16. Gráfica diámetro medio de la espira vs. masa del resorte
En términos generales vemos que la mayor variación de la masa del resorte se
presenta cuando aplicamos una carga máxima de 16 lbf y la menor en aplicación de carga
de magnitud 8 lbf, con lo cual podemos afirmar que existe una relación directamente
proporcional entre la magnitud de la carga máxima aplicada y la variación esperada en la
masa del resorte obtenida en el proceso de diseño optimo.

3. Caso 3. Introducción a Técnicas de Simulación de Sistemas de Eventos
Discretos
Los eventos discretos tienen una particularidad respecto a los sistemas de tiempo
discretos, y es que en los dos se considera que las variables del modelos tiene cambios en
el trascurso de tiempo, y lo que los diferencia es que para tiempos discretos el tiempo de
cambio de las variables es el mismo para cada cambio, es decir el intervalos de tiempo de
cambio de cada variables es el mismo en la l´ınea de tiempo mientras que en los sistema de
eventos discretos este intervalo de tiempo no es el mismo, estos desde que en un tiempo
finito se tenga un numero finito de eventos, aspecto que pone una mayor dificultad en el
análisis de estos tipos de sistemas.
La forma de desarrollar estos tipos de sistemas es realizando una serie de registros
de los eventos que se presentan y guardando el instante de activación de los eventos.En
la siguiente imagen (fig. 1 se presenta la calificación de los sistemas, en la parte inferior
derecha se observa la clasificación que posee los sistemas de eventos discretos.
Figura 17. Clasificación de sistemas de eventos discretos.
Podemos tener como ejemplos de sistemas de eventos discretos sistemas de fabri-
cación, el análisis de las redes de trafico en una ciudad o de sistemas de servicio.
Un claro ejemplo concreto es el de una maquina dispensadora de gaseosas por
un valor de 900 pesos la lata y solo recibe monedas de 200 y de 500 y si no se le da el
valor exacto rechaza las monedas, si se implementa la lógica del problema tendr´ıamos el
siguiente gráfico:

Figura 18. Modelo lógico del ejemplo de las lastas de gaseosa.
Pasando esto a un lenguaje de programación se tendr´ıa el desarrollo que se pre-
senta en la figura 11.
Figura 19. Ejemplo maquina de latas de gaseosa en lenguaje de programación java.
Este ejemplo de la lastas de gaseosa aunque es claro y fácil de entender no se
aproxima a un ejemplo real del que se tenga que dar una solución ya que como se sabe
este tipo de maquinas existen hace bastante tiempo y sus sistemas no son tan restrictivos
como se describe en este ejemplo.
Un segundo ejemplo mas real esta ligado a un semáforo que tiene su luz verde
encendida inicialmente por 45 segundos y cambia luego a amarillo por 45 segundos y
luego pasa a rojo durante 55 segundos y se repite ese ciclo, el análisis de este problema
se puede desarrollar de dos formas diferentes, si primero modelamos el comportamiento
del semáforo tendr´ıamos algo como se observa en la siguiente figura:

Figura 20. Comportamiento de el semáforo del segundo ejemplo.
La primera forma de desarrollar el problema es observando el ciclo de cada una
de las luces y pensar en la corrección del ciclo si este no se cumple o también se puede
hacer por tiempo en el cual se evalúa el tiempo de duración de cada luz y se hace una
corrección cronometrada todo esto teniendo en cuenta los retrasos acumulados de cada
luz, esta ultima forma de solución es mas compleja que la primera.
Figura 21. Modelo lógico de las dos posibles soluciones del ejemplo del semáforo.
En lenguaje de programación se tendr´ıa el siguiente desarrollo
Figura 22. Ejemplo semáforo en lenguaje de programación CD++.
3.1. Clasificación de las técnicas de modelado
3.1.1. Modelado conceptual
Esta primera clasificación se basa en crear de forma informal un modelo del pro-
blema a solucionar que es mas fácil de entender y describe de mejor manera lo general
que se va a modelar.

