ejercicios-geometria_analitica_resueltos

1. 1
Geometría Analítica
Ejercicio nº 1.-
a Averigua el punto simétrico de A5, 1) con respecto a B4, 2).
b Halla el punto medio del segmento de extremos A5, 1) y B4, 2).
Ejercicio nº 2.-
a Halla el punto medio del segmento cuyos extremos son A(2, 5) con respecto al punto B(3, 2).
b Halla el simétrico de A(2, 5) con respecto al punto C(1, 4).
Ejercicio nº 3.-
a Halla el punto medio del segmento de extremos P3, 2) y Q1, 5).
b Halla el simétrico del punto P3, 2) con respecto a Q1, 5).
Ejercicio nº 4.-
Considera los puntos A1, 3), B2, 6) y C x , y). Halla los valores de x e y para que C sea:
a El punto medio del segmento de extremos A y B.
b El simétrico de A con respecto a B.
Ejercicio nº 5.-
Dados los puntos A(2, 1), B3, 4) y C0, 8):
a Halla el punto medio del segmento de extremos A y B.
b Halla el simétrico de B con respecto a C.
Ejercicio nº 6.-
El punto medio del segmento AB es M(2, 1). Halla las coordenadas de A,
sabiendo que B(3, 2).
Ejercicio nº 7.-
Dados los puntos A(2, 3), B(1, 4) y C(x, 3), determina el valor de x para que
A, B y C estén alineados.
Ejercicio nº 8.-
Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que
A(1, 2), B(3, 1) y C(1, 3).
Ejercicio nº 9.-
Halla las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices A(2, 3), B(4, 1)
y C(1, 2).

2. 2
Ejercicio nº 10.-
Averigua las coordenadas del punto P, que divide al segmento de extremos
.PBAPBA 3quetalespartesdosen3)(1,y4)(2, 
Ejercicio nº 11.-
Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto
P(3, 1) y es paralela a la recta:





ty
tx
s
4
32
:
Ejercicio nº 12.-
Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos
A(2, 3) y B(1, 4).
Ejercicio nº 13.-
Halla las ecuaciones paramétricas de la recta paralela a 2x  y + 3 = 0 y que
pasa por el punto P(4, 3).
Ejercicio nº 14.-
Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(2, 1) y es
perpendicular a la recta de ecuación 3x  2y + 1 = 0.
Ejercicio nº 15.-
Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos
P(1, 3) y Q(2, 8).
Ejercicio nº 16.-
Dadas las rectas:










ty
tx
s
ty
tx
r
62
31
:
22
1
:
averigua su posición relativa. Si se cortan, di cuál es el punto de corte:
Ejercicio nº 17.-
Averigua la posición relativa de las rectas (si se cortan, averigua en qué punto):










ty
tx
s
ty
tx
r
21
83
:
2
42
:

3. 3
Ejercicio nº 18.-
Determina la posición relativa de estas rectas. Si se cortan, di en qué punto:










ty
tx
x
ty
tx
r
3
5
:
32
21
:
Ejercicio nº 19.-
Dadas las rectas:










ty
tx
s
ty
tx
r
82
24
:
46
2
:
averigua su posición relativa (si se cortan, di en qué punto).
Ejercicio nº 20.-
Determina la posición relativa de las siguientes rectas. Si se cortan, averigua en qué punto:










ty
tx
s
ty
tx
r
4
35
:
21
4
:
Ejercicio nº 21.-
Averigua el ángulo formado por las rectas:










ty
tx
s
ty
tx
r
21
2
:
31
42
:
Ejercicio nº 22.-
Determina el ángulo que forman las rectas:










ty
tx
:s
ty
tx
r
21
2
4
31
:
Ejercicio nº 23.-
Dadas las rectas r y s, determina el ángulo que forman:










ty
tx
s
ty
tx
r
5
24
:
44
22
:
Ejercicio nº 24.-
Halla el ángulo que forman las rectas:










ty
tx
:s
ty
tx
r
61
41
24
32
:

