Este documento contiene 20 problemas de división de polinomios. Los problemas involucran calcular residuos y cocientes al dividir polinomios entre factores como (x - a), encontrar polinomios que sean divisibles por ciertos factores, y simplificar cocientes notables.

1. 1División Alg- C. Notables

2. 2División Alg- C. Notables
División Algebraica
1. Calcular “a + b + c”; si 𝑥3
− 3𝑥2
−
𝑥 + 3 divide en forma exacta al
polinomio:
𝑥5
− 2𝑥4
− 6𝑥3
+ 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
A) 12 B) 14 C) 7 D) 9
E) 15
2. Si el polinomio:
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥7
+ 𝑏𝑥5
− 1
es divisible por el polinomio:
𝐹(𝑥) = 𝑚𝑥5
+ 𝑛𝑥4
+ 𝑐𝑥3
− 𝑥 − 1
Calcular: 𝑎𝑏 + 𝑚𝑛 + 𝑐
A) 1 B) 2 C) 3 D)
4 E) 5
3. ¿Cuál es la suma de los
coeficientes de aquel polinomio
P(x) mónico de tercer grado
divisible separadamente por
(𝑥 + 2) y (𝑥 + 1) que carece
de término cuadrático?
A) 2 B) -5 C) -4 D) 8
E) -3
4. Halle un polinomio cuadrado
perfecto de segundo grado y de
coeficientes enteros tal que su
término lineal es 6x.
A) 2𝑥2
+ 5𝑥 − 6 B) 3𝑥2
+
9𝑥 + 12
C) 9𝑥2
+ 6𝑥 + 1 D) 5𝑥2
+
𝑥 + 4
E) 8𝑥2
+ 𝑥 − 13
5. Dado un polinomio P(x), tal que:
I. 𝑃(𝑥) − 2 es divisible por
(𝑥 − 2)
II. 𝑃(𝑥) + 2 es divisible por
(𝑥 + 2)
Calcule el resto de dividir P(x)
entre 𝑥2
− 4.
A) x – 1 B) 2 C) x D)
– x E) 1
6. Al dividir P(x) entre (𝑥 − 1) se
obtuvo como resto 2. ¿Qué resto
se obtendrá al dividir
(𝑃(𝑥))10
entre (𝑥 + 1)?
A) 120 B) 2000 C)
1123 D) 1024 E)
1450
7. Al dividir un polinomio P(x) entre
(𝑥 − 5) se obtiene como resto 10
y un cociente cuya suma de
coeficientes es 2. Encontrar el
residuo de dividir dicho
polinomio por (𝑥 − 1).
A) 2 B) 8 C) 10 D)
18 E) 12
8. Halle un polinomio mónico
cuadrático que sea divisible por
(𝑥 + 2) y que tenga por suma de
coeficientes a: - 4
A) 𝑥2
+ 𝑥 − 6
B) 2𝑥2
− 𝑥 − 6
C) 𝑥2
+ 𝑥 + 6
D) 𝑥2
+ 𝑥 − 5
E) 𝑥2
− 𝑥 − 5

