Polinomios y grados

Índice
Capítulo 1 Teoría de exponentes - Ecuaciones exponenciales 5
Capítulo 2 Grados y polinomios 9
Capítulo 3 Productos notables 13
Capítulo 4 División algebraica I 17
Capítulo 5 División algebraica II 21
Capítulo 6 Factorización I 25
Capítulo 7 Factorización II 29
Capítulo 8 Fracciones algebraicas 33
Capítulo 9 Repaso I 37
Unidad I
Capítulo 10 Radicación algebraica 41
Capítulo 11 Factorial - Número combinatorio 45
Capítulo 12 Binomio de Newton 49
Capítulo 13 Números complejos 53
Capítulo 14 Ecuaciones de primer grado 57
Capítulo 15 Ecuaciones de segundo grado 61
Capítulo 16 Ecuaciones polinomiales 65
Capítulo 17 Repaso II 69
Unidad II

Álgebra
Capítulo 18 Matrices 73
Capítulo 19 Determinantes 78
Capítulo 20 Sistema de ecuaciones 82
Capítulo 21 Desigualdades e inecuaciones lineales 86
Capítulo 22 Inecuaciones polinomiales y fraccionarias 90
Capítulo 23 Inecuaciones irracionales 94
Capítulo 24 Relaciones binarias 98
Capítulo 25 Repaso III 103
Unidad III
Capítulo 26 Funciones I 107
Capítulo 27 Funciones II 111
Capítulo 28 Progresión aritmética (P.A.) 116
Capítulo 29 Progresión geométrica (P.G.) 120
Capítulo 30 Logaritmos I 124
Capítulo 31 Logaritmos II 128
Capítulo 32 Repaso IV 132
Unidad IV

5
www.trilce.edu.pe Cuarto año de secundaria
Capítulo
Teoría de exponentes -
Ecuaciones exponenciales
1
Problemas para la clase
7. Reduce:
x x x .x
.
. 25
2 2 2
27
–
3
3 3
c m
a) x b) x2 c) x3
d) x4 e) x7
8. Calcula el valor de "x" que verifica:
2x+3 . 2x–2 . 24x–3 = 210
a) 1 b) 2 c) –2
d) 4 e) 8
9. De la ecuación:
8x+2 = 16x–4
halle "x".
a) 10 b) 12 c) 18
d) 20 e) 22
10. El valor de "x" que satisface:
xx = 264 es:
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 32
11. Simplifica la expresión:
M
16
4 .8
3n 2
3n 2 2n 1
= +
+ +
a) 2 b) 2–1 c) 1
d) 4 e) 4
1
12. Reduce:

15 .14 .30
21 .35 .80
4 9 2
6 3 3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 7
1. Si n = 24 . 48
halla el valor de n
5 .
a) 1 b) 2 c) 4
d) 8 e) 16
2. Reduce:
S
3
3 3
n
n 3 n 1
= -
+ +
a) 3 b) 9 c) 12
d) 18 e) 24

3. Simplifica:

x . y
x .y .x .y
2 5 4
3 4 2 5 2
3
^ `
`
h j
j
a) x4y3 b) x10 c) x10y12
d) y6 e) 1
4. Efectúe:

125
1 9 2 1
- - -
c m
a) 1 b) 5 c) 5
1
d) 5
1
- e) –5
5. Calcula el valor de:

2
1 2 0,2 9
2
3
1
3 2 3 2
1
+ +
- - - -
c ^ c
m h m
= G
a) 8 b) 6 c)
8
1
d)
6
1 e) 1
6. Si xx = 2, calcula el valor de:
xxx 1
+
a) 1 b) 2 c) 4
d) 8 e) 16

Capítulo
6
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
1
13. El resultado de:
0,008 –243 625 4 1
- - -
^ h
a) 2
5 b)
5
1 c) –5
d) 5
1
− e) 5

3
3 9 27 81
5
a)
3
1 b) –3 c) 3
d) 9 e) 1
15. Si ab = 2 y ba = 3
calcula: a b
b a
a 1 b 1
+
+ +
a) 13 b) 15 c) 17
d) 35 e) 25
16. Sabiendo que:
x 24. 24. 24...
=
calcula: M x x x ... M N
3
3
3
= + + + d
^ h
a) 10 b) 7 c) 13
d) 3 e) 9
17. Resolver la ecuación exponencial:
2x+2+2x+1+2x+2x - 2+2x – 1 =248
calcule 2x+2x – 1
a) 112 b) 48 c) 98
d) 84 e) 136
18. Calcula el valor de "x" que verifica la ecuación:

x 3
x 3
5
5
1
=
-
c m
a) 5
3 b)
5
5 c)
3
3
d) 3
5 e) 3
19. Simplifica:
-
32 64 2
1
125
1
16
1
0,4 3
1 2 3 16
2
0 1 2
1 1
- + - - - + +
- - - - -
-
-
-
^ ^ c c c
h h m m m
> H
a) 1 b)
3
1 c) –1
d) 3
1
− e) 3
20. Si x ≠ 0, reduce:

x x x
x x x
3
2
3
2 3 1 2
3
2
2 2
2 2
- - -
- -
a
_
_
k
i
i
9 C
a) x–12 b) x–1 c) x
d) x3 e) x15
21. Calcula:
. . .
( ) .
5 5 4 5 5
225 225
n n
n
2 3 2 2 3 3
2 3
+
+ +
+
2n+3
a) 45 b) 25 c) 15
d) 5 e) 1
22. Calcula el valor de "x":
26x + 1 + 43x + 1 + 82x + 1 = 3584
a) 2 b)
4
3 c)
2
1
d)
3
4 e) 1
23. Indica el valor de "x" que verifica:
xx =
n
4
x
n
a) 2–n b) 2n+1 c)
n
2
d) n e) n
2
24. Si xx = x + 1
reduce:
x x . x
x 1
x
x +
x
x
a) 1 b) x c) x–1
d) x–2 e) x2
25.
Calcula la suma de los cuadrados de las
soluciones de la ecuación:
4 257
4
64
x 1
x
- =−
+
a) 25 b) 20 c) 17
d) 10 e) 8

Álgebra
7
Practica en casa
1. Efectuar:
2
2 . 2
4 4
3 4 2 6 4
1
^
^ ^
h
h h
> H

2. Reducir: S
4
4 4
x
x 2 x
= +
+
3. Reducir: M
x y
x y x y
5 2 4
3 3 2 2 2
3
=
^ `
`
h j
j
4. Relacionar correctamente:
x3 . x7 . x10 . x2 A x6
x
3
4 B x22
x2 3 4
^
` h j C x24
x4 ÷ x–2 D x
24
5. Si 3x = 4, calcular el resultado de la siguiente
suma:
3x+1 – (–2)3
6. Simplifica:

2
1
5
1
4
1
2 3 1
- - - +
- - -
c c c
m m m
7. Reduce:
2
8. 16
4
8. Calcula el valor de "x" que verifica la siguiente
igualdad:
9x+1 = 27x - 12
9. Halla el valor de "x" en:
4x + 4x – 1 = 80
10. Resolver la ecuación: xx = 381
11. Efectúa:
M = 8–27–9–4–0,5
12. Si: 2x + 2x – 1 + 2x – 2 + 2x – 3 + 2x – 4 = 1984
halla: x
13. Reduce:
S x . x . x . x
2 2 2 2
3
3
3
3
=
14. Indica "x", que verifica: xx = 3
1
9
15. Simplifica:
E =
2 .5
. – .
5
2 5 2 5
m m
m m m m
3
1 2 1 2
+
+ +
m ; m ≠ 0

Capítulo
8
Colegios
Tú puedes

1. Simplifica: P = nnn n
5
` j
; E
nn – (n
n
)
5
nn+1
n
a) 1 b) n c) nn d)
n
n
e)
n
nn
2. Simplifica: J =
.
( )
a a
a a
a
a a
2 –1
+ +
> H
a
a 1+a2 1+a2
1+a2
a) a b) 1 c) a + 1 d) a2 e) aa
3. Calcula el valor de "x" que satisface:

3
x x
1 x 5
4 x
1 x 5
4 x5
4
=
+ + i
3
i
`
`
`
j
j
j

a) 1 b) 4
5 c)
2
3 d)
4
4 e)
5
5
4. Resuelve: xxx+1
=
-
2 2 2
3
- ; indica: x + 1
a)
2
3 b)
3
2 c)
3
4 d)
3
1 e)
2
1
5. Calcula xx, luego de resolver: x 3
x 18
1 x
=
- -

a) 1/3 b) –1/3 c) 1/9 d) –1/9 e) 1/27
1

9
Capítulo
2
Grados y polinomios
a) 1 b) 8 c) 16
d) 24 e) 40
8. Si el polinomio:
P(x)=pxm–7+nxn–1+mxp–4
es completo y ordenado de forma creciente,
calcula la suma de sus coeficientes.
a) 15 b) 10 c) 9
d) 5 e) 0
9. Si los polinomios:
P(x) = (a – 5)x2+10x
Q(x)=2x2+(b+4)x
son idénticos, calcular "a+b".
a) 5 b) 6 c) 8
d) 11 e) 13
10. Si el polinomio:
P(x) = (a – 4)x2+(b+5)x+(c – 2)
es identicamente nulo, calcula a – b + c
a) 13 b) 8 c) 11
d) 10 e) 5
11. Relaciona correctamente:
I. P(x; y) = 5x2y5
II. P(x)=x2+x+2
III. P(x;y)=2x2y5+3x3y4
IV.
P(x) = 2x3+4x+1
A. GA(P)=7 y GR(x)=3
B. Polinomio cúbico
C. GA(P)=7 y GR(x) = 2
D. Polinomio mónico
a) IA - IIB - IIID - IVC
b) IC - IID - IIIA - IVB
c) IA - IID - IIIC - IVB
d) IC - IIB - IIIA - IVD
e) IA - IIB - IIIC - IVD
1. Si P(x) = 4x2 – 3x + 2
calcula: P(2) + P(–1)
a) 12 b) 15 c) 18
d) 21 e) 25
2. De los polinomios:
P(x+4) = x2+7x y
Q(x) = x2 – 5x +1
calcula P(–2)+Q(3)
a) –12 b) –11 c) 9
d) 1 e) 0
3. Si: P(x) = 4x+2 y
P(3x – 2) ≡ ax+b
calcula el valor de a . b
a) 6 b) –12 c) 60
d) –72 e) –1

4. Si: P(4x – 2) = 16x+1
obtén P(x)
a) 4x+3 b) 4x+6 c) 4x+9
d) 4x – 9 e) 4x – 1
5. Del siguiente monomio:
A(x; y) =(a2+b)xa+by2b–1
calcula el coeficiente, si se sabe GR(x) = 7 y
GA(A) = 12
a) 12 b) 15 c) 19
d) 23 e) 10
6. Del polinomio:
P(x; y) = x2n+3ya–5+x2n+8ya–2 – x10ya–1
calcular a×m, si GR(x) = 22 y GR(y) = 5
a) 6 b) 13 c) 28
d) 42 e) 49
7. Calcula el valor de m×n, si el polinomio:
P(x; y) = 5xmy6+3x10y4 –4x7yn+2
es homogéneo.

Capítulo
10
Colegios
2
12. Dados los polinomios:
P(x)=3x+2 y Q(x)=2x – 3
Calcula P(Q(x)) – Q(P(x))
a) –7 b) –1 c) –8
d) 6 e) 4
13. Si la expresión algebraica:
P(x) x 3x 4x 8
3
n 1
2n 3 5 n
= + - +
-
- -
es un polinomio, calcula el grado de "P".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
P(x), de grado 4 y
Q(x), de grado 5
calcula el grado del polinomio:
P x . Q x
4 3
^ ^
h h
6 6
@ @
a) 16 b) 19 c) 24
d) 28 e) 31
15. Dado el polinomio:
P(x;y) = xm+2yn–1 + xm+6yn – xm+4yn+4
Si el G.R.(x) = 20 y el grado absoluto es igual a
40, calcular el G.R.(y).
a) 22 b) 20 c) 18
d) 24 e) 28

16. Dado el polinomio homogéneo:
P(x;y)=5x3a+2by4 – x2ayb+7+xa–1ya–3b
Calcula: G.A.(P) + ab
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
17.
Si el siguiente polinomio de 14 términos es
completo y ordenado:
P(x) = xn+4+...+xa – 1+xa–2+xa–3
Calcula: a + n
a) 3 b) 9 c) -4
d) 16 e) 12
18. Calcula el valor de m2+n2+p2, si se verifica:
m(x–2)(x–3)+n(x–1)(x–3)+p(x–1)(x–2) ≡ x2–10x+13
a) 29 b) 30 c) 32
d) 35 e) 25

19. Se definen los polinomios "P" y "Q" tales que:
P(x–3)=4x – 7 y P(Q(x))=52x – 55
calcula Q(P(–1))
a) –1 b) –2 c) –3
d) –4 e) –5
20. Se define la expresión "f":
f(x+1) = 3f(x)–2 ; f(0)=3
calcula el valor de f(3).
a) 3 b) 7 c) 23
d) 55 e) 61
21. En el polinomio:
P(x;y)=4xm+n–2ym–3+8xm+n+5ym–4+7xm+n–6ym+2
se verifica que la relación entre los grados
relativos de "x" e "y" es 2; y además el menor
exponente de ‘‘y’’ es 3. Hallar su grado absoluto.
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 21
22.
Dados los polinomios "P" y "Q" de los que se
conoce:
G.A. PQ
` j
4 = 3
G.A. (P3 ÷ Q) = 4
¿Cuál es el grado de "Q"?
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
P(x–a)=b(x+2)+a(x+3)+2
es idénticamente nulo, calcular el valor de
"a – b".
a) –1 b) –2 c) –3
d) –4 e) –5

Álgebra
11
24. Calcula "A + B + C", si:
(x+1)[A(x+2)+B(x–2)–3x]+15x≡(x–2)[3x+C(x+2)]
se verifica para todo "x".
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24
25. Sea "f" una expresión matemática definida en
los enteros, tal que:
I. f(0) ≠ 0
II. f(1) = 3
III. f(x) . f(y) = f(x+y)+f(x–y); ∀x; y ∈ 
calcula f(7).
a) 47 b) 843 c) 900
d) 700 e) 983
Practica en casa
1. Si: P(x) = x2 – 5x + 1
calcula P(2) + P(–1)
2. Calcula la suma de coeficientes del polinomio:
P(x)=(x3–5x+5)4 –2(x+3)2+8
3. Si P(x+7) = 2x+5
Obtén P(x)
4. Del monomio:
B(x; y) = (a – b)xa+4yb–1
si GR(x) = 10 y GA(B) = 14, calcular el
coeficiente.
5. Del polinomio:
P(x; y) = 53x4y12 – 24x2y3+x4y10
calcula GR(x) + GA(P)
P(x) x x x (n 0)
2
n
3
n
4
= + + !
el mínimo valor entero de "n" es:
P(x), de grado 3 y
Q(x), de grado 2
calcula el grado de polinomio
P(x) . Q(x)
2
7 7
A A
8. Del polinomio homogéneo:
P(x; y) = 5x6ya+2x9y10–xby8
calcula "a – b"
9. Si los polinomios:
P(x) = (a–1)x2+4x y Q(x) =2bx+7x2
son idénticos, calcula el valor de "a×b".
P(x) = (a–1)x4+(b+3)x+c – 5
es idénticamente nulo, calcula a×b – c
11. Si: P 2
x 3 x 2x 32
7 5
- = + +
c m
Calcula P(–2)
12.
Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto al
polinomio: P(x;y)=xmyn+xm+1yn–1+xm–1yn+2
A. Si: GR(x)=10 → m =9.............................( )
B. Si: GR(y)=12 → n =12............................( )
C. Si: GA=15 → m+n =14.........................( )
D. Si: m=3, n=5 → GA =9.........................( )
P(x;y) = axa+3 – abxa–1yb+2+2byb+8
es homogéneo, la suma de sus coeficientes es:
P(x) = mxp – 8+nxm–4+pxn+5+qxq – 2
es completo y ordenado de forma decreciente,
calcula la suma de coeficientes.
15. Halla "a + b + p" en:
(aaa
– 2)x5+(bb – 3)x3+(p – 7)≡14x5+24x3+10

Capítulo
12
Colegios
2
Tú puedes
1. Si la expresión: E(a;b)=
x–25
12
y+3
48
a . b es de cuarto grado con respecto a "a" y de sexto grado absoluto,
el valor de (x – y) es:

a)
28 b)
29 c)
31 d)
32 e)
35
2. Dado el polinomio: P(x;y) = 2xa(b–4)
– 3ya2(b – 4)
– (xy)a(b – 4)
+4y4+a(b – 4)
, donde "a" y "b" son números
naturales. Si la suma de los grados absolutos de los términos del polinomio es (a2 + 2)2, el valor de
"b" será:

a)
2 b)
4 c)
6 d)
8 e)
10
3. Si el polinomio: P(x) = (x2+x+3)(a – b)+(x2+x+4) (b – c)+(x2+x+5) (c – a) es idénticamente nulo,
el valor de: [(b + c) ÷ a] es:
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3
4. Si el polinomio: P(x;y)= 3 xm–2yn–1(x7+y2n–3) es un polinomio homogéneo cuyo grado de homoge-
neidad es 16, hallar "mn".

