El documento presenta información sobre el movimiento de partículas en el plano. Explica que existen diferentes tipos de movimiento como el rectilíneo uniforme, acelerado y retardado. También describe el movimiento circular, la caída libre y el movimiento oblicuo de una partícula. Incluye fórmulas para calcular la velocidad, aceleración, posición y otros parámetros del movimiento. Además, contiene ejemplos resueltos para demostrar el cálculo de estas variables en diferentes situaciones cinemáticas.

1. Trayectoria
C
B
Trayectoria desde A
hasta D
Punto de Referencia
Posición B
Unida III. CINEMATICA DE PARTICULAS
D
Facilitador : Lcda. Mirla Torres
PNF MECÁNICA
Abril 2021
Determinar el vector velocidad y
aceleración que describa el movimiento
de una partícula en el plano.
Objetivo:
A

2.  Movimiento rectilíneo uniforme: Cuando su velocidad es constante
entonces hablamos de , para el calcula de la velocidad media
se tiene entonces que
 Movimiento rectilíneo uniforme variado: Acelerado y Retardado
 Movimiento circulares curvilíneos, elípticos, parabólicos, Helicoidal
V= X/t
V m= X 2 – X 1 / t2- t1
Lcda. Mirla Torres
Unida III. CINEMATICA DE PARTICULAS
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Movimiento de una partícula en el plano

3. Movimiento de una partícula en el Plano
Cinemática en una dimensión.
 Movimiento sobre una recta.
El movimiento de una partícula que se mueve sobre una recta lo podemos describir de
la siguiente manera:
Donde: el punto O es la referencia con relación a los puntos A y B , este
movimiento de la partícula a lo largo de la recta se denomina movimiento
rectilíneo uniforme .
0
-1
-2 1
-3 2 3
A B
O
X Vector posición
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4. Un cuerpo se mueve de acuerdo a la ecuación X=3t²-7t+2 determinar:
a ) Posición de la partícula para un t= 1s , T=2s T=3s
b) La velocidad media para t= 3s y t= 5s
Solución
a ) se tiene
 Para T=1 en la ecuación X=3(1)²-7(1)+2 = -2 m
 Para T=2 en la ecuación X=3(2)²-7(2)+2 = 0m
 Para T=3 en la ecuación X=3(3)²-7(3)+2 = 8 m
X= X3- X 1 = 8-(-2)m ;
X=10m
b) Velocidad Media seria:
O
-1
-2 8
. . .
V m= X m – X 1/ t5- t3
V= 8m – (-2m) = 5m/s
5s - 3s
EJEMPLO
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5. Ejemplos
La siguiente tabla muestra los datos que se obtienen al medir las diferentes
posiciones que ocupa una partícula en diferentes intervalos de tiempo dados .
¿Calcular la velocidad ?
X (m) 0 40 80 120 160
T (s) 0 4 8 12 16
X (m)
T (s)
160
120
80
40
0
0 4 8 12 16
40m/4s =10m/s
80m/8s =10m/s
120m/12s =10m/s
160m/16s = 10m/s
V= 160m – 40m = 10 m/s
16s - 4s
V= X/t ; V= 160m = 10m/s
16 s
V m= ∆X = X 2 – X 1 / t2- t1
∆t
Desplazamientos X
∆X= X2-X1 ; ∆X =160m-0m=160
∆t= t2-t1 ; ∆t=16seg – 0seg= 16seg
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6. Ejercicios para resolver
1.-En la siguiente grafica se muestra el movimiento de una partícula en el
plano cartesiano. Hallar la velocidad media para cada intervalo de
tiempo y la rapidez con que se mueve la partícula en el plano.
X (m)
T (s)
18
12
9
6
3
0
1 2 3 4 5 6
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7. 2.)Un cuerpo se desplaza de modo que su posición en función del tiempo esta dado por la
grafica de la fig. hallar la rapidez con que se mueve y la velocidad de la partícula.
80
40
T (s)
X (m)
5 10
0
Ejercicios para resolver
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8. Movimiento de una partícula en el Plano
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Aceleración media e instantánea: es el cambio de la velocidad en cada
unidad de tiempo, se trata de una magnitud vectorial.
La aceleración media viene dada por :
Y la aceleración instantánea viene dada por: a =Vf-V0 si el móvil parte
del reposo se tiene t- t0
a med = V2 –V1 = ∆V
t2 - t1 ∆ t
a = Vf = m /s.
t
Si el movimiento se da con aceleración constante se deduce que :
1 ) V= V0 + at
3 ) X = X0 + V0 T + ½ at² ; X= ½ at²
2 ) Vf ² = V0 ² + 2ax MUA ; V ² = V0 ² - 2a (x-X0) MUR (movimiento uniforme retardado)
4) X máx.= -V0²
2a
5) T máx.= Vo
a

