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11
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24. Calcula "A + B + C", si:
(x+1)[A(x+2)+B(x–2)–3x]+15x≡(x–2)[3x+C(x+2)]
se verifica para todo "x".
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24
25. Sea "f" una expresión matemática definida en
los enteros, tal que:
I. f(0) ≠ 0
II. f(1) = 3
III. f(x) . f(y) = f(x+y)+f(x–y); ∀x; y ∈
calcula f(7).
a) 47 b) 843 c) 900
d) 700 e) 983
Practica en casa
1. Si: P(x) = x2 – 5x + 1
calcula P(2) + P(–1)
2. Calcula la suma de coeficientes del polinomio:
P(x)=(x3–5x+5)4 –2(x+3)2+8
3. Si P(x+7) = 2x+5
Obtén P(x)
4. Del monomio:
B(x; y) = (a – b)xa+4yb–1
si GR(x) = 10 y GA(B) = 14, calcular el
coeficiente.
5. Del polinomio:
P(x; y) = 53x4y12 – 24x2y3+x4y10
calcula GR(x) + GA(P)
6. Dado el polinomio:
P(x) x x x (n 0)
2
n
3
n
4
= + + !
el mínimo valor entero de "n" es:
7. Dados los polinomios:
P(x), de grado 3 y
Q(x), de grado 2
calcula el grado de polinomio
P(x) . Q(x)
2
7 7
A A
8. Del polinomio homogéneo:
P(x; y) = 5x6ya+2x9y10–xby8
calcula "a – b"
9. Si los polinomios:
P(x) = (a–1)x2+4x y Q(x) =2bx+7x2
son idénticos, calcula el valor de "a×b".
10. Si el polinomio:
P(x) = (a–1)x4+(b+3)x+c – 5
es idénticamente nulo, calcula a×b – c
11. Si: P 2
x 3 x 2x 32
7 5
- = + +
c m
Calcula P(–2)
12.
Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto al
polinomio: P(x;y)=xmyn+xm+1yn–1+xm–1yn+2
A. Si: GR(x)=10 → m =9.............................( )
B. Si: GR(y)=12 → n =12............................( )
C. Si: GA=15 → m+n =14.........................( )
D. Si: m=3, n=5 → GA =9.........................( )
13. Si el polinomio:
P(x;y) = axa+3 – abxa–1yb+2+2byb+8
es homogéneo, la suma de sus coeficientes es:
14. Si el polinomio:
P(x) = mxp – 8+nxm–4+pxn+5+qxq – 2
es completo y ordenado de forma decreciente,
calcula la suma de coeficientes.
15. Halla "a + b + p" en:
(aaa
– 2)x5+(bb – 3)x3+(p – 7)≡14x5+24x3+10](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-11-320.jpg)
![Capítulo
12
Colegios
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2
Tú puedes
1. Si la expresión: E(a;b)=
x–25
12
y+3
48
a . b es de cuarto grado con respecto a "a" y de sexto grado absoluto,
el valor de (x – y) es:
a)
28 b)
29 c)
31 d)
32 e)
35
2. Dado el polinomio: P(x;y) = 2xa(b–4)
– 3ya2(b – 4)
– (xy)a(b – 4)
+4y4+a(b – 4)
, donde "a" y "b" son números
naturales. Si la suma de los grados absolutos de los términos del polinomio es (a2 + 2)2, el valor de
"b" será:
a)
2 b)
4 c)
6 d)
8 e)
10
3. Si el polinomio: P(x) = (x2+x+3)(a – b)+(x2+x+4) (b – c)+(x2+x+5) (c – a) es idénticamente nulo,
el valor de: [(b + c) ÷ a] es:
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3
4. Si el polinomio: P(x;y)= 3 xm–2yn–1(x7+y2n–3) es un polinomio homogéneo cuyo grado de homoge-
neidad es 16, hallar "mn".
a)
30 b)
20 c)
35 d)
41 e)
45
5. Un polinomio "P(x)" de tercer grado, cumple con la siguiente condición: P(x) – P(x – 1) ≡ 2x(3x + 2).
Hallar el coeficiente de "x" en el polinomio "P(x)".
a)
1 b)
2 c)
3 d)
4 e)
5](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-12-320.jpg)
![Capítulo
14
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
3
14. Halla “n”:
( )( )( )( )
13 85 7 6 7 6 6
4 4 8 8 16
+ + +
8
= 7n–3
a) 4 b) 6 c) 7
d) 8 e) 5
15. Halle el valor numérico de:
P(x) = (x + 1)(x – 1)(x4 + x2 + 1)
para: x = –
4 15 4 15
+ +
a) 666 b) 444 c) 111
d) 999 e) 333
16. Si P 4 2
3 3
= +
calcule el valor de:
M P P 6 P 6
= + -
^ ^
h h
a) 6 b) 9 c) 3
d) 2 e) 0
17. Si a = 5 3
-
b = 2 5
-
c = 3 2
-
halle:
ab bc ac
a b c
bc
a
ac
b
ab
c
2 2 2 2 2 2
+ +
+ + + +
= =
G G
a) 5 3 2
+ + b) 1 c) –3
d) 6 e) –6
18. Si x2 – 5 x + 1 = 0; calcule:
M = x4 + x2 +
x
1
2
+
x
1
4
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
19. Halle el valor numérico de:
E = (a2 – b2) [(a2 + b2)2 – a2b2]
para: a3 = 2 +1 ∧ b3 = 2 – 1
a) 9 b) 2 c) 4 2
d) 6 e) 1
20. Si: x = 8
4
∧ y = 2
4
calcule:
( ) – ( – )
x y
x y x y
2 2
4 4
+
+
= G
1
2
a) 2 b) 4 c) 3
d) 3 2 e) 2 2
21. Evalúe: x x 3
10 10
+ +
-
si: x + x–1 = 3
a) 1 b) 2 c) 5
d) 7 e) 3
22. Si: x 16 8 5 16 8 5
3 3
= + + -
calcule: x 12x 4
3 + +
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
23. Si: n
m
m
n 3(m n)
2 2
- = -
halle el valor de:
m n
4 m n
2 2 2
8 8
+
^
^
h
h
a) 4 b) 8 c) 2
d) 0 e) 1
24. Si se cumple:
x y
1
y z
1
x 2y z
4
+ + + = + +
calcule:
x z
x x z z
2
2 2
+
+ + -
^ h
a) 1 b) –1 c) 2
1
d) 2
1
- e)
4
1
25. Sabiendo que:
b
a 4 a
b
n n
+
c c
m m =725 ; an > 0 ∧ bn > 0
calcule:
a b
a 2b
n n
n n
3 +
a) 1 b) 2 c) 3
d) 9 e) 20](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-14-320.jpg)
![Capítulo
46
Colegios
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11
12. Calcula el valor de x que verifica:
2x 1 ! 113 ! 5040
- - =
^ h
6 @
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
13. Calcule el valor de x, si:
( )! ( )!
( )!( )!
x x
x x
6 5 5
5 11
+ + +
+ +
= 20!
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
14. Simplifica:
C C
C C C C
8
24
16
24
5
21
6
21
7
22
8
23
+
+ + +
a) 1 b)
2
1 c) 2
d) –3 e) 4
15. Halla x en:
Cx+5
x – 1= 7Cx+3
x – 1
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
16. Sabiendo que: 3C77
7k = 11C76
7k–1 ; k ∈ +,
calcula:
!
( !)!
k
k
a) 1 b) 20 c) 120
d) 160 e) 180
17. Si: A =
! ( – )!
( !)–( – )( – )!
n n
n n n
1
2 1 1
+
, n ∈ +,
entonces podemos afirmar que:
a) A 0 b) A 2 c) A=1
d) A ∉ e) A1
18. Halla a+b si:
Ca+3
10 + Ca+1
7 + 2Ca+1
8 + Ca+1
9 = Cb+2
b–3
a) 20 b) 22 c) 24
d) 26 e) 28
19. Reduzca: A =
!
!– !
!
!– !
!
!– !
9
11 10
8
10 9
7
9 8
+ + +...
a) 380 b) 385 c) 386
d) 387 e) 400
20. Calcula el valor de n en:
1 + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = 719
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
21. Reduzca:
x 4x 4 x 9x 20
x 4 ! x 3 ! x 2 !
2 2
- + - +
- + - + -
^ ^
^ ^ ^
h h
h h h
; x ≠ 2; x ≠ 4; x ≠ 5
a) (x – 2)! b) (x – 3)! c) (x – 5)!
d) (x – 6)! e) (x – 8)!
22. Halla x en:
1024.(x – 1)![1.3.5.7....(2x – 3)] = (2x – 2)!
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
23. Halla la suma de todas las soluciones de:
[Cx
2]
[Cx
3
]
= 36x – 2
a) 1 b) 3 c) 4
d) 6 e) 7
24. Halla n en:
2
C 2C C
! 120
n 4
n 1
n 3
n 1
n 2
n 1
+ +
=
-
-
-
-
-
-
= G
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
25. Efectúa:
C 2 C 3 C ... n C
1
n 2
2
n 2
3
n 2
n
n 2
+ + + +
^ ^ ^ ^
h h h h
a)
n 1 !
(2n 1)!
2
-
-
^ h
6 @
b)
n!
2n !
2
^
^
h
h
c)
n 1 !
2n 1 !
2
+
+
^
^
h
h
6 @
d)
n 1 !
2n 1 !
-
-
^
^
h
h
e)
n 1 !
2n 1 ! 2
-
-
^
^
h
h
6 @](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-46-320.jpg)
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Capítulo
14
Ecuaciones de primer grado
Problemas para la clase
7. Resuelve:
22 2x 1 3
3 + - =
a) {8} b) {10} c) {13}
d) {–2} e) {4}
8. Resuelve:
x 3
x 1 x
4
- - =
a) {10} b) {12} c) {15}
d) {9} e) {8}
9. Resolver la ecuación en x:
3ax+2b(a – 1) = a(x+2b)+2b
a)
b
a
' 1 b)
b
2a
' 1 c)
a
b
' 1
d) a
2b
' 1 e)
2b
a
' 1
10. Mathías decide repartir 100 soles entre tres
personas, de manera que la primera reciba 5
soles más que la segunda, y que esta reciba
10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la
tercera persona?
a) S/. 20 b) S/. 25 c) S/. 30
d) S/. 35 e) S/. 40
11. Indica Verdadero (V) o Falso (F):
A.
Al resolver: 2x + 3x – 30 = 3x + 30; el
valor de x es 30.....................................( )
B. Al resolver: 2-[2–x–(–x)]=x+2; el valor de
x es 2 ...................................................( )
C. Al resolver: 5(x - 3)=4( 3 – x ); el valor de
x es 3 ...................................................( )
D. Al resolver: x+ x x
2 3
+ =44 ; el valor de x
es 24 .......................................................( )
a) VVVV b) VFVV c) VFFV
d) FFVV e) FFVF
1. Sea la ecuación de incógnita x:
6 m x 3
+ + =
si la solución es x = 49, halla el valor de m.
a) 4 b) 8 c) 5
d) 13 e) 2
2. Calcula el valor de x en la ecuación:
mx2+2x+m=5x2+13
si es reducible a primer grado en x.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Luego de resolver la ecuación:
3(x – 2)+4(–x+1) = x – 2(x – 1)
se puede afirmar:
a) Es compatible determinada
b) Es compatible indeterminada
c) No tiene solución
d) Tiene infinitas soluciones
e) Dos alternativas son correctas
4. Resuelve la ecuación:
5 – {– x – (4 – 2x) – 5} = x+{–6+2x}
a)
2
1
' 1 b)
{5} c)
2
5
' 1
d) 5
1
' 1 e)
{–1}
5. Resuelve: – – –
x x x
2
5 2
3
3 4
4
7 5
+ = – 1
a)
2
1
' 1 b)
3
1
' 1 c)
3
1
-
' 1
d) {3} e) {– 2}
6. Resuelve: x x x
3
2
5
1
2
+ + + = +2
a) {34} b) {17} c) {33}
d) {18} e) {– 17}](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-57-320.jpg)
![Álgebra
59
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Practica en casa
1. Sea la ecuación de incógnita x:
5 m x 3
+ + =
si la solución es x=10, calcula el valor de m.
2. Si la ecuación en x:
ax2+x+a=3x2+15
es reducible a primer grado, halla el valor de
x.
3. Obtén el conjunto solución de la ecuación:
2(5 – x)+5(x – 2) = 3(x+1)
4. Resuelve la ecuación:
7 – {x – 1+(x – 2)} = 8 – (4 – x)
5. Resuelve: – –
x x
4
2
2
4
+ =2
6. Resuelve: – –
x x
7
3 1
3
2 1
+ =x
7. Resuelve:
5 x 4 2
3 + - =
8. Resuelve:
x 4
x 1 x
3
- - =
9. Resuelve la ecuación en x:
5(x – b)+2(x+b)=4(x+6b) ; b ≠ 0
10.
Paolo decide repartir 90 dólares entre tres
personas, de manera que la tercera reciba 5
dólares menos que la segunda y esta 10 dólares
más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda?
11. Indica Verdadero (V) o Falso (F):
A.