a)
30 b)
20 c)
35 d)
41 e)
45
5. Un polinomio "P(x)" de tercer grado, cumple con la siguiente condición: P(x) – P(x – 1) ≡ 2x(3x + 2).
Hallar el coeficiente de "x" en el polinomio "P(x)".

a)
1 b)
2 c)
3 d)
4 e)
5

13
Capítulo
Productos notables
3
8. Reduzca:
(a+1)(a2 – a+1) – (a – 2)(a2+2a+4)
a) 0 b) a3 c) 1
d) 9 e) 8
9. Si x2 – 5x + 1 = 0
calcula: x3 + x–3
a) 125 b) 120 c) 115
d) 110 e) 105
10. Si a+b+c = 0, calcula:
M
6abc
a b c
3
3 3
= + +
a) 1 b) 2 c) 3
d)
2
1 e)
3
1
11. Efectúa:
(x+1)(x – 1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
a) x8 – 1 b) x16 – 1 c) x18 – 1
d) x9 – 1 e) x14 – 1
12. Si ab+bc+ac > 0, simplifica:
a b c ab bc ac a b c a b c
2 2 2 2 2 2 2 2
+ + + + + - + + + +
^ ^ ^
h h h
a) abc b) ab+bc c) ab+bc+ac
d) a+b+c e) abc – 1
13. Halla el valor numérico de:
(x+1)(x2 – x+1)(x6 – x3+1)(x9 – 1) – x18+1
para: x = 2017
a) 0 b) 2017 c) 201718
d) 1 e) 2017!
1. Reduzca:
(x + 3)2 – x(x + 5) –9
a) –5x b) –x c) 4x
d) x e) 5x
2. Simplifica:
(x+3)2+(x – 5)2 – 2(x – 6)(x+4)
a) 81 b) 5x c) 1
d) 82 e) 41
3. Multiplica: 4 15 . 4 15
+ -
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 16
4. Si a+b=5 y ab = 3
calcula el valor de M = a2+b2
a) 12 b) 13 c) 16
d) 19 e) 25
5. Reduzca:
P = ( ) ( – )
7 3 7 3
2 2
+ +
a) 2 b) 10 c) 20
d) 40 e) 16
6. Simplifica:

2b
a
a
2b
2b
a
a
2b ; ab 0
2 2
+ - - !
c c
m m
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Si a + b = 4 ∧ ab = 1
halla: S = a3 + b3
a) 52 b) 51 c) 50
d) 49 e) 60

Capítulo
14
Colegios
3
14. Halla “n”:
( )( )( )( )
13 85 7 6 7 6 6
4 4 8 8 16
+ + +
8
= 7n–3
a) 4 b) 6 c) 7
d) 8 e) 5
15. Halle el valor numérico de:
P(x) = (x + 1)(x – 1)(x4 + x2 + 1)
para: x = –
4 15 4 15
+ +
a) 666 b) 444 c) 111
d) 999 e) 333
16. Si P 4 2
3 3
= +
calcule el valor de:
M P P 6 P 6
= + -
^ ^
h h
a) 6 b) 9 c) 3
d) 2 e) 0
17. Si a = 5 3
-
b = 2 5
-
c = 3 2
-
halle:

ab bc ac
a b c
bc
a
ac
b
ab
c
2 2 2 2 2 2
+ +
+ + + +
= =
G G
a) 5 3 2
+ + b) 1 c) –3
d) 6 e) –6
18. Si x2 – 5 x + 1 = 0; calcule:
M = x4 + x2 +
x
1
2
+
x
1
4
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
19. Halle el valor numérico de:
E = (a2 – b2) [(a2 + b2)2 – a2b2]
para: a3 = 2 +1 ∧ b3 = 2 – 1
a) 9 b) 2 c) 4 2
d) 6 e) 1
20. Si: x = 8
4
∧ y = 2
4
calcule:
( ) – ( – )
x y
x y x y
2 2
4 4
+
+
= G
1
2
a) 2 b) 4 c) 3
d) 3 2 e) 2 2
21. Evalúe: x x 3
10 10
+ +
-
si: x + x–1 = 3
a) 1 b) 2 c) 5
d) 7 e) 3
22. Si: x 16 8 5 16 8 5
3 3
= + + -
calcule: x 12x 4
3 + +
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
23. Si: n
m
m
n 3(m n)
2 2
- = -
halle el valor de:
m n
4 m n
2 2 2
8 8
+
^
^
h
h
a) 4 b) 8 c) 2
d) 0 e) 1
24. Si se cumple:
x y
1
y z
1
x 2y z
4
+ + + = + +
calcule:
x z
x x z z
2
2 2
+
+ + -
^ h
a) 1 b) –1 c) 2
1
d) 2
1
- e)
4
1
25. Sabiendo que:

b
a 4 a
b
n n
+
c c
m m =725 ; an > 0 ∧ bn > 0
calcule:

a b
a 2b
n n
n n
3 +
a) 1 b) 2 c) 3
d) 9 e) 20

Álgebra
15
Practica en casa
1. Simplifica:
(x + 2)2 – (x – 3)2 – 10x
2. Multiplica
5 17 . 5 17
3 3
+ -
3. Reduce:
8 5 8 5
2 2
+ + -
^ ^
h h
4. Si: a+b=4 y ab=2
calcula el valor de a2+b2
5. Simplifica:
y
x
x
y
y
x
x
y
; x,y 0
2 2
+ - - !
c c
m m

6. Si: a+b=5 y ab=1
halla a3+b3
(x+y)(x – y) A x2+2xy+y2
(x–y)(x2+xy+y2) B x2 – y2
(x+y)2 C x3–y3
(x+y)(x2–xy+y2) D x3+y3
8. Reduce:
(x+2)(x2 –2x+4) – (x – 3)(x2+3x+9)
9. Si: x+x–1 =4
calcula: x3+x–3
10. Si: x + y + z = 0, calcula:
M =
xyz
x y z
3 3 3
+ +

11. Reduce:
(x - y)(x + y) (x2 + y2) + y4
12. Si:
y
x
x
y
+ = 2; calcula:

x y
x y xy
2
8 3
5 5
4 4
+
+
S= ( )( )( )( )( )( )
1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 4 8 16 32 64
+ + + + + + +
32
14. Reduce:
S = (x + 1) (x – 1) (x4 + x2 + 1)
si: x = –
3 8 3 8
+ +
15. Si: a + b + c = 0, reduce:

S=
bc
a
ac
b
ab
c
b bc c
a ab b
2 2 2
2 2
2 2
+ +
+ +
+ +
c c
m m

Capítulo
16
Colegios
3
Tú puedes
1. Simplifique: ( )
ab
a b
9 3 3
+
- 23(a + b), si se sabe:
ab
a b
4 9
8
2 2
+ =

a)
1 b)
2 c)
8 d)
0 e)
9
2. A partir de la siguiente relación:
a b
3
1
3
1
4
-
+
+
= a + b, reducir:
–
a b
ab
216 18
3 3
+

a)
2 b)
4 c)
1 d)
3 e)
- 4
3. Si se sabe que: (a + b - 3)2 = (a - b)2 + 3 ; calcular el valor de: A =
–
a b
ab
1
2
+

a)
1 b)
2 c)
3 d)
4 e)
- 2
4. Si: a = 5 - 2
b = 2 - 3
calcula el valor de: ( – )( – )( )
a b a ab b a b b
2 3 3 2 2 6 6 12
+ + +
12
a) 5+ 2 b) 5 - 2 c)
2 - 3 d) 2 +3 e)
2 + 3

5. Si: x = 0,5 ( 3
3
+ 2
3
)
y = 0,5 ( 3
3
- 2
3
)
calcular: E = 4xy(3x2 + y2) (x2 + 3y2)

a)
4 b)
5 c)
3
3
d)
2
3
e) 5 3
3

17
Capítulo
División algebraica I
4
6. Divide:
–
–
x
x x x
2 1
4 3 4
4 2
+ +
e indica el producto de coeficientes del cociente.
a) 2 b) – 2 c) 4
d) – 4 e) 6
7. Calcula el cociente de la siguiente división:

3 x
5x 9x 5x 8 2x
2 3 4
- +
- - - +
a) x3+2x2+8x+10
b) 2x3+x2 – 8x+15
c) 2x3 – x2+8x – 15
d) x3 – 2x2 – 8x – 15
e) 2x3+x2+8x+15
8. Calcula el residuo de la siguiente división:

x 1
4x 6x 2x 5
15 13 2
-
- + +
a) –3 b) 1 c) 5
d) 4 e) 7
9. Halla el resto de la siguiente división:
x 5
x 4 x 4 3x 8
20 10
-
- + - + -
^ ^
h h
a) 1 b) 5 c) 7
d) 9 e) 12
10. De la siguiente división:

x x 6
x x 5 2 x x 4 x x
2
2 100 2 2 2
+ -
+ - - + - + +
^ ^
h h
calcula el residuo.
a) –2 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2
1. Obtener el cociente de la siguiente división:

x 2x 5
x 5x 3x 7x 6
2
4 3 2
- +
- + + -
a) x2+3x+4
b) x2 – 3x – 8
c) x2 – 3x+4
d) x2 – 3x+8
e) x2+x+4
2. Calcula el resto de la siguiente división:

5x 7x 3
10x 6x 37x 36x 12
2
4 3 2
- +
+ - + -
a) 2x+1 b) 2x–1 c) 3x+1
d) 3x–1 e) 3x–3
3. Luego de efectuar:

3 2x x
6x 10x x 5 5x
2
4 3 2
- + +
+ - - -
indica la suma de coeficientes del cociente.
a) 0 b) 3 c) 4
d) 1 E) 10
4. Luego de dividir (8x4 – 5) entre (2x2+1), calcula
3Q(x) – 2R(x), donde Q(x) es cociente y R(x) es
residuo.
a) 4x2 – 2 b) x2 c) 4x2 – 5
d) 12x2+6 e) 12x2
5. Si los coeficientes del cociente de la siguiente
división:

x 2
2x ax bx cx 10
4 3 2
+
+ + + +
son números enteros consecutivos, calcular:
c a b
- +
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4

Capítulo
18
Colegios
4
11. Calcula "m+n+p", si la siguiente división:

3x 4x 5x 7
6x 17x 7x mx nx p
3 2
5 4 3 2
- + -
- + + + +
es exacta:
a) 22 b) 18 c) 17
d) 25 e) 28
12. Si el residuo de la siguiente división:

x 2x 1
5x 4x 13x ax b 1
2
4 3 2
+ -
+ - + + +
es –12, calcula el valor de "a – b".
a) –3 b) 4 c) 17
d) 21 e) 31
13. Calcula "a+b+c", si la siguiente división:

2x x 1
ax bx cx 17x 5
2
4 3 2
- +
+ + + -
genera (6x – 3) como residuo, y un cociente
cuya suma de coeficientes es 4.
a) 10 b) 70 c) –1
d) 100 e) –7
14. Si: P(x)=x3 – 2019x2+4035x – 2015, evaluar
P(2017).
a) 4034 b) –2 c) 0
d) 2017 e) 2
15. Halla la suma de coeficientes del cociente de la
división (n ∈ ):

– –
( – – ) ( – ) – –
x n
nx n n x n x nx n
1
3 5 3 8 8
4 2 3 2 2
+ +

si el resto es 64.
a) 50 b) 53 c) 51
d) 52 e) 60


x
x x
2
4 8 1
40 39
+
+ +
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
17. Halla el resto de:

x
x x x x
1
7
10
70 60 40 20
+
+ + + +
a) 8 b) 9 c) 10
d) 7 e) 6
18. Calcula el resto de:
( )( )( )( )
x x
x x x x
8 11
1 3 5 7 4
2
+ +
+ + + + +
a) - 9 b) - 10 c) - 11
d) - 12 e) - 13
19. Calcula "A+B – C", si la siguiente división:

4x 3x 1
Ax Bx Cx 27x 19x 5
3
5 4 3 2
+ +
+ + + + + es exacta.
a) 41 b) 21 c) 11
d) 10 e) 40
20. Si se sabe que la división:

x 3dx 3ax b
x 4dx 6ax 4bx c
3 2
4 3 2
+ + +
+ + + +
es exacta, calcula el valor de N=ab – cd;
abcd ≠ 0.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
21. Si los coeficientes del cociente entero de la
división:

2x 3
8x 18x ax bx c
4 3 2
+
+ + + +
son números consecutivos, y el residuo es –8,
calcula el valor de: a+b+c.
a) 16 b) 12 c) 23
d) 26 e) 20
22. Halla el residuo en:

–
( – )
x
x x
2 1
3 2 2 2 2 7
5 3
+
+ + +
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13

Álgebra
19
23. Halla el resto de:

–
( – ) ( )–
x x
x x x x
3 1
3 5 1 15 14
2
3 3 2
+
+ + +
a) 14 b) 8 c) 26
d) 15 e) 13

x(x 2) 2
x 1 7 x 1 3 x 1 3
38 28 18
+ +
+ + + + + +
^ ^ ^
h h h
a) x+6 b) 6 c) 0
d) –6 e) x – 6

x 4x 3
x ax bx ax b
2
4 3 2
+ +
+ + + +
el residuo es: 10x+11.
Calcula a×b.
a) 6 b) 11 c) 25
d) 35 e) 40
Practica en casa
1. Obten el cociente de la siguiente división:

x 2x 1
x 4x 6x 7x 2
2
4 3 2
+ +
+ + - +

2x 3x 5
2x 3x x 9x 15
2
4 2 2
+ -
+ + + -
3. Efectúa:

4 x 2x
5x 9x 8 20x
2
4 3 2
+ -
- + +
dar como respuesta la suma de coeficientes del
cociente.
4. Al dividir
3x 1
9x 2
2
4
+
+ , calcula:
3Q(x) + R(x), donde Q(x) es cociente y R(x) es
residuo.
5. Calcula el cociente de la siguiente división:

x 1
2x 5x 4x 3x 1
4 3 2
-
+ - - +
6. Si el polinomio Q(x) es el cociente de la división:

2 x
9x 7x 2x 14 x
2 3 4
- +
- - - +
calcula: Q(–2)
7. Obtén el cociente de:

5x 1
15x 8x 9x 7x 1
4 3 2
-
- - + +
8. De la división, halla el resto:

x 1
4x 6x 2x 1
8 4 2
-
- + +
9. Calcula el resto de la división:
( ) ( ) –
x
x x x
2
2 3 3 6
5 4
+
+ + +
10. El resto de la división:

x x 4
x x 3 5 x x 3 1
2
2 10 2 3
+ -
+ - + + - +
^ ^
h h
es igual a:
11. De la división, halla el resto:

x 1
2x x 1
50
100 50
-
- +

12. Calcula "a+b" si la división:

2x x 3
6x 3x 2x ax b
2
4 3 2
+ -
- - + +
deja como resto R(x)=x+2
P(x)=x3 – 2018x2+2019x – 4040
evalúe P(2017).
14. Calcula el valor de "a", si la división:

– –
– – –
x a
x ax ax a
3
2
3 2 2
deja como residuo: 7a + 2
15. Calcular el resto de:

–
y
y y y y
2
5
2
8 6 4 2
+ - + +

Capítulo
20
Colegios
4
Tú puedes
1. En la siguiente división:
–
–
x x
x x x ax a
1
3 2
2
4 3 2
+
+ + + , el residuo no es de primer grado. Hallar el valor de "a".

a)
12 b)
11 c)
13 d)
16 e)
22

x 4n 1
x 3n 1 x 3n x 3n 1 ... x 4n 2
2 2 2 2
- +
- + + - + - - + + - +
^ ^ ^ ^
h h h h
a) n(n – 1) b) n(n+1) c) 6
n n 1 2n 1
+ +
^ ^
h h
d) n2 e)
2
n n 1 2
+
^ h
; E
3. Según este esquema de Horner:

5 20 6a –3b –17c 9d
7
–2
(n–4) n (n+4) 34 3

Encontrar el valor de "a + b + c + d + n".
a) ( 121+2) b) ( 2 +1) c) ( 144 – 1) d) 25
3
e) 1
4. Al dividir: P(x) = 6x5 – x4 + (mx)2 + x + 3 – 2n + n2, entre: Q(x) = (x – 2x2 + 3x3),
se obtiene un residuo que al permutar sus coeficientes extremos es igual al cociente. Hallar "n ÷ m"
e indicar su menor valor.
a) 0 b) –1 c) 1 d)
3
2 e) –
3
1
5. Hallar el término lineal del cociente de la división:

x 1
nx 1 (n 1)x
2
n 1 n
-
+ - +
-
^ h
n ∈  ; n ≥ 80
a) (n–2)x b) –2x c) (–n+2)x d) (2n – 2)x e) (2 – 2n)x