4. 4
Ejercicio nº 25.-
Averigua si estas dos rectas son perpendiculares. Si no lo fueran, halla el ángulo que forman:










ty
tx
s
ty
tx
r
62
43
:
31
21
:
Ejercicio nº 26.-
Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos
P(3, 1) y Q(2, 4).
Solución:
Ejercicio nº 27.-
Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por P(2, 5) y es
 .31,vectoralparalela 

v
Ejercicio nº 28.-
Escribe la ecuación implícita de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el
punto P(1, 4).
Ejercicio nº 29.-
Averigua la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto
P(2, 2) y cuya pendiente es m = 3.
Ejercicio nº 30.-
Halla la ecuación implícita de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son:





ty
tx
r
31
23
:
Ejercicio nº 31.-
Halla la ecuación implícita de la recta perpendicular a 2x + y  3 = 0
que pasa por el punto P(1, 1).
Ejercicio nº 32.-
¿Cuál ha de ser el valor de k para que estas dos rectas sean paralelas?
x + 3y  2 = 0 kx + 2y + 3 = 0
Ejercicio nº 33.-
Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por P(1, 2) y es paralela a
3x  y + 4 = 0.

5. 5
Ejercicio nº 34.-
Halla el valor de k para que las rectas
2x  3y + 4 = 0 3x + ky 1 = 0
sean perpendiculares.
Ejercicio nº 35.-
Dadas las rectas:
01:034:  ykxsyxr
halla el valor de k para que r y s sean perpendiculares.
Ejercicio nº 36.-
Calcula la distancia del punto P(3, 5) a la recta r : y = 2x  3.
Ejercicio nº 37.-
Halla la distancia de P a Q y de P a r, siendo:
P(1, 1), Q(2, 3) y r: 3x  y + 6 = 0
Ejercicio nº 38.-
Dados los puntos P(3, 2) y Q(2, 4), y la recta r: 2x + y  3 = 0; calcula la distancia:
a) Entre P y Q.
b) De P a r.
Ejercicio nº 39.-
Halla la distancia del punto P(2, 1) a la recta:





ty
tx
r
41
23
:
Ejercicio nº 40.-
Halla el valor de k para que la distancia del punto P(2, k) a la recta
.2sea03:  yxr
Ejercicio nº 41.-
Halla las coordenadas del punto simétrico de P(3, 4) respecto a la recta
r : 3x + y + 2 = 0.

6. 6
Ejercicio nº 42.-
Calcula los vértices y el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:
0:0932:02:  xtyxsyxr
Ejercicio nº 43.-
Halla el área del paralelogramo de vértices A(1, 1), B(5, 2), C(4, 4) y D(0, 3.
Ejercicio nº 44.-
Dado el triángulo de vértices A(1, 1), B(1, 4) y C(5, 2), halla las ecuaciones de sus tres medianas y
calcula el baricentro punto de intersección de las medianas.
Ejercicio nº 45.-
Halla el área del triángulo de vértices:
A(3, 1) B(6, 2) C(0, 4)
Soluciones Geometría analítica
Ejercicio nº 1.-
a Averigua el punto simétrico de A5, 1) con respecto a B4, 2).
b Halla el punto medio del segmento de extremos A5, 1) y B4, 2).
Solución:
a Llamamos A'x, y) al simétrico de A con respecto a B. El punto B es el punto medio del segmento que une A
con A'. Entonces:
 3,3'
3
3
2
2
1
4
2
5















A
y
x
y
x
b El punto medio es:

7. 7





 





 

2
3
,
2
9
2
21
,
2
45
M
Ejercicio nº 2.-
a Halla el punto medio del segmento cuyos extremos son A(2, 5) con respecto al punto B(3, 2).
b Halla el simétrico de A(2, 5) con respecto al punto C(1, 4).
Solución:
a El punto medio es:
  