9. Ejemplo
1) Calcular la rapidez con la cual se desplaza un móvil que al cabo
de 30s. de estarse moviendo con una aceleración de 0,5m/s² de
tiene rapidez de 18m/s.
Solución: extraemos los datos y aplicamos la formula V=V0+at
Datos V= V0 + at
T=30 s.
VF=18m/s V0 = 18m/s - 0.5m/seg² . 30 s
a=0,5m7s² V0=3m/ s
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10. 2) Un móvil que se desplaza a 60Km/s. Se le aplican los frenos durante 5min.
Teniendo al final de la frenada una rapidez de 15km/h. Calcular la
aceleración del móvil.
Datos:
Vo=60Km/h 60k/h . 1000m/3600s =16,67m/s
T= 0,5min 0,5 min . 60s = 30s
Vf= 15Km/h 15Km/h . 1000m/3600s = 4,16m/s
a = Vf –V0 ; a = 4,16m/s –16,67m/s
t 30s.
a = - 0,4m/s²
Ejemplo
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11. Ejercicios para resolver
 Un móvil parte del reposo iniciando un movimiento uniforme
acelerado(MUA) con una aceleración de 1,2m/s² la cual mantiene
durante 20 s. Calcular la rapidez que tendrá al final de ese tiempo?
 Calcular el tiempo que tarda un móvil en variar su rapidez desde 8m/s
hasta 15m/s sabiendo que su aceleración constante es de 0,7 m/s.
 En el momento de comenzar a contar la rapidez de un móvil, este tiene
60Km/h si mantiene una aceleración de 360m/s². Calcular la rapidez
que tendrá a los 30s de movimiento?
 Un móvil en un momento dado acelera a razón de 1,5m/s², la cual
mantiene durante 25s si al final de esta aceleración tiene una rapidez
de 100Km/h. Calcular la rapidez que tenia en el momento de comenzar
la aceleración?
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12. Resumen de las formulas
a) a med = ∆V = Vf –V0 aceleración instantánea
∆ t t2 - t1
a = Vf = m /seg²
t
b)V= V0 + at
d ) X = V0. T + at² ; si parte del reposo V0=0 entonces X= 1 at² el
2 2
movimiento es acelerado, si X= V0. T - 1 at² el movimiento es retardado
2
c ) Vf ² = V0 ² + 2ax MUA ; Vf ² = V0 ² - 2ax MUR
e) X máx.= -V0²
2a
f)T máx.= - Vo
a
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13. MOVIMIENTO DE UNA
PARTICULA EN EL
PLANO
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Universidad Politécnica
Territorial del Zulia
MOVIMIENTO CIRCULAR
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Cinemática de Partículas