21
Capítulo
5
División algebraica II
6. Halla "n" para que la división genere un
cociente notable:

x y
x y
5 3
n n–20
-
-
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
7. Desarrollar el cociente notable generado por la
siguiente división:

x y
x y
5 6
25 30
+
+
a) x20 – x15y6+x10y12 – x5y18+y24
b) x20+y24
c) x20+x15y6+x10y12+x5y18+y24
d) x5+x4y+x3y2+x2y3+xy4+y5
e) x5+y5
8. ¿Cuál de las divisiones propuestas genera el
siguiente cociente: x12+x9+x6+x3+1?
a)
x 1
x 1
3
12
-
- b)
x 1
x 1
3
15
+
+ c)
x 1
x 1
3
15
+
-
d)
x 1
x 1
3
15
-
- e)
x 1
x 1
3
12
+
+
9. Calcular el cuarto término en el desarrollo del
cociente notable generado por:
x y
x y
20 20
-
-
a) x3y3 b) x16y3 c) x16y16
d) x16y4 e) x4y4
10. Calcula el tercer término en el desarrollo del
cociente notable:

x y
x y
2
7 14
-
-
a) x6 b) x5y2 c) x4y4
d) x3y6 e) x2y8
1. Al dividir el polinomio P(x) entre (x+1), el
cociente es (x2 – 5x+3) y el resto 7. Calcula el
coeficiente del término lineal de P(x).
a) 4 b) 2 c) 1
d) –2 e) –4
2. Luego de efectuar la siguiente división exacta:

P(x)
x 5x 3x 6
3 2
- + +
el cociente es (x – 2).
Obtener el polinomio P(x).
a) P(x) = x2+5x+3
b) P(x) = x2 – 3x – 3
c) P(x) = x2+3x – 3
d) P(x) = x2+3x+5
e) P(x) = x2 – 5x – 3
3. Halla "m" si: P(x)=x3+2x2+x+m es divisible
por: x – 2.
a) 2 b) 9 c) –9
d) –18 e) 18
4. Calcula el valor de "a", si el polinomio
(x3 – 4x2+ax – 8) es divisible por (x2 – 2x + 4)
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
5. ¿Cuántos términos tiene el cociente de la

x y
x y
5 2
40 16
-
-
?
a) 5 b) 8 c) 10
d) 16 e) 20

Capítulo
22
Colegios
5
11. Indicar Verdadero (V) o Falso (F):
A. El polinomio ( x2+x – 20) es divisible por
(x – 4) ..................................................( )
B.
x y
x y
5 5
+
+
=x4+x3y+x2y2+xy3+y4............( )

C.
–
–
x y
x y
3 3
=x2–xy+y2..................................( )
D. El polinomio ( x3 – 3x +2) es divisible por
(x+1)......................................................( )
a) FFFV b) VFFV c) FFVV
d) VFFF e) VVVF
12. Calcular la suma de coeficientes del polinomio
P(x), tal que al dividirlo entre (x3 –2x+1), el
cociente es (x2 – 8) y el resto igual a (x+3).
a) –1 b) 0 c) 2
d) 3 e) 4
13. Si el polinomio (x3+mx2 – nx – 27) es divisible
por (x – 3), calcular el valor de
m n
m n
m n
5n m
-
+ + +
-
a) 1 b)
2
1
− c)
2
3
d) 2 e) 0
14. Calcular el término central generado por el
desarrollo del cociente notable:

( ) –( – )
( ) – ( – )
x x
x x
1 1
1 1
4 4
20 20
+
+
a) 8(x2 – 1) b) (x + 1)8 c) (x – 1)8
d) (x2 + 1)8 e) (x2 – 1)8
15. Si A(x; y) es el sexto término en el desarrollo del

3x y
3x 2y y
15 15
+
+ -
^ h
calcula el valor de A(–1; 2)
a) 1 b) –2 c) 16
d) –32 e) 32
16. Sabiendo que uno de los términos del cociente
de la división:

x y
x y
2
a b
-
-
es x4y10
calcula "a+b".
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
17. Si el término de lugar 4 contado del extremo
final en el desarrollo del cociente notable
generado por:
P(x;y)
x y
x y
5 2
5n 2n
-
=
-
Es de grado 37, calcular el número de términos
del desarrollo.
a) 10 b) 11 c) 14
d) 15 e) 16
18. Simplifica:

m m m ... 1
m m m ... 1
30 28 26
31 30 29
+ + + +
+ + + +
a) m b) m+1 c) m+2
d) m – 1 e) m – 2
19. Halla "m+n+p", si el polinomio:
(2x5+3x4+7x3+mx2+nx+p)
es divisible por (x2+1)(x–1)
a) 10 b) 12 c) –12
d) –10 e) 8
20. Al dividir un polinomio P(x) entre (x+3), se
obtuvo por residuo (–5) y un cociente cuya
suma de coeficientes es igual a (3).
Calcular el residuo de dividir P(x) entre (x – 1).
a) 5 b) 6 c) 8
d) 9 e) 7
21. Si el polinomio: ax7 + bx5 – 1 es divisible
por: mx5 + nx4 + px3 – x – 1, calcular el valor
de "ab + mn + p".
a) 1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 7

Álgebra
23
22. Hallar el lugar que ocupa el término de grado
101 en el desarrollo del cociente generado por:
M(x;y)
x y
x y
9 4
180 80
=
-
-
a) 9 b) 10 c) 13
d) 15 e) 16
23. Reducir:

x x 1 x x 1
x x x ... x 1 x
2 2
22 20 18 2 18
- + + +
+ + + + + -
^ ^
h h
a) x6 – x3+1
b) x12 – x6+1
c) x6+x3+1
d) x10+x5+1
e) x12+x6+1
24. Al dividir por separado un polinomio "P(x)"
entre los binomios (x + 1) y (x – 1), se obtuvo
como restos 7 y 5 respectivamente. Hallar el
residuo de dividir "P(x)" entre (x2 – 1).
a) 6 – x b) x + 1 c) x – 1
d) x + 6 e) x – 6
25. Un polinomio "P(x)" de tercer grado es divisible
entre (x + 1) y (x + 4), tiene por coeficiente
principal 2 y como término independiente 20.
Calcular el resto que se obtiene al dividirlo
entre (x – 2).
a) 180 b) 210 c) 148
d) 162 e) 124
Practica en casa
1. Al dividir el polinomio P(x) entre (x – 1), el
cociente es (x2 – 3x+2) y el resto 4.
Calcula P(5).
2. La siguiente división exacta:

P(x)
x 2x 5x 6
3 2
- - +
da por cociente (x – 3)
Obtener el polinomio P(x).
3. Calcula "m", si el polinomio:
P(x) = x3 – 2x2+5x – m
es divisible por (x – 1).
4. Si el polinomio:
x3 – 5x2 + mx – 4
es divisible por (x2 – x+1)
calcular el valor de "m".
5. ¿Cuántos términos tiene el cociente de la

x y
x y
5 8
30 48
-
-
?
6. Halla el valor de "a" si la división
–
–
x y
x y5 8
a a
2 9
–
genera un C.N.
7. Desarrollar el cociente notable generado por:

x 1
x 1
3
12
-
-
8. Obtener la división que genera el siguiente
cociente:
x10+x8+x6+x4+x2+1
9. El sexto término en el desarrollo del cociente
notable:
–
–
x y
x y
9 9
es:
10. Calcular el cuarto término en el desarrollo del
cociente notable:

x y
x y
10 5
100 50
-
-

11. Calcular el segundo término al desarrollar:

–
–
x
x
3
81
3
12

Capítulo
24
Colegios
12. Completa:
A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x – 4),
entonces P(4) = ...................
B. En el cociente notable:
x y
x y
2 3
20 30
-
-
, el número
de términos es ................
C. Desarrollar:
x y
x y
4 4
-
-
=................................
D. Si P(x)=x2 – mx+6 es divisible por (x – 2),
entonces m= ..........................
13. Determina "a + b" de manera que el polinomio:
P(x) = x3 + ax + b sea divisible por: (x – 1)2.
14. Si el polinomio: ax5+bx4+1, es divisible por:
x2 – 2x + 1, calcula el valor de "ab".
15. Al dividir por separado un polinomio "P(x)"
entre los binomios (x + 2) y (x – 2), se obtiene
como restos 5 y 13 respectivamente. Calcula el
residuo de dividir "P(x)" entre (x2 – 4).
Tú puedes
1. Calcula "M+N" si: M =
...
– –...– –
9 9 9 9 9 1
9 9 9 9 9 1
9 8 7 2
9 8 7 2
+ + + + + +
+ + ; N =
...
...
2 2 2 1
2 2 2 1
32 28 24
34 32 30
+ + + +
+ + + +

a)
3,2 b)
5,8 c)
7,6 d)
9,8 e)
18

2. Un polinomio P(x) de cuarto grado, al ser dividido separadamente por (x2+x+1) y (x2 – x+2), genera
el mismo residuo (3x – 5); pero al dividirlo por (x+1), el residuo es 12. Calcule P(0).

a)
6 b)
5 c)
4 d)
3 e)
2

3. Si se sabe que: ". . . + x6y6 + xayb + x2y12 + . . ." son tres términos consecutivos de un C.N., halla el
valor de "a + b".

a)
13 b)
15 c)
12 d)
14 e)
10
4. El polinomio (x – 2)51+(x – 1)40+7 no es divisible entre x2 – 3x+2.
Calcular el residuo.
a) 2x + 1 b) 2x – 1 c) 2x – 4 d) 2x+4 e) 2x

5. Si se divide "P(x)" entre (x+2)4, el residuo es: (x3 – 12x+17). Calcula el residuo de dividir "P(x)" entre
(x+2)2.
a) 4x+4 b) 4x – 4 c) –16x+13 d) –16x – 13 e) 33
5

25
Capítulo
6
Factorización I
7. Luego de factorizar las siguientes expresiones:
P(x) = 8x3+1
Q(x) = x3 – 125
Dar como respuesta la suma de sus factores
primos cuadráticos.
a) 5x2 – 3x+26 b) 8x2 +4x+1
c) 5x2+3x+26 d) x2+3x+26
e) x2+x+26
8. Factoriza: P(x; y) = 3x2 + 20xy + 12y2
e indicar la suma de factores primos.
a) 4x – 8y b) 4x + 8y c) 2x – 4y
d) 2x + 4y e) 3x2 + 12y2
9. Indique el número de factores primos del
polinomio:
P(x) = x4 – 7x2 – 18
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 10
10. Relaciona los polinomios con sus respectivas
representaciones factorizadas:
I. P(x; y) = xy – 7x+9y – 63
II . P(x; y) = 81x2 – 49y2
III. P(x; y) = 64x3+125y3
IV.
P(x; y) = x2 – 2xy – 63y2
A. (9x – 7y)2
B. (4x – 5y)(16x2 – 20xy++25y2)
C. (x+9)(y – 7)
D. (9x+7y)(9x – 7y)
E. (4x+5y)(16x2 – 20xy+25y2)
F. (x – 9y)(x+7y)
a) IF - IIA - IIIE - IVC
b) IC - IIA - IIIB - IVD
c) IF - IID - IIIE - IVC
d) IC - IID - IIIE - IVF
e) IF - IIA - IIIE - IVD
1. Sea: M(x) = 3x2(2x + 1)4 (x – 2)5
Indicarverdadero(V) ofalso(F)segúncorresponda:
A. El número de factores primos es 2 ..... ( )
B. La suma de los factores primos es: 4x......( )
C. El factor primo de mayor multiplicidad es
(x – 2) .................................................( )
D. Un factor primo es: 3x2..........................( )
a) VFFV b) VVFF c) FFFV
d) FVVV e) FFVF
2. Factoriza: P(x; y)=2x2y + 3xy2 + xy
Indicar el número de factores primos.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
3. Factoriza: P(x) = x2(x+3) – 5x – 15
Indicar el factor primo de mayor grado.
a) x2 – 3 b) x2+5 c) x2 – 5
d) x2+3 e) x2+15
4. Luego de factorizar:
P(x; y) = 8xy – bx + 8ay – ab
indica un factor primo.
a) 8y+b b) 8x – b c) x+y
d) x+a e) x – a
5. Factorizar: P(x) = 400x2 – 9
Dar como respuesta la suma de coeficientes de
un factor primo.
a) 9 b) 11 c) 14
d) 17 e) 20
6. Factoriza:
P(x; y) = x2 – y2+6x+9
Indica un factor primo.
a) x+y+3 b) x – y – 3 c) x+y
d) x+y – 3 e) x+y+6

Capítulo
26
Colegios
6
11.
Indica verdadero (V) o falso (F) luego de
factorizar: A(x) = 6x3 +5x2 – 4x

A. Tiene tres factores primos......................( )
B. Tiene dos factores primos mónicos........( )
C. La suma de sus factores primos es: 6x – 1
................................................( )
D. Tiene un factor primo cuadrático..........( )
a) VFFF b) VFFV c) VFVF
d) VVFF e) FVVV
12. ¿Cuántos factores primos de segundo grado
tiene el siguiente polinomio
P(x;y) = x5y + ax4y + x3y + ax2y?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Factoriza: P(x;y) = (x – y)3 – (x – y)2 – 2(x – y)
indicando un factor primo.
a) x – y + 3 b) x – y + 2 c) x – y + 1
d) x – y – 8 e) x
14. Factoriza: P(x; y) = x9y - x3y7
a) x2 + xy + y2 b) x2 – xy – y2 c) x2 + y2
d) x2 + y e) x2 – y
15. Calcula la suma de los coeficientes de un factor
primo de:
P(m; n; p) = (2m+3n–p)2–14m–21n+7p–18
a) 2 b) –3 c) –4
d) 5 e) 6
16. Factoriza:
P(x;y) = 4(x + 3y)2 – 9(2x – y)2
indicando un factor primo.
a) 8x + 3y b) 8x – 3y c) 8x + 6y
d) 8x – y e) 4x – y
17. Factoriza:
A(n)=(n+3) (n+2) (n+1)+(n+2) (n+1)+ (n+1)
indicando el factor primo que más se repite.
a) n + 4 b) n + 1 c) n + 2
d) n + 3 e) n + 8
18. Factoriza:
P(x;y) = 36x4 - 109x2y2 + 25y4
indicando el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
19. Un factor primo de la expresión:
P(x) = x6 – x2 – 8x – 16 es:
a) x3 – 4 b) x3 – 2x+4 c) x2+2x – 4
d) x3 – x – 4 e) x3 – x+4
20. Factoriza:
P(x; y; z) = x4z+4x2y2 – 4x2y2z+4y4z–x4 – 4y4
Indicar la suma de coeficientes de un factor
primo.
a) –3 b) 1 c) –1
d) 2 e) –2
21. Factoriza:
P(x) = (x2+x+1)(x2 – x+1)+7x2 – 385
indicando la suma de factores primos lineales.
a) 24 b) –16 c) 2x
d) 0 e) –8
22. Factoriza:
P(x; y) = (x2 – y2+1)2+10(x2 – y2)+19
Indicando el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
23. Factoriza:
P(x) = (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) – 10
Indicando un factor primo.
a) x2 – 6x+10 b) x2+6x – 10
c) x2 – 6x – 10 d) x2+6x+3
e) x2+6x – 3

Álgebra
27
24. Factoriza:
P(x; y; z) = (x3 + y3 + z3)3 – x9 – y9 – z9
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) 8
25. Factorizar:
P(a; b; c)=abc(ab+bc+c)+ac(a+ab+c)+b(a3+c3)
Indicar la suma de dos factores primos.
a) 2a+ac+b b) 2b+c+ac c) a+b+c
d) ab+c e) 2c+a+ab
Practica en casa
1. Factoriza el polinomio:
P(x) = x3+5x2+17x
2. Factoriza el polinomio:
P(x) = x2(x – 2)+3x – 6
3. Factoriza:
P(x; y) = x2 – xy+3x – 3y
4. Factoriza:
P(x; y) = 36x2 – 25y2
De como respuesta la suma de coeficientes de
un factor primo.
5. Factoriza:
M(a; b) = a2 – 4 + 2ab + b2
6. Factoriza:
P(x; y) = x3+27y3
P(x; y) = 5x2+17xy+6y4
calcula la suma de los factores primos.
8. ¿Cuántos factores primos tiene el polinomio:
P(x) = x4 – 17x2+16?
9. Indica verdadero (V) o falso (F) luego de
factorizar: A(x) = 9x3 +7x2 – 2x
A. Tiene dos factores primos...................... ( )
B. Tiene dos factores primos mónicos........ ( )
C. La suma de sus factores primos es: 11x–1.... ( )
D. Tiene un factor primo cuadrático.......... ( )
10. Factoriza:
P(x; y; z)=x2+xy+zx+zy+x+y
Indicar un factor primo.
11. Factoriza:
P(x) = (x+5)2 – 16
12. De la suma de los términos independientes de
los factores primos de:
P(x;y) = x2 + 2x + xy + y + 1
13. Factoriza:
P(x) = (x+4)(x+2)(x+1)+(x+4)(x+1)–2 (x+1)
indicando la suma de factores primos.
14. Factoriza: P(x;y) = 100x4 – 29x2y2 + y4
15. Factoriza:
P(x) = x2(x+2)2 + x2+2x – 12

