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Coordenadas
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- 2. FISICA II. Departamento de Física. UC3M Sistemas de Coordenadas • Cartesianas (x, y, z) • Cilíndricas (ρ, ϕ, z) • Esféricas (r, θ, ϕ)
- 3. FISICA II. Departamento de Física. UC3M 3 I. Coordenadas cartesianas o rectangularesI. Coordenadas cartesianas o rectangularesI. Coordenadas cartesianas o rectangularesI. Coordenadas cartesianas o rectangulares X Y Z P r r Ejes: X, Y, Z Vector de posición del punto P: kzjyixzyxr rrrr ++== ),,( i r j r k r Coordenadas del punto P : P(x, y, z) zyx uuu rrr ,, kji rrr ,, zyx ˆ,ˆ,ˆ y z ,i r j r k r x Vectores unitarios:
- 4. FISICA II. Departamento de Física. UC3M 4 I. Coordenadas cartesianas o rectangularesI. Coordenadas cartesianas o rectangulares X Y Z dx dy zudydx rr =3Sd dz dx yudzdx rr =2Sd dz dy xudzdy rr =1Sd I.2 Elementos de superficie zzyyxx udSudSudSSd rrrr ++= Sd r I.1 Elementos de longitud zyx udzudyudxld rrrr ++= X Y Z ld r dz dx dy
- 5. FISICA II. Departamento de Física. UC3M 5 I. Coordenadas cartesianas o rectangularesI. Coordenadas cartesianas o rectangulares dzdydxdV = I.3 Elemento de volumen X Y Z dz dy dx dzdydxrdV =)( r Elemento de volumen centrado en el punto P cuyo vector de posición es :r r dz dy dx r r P
- 6. 66 II. Coordenadas cilII. Coordenadas cilííndricasndricas FISICA II. Departamento de Física. UC3M Relación entre las coordenadas cilíndricas y cartesianas: zz seny x = = = ϕρ ϕρ cos X Y Z P r r Coordenadas del Punto P : P = (ρ, ϕ , z ) Vectores unitarios: zuuu rrr ,, ϕρ zuzur rrr += ρρVector de posición del punto P: ρ∈ [0, ∞) ϕ∈ [0, 2π) z∈ (-∞ , ∞) z ρu rφ ϕu r ρ zu r
- 7. 77 II. Coordenadas cilII. Coordenadas cilííndricasndricas FISICA II. Departamento de Física. UC3M ρϕ z dρ dz zudzududld rrrr ++= ϕρ ϕρρ ld r zudz r ϕϕρ ud r ρρ ud r X Y Z dϕ II.1 Elementos de longitud ρϕ zudz r ρρ ud r ϕϕρ ud r dϕ X Z Y
- 8. 88 II. Coordenadas cilII. Coordenadas cilííndricasndricas FISICA II. Departamento de Física. UC3M II.2 Elementos de superficie zz udSudSudSSd rrrr ++= ϕϕρρ dzddS ϕρρ = ρϕρ dddSz = dzddS ρϕ = ϕρ d X Y Z ρϕ dϕ dz dρ II.3 Elemento de volumen dzdρdρdV ϕ= dV
- 9. FISICA II. Departamento de Física. UC3M III. Coordenadas esfIII. Coordenadas esfééricasricas Relación entre las coordenadas esféricas y cartesianas: θ ϕθ ϕθ cos cos rz sensenry senrx = = =X Y Z P r r Coordenadas del punto P : P = (r, θ , ϕ ) Vectores unitarios: ϕθ uuur rrr ,, rurr rr =Vector de posición del punto P: r∈ [0, ∞) θ∈ [0, π] ϕ∈ [0, 2π) θ ϕ ru r θu r ϕu r r
- 10. FISICA II. Departamento de Física. UC3M III. Coordenadas esfIII. Coordenadas esfééricasricas dr ϕθ ϕθθ udsenrudrudrld r rrrr ++= ru r dr θu r rdθ r senθ dϕ ϕu r r senθ dϕ dϕ dθ r dθ III.1 Elementos de longitud r ϕ θ Y Z X r senθ
- 11. FISICA II. Departamento de Física. UC3M III. Coordenadas esfIII. Coordenadas esfééricasricas
- 12. FISICA II. Departamento de Física. UC3M III. Coordenadas esfIII. Coordenadas esfééricasricas III.3 Elemento de volumen ϕθθ dsenrdrdrdV = III.2 Elementos de superficie ϕϕθθ udSudSudSSd rr rrrr ++= Y Z X Y r senθ dϕ r dθ ϕ θ r dr ϕθθ ddsenrdSr 2 = rr udS r θϕ ddrrdS = ϕϕ udS r ϕθθ ddrsenrdS = θθ udS r