3.1.2. Modelado declarativo
Este segundo tipo se centra en la representación de los estados y de las transiciones
de estos; de esta manera se puede observar mejor el desarrollo de cada una de las entidades
de estudio. en la figura 15 vemos la representación por este modelo donde los arcos son
las transiciones y los vértices son los estados.
Figura 23. Modelado declarativo.
3.1.3. Modelado funcional
En este tipo de modelado el sistema se define como una caja negra donde solo se
tiene una señal de entrada y una de salida, este salida depende de la función interna y si
el modelo en continuo o discreto.
3.2. Metodolog´ıa de simulación de EDS
Estas técnicas son recientes ya que el estudio de este tipo de sistemas se puede
decir que es mas prematuro que para otros casos. En la figura 15 se representa un mode-
lado declarativo, este mismo tipo de gráfico es también llamado autómata, esto acepta o
rechaza las entradas de acuerdo a su transición y dependiendo del estado final el autómata
aceptara la entrada, en la figura 16 se observa un sistema autómata con entrada con estado
inicial 1 y estado final 2
Figura 24. Modelado declarativo.

3.2.1. Rutinas de eventos
Es un conjunto de acciones llamadas por el inicio de un evento, esta lo que hacen
es que describen el sistema en movimiento o dinámico
3.2.2. Trayectoria de un modelo de simulación
La trayectoria de un modelo es el que realiza un modelo simulado, en la siguiente
figura por ejemplo se muestra la trayectoria de un moldeo ejecutado, de igual manera para
realizar la dinámica del modelo se necesita de un modelado de eventos futuros los cuales
deben estar programados para ocurrir, dichos eventos entre mas cercano este se llama
evento próximo.
Figura 25. Simulación de la trayectoria de un modelo.
3.2.3. Pasos básicos requeridos para una simulación de eventos discretos.
Los pasos que se deben llevar a cabo para la simulación de este tipo de eventos
son:
Inicio.
Procesamiento de eventos.
Recuperación del evento
Este proceso de simulación manual puede representarse en un diagrama de flujo
como se presenta en la siguiente figura donde se observa claramente el inicio, el procesa-
miento de eventos y la recuperación del evento.

Figura 26. Diagrama de flujo del proceso de simulación.
3.3. Métodos de Simulación de Monte Carlo
El método de Monte Carlo es un método numérico que nos permite simular even-
tos f´ısicos y también matemáticos por medio de variables aleatorias, se utilizo para reali-
zar la integración numérica de integrales de alta dificultad que algunas veces surgen en el
desarrollo de problemas en la ingenier´ıa y las ciencias.
La utilización de este método tiene como base la existencia de problemas que tie-
ne un alto nivel de dificultad en la solución anal´ıtica o numérica y cuando estos dependen
de factores aleatorios que acomplejan aun mas la solución del problema. Es bastante uti-
lizado para mostrar el impacto del riesgo y la incertidumbre en las áreas financieras de las
empresas y en el desarrollo de proyectos.
3.4. Ejemplo de un evento discreto.
En este ejemplo de evento discreto se propone una difusión y agregación limita-
da, que es un proceso que oCurre en modelo qu´ımicos, este fenómeno ocurre cuando la
semillas se adhieren a otra y va formando un mas grande, este crecimiento normalmente
es irregular, la difusión en este evento se ve como un movimiento aleatorio si se tiene en
cuenta la dirección del movimiento, inicialmente el sistema unas celdas están ocupadas
por las part´ıculas o semillas móviles, para el desarrollo se tienen los siguientes paráme-
tros:
Una part´ıcula puede moverse en dirección sur (S), norte (N), este (E) u oeste (W).
Una part´ıcula se convierte fixed si una celda adyacente contiene part´ıculas fixed.
Se ocupará una celda vac´ıa si hay al menos una part´ıcula móvil intentando mudar-
se, y no hay semilla adyacente a la part´ıcula móvil.
Si hay más de una part´ıcula moviéndose hacia la misma celda vac´ıa, la dirección
de movimiento se usa como prioridad.
Una part´ıcula móvil que no se puede mover seleccionará una nueva dirección al
azar.
Una part´ıcula móvil desaparece si se aleja demasiado del centro.
En nuestra implementación, una celda con un valor de 0 está vac´ıa, los valores
de 1 a 4 representan una part´ıcula móvil y su dirección de movimiento, y 5 indica una