Capítulo
28
Colegios
6
Tú puedes
1. Al factorizar: xn + 4 – xn + 2+x4 + x3 – x2 + x+2, uno de sus factores primos tiene:
a) 3 términos b) 4 términos c) 5 términos d) 6 términos e) 7 términos
2. Uno de los factores primos de: x2x + xx – 12, para: x=3, se convierte en:

a)
23 b)
25 c)
30 d)
31 e)
33
3. Factoriza: P(x;y) = x6 + 2x5y – 3x4y2 + 4x2y4 – y6 ; indicando un factor primo.
a) x3 – xy+y2 b) x3 – x2y+y2 c) x2 – xy+y3 d) x3 – x2y+y3 e) x2 – xy2+y3
4. Factoriza: F(a;b) = (a + b)7 + c3(a + b)4 – c4(a + b)3 – c7, indicando un factor primo.
a) a+b+c b) ab+bc+ac c) a2+ab+b2 d) a – b e) a2+b2+ c2
5. Factoriza: P(x) = (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)2 – x6, indicando un factor primo.
a) x+2 b) x+3 c) x4+1 d) x+7 e) x+8

29
Capítulo
7
Factorización II
6. Factoriza:
P(x) = x4+5x2+9x2+11x+6
Indica el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Factoriza:
P(x)=x4+3x3 – x2+7x+2
calcula el valor numérico de un factor primo
para x=3.
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 20
8. Factoriza:
P(x) = x3 – 3x2+7x – 5
a) x+1 b) x – 5 c) x2 – 2x+5
d) x+5 e) x2+2x+5
9. Uno de los factores primos del polinomio:
P(x) = x3 – x2 – 2x – 12 es:
a) x+3 b) x2 – 2x+4 c) x – 3
d) x2+2x+2 e) x+2
10. Factoriza:
P(x) = x3 – 5x2 – 2x + 24
indica la suma de los términos independientes
de los factores primos.
a) –7 b) –5 c) –3
d) 4 e) 6
11. Factoriza:
P(x;y)=6x2+7xy–3y2+11x-11y–10,
indicando la suma de sus factores primos.
a) 5x+2y+3 b) 5x+y–3 c) 5x+2y–3
d) x+y+1 e) x+2y+3
1. Indica Verdadero (V) o Falso (F):
A. El polinomio: P(x)=x3+3x2+x–2 se factori-
za por divisores binómicos......................( )
B. El polinomio: P(x)=x4+x2+2 es mónico...( )
C. El polinomio: P(x) = x3 – 6x2 +11 x – 6 tiene
como un posible cero a: x=2..................( )
D. El polinomio: P(x)=x4+6x3+7x2+6x+1 se
factoriza por aspa doble..........................( )
a) VVFV b) VVVF c) VFVF
d) FVVV e) FFFF
2. Factoriza:
P(x; y) = x2+3xy+2y2 – x+y – 6
Indicar un factor primo.
a) x+y+4 b) x+y+2 c) x+y – 2
d) x – y+18 e) x+2y+14
3. Factoriza:
P(x; y) = x2+4y2 – 2x – 5xy+11y – 3
Indica la suma de coeficientes de un factor
primo.
a) –2 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2
4. Factoriza:
P(x;y)=15x2+11xy+2y2+16x+6y+4
a) 3x+y b) 3x+y+2 c) 5x+2y
d) 5x–2y+2 e) 5x + 2
5. Factoriza:
P(x) = x4+5x3+6x2+5x+1
Indica el término lineal de un factor primo.
a) –5x b) 4x c) 2x
d) –x e) 3x

Capítulo
30
Colegios
7
12. Factoriza:
P(x; y; z)=6x2 – 3y2 – 2z2 – 7xy – xz+7yz
uno de los factores primos es:
a) 3x – y+z b) 2x+3y – z c) 3x+y – 2z
d) x+y – z e) 2x+y+z
13. Indica un factor primo de:
P(x)=x3(x+1)+2x2+5(x–3)
a) x2 – 5 b) x2 + 5 c) x2 – x – 3
d) x2 – 3 e) x2 + 3
14. Factoriza:
P(x) = x4 + 5x3 – 7x2 - 29x + 30
indica la suma de todos los factores primos.
a) 4x + 3 b) 4x + 4 c) 4x + 5
d) 4x + 6 e) 4x + 7
15. Indica un factor primo de:
P(x) = x4 + 4x2 + 16
a) x2 + 2x + 4 b) x2 + 2x c) x2 – 2x
d) x2 – 2x + 3 e) x2 + 6x – 1
16. Indica Verdadero (V) o Falso(F) al factorizar:
P(x) = x3 + 2x2 – 13x + 10
A. El polinomio tiene dos factores primos.... ( )
B. El polinomio tiene tres factores primos.... ( )
C. La suma de sus factores primos es: 3x+2....( )
D. Uno de los factores primos es: x – 2........ ( )
a) VVVF b) FVVV c) VVFF
d) FVVF e) FVFF
17. Factoriza:
H(x) = x3 – 7x + 6
a) x – 3 b) x + 2 c) x – 1
d) x + 1 e) x
18. Factoriza:
P(x) = 6x3 – 23x2 – 6x+8
a) 3x – 1 b) 2x + 1 c) 2x+3
d) 3x+2 e) 4x+1
19. Factoriza:
P(x;y;z)=x2+y2 – 4z2+2xy+3xz+3yz
a) x+y+z
b) x+y – 4z
c) x+y+4z
d) x+y+2z
e) x+y – 2z
20. Factoriza:
P(x; y) = 28x2 – 69xy – 22y2 – 36x – 71y – 40
indicando la suma de sus factores primos.
a) 11x+9y+3
b) 11x – 9y – 3
c) 11x – 9y+3
d) 11x+9y – 3
e) 11x+9y+5
21. Factoriza:
P(x) = (x2+x – 1)2+(2x+1)2
calcula la suma de coeficientes de un factor
primo.
a) 1 b) 2 c) 4
d) 3 e) 6
P(x)=x12 –x9 – 6x6+4x3+8
indica el factor primo cuadrático.
a) x2+1 b) x2+x+1 c) x2 – x+1
d) x2+x+2 e) x2 – x+2
P(x) = x3+2x2 – 5x – 6
se obtiene P(x)=(x – a)(x+b)(x+c)
calcula a×b+c, si b a c.
a) 8 b) 7 c) 6
d) 5 e) 4

Álgebra
31
24. Calcula el valor numérico de un factor primo de:
P(x)=x5+3x4 – 17x3 –27x2+52x+60
Para x=7.
a) 1 b) 3 c) 6
d) 9 e) 10
25. Factoriza:
P(x)=x6+7x5+17x4+13x3–10x2–20x – 8
Indica el factor primo de mayor multiplicidad.
a) x – 1 b) x+1 c) x – 2
d) x+2 e) x+4
Practica en casa
1. Factoriza:
P(x;y)=x2+5xy+4y2+2x+5y+1
2. Factoriza:
P(x;y) = 5x2+8xy+3y2+2x – 3
3. Factoriza:
P(x;y) = 3x2+4xy+y2+4x+2y+1
4. Factoriza:
P(x;y) = 10x2+11xy – 6y2 – x – 11y – 3
de como respuesta la suma de los factores
primos.
5. Factoriza:
P(x) = x4 – 2x3 – 10x2+5x+12
¿Cuántos factores primos tiene?
6. Factoriza:
P(x)=x4+7x3+14x2+7x+1
7. Luego de factoriza:
P(x)=x4 – 4x3+11x2 – 14x+10
indica el factor primo de mayor término
independiente.
8. Factoriza:
P(x)=x3 – 3x+2
9. Factoriza:
P(x)=x3+2x2 – 5x – 6
calcula la suma de sus factores primos.
10. Factoriza:
P(x)=2x3 – 5x2 – 23x – 10
de como respuesta la suma de sus factores
primos mónicos.
11. Factoriza:
P(x) = x3+5x+6
12. Factoriza:
P(x;y;z)=6x2 – 20y2 – 14z2+7xy+38yz – 17xz
13. Factoriza:
P(x)=x4+3x3+7x2+7x+6
14. Factoriza:
P(x)=x4+2x2+9
Calcula el valor numérico de un factor primo
para x=3.
15. Factoriza:
P(x)=x3+6x2+11x+6
de como respuesta la suma de sus factores
primos.

Capítulo
32
Colegios
7
Tú puedes
1. Al factorizar: P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 – x2 – 8x – 4 , indique V o F
I. El polinomio tiene cinco factores primos. II. El polinomio tiene tres factores primos.
III. La suma de sus factores primos es: 3x+2 IV. Uno de los factores primos es: (x + 2)2.
a) FVFF b) VVVV c) FVVV d) FVVF e) VVVF
2. Factoriza: P(x;y) = 24x3y2+60x2y2 – 6xy4 + 6xy3 + 36xy2
a) 6xy2 (x + y + 1)(2x – y + 3) b) 6xy2 (x + y + 2)(2x – y + 3)
c) 6xy2 (2x + y + 2)(x – y + 3) d) 6xy2 (2x + y – 2)(2x – y – 3)
e) 6xy2 (2x + y + 2)(2x – y + 3)
3. Factoriza: P(x) = x5 + x + 1
a) (x2 + x + 1) (x3 – x2 + 1) b) (x2 + x + 1) (x3 + x2 + 1)
c) (x2 – x – 1) (x3 – x2 + 1) d) (x2 – x – 1) (x3 + x2 + 1)
e) (x2 + x + 1) (x3 + x2 – 1)
4. Factoriza: P(x) = x12 – 3x9 – 7x6 + 27x3 – 18
a) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3 – 5)(x3 – 3) b) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3+3)(x3 – 3)
c) (x+1)(x2 – x+1)(x3 – 2)(x3+3)(x3 – 3) d) (x – 1)(x2+x+1)(x3+2)(x3+3)(x3 – 3)
e) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3+4)(x3 – 3)
5. Indica un factor primo de: P(x) = x5 – x4 + 2x2 – 2x + 1
a) x2 + x + 1 b) x3 + x + 1 c) x2 + x – 1 d) x3 – x+1 e) x2+1

33
Capítulo
8
Fracciones algebraicas

x 2
x
x 2
3
- + + ; x ≠ –2 ∧ x ≠ 2
calcula la diferencia entre el numerador y
denominador de la fracción resultante.
a) x2 b) x+4 c) x2 – 4
d) 5x – 2 e) 5x+2
7. Efectúe:

x 4
x
x
2x 4
2 -
-
; ;
E E
a) x 2
x
+ b)
x 2
2
- c)
x 2
x
-
d)
x 2
2
+ e)
x 4
x
-
8. Efectúe:

x 3
6x x 2
3x 9
2x 1
2
+
+ -
+
-
'
a) 2x+3 b) 3x – 1 c) 6x+9
d) 9x+6 e) 9x – 3
9. Si la fracción:
x y
x my
4 3
2
+
+
es independiente de
x e y, halle m.
a) 6 b)
6
1 c)
2
3
d) 4 e) 1
10. Si se cumple:

x 1
A
2x
3
2x 2x
17x 3
2
- + =
-
-
calcula el valor de A.
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 7
11. Reducir:
–
–
x
x x
x x
x x
25
2 10
6 5
16 15
2
2
2
2
+
+ +
+ +
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
1. La siguiente fracción:
F(x) x 3
x 1
= -
+
no está definida para:
a) x=1 b) x=3 c) x=–1
d) x=–3 e) x=0
2. La fracción algebraica:
F(x)
x 5x 6
3
2
=
− −
está definida para x ≠ a ∧ x ≠ b
Calcula a2+b2.
a) 25 b) 37 c) 36
d) 1 e) 30
3. Simplifica la fracción:
F(x)
x 3x 10
x 5
2
=
- -
- ; x ≠ –2 ∧ x ≠ 5
De como respuesta la suma del numerador y
denominador de la fracción obtenida.
a) x – 1 b) x+3 c) x+4
d) x+2 e) x – 3
4. Reduzca:

1
1 x
1
1
1
+
−
a) x+1 b) x c) x – 1
d) 1 e) –x
5. Efectúe:

x 4
3x
x 4
6
2 2
-
-
-
; x ≠ –2 ∧ x ≠ 2
a) x+2 b) 4 c)
x 2
3
-
d) x 2
3
+ e) x – 2

Capítulo
34
Colegios
8
12. Simplifica:
– –
x y
x
x y
x
x y
xy
2
1 2
2 2
+
+
+
; E
a)
x y
2
+
b)
x y
1
+
c)
–
x y
x
d) 1 e)
x y
x
+
13. Reduzca:
x
x
x x
x
x
1 1
1
1 1
1
– –
3 2
+ -
+
+
+
a) x2 + 1 b) x2 + 2 c) x2 + 3
d) x2 + 4 e) x2 + 5
14. Efectúe:
x 1
4x
x x 1
x 1
x x
x 1
2 2
3
- + +
+
+
-
$ $
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 8
15. Obtén el producto resultante:
...
x x x x n
1 1 1
1
1 1
2
1 1 1
+ +
+
+
+
+
+
` c c c
j m m m
a)
n
x n
+ b)
x
x n 1
+ + c) –
n
x n
d) –
x
x n 1
+ e)
x n
x 1
+
+
16. Simplifica:

1
1 x
1
1
x 1
2
1 x
1
1
x 1
-
+
-
-
-
+
'
a) x b) x+2 c) x – 2
d) x+3 e) x – 3
17. Si la fracción:
F(x;y) 8x 4y 7
a 2 x 2a 3b 1 y 3b
= - +
- + + - +
^ ^
h h
tiene un valor constante para todos los valores
de x e y, entonces este valor constante es:
a)
3
1
− b)
5
1
− c)
7
1
−
d)
27
1
− e)
9
1
−
18. Si:
– – –
x x
x
x
A
x
B
20
3 3
5 4
2
+ = +
+
Halla: (A × B)A+B
a) 8 b) 4 c) – 6
d) 12 e) 9
19. Calcula el verdadero valor que toma la fracción:
F(x)
x x 2
x 6
x x 1
x 4
=
-
+
+
+ -
-
Para x = 2
a) 0 b) 5
2 c)
5
16
d) 5
4 e)
9
8
20. Simplifica:

–
–
a
a b
a
b
a b
b
b
a b
b
a
a b
a
2 2
2 2
2 2
2 2
+
+
+
+
+
+

a) 1 b) –
a
a b c)
–
a b
a b
+
d)
a b
b
+
e)
b
a
2
2
21. Reduzca:

3 1 3x
1 x
1 3x
13 13x 4
1 3x
1 x
1 3x
3 3x 4
2
2
-
+ + -
+ +
-
+ + -
+ -
c c
c c
m m
m m
a) 0 b) 1 c) x+1
d) x e) x+2
22. Si la fracción:
– –
–
x x
x x
2 1
3 2 4
2
2
+
es equivalente a: α +
–
x x
2 1 1
β θ
+
+
Halle:
( )
15
3
α θ β
+ +
a) –
5
1 b)
5
1 c)
5
3
d)
15
1 e)
3
1
23. Efectúe:
a b 2c c
a b 4c c
b c 2a a
b c 4a a
c a 2b b
c a 4b b
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
+ + -
+ + -
+
+ + -
+ + -
+
+ + -
+ + -
^
^
^
^
^
^
h
h
h
h
h
h
a) 8 b) 4 c) 5
d) 7 e) 16

Álgebra
35
24. Simplifica:
1
x
1
x
x x
1
x 1
x 1
x 1
x 1
3
4
3
2
5
-
+
+
-
-
-
-
-
-
a) x–1 b) x–2 c) x–3
d) x–4 e) x–5
25. Sabiendo que: a2+b2+c2=3
ab+ac+bc=0
Calcula:

( – – )
–( )
( – – )
–( )
( – – )
–( )
a a b c
a bc
b b a c
b ac
c c a b
c ab
4 2 4 2 4 2
+ +
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
Practica en casa
1. La fracción algebraica:
F(x) x 4
x 2
= -
-
no está definida para x = _______
2. La siguiente fracción:
F(x)
x 6x 8
5
2
=
- +
está definida para x ≠ a ∧ x ≠ b
calcula a2+b2.
3. Simplifica la fracción:
F(x)
x 4x
x 4
2
=
-
- ; x ≠ 0 ∧ x ≠ 4
4. Reduzca:

1 x 2
2
1
-
+
5. Efectúe:

x 1
x
x 1
1
2 2
-
+
-
; x ≠ –1 ∧ x ≠ 1
6. Efectúe:

x 3
5
x 1
3
- -
+
7. Efectúe:

x 9
x 1
x 1
x 3
2 -
- +
−

H F
8. Efectúe:
x 5
x 5x 4
x 5
x 1
2
+
- +
+
-
'
9. Si la fracción:
F(x; y) =
–
–
x y
mx y
4 6
12
es independiente de x e y, calcula m.
10. Si se cumple:

x 1
A
x
5
x x
11x 5
2
+ + =
+
+
halla el valor de A
–
–
x
x x
2
4 4
2
+ A 4
– –
x
x
x
x
x
x
7 2 5 2
+ + + B x – 6
–
x
x
6
36
2
+
C 2
–
–
y
x y
y
x y
+
D x – 2
12. Reduzca:

– –
–
– –
–
a a
a a
a a
a a
2
5 6
3 4
20
2
2
2
2
+ + +
13. Efectúe:
–
– –
x
x
x
x
x
x
1 1
2
1
2
2
3 2
+
+

14. Si:
x x
x
x
A
x
B
3 2
3 4
1 2
2
+
+ =
+
+
+
+
Halla: A.B
15. Si: M =
( )
( – )
a b
a b
1 1 1
2 2 1
– – –
– – –
+
; N =
( – )
( – )
a b
a b
2 2 1
1 1 1
– – –
– – –
Halla M.N.