3. 3División Alg- C. Notables
9. Al dividir P(x) entre (𝑥 + 1); (𝑥 +
2) 𝑦 (𝑥 − 3) separadamente se
obtuvo el mismo residuo 4.
Indicar el residuo de dividir P(x)
entre (𝑥3
− 7𝑥 − 6).
A) 12 B) 16 C) 2 D)
4 E) 0
10. Si al dividir P(x) entre (𝑥2
+ 1) el
residuo es (𝑥 + 3) indicar el
residuo de dividir 𝑃2
(𝑥) entre
(𝑥2
+ 1).
A) 3𝑥 + 4 B) 6𝑥 + 8 C)
3𝑥 − 4
D) 𝑥 + 3 E) 𝑥2
+ 3
11. Mostrar el polinomio de segundo
grado P(x) tal que: P(0) = 1; que
sea divisible por (𝑥 + 1) y
que al dividirlo entre (2𝑥 + 1) el
resto sea -1.
A) 𝑥2
+ 𝑥 − 1 B) 2𝑥2
−
𝑥 − 1
C) 2𝑥2
− 3𝑥 − 1 D) 2𝑥2
+
𝑥 − 1
E) 6𝑥2
+ 7𝑥 + 1
12. Si:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥5
+ 3𝑥4
+ 𝛼𝑥3
+ 3𝑥2
−
2𝑥 − (𝑎 + 5)
es divisible por:
𝑔(𝑥) = 𝑥4
− 𝑏𝑥3
+ 2𝑥2
+
𝑏𝑥 − 𝛽
además 𝑔(𝑥) es divisible por
ℎ(𝑥), donde:
ℎ(𝑥) = (𝑥2
− 1)(𝑥2
+ 𝜆)
Calcule el valor de (𝛼 + 𝛽).
A) 1 B) 2 C) 3 D)
4 E) 5
13. Determine un polinomio de
quinto grado que sea divisible
entre 2𝑥4
− 3 y que al dividirlo
separadamente por (𝑥 +
1) 𝑦 (𝑥 − 2) los restos obtenidos
sean, respectivamente 7 y 232.
A) (2𝑥4
− 3)(5𝑥 − 2) B)
(2𝑥4
+ 3)(6𝑥 − 2)
C) (𝑥4
− 5)(2𝑥 − 2) D) (2𝑥4
+
3)(6𝑥 + 2)
E) (𝑥4
+ 3)(𝑥 + 1)
14. Un polinomio P(x) disminuido en
5 es divisible por (𝑥 + 5) y
aumentando en 5 es divisible por
(𝑥 − 5). Cuál es el residuo de
dividir:
𝑃(𝑥) ÷ (𝑥2
− 25)
A) 0 B) x – 2 C) 3x D)
– x E) x
15. El cociente de dividir un
polinomio P(x) de tercer grado
entre (2𝑥 − 1) es (𝑥2
+ 2𝑥 − 3) y
el resto de dividirlo entre (2𝑥 +
1) es 1. Determinar el resto de
dividir P(x) entre (2𝑥 − 1).
A) –7 B) –6,5 C) –7,5 D)
–8 E) F.D.
16. Si:
𝑃(𝑥) = 𝑥7
− 5𝑥4
+ 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
es divisible por:
𝐹(𝑥) = (𝑥2
− 1)(𝑥 − 3)
Calcular: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
A) 5 B) – 5 C) 4 D)
– 4 E) 3
17. Un polinomio mónico P(x) de
tercer grado es divisible
separadamente por (𝑥 + 2) y
(𝑥 − 1) y al dividirlo por (𝑥 − 3)
origina un resto igual a 20.
Determine su término
independiente.
A) 7 B) 10 C) 12 D)
14 E) 20
18. Encontrar un polinomio P(x) de
3° grado que sea divisible en