 





 

2
3
,
2
1
2
25
,
2
32
M
b Llamamos A'(x, y) al simétrico de A con respecto a C. Entonces C es el punto medio del segmento que une
A con A'. Por tanto:
 3,0'
3
0
4
2
5
1
2
2
















A
y
x
y
x
Ejercicio nº 3.-
a Halla el punto medio del segmento de extremos P3, 2) y Q1, 5).
b Halla el simétrico del punto P3, 2) con respecto a Q1, 5).
Solución:
a El punto medio es:
 











 

2
3
1
2
52
2
13
,,M
b Llamamos P x, y) al simétrico de P con respecto a Q. Q es el punto medio del segmento que une P y P.
Entonces:
 12,5'
125
2
2
51
2
3










P
y
y
x
x
Ejercicio nº 4.-
Considera los puntos A1, 3), B2, 6) y C x , y). Halla los valores de x e y para que C sea:
a El punto medio del segmento de extremos A y B.
b El simétrico de A con respecto a B.
Solución:
a El punto medio es:

8. 8
 


















 
2
9
2
1
,
2
9
,
2
1
2
63
,
2
21
y
x
yx
b B será el punto medio del segmento que une A y C, entonces:
   95
9
5
6
2
3
2
2
1
62
2
3
2
1
,C
y
x
y
x
,
y
,
x


























 
Ejercicio nº 5.-
Dados los puntos A(2, 1), B3, 4) y C0, 8):
a Halla el punto medio del segmento de extremos A y B.
b Halla el simétrico de B con respecto a C.
Solución:
a El punto medio es:
  










 

2
3
,
2
1
2
41
,
2
32
M
b Llamamos B'(x, y) al simétrico de B con respecto a C. Si B' es simétrico de B respecto de C, tiene que
cumplirse que:
'CBBC 
 
  20
3
128
3
:Entonces
8,0'
12,3
















y
x
y
x
yxCB
BC
Por tanto:
B'3, 20)
Ejercicio nº 6.-
El punto medio del segmento AB es M(2, 1). Halla las coordenadas de A,
sabiendo que B(3, 2).
Solución:

9. 9
Si llamamos A(x, y), tenemos que:
:decires,MBAM 
    
   3,51,2
12,231,2


yx
yx
 4,7:tantoPor
431
752






A
yy
xx
Ejercicio nº 7.-
Dados los puntos A(2, 3), B(1, 4) y C(x, 3), determina el valor de x para que
A, B y C estén alineados.
Solución:
:alesproporcionserdehandeydescoordenadalasalineados,esténpuntostreslosquePara BCAB
 
  7
4
773
1
7
1
3
1,1
7,3 











xx
xxBC
AB
Ejercicio nº 8.-
Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que
A(1, 2), B(3, 1) y C(1, 3).
Solución:
Llamamos D(x, y) al cuarto vértice.
Ha de cumplirse que:
:decires,DCAB 
 
  033
314
31
34








yy
xx
y,xDC
,AB
Por tanto:
D(3, 0)

10. 10
Ejercicio nº 9.-
Halla las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices A(2, 3), B(4, 1)
y C(1, 2).
Solución:
Llamamos G(x, y) al baricentro y M(a, b) al punto medio del lado AC. Sabemos que:
BGGM 2
Hallamos M:
 











 

2
1
2
1
2
23
2
12
,,M
Entonces:
 
 
   1,421,21
1,4
2
1
,
2
1
2
1,4
2
1
,
2
1























yxyx
yxyx
yxBG
yxGM
030121
3
5
35421


yyyy
xxxx
El baricentro es:






0,
3
5
G
Ejercicio nº 10.-
Averigua las coordenadas del punto P, que divide al segmento de extremos
.PBAPBA 3quetalespartesdosen3)(1,y4)(2, 
Solución:
Si llamamos (x, y) a las coordenadas de P, se ha de cumplir que:
:decires,3PBAP 