Al resolver: x+3x – 30=2x+30; el valor de
x es 30.................................................( )
B. Al resolver: 6–[6–x–(–x)]=x+6; el valor de
x es 2...................................................( )
C. Al resolver:5(x – 9)=4( 9 – x ); el valor de
x es 9 ..................................................( )
D. Al resolver: x+ x x
4 5
+ =58; el valor de x
es 40.......................................................( )
12. Resuelve:
4x x 9x 12x 2x 1
2 2
+ + + = +
13. Resuelve:
x 2
2x 4
3x 1
3x x 4
2
-
- + -
- =
14. Resuelve:
– –
b
x a
a
x b
+ =2 ; ab ≠ 0
15. Resuelve:
– – –
x x x
15
32
4
43
13
34
+ + =3](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-59-320.jpg)
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19. Escribe explicitamente la matriz:
A a 3×2 a
3i 2j
i j
2i 3j
;
;
;
i j
i i
i j
ij ij
= =
+
+
+
=
6 @
Z
[
]
]
]
a)
2
8
10
6
4
11
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
b)
2
11
8
6
4
13
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
c)
2
6
8
8
4
10
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
d)
2
8
11
8
4
13
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
e)
2
8
13
6
4
10
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
20. Sean las matrices:
A
2x y
3x 4y
7
10
B
6
x y
7
11
2x
10
3
8
2
=
+
- -
= +
- -
=
G
H
Donde se cumple:
traz(A) = traz(B) ∧ a21=b21
Calcula: 2x – y
a) 60 b) 50 c) 63
d) 56 e) 48
21. Sea A
1
0
0
0
b
c
a
0
0
=
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
(a; b; c∈+)
se sabe que la segunda columna de la matriz
A2 – At es 3
2
6
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
Calcula el valor de a+b+c.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
22. Dado el sistema matricial:
x + y =
–
5
2
1
3
e o ; x – y =
1
2
1
7
e o
halla: xt . yt
a)
6
2
6
12
e o b)
–
–
6
2
6
12
e o c)
–
5
2
5
0
e o
d)
–
1
2
1
1
e o e)
–
–
6
2
6
12
e o
23. Resuelve la ecuación matricial:
1
3
2
7 X
4
0
1
2
=
-
= =
G G
a)
31
6
9
2
-
-
= G b)
28
6
11
2
-
-
= G c)
28
12
11
5
-
-
= G
d)
31
28
9
11
-
-
= G e)
31
–12
9
5
-
= G
24. Sean las matrices:
A =
–
2
3
1
1
e o ; B =
m
n
1
5
e o
Si A y B son permutables respecto a la
multiplicación, halla m+n.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
25. Dada la matriz:
A
0
0
3
1
0
0
0
2
0
=
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
calcula la suma de los elementos de A40.
a) 611 b) 614 c) 613
d) 612 e) 6](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-75-320.jpg)
![Capítulo
76
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
18
Practica en casa
1. Dada la matriz:
A
1
4
3
0
1
2
3
7
0
=
-
-
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
Calcula: a23 – a31+a13
2. Escribir explícitamente la matriz:
B=[bij]2×2 / bij=2i+j
3. La traza de la matriz:
A
x 1
0
6
x 4 esiguala9
=
+
-
= G .
Calcula el valor de x.
4. Si:
–
– –
a x
y
3
2
5
4
3
3
3
=
e e
o o
calcula: a – x + y
5. Dadas las matrices:
A
1
3
0
0
4
1
y B
6
10
1
5
4
0
=
-
=
-
R
T
S
S
S
S
=
V
X
W
W
W
W
G
Calcula At+B.
6. Dadas las matrices:
A =
–
2
1
1
2
e o ; B =
–
5
0
1
1
e o
Si P(x; y) = x+y+2, halla P(A; B)
7. Si la matriz:
A
4
3
5
x 1
2
6z
y 3
12
1
=
- +
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
es simétrica, calcular x+y+z.
8. Dadas las matrices:
A
1
2
0
3 ; B
2
1
0
0
4
3
= =
R
T
S
S
S
S
=
V
X
W
W
W
W
G
Calcula B×A.
9. Completar correctamente a partir de la matriz:
C =
4
0
1
3
e o
• Ct = ___________________________
• 2C = ___________________________
• C2 = ___________________________
10. Dada la matriz:
A
2
3
1
1
= -
= G
calcula A2+2A
11. Sea la matriz:
B
4
2x y
3x 1
x 6
y
8
= -
-
-
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
Donde se cumple:
b31 – b21=b22
b12=b22
Calcula: x – y
12. Sean las matrices:
A =
–
x y x
y
3
1
e o ; B =
–
–
y
x
2
1
6
6
e o ; C =
– –
4
2
8
3
e o
Si: A = B, halla: 3A + 2C.
13. Dado el sistema matricial:
x y A
x y B ; donde A
3
2
1
0 B
7
4
3
0
+ =
- = =
-
=
/
= =
G G
)
Calcula la matriz X.
14. Halla la matriz X que resuelve:
X
1
2
3
1
11
7
4
3
=
e e
o o
Indica como respuesta la suma de sus elementos.
15. Calcula la matriz inversa de:
A
4
3
5
4
= = G](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-76-320.jpg)
![Álgebra
83
www.trilce.edu.pe Cuarto año de secundaria
11. Calcula x al resolver:
( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
2 3 3 2 18
3 4 4 3 36
+ + + =
+ + + =
)
a) –12 b) –6 c) 0
d) 6 e) 12
12. Calcular x – y al resolver:
1 2
6
7
2 1
3
4
x y
x y
+ =
+ =
Z
[
]
]
]
a) 2 b) 3 c) 1
d) –1 e) –2
13. Determina la solución del sistema en x e y:
a
x y 2b
b
x y a–b
+ =
- =
Z
[
]
]
]
]
(ab ≠ 0)
a) (a; b) b) (ab; b) c) (b; a)
d) (ab; a) e) (a; ab)
14. Luego de resolver:
x 4 2y 5
6 x 4 3y 15
+ + =
+ - =
*
calcula x+y.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 3 e) 2
15. Luego de resolver el sistema:
x y z 4
2x 3y 5z 7
6x y 9z 21
+ + =
- + =
+ + =
*
se verifica:
a) Tiene infinitas soluciones.
b) No tiene solución.
c) Tiene solución única
d) (2; –1; 0) es una solución
e) (–1; 0; 3) es una solución
16. Calcula m para que el siguiente sistema tenga
solución única:
x y
x y
x my
2 3 13
4 5 23
6 18
+ =
+ =
+ =
Z
[
]
]
]
a) 2 b) 4 c) 6
d) 7 e) 8
17. Si el sistema en x e y:
(a 3)x (b 2)y 8
(a 1)x (b 4)y 24
- + - =
+ + + =
)
es compatible indeterminado, calcula a+b.
a) 1 b) 2 c) 5
d) 10 e) 5
18. Calcular a en el sistema incompatible:
( )
( )
a x ay
x a y
2 2 7
5 3 8
+ + =
+ + =
)
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
19. Resolver el sistema:
2x 1
3
x y 4
1
y
2
+ = - + =
Indicar el valor de x.
a) 3
1 b) 2 c) 3
d) –
3
1 e) 4
20. Calcular 6x del sistema:
–
–
–
x y x y
x y x y
3
2
3
4 3
3
2
3
4 1
+
+ =
+
=
Z
[
]
]
]
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
21. Calcular x+y, del sistema:
2 x 1 y
3
2
23
3 x 1 y
2 1
- + =
- - =
Z
[
]
]
]
]
a) 5
27 b)
4
23 c)
5
23
d) 9
31 e)
7
30
22. Dado el sistema lineal de incógnitas x e y:
ab
x
b
y
1 a
b
x
a
y
a ab
2
2
2
- = -
+ = +
Z
[
]
]
]
]
Si ab ≠ 0, calcular: x
y
a) a+b b) ab c) (ab)2
d)
b
a e)
a
b](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-83-320.jpg)
![Capítulo
84
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
20
23. Resuelva el sistema:
x 2x x 2
3x 6x 3x 6
3x x 3
–
1 2 3
3 2 1
1 3
- + + =
+ + =
- =
Z
[
]
]
]
Calcular el valor de x1+x2+x3.
a)
2
3 b)
2
9 c)
2
7
d) 10 e)
2
15
24. En una feria campestre los boletos para los
adultos se venden en $ 5,50; para los jóvenes
en $ 4,00 y para los niños $ 1,50. El día de la
apertura, el número de boletos para jóvenes y
niños que se vendieron fue 30 más que la mitad
de los boletos de adultos vendidos. El número
de boletos para jóvenes vendidos tiene cinco
más que cuatro veces el número de boletos
para niños. ¿Cuántos boletos de cada tipo se
vendieron, si la venta total de boletos ascendió
a $ 14 970?
a) Niños=845 b) Niños=210
Jóvenes=210 Jóvenes=850
adultos=2050 adultos=2000
c) Niños=210 d) Niños=210
Jóvenes=845 Jóvenes=845
adultos=2000 adultos=2050
e) Niños=800
Jóvenes=845
adultos=2050
25. Si pqr ≠ 0, calcular el valor de x del siguiente
sistema:
px qz r
qy rx p
rz py q
+ =
+ =
+ =
*
a) p2+q2 – r2 b)
2pr
q p r
2 2 2
+ -
c)
2pq
p q r
2 2 2
+ -
d)
2qr
q r p
2 2 2
+ -
e) 2pr
r p q
2 2 2
+ -
Practica en casa
1. Si (1; 3) es solución del siguiente sistema en x
e y:
x y a
x by 10
+ =
+ =
)
calcula a×b.
2. Calcula x, si:
x y 10
x y 6
+ =
- =
)
3. Resuelve el sistema:
x y 7
x 3y 1
+ =
- =-
)
Calcular el valor de x . y
4. Indica el valor de x+y del sistema:
7x 4y 3
5x 3y 1
+ =
+ =
)
5. Indica x que verifica el sistema:
4 3 4
2 – 6 –3
x y
x y
+ =
=
Z
[
]
]
]
6. Si el sistema en x e y:
(m 2)x ny 8
3x 5y 4
+ + =
+ =
)
Tiene infinitas soluciones, calcula n – m.
7. Si el sistema:
mx 4y 2
9x my 3
+ =
=
+
)
No tiene solución, calcular el valor de m.](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-84-320.jpg)
![Álgebra
85
www.trilce.edu.pe Cuarto año de secundaria
8. Resuelve el sistema:
x y 5z 9
x y z 3
x y z 5
+ + =
- - =
+ + =
*
Calcula xy+z.
9. Determina la solución del sistema:
x 1 y 2 7
x 1 y 2 3
+ + - =
+ - - =
*
10. Edú, Mathías y Carla pueden soldar 37 metros
lineales por hora cuando trabajan juntos. Edú
y Mathías juntos pueden soldar 22 metros
lineales por hora, mientras que Edú y Carla
juntos pueden soldar 25 metros lineales por
hora. ¿Cuántos metros lineales por hora pueden
soldar cada uno de ellos por separado?
11. Indica el valor de 7y luego de resolver:
( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
3 5 5 3 36
4 2 2 4 18
+ + + =
+ + + =
)
12. Resolver e indicar el valor de y:
3 – 4 5
2
1
5
2
x
y
x
y
=
+
=
Z
[
]
]
]
]
13. ¿Para qué valor de m el siguiente sistema:
( – )
( )
m x y
x m y
2 3 4
6 2 1 12
+ =
+ + =
)
tiene infinitas soluciones?
14. Halla m para que el sistema sea incompatible:
( )
( )
m x y
m x y
1 2 5 7
2 4 8
+ + =
+ + =
)
15. Calcula a2 + b2 en el siguiente sistema com-
patible indeterminado:
( – ) – ( – )
–
x y
x y
3 5 10
4 3 5
α β =
=
)
Tú puedes
1. Calcula y al resolver:
–
x y xy
x y
2 8 9
2 1
+ + =
=
)
a) 4 b) 6 c) 8
d) 16 e) 32
2. Halla xy del sistema:
–
–
–
–
x y
x y
x y
x y
4
3
2 7
2 5
3
2
+
+
=
+
+
=
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
3. Calcula xyz al resolver:
1 1 – 1 6
1 – 1 1 4
1 1 1
x y z
x y z
y z x
+ =
+ =
+ =
Z
[
]
]
]
]
]
]
a)
2
1 b)
90
1 c)
60
1
d)
30
1 e) 1
4. Indica xy luego de resolver el sistema:
– –
–
–
–
–
x a
a
y b
b a b
x a
a
y b
b a b
+ = +
=
Z
[
]
]
]
]
a) a b) b c) a – b
d) a+b e)1+ a b ab
+ +
5. Indica x – y al resolver:
( – )
–
ax by a b
bx ay a b
2 2 2
2 2
+ =
+ =
)
a) a+b b) a – b c) a
d) b e) 1](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-85-320.jpg)
![Capítulo
86
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Desigualdades e inecuaciones
lineales
21
Problemas para la clase
a) 5 2 b) 5 c) 10
d)
10 e) 25 10
7. Resuelve la inecuación:
(x+3)(x+2)+x2 ≥ 2x(x+2)+17
a) 〈11;+∞〉 b) c) [11;+∞〉
d) 〈–∞; 11] e) φ
8. Indica el menor valor que puede tomar x en:
–
x x
3
2 1
4
3 1
+ + ≥ x + 3
a) 5 b) 8 c) 4
d) –3 e) 7
9. Luego de resolver el sistema de inecuaciones:
x+8 ≤2x+5 x+12
calcula la suma de los valores enteros del
conjunto solución.
a) 14 b) 16 c) 18
d) 20 e) 21
10 Calcula un número entero y positivo, sabiendo
que la tercera parte del que le precede,
disminuido en una decena , es mayor que 14; y
que la cuarta parte del que le sigue, aumentado
en una decena no llega a 29.
a) 72 b) 73 c) 74
d) 75 e) 76
11. Dados los conjuntos:
A={x∈/x–3 ∧ x≤6}
B= x N 3
1 2x [–3; 4
! !