4. 4División Alg- C. Notables
forma separada por (𝑥 +
2) 𝑦 (𝑥 + 1), sabiendo además
que la suma de sus coeficientes
es 24 y que su término
independiente es 2.
A) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3
+ 10𝑥2
+ 9𝑥 + 2
B) 𝑃(𝑥) = 4𝑥3
− 10𝑥2
+ 7𝑥 − 2
C) 𝑃(𝑥) = 𝑥3
+ 11𝑥2
+ 12𝑥 − 4
D) 𝑃(𝑥) = 5𝑥3
+ 10𝑥2
+ 2𝑥 + 2
E) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3
+ 14𝑥2
+ 7𝑥 + 21
19. Encontrar un polinomio P(x) de
2° grado, que sea divisible en
forma separada por (𝑥 −
2) 𝑦 (𝑥 + 1) cuya suma de
coeficientes es – 6.
A) 𝑃(𝑥) = 3𝑥2
− 2𝑥 + 5
B) 𝑃(𝑥) = 3𝑥2
− 3𝑥 − 6
C) 𝑃(𝑥) = 2𝑥2
+ 4𝑥 + 12
D) 𝑃(𝑥) = 2𝑥2
− 2𝑥 − 5
E) 𝑃(𝑥) = 4𝑥2
− 2𝑥 + 11
20. Encontrar un polinomio P(x) de
tercer grado sabiendo que al
dividirlo separadamente por (𝑥 +
3); (𝑥 + 2) 𝑦 (𝑥 + 1) se obtiene el
mismo residuo 8 y al dividirlo por
(𝑥 + 4) se obtiene como residuo
20.
A) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3
+ 𝑥2
− 22𝑥 + 5
B) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3
+ 11𝑥2
− 5𝑥 + 12
C) 𝑃(𝑥) = −3𝑥3
− 𝑥2
− 5𝑥 + 1
D) 𝑃(𝑥) = −2𝑥3
− 12𝑥2
− 22𝑥 −
4
E) 𝑃(𝑥) = 2𝑥3
− 12𝑥2
− 2𝑥 + 5
21. Un polinomio P(x) de cuarto
grado es divisible
separadamente por (𝑥2
+ 1) y
(𝑥2
+ 2𝑥 + 2) si se divide P(x)
entre (𝑥3
− 1) el residuo es
6𝑥2
+ 6𝑥 + 8, luego el término
independiente de x en P(x) es:
A) 1 B) 2 C) 3 D)
4 E) 5
22. Un polinomio P(x) mónico y de
segundo grado al ser dividido
entre (𝑥 − 3) da como resultado
un cierto cociente Q(x) y un resto
12. Si se divide P(x) entre el
mismo cociente aumentado en
4, la división resulta ser exacta.
Halle el resto de dividir P(x) entre
(𝑥 − 5).
A) 15 B) 20 C) 25 D)
30 E) 35
23. Los polinomios:
𝑃(𝑥) = 3𝑥6
− 𝑥5
− 9𝑥4
− 14𝑥3
− 11𝑥2
− 3𝑥 − 1
𝑄(𝑥) = 3𝑥5
+ 8𝑥4
+ 9𝑥3
+ 15𝑥2
+
10𝑥 + 9
Son divisibles por 𝑥2
+ 𝑥 + 1.
Halle el resto de dividir [𝑓(𝑥)𝑃(𝑥) +
𝑔(𝑥)𝑄(𝑥)] entre 𝑥2
+ 𝑥 + 1,
sabiendo que 𝑓(𝑥); 𝑔(𝑥) son
polinomios no constantes.
A) 0 B) 2 C) 3 D)
6 E) 7
Cocientes Notables
24. Simplificar:
(
𝑥44+𝑥33+𝑥22+𝑥11+1
𝑥4+𝑥3+𝑥2+𝑥+1
) (
𝑥10+𝑥9+⋯+𝑥+1
𝑥50+𝑥45+⋯+𝑥5+1
)
A) 1 B) 2 C) 3 D)
4 E) 5
25. Calcular “m” para que la división
notable:
𝑥4𝑚+4
− 𝑦5𝑚
𝑥 𝑚+1 − 𝑦2𝑚−3
Origine un cociente notable.
A) 1 B) 2 C) 3 D)
4 E) 5

5. 5División Alg- C. Notables
26. El desarrollo de la división
notable:
𝑥2𝑚
− 𝑦3𝑛
𝑥3 − 𝑦2
Origina un C – N de 30 términos.
Halle: m – n
A) 15 B) 20
C) 25
D) 35 E) 30
27. Hallar el tercer término de del
cociente notable originado por:
𝑎 𝑛
− 𝑏5𝑛−18
𝑎2 − 𝑏9
A) 𝑎10
𝑏16
B) −𝑎10
𝑏18
C) 𝑎30
𝑏18
D) 𝑎15
𝑏6
E) 𝑎32
𝑏20
28. ¿Cuál es el cuarto término del C
– N de:
𝑥4𝑛+5
+ 𝑦4𝑛−6
𝑥 𝑛−4 + 𝑦 𝑛−5
?
A) 𝑥21
𝑦6
B) −𝑥21
𝑦5
C) 𝑥22
𝑦6
D) −𝑥10
𝑦6
E) −𝑥21
𝑦6
29. Determinar el grado absoluto del
sexto término del cociente
notable al dividir:
𝑥42
+ 𝑦63
𝑥2 + 𝑦3
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
E) 7
30. Calcular “a.b” sabiendo que el
tercer término del C – N de:
𝑥 𝑎+𝑏
− 𝑦 𝑎+𝑏
𝑥 𝑎−𝑏 + 𝑦 𝑎−𝑏
es 𝑥60
𝑦40
.
A) 600 B) – 2400
C) 4200 D) 35 E)
3500
31. Halle el valor numérico del
término central en el desarrollo
de:
(𝑎 + 𝑏)4𝑝
− (𝑎 − 𝑏)4𝑝
𝑎𝑏𝑝
siendo 𝑎 = 2√7 𝑦 𝑏 = 3√3,
además
𝑝 = 𝑎2
+ 𝑏2
A) 5 B) 6 C) 7 D)
8 E) 9
32. Reduzca la expresión S:
𝑆 =
𝑥78
− 𝑥76
+ 𝑥74
− 𝑥72
+ ⋯ + 𝑥2
− 1
𝑥38 − 𝑥36 + 𝑥34 − 𝑥32 + ⋯ +
2
𝑥2 + 1
A) 𝑥40
− 1 B) 𝑥 − 1
C) 𝑥40
D) 𝑥38
− 1 E) 𝑥42
33. Calcular el grado absoluto del
sexto término del cociente
notable originado por:
𝑥 𝑛−2
+ 𝑦18
𝑥 + 𝑦2
A) 2 B) 10 C) 11 D)
12 E) 13
34. En el desarrollo de:
𝑥 𝑎
+ 𝑎27
𝑥15 − 𝑎9
hay un término de grado 24, la
diferencia de los exponentes de
“x” e “y” en ese término es:
A) 5 B) 6 C) 7 D)
8 E) 9
35. Si la división notable:
𝑥 𝑛
− 𝑥−𝑛
𝑥 − 𝑥−1
Origina un cociente notable que
sólo tiene 15 términos enteros,
determinar la suma de los
valores que asume “n”.
A) 49 B) 59 C) 69 D)
79 E) 89