11. 11
 
 
   
   y,xy,x
y,xy,x
y,xPB
y,xAP
393342
31342
31
42








4
5
54394
4
1
14332


yyyy
xxxx
Por tanto:







4
5
4
1
,P
Ejercicio nº 11.-
Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto
P(3, 1) y es paralela a la recta:





ty
tx
s
4
32
:
Solución:
 
 







ty
tx
,
,OP
1
33
:asparamétricEcuaciones
13:direcciónVector
13:posiciónVector
Ejercicio nº 12.-
Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos
A(2, 3) y B(1, 4).
Solución:
 
 







ty
tx
,AB
,OA
73
32
:asparamétricEcuaciones
73:direcciónVector
32:posiciónVector
Ejercicio nº 13.-
Halla las ecuaciones paramétricas de la recta paralela a 2x  y + 3 = 0 y que
pasa por el punto P(4, 3).

12. 12
Solución:
 
 
 






ty
tx
.,
,yx,
,OP
23
4
:asparamétricEcuaciones
21vectoreldirecciónvectorcomo
tomarpodemostanto,por032alarperpendicues12vectorEl:direcciónVector
34:posiciónVector
Ejercicio nº 14.-
Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(2, 1) y es
perpendicular a la recta de ecuación 3x  2y + 1 = 0.
Solución:
 
 







ty
tx
yx,
,OP
21
32
:sonasparamétricecuacioneslastanto,Por
0123alarperpendicues23:direcciónVector
12:posiciónVector
Ejercicio nº 15.-
Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos
P(1, 3) y Q(2, 8).
Solución:
 
 







ty
tx
,PQ
,OP
53
1
:asparamétricEcuaciones
51:direcciónVector
31:posiciónVector
Ejercicio nº 16.-
Dadas las rectas:










ty
tx
s
ty
tx
r
62
31
:
22
1
:
averigua su posición relativa. Si se cortan, di cuál es el punto de corte:
Solución:
Cambiamos el parámetro en la recta s:

13. 13










ky
kx
s
ty
tx
r
62
31
:
22
1
:
Igualamos:
  kkkkk
kt
kt
kt
0062642623222
32
6222
311







Infinitas soluciones  Se trata de la misma recta; r y s coinciden.
Ejercicio nº 17.-
Averigua la posición relativa de las rectas (si se cortan, averigua en qué punto):










ty
tx
s
ty
tx
r
21
83
:
2
42
:
Solución:
Cambiamos el parámetro en la recta s:










ky
kx
s
ty
tx
r
21
83
:
2
42
:
Igualamos:
ktkt
kt
kt
kt
2121
841
212
8342










  kkkkk 05884182141 
No tiene solución  Las rectas son paralelas.
Ejercicio nº 18.-
Determina la posición relativa de estas rectas. Si se cortan, di en qué punto:










ty
tx
x
ty
tx
r
3
5
:
32
21
:
Solución:
Cambiamos el parámetro en la recta s:










ky
kx
s
ty
tx
r
3
5
:
32
21
:
Igualamos:
224
1
24332
24
332
521









k
t
tt
tk
kt
kt
Sustituyendo t = 1 en las ecuaciones de r (o bien k = 2 en las de s), obtenemos el punto de corte de las dos
rectas:

14. 14
 .3,-1puntoelencortanserectasdosLas
132
321






y
x
Ejercicio nº 19.-
Dadas las rectas:










ty
tx
s
ty
tx
r
82
24
:
46
2
:
averigua su posición relativa (si se cortan, di en qué punto).
Solución:
Cambiamos el parámetro en la recta s:










ky
kx
s
ty
tx
r
82
24
:
46
2
:
Igualamos:
 
k
kk
kk
tk
kt
kt
00
82886
822246
22
8246
242









Infinitas soluciones  Se trata de la misma recta; r y s coinciden.
Ejercicio nº 20.-
Determina la posición relativa de las siguientes rectas. Si se cortan, averigua en qué punto:










ty
tx
s
ty
tx
r
4
35
:
21
4
:
Solución:
Cambiamos el parámetro en la recta s:










ky
kx
s
ty
tx
r
4
35
:
21
4
:
Igualamos:
 