14. Movimiento circular uniforme
 Elementos del movimiento
-Periodo T= t/n
-Movimiento periódico
-Frecuencia F= n/t
Cinemática
Movimiento de una partícula en el Plano
V
V
V
V
V
V
arad
arad
arad
arad
arad
arad
R
Velocidad angular ( ) ;
unidad es: rad/s
Velocidad angular en función de frecuencia
y periodo
Velocidad Lineal (V)
Aceleración radial o centrípeta (arad)
rad rad
rad
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15.  Ejemplo : Un disco
de 9m de diámetro
está girando de
manera que da 15
vueltas en 0,5min.
calcular:
 a.) La velocidad lineal
 b.) La velocidad
angular
 c.) La frecuencia
 d.) La aceleración
radial o
centrípeta.
 e.) Cuantas vuelta da
en 1,5 minutos.
 f.) Cuanto tarda en
dar 80 vueltas.
Cinemática : Movimiento circular
Solución
Datos:
D=9m ;
R= 4,5m
n=15
t=0,5 min
0.5x60 s =30s
V= ?
V angular = ?
f = ?
arad =?
n= ? en 15 min
1,5x60s = 90s
t = ? En dar 80
n=80 vueltas
a)Velocidad lineal pero
luego
b)Velocidad angular
c) La frecuencia
d) La aceleración radial o centrípeta
e) Cuantas vuelta da en 1,5 minutos. Utilizando la
f.) Cuanto tarda en dar 80 vueltas.
V
V
V
V
V
V
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16. CINEMATICA DE PARTICULAS
 MOVIMIENTO VERTICAL : CAÍDA LIBRE
Ys=Y- Yl
Aceleración constante = g=9,8 m/seg²
(Ec. a) Vf = g.t
(Ec. b) Y= g.t²
2
(Ec. c) V²= 2 gY
Formulas:
Y
Yl=g.t²
2
Vf = g.t
Suelo
(Ec. d) Ys=Y- Yl
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PNF MECÁNICA
La caída libre: es el movimiento
adquirido por el cuerpo cuando
se deja caer en el vacio.
Este movimiento se da a lo
largo de la línea vertical y es
uniformemente acelerado

17.  Desde una altura de 80m se deja caer un cuerpo. Calcular a los 3seg:
a) La rapidez que tiene en ese momento. b) la altura a la cual se
encuentra del suelo
Solución
Datos:
Y=80m
t=3seg.
Vf= ?
Ys=?
g=9,8 m/seg²
Ejemplo
a) La rapidez que tiene en ese momento
Vf=g.t = 9,8 m/seg² . 3seg. = 29,4m/seg.
b) la altura a la cual se encuentra del suelo
(Ec. d) Ys=Y- Yl Yl =g.t² = 9,8 m/seg² . 9seg=45m
2
Sustituyendo Yl=45m y Y= 80m en (Ec. d)
Ys=80m - 45m
Ys=35m
CINEMATICA MOVIMIENTO VERTICAL
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Lcda. Mirla Torres

18. CAIDA LIBRE
 Desde una torre se deja caer una piedra que tarda 5 seg. en llegar al suelo. Calcular
la rapidez que tiene en ese momento. de la torre.
 Desde una altura de 20m. se deja caer un cuerpo. la rapidez que lleva a los 5seg. y la
altura a la cual se encuentra del suelo a los 5 seg.
 Desde una altura de 300m se deja caer un cuerpo pesado. Calcular el tiempo que
tarda en llegar al suelo y la rapidez que tiene en ese momento.
 Un cazador esta disparando contra una bandada de gaviotas, que vuelan a unos 50m
de altura. Una de las gaviotas cae herida y se desprende en caída libre de la manada.
a) ¿Qué distancia recorre el ave y que velocidad alcanza a t=1,2,3seg. b) Cuánto
tiempo y qué velocidad tiene la gaviota al chocar contra la superficie terrestre?
Ejercicios para resolver PNF MECÁNICA
Lcda. Mirla Torres

19. CINEMÁTICA : MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS
y
V0=Vx
Vy
Vx
Vx
V
A
Vy
V
B
C
X
fig. 1
V0=Vx Vy= g. t V²= (Vx)² +(Vy)²
Tanᾳ = Vy
Vx
Desplazamiento (d)
X = Vo . t
Y =g.t²
2
d²= X² + Y² Tanᾳ = y
x
Tv= √ -2Y
g
Tv= Alcance
V0
X
y
y
Vx=V0
V0
V
X
Vy= - g .t
0
Para un t=0,5
X=V0 . t = (9.0m/ s) (0,50s) = 4,5 m
Y = - g.t² = ( 9,8m/s²)(0,50s)² = -1.2m
2 2
La distancia de la moto ahora es d=√X²+Y²
d=√ (4.5m)² + (-1,2m)² =4,7m
Las componentes de la velocidad en ese tiempo son= Vx=Vox =
9,0m/s ; Vy=- g. t =(9,8m/s²)(0,50)=-4,9m/s
El modulo de velocidad es V²= (Vx)² +(Vy)²
V=√ (9,0m/s)²+ (-4,9m/ s)² y la dirección Tanᾳ = Vy
Vx
ᾳ =arcTan Vy = (-49m/ s) = 29°
Vx (9,0m/ s)
V= √(Vx)² +(Vy)²