−
) 3
calcula n(A – B)
a) 2 b) 3 c) 4
d) 1 e) 0
1. Indica verdadero (V) o falso (F):
I) Si x≥2 x∈〈–∞; 2]
II) Si 4≤2x10 x∈[2; 5〉
III) Si –2x3 x2∈〈4; 9〉
IV) Si 1x4 x
1
4
1 ;1
!
a) VVVF b) VFFV c) FVFV
d) FVFF e) FFFV
2. Si –2x≤1, obtener el intervalo de variación
de:
M(x) = 3x+1
a) 〈–2; 0] b) 〈–5; 4] c) 〈–∞; 3]
d) 〈–2; 3] e) 〈–2; ∞〉
3. ¿Cuántos valores enteros toma x si verifica:
2
1 x –1;3
- ! H
6 ?
a) 5 b) 7 c) 8
d) 10 e) 11
4. Sabiendo que x∈[–3; 6〉, obtener el intervalo de
variación de:
M(x) 3x 10
4
= +
a) [4; 6〉 b)
〈2; 3] c) 7
1;4E
d) 2
1 ;3
; e)
7; 4
1
- E
5. Si: –2 x ≤ 3, calcula el intervalo de: x2 – 1
a) ]– 1 ; 8] b) [3 ; 9] c) ]3 ; 8]
d) [– 1 ; 8] e) ]– 1 ; 8[
6. Si: x∈+, indica el mínimo valor que toma:
x
x
6
150
+](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-86-320.jpg)
![Álgebra
87
www.trilce.edu.pe Cuarto año de secundaria
12. Si (4x – 1)∈〈–13; 7〉, calcula la variación de:
H(x)= 2x – 4
a) 〈1; 6〉 b) 〈–3; 2〉 c)
〈–5; 7〉
d) 〈–10; 0〉 e)
〈–3; 0〉
13. Si x∈[–2; 4〉, determina el intervalo de variación
de:
F(x)=(x – 6)2 – 7
a) [57; +∞〉 b) [–57; 3〉 c) [–3; ∞〉
d) 〈–3; 57] e) 〈–∞; 7]
14. Si: x ∈ 〈– 2 ; 5], halla el intervalo de variación
de:
M =
–
x
x
6
2 1
+
a) ;
8
3 11
; E b)
– ;
8
3 11
; E c)
– ;
8
3 3
; E
d) – ;
11
8
3
; e)
;
8
3 11@
15. Si {x; y} ⊂ +, calcula el mínimo valor de:
x y x
1
y
1 3
+ + +
^ c
h m
a) 5 b) 3 c) 4
d) 7 e) 6
16. Si 0ab, resuelve en “x”:
a b
a x 3a
a b
b x 3b
2 2
-
-
-
+
$
a) 〈–∞; 2] b) 〈–∞; 3] c) [3; ∞〉
d) [–3; 3] e)
17. Indica cuántos valores enteros de x verifican
el sistema:
9
2 –3
5
–1 2
3
2
5
3 –2 4
x x
x x
+
+ +
Z
[
]
]
]
a) 5 b) 3 c) 4
d) 2 e) 1
18.
Siendo x; y números enteros positivos que
satisfacen las siguientes desigualdades:
5x 3y 2
2x y 11
y 3
+
−
*
calcula x . y
a) 1 b) 3 c) 4
d) 7 e) 12
19. Indica verdadero(V) o falso(F):
I. Si m 0 m+ m
1 ≥2
II. Si a0 ∧ abac c – b0
III. Si a0 a
1 0
IV. Si ab a3b3
a) FVVF b) FVFF c) FFVV
d) VVVF e) VVVV
20 Se definen las funciones:
F(x) = 4 – 5x; x∈[–3; 1〉
G(x) = 2x 5
1
− ; 1x ≤ 2
Calcula el producto del valor máximo de “F” y
el mínimo de “G”.
a) –7 b) –8 c) –19
d) –10 e) –12
21. Si x∈[–5; 3], obtén el intervalo de variación de:
M(x) = x2 – 4x+9
a) [3; 49] b) 〈25;39〉 c) [5; 54]
d) [3; 25〉 e)
〈5; 54〉
22. Sabiendo que x4, calcula la variación de:
H(x) = 3x+ x 4
12
- –12
a) [5; +∞〉 b) [12; +∞〉 c) [14;+∞〉
d) 8; + 3
6 e)
4 3; + 3
6
23. Luego de resolver en “x”:
a
x
2
1 3x
4a
x 1 ;a ; 2
1
- + 3
# !
− − −
se obtiene como conjunto solución 3
m
;
3
− B
Calcula: m 3
+
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 2](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-87-320.jpg)
![Capítulo
88
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
24.
En una tienda se han comprado lapiceros,
cajas de tiza y motas, los cuales no llegan a 8
artículos. El número de lapiceros que se compró
no llega a 5 y se compraron más cajas de tizas
que motas. Si al doble del número de lapiceros
se le resta el número de cajas de tizas y a esta
diferencia se le suma el número de motas, se
obtiene más de 6 artículos.
Si cada lapicero, caja de tizas y mota cuesta
S/.2, S/.10 y S/.8 respectivamente, ¿cuánto se ha
gastado en total?
a) S/.21 b) S/.24 c) S/.30
d) S/.32 e) S/.36
21
25. Calcula el valor de z
x y
-
,
si x, y, z son enteros positivos que satisfacen el
sistema:
2x 3y 5z 23
2x y 5z 13
y z 1
y 4
+ +
+
−
−
Z
[
]
]
]
]
]
a) 5
2 b)
2
1 c) 0
d) 1 e) 2
Practica en casa
1. Expresa las desigualdades como intervalos:
I) Si x5 x ∈ __________________
II) Si 2x3 2x ∈ _____________
III) Si –3x5 x2 ∈ _____________
IV) Si 1x3 x
1 ∈ ________________
2. Si –1x4, obtén el intervalo de variación de
M(x) = 2x–1
3. ¿Cuántos valores enteros toma “x” si verifica:
(3 –x) ∈〈–2; 5]?
4. Si x∈〈3; 7〉,obtén el intervalo de variación de
M(x)=
2x 5
12
-
5. Si –3 ≤x2, calcula el intervalo de:
N(x)=x2+3.
6. Si x∈+, calcula el mínimo valor de:
3
2x
x
54
+
7. Resuelve la inecuación: (x+3)2 ≤ (x+2)2+11
8. Obtén el mayor valor entero que verifica la
inecuación:
2
x 1
3
x 1 1
- + -
9. Resuelve el sistema:
x – 3 2x – 5x+4
10. Un carpintero hizo un cierto número de mesas;
vende 35 y le quedan más de la mitad; luego le
devuelven 3 y vende 18, con lo que le restan
menos de 22 mesas. ¿Cuántas mesas fabricó el
carpintero?
11. Dado el conjunto “A” definido por:
A x Z 3
5 2x [ 3;7
= ! ! H
− −
) 3
Calcula la suma de sus elementos.
12.
Indica la raíz cuadrada del mayor número
entero que verifica la inecuación:
6
1
2
x 1 2
1
5
x
3
1
10
x 2 3
+ + + +
` ` `
j j j
13. Si ab; además a y b ∈+, resolver:
b
ax
a
b
a
bx
b
a
+ +
14. Las lecturas de temperaturas con las escalas
Fahrenheit y Celsius se relacionan mediante la
fórmula: C =
9
5 (F - 32). ¿Qué valores de F
corresponden a los valores de C tales que:
30 ≤ C ≤ 40?
15. Si: x 5, ¿cuál es el mínimo valor que toma la
expresión: E(x) = x +
x 5
49
-
?](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-88-320.jpg)
![Capítulo
90
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Inecuaciones polinomiales y
fraccionarias
22
1. Resuelve: x2 – x – 20 ≤ 0
a) 〈–∞; –4] ∪ [5; +∞〉
b) 〈–5; 4〉
c) 〈–∞; 4]∪[5; +∞〉
d) [–4; 5]
e) 〈–∞; –4〉∪[5; +∞〉
2. Resuelve:
(x – 1)(x – 2) 12
a) 〈–2; 5〉
b) 〈–∞; 2]∪[5; +∞〉
c) 〈–∞; 2〉∪〈5; +∞〉
d) [2; 5]
e) 〈–∞; –2]∪[5; +∞〉
3. Luego de resolver:
(5 – x)(x+2)6
calcula la suma de los valores enteros que la
verifican.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 10 e) 12
4. Relaciona las inecuaciones cuadráticas con su
respectivo conjunto solución:
A.
–{1}
I. (x–1)2 ≥ 0 B. φ
C.
–{5}
II. (x+3)20 D. {–3}
E. {2}
III. (x+5)2 ≤ 0 F.
G. {–5}
IV.
(x – 2)20 H.
–{2}
a) IA - IIB - IIIG - IVE
b) IF - IIB - IIIG - IVH
c) IF - IID - IIIC - IVH
d) IA - IID - IIIG - IVH
e) IF - IIB - IIIC - IVE
5. Resuelve: x2 – 8x+190
a) b)
〈0;+∞〉 c)
〈4;+∞〉
d) {4} e) φ
6. Resuelve: (x – 1)(x+3)(x – 4) ≥ 0
a) [–3; 1]∪[4;+∞〉 b) 〈–∞; –3]∪[1, 4]
c) 〈–∞; 1]∪[4;+∞〉 d) 〈–∞; –3]∪[4;+∞〉
e) [–3; 4]
7. Resuelve: x3+x242x
a) 〈–∞; –6〉∪〈7;+∞〉
b) 〈–7; 6〉
c) 〈–6; 7〉
d) 〈–∞; –7〉∪〈0; 6〉
e)
8. Resuelve: (x2 – 1)(6+x – x2)≥0
¿Cuántos valores enteros la verifican?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Resuelve:
x 1
x 5 0
-
+ #
a) 〈–∞; 1〉∪[5;+∞〉
b) 〈1; 5〉
c) 〈–∞; –5]∪〈1;+∞〉
d) 〈–5;+∞〉
e) [–5; 1〉
10. Resuelve:
x 4
x x 6
2
-
- - ≥0
a) [2; 3]∪〈4;+∞〉
b) 〈–∞; –2]∪〈4;+∞〉
c) 〈–∞; –2]∪[3; 4〉
d) [–2; 3]∪〈4;+∞〉
e) 〈–∞;3]∪〈4;+∞〉
Problemas para la clase](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-90-320.jpg)
![Álgebra
91
www.trilce.edu.pe Cuarto año de secundaria
11. Resuelve: 15x2 – 2x – 8 ≤ 0; calcula el producto
del mínimo y el máximo valor de su conjunto
solución.
a)
15
4 b) –
5
2 c) –
15
1
d) –
15
8 e)
15
8
12. Si [α; b] es el conjunto solución de la inecuación:
x2+4x+1 ≤0
calcula (α+1)(b+1)
a) 2 b) 4 c) –2
d) 8 e) –4
13. En un rectángulo, el largo excede al ancho en
3 unidades. Indicar a qué intervalo pertenece
el menor de los lados, si el área de dicho
rectángulo es numéricamente menor que su
perímetro.
a) 〈–2; 3〉 b)
〈0; 3〉 c)
〈0; 4〉
d) 〈–1; 3〉 e)
〈1; 3〉
14. Hallar el máximo valor entero de M de modo
que se cumpla lo siguiente:
x2 – 6x+4 – M ≥ 0 ; ∀ x ∈
a) – 3 b) – 5 c) – 4
d) 0 e) –2
15. Resuelva la inecuación polinomial:
(x+2)(4x – 1)(–x + 3) 0
e indica cuántos enteros no negativos la verifican.