23131
1
77
4621
43121
31
421
354











kt
k
k
kk
kk
kt
kt
kt

15. 15
Sustituimos t = 2 en las ecuaciones de r (o bien, k = 1 en las de s) para obtener el punto de corte de r y s:
).3(2,puntoelencortansey
341
224









sr
y
x
Ejercicio nº 21.-
Averigua el ángulo formado por las rectas:










ty
tx
s
ty
tx
r
21
2
:
31
42
:
Solución:
Hallamos el ángulo que forman los vectores dirección de las dos rectas:
Vector dirección de r  (4, 3)
Vector dirección de s  (1, 2)
   
''',
,,
cos 4341791790
55
2
525
64
41169
2134 







Ejercicio nº 22.-
Determina el ángulo que forman las rectas:










ty
tx
:s
ty
tx
r
21
2
4
31
:
Solución:
Vector dirección de r  (3, 1)
Vector dirección de s  (1, 2)
Llamamos  al ángulo que forman r y s:
   
''12'5281141,0
25
1
510
23
4119
2,11,3 






 cos
Ejercicio nº 23.-
Dadas las rectas r y s, determina el ángulo que forman:










ty
tx
s
ty
tx
r
5
24
:
44
22
:
Solución:

16. 16
Vector dirección de r  (2, 4)
Vector dirección de s  (2, 1)
Llamamos  al ángulo que forman r y s:
    
900
520
44
14164
1242







,,
cos
Es decir, las rectas son perpendiculares.
Ejercicio nº 24.-
Halla el ángulo que forman las rectas:










ty
tx
:s
ty
tx
r
61
41
24
32
:
Solución:
El ángulo que forman r y s lo podemos hallar a partir de sus vectores dirección:
Vector dirección de r  (3, 2)
Vector dirección de s  (4, 6)
    
900
5213
1212
361649
6,42,3






 cos
Es decir, r y s son perpendiculares.
Ejercicio nº 25.-
Averigua si estas dos rectas son perpendiculares. Si no lo fueran, halla el ángulo que forman:










ty
tx
s
ty
tx
r
62
43
:
31
21
:
Solución:
Vector dirección de r  (2, 3)
Vector dirección de s  (4, 6)
Llamamos  al ángulo formado:
   
lares).perpendicusonno(luego01
26
26
13213
26
5213
188
361694
6432 









,,
cos
Ejercicio nº 26.-
Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos
P(3, 1) y Q(2, 4).
Solución:

17. 17
La pendiente de la recta es:
  3
1
3
1
14
32
14









m
La ecuación será:
  0103931331  yxxyxy
Ejercicio nº 27.-
Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por P(2, 5) y es
 .31,vectoralparalela 

v
Solución:
Las ecuaciones paramétricas son:





ty
tx
35
2
Multiplicamos por 3 la primera ecuación y sumamos:
13
35
363



yx
ty
tx
La ecuación implícita es 3x + y + 1 = 0.
Ejercicio nº 28.-
Escribe la ecuación implícita de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el
punto P(1, 4).
Solución:
Escribimos la ecuación puntopendiente y operamos:
  062224124  yxxyxy
Ejercicio nº 29.-
Averigua la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto
P(2, 2) y cuya pendiente es m = 3.
Solución:
Escribimos la ecuación puntopendiente y operamos:
  043632232  yxxyxy

18. 18
Ejercicio nº 30.-
Halla la ecuación implícita de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son:





ty
tx
r
31
23
:
Solución:
Multiplicamos por 3 la primera ecuación y por 2 la segunda, y sumamos:
 