20. V
V0x=Vx
V
Vx
0
V y
V
a
fig. 2
Y
X
Vx
Vx
Vx
Vy
a
a
a
a
V0y
Vy
V
V
Vy=-Voy +gTv
. Vy=0
.
.
. .
R= Alcance
V0x= V0 . cosᾳ
V0y=V0. Senᾳ
Vx=V0x=Vo.cosᾳ .t
Vy=V0y +gt
V²= (V y)² +(Vx)²
Tanᾳ =V y ;
Vx
Tv= 2 Tmáx
TV=2 V0senᾳ
g
Tmáx= -V0y
g
Ymáx=-V0y²
2 g
X = (V0 . cosᾳ) t
R=Vox . Tv
Ymáx
ᾳ =arc Tan Vy
Vx
y=V0. Senᾳ.t+1gt²
2
Vy=0=V0y-gt
Vy=0=V0y-gt
t=V0y
g
h
h=y=V0yt1-1gt²
2
R =V0²sen(2ᾳ)
g
CINEMÁTICA : MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS
PNF MECÁNICA

21. Ejemplo
 Se lanza un proyectil con una velocidad de
400m/s y un ángulo de elevación de 30°
calcular el alcance del proyectil
Solución:
V
V0x=Vx
V
Vx
0
V y
V
a
fig. 2
Y
X
Vx
Vx
Vx
Vy
a
a
a
a
V0y
Vy
V
V
Vy=-Voy +gTv
. Vy=0
.
.
. .
R= Alcance
V0x= V0 . cosᾳ
V0y=V0. Senᾳ
Vx=V0x=Vo.cosᾳ
Vy=V0y +gt
V²= (V y) +(Vx) ;
Tanᾳ =V y ;
Vx
Tv= 2 Tmáx
Tmáx= -V0y
g
Ymáx=-V0y²
2 g
X = (V0 . cosᾳ) t
R=Vox . Tv
Ymáx
ᾳ =arc Tan Vy
Vx
y=V0. Senᾳ.t+1gt²
2
R = 14139.19m
ᾳ
R=Vox . Tv sustituyendo
R=V0cosᾳ. 2V0sen ᾳ resolviendo
g
Solución
R =V0²sen(2ᾳ) =400².sen(2.30°)=400.sen(60°)
g 9,8m/seg² 9,8m/seg²
Voy
Vox=Vx
v
CINEMÁTICA : MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS
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22. r(t)= x(t) i+ y(t) j +z(t) k
x
y
Z
k
i
j
X i
Y j
Z k
Desplazamiento y Velocidad
∆t 0. P1 r1
P2 r2
∆r= r2 - r1
∆r= r2-r1 = (x2-x1) i+ (y2-y1) j +(z2-z1t) k
Magnitud |∆r|=√∆x²+∆y² +∆z²
V med = ∆r = r2-r1 = ∆x i + ∆y j +∆z k
∆t t2-t1 ∆t ∆t ∆t
V = Lím ∆r = d r
∆t 0 ∆ t d t
x
Z
y
∆r
t1
t2
r1
r2
Ecuación Vectorial
= d x i + dy j + d z k
dt dt dt
Vector posición r(t0)
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Cinemática en tres dimensión

23. Cinemática en tres dimensión
v = dr = d x i + dy j + d z k
dt dt dt dt
Las componentes del vector velocidad en las direcciones de los ejes coordenados son:
V x = dx Vy = dy Vz = dz
dt dt dt
y el módulo de la velocidad o celeridad es:
V = ds = √ Vx² +Vy² + Vz²
dt
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24.  Aceleración
a med = Δv y la instantánea a = lím Δv = dv =v’
Δt Δt→0 Δt dt
en función del vector de posición a = d²r = r”
d²t
En coordenadas cartesianas con los versores cartesianos (i ,j, k)constantes,
se tiene:
a = dV = dVx i + dVy j + dVz k a = d²r = d²x i + d²yj + d²zk
dt dt dt dt dt² dt² dt² dt ²
Las componentes de la aceleración en las direcciones de los ejes coordenados
son: ax = dvx ay= dvy az= dvz entonces a x= d²x ay= d²y az= d²z
dt dt dt dt² dt² dt²
su módulo es a = √ ax²+ ay² + az²
Cinemática en tres dimensión