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 0
16. ¿Cuántos valores enteros satisfacen el siguiente
sistema: x 1 7
x 16x
3
-
$
) ?
a) 9 b) 8 c) 7
d) 6 e) 5
17. Resuelve:
x 8x 15
x 4x 3 0
2
2
- +
- +
de como respuesta la suma de valores enteros
del conjunto solución.
a) 9 b) 8 c) 7
d) 6 e) 5
18. Luego de resolver la inecuación fraccionaria:
–
–
x
x
x
2 1
2 1
+ 0, se obtiene: C.S.= 〈a;0〉 ∪ 〈b;–a〉
Calcula el valor de (2b + a).
a) 0 b)
2
1 c) 1
d) 2 e) 4
19. Dado los conjuntos:
A={x∈/x2+2x – 15 ≤0}
B={x∈/x((x+4) ≤ 32}
se puede afirmar:
a) A∩B = φ b) B⊂A c) A⊂B
d) A – B=[–8; 4] e) A∪B=
20. Resuelve:
(ax – b)2 ≥ (bx – a)2
siendo 0ab
a) 〈–∞; –1] b) [–1; 1] c) [1;+∞〉
d) 〈–∞; 1] e) 〈–∞; –1]∪[1;+∞〉
21. Calcula el valor de (a – 2) si la inecuación en
x: x2 + 2(1 – 2 )x+ a ≤ 0, se verifica para un
solo valor de x.
a) 2 b) 1+2 2 c) 2 2 – 1
d) 2 2 e) 1 – 2 2
22. Resuelve:
(x – 1)4(x – 3)7(x – 8)16(x+2)9 ≤ 0
a) [–2; 3]
b) 〈–∞; –2]∪[3;+∞〉
c) [–2; 8]
d) 〈3;+∞〉
e) [–2; 3]∪{8}
23. Luego de resolver la inecuación:
(x2 – x)2 (x3 – 1)(2x2 – 3x+1) (2x – 1)40
se obtiene: C.S. = 〈– ∞ ; m〉 – {n}
Calcula el valor de: mn.
a) 9 b) 8 c) 4
d) 1 e) 0](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-91-320.jpg)
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92
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
22
24. Resuelve las siguientes inecuaciones:
– 0
–
– 0
x
x
x
x x
4
2 1
1
2
2
/
G
+
+
e indica el intervalo solución común.
a)
〈–4 ;
2
1〉 b)
〈– 2 ;
2
1] c) 〈–2; +∞〉
d)
〈– 4 ;
2
1] e)
〈–2 ; 2〉
25. Resuelve:
bx a
ax b 1
+
+ $
donde 0ab
a) ;
b
a
3
− − b)
b
a;1
− c)
〈a; b]
d) 〈–b; 1〉 e)
b
a;1
− E
Practica en casa
1. Resuelve:
x2 – 5x+60
2. Resuelve:
(x+2)(x – 2)3x
3. Resuelve:
(3 – x)(x+2) ≥ 4
Da como respuesta la suma de los valores
enteros que la verifican.
4. Determina el conjunto solución de las siguientes
inecuaciones:
• Si: (x – 5)20 → x ∈ ...........
• Si: (x – 5)2 ≤ 0 → x ∈ ...........
• Si: (x – 5)2 ≥ 0 → x ∈ ...........
• Si: (x – 5)2 0 → x ∈ ...........
5. Resuelve:
x2 – 2x +50.
6. Resuelve:
(x – 2)(x – 4)(x – 7) ≤ 0
7. Resuelve:
x3+12x 7x2
8. ¿Cuántos valores enteros verifica la inecuación:
(x2 – x – 2)(16 – x2) 0?
9. Resuelve:
x 2
x 6 0
+
- #
10. Resuelve:
x 3
x 6x 8 0
2
-
- + $
11. Resuelve
3x2–x – 100
12. Calcular el mayor valor entero m, tal que:
x2 – 10x+32 ≥ m; ∀x∈
13. Resuelve: x3x
14. Resuelve:
(x+6)4(x+2)6(x – 4)8(x – 3)110
15. Indica la suma de valores enteros que verifican:
( )(– – )
(– )( – )
x x
x x x
9 4
8 2 8
2
2
+
+ +
≤ 0](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-92-320.jpg)
![Álgebra
93
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Tú puedes
1. El conjunto solución de la inecuación:
x x 2 x 3 x 5
x x 1 x x 2 x 5
0
2
2 2
+ - + -
+ + - + -
^ ^ ^
^ ^ ^
h h h
h h h
es de la forma: 〈a; b〉∪〈c; d〉∪〈 e; +∞〉.
Calcula a+b+c+d+e.
a)
5 b)
6 c)
7 d)
8 e)
9
2. Resolver: (x – 2)3 . . .( – 4) . –
x x x x
1 3 64
5 7 6 2
4
+ + ≥ 0
a)
[–3; –1] ∪ [2 ;+∞ b) [–3; –1] ∪ [2; 8] c) [–3; –1] ∪ [2; 8] ∪ {–8}
d)
e)
+
3. Resuelva: x(2x + 1) (x – 2) (2x – 3) 63
Indique el producto de valores enteros negativos mayores que –5.
a) 6 b) –6 c) 24 d) –24 e) 12
4. Determinar el conjunto A, si: A = /
( – )
( – ) –
( – )
( – ) –
x
x
x
x
x
19 1
19 2
19 2
19 4
+ +
!
' 1
3 3
2 2
a) x17 b) 7x19 c) 0x17 d) x19 e) 0x19
5. Indique las soluciones negativas de la inecuación:
– –
( – – )( )( – )
x x x
x x x x
2 2
2 35 2 1
5 3 2
2 3
+
+
≥ 0
a)
– b)
〈–1; 0〉 c)
〈–7; 0〉 d)
[–5; –2] e) [–5; –1]](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-93-320.jpg)
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94
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Inecuaciones irracionales
23
Problemas para la clase
6. Resuelve: x 2 3
-
a) [2; 11〉
b) [2;+∞〉
c) 〈–∞; 2]∪〈11;+∞〉
d) 〈11;+∞〉
e) 〈–∞; 11〉
7. Resuelve: x 3
+ +2 ≥ 0
a) [1; +∞〉
b) [–3;+∞〉
c) 〈–∞; –3]∪[1;+∞〉
d) φ
e)
8. Resuelve: x 3 9 x
- -
a) 〈6;+∞〉
b) [3; 9]
c) 〈–∞; 6〉∪〈9;+∞〉
d) 〈6; 9]
e) [9;+∞〉
9. Resuelve: x 1
3 + 2
a) 〈–1;+∞〉
b) 〈–∞; –1〉∪〈7;+∞〉
c) 〈7;+∞〉
d) 〈–∞; 7〉
e) 〈–∞; –1]∪[7;+∞〉
10. Resuelve: x 11 2
3 #
− −
a) 〈–∞; 3]
b) 〈–∞; 11]
c) 〈2; 11]
d) 〈11;+∞〉
e) 〈–∞; –8]∪[11;+∞〉
1. Resuelve: x 3
a) 〈–∞; 9〉
b) 〈–∞; 0〉∪〈9;+∞〉
c) [0; 3〉∪〈9;+∞〉
d) [0; 9〉
e) [0; 3]
2. Resuelve: x 2 3
- #
a) 〈–∞; 2]∪[11:+∞〉
b) [2; 11]
c) [2; +∞〉
d) 〈–∞; 11]
e) 〈–∞; 0]∪[11:+∞〉
3. Resuelve: x 3 5 x
+ -
a) 〈–3; 4〉
b) 〈–∞;1〉∪〈3;+∞〉
c) 〈–∞; –3〉∪〈1;+∞〉
d) [–3; 1〉
e) [–3; +∞〉
4. Resuelve: 5 x 1
- -
a) 〈–∞; 5]∪〈10;+∞〉
b) 〈4; 5]
c) 〈–∞; 4〉∪[5;+∞〉
d) 〈4;+∞〉
e) φ
5. Resuelve: x – 5 ≥ 0
a) [5; +∞〉
b) 〈–∞; 0]∪〈5;+∞〉
c) [0; 25]
d) 〈–∞; 0]∪[25;+∞〉
e) [25;+∞〉](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-94-320.jpg)
![Álgebra
95
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11. Resuelve: x 7
2 + 4
a) 〈–∞; 3〉
b) 〈–∞; –3〉∪〈3;+∞〉
c) 〈–3; 3〉
d)
e) φ
12. Resuelve: x 8 3 0
2 + - $
a) 〈–1; 1〉
b) 〈–∞; –1]∪[1;+∞〉
c) 〈–8; 8〉
d) 〈–∞; –8〉∪〈8;+∞〉
e) φ
13. Resuelve: x 9 4 0
2 #
− −
a) [–5; 5]
b) 〈–∞; –5]∪[5;+∞〉
c) 〈–∞; –3]∪[3;+∞〉
d) [–5; –3]∪[3; 5]
e)
14. Resuelve: 6 x x 8
2
− − −
a) 〈–∞; –3]∪[2;+∞〉
b) [–3: 2]
c) 〈–∞; –8〉∪〈8;+∞〉
d)
e) φ
15. Resuelve: x 2
2
3 + 3
a)
b) 〈–2; 2〉
c) 〈–∞; –5〉∪〈5;+∞〉
d) 〈–∞; –2〉∪〈2;+∞〉
e) 〈–5; 5〉
16. Resuelve: x 2
6 x 1
3 #
−
−
a) 〈–∞; 2]∪[4;+∞〉
b) 〈2; 4]
c) 〈–∞; 2〉∪[4;+∞〉
d)
e) φ
17. Resuelve:
x 2
x 1 . x 5
0
3
5 +
−
−
^ h
a)
b) 〈–∞; –1〉∪〈2; 5〉
c) 〈–1; 5〉
d) 〈2;+∞〉
e) 〈–∞; 2〉∪〈5;+∞〉
18. Resuelve: x 3
+ . (x2+x+3)(x – 5)≤0
a) [3; 5]
b) 〈–∞; –3]∪[5;+∞〉
c) 〈–∞; 3]
d) [–3; 5]
e) 〈–∞; 3]∪[5;+∞〉
19. Resuelve: – x
2 x
a) [0; 1[
b) ]0; 2]
c) [4; 6[
d) ]–2; 2]
e) ]1; 2]
20. Resuelve: x 6 x
+
a) [–6; 3〉
b) [–6; 6〉
c) [–3; 0〉
d) [–6; 5〉
e)
21. Resuelve: x 3x 5x 6 x 2
3 2
3 - + - -
a) 〈–∞; 1/3〉∪〈2;+∞〉
b) 〈1/3; 2〉
c) [–1; 1]
d) 〈–∞; –1]∪[1;+∞〉
e) 〈–1;+∞〉
22. Resuelve:
x 2 x 4
2x x 2 4 x 2 1
−
− −
− −
^ h
a) 〈4;+∞〉 b) 〈2; 4〉 c) 〈2;+∞〉
d) 〈0;+∞〉 e) 〈–2; 4〉](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-95-320.jpg)
![Capítulo
96
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
23. Resuelve la inecuación:
( ) ( )
( – ) . –
x x
x x x
1 2 5
4 2 25 2 8
2 9
8 2 3 5
+ +
+ 0
a)
〈1; 2〉 b)
〈2; 3〉 c)
〈3; 4〉
d)
〈4; 5〉 e)
〈5; 6〉
24. Resuelve: –
x x 2
2
+ 5 – x
a)
〈– ∞ ; –1] ∪ [1;
11
25 〉
b)
〈– ∞ ; –2] ∪ [1;
11
27 〉
c)
〈– ∞ ; –4] ∪ [2;
11
23 〉
d) x ∈ {0}
e) x ∈
23
25. Resuelve:
x x
x 1 x
2
2
+
+
a) 2
2 1
;3
−
b) 2
2 1
;
+
3
c) 2
2 1 1
;
+ -
3
d) 2
4 2 1 1
;
+ -
3
e) 2
2
; 3
Practica en casa
1. Resuelve: x 5
#
2. Resuelve: x 3 1
-
3. Resuelve: x 1 7 x
+ -
#
4. Resuelve: 10 x 1
- -
5. Resuelve: x 2 0
-
6. Resuelve: x 5 1
+
7. Resuelve: 7 x 4 0
- + $
8. Resuelve: x 1 11 x
− −
9. Resuelve: x 3 4
3 +
10. Resuelve: 7 x 2
3 #
− −
11. Resuelve:
–
–
x
x
4
2 2
12. Resuelve la desigualdad: x+2 ≤ x 8
3
3
+
13. Resuelve: –
x
6 2 x+1
14. Resuelve:
(x – 2)3. x 1 . x 3
5 7
+ +
^ ^
h h. 4– x
6
^ h ≥0
15. Si: A = 〈– ∞ ; a] ∪ [b ; c〉 , es el conjunto solu-
ción de: –
x x
5 4
2
+ 7 – x; calcular el valor
de a+b+c.](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-96-320.jpg)
![Álgebra
97
www.trilce.edu.pe Cuarto año de secundaria
Tú puedes
1. Indica un intervalo solución de la siguiente
inecuación: – – – – –
x x x x
1 1 3 3 3
+
a)
[–1; 3〉 b)
0;
3
1]
c)
〈–1;3] ∪ 〈4;+∞〉 d) [–3; 0〉
e)
〈–3; 1] ∪ [3; +∞〉
2. Resuelve:
– –
– –
x
x x
5 16
3 4
2
2
≥ x2 – 2x – 29
a)
[–4; –1] ∪ {4} b) [–3; –1] ∪ {4}
c)
[–2; –1] ∪ {4} d) [–2; 1] ∪ {4}
e) x ∈ {0}
3. Resuelve: – –
x x x
2 1 2
+
a)
[
2
2 5
+ ; +∞〉 b)
[
2
1 7
+ ; +∞〉
c)
[
2
3 10
+ ; +∞〉 d)
〈
2
1 7
+ ; +∞〉
e)
〈
2
3 10
+ ; +∞〉
4. Resuelve:
– –
– –
–
–
x x
x x
x x
x x
1 1
1 1
1 1
1 1
8 8
4 4
8 2
16
8 8
#
+
+
+ +
+ +
a) x ∈ {1; 2} b) x ∈ {9; 12}
c) x ∈ 〈0; 1] d) x ∈ {1}
e) x ∈ {2}
5. Resuelve:
x x
x x
x
x
2 4
3 7
7
3
8 $
- +
- - -
-
-
a) [3; 4〉 b) [3; 4]∪[5; 7]
c) [3; 9〉 d) [3; 4〉∪[5; 7〉
e) ](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-97-320.jpg)
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100
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
24
19. Si el par ordenado (a2 – 16; a+2) pertenece
al segundo cuadrante de un plano cartesiano,
calcular la suma de valores enteros de a que
verifican esta condición.
a) –3 b) 2 c) –1
d) 4 e) 5
20. Dados los conjuntos:
A={x∈+/x∈〈–3; 4]}
B= x 2 4
3x 1 5
Z -
!