semilla. Cuando una celda está vac´ıa, verifica si hay cualquier part´ıcula móvil que desee
moverse a esa celda. Tal part´ıcula móvil puede moverse solo si no tiene ninguna semilla
adyacente, de la siguiente manera:
Figura 27. Simulación de la trayectoria de un modelo.
La primera condición en esta regla busca celdas vac´ıas. Luego verificamos la celda
a la N, para ver si la part´ıcula quiere mover S (mientras verifica que no esté junto a una
semilla). El restante de las condiciones comprueban las celdas en S, E y W de forma
similar. Si cualquiera de estas condiciones se cumple, el siguiente paso se elige al azar.
Las siguientes reglas ilustran cómo resolver conflictos para una part´ıcula que se
está intentando mover a una celda arriba. Una part´ıcula móvil con dirección de movimien-
to 1 (arriba) puede moverse a una celda vac´ıa de arriba si no hay ninguna otra part´ıcula
móvil que intenta moverse:
Figura 28. Simulación del ejemplo en CD++.
La primera regla verifica si la celda se está moviendo hacia N y si la celda está
ocupada. En este caso, la dirección se elige al azar. La segunda regla verifica si la celda del
N está vac´ıa, en este caso, primero verificamos si la segunda celda del N desea moverse
a la misma celda (si la celda no está rodeado de semillas). Se realizan controles similares
en las celdas de S, E y W. Cada vez que una part´ıcula móvil se encuentra en una celda
con cualquier part´ıcula fixed adyacente a ella, se convierte en fixed.

3.5. Ejemplo de un evento discreto.
en este segundo ejemplo vamos a ver otra utilidad que tiene la simulacion de
eventos discretos por medio de un software llamado Arena, este programa ayuda a rea-
lizar simulaciones por medio de diagrama de bloques de procesos de una empresa o de
atencio a usuarios para un determinado servicio, para nuestros ejemplos vamos a realizar
la simulacion de un gasolinera de acuerdo a unos tiempo promedios de despachado.
3.5.1. Problema
La gasolineria Terperl S.A pide realizar un toma de datos de los tiempos de des-
pacho en una de sus principales gasolinerias de Bogotà, ya que ha notado que ha bajado
su nivel de ganancias otorgadas y quiere saber si el problema està en el tiempo de aten-
cion a los usuarios, para esto requiere simular de acuerdo a los tiempo tomados, 1 hora de
trabajo de la gasolinera.
Tiempo promedio de despacho de gasolina extra = 44 s.
Tiempo promedio de despacho de gasolina super = 58 s.
Tiempo promedio de despacho de gasolina diesel = 45 s.
Tiempo de llegada = 58 s.
Se realizo el montaje sobre el software Arena tal como se observa en la siguien-
te figura y sobre cada proceso se inicializo en los datos otorgados en cada procesos de
acuerdo a la gasolina que cada usuario le puso a su coche.