 
723
622
693
312
233








yx
ty
tx
ty
tx
La ecuación implícita es 3x + 2y + 7 = 0.
Ejercicio nº 31.-
Halla la ecuación implícita de la recta perpendicular a 2x + y  3 = 0
que pasa por el punto P(1, 1).
Solución:
Obtenemos la pendiente de la recta dada:
232032  pendientexyyx
La pendiente de la perpendicular es:
2
1
2
1



La ecuación de la recta buscada será:
  0121221
2
1
1  yxxyxy
Ejercicio nº 32.-
¿Cuál ha de ser el valor de k para que estas dos rectas sean paralelas?
x + 3y  2 = 0 kx + 2y + 3 = 0
Solución:
Despejamos y en cada ecuación para obtener la pendiente de cada recta:
22
3
2
32032
3
1
3
2
3
1
23023
k
pendientex
k
ykxyykx
pendientexyxyyx








19. 19
Para que sean paralelas, las pendientes han de ser iguales:
3
2
32
23
1
 kk
k
Ejercicio nº 33.-
Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por P(1, 2) y es paralela a
3x  y + 4 = 0.
Solución:
Obtenemos la pendiente de la recta dada:
343043  pendientexyyx
La recta paralela tiene la misma pendiente; su ecuación será:
  053332132  yxxyxy
Ejercicio nº 34.-
Halla el valor de k para que las rectas
2x  3y + 4 = 0 3x + ky 1 = 0
sean perpendiculares.
Solución:
Despejamos y para obtener la pendiente de cada recta:
k
pendiente
k
x
k
yxkykyx
pendientexyxyyx
313
13013
3
2
3
4
3
2
4230432


Para que sean perpendiculares, tiene que cumplirse:
2
2
3
3
2
13




 k
k
Ejercicio nº 35.-
Dadas las rectas:
01:034:  ykxsyxr
halla el valor de k para que r y s sean perpendiculares.

20. 20
Solución:
Obtenemos la pendiente de cada una de la rectas:
kpendientekxyykx
pendientexyyx


101
434034
Para que r y s sean perpendiculares, ha de cumplirse que:
4
1
k
Ejercicio nº 36.-
Calcula la distancia del punto P(3, 5) a la recta r : y = 2x  3.
Solución:
Expresamos la recta en forma implícita:
032:32:  yxrxyr
Por tanto:
 
 
5
514
5
14
5
356
14
3532
, 




rPdist
Ejercicio nº 37.-
Halla la distancia de P a Q y de P a r, siendo:
P(1, 1), Q(2, 3) y r: 3x  y + 6 = 0
Solución:
    134923,
22
 PQQPdist
 
   
5
102
10
104
10
4
10
613
19
6113
, 




rPdist
Ejercicio nº 38.-
Dados los puntos P(3, 2) y Q(2, 4), y la recta r: 2x + y  3 = 0; calcula la distancia:
a) Entre P y Q.
b) De P a r.
Solución:
    294252,5,a)  PQQPdist
  5
5
55
5
5
5
326
14
3232
,b) 




rPdist

21. 21
Ejercicio nº 39.-
Halla la distancia del punto P(2, 1) a la recta:





ty
tx
r
41
23
:
Solución:
Expresamos r en forma implícita:
 
 
1424
822
8124
412
234








yx
ty
tx
ty
tx
01424  yx
Hallamos la distancia de P a r:
 
 
26
5
256
20
2024
20
24
20
1428
416
141224
, 






rPdist
Ejercicio nº 40.-
Halla el valor de k para que la distancia del punto P(2, k) a la recta
.2sea03:  yxr
Solución:
  252
2
5
11
32
, 




 k
kk
rPdist
Hay dos posibilidades:






725
325
kk
kk
Ejercicio nº 41.-
Halla las coordenadas del punto simétrico de P(3, 4) respecto a la recta
r : 3x + y + 2 = 0.
Solución

22. 22
1.º) Hallamos la ecuación de la recta, s, que es perpendicular a r y que pasa por P:
323023:  pendientexyyxr
:tantoPor.
3
1
serádependienteLa

s
 
093:
31233
3
1
4:


yxs
xyxys
2.º) Hallamos el punto de corte, M, entre r y s:
  09233
23
093
023







xx
xy
yx
yx
10
29
2
10
9
10
3
310
0969








yx
x
xx
.
10
29
,
10
3
espuntoEl 




 
M
3.º) Si llamamos P (x, y) al simétrico de P con respecto a r, M es el punto medio entre P y
P . Por tanto:
.
5
9
,
5
18
'esbuscadopuntoEl
5
9
10
18
581040
10
29
2
4
5
18
10
36
61030
10
3
2
3





 














P
yy
y
xx
x
Ejercicio nº 42.-
Calcula los vértices y el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:
0:0932:02:  xtyxsyxr
Solución:
A

23. 23
1.º Los vértices del triángulo son los puntos de corte de las rectas:
  09322
2
0932
02







yy
yx
yx
yx
15509342  yyyy
3x
Punto B(3, 1)
 2,0Punto
2
0
02









C
y
x
yx
 3,0Punto
3
0
0932
A
y
x
yx








2.º Tomamos el lado AC como base del triángulo:
5 ACbase
3.º La altura es la distancia de B a la recta que pasa por A y por C que es el eje Y. Por tanto:
altura  3
4.º El área del triángulo es:
2
u5,7
2
15
2
35


Área
Ejercicio nº 43.-
Halla el área del paralelogramo de vértices A(1, 1), B(5, 2), C(4, 4) y D(0, 3.
Solución:
1.º Tomamos como base el lado AB:
17116  ABbase
2.º La altura es la distancia del vértice C o del D a la recta que pasa por A y B. Obtengamos la ecuación de
dicha recta.
4
1
15
12



pendiente
  0341441
4
1
1:  yxxyxyr

24. 24
 
17
9
17
9
161
3164
, 




 rCdistaltura
Así, el área es:
2
u9
17
9
17  alturabaseÁrea
Ejercicio nº 44.-
Dado el triángulo de vértices A(1, 1), B(1, 4) y C(5, 2), halla las ecuaciones de sus tres medianas y
calcula el baricentro punto de intersección de las medianas.
Solución:
1.º Hallamos los puntos medios de cada lado:
 















2
1
,2de
3,3de
2
3
,0de
3
2
1
MAC
MBC
MAB
2.º Hallamos las ecuaciones de las tres medianas:
 La que pasa por A y M2:
1
4
4
pendiente
  033313:  yxxyxyrecta
 La que pasa por B y M3:
2
7
1
2/7
21
2/14 





pendiente
  0152777821
2
7
4:  yxxyxyrecta
 La que pasa por C y M1:
10
1
5
2/1
05
2/32



pendiente
  01510520105
10
1
2:  yxxyxyrecta
3.º Hallamos el baricentro como punto de corte de las medianas:

25. 25
3
5
9
15
01590152701527
0








xxxx
yx
yx
yx







3
5
,
3
5
GBaricentro
Ejercicio nº 45.-
Halla el área del triángulo de vértices:
A(3, 1) B(6, 2) C(0, 4)
Solución
1.º) Tomamos el lado BC como base del triángulo:
40436  BCbase
2.º) La altura es la distancia de A a la recta que pasa por B y C. Hallamos la ecuación de dicha recta:
0123:123
3
1
4
3
1
6
2
60
24








yxrxyxy
pendiente
Por tanto:
 
10
12
91
1233
, 


 rAdistaltura
3.º) El área del triángulo es:
2
u12
2
10
12
40
2





alturabase
Área