) 3
Indica cuál de todos los pares ordenados dados,
no pertenece a los conjuntos A×B o B×A.
a) (1; 6) b) (5; 4) c) (4; 4)
d) (1; 7) e) (2; 5)
21. A partir del conjunto:
A={1; 2; 3; 4; 5}
se define la relación:
R={(1; 1), (2; 2), (3; 3), (5; 1), (2; 4), (5; 4),
(5; 2), (4; 3), (3; 5)}
Si: M={x∈A/(x; 2)∈R}
N={x∈A/(3; x)∈R}
P={x∈A/(x; 5)∈R}
Entonces (M∪N) – P es:
a) {2; 5} b) {3; 5} c) {3}
d) {5} e) {1; 2; 4; 5}
22. Del conjunto:
A = {x ∈ / (x – 2)5 (x+3)7(x – 5)60}
se define: R={(a; b) ∈ A×A / a+b ≥ 0}. Indicar
el número de elementos de R.
a) 2 b) 5 c) 4
d) 6 e) 7
23. Dados los conjuntos:
A={1; 2; 3; 4; 5; 6}
B={1; 3; 5}
C={2; 4; 6}
y las relaciones:
R1={(x; y)∈B×A/x+y es par}
R2={(x; y)∈C×B/x+y es impar}
Calcula el número de elementos de R1∪R2.
a) 15 b) 18 c) 21
d) 27 e) 30
24. Un ciclista corre en línea recta 200 m hacia
el este; luego 200 m hacia el norte, 300 m al
noreste y 100 m hacia el este; 100 m al norte y
150 m al noreste. ¿A qué distancia del punto de
origen está?
a) 100(3+2 3 )m
b) 100(2+3 2 )m
c) 150(2+3 2 )m
d) 150(3+2 2 )m
e) 200(3+2 2 )m
25. Usando una tabla de valores, grafica en el plano
cartesiano la siguiente relación:
R={(x; y)∈2/y=x3 – 6x2+8x}
a)
y
x
b)
y
x
c)
y
x
d)
y
x
e)
y
x](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-100-320.jpg)
![103
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Capítulo
25
Repaso III
Problemas para la clase
7. Resuelve: x3 – 5x2+6x ≥ 0
a) [0 ; 2] ∪ [3 ; +∞〉
b) 〈– ∞ ; 0] ∪ [ 2 ; 3]
c) [– 2 ; 3〉
d) 〈–2 ; 3]
e) [– 2 ; 0] ∪ [3 ; +∞〉
8. Resuelve:
x x
x x
4 3
2
2
2
+ +
- - ≤ 0
a) ] – 3 ; – 1[ ∪ ]1 ; 2]
b) ] – 3 ; – 1]
c) ] – 3 ; – 1[ ∪ ] – 1 ; 2]
d) ] – 1 ; 2]
e) ] – 3 ; 2[
9. Resuelve: x 4 1
+ #
a) 〈–∞; –3] b) 〈3; +∞〉 c) [–4; +∞〉
d) 〈–∞; –4] e) [–4; –3]
10. Dados los conjuntos:
A={1; 2; 7}
B={3; 4; 5}
Se define la relación:
R={(x; y)∈A×B/xy=2
c }
Calcula n(R).
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
11. Sean las matrices:
A=
4
2
3
1
= G y B=
5
7
6
8
= G
Halla la traza de la matriz: 2A – B+I, donde I
es la matriz identidad.
a) – 4 b) – 5 c) – 1
d) 1 e) 2
1. Halla x en la siguiente igualdad:
–
a b
a b a b
x
2 3
2
3
6
+
+
=
e e
o o
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
2. Calcula:
1
0
5
2
1
0
4
3
2
-
a) 48 b) –24 c) 12
d) –48 e) 24
3. Luego de Resuelve el sistema:
3x 5y 5
4x 3y 26
- =
+ =
)
Calcula x+y.
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 7
4. Si: x ∈ +, halla el mínimo valor de:
G = x
x
8
200
+
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
5. Resuelve la inecuación:
5
x
4
x 1 3
x 2
+ − −
a) 〈–∞; 15〉 b) 〈15; +∞〉
c) 〈–15; +∞〉 d) 〈–∞; –15〉
e)
6. Resuelve la inecuación:
(x – 1)(x+3) ≤ 5
Calcula la suma de los valores enteros del
conjunto solución.
a) 3 b) –6 c) 1
d) 2 e) –7](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-103-320.jpg)
![Capítulo
104
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
25
12. Si: {x1; x2} es el conjunto solución de la
ecuación:
x
4
1
x 5
1
x
2
4 0
-
-
- - =
calcula el valor de: x1+x2+x1x2.
a) 12 b) –14 c) 10
d) 24 e) –18
13. Calcula m para que el siguiente sistema sea
inconsistente:
(m 3)x 3y 5
2x (m 2)y 7
- + =
+ - =
)
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
14. Sea: x ∈ [5 ; 7]; indicar el intervalo de:
g(x) = x2 – 4x + 9
a) [5; 30] b) [7; 30] c) [10; 30]
d) [14; 30] e) [15; 30]
15. Resuelve:
(x – 5)(x+3)+
–
x 8
1 (x – 6) (x + 4)+
–
x 8
1
a) x ∈ φ b) x ∈ c) x ∈ {5}
d) x ∈ – {8} e) x ∈ 〈0;+∞〉 – {8}
16. Resuelve: (x – 4)x3 ≤ 9x(x – 4)
a) 〈– ∞ ; – 3] ∪ [0 ; 3]
b) 〈– ∞ ; – 3] ∪ {3 ; 4}
c) [– 3 ; 0] ∪ [3 ; 4]
d) 〈– ∞ ; – 3] ∪ [0 ; 3] ∪ [4 ; +∞〉
e) [– 3 ; 3] ∪ [4 ; +∞〉
17. Al Resuelve:
9 x
x 4
2
2
−
− +50
se obtiene: x∈〈a; b]∪[c; d〉
Halla el valor de: E=a – b+c – d
a) 0 b) –1 c) 3
d) –2 e) 1
18. A partir de los conjuntos:
A={x∈/4x+49}
B={x∈/x3 – 5x2 – x+5=0}
se define la relación:
R={(x; y)∈A×B/xy}
Calcula la suma de los elementos del rango de
R.
a) 20 b) 15 c) 10
d) 5 e) 0
19. Si: A2=B2=
1
0
0
1
e o; AB=
0
1
1
2
-
e o; BA=
2
1
1
0
-
e o
halla: (A+B)2
a)
4
0
0
4
e o b)
0
4
4
0
e o c)
4
4
4
4
e o
d)
4
0
0
4
-
-
e o e)
0
4
4
0
-
-
e o
20. Indica la suma de las soluciones al Resuelve:
x 3
5
6
1
x 3
6
1
1
x 4
+ -
-
- +
=0
a) 0 b) –5 c) 6
d) 4 e) –4
21. Luego de Resuelve el sistema:
3 x y 2 2x 3y 7 10
2 x y 2 3 2x 3y 7 14
+ + - - - =
+ + + - - =
)
indica el valor de 3x – 2y.
a) 10 b) 12 c) 18
d) 21 e) 25
22. Si: 〈–∞; b]∪[1;+∞〉, es el conjunto solución de
la inecuación: 2x2+ax+1≥0; calcula b – a.
a) 7 b) 2
7 c)
2
3
-
d) 2
1 e)
4
1
23. Luego de Resuelve la inecuación:
(x – 4)5(x2 – x+2)2(2x – 1)3(x4 – 16)0
se obtiene: C.S. = a; a
1 a;b
- j
Calcula el valor de ab.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 12](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-104-320.jpg)
![Álgebra
105
www.trilce.edu.pe Cuarto año de secundaria
24. Indica la suma de los valores enteros que no
satisfacen la inecuación fraccionaria siguiente:
– –
–
x x
x
3 10
2 11
2
1
2
#
a) 5 b) 7 c) 6
d) 3 e) 8
25. Dados los conjuntos:
A = {x ∈ / –
x
3 1 – 2}
B = {x ∈ / – –
x x x
2 1
3 2
3
$
+ }
Indica el conjunto: A ∩ B.
a)
[–1 ; 3] b) [–1;3]–{
3
1} c) [–1 ;
3
1]
d)
[
3
1 ; 3] e) 〈
3
1 ; 3]
Practica en casa
1. Calcular el valor de x en:
ab
a b
5
a b
x
10
5
4
+
-
- =
-
= =
G G
2. Calcula:
–
–
–
3
2
1
4
5
7
6
4
2
3. Resuelve el sistema:
2x 5y 1
3x 2y 11
+ =
- =
)
Calcula el valor de x . y.
4. Si x∈+, calcula el mínimo valor de:
M(x) 6
x
x
54
= +
5. Resuelve: 2x+8(x+1)3(2x+1)+15
6. ¿Cuántos valores enteros verifican la inecuación:
(x – 5)(8 – x) – 4?
7. Resuelve:
(x – 5)(x2 – 2x – 24) ≥ 0
8. Resuelve: x 1
(x 6)(x 5)
0
-
- +
#
9. Halla el conjunto solución de:
–
x x
6 8
2
+ – 4
10. Si: A={–6; –8; 3; 4} y B={–4; –2; –1; 2},
indica el número de elementos de:
R={(x; y) ∈ A×B/xy 0}
11. Si:
A =
0
4
3
5
= G ; B =
–3
4
1
2
= G
Halla: 2At – 3B+5I.
12. Halla x en:
... x
x
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
2
1
2
0
1
1
1
0
0
3
1
3
0
1
1
1
0
0
1
0
1
+ + + + =72
13. Calcula a para que el sistema siguiente sea
compatible determinado:
x 3y 1
5x 7y 11
9x ay 35
- =-
- =
- =
*
14. Resuelva la inecuación cuadrática:
x2+14x+49≥0
15. Indica el C.S. de la siguiente inecuación:
( ) ( ) ( )
( – ) ( ) ( – )
x x x
x x x
1 3 1
3 1 2
3 37 4
50 7 23
+ + +
+
≤ 0](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-105-320.jpg)
![Capítulo
106
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
25
Tú puedes
1. Encontrar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. –1 – x e ⇒ x2 ∈ [0 ; e2〉
II. – 5 ≤ x2 4 ⇒ x ∈ 〈– 2 ; 2〉
III. x2 1 ⇒ x ∈ 〈1 ; +∞〉
a) V V F b) F V V c) F F F d) V V V e) V F F
2. Calcula el mayor número real m tal que:
x
x
1
2
2
2
+
+ ≥ 2m ; ∀ x ∈ .
a)
– 1
b)
0 c)
1 d)
2 e)
3
3. Resuelve en : –
x 3 1
+ 2x – 7.
a)
[–
2
7 ;
2
7 ] b)
[
2
7 ; 51] c) 〈
2
7 ; +∞〉 d)
〈
4
17 ; +∞〉 e)
– [
2
7 ]
4. Resuelve:
bx a
x 1
+
+
a
2 , si: a2b0.
a)
〈– ∞ ;
–
a b
a
2
〉 b)
〈–
b
a ;
–
b a
a
2
〉 c)
〈–
b
a ;
–
–
b a
a
2
〉 d)
〈
–
b a
a
2
; –
b
a 〉 e)
〈
b
a ;
–
b a
a
2
〉
5. Resuelve: – – – –
x x
3 4 1 0
a) [– 15 ; 1] b) [– 15 ; 1 〉 c)
〈 0 ; 1] d) 〈– 15 ; 1 〉 e)
〈– 1 ; 1]](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-106-320.jpg)
![107
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Capítulo
26
Funciones I
Problemas para la clase
Calcula: F(7)+F(F(–9))
a) 0 b) 1 c) 4
d) 7 e) 8
6. Halla el dominio de la función f definida por:
f(x) = x 4
-
a) [0; 4〉 b) [–4;+∞〉 c)
d) [4;+∞〉 e)
〈–∞; 4]
7. Indica el dominio de la función G definida
por:
G(x)=
–
x
x
9
7
2
+ ; x 3
4
!
a)
– {3} b) –{9} c)
–{3;–3}
d)
e) { }
8. Halla el rango de la función H:
H(x)=–x+4 ; x∈〈–2; 3]
a) 〈0; 4] b) [1; 6〉 c)
〈–1; 6]
d) 〈1; 6〉 e)
〈–∞; 6〉
9. Indica el rango de la función H definida por:
H(x)=
–
–
x
x
3 4
6 5
a) – {
3
4 } b)
– {4} c) – {2}
d) e) { }
10. Un albañil y su ayudante son contratados para
realizar la cerca de un jardín. El ayudante
comienza a trabajar a las 8 de la mañana y cobra
S/.15 por hora de trabajo; el albañil comienza a
trabajar a las 10 cobrando S/.20 la hora.