Figura 31. Diagrama de bloques en Arena para el ejemplo de la gasolinera.
En la figura 25 se observa el diagrama de bloques que representa el problema a
solucionar, tenemos un bloque de llegada en el cual se consideran los 58 segundos de
acuerdo a los datos tomados (figura 26), luego un bloque de decisión donde el usuario
elige el tipo de combustible que utiliza en su coche, ya sea, diesel, extra o super, para esto
se da un porcentaje de decisión para cada uno de las tres opciones, para este caso se da
un 40 % a la gasolina extra, un 20 % a la super y el restante (40 %) al diesel tal como se
observa en la figura 27.
Figura 32. Cuadro de setup del bloque de inicio.
Figura 33. Cuadro del setup del bloque de decisión con los porcentajes para cada opción.
Luego tenemos los bloques de las tres opciones, extra, super y diesel, en este blo-
que con el cuadro del setup (figura 28) determinamos el tiempo de duración de cada uno
de los autos de acuerdo a su elección, todo esto con los datos iniciales; finalmente tenemos
el cuadro de salida que no requiere de ningún acondicionamiento para el funcionamiento
de la simulación.

Figura 34. Cuadro del setup de una de las opciones (extra, super o diesel.)
Luego de la simulación, que se programo para que se hiciera de una hora, tenemos
que el programa nos arroja un informe con una serie de datos importantes (Anexo 1), entre
estos esta el tiempo promedio de atención de los clientes que es de 52 segundos.
También tenemos el tiempo de espera en cada opción donde podemos concluir
que el mayor tiempo de espera lo tienen el despachador de diesel, ya que tiene tiene un
tiempo de 0.011 segundos que es relativamente alto en comparación con los otros dos
tiempos que que son de 0.004 y 0.0009 segundos para el extra y el super respectivamente,
de esto podemos concluir que siendo el diesel un combustible utilizado para medios de
trasporte publico o de trabajo se necesita minimizar este tiempo de espera ya que este
tipo de usuario tiene que cumplir muchas veces algunos tiempos en sus recorridos y una
espera mayor no le va a beneficiar lo que hace que prefieran asistir a otra gasolinera donde
el despacho sea mas rápido.
otro dato relevante es el tiempo de utilización de cada estación, de acuerdo a su es-
pecialidad de combustible (extra, super o diesel) de acuerdo a la siguiente gráfica tenemos
que el promedio de utilización de cada estación es el siguiente:
Figura 35. Gráfico de tiempo de espera de utilización de cada estación
Se puede concluir que de la misma manera como la estación diesel es la que más
tiempo de espera requiere, de igual manera es la que más tiempo dura en su utilización,
adema de esto también podemos concluir que la mayor´ıa de personas que ingresan a la ga-
solinera van por combustible diesel (figura 34) y que esto tiempos de espera y de servicio

mayores deber´ıan mitigarse con una segunda estación de diesel dentro de la gasolinera.
Figura 36. Gráfico numero de servicios en una hora para cada estación
3.5.2. Comentarios finales
La simulación de eventos discretos es un tema muy amplio y que es relativamente
nuevo si se considera respecto a otro tipo de simulaciones continuas, ademas de esto es
muy utilizado en el desarrollo de procesos en la industria o en la atención de servicios en
una empresa ya que se puede analizar los tiempos de cada actividad y poder determinar
los puntos cr´ıticos para mejorar o el proceso o el servicio.
En cuanto a otras aplicaciones tenemos algunas mas complejas como la simula-
ción de procesos qu´ımicos (ejemplo 1) o f´ısicos. En todos los casos nos encontramos con
procesos que no tienen un comportamiento especifico en el tiempo, sino muy por el con-
trario se tienen diferecias de tiempo entre estados del procesos o donde un estado depende
de otra variable y esta a su vez depende de un estado anterior.
Referencias
Facultad de ingenier´ıa - Universidad Nacional de La Plata (1992). APUN-
TES DE : ”DISE ÑO DE LINEAS ELECTRICAS”. [online] Available at:
https://catedra.ing.unlp.edu.ar/electrotecnia/sispot/Libros202007/le-index.htm [Accessed
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compartimentos: aplicación a la evaluación de parámetros medios.
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Gabriel A. Wainer (2009), Discrete-event modeling and simulation.

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