6. 6División Alg- C. Notables
36. Determine el término de lugar
21 en el cociente notable de
dividir:
2𝑥 − 𝑥2
1 − √𝑥 − 1
20
A) 𝑥 + 1 B) 𝑥2
− 1
C) (𝑥 − 1)2
D) 𝑥 − 1 E) (𝑥 + 1)2
37. Calcular el valor numérico del
término central del C – N de
dividir:
(𝑥 + 1) 𝑛
+ (𝑥 − 1) 𝑛
2𝑥
; 𝑛 = 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
para x = 1
A) 2 𝑛
B) 2 𝑛+1
C) 2 𝑛−1
D)
0 E) 2 𝑛−2
38. Cuantifique al término central
del C – N de dividir:
(𝑥 + 1)20
− (𝑥 − 1)20
8𝑥(𝑥2 + 1)
para x = √3
A) 16 B) 32 C) 64 D)
28 E) 256
39. Si el tercer término del cociente
notable de:
1
2
[
(𝑥 + 2) 𝑚
− 𝑥 𝑚
𝑥 + 1
]
tiene como valor numérico 212
para x = 2.
Calcular “m”
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9
E) 10
40. La siguiente división genera un
cociente notable.
16√4
3
− 8√2
√4
3
− √2
Calcule su término racional
A) 8 B) 12 C) 16 D) 18
E) A y C
41. En el cociente notable generado
por la división:
√ 𝑥
35
− √ 𝑥
3 35
√ 𝑥 − √ 𝑥
3
¿Cuántos términos son
racionales enteros?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
E) 9
42. Si la división algebraica
(5𝑥 − 1)99
+ (5𝑥 + 1)99
𝑥
Origina un cociente notable en
el cual un término tiene la forma
𝐴(25𝑥2
− 1) 𝐵
; calcule A + B.
A) 35 B) 32 C) 39 D)
23 E) 4
43. En la división notable exacta:
𝑥 𝑎
− 𝑦 𝑏
𝑥5 − 𝑦7
Calcular “a + b”, si el quinto
término de su cociente es:
𝑥 𝑚
𝑦 𝑛
, además: 𝑛 − 𝑚 = 3.
A) 120 B) 118
C) 124
D) 116 E) 128
44. Si la división:
(𝑥 + 𝑦)100
− (𝑥 − 𝑦)100
8𝑥𝑦(𝑥2 + 𝑦2)
genera un cociente notable,
calcule el valor numérico del
término central.
Para 𝑥 = 3 𝑒 𝑦 = 2√2
A) 1 B) 2 C) 3 D)
4 E) 5
45. Sabiendo que al dividir:
𝑥25𝑛
− 𝑦25𝑛
𝑥3 𝑛−1 + 𝑦3 𝑛−1

7. 7División Alg- C. Notables
se obtiene como segundo
término −𝑥16
𝑦8
, ¿De cuántos
términos estará compuesto su
cociente notable?
A) 2 B) 3 C) 4 D)
5 E) 6
ESCUELA DE TALENTOS CALLAO
Mat. Aldo Huayanay Flores
Publicado en Mayo