Si x es el número de horas trabajadas por el
albañil, obtener la expresión y que define el
dinero cobrado por el ayudante.
a) y=x+15 b) y=15x+1
c) y=15x+30 d) y=15x+20
e) y=20x+30
1. Determina la función F definida por:
F(x)=2x – 3; x∈{0; 1; 4}
a) F={(0; 3), (1; 1), (4; 5)}
b) F={(–3; 0), (–1; 1), (5; 4)}
c) F={(0; 0), (1; 1), (4; 4)}
d) F={(0; –3), (1; –1), (4; 5)}
e) F={(0; –3), (1; 1), (4; 5)}
2. Indica verdadero (V) o falso (F):
I. La relación definida por:
R={(2; 8), (3; 9), (2; 7), (9; 5)}
es una función. ( )
II. Sea g una función tal que:
(1; x)∈g ∧ (1; 4)∈g
entonces x=4. ( )
III. Dada la función h. Si:
(1; 5)∈h, entonces h(1)=5 ( )
a) VVF b) FVF c) FFV
d) VVV e) FVV
3. Sea la función:
F= {(3;5), ; a
4
2
` j, (5;2), (4;9), ; b
3
4
c m}
Calcula a – b.
a) –6 b) –2 c) 2
d) 18 e) 38
4. De la función:
F={(2; 3), (3; 4), (4; 1)}
calcula: F(F(2))+F(F(3))
a) 1 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
5. Se define la función F tal que:
F(x) 5 x ;x 2
x 2 ;x 2
= -
+ $
)](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-107-320.jpg)
![Capítulo
108
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
26
11. Sea f y g dos funciones donde:
0
1
2
–1
1
3
1
2
4
f g
Calcula: f[g(3)]+g[f(2)]+g[f(0)]
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
12. Sean (2;m) y (n;7) pertenecen a la función F
definida por:
F(x)=4x+3, Calcula mn.
a) 16 b) 11 c) 4
d) 9 e) 8
13. Indica la suma de los elementos del dominio de
la función:
F={(7; 4), (m–1; 9), (m; 6), (7; m+3)}
a) 8 b) 11 c) 10
d) 9 e) 12
14. Calcula la suma de los elementos del dominio
de la función:
F={(3;4), (n+1;7), (n;1), (3;n2), (2;9)}
a) 5 b) –2 c) 2
d) –4 e) 0
15. Indica cuántos valores enteros pertenecen al
dominio de la función F definida por:
F(x)= –x
4 2
a) 6 b) 4 c) 3
d) 2 e) 5
16. ¿Cuántos valores enteros tiene el dominio de la
función g definida por:
g(x) x 10
x 2
x 7
3x
= -
- + + -
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
17. Halla el rango de la función h definida por:
h(x)=x2+4x+7 ; x∈
a) b) [1;+∞〉 c) [3;+∞〉
d) 〈–∞;1] e)
〈–∞; 3]
18. Calcula la suma de los valores enteros del
dominio de la función g definida por:
g(x)=3– x 2 , si Ran(g)=〈–1; 2〉
a) 31 b) 47 c) 83
d) 147 e) 155
19. Se define la función:
F(x) ax 5;x 4
3bx 7 ;x 4
= +
-
$
)
si se cumple: F(6) – F(2)=2(7–3b),
calcula el valor de F(F(12)).
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
20. Si la relación:
G={(3; a2), (a; a+1), (2; 5), (3; a+2)}
es una función, Calcula el valor de:
G(G(a)+2) – G(2 – a)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
21. Se define la función f tal que:
f(x)=
x 3
x 1
+
+ ; x∈〈–5; –4〉.
Obtener el rango de la función:
a)
〈–2; 1〉 b)
〈2; 3〉 c)
〈0; 1〉
d)
〈2; 4〉 e)
〈1; 2〉
22. Se define la función F mediante:
F(x)=x2 – 4x+5; x∈[0; 3]
Calcula la diferencia entre el máximo y el
mínimo valor de F(x).
a) 3 b) 1 c) 4
d) 0 e) 5
23. Dada la función h:
h(x)=
x 2x 3
4
2 - +
–1 ; x∈
Hallar el rango de h.
a) 〈–1; 2] b) 〈0; 1〉 c)
〈–2; 1]
d) 〈0; 2] e) 〈–1; 1]](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-108-320.jpg)
![Álgebra
109
www.trilce.edu.pe Cuarto año de secundaria
24.
Un vendedor tiene un sueldo mensual de
S/.1000 más el 40% de comisión sobre el monto
vendido en ese mes; entonces:
I. Halla la expresión que defina el ingreso I
mensual del vendedor en función del monto
(x) vendido en el mes.
II. Si en un mes vendió S/.3500, ¿cuál fue su
ingreso en ese mes?
a) I(x)=1000x; S/.2400
b) I(x)=1000+0,4x; S/.2400
c) I(x)=0,4x; S/.2400
d) I(x)=1000+0,04x; S/.240
e) I(x)=1000+0,4x; S/.240
25. En la figura adjunta se muestra un trapecio
isósceles:
h
45°
x
1
Expresar el área sombreada en términos de x.
a) 8
x 1 2
-
^ h
b) 8
x 2 x 2
+ -
^ ^
h h
c) 4
x2
d)
8
x 1 x 1
+ -
^ ^
h h
e) 8
x 4 x 4
+ -
^ ^
h h
Practica en casa
1. Determina la función F definida por:
F(x)=x+2 ; x∈{0; 1; 2}
2. Indica verdadero (V) o falso (F) según
corresponda, dada la función: F(x)= –x
9 2
• F(0) = 3 .................................................( )
• No existe F(4)......................................( )
• ( 5 ; 2) ∈ F............................................( )
• (– 8 ; 1) ∈ F.........................................( )
3. Calcula ab en la función:
F = {(2; 7), (6; a–b), (6; 1), (2; a+b)}
4. De la función: F={(1; 3), (3; 4), (4; 0)}
calcula: F(F(3)) + F(F(1))
5. Sabiendo que:
F(x) = ;
– ;
x x
x x
3 4 0
2 3 0
$
+
)
calcula: E = F[F(1)] – F[F(0)]
6. Halla el dominio de la función g definida por
g(x)= x 5
+
7. Halla el dominio de la función h definida por:
h(x)= x 5
4x 1
-
+
8. Halla el rango de la función f:
f(x)=2x+1; x∈〈–1; 3]
9. Hallar el rango de la función h:
h(x)= x 5
3x 1
-
+ ; x ≠ 5
10. Dadas las funciones f y g definidas en los
siguientes diagramas:
1
2
5
4
5
2
2
5
4
6
3
5
f g
Halla el valor de:
f(1) + g(2)
f[g(4)] + g[f(2)]
11. Calcula n en la función:
F={(5; 9), (3; 6), (n; 1), (5; n2)}](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-109-320.jpg)
![Capítulo
110
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
12. Relaciona correctamente, respecto al dominio
de las funciones:
F(x)= –
x 4 A x ∈ –{±2}
G(x)=
–
–
x
x
4
2
B x ∈ [–2; 2]
H(x)= –x
4 2 C x ∈ –{4}
I(x)=
–
x 4
1
2 D x ∈ [4; +∞〉
13. Halla el dominio de la función F definida por:
F(x) = – –
x x
3 3
4 8
+
14. Halla el dominio de la función F definida por:
F(x) =
–
x
x
2
1
+
15. Halla el rango de la función f definida por:
f(x)=x2 – 2x+7; x∈.
Tú puedes
1. La siguiente tabla muestra parte del dominio y
rango de una función lineal g:
x 2 5 8 b
g(x) 10 a 28 37
a) 25 b) 40 c) 45
d) 30 e) 35
2. Si: F(x+y)=F(x)+F(y) ; F(2)+F(5)=42
calcula la pendiente de la función lineal F
a) 7 b) 4 c) 12
d) 21 e) 6
3. Halla el rango de la función cuadrática f la
cual satisface:
f(0) = 11 ; f(–1)=6 ; f(1)=18
Para todo pre-imagen real de f.
a) [2; +∞〉 b) [1; +∞〉 c) [3; +∞〉
d) [–1; +∞〉 e) [0; +∞〉
4. Un hombre dispone de 40 m de alambre para
cercar un jardín rectangular. Sabiendo que solo
debe colocarlo sobre tres lados porque el cuarto
limita con su casa, Determina el área máxima
que puede cercar.
a) 120 m2 b) 180 c) 200
d) 300 e) 240
5. Hallar el rango de: F(x) = ex + e–x – 2
Si: e = 2,7182
a)
[– 2 ; +∞〉 b)
[ 2 ; +∞〉 c)
[ 2 ; 2]
d)
[2– 2 ; +∞〉 e)
[2+ 2 ; +∞〉
26](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-110-320.jpg)
![Capítulo
112
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
27
7. Grafica la función:
g(x)=x2 – 2x – 8 ; x∈
a)
x
y
b)
x
y
c)
x
y
d)
x
y
e)
x
y
8. Calcula el valor mínimo de la función g
definida por:
g(x)=x2 – 6x+13; x∈
a) 5 b) 3 c) 4
d) –1 e) 9
9. Obténlascoordenadas delpuntodeintersección
entre las gráficas de las funciones g y h
definidas por:
g(x)=x – 5 ; x∈
h(x)=9 – x ; x∈
a) (7; 5) b) (2; 7) c) (9; 7)
d) (7; 2) e) (5; 7)
10. Calcula el área de la región formada por la
gráfica de la función f(x)= 3
2
− x+4 ; x∈, con
los ejes coordenados.
a) 48u2 b) 16u2 c) 24u2
d) 12u2 e) 15u2
11. Halla el rango de la función constante f tal
que satisface la siguiente condición:
f( 1) 3
f(40) f(10)
- -
+
=8
a) 4 b) [4;+∞〉 c) –4
d) {4} e) 〈–∞; 4]
12. Al graficar la función F definida por:
F(x) = 2x – 4; x∈ se obtiene:
y
x
a
b
F
Halla a×b.
a) –6 b) –10 c) –4
d) –8 e) –9
13. La grafica de la función: F(x)=x2 – 4; x∈ está
dada por:
y
x
n
m
p
F
calcula m.n+p.
a) –10 b) –12 c) –8
d) 6 e) –6
14. La gráfica de la función g definida por:
g(x)=x2 – 4x – m ; x∈
es:
x
y
16
7
Calcula el valor mínimo de g.
a) –3 b) 4 c) 8
d) –9 e) –12
15. Calcula el área de la región sombreada:
x
y
–5
f(x)=x2 – 49
a) 72u2 b) 144u2 c) 100u2
d) 36u2 e) 18u2](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-112-320.jpg)
![Capítulo
130
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
32
Repaso IV
Problemas para la clase
6. En la P.G.: ÷÷ 32; x; y; z; 162
Calcula la razón.
a) 3,5 b) 2,4 c) 1,5
d) 1,8 e) 1,6
7. Relacionar correctamente:
I. 2log25+log663 A. 6
II. log3 3 B. 8
III. antilog5(log56) C. 1/2
IV. lne5 D. 5
a) IB - IID - IIIC - IVA b) IA - IIB - IIIC - IVD
c) IA - IID - IIIB - IVC d) IB - IIA - IIIC - IVD
e) IB - IIC - IIIA - IVD
8. Efectúa:
log 10 log 3 log 5
3 5
+ -
a) 2 b) 0 c) 3
d) –1 e) 1/2
9. Calcula el valor de x:
log x 5
2x 1 log3 log2
-
- = -
c m
a) x=10 b) x=–10 c) x=–13
d) x=12 e) x=13
10. Calcula log3x, si:
log636 – colog3x=antilog23
a) 6 b) 5 c) 2
d) 3 e) 4
11. Sabiendo que el conjunto de pares ordenados:
F={(3; a2), (3; 1), (5; 4), (5;a+b), (b; 4)}
representa una función, indicar la suma de
elementos del dominio.
a) 3 b) 5 c) 8
d) 13 e) 11
1. A partir de la función:
F = {(4; a+3), (–2; a), (4; 2a–1)}
calcula: F(4)+F(–2)
a) 13 b) 9 c) 8
d) 10 e) 11
2. Sea la función f cuya regla de correspondencia
es: f(x)=x3 – 2x+1; calcula el rango de f, si el
Dom(f)={–2; 0; 3}.