Capítulo
36
Colegios
8
Tú puedes
1. Si: x3 = 1, x ≠ 1 , reduzca: M =
x
x
1 5
4
+
-
c m
3
a) 1 b) - 1 c) 2 d) - 2 e) 2
3
2. Si: (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 , calcula: K =
( ) ( ) ( )
( )
xy xz yz
xyz x y z
2 2 2
+ +
- + +
a) 2 b) 3 c) 2-1 d) 2-2 e) 9
3. Reduzca:
( )
( )
.
( )
( )
z x
x y z
z y
x z
7 7
2
2 3
2
2
-
-
-
-
- -
= =
G G
2 -1
a) (y - z)4 (x - z)2 b) 7x (y - z)-4(x - z)-2 c) x(y - z)-4 (x - z)-2
d) 7x4 (y - z)-4 (x - z)-2 e) 7x4 (y - z) (x - z)
4. Si:
b
a
c
b
a
c
2
7
+ + = y
a
b
b
c
c
a
2
5
+ + = , halla:
b
a
c
b
a
c
1 1 1
+ + +
` c `
j m j

a)
4 b)
5 c)
6 d)
7 e)
8
5. Si: am = bn = cp, calcula: E =
( )( )
( )( )
abc m n p mn mp np
mnp a b c ab ac bc
+ + + +
+ + + +
a) 1 b) 2 c) am d) abc e) mnp

37
Capítulo
9
Repaso I
7. Obtén el quinto término en el desarrollo del

x y
x y
4 5
28 35
-
-
a) x8y10 b) x4y20 c) x4y15
d) x8y20 e) x8y5
8. Halla el número de factores primos del
polinomio:
P(x;y) = 13x10y5 – 26x7y8 + 39x11y9
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Factoriza:
P(x;y) = 4x2 + 12xy + 5y2 + 12x + 18y + 9
indicar un factor primo.
a) 2x+y b) 2x+5y+3 c) x+y+3
d) 2x+2y+3 e) 2x+5y
I.
x 3
x 6x 9
2
-
- + A. 5
II.
x
x 2
x
3x 5
x
x 7
+ + + + - B. x – 3
III.
x 10
x 100
2
+
- C. 2
IV.
m
x m
m
x m
+ - - D. x – 10
a) IB - IID - IIIA _ IVC
b) IB - IIC - IIID - IVA
c) IA - IIB - IIIC - IVD
d) ID - IIA - IIIC - IVB
e) IB - IIA - IIID - IVC

11. Simplificar:
22
2
2
2
2
2 1
-
8 B
a) 1 b) 2 c) 2
d) 4 e) 2 2
1. Simplifique: S=
( ) ( )
( )
x y
x y y
2 2 3 2
3 2 3
; x ≠ 0, y ≠ 0
a)
y
x b)
x
y
c)
y
x
2
d)
y
x2
e) x.y
2. Calcula el valor de x que verifica la igualdad:
16x+3 = 32x – 4
a) 4 b) 8 c) 16
d) 32 e) 64
3. Calcula a + b + c , si el polinomio:
P(x;y)=xa+3y2+5xb–5y+bx8yc+4+x10y9
es homogéneo.
a) 44 b) 43 c) 42
d) 41 e) 40
4. Simplifica:

–
–
5 2
5 2
5 2
5 2
+ +
+
a)
3
7 b)
2
7 c)
6
7
d)
3
14 e)
5
14
5. Reduzca:
(x+2)2 – (x+5)2 +(x+4)2 – (x+1)2
a) 0 b) 1 c) –3
d) –6 e) 6x
6. Divide:
–
x x
x x x x
2 1
4 6 7 2
2
4 3 2
+ +
+ + +

Indica el resto.
a) 1 – 10x b) 1 + 11x c) 1 – 11x
d) 10x – 2 e) 4x – 1

Capítulo
38
Colegios
9
12. El siguiente polinomio:
P(x)=5x3a–9+10xa+b–3+20(x2)4b–c+a
es ordenado de forma creciente y completo.
Calcula: ab + bc + ac.
a) 15 b) 20 c) 22
d) 27 e) 2
13. Simplifica:
R=(a+b+c+d)2–(a+b+c)(a+b+d)–(b+c+d)(a+c+d)
a) ab b) ac + cd c) cd + ab
d) -cd – ab e) 0
14. El residuo de la siguiente división:

( )
– –( ) ( )
x
x x x a x b
1
4 6 2 3
2
4 3 2
+
+ + + +
es: – (27x+11); indica a + b.
a) - 3 b) 0 c) 3
d) 4 e) 5
15. Si el trinomio racional:
(x5 – ax+b) es divisible por (x2 – 2x+1), calcula
el valor de a2+b2 (ab ≠ 0).
a) 25 b) 30 c) 36
d) 41 e) 47
16. Factoriza:
F(x;y)=x2(x – y)2 – 14xy2(x – y)+24y4
de un factor primo.
a) x + 2y b) x – 3y c) x – 4y
d) x – y e) x + 8y
P(x) = x5+4x4 – 10x2 – x+6
Indica el factor primo de mayor multiplicidad.
a) x+1 b) x – 1 c) x+2
d) x – 2 e) x+3
18. Simplifica:
E(a;b)=
–
–
–
–
a b
a b
a b
a
a ab b
ab
2 1
1 2
3 3
3 3
2 2
+
+
+
c c
m m
a)
2
1 b) 1 c)
b
a
d)
a
b e) 0
19. Hallar n en:
x
x
x
x
1
x
3
4
5
n
3
4
5
=
a) 10 b) –17 c) 24
d) –33 e) 46
20.
Encontrar el polinomio cuadrático P(x) que
verifica:
P x
2
1 P x
2
1 6x 8x 5
2
+ + - + +
/
e e
o o
para luego indica la suma de sus coeficientes.
a) 1 b) 8 c) 2
d) 9 e) 13
21. Halla el valor de:
a b
a
a b
b
a b
a
a b
b 4
a b
a
a b
b
2 2 2
2
2
2
2 2
+
+
-
+
+
-
-
-
+
-
-
c c
^ ^
m m
h h
=
G H
para a 2 3 ; b 2 3
= + = -
a) 4
3 b)
3
4 c)
3
16
d)
16
3 e) 2
22. Calcula a . b–1, si luego de efectuar

x a b
a b x a b x a b x
; b 0
n 2 n 1 3 n 2
- +
- + - + -
!
- -
^ ^ ^
h h h
se obtiene como residuo 3bn+1.
a)
2
1 b) 3 c)
3
1
d) 4 e) 2
23. Factoriza:
P(x)=(x+1)4+(x+2)3+(x+3)2 – 7(x+2)+2
Indica la suma de coeficientes de un factor
primo.
a) 1 b) 3 c) 6
d) 10 e) 5

Álgebra
39
24. Factoriza:
F(x; y; z)=(x+y)(x+z)(y+z) – x3 – y3 – z3+4xyz
a) x+2y+2z b) x+y+z c) xy+xz+yz
d) x2+y2+z2 e) x+y – z
25. Reducir:
S =
( – )( – ) ( – )( – ) ( – )( – )
a b a c b a b c c a c b
1 1 1
+ + ; a ≠ b ≠ c

a) 0 b) 1 c) 2abc
d) abc e) –a–b–c
Practica en casa
1. Simplifica:

x .y
x y .y
; xy 0
3 3 4
4 3 10
!
`
`
j
j
2. Calcula el valor de x, que verifica la igualdad:
125x – 3 = 25x+2
3. A partir del polinomio:
P(x) = 2x+7
Calcula: P(5x) – 5P(x)
4. Reducir: S= – –
y
x
x
y
y
x
x
y
2
3
3
2
2
3
3
2
+
c c
m m
2 2
5. Multiplicar:
4 2 2 . 4 8
3 3
+ -
6. Calcular el residuo de la siguiente división:

3x x 3
3x 10x 9x 11x 4
2
4 3 2
+ +
+ + + -
7. Calcular n, si la división:

–
–
x y
x y
n n
n n
2 3
5 6 1
+
; genera un cociente notable.
8. Factorizar:
P(x) = (x2+5x)(x – 1)+6(x – 1)
9. Factoriza: F(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6
10. Efectúe:
x 1
x 3x 2
x 6
x 3x 18
2 2
+
+ + + -
- -
11. Si el polinomio P(x) es completo y ordenado:
P(x)=3xp–n–5–4xn–m+3+7xm–6+x2+(m+p)0
Calcula (m + n + p).
12. Efectúe:
2 3 5 2 3 5 2 6
+ + + - -
_ _
i i
13. Halla el resto de la división:
–
( – ) ( – ) – ( – )–
x x
x x x x x x
9 5
9 6 9 4 2 9 14
6
6 2012 6 2011 6
+
+ + +

14 Dé un factor primo de:
P(x) = (x–3)(x–2)(x–1)+(x–1)(x–2)–(x–1)
15. Completa luego de reducir:
A.
1 x
1
1
-
=
B. x 5
x 7x 10
2
+
+ + =
C. x 4
x 5x 4
x 3
x x 6
2 2
+
+ + + -
- - =
D.
x 5
x 25
x 6
x 36
2 2
-
-
+
- =
c e
m o

Capítulo
40
Colegios
Tú puedes
9
1. Calcula el exponente final de z en:
z z z z ...
3 5 7
10 10
10
10
a) 100
9 b)
81
11 c)
81
10
d)
91
14 e)
9
1
2. Uno de los factores primos de:
P(x;y;z)=zx4 + 4x2y2 – 4x2y2z +4y4z- x4 - 4y4,
es:
a) 1 + z b) 2 – z c) z – 1
d) x – 2y e) x + 2y
3. Si: H= ( – )( )( – )( )
x x x x
5 6 1 2 196
+ + +
halla: ,
H 16 25
+

a) 2x + 1 b) x
2
1
+ c) x + 2
d)
x
2
2 1
+ e) 2x – 1
4. Dado el polinomio homogéneo:
P(x;y) = xa+yb+c+xbyc+xcyb+xdye+xeyd;
si la suma de todos los exponentes del polinomio
propuesto es 42, halla:
E = a + b + c + d + e
a) 7 b) 14 c) 21
d) 28 e) 35
P(x) x 3 2 2 x 2 2 1
5 3
= + - + +
^ h
Calcula el valor de P 2 1
-
^ h.
a)
2 b) 1 c) 2
d)
2 –1 e) 4

41
Capítulo
10
Radicación algebraica
8. Al reducir:
3
9
4 se obtiene 3a 2
4 + .
Calcula el valor de a.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Efectúa:

–
–
8 6
1
6 2
1
2 2
1
2
1
+
+ +
+
a) 2 b) -2 c) 1
d) -1 e) 0
10. Calcula el verdadero valor de:
x 4
x 2
-
-
para x = 4
a) 1/2 b) 1/4 c) 1
d) 2 e) 4
11. Efectúa:

3
2 .
3
3
3
1
1
1 3
1
−
−
−
−
R
T
S
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
W
a) 2
1
2
3
- - b)
2
1
2
3
- +
c) 2
1
2
3
- d)
2
1
2
3
+
e) 3 1
+
12. Simplifica:

x 1
1
x x 1
x x 1
x x 1
x x 1
2 2
2
2
2
- - -
+ - -
+ -
- -
H
a) x b) 2x c) 3x
d) 4x e) 5x
13. Calcula:
2 5 3 6 2 8 2 12
+ - - + +
a) 3 b)
3
4 c)
2 2
d) 2
4 e)
6
1. Efectúa:
16 3 32 5 8
5 3
- - +
a) 8 b) 10 c) 15
d) 20 e) 23
2. Simplifica:

2 8 5 3 75
13 2 32 50
+ -
+ -
a) –2 b) 2 c) 3
d) 1 e) –1
3. Efectúa:
2 3 1 3 3 2 9
4
+ - +
^ ^
h h
a) 2 3 b) 0 c) 3
d) 16 e) 1
4. Calcula:
( )( – ) ( )( – ) ( )( – )
7 2 7 2 3 2 3 2 5 2 5 2
+ + + + +
a) 10 b) 11 c) 13
d) 15 e) 17
5. Reduzca:
7 2 10 5 2 6 8 2 15
+ + - - +
a) 5 b) 0 c) 3
−
d) 5 3
+ e)
3 2
-
6. Luego de reducir:
12 6 3 7 48
+ + -
se obtiene:
a) 1 b) 3 c) 5
d) 8 e) 10
7. Efectúa:
5 7 . 3 7 7
- + -
a) 7
− b) –1 c) 7
d) 1 e) 1 7
+

Capítulo
42
Colegios
10
14. Simplifica:

5 21 5 21
4 15 4 15
+ - -
+ + -
a) 5
3 b)
3
5 c) 1
d) 35 e)
7
15. Efectúa:

8 4 3
4
7 2 10
3
11 120
1
+
+
-
-
-
a) 1 b) 5 c) 2
d) 0 e) 7
16. Indica el denominador racionalizado de:

35 6 21 10
1
- + -
a) 8 b) 20 c) 10
d) 40 e) 25
17. Luego de racionalizar el denominador de la
fracción:

25 20 16
1
3 3 3
+ +
se obtiene:
a) 1 b) 9 c) 3 2
3 3
-
d) 5 4
3 3
- e)
5 2
3 3
-

x 1 2
x 1 2
- -
+ -
para x = 3
a) 2
2 b)
3
2 c)
2
3
d)
2
5 e)
2
1
19. Reduzca:

– –
–
33 8 2 3 8 11 72
13 2 40 7 40 11 6 2
+ + +
+ + + +

a) 2 b) 3 2 c) 3 2 –1
d) 2 – 1 e) 1
20. Al reducir: –
7 4 5 2 9 2 7 2 6
+ + + , se
obtiene: a b
+ , ab. Halla: a+b.
a) 12 b) 14 c) 9
d) 11 e) 15
21. Reduzca:

2 2 3
3 3 –
2 2 3
3 3
+ +
+
- -
-
a) 6 b) 3 c) 1
d) 0 e) –1
22. Indica el equivalente de:

3 5 2 2
30
+ +
a) 3 5 5 3 2 30
- +
b) 3 5 5 3 2 30
+ +
c) 3 5 5 3 2 30
- -
d) 3 5 5 3 2 30
+ -
e) 5 3 2 5 4 30
+ -
23.
Relaciona los radicales dobles con sus
respectivos radicales simples:
I. 2x 2 x 49
2
+ - A. x 7
+
B. x 7 x 1
+ + -
II. x x
7 1 2 7
+ + C. x 7 1
+ +
D. x 7 x 7
+ + -
III. 2x 6 2 x 6x 7
2
+ + + - E. x 7 7
+ +
F. x 1 x 7
+ + -
IV. x 6 2 7x 7
+ + - G. 7x 1
+
H. x 1 7
- +
a) ID - IIA - IIIB - IVC
b) ID - IIG - IIIB - IVH
c) IA - IIE - IIIF - IVH
d) IE - IIC - IIIF - IVB
e) IE - IIG - IIID - IVH
24. Si x 1, reduzca:

2
x x 1
2
x x 1
2 2
+ - + - -
a) 2
x 1
+ b)
x 1
2 - c)
x 1
-
d) x 1
2 + e)
x
25. Sea:
M
a x a x
a ax x a ax x
2 2 2 2
=
+ - -
+ + - - +
donde a 0. Si x = 0, entonces M es igual a:
a)1 b) a c)
a 1
-
d) a 1
- e)
a 1
+

Álgebra
43
Practica en casa
1. Efectúa:
125 4 81 2 16
3 4
- + -
2. Simplifica:

3 3 50 27
15 2 18 4 8
+ -
- +
3. Efectúa:
3 5 2 5 1 25
4
- + -
^ ^
h h
4. Calcula:
10 2 10 2 6 2 6 2 3 7 3 7
–
+ + + - + + -
^ ^ ^ ^ ^ ^
h h h h h h
5. Reduzca:
9 2 20 4 2 3 7 2 10 1
- - - - - +
6. Efectúa:
9 80 14 6 5
- + -
–
19 2 48 13 48 3
+ + +
se obtiene:
8. Racionalizando el denominador de la fracción:

2
8
3 se obtiene 2m
3 .
Calcula el valor de m.
9. Reduzca:

3 2
1
2 3
1
5 2
1
6 5
1
+
+
+
+
+
+
+

x 9
x 3
-
-
para x = 9.
11. Simplifica:
–
2 3 5 13 48
+ +
12. Simplifica:
– 2 2 2 – –
3 3 3 2 12 18 128
+ + + +
13. Indica el denominador racionalizado de:

1 2 3 6
219
+ + +
14. Transformar a radicales simples:
2x 5 2 x 5x 6 ; x 1
2
+ + + -
15. Luego de racionalizar el denominador de la
fracción:

2x 5 2 x 5x 6
1
2
+ + + +
se obtiene:

Capítulo
44
Colegios
Tú puedes
1. Descomponer en radicales simples la expresión: M= ... n n n
1 2 3 4 2 2 2
+ + + + + +
a)
n +1 b) n
2 +1 c) n
d) n 2 + n e) n –1
2. Si: x2 = x + 1, x 0, reducir: E = – –
x x x
2
1
+

a)
x
2
b) x
2
2 c)
2
2
d)
x
2
e) 2 x
x 9 2
2 x 3
3
+ -
+ -
para x = –5.
a) 3 b)
2
1 c)
3
1
d) 2 e) 6
4. Si: 1 x 2, reducir:
– – –
x x x x
6 2 7 7 2 1
3
+ + +

a)
2
6 b) 7 c) –
2
7 1
d)
2
7 1
+ e)
2
7
5. Si al dividir –
26 2 7 entre –
3 7 , se obtiene una expresión de la forma a+ b , donde a y b
son enteros positivos, entonces a2 – b es:
a) 9 b)
15 c)
29
d) 2 e) 18
10

45
Capítulo
11
Factorial - número
combinatorio
7. Efectúa la siguiente suma:
C7
0 + C6
1 +C7
2 + C8
3 + C9
4 + C10
5
a) C10
2 b) C10
5 c) C11
5
d) C11
6 e) c ∨ d
8. Calcula:
C513
0 + C2017
2 – C23
1 – C2017
2015
a) 1 b) –2017 c) 23
d) –22 e) 0
9. Calcula la diferencia entre los valores de x
que verifican:
C18
5 + C18
6 + C19
7 + C20
8 = C21
x
a) 8 b) 7 c) 6
d) 5 e) 4
10. Indica la suma de los valores de x que verifican
la ecuación:
C35
x2 = C35
2x
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
11. Si:
A =
! !
! ! !
6 7
6 7 8
+
+ +
B =
! !
!
69 70
71
+
Calcula A.B
a) 56 b) 560 c) 65
d) 650 e) 1
1. Efectúa:
5!+3.2! – 4.3!
a) 103 b) 102 c) 101
d) 100 e) 99
2. Calcula el valor de x en:
(x – 10)! = 120
a) 1 b) 2 c) 10
d) 14 e) 15
3. Calcula la suma de los valores de x que
verifican la igualdad:
(4x – 3)! = 1
a) 4
3 b) 1 c) 4
5
d) 5
6 e)
4
7
4 Simplifica:

4!.15!
5!.14!
a) 1 b)
3
1 c)
2
7
d)
6
7 e) 3
5. Reduzca:

9! 10!
9! 10! 11!
+
+ +
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13

C
C
2
8
5
8
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10

Capítulo
46
Colegios
11
12. Calcula el valor de x que verifica:
2x 1 ! 113 ! 5040
- - =
^ h
6 @
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
13. Calcule el valor de x, si:

( )! ( )!
( )!( )!
x x
x x
6 5 5
5 11
+ + +
+ +
= 20!
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
14. Simplifica:

C C
C C C C
8
24
16
24
5
21
6
21
7
22
8
23
+
+ + +
a) 1 b)
2
1 c) 2
d) –3 e) 4
15. Halla x en:
Cx+5
x – 1= 7Cx+3
x – 1
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
16. Sabiendo que: 3C77
7k = 11C76
7k–1 ; k ∈ +,
calcula:
!
( !)!
k
k
a) 1 b) 20 c) 120
d) 160 e) 180
17. Si: A =
! ( – )!
( !)–( – )( – )!
n n
n n n
1
2 1 1
+
, n ∈ +,
entonces podemos afirmar que:
a) A 0 b) A 2 c) A=1
d) A ∉  e) A1
18. Halla a+b si:
Ca+3
10 + Ca+1
7 + 2Ca+1
8 + Ca+1
9 = Cb+2
b–3
a) 20 b) 22 c) 24
d) 26 e) 28
19. Reduzca: A =
!
!– !
!
!– !
!
!– !
9
11 10
8
10 9
7
9 8
+ + +...
a) 380 b) 385 c) 386
d) 387 e) 400
20. Calcula el valor de n en:
1 + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = 719
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
21. Reduzca:

x 4x 4 x 9x 20
x 4 ! x 3 ! x 2 !
2 2
- + - +
- + - + -
^ ^
^ ^ ^
h h
h h h
; x ≠ 2; x ≠ 4; x ≠ 5
a) (x – 2)! b) (x – 3)! c) (x – 5)!
d) (x – 6)! e) (x – 8)!
22. Halla x en:
1024.(x – 1)![1.3.5.7....(2x – 3)] = (2x – 2)!
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
23. Halla la suma de todas las soluciones de:
[Cx
2]
[Cx
3
]
= 36x – 2
a) 1 b) 3 c) 4
d) 6 e) 7
24. Halla n en:

2
C 2C C
! 120
n 4
n 1
n 3
n 1
n 2
n 1
+ +
=
-
-
-
-
-
-
= G
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
25. Efectúa:
C 2 C 3 C ... n C
1
n 2
2
n 2
3
n 2
n
n 2
+ + + +
^ ^ ^ ^
h h h h
a)
n 1 !
(2n 1)!
2
-
-
^ h
6 @
b)
n!
2n !
2
^
^
h
h
c)
n 1 !
2n 1 !
2
+
+
^
^
h
h
6 @
d)
n 1 !
2n 1 !
-
-
^
^
h
h
e)
n 1 !
2n 1 ! 2
-
-
^
^
h
h
6 @

Álgebra
47
Practica en casa
1. Efectúa:
3! + 2.5! – 3.4!

2. Calcula el valor de x en:
(x – 6)! = 24
3. Calcula la suma de los valores de x que
verifican la igualdad:
(2x – 5)! = 1
4. Simplifica:

10!.24!
9!.25!
5. Reduzca:

16! 17!
16! 17! 18!
+
+ +

C
C
2
10
7
10
7. Efectúa la siguiente suma:
C9
0 + C10
1 + C11
2 + C
12
3 + C13
4
8. Efectúa:
C213
1 + C23
0 + C412
410 – C412
2
9. Calcula un valor de n+p, si:
C2n
10 – p = C2n
p – 2
10.
Indica Verdadero (V) o Falso (F) respecto al
factorial y número combinatorio:
A. Si: M=
!
!
29
31 → M=930 .........................( )
B. C10
1 + C10
2 = C11
2 ................................... ( )

C. C4
0 + C4
1 + C
5
2 = C6
4 .........................( )
D. Si: E=
! !
!
49 50
51
+
→ E=50! .................... ( )
11. Halla el valor de a, sabiendo que:

( )! ( )!
( )!( )!
a a
a a
6 5
7 5
+ +
+ +
+
= 15!
12. Determina x+y, si:
C C C
x
x 5
x 1
x 5
x 3
y
+ =
+
+
+
+
13. Simplifica:
( ! !)( ! !)( ! !)...
( ! ! !)( ! ! !)( ! ! !)...
n factores
n factores
1 2 2 3 3 4
1 2 3 2 3 4 3 4 5
+ + +
+ + + + + +
14 Calcula x en:

C
C C
5
7
4
x 2
2
x
3
x 1
+
=
+
+
15. Simplifica:

C
C 2C C
n 4
n 7
n 2
n 5
n 3
n 5
n 4
n 5
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+

Capítulo
48
Colegios
Tú puedes
11
1. Calcular (n+1)(n+2)M, si:
M
2
C
3
C
4
C
5
C
...
n 2
C
0
n
1
n
2
n
3
n
n
n
= + + + + +
+
a) n . 2n – 1 b) n . 2n–1 c) n . 2n+1
d) n . 2n–1–1 e) n.2n+1+1
2. Calcular n+k, en:
C C
n 1
n k 2
C C
k 1
n 1
k
n
k 1
n 1
13
30
+ +
+
- +
=
+
+
-
+
c m
a) 40 b) 44 c) 47
d) 50 e) Dos alternativas
son correctas
3. Simplificar:
nC C C ...C n 1
1
n 1
n 1
n 2
n 2
n 3
2n 1
2n -
+
+
+
+
+
-
: D
a) n b)
n 1
- c)
2n 1
-
d) 2n e)
2n 1
+
4. Dada a; b∈+, tal que:
C1999
0 – C1999
2 + C1999
4 – ... – C1999
1998 = ab
Determina el menor valor de a+b.
a) 341 b) 1001 c) 623
d) 729 e) 1331
5. Calcula:
Ck
n
k 1
n
n 1
30
=
=
e o
/
/
a) 230–30 b) 231–32 c) 230–31
d) 231–30 e) 231–31

49
Capítulo
12
Binomio de Newton
7. Calcula el grado absoluto del término central en
el desarrollo de:
P(x; y) = (x3+y4)10
a) 7 b) 14 c) 21
d) 28 e) 35
8. La suma de los coeficientes en la expansión de:
P(x; y) = (3x – y)8
es igual a:
a) 0 b) 1 c) 32
d) 128 e) 256
9. La suma de los grados absolutos de todos los
términos en el desarrollo de:
P(x; y) = (x2+y5)6 es:
a) 140 b) 147 c) 135
d) 114 e) 121
10. Calcula el resultado de:
C9
0 +C9
1 +C9
2 + .... + C9
9
a) 1024 b) 512 c) 256
d) 1000 e) 800
11.
desarrollo del binomio de Newton:
A. El número de términos de: (12x4+y5)12 es
12 .........................................................( )
B. La suma de coeficientes al desarrollar:
(x4+y3)5 es 32.........................................( )
C. El número de términos de: (x2+y3)n+1 es 12,
si n=10...................................................( )
D. Si: C
n–1
0 +C
n–1
1 +C
n–1
2 +...+C
n–1
n–1 =214
entonces n = 13.....................................( )
a) FVFF b) FVVF c) FVVV
d) VVVF e) VVFF
1. ¿Cuánto términos tiene el desarrollo de:
(x+y)9?
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
2. El desarrollo de (x – y)2n–4 tiene 17 términos.
Calcula el valor de n.
a) 17 b) 16 c) 12
d) 10 e) 8
3. Calcula el cuarto término en el desarrollo de:
(x +1)5
a) 4x2 b) 9x3 c) 10x2
d) 6x e) 10x
4. Obten el tercer término en la expansión de:
(x2+y3)6
a) 10x8y6 b) 15x6y8 c) 10x6y8
d) 15x8y6 e) 20x6y8
5. Calcula el penúltimo término en el desarrollo
de:
(3x2 – y3)12
a) 36x2y33 b) 12x2y33 c) –12x2y33
d) 24x2y33 e) –36x2y33
6. Calcula el término de lugar 13 en el desarrollo
de:
P(x) = x
x
1
2
5
+
c m
15
a) 252x61 b) 455x–54 c) 125x–8
d) 30x6 e) 4x10

Capítulo
50
Colegios
12
12. El coeficiente de x12 en el desarrollo de:
(x4+1)15
es igual a:
a) 456 b) 385 c) 455
d) 386 e) 415
13. Calcula n, si en el desarrollo de:
P(x)=(x5+0,5x)n
el término de lugar 11 es de grado 20.
a) 5 b) 15 c) 10
d) 12 e) 20
14. Si el grado absoluto del séptimo término en el
desarrollo de: P(a; b; c) = (a2b + c)n es 30,
halla el grado de su término central.
a) 16 b) 24 c) 28
d) 31 e) 47
15. En el desarrollo de:

x
x
1
2
+
c m
n
, x ∈ +, el término de lugar 17 es
de la forma: T17 = C
n
16x2. Calcula el valor de n.
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
16. Calcula “n” si al desarrollar:
F(x) = (x6 – 1)4(x4 + x2 + 1)2n(x2 – 1)2n
se obtienen 25 términos.
a) 8 b) 10 c) 12
d) 18 e) 20
17. Indica el valor de k si en el desarrollo de:
(x +1)36, los términos de lugares (k – 4) y k2
tienen coeficientes iguales.
a) 7 b) 6 c) 5
d) 9 e) 10
18. El término independiente en el desarrollo de:
P(x) 2
3 x 3x
1
2
9
= -
c m
es igual a:
a) 0,36 b) 0,40 c) 0,26
!
d) 0,38
!
e)
0,03
!
19. En el desarrollo de (2x – y)10, el coeficiente de
x6y4 es:
a) 13 380 b) 13 450 c) 13 460
d) 13 440 e) 13 455
20. Si en el desarrollo de:
3x x
y
3
2 n
+
e o
existe un término cuyos exponentes de x e y
son 5 y 8 respectivamente, halle el número de
términos del desarrollo.
a) 8 b) 7 c) 9
d) 6 e) 10
21. Determina el término racional en el desarrollo
de:
2 2
3 5
+
^ h
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
22.
¿Cuántos términos irracionales presenta la
expansión de:
P(x)= x x
4 3 48
+
^ h ?
a) 44 b) 32 c) 34
d) 42 e) 26
23. Al desarrollar la expresión:
y
x
x
y
10
n
m n 20
– +
+
e o
n
,
admite un solo término central cuya parte literal
es: x60y600. Hallar: n ÷ m
a) 44 b) 40 c) 4
d) 10 e) 8

Álgebra
51
24. Si un término en el desarrollo de:
P(x) = – –
x
x
x
x
1 1
4
4
4
4
+
c c
m m
; E
4 4 m
es igual a: 3×213; calcular el valor de m.
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
25. En el desarrollo de:
y
x
x
y
5
2 7
+
e o
3
n
, existen dos
términosconsecutivos,elprimeroindependiente
de x y el segundo independiente de y.
Indique el número de términos del desarrollo.
a) 54 b) 60 c) 61
d) 62 e) 63
Practica en casa
1. Calcula el número de términos en la expansión
de:
(x+y)14
2. El desarrollo de (x+3)2n–3 tiene 10 términos.
Calcula el valor de n.
3. Calcula el tercer término en el desarrollo de:
(x+1)7
4. Obtén el cuarto término en la expansión de:
(x3+y4)5
5. Calcula el penúltimo término en el desarrollo
de:
(4x3 + y2)10
6. Calcula el cuarto término en el desarrollo de:

2
x
x
2 6
+
c m
7. Obtén el término central en el desarrollo de:
x x
1
2
8
+
c m
8. ¿Cuánto es la suma de los coeficientes en la
expansión de:
(3x+y)4?
9. La suma de los grados absolutos de todos los
términos en el desarrollo de:
(x4+y3)5
es igual a:
10. Si:
Cn+3
0 +Cn+3
1 +Cn+3
2 +...+Cn+3
n+3=512
calcula el valor de n.
11.
desarrollo del binomio de Newton:
A. El número de términos de: (5x4+y7)10 es 11
............................................................ ( )
B. La suma de coeficientes al desarrollar:
(4x2 – y2)3 es 27 .................................... ( )
C. El número de términos de: (x4+y6)n –1 es 12,
si n=12 .................................................. ( )
D. La suma de exponentes al desarrollar:
(x4+y3)3 es 42......................................... ( )
12. Indica el valor de n, si la expansión de
(x3 + y2)n, contiene a: x18y16.
13. Calcula el valor de k en el desarrollo de
(1+x)43, si se sabe que los coeficientes de los
términos de lugares (2k+1) y (k+2) son iguales.
14. Desarrollando la expresión:
(a2 + a)n.(a2 – 1)n + 2.(1 – a–1)n, se obtiene 21
términos en total. Halla n.
15.
Calcula el término independiente en el
desarrollo de:
P(x)= x x
2 3
5 13
+ -
` j

Capítulo
52
Colegios
12
Tú puedes
1. Determina el coeficiente del término en el desarrollo de P(x;y;z)=
12
–
x y z
2
4
1
3 4 2
` j , en el que los expo-
nentes de x, y, z (en ese orden), formen una progresión aritmética.

a)
376 b)
495 c)
572 d)
396 e)
478
2. Determine el coeficiente de x6y3 en el desarrollo del producto: (x + y)5 (2x – y)4
a) 160 b) 36 c) 24 d) – 48 e) – 96
3. ¿Cuántos términos enteros tiene el desarrollo de: 34 12
+
^ h
12 34 1234
?

a)
1 b)
2 c)
3 d)
4 e)
Más de 4
4. Siendo n∈+, calcula:
M
4
1
C C C C ... C
n 0
4n
2
4n
4
4n
6
4n
4n
4n
= - + - + +
: D
a) 1 b) – 1 c) (–1)n d) 2 e) 4
5. Si el tercer término del desarrollo del binomio (n+x3)n es nk veces el cuarto término del desarrollo
de (n + x2)n, halla n, si k ∈ +.
a)
–
k
k
3 2 b)
k
k
1 + c)
k
k
2 3
+ d)
k
k
3 + e)
k
k
3 2
+

53
Capítulo
13
Números complejos
7. Calcula el módulo del siguiente número
complejo:
z = (2+3i)(4+i) – 10i ; i = 1
-
a) 5 2 b)
41 c)
5
d) 41 e) 50
8. Sea: z1=2+3i ∧ z2=4 – i ; i= 1
-
Efectúa la siguiente operación:
17 z
z
2
1
= G
a) 5–14i b) –5+14i c) 5+14i
d) –5 – 14i e) 14i
9. Calcula el valor de a si el número:
z
3 2i
a 3i
=
-
+ es complejo real i 1
= -
^ h
a) 3 b) –9 c)
2
9
d)
2
3 e)
2
9
−
10. Reduzca:
4 3i
1 3i 2
- +
+
^ h
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
11. Simplifica:

i i i i i
i i i i i
1973 1941 1960 1000 2007
400 501 17 90 131
+ + - +
+ + + +
donde i = 1
-
a) i b) –i c) 1
d) –1 e) 1–i
12. Calcula el valor de q
p
, si:
(2+3i)2+(5+i)(1–5i)+(3+4i)2=p+qi
donde i = 1
-
a)
8
3 b)
6
1
− c)
8
3
−
d) 1/6 e) 3
1. Efectúa:
4 5 9 3 16
- + - - -
a) 6i b) 5i c) 8i
d) 4i e) 10i
2. Calcula:

i i i
i i i
; i 1
46 520 673
32 54 65
+ -
+ +
= -
a) 0 b) 1 c) –i
d) i e) –1
3. Halla el valor de:

i
5i i 3i i 16
; i 1
20 17 32 23
+ + -
= -
^ ^
h h
a) 2 b) 4 c) 1
d) –2 e) i
4. Efectúa:
i+i2+i3+i4+...+i2017 ; i = 1
-
a) 1+i b) –i c) 1–i
d) i e) 1
Re(–4+5i) – Im(8 – 2i)+Re(4i – 1)
a) 1 b) –3 c) 2
d) –1 e) –2
6. Calcula el valor de n, si:
3(n+i)+5(n+3i) = m(1+2i)
i= 1
- ∧ n∈ ∧ m∈
a) 8
3
− b)
8
9 c) 9
d) 4
9 e)
4
3

Capítulo
54
Colegios
13
13. Reduzca:

i
i i i
; i 1
423679
9 13 17
10 14 18
1112 1516 1920
+ +
= -
a) 3 b) –3 c) 3i
d)
i
3 e) –3i
14. Simplifica:

1 i
1 i
1 i
1 i ; i 1
4
-
+ -
+
- = -
; E
a) 16i b) 16 c) –16
d) 18 e)
i
16
15. Calcula:

1
1
1
1
1 i
1 i
1 i
1 i
1 i
1 i ; i 1
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+ = -
a) 1 b) i c) 1+i
d) 1 – i e) –1
16. Encontrar el complejo opuesto del conjugado
del opuesto de: z =a+bi ;
donde a∈ ∧ b∈ ∧ i= 1
-
a) a+bi b) a – bi c) –a+bi
d) bi e) –a – bi
17. Simplifica:

1 i
2 i
; i 1
5
9
+
-
= -
a) 1 b) i c) –i
d) 10 e) 0
18. Si z=(ni21+2i32)(m – i3)
se reduce a un número imaginario puro,
entonces se cumple:
m n i 1
R R = -
d / d /
^ h
a) mn=2 b) n
m
2
1
= c) m=n
d) mn=–2 e) m=2n
19. Calcula:
i200201202
+i301302303
+i402403404
+i503504505
a) 2 b) 4 c) 2i
d) 1 + i e) 2 + 2i
20. Determina el módulo de:
z = (3+4i)(1+ 3 i)(2 2 – 2 2 i)
a) 10 b) 40 c) 20
d) 60 e) 80
21. Si:
– – – ... –
i i i i
1 1 1
1
1 1
2
1 1
219
1
+ + +
` c c c
j m m m=a+bi
calcula: (a + b)(2192 + 1)
a) 1 b) 2 c) -1
d) –2 e) 3
22. Calcula el valor de: E =
ki – k
k k i
k 1
2017
2
2
+
=
; E
/
k
donde: i = –1
a) 1 b) i c) –1
d) –i e) 0
23. Reduzca:
2 4i i 8 i ; i 1
5
6
4
3
- - - = -
a) 1+i b) i – 1 c) –1 – i
d) 2i+1 e) 2i – 1
24. Calcula el perímetro de un terreno de forma
triangular, el cual está representado en el
plano gaussiano por los números complejos:
A=1+2i , B=6+14i y C=15+2i ; además:
i= –1 ; |z1|, |z2| y |z3| son módulos.
Im(Z)
Re(Z)
A
B
C
|z1|
|z2|
|z3|
a) 13u b) 16u c) 28u
d) 35u e) 42u
25. Indique la parte real de:
z=(1+i)2+(1+2i)2+(1+3i)2+...+(1+ni)2; n∈ +
a)
( )
n n
2
1
+
b) n c) ( )
n n
3
2 5
+
d)
( )
n n
6
1
+
e)
n
6
(2n+5)(1–n)

Álgebra
55
Practica en casa
1. Efectúa:
9 3 16 2 4
- + - - -
2. Reduzca:

i
i 3i 5i
; i 1
9
73 515 89
+ +
= -
(i20 – i18)(i15+i35) ; i = 1
-
4. Efectúa:
i+i2+i3++i4+...+i106 ; i= 1
-
Im(5 – 4i) + Re(–2 – 8i) – Re(5i – 3)
6. Calcula el valor de n, si:
2(n+i)+3(n+2i) = m+(m+5)i
Donde m∈ ∧ n∈ ∧ i = 1
-
7. Calcula el módulo del siguiente número
complejo:
z = (5 – i)(2+i) ; i= 1
-

4 i
5 2i ; i 1
-
+ = -
indica la parte imaginaria del número complejo
resultante.
9. Determinar el valor de m, si el número:
z
2 3i
5 mi esimaginariopuro (i 1
=
-
+ = - )
10. Simplificar:
i
1 i
i
1 i
5
2
9
2
+
+
-
^ ^
h h
11. Completar:
A.
z1 = 3 – 2i → z1= ...................................
B. z2 = – 2 + 5i → z*
2
= ..............................
C. z3 = 6+ 8i → |z3|= ................................
D. z4 = – 7 + 7i → |z4|= ............................
12. Efectúa:
i i i ; i 1
17 25 33
18 26 34
1920 2728 3536
+ + = -
13. Reduzca:

1
1
1 i
1 i
1 i
1 i ; i 1
-
+
-
+
-
+ = -
14. Calcula el equivalente de:
2 i i i ;i 1
5
- + = -
15. Reduzca:
i2+2i4+3i6+4i8+ ... + 2ni4n
n i 1
Z = -
d /
+
^ h

Capítulo
56
Colegios
13
Tú puedes
1. Sea z un número complejo que satisface:
–
z
z
1
1
+ = 1 ; entonces:
a) Re(z)0 b) Re(z) ≤ 0 c) Im(z) ≥ 0
d) z es un número real. e) z es un número imaginario puro.
2. Si: a bi
+
3
=m+ni ; {a; b; m; n} ⊂ R, i2 = –1, calcula: –
m
a
n
b
1 1
3 3
+
c c
m m
a) 3i b) 1 c) –1 d) –3i e) 3
3. Sean: z1, z2 ∈ ; reduzca: ( . ) ( . )
– –
Re Re
z z z z
z z z z
1 2 1 2
1 2 1 2
+
+
2 2
a) 1 b)
2
1 c) 2 d) 3 e)
3
1
4. Efectúa: ( ) ( ) ( ) ( )
m nw n mw m nw n mw mn
2
2 2 2 2 2 2
+ + + + + + + +
Si: n m; w = 1
3
a) m + n b) m – n c) n – m d) 2n – m e) 2m – n
5. Sabiendo que z1 y z2 representan un número complejo real e imaginario puro respectivamente,
halla el valor de: R = a – b; ab ≠ 0

Donde: z1 =
– –
a b i
a b i
3
2
+ + ; z2 =
–
( )
a bi
a b i
8
+ +
; a ∧ b ∈ 
a) 30 b) –3 c) –60 d) 10 e) 24

57
Capítulo
14
Ecuaciones de primer grado
7. Resuelve:
22 2x 1 3
3 + - =
a) {8} b) {10} c) {13}
d) {–2} e) {4}
8. Resuelve:

x 3
x 1 x
4
- - =
a) {10} b) {12} c) {15}
d) {9} e) {8}
9. Resolver la ecuación en x:
3ax+2b(a – 1) = a(x+2b)+2b
a)
b
a
' 1 b)
b
2a
' 1 c)
a
b
' 1
d) a
2b
' 1 e)
2b
a
' 1
10. Mathías decide repartir 100 soles entre tres
personas, de manera que la primera reciba 5
soles más que la segunda, y que esta reciba
10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la
tercera persona?
a) S/. 20 b) S/. 25 c) S/. 30
d) S/. 35 e) S/. 40
A.
Al resolver: 2x + 3x – 30 = 3x + 30; el
valor de x es 30.....................................( )
B. Al resolver: 2-[2–x–(–x)]=x+2; el valor de
x es 2 ...................................................( )
C. Al resolver: 5(x - 3)=4( 3 – x ); el valor de
x es 3 ...................................................( )
D. Al resolver: x+ x x
2 3
+ =44 ; el valor de x
es 24 .......................................................( )
a) VVVV b) VFVV c) VFFV
d) FFVV e) FFVF
1. Sea la ecuación de incógnita x:
6 m x 3
+ + =
si la solución es x = 49, halla el valor de m.
a) 4 b) 8 c) 5
d) 13 e) 2
2. Calcula el valor de x en la ecuación:
mx2+2x+m=5x2+13
si es reducible a primer grado en x.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Luego de resolver la ecuación:
3(x – 2)+4(–x+1) = x – 2(x – 1)
se puede afirmar:
a) Es compatible determinada
b) Es compatible indeterminada
c) No tiene solución
d) Tiene infinitas soluciones
e) Dos alternativas son correctas
4. Resuelve la ecuación:
5 – {– x – (4 – 2x) – 5} = x+{–6+2x}
a)
2
1
' 1 b)
{5} c)
2
5
' 1
d) 5
1
' 1 e)
{–1}
5. Resuelve: – – –
x x x
2
5 2
3
3 4
4
7 5
+ = – 1
a)
2
1
' 1 b)
3
1
' 1 c)
3
1
-
' 1
d) {3} e) {– 2}
6. Resuelve: x x x
3
2
5
1
2
+ + + = +2
a) {34} b) {17} c) {33}
d) {18} e) {– 17}

Capítulo
58
Colegios
14
12. Calcule el valor de x en:
– – – – –
x x x x x
2
5
5
7
2
4 5 4
5
8 5
2
11 3
+ = +
a) 0 b) – 1 c) 1
d) 2 e)
2
1
x 4 4 x 5x 1 x 2
2 3
3
+ + - + = +
a) {3–1} b) {2–1} c) {4–1}
d) {5–1} e) {50}
14. Luego de resolver la ecuación en x (a ≠ b):

x b
a 1
a x
a b
x b
b 1
+
+ - -
- =
+
+
se obtiene:
a) {a+b} b) {a – b} c)
2
a b
+
' 1
d)
2
a b
-
' 1 e)
a b
a b
-
+
' 1
15. Calcula x en:
x x x x
3 35 15 63
+ + + =6
a)
2
27 b)
2
17 c)
2
37
d)
2
7 e) 1
16. Resuelve:
–
x x x
32
17
56
7
51
2
+ + + + =3
a) {49} b) {32} c) {51}
d) {
9
7 } e) {45}
17. Resuelve en x:
– –
b
x a
a
x b
+ =2
a) {a+b} b) {b–a} c) {a–b}
d) {a} e) {b}
18.
En un restaurante, 24 personas consumen
por una suma de S/. 360 para pagar en partes
iguales. Como algunos no tienen dinero, cada
uno de los que asumen la cuenta pagará 3
1 más
de lo que le corresponde. ¿Cuántas personas
saldaron la cuenta?
a) 6 b) 9 c) 12
d) 15 e) 18
19. Una de las soluciones de la ecuación en x:
(2a – 1)x2 – a(x – b)(x+5) = 7b(a+x)
es 2. Calcula el valor de 3a+7b.
a) –1 b) 2 c) 3
d) –2 e) 1
20. Halla x en la ecuación:
b
a b
a
x
b
a
b
a
2
+
+
-
-
=
a)
b
a b)
b
a 1
+ c)
a
b 1
+
d) a
b e) a+b
21. Resuelve:

x 3
x 1
x 2
x 5
x 5x 6
2x x 11
2
2
-
+ + -
+ =
- +
- -
a) {2} b) {3} c) {1}
d) {–3} e) φ
22. Calcula la suma de cifras de la solución de la
ecuación:
x 6 x 1 7
+ + - =
a) 1 b) 2 c) 4
d) 8 e) 10
23. Si por la compra de 120 botellas de vino,
Roberto paga en impuestos el valor de una
botella de vino más S/.11, y por 40 botellas el
impuesto correspondiente equivale al valor de
una botella menos S/.5, ¿cuánto cuesta cada
botella de vino?
a) S/.12 b) S/.9 c) S/.15
d) S/.13 e) S/.11
24. Resuelve en x: – –
b
a
x
a
a
b
x
b
1 1 1
+ =
` c
j m
a) {a+b} b) {ab} c) {a – b}
d) {1} e) {a2+ab+1}
25. Indica el valor de x en:
– – –
bc
x a
ca
x b
ab
x c
a b c
2 1 1 1
+ + = + +
c m

a)
a b c
1 1 1
+ + b) a+b+c c) abc
d) a2+b2+c2 e) a+b – c

Álgebra
59
Practica en casa
1. Sea la ecuación de incógnita x:
5 m x 3
+ + =
si la solución es x=10, calcula el valor de m.
2. Si la ecuación en x:
ax2+x+a=3x2+15
es reducible a primer grado, halla el valor de
x.
3. Obtén el conjunto solución de la ecuación:
2(5 – x)+5(x – 2) = 3(x+1)
7 – {x – 1+(x – 2)} = 8 – (4 – x)
5. Resuelve: – –
x x
4
2
2
4
+ =2
6. Resuelve: – –
x x
7
3 1
3
2 1
+ =x
7. Resuelve:
5 x 4 2
3 + - =
8. Resuelve:
x 4
x 1 x
3
- - =
9. Resuelve la ecuación en x:
5(x – b)+2(x+b)=4(x+6b) ; b ≠ 0
10.
Paolo decide repartir 90 dólares entre tres
personas, de manera que la tercera reciba 5
dólares menos que la segunda y esta 10 dólares
más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda?
A.
Al resolver: x+3x – 30=2x+30; el valor de
x es 30.................................................( )
B. Al resolver: 6–[6–x–(–x)]=x+6; el valor de
x es 2...................................................( )
C. Al resolver:5(x – 9)=4( 9 – x ); el valor de
x es 9 ..................................................( )
D. Al resolver: x+ x x
4 5
+ =58; el valor de x
es 40.......................................................( )
12. Resuelve:
4x x 9x 12x 2x 1
2 2
+ + + = +
13. Resuelve:

x 2
2x 4
3x 1
3x x 4
2
-
- + -
- =
14. Resuelve:
– –
b
x a
a
x b
+ =2 ; ab ≠ 0
15. Resuelve:
– – –
x x x
15
32
4
43
13
34
+ + =3

Capítulo
60
Colegios
14
Tú puedes
1. Resuelve en x:
( – )( – ) ( – – )( – – )
– –
a b c a b c
x a
c a b b a c
x b c
2 2 2
+ +
+ + = 1
a) {a} b) {b} c) {ab} d) {a + b} e) {bc}
2. Resuelve en x:
–
–
–
–
a ab
a x
b ab
b x
a ab
x a
b ab
x b
1 1 1 1
+ +
+ +
+ +
+ =
+
+
+

a) {a + b + 1} b) {a + b – 1} c) {ab + 1} d) {ab – 1} e) {ab}
3. La solución de la ecuación: – .
–
. –
a
x
x a
x
x
1
1
1 1
1
1
+ = +
+
4 4 es:
a) 1 b) –1 c) a d) –a e) 2a
4. Resuelve en x: – 2 3
x a a
4 4
a a
– –
+ = +

a)
{20} b)
{16} c)
{12} d)
{8} e)
{4}
5. Se tienen dos cirios de igual tamaño, pero de diferente calidad: el primero se consume en a horas y
el segundo en b horas (ab). Si se encienden simultáneamente, ¿dentro de cuánto tiempo la altura
del más lento será n veces la altura del más rápido?
a)
an b
ab n 1
-
-
^ h
b)
n b
ab n 1
-
-
^ h
c)
n b
b n 1
-
-
^ h
d)
ab n 1
an b
-
-
^ h
e)
an b
b n 1
-
-
^ h

61
Capítulo
15
Ecuaciones de segundo grado
6. Sea la ecuación: (2k + 1)x2 + (3k – 3)x+5 = 0.
Calcula k, si la suma de sus raíces es 3/4.
a)
4
1 b)
2
1 c) 1
d) 2 e)
4
3
7. Las raíces de la ecuación
4x2 – 5x + 2 = 0
son:
a) reales y diferentes
b) reales e iguales
c) imaginarias conjugadas
d) simétricas
e) recíprocas
8. Calcula el valor de p, si la ecuación:
3x2 – (4p - 20)x + 1 = 0 tiene raíces simétricas.
a) – 5 b) 5 c) 6
d) 0 e)
5
1
9. Reconstruir una ecuación de segundo grado
cuyas raíces son:
x1= 4 + 5
x2= 4 – 5
a) x2 – 8x+20=0
b) x2+8x – 11=0
c) x2 – 8x + 11=0
d) x2+8x – 16=0
e) x2 – 8x – 11=0
10. Si las ecuaciones cuadráticas en x:
(m – 2)x2+15x+6=0
4x2+(n+3)x+2=0
son equivalentes, calcula m n
+ .
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
x2 – 4x – 12 = 0
Indica la mayor solución.
a) 1 b) –6 c) 4
d) –2 e) 6
2. Luego de resolver:
(x+1)(x – 2) = 4
Indica la menor solución.
a) –3 b) 1 c) –2
d) –1 e) 2
3. Resuelve:
18
2x 9
x
1
+ =
Determina el cociente entre las soluciones
mayor y menor.
a)
2
1 b)
4
1 c)
4
1
−
d) 1 e)
2
1
−
4. Luego de resolver: 2x2 – 3x – 1 = 0 , señala una
raíz.
a)
–
2
3 15 b)
4
3 17
+ c)
2
3 17
+
d)
–
4
3 15 e)
–
2
17 3
5. A partir de la ecuación:
2x2+3x – 1 = 0
da raices x1 ∧ x2, indica verdadero o falso:
I) x1+x2= 3/2
II) x1 . x2 =–1/2
III) El discriminante es 17
IV)
x
1
x
1 3
1
+ =
2
a) FVFV b) FVVV c) VVFV
d) VFVF e) FVFF

Capítulo
62
Colegios
15
11. Después de resolver:
10(x+1)(x – 2)+11(x – 3)(x+3)=19x – 109
indica la raíz negativa.
a) 7
2
− b)
3
5
− c)
3
2
−
d) 7
5
− e) –1
2 x 3x 6 x
= + +
a) 9 b) {4} c) {4; 9}
d) {9} e) φ
13. Calcula el menor valor de m para el cual la
ecuación:
x2+2(m+2)x+9m=0
tiene raíces iguales.
a) 4 b) –2 c) 1
d) –1 e) –3
14. Si: x (x – 6) = – 3 tiene C.S.={x1; x2}, calcula
el valor de: T=(1+x1) (1+x2)
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
15. Calcula la suma de las raíces de la siguiente
ecuación en x:
(2m+2)x2+(4 – 2m)x+(m – 2)=0
sabiendo que son recíprocas.
a) –2 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2
16. Si: x2 + 2bx + 3c = 0 tiene C.S. = {x1 ; x2},
calcule el valor de: M=
b
x x c
6
2
1
2
2
2
+ +
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
17. Forma la ecuación cuadrática de raíces:
x1 = m + –
m 1
2
x2 = m – –
m 1
2
a) 2x2 – mx+2=0 b) x2 – 2mx+1=0
c) 2x2 – 2mx+1=0 d) x2 – mx+1=0
e) 2x2 – mx+1=0
18. Un terreno cuadrado se vende en 2 lotes. El
primero es un rectángulo, uno de los lados mide
30 metros y el otro 5
3 del lado del cuadrado; el
segundo lote se vende en S/. 12 400 a razón de
S/. 2,50 el metro cuadrado. Calcula el lado del
cuadrado.
a) 62 m b) 75 m c) 80 m
d) 88 m e) 92 m

(x – 1)(x+2)(x+3)(x – 2)=–3
indica una de sus raíces.
a) 2
1 21
-
b)
2
1 19
- +
c) 2
1 17
+
d) 2
1 15
- +
e) 2
1 13
- +
20. Resuelve la ecuación en x:

x 3a
1
x 4b
1 2x 3a 4b 2
9
+ +
+
+ + =
c ^
m h
Indica una de sus soluciones.
a) 4b – 6a b) 6a – 4b c) 2a – 3b
d) 3a+2b e) 3a2 – b2
21. La ecuación: x2 – 2x+2017=0
tiene como conjunto solución a {α; b}
Calcula: 2017
b
b
+
a b
+
= G
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
22. Seanayblasraícesde: x2+2017x+2007=0
Calcula: G = a2+b2+a2b2+2ab(a+b+1)
a) 169 b) 81 c) 100
d) 121 e) 144
23. Si las raíces de la ecuación en x:
ax2+bx+c=0 son reales y diferentes, entonces
las raíces de la siguiente ecuación en x:
2a2x2+2abx+b2 – 2ac = 0
son:
a) imaginarias conjugadas
b) enteros positivos
c) reales e iguales
d) reales y diferentes
e) racionales.

Álgebra
63
24. Forma una ecuación de segundo grado en x,
cuyas raíces sean los cuadrados de las raíces de:
x 3 1 x 1
3 3
+ + - =
a) x2+16=0
b) x2 – 12x+16=0
c) x2 – x+2=0
d) x2 – 2x+4=0
e) 2x2+x+1=0
25. Si las siguientes ecuaciones cuadráticas:
(2m – n)x2 + x = 2x2 – 1
(m2 + n2)x2 + 2x = – x2 – 2 (m;n∈R).
son equivalentes, calcula m.n.
a) 3 b) 1 c) 2
d) – 2 e) – 3
Practica en casa
x2 – 10x+21=0
3(x2+1)=10x
dar como respuesta la menor raíz.
(x – 3)(x+4)=8
4. Resuelve:
x2 – 5x+2=0
De como respuesta la mayor raíz.
5. Respecto a la ecuación: 5x2 – 4x – 2 = 0 de
raíces x1, x2 completa:
• x1 + x2 =
• x1 . x2 =
• D =
6. Dada la ecuación en x:
(m – 1)x2 – 4x+2m=0
Calcula m, si el producto de sus raices es igual
a 6.
7. Relaciona:
I. x2+6x+10=0
II. 2x2+5x – 1=0
III. 4x2 – 4x+1=0
A. Raíces reales y diferentes.
B. Raíces reales e iguales.
C. Raíces imaginarias y conjugadas.
(5m – 1)x2 + 4x+m=–11
tiene raíces recíprocas, calcular m.
9. Reconstruir una ecuación cuadrática en x, si
sus raíces son:
x1= –3
x2=1/2
10. Dadas las ecuaciones cuadráticas equivalentes:
(m – 5)x2+6x+4n=0
x2+2x+12=0
calcula n – m.
11. Edú encuentra dos números cuya suma es ocho
y su hermano Mathías encuentra que la suma
de las inversas de los mismos números es igual
a dos tercios. ¿Cuál fue el mayor número en-
contrado?
x2+x+1=0 A x1.x2=1/4
x2+6x+5=0 B x1+x2=–1
x2–9x+8=0 C D=16
4x2+4x+1=0 D C.S.={1;8}
13. Si: 3x2 – 7x + 1 = 0 tiene C.S. = {x1 ; x2},
calcule: E =
x x
1 1
1 2
+
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7

Capítulo
64
Colegios
3x2+7x+m=0
tiene como conjunto solución a {x1; x2},
calcula m si:
(x1+3)(x2+3)=0
15
15. Dada la ecuación cuadrática en x:
2x2 – (a+1)x+(a+1)=0
cuyas raíces no son reales, calcular el mínimo
valor de a, si a∈.
Tú puedes
1. Si α es solución de: x2 – 3 x+1=0, halle: α12 + α6 + 1

a)
3 b)
2 c)
1 d)
- 1
e)
4
2. Si: x2+3x+1=0 tiene C.S. = {x1 ; x2} , calcula el valor de:
( ) ( )
x x
3
1
3
1
1
5
2
5
+
+
+

a)
32 b)
43 c)
51 d)
83 e)
123
3. Si D es el discriminante de: x2 – (D – 1)x + (D +
4
19 ) = 0 (D 0), determina el conjunto solución.
a) ;
2
5
12
9
' 1 b)
;
2
5
2
11
' 1 c)
;
2
3
2
9
' 1 d)
;
2
3
2
11
' 1 e)
f
4. Si: x2–x–c=0 tiene C.S.={α; β}, de modo que:
1 1
2 2
β
α
α
β
+
+
+
= c – 20; calcula el mayor valor posi-
tivo de c.
a) 6 b) 12 c) 8 d) 16 e) 14
5. Si una de las raíces de: x2 + px + q = 0 es el cuadrado de la otra, calcula:
pq
p q q
3 2
+ +

a)
2 b)
3 c)
4 d)
5 e)
6

65
Capítulo
16
Ecuaciones polinomiales
6. Si x1; x2; x3 son las raíces de la ecuación:
2x3 – 6x2+7x+1=0
relaciona correctamente
A. 1/2
I. x1+x2+x3 B. 3
C.
7/2
II. x1x2+x1x3+x2x3 D. –1/2
E.
–3
III. x1x2x3 F. –7/2
a) IE - IIF - IIID b) IE - IIC - IIID
c) IB - IIC - IIID d) IB - IIC - IIIA
e) IB - IIF - IIID
7. Si la ecuación: xn+2 + 4xn+1 + 7xn – 1 = 0
presenta cuatro raíces, halla n.
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 5
8. La ecuación:
(n+1)xn–1+7x2 – 2nx+3n=0
tiene 3 raíces x1; x2; x3.
Calcula: x1+x2+x3+x1 . x2 . x3
a) 5
1
− b)
5
19
− c) –1
d) 5
17
− e) –2
9. Indica la suma de la mayor raíz positiva con la
mayor raíz negativa que se obtienen al resolver:
9x4 – 37x2 + 4=0
a) 0 b)
6
11 c)
3
5
d) –
6
11 e) –
6
5
10. Forma una ecuación bicuadrada que tenga por
dos de sus raíces : – 2 3 y 5.
a) x4+42x2+280=0
b) x4 – 40x2+390=0
c) x4 – 37x2+300=0
d) x4 – 42x2+280=0
e) x4+37x2+280=0
(x – 1)(x+2)(x+5)=0
a) {–5; 1; 2} b) {1; 2; 5}
c) {–2; –1; 5} d) {–5; –2; –1}
e) {–5; –2; 1}
2. Indica verdadero (V) o falso (F) respecto a la
ecuación polinomial:
(x – 3)2(x+2)4(x+1)3=0
I. Tiene 9 soluciones.
II. Tiene 9 raíces
III. x=3 es raíz de multiplicidad 3
IV.
La raíz de mayor multiplicidad es x=–2
a) VFFV b) VVVF c) FFVV
d) FVFV e) FVVV
3. ¿Cuál es la mayor de las raíces de la siguiente
ecuación:
(x – 2)(x2+x – 20)=0?
a) –4 b) 2 c) –2
d) 4 e) 5
x3+x2 – 6x=0
indica la menor solución.
a) –6 b) –3 c) 0
d) 2 e) 3
x3 – 4x2+5x – 2=0
¿Cuál es la raíz de mayor multiplicidad?
a) –1 b) 0 c) 1
d) 2 e) –2

Capítulo
66
Colegios
16
11. Si una raíz de: x3 – 3x2 – 13x + 15=0 es igual
a 5, halla las otras raíces.
a) {3 ; – 1} b) {– 3 ; – 1} c) {– 3 ; 1}
d) {–
3
1 ; 1} e) {
3
1 ; – 1}
12 Siendo x1; x2; x3 y x4 raíces de la ecuación:
x4 – 2x3 – 7x2+8x+12=0
tales que x1x2x3x4
Calcula: x1.x2+x1+x3+x3 . x4
a) 7 b) 8 c) 9
d) 11 e) 12
13. Si la ecuación:
2x3+7x2 – 3x – 3 = 0
tiene una raíz racional, calcula la suma de sus
raíces irracionales.
a)
2
3 b) –3 c) 3
d)
2
1 e)
2
3
−
14. Si una raíz de la ecuación en x:
x3 – 12x2+39x – n = 0
es la semisuma de las otras dos, calcula n 3
- .
a) 4 b) 5 c) 2
d) 8 e) 0
15. Si: 3x3 – 2x2+7x+k=0 tiene C.S.={x1; x2; x3};
además:

x x x x x x
1 1 1
7
8
1 2 2 3 1 3
+ + =

Calcular k.
a)
4
7 b) –
4
7 c) 1
d) – 1 e)
4
1
16. Calcular el valor de m, sabiendo que las raíces
de: 4x3 – 24x2+mx+18 = 0 son: x1=α+β,
x2=α y x3 = α – β.
a) 18 b) 21 c) 23
d) 25 e) 27
(x2 – 3)2=4x2 – 7
indica su mayor solución.
a) –3 b) 2 c) 1
d) 2 2 e) 3
18. Si x0 es una raíz de la ecuación: x5 – 3 = 4x,
halla el valor de:
–
x
x
8 1
2 5
0
0
5
+
a)
2
1 b)
3
2 c) –
5
3
d) –4 e) 1
19. La siguiente ecuación:
x5 – 3x4 – 6x3+10x2+21x+9=0
tiene:
a) 5 raíces diferentes
b) 2 raíces de multiplicidad 2
c)
1 raíz de multiplicidad 2 y otra de
multiplicidad 3
d) 1 raíz de multiplicidad 4
e) no tiene solución.
20. Halle el valor de a en la ecuación:
x3 + x2 + (1 – 3a)x – 24 = 0, si el producto de
dos de sus raíces es - 8.
a) – 1 b) 2 c) 4
d) 5 e) 6
21. Determina el valor de m, si las raíces de la
ecuación cúbica en x:
x2n–5 – (4n – 1)x2+mx+5=0
están en progresión aritmética.
a) 16 b) 25 c) 36
d) 49 e) 64
22. En la ecuación cúbica:
x3+ax2+bx+c=0
se sabe que la suma de las inversas de dos de
sus raíces es igual a la tercera. Luego, una raíz
es:
a) b – a b) c – b c) c – a
d) a – b e) b – c

Álgebra
67
23. Si x1; x2 y x3 son las raíces de la siguiente
ecuación:
x3+7x – 5 = 0
calcula:
x x x
x
5
x
5
x
5
1
2
2
2
3
2
1 2 3
- + - + -
a) 0 b) –7 c) –14
d) –21 e) 10
24. Calcula a + b en la ecuación:
x3 + ax2 + bx + 7 = 0
para que una de sus raíces sea x1 = 1 – 8 ,
siendo a y b ∈ .
a) 2 b) 5 c) 8
d) – 8 e) – 5
25.
Reconstruir una ecuación con coeficientes
racionales de grado mínimo, que tenga como
raíces los números:
1 ; 1 2 ; 3i i 1
= -
+ ^ h
De como respuesta el coeficiente de su término
lineal.
a) 1 b) 5 c) 7
d) 9 e) 12
Practica en casa
(x – 3)(x – 6)(x+2)=0
2. Respecto a la ecuación polinomial ,completa:
(x – 6)4(x + 2)8(x – 1)2 =0
A. La raíz que más se repite es: .......................
B. La raíz: x=–2 tiene multiplicidad: ..............
C. La ecuación tiene ............... raíces.
D. La ecuación tiene .............. soluciones .
(x+5)(x2+x – 30)=0
De como respuesta la suma de las dos menores
raíces.
x3 – 5x2 – 24x=0
indica la mayor solución.
5. Calcula la raíz de mayor multiplicidad de la
ecuación:
x3 – 9x2+15x+25=0
6. Si x1; x2; x3 son las raíces de la ecuación:
3x3 – 5x2+4x – 1=0
completa:
I. x1+x2+x3= ________
II. x1x2+x1x3+x2x3= ________
III. x1x2x3= _________
7. La ecuación: 3xn–8 + 4xn–7 + 5 = 0 presenta
diez raíces. Calcula n.
8. La ecuación: nxn–1+6x2 – 2nx + n+3 = 0
tiene tres raíces: x1 ; x2 y x3. Calcule:
G = x1 + x2 + x3 + x1x2x3
9. Resuelve la ecuación bicuadrada:
x4 – 13x2+36=0
10.
Reconstruye una ecuación bicuadrada que
tenga por dos de sus raíces a –3 y 5 .
11. Si una raíz de: x3 – 3x2 + 9x – 27 = 0 es igual
a 3, halla las otras dos raíces.

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