a) {–11; 1; 22} b) {–3; 1; 22}
c) {0; 1; 22} d) {–8; 0; 27}
e) {1; 13; 22}
3. Halla el dominio de la función f definida por:
f(x) = –15+8x – x2
a) x∈[1;2 ] b) x∈[2; 3] c) x∈[3; 4]
d) x∈[3; 5] e) x∈[3; 6]
4. Grafica la función F definida por:
F(x)=2x+3 ; x∈
a) b) c)
y
x
y
x
y
x
d) e)
y
x
y
x
5. En una P.A., el octavo término es igual a 81, y
el tercero es igual a 16. Calcula la razón.
a) 3 b) 8 c) 13
d) 15 e) 10](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-130-320.jpg)
![Álgebra
133
www.trilce.edu.pe Cuarto año de secundaria
Tú puedes
1. Dada la función: F(x)=
–
– –
x
x
x
x
1
1
1
1
+
+
, hallar su dominio.
a)
〈–1 ; 0] ∪ 〈1 ; +∞〉 b) 〈– 1 ; 1〉 c) 〈– ∞ ; – 1〉 ∪ 〈1 ; + ∞〉
d)
〈–1 ; +∞〉 e)
〈– ∞ ; –1〉
2. Sabiendo que: f(x)=
x 1
1
+
, calcule: f(1)+f(2)+...+f(10)+f(1–1)+f(2–1)+...+f(10–1)
a)
10
1 b) 100 c) 8 d) 10 e) 20
3. Si el dominio de la función f, cuya regla de correspondencia es: f(x)= – – –
x x a
x
x
3 2
1
2
2
+
+
; a ∈
tiene solo cinco elementos enteros, señale el número de valores enteros de a.
a)
1 b)
2 c)
3 d)
4 e)
5
4. Dada la función F definida por: F(x)=
–
– –
x x
x x x x
3 3
6 15 18 11
2
4 3 2
+
+ + ; x∈, determine el rango.
a) [2 2 ; +∞〉 b)
[1; +∞〉 c)
[3; +∞〉 d)
[ 2 ; +∞〉 e)
[0; +∞〉
5. Dada la función F definida por: F(x)= – – –
x x x
9 2 20 5
2
+ +
halle el mayor elemento de su rango.
a)
1 b)
2 c)
4 d)
3 e)
2
3](https://image.slidesharecdn.com/algebra4-211011050907/85/Algebra-4-133-320.jpg)
Algebra 4
- 2. Índice Capítulo 1 Teoríade exponentes - Ecuaciones exponenciales 5 Capítulo 2 Grados y polinomios 9 Capítulo 3 Productos notables 13 Capítulo 4 División algebraica I 17 Capítulo 5 División algebraica II 21 Capítulo 6 Factorización I 25 Capítulo 7 Factorización II 29 Capítulo 8 Fracciones algebraicas 33 Capítulo 9 Repaso I 37 Unidad I Capítulo 10 Radicación algebraica 41 Capítulo 11 Factorial - Número combinatorio 45 Capítulo 12 Binomio de Newton 49 Capítulo 13 Números complejos 53 Capítulo 14 Ecuaciones de primer grado 57 Capítulo 15 Ecuaciones de segundo grado 61 Capítulo 16 Ecuaciones polinomiales 65 Capítulo 17 Repaso II 69 Unidad II
- 3. Álgebra Capítulo 18 Matrices 73 Capítulo 19 Determinantes 78 Capítulo 20 Sistema de ecuaciones 82 Capítulo 21 Desigualdades e inecuaciones lineales 86 Capítulo 22 Inecuaciones polinomiales y fraccionarias 90 Capítulo 23 Inecuaciones irracionales 94 Capítulo 24 Relaciones binarias 98 Capítulo 25 Repaso III 103 Unidad III Capítulo 26 Funciones I 107 Capítulo 27 Funciones II 111 Capítulo 28 Progresión aritmética (P.A.) 116 Capítulo 29 Progresión geométrica (P.G.) 120 Capítulo 30 Logaritmos I 124 Capítulo 31 Logaritmos II 128 Capítulo 32 Repaso IV 132 Unidad IV
- 5. 5 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo Teoría de exponentes - Ecuaciones exponenciales 1 Problemas para la clase 7. Reduce: x x x .x . . 25 2 2 2 27 – 3 3 3 c m a) x b) x2 c) x3 d) x4 e) x7 8. Calcula el valor de "x" que verifica: 2x+3 . 2x–2 . 24x–3 = 210 a) 1 b) 2 c) –2 d) 4 e) 8 9. De la ecuación: 8x+2 = 16x–4 halle "x". a) 10 b) 12 c) 18 d) 20 e) 22 10. El valor de "x" que satisface: xx = 264 es: a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 11. Simplifica la expresión: M 16 4 .8 3n 2 3n 2 2n 1 = + + + a) 2 b) 2–1 c) 1 d) 4 e) 4 1 12. Reduce: 15 .14 .30 21 .35 .80 4 9 2 6 3 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7 1. Si n = 24 . 48 halla el valor de n 5 . a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16 2. Reduce: S 3 3 3 n n 3 n 1 = - + + a) 3 b) 9 c) 12 d) 18 e) 24 3. Simplifica: x . y x .y .x .y 2 5 4 3 4 2 5 2 3 ^ ` ` h j j a) x4y3 b) x10 c) x10y12 d) y6 e) 1 4. Efectúe: 125 1 9 2 1 - - - c m a) 1 b) 5 c) 5 1 d) 5 1 - e) –5 5. Calcula el valor de: 2 1 2 0,2 9 2 3 1 3 2 3 2 1 + + - - - - c ^ c m h m = G a) 8 b) 6 c) 8 1 d) 6 1 e) 1 6. Si xx = 2, calcula el valor de: xxx 1 + a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
- 6. Capítulo 6 Colegios TRILCE Central: 6198-100 1 13. Elresultado de: 0,008 –243 625 4 1 - - - ^ h a) 2 5 b) 5 1 c) –5 d) 5 1 − e) 5 14. Calcula el valor de: 3 3 9 27 81 5 a) 3 1 b) –3 c) 3 d) 9 e) 1 15. Si ab = 2 y ba = 3 calcula: a b b a a 1 b 1 + + + a) 13 b) 15 c) 17 d) 35 e) 25 16. Sabiendo que: x 24. 24. 24... = calcula: M x x x ... M N 3 3 3 = + + + d ^ h a) 10 b) 7 c) 13 d) 3 e) 9 17. Resolver la ecuación exponencial: 2x+2+2x+1+2x+2x - 2+2x – 1 =248 calcule 2x+2x – 1 a) 112 b) 48 c) 98 d) 84 e) 136 18. Calcula el valor de "x" que verifica la ecuación: x 3 x 3 5 5 1 = - c m a) 5 3 b) 5 5 c) 3 3 d) 3 5 e) 3 19. Simplifica: - 32 64 2 1 125 1 16 1 0,4 3 1 2 3 16 2 0 1 2 1 1 - + - - - + + - - - - - - - - ^ ^ c c c h h m m m > H a) 1 b) 3 1 c) –1 d) 3 1 − e) 3 20. Si x ≠ 0, reduce: x x x x x x 3 2 3 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 - - - - - a _ _ k i i 9 C a) x–12 b) x–1 c) x d) x3 e) x15 21. Calcula: . . . ( ) . 5 5 4 5 5 225 225 n n n 2 3 2 2 3 3 2 3 + + + + 2n+3 a) 45 b) 25 c) 15 d) 5 e) 1 22. Calcula el valor de "x": 26x + 1 + 43x + 1 + 82x + 1 = 3584 a) 2 b) 4 3 c) 2 1 d) 3 4 e) 1 23. Indica el valor de "x" que verifica: xx = n 4 x n a) 2–n b) 2n+1 c) n 2 d) n e) n 2 24. Si xx = x + 1 reduce: x x . x x 1 x x + x x a) 1 b) x c) x–1 d) x–2 e) x2 25. Calcula la suma de los cuadrados de las soluciones de la ecuación: 4 257 4 64 x 1 x - =− + a) 25 b) 20 c) 17 d) 10 e) 8
- 7. Álgebra 7 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Practica en casa 1. Efectuar: 2 2 . 2 4 4 3 4 2 6 4 1 ^ ^ ^ h h h > H 2. Reducir: S 4 4 4 x x 2 x = + + 3. Reducir: M x y x y x y 5 2 4 3 3 2 2 2 3 = ^ ` ` h j j 4. Relacionar correctamente: x3 . x7 . x10 . x2 A x6 x 3 4 B x22 x2 3 4 ^ ` h j C x24 x4 ÷ x–2 D x 24 5. Si 3x = 4, calcular el resultado de la siguiente suma: 3x+1 – (–2)3 6. Simplifica: 2 1 5 1 4 1 2 3 1 - - - + - - - c c c m m m 7. Reduce: 2 8. 16 4 8. Calcula el valor de "x" que verifica la siguiente igualdad: 9x+1 = 27x - 12 9. Halla el valor de "x" en: 4x + 4x – 1 = 80 10. Resolver la ecuación: xx = 381 11. Efectúa: M = 8–27–9–4–0,5 12. Si: 2x + 2x – 1 + 2x – 2 + 2x – 3 + 2x – 4 = 1984 halla: x 13. Reduce: S x . x . x . x 2 2 2 2 3 3 3 3 = 14. Indica "x", que verifica: xx = 3 1 9 15. Simplifica: E = 2 .5 . – . 5 2 5 2 5 m m m m m m 3 1 2 1 2 + + + m ; m ≠ 0
- 8. Capítulo 8 Colegios TRILCE Central: 6198-100 Túpuedes 1. Simplifica: P = nnn n 5 ` j ; E nn – (n n ) 5 nn+1 n a) 1 b) n c) nn d) n n e) n nn 2. Simplifica: J = . ( ) a a a a a a a 2 –1 + + > H a a 1+a2 1+a2 1+a2 a) a b) 1 c) a + 1 d) a2 e) aa 3. Calcula el valor de "x" que satisface: 3 x x 1 x 5 4 x 1 x 5 4 x5 4 = + + i 3 i ` ` ` j j j a) 1 b) 4 5 c) 2 3 d) 4 4 e) 5 5 4. Resuelve: xxx+1 = - 2 2 2 3 - ; indica: x + 1 a) 2 3 b) 3 2 c) 3 4 d) 3 1 e) 2 1 5. Calcula xx, luego de resolver: x 3 x 18 1 x = - - a) 1/3 b) –1/3 c) 1/9 d) –1/9 e) 1/27 1
- 9. 9 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 2 Grados y polinomios Problemas para la clase a) 1 b) 8 c) 16 d) 24 e) 40 8. Si el polinomio: P(x)=pxm–7+nxn–1+mxp–4 es completo y ordenado de forma creciente, calcula la suma de sus coeficientes. a) 15 b) 10 c) 9 d) 5 e) 0 9. Si los polinomios: P(x) = (a – 5)x2+10x Q(x)=2x2+(b+4)x son idénticos, calcular "a+b". a) 5 b) 6 c) 8 d) 11 e) 13 10. Si el polinomio: P(x) = (a – 4)x2+(b+5)x+(c – 2) es identicamente nulo, calcula a – b + c a) 13 b) 8 c) 11 d) 10 e) 5 11. Relaciona correctamente: I. P(x; y) = 5x2y5 II. P(x)=x2+x+2 III. P(x;y)=2x2y5+3x3y4 IV. P(x) = 2x3+4x+1 A. GA(P)=7 y GR(x)=3 B. Polinomio cúbico C. GA(P)=7 y GR(x) = 2 D. Polinomio mónico a) IA - IIB - IIID - IVC b) IC - IID - IIIA - IVB c) IA - IID - IIIC - IVB d) IC - IIB - IIIA - IVD e) IA - IIB - IIIC - IVD 1. Si P(x) = 4x2 – 3x + 2 calcula: P(2) + P(–1) a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 25 2. De los polinomios: P(x+4) = x2+7x y Q(x) = x2 – 5x +1 calcula P(–2)+Q(3) a) –12 b) –11 c) 9 d) 1 e) 0 3. Si: P(x) = 4x+2 y P(3x – 2) ≡ ax+b calcula el valor de a . b a) 6 b) –12 c) 60 d) –72 e) –1 4. Si: P(4x – 2) = 16x+1 obtén P(x) a) 4x+3 b) 4x+6 c) 4x+9 d) 4x – 9 e) 4x – 1 5. Del siguiente monomio: A(x; y) =(a2+b)xa+by2b–1 calcula el coeficiente, si se sabe GR(x) = 7 y GA(A) = 12 a) 12 b) 15 c) 19 d) 23 e) 10 6. Del polinomio: P(x; y) = x2n+3ya–5+x2n+8ya–2 – x10ya–1 calcular a×m, si GR(x) = 22 y GR(y) = 5 a) 6 b) 13 c) 28 d) 42 e) 49 7. Calcula el valor de m×n, si el polinomio: P(x; y) = 5xmy6+3x10y4 –4x7yn+2 es homogéneo.
- 10. Capítulo 10 Colegios TRILCE Central: 6198-100 2 12. Dadoslos polinomios: P(x)=3x+2 y Q(x)=2x – 3 Calcula P(Q(x)) – Q(P(x)) a) –7 b) –1 c) –8 d) 6 e) 4 13. Si la expresión algebraica: P(x) x 3x 4x 8 3 n 1 2n 3 5 n = + - + - - - es un polinomio, calcula el grado de "P". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. Dados los polinomios: P(x), de grado 4 y Q(x), de grado 5 calcula el grado del polinomio: P x . Q x 4 3 ^ ^ h h 6 6 @ @ a) 16 b) 19 c) 24 d) 28 e) 31 15. Dado el polinomio: P(x;y) = xm+2yn–1 + xm+6yn – xm+4yn+4 Si el G.R.(x) = 20 y el grado absoluto es igual a 40, calcular el G.R.(y). a) 22 b) 20 c) 18 d) 24 e) 28 16. Dado el polinomio homogéneo: P(x;y)=5x3a+2by4 – x2ayb+7+xa–1ya–3b Calcula: G.A.(P) + ab a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17. Si el siguiente polinomio de 14 términos es completo y ordenado: P(x) = xn+4+...+xa – 1+xa–2+xa–3 Calcula: a + n a) 3 b) 9 c) -4 d) 16 e) 12 18. Calcula el valor de m2+n2+p2, si se verifica: m(x–2)(x–3)+n(x–1)(x–3)+p(x–1)(x–2) ≡ x2–10x+13 a) 29 b) 30 c) 32 d) 35 e) 25 19. Se definen los polinomios "P" y "Q" tales que: P(x–3)=4x – 7 y P(Q(x))=52x – 55 calcula Q(P(–1)) a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) –5 20. Se define la expresión "f": f(x+1) = 3f(x)–2 ; f(0)=3 calcula el valor de f(3). a) 3 b) 7 c) 23 d) 55 e) 61 21. En el polinomio: P(x;y)=4xm+n–2ym–3+8xm+n+5ym–4+7xm+n–6ym+2 se verifica que la relación entre los grados relativos de "x" e "y" es 2; y además el menor exponente de ‘‘y’’ es 3. Hallar su grado absoluto. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 21 22. Dados los polinomios "P" y "Q" de los que se conoce: G.A. PQ ` j 4 = 3 G.A. (P3 ÷ Q) = 4 ¿Cuál es el grado de "Q"? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 23. Si el polinomio: P(x–a)=b(x+2)+a(x+3)+2 es idénticamente nulo, calcular el valor de "a – b". a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) –5
- 11. Álgebra 11 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 24. Calcula "A + B + C", si: (x+1)[A(x+2)+B(x–2)–3x]+15x≡(x–2)[3x+C(x+2)] se verifica para todo "x". a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 25. Sea "f" una expresión matemática definida en los enteros, tal que: I. f(0) ≠ 0 II. f(1) = 3 III. f(x) . f(y) = f(x+y)+f(x–y); ∀x; y ∈ calcula f(7). a) 47 b) 843 c) 900 d) 700 e) 983 Practica en casa 1. Si: P(x) = x2 – 5x + 1 calcula P(2) + P(–1) 2. Calcula la suma de coeficientes del polinomio: P(x)=(x3–5x+5)4 –2(x+3)2+8 3. Si P(x+7) = 2x+5 Obtén P(x) 4. Del monomio: B(x; y) = (a – b)xa+4yb–1 si GR(x) = 10 y GA(B) = 14, calcular el coeficiente. 5. Del polinomio: P(x; y) = 53x4y12 – 24x2y3+x4y10 calcula GR(x) + GA(P) 6. Dado el polinomio: P(x) x x x (n 0) 2 n 3 n 4 = + + ! el mínimo valor entero de "n" es: 7. Dados los polinomios: P(x), de grado 3 y Q(x), de grado 2 calcula el grado de polinomio P(x) . Q(x) 2 7 7 A A 8. Del polinomio homogéneo: P(x; y) = 5x6ya+2x9y10–xby8 calcula "a – b" 9. Si los polinomios: P(x) = (a–1)x2+4x y Q(x) =2bx+7x2 son idénticos, calcula el valor de "a×b". 10. Si el polinomio: P(x) = (a–1)x4+(b+3)x+c – 5 es idénticamente nulo, calcula a×b – c 11. Si: P 2 x 3 x 2x 32 7 5 - = + + c m Calcula P(–2) 12. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto al polinomio: P(x;y)=xmyn+xm+1yn–1+xm–1yn+2 A. Si: GR(x)=10 → m =9.............................( ) B. Si: GR(y)=12 → n =12............................( ) C. Si: GA=15 → m+n =14.........................( ) D. Si: m=3, n=5 → GA =9.........................( ) 13. Si el polinomio: P(x;y) = axa+3 – abxa–1yb+2+2byb+8 es homogéneo, la suma de sus coeficientes es: 14. Si el polinomio: P(x) = mxp – 8+nxm–4+pxn+5+qxq – 2 es completo y ordenado de forma decreciente, calcula la suma de coeficientes. 15. Halla "a + b + p" en: (aaa – 2)x5+(bb – 3)x3+(p – 7)≡14x5+24x3+10
- 12. Capítulo 12 Colegios TRILCE Central: 6198-100 2 Túpuedes 1. Si la expresión: E(a;b)= x–25 12 y+3 48 a . b es de cuarto grado con respecto a "a" y de sexto grado absoluto, el valor de (x – y) es: a) 28 b) 29 c) 31 d) 32 e) 35 2. Dado el polinomio: P(x;y) = 2xa(b–4) – 3ya2(b – 4) – (xy)a(b – 4) +4y4+a(b – 4) , donde "a" y "b" son números naturales. Si la suma de los grados absolutos de los términos del polinomio es (a2 + 2)2, el valor de "b" será: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 3. Si el polinomio: P(x) = (x2+x+3)(a – b)+(x2+x+4) (b – c)+(x2+x+5) (c – a) es idénticamente nulo, el valor de: [(b + c) ÷ a] es: a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3 4. Si el polinomio: P(x;y)= 3 xm–2yn–1(x7+y2n–3) es un polinomio homogéneo cuyo grado de homoge- neidad es 16, hallar "mn". a) 30 b) 20 c) 35 d) 41 e) 45 5. Un polinomio "P(x)" de tercer grado, cumple con la siguiente condición: P(x) – P(x – 1) ≡ 2x(3x + 2). Hallar el coeficiente de "x" en el polinomio "P(x)". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
- 13. 13 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo Productos notables 3 Problemas para la clase 8. Reduzca: (a+1)(a2 – a+1) – (a – 2)(a2+2a+4) a) 0 b) a3 c) 1 d) 9 e) 8 9. Si x2 – 5x + 1 = 0 calcula: x3 + x–3 a) 125 b) 120 c) 115 d) 110 e) 105 10. Si a+b+c = 0, calcula: M 6abc a b c 3 3 3 = + + a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 1 e) 3 1 11. Efectúa: (x+1)(x – 1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) a) x8 – 1 b) x16 – 1 c) x18 – 1 d) x9 – 1 e) x14 – 1 12. Si ab+bc+ac > 0, simplifica: a b c ab bc ac a b c a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + - + + + + ^ ^ ^ h h h a) abc b) ab+bc c) ab+bc+ac d) a+b+c e) abc – 1 13. Halla el valor numérico de: (x+1)(x2 – x+1)(x6 – x3+1)(x9 – 1) – x18+1 para: x = 2017 a) 0 b) 2017 c) 201718 d) 1 e) 2017! 1. Reduzca: (x + 3)2 – x(x + 5) –9 a) –5x b) –x c) 4x d) x e) 5x 2. Simplifica: (x+3)2+(x – 5)2 – 2(x – 6)(x+4) a) 81 b) 5x c) 1 d) 82 e) 41 3. Multiplica: 4 15 . 4 15 + - a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 16 4. Si a+b=5 y ab = 3 calcula el valor de M = a2+b2 a) 12 b) 13 c) 16 d) 19 e) 25 5. Reduzca: P = ( ) ( – ) 7 3 7 3 2 2 + + a) 2 b) 10 c) 20 d) 40 e) 16 6. Simplifica: 2b a a 2b 2b a a 2b ; ab 0 2 2 + - - ! c c m m a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Si a + b = 4 ∧ ab = 1 halla: S = a3 + b3 a) 52 b) 51 c) 50 d) 49 e) 60
- 14. Capítulo 14 Colegios TRILCE Central: 6198-100 3 14. Halla“n”: ( )( )( )( ) 13 85 7 6 7 6 6 4 4 8 8 16 + + + 8 = 7n–3 a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5 15. Halle el valor numérico de: P(x) = (x + 1)(x – 1)(x4 + x2 + 1) para: x = – 4 15 4 15 + + a) 666 b) 444 c) 111 d) 999 e) 333 16. Si P 4 2 3 3 = + calcule el valor de: M P P 6 P 6 = + - ^ ^ h h a) 6 b) 9 c) 3 d) 2 e) 0 17. Si a = 5 3 - b = 2 5 - c = 3 2 - halle: ab bc ac a b c bc a ac b ab c 2 2 2 2 2 2 + + + + + + = = G G a) 5 3 2 + + b) 1 c) –3 d) 6 e) –6 18. Si x2 – 5 x + 1 = 0; calcule: M = x4 + x2 + x 1 2 + x 1 4 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 19. Halle el valor numérico de: E = (a2 – b2) [(a2 + b2)2 – a2b2] para: a3 = 2 +1 ∧ b3 = 2 – 1 a) 9 b) 2 c) 4 2 d) 6 e) 1 20. Si: x = 8 4 ∧ y = 2 4 calcule: ( ) – ( – ) x y x y x y 2 2 4 4 + + = G 1 2 a) 2 b) 4 c) 3 d) 3 2 e) 2 2 21. Evalúe: x x 3 10 10 + + - si: x + x–1 = 3 a) 1 b) 2 c) 5 d) 7 e) 3 22. Si: x 16 8 5 16 8 5 3 3 = + + - calcule: x 12x 4 3 + + a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 23. Si: n m m n 3(m n) 2 2 - = - halle el valor de: m n 4 m n 2 2 2 8 8 + ^ ^ h h a) 4 b) 8 c) 2 d) 0 e) 1 24. Si se cumple: x y 1 y z 1 x 2y z 4 + + + = + + calcule: x z x x z z 2 2 2 + + + - ^ h a) 1 b) –1 c) 2 1 d) 2 1 - e) 4 1 25. Sabiendo que: b a 4 a b n n + c c m m =725 ; an > 0 ∧ bn > 0 calcule: a b a 2b n n n n 3 + a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) 20
- 15. Álgebra 15 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Practica en casa 1. Simplifica: (x + 2)2 – (x – 3)2 – 10x 2. Multiplica 5 17 . 5 17 3 3 + - 3. Reduce: 8 5 8 5 2 2 + + - ^ ^ h h 4. Si: a+b=4 y ab=2 calcula el valor de a2+b2 5. Simplifica: y x x y y x x y ; x,y 0 2 2 + - - ! c c m m 6. Si: a+b=5 y ab=1 halla a3+b3 7. Relacionar correctamente: (x+y)(x – y) A x2+2xy+y2 (x–y)(x2+xy+y2) B x2 – y2 (x+y)2 C x3–y3 (x+y)(x2–xy+y2) D x3+y3 8. Reduce: (x+2)(x2 –2x+4) – (x – 3)(x2+3x+9) 9. Si: x+x–1 =4 calcula: x3+x–3 10. Si: x + y + z = 0, calcula: M = xyz x y z 3 3 3 + + 11. Reduce: (x - y)(x + y) (x2 + y2) + y4 12. Si: y x x y + = 2; calcula: x y x y xy 2 8 3 5 5 4 4 + + 13. Calcula el valor de: S= ( )( )( )( )( )( ) 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 8 16 32 64 + + + + + + + 32 14. Reduce: S = (x + 1) (x – 1) (x4 + x2 + 1) si: x = – 3 8 3 8 + + 15. Si: a + b + c = 0, reduce: S= bc a ac b ab c b bc c a ab b 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + c c m m
- 16. Capítulo 16 Colegios TRILCE Central: 6198-100 3 Túpuedes 1. Simplifique: ( ) ab a b 9 3 3 + - 23(a + b), si se sabe: ab a b 4 9 8 2 2 + = a) 1 b) 2 c) 8 d) 0 e) 9 2. A partir de la siguiente relación: a b 3 1 3 1 4 - + + = a + b, reducir: – a b ab 216 18 3 3 + a) 2 b) 4 c) 1 d) 3 e) - 4 3. Si se sabe que: (a + b - 3)2 = (a - b)2 + 3 ; calcular el valor de: A = – a b ab 1 2 + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) - 2 4. Si: a = 5 - 2 b = 2 - 3 calcula el valor de: ( – )( – )( ) a b a ab b a b b 2 3 3 2 2 6 6 12 + + + 12 a) 5+ 2 b) 5 - 2 c) 2 - 3 d) 2 +3 e) 2 + 3 5. Si: x = 0,5 ( 3 3 + 2 3 ) y = 0,5 ( 3 3 - 2 3 ) calcular: E = 4xy(3x2 + y2) (x2 + 3y2) a) 4 b) 5 c) 3 3 d) 2 3 e) 5 3 3
- 17. 17 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo División algebraica I 4 Problemas para la clase 6. Divide: – – x x x x 2 1 4 3 4 4 2 + + e indica el producto de coeficientes del cociente. a) 2 b) – 2 c) 4 d) – 4 e) 6 7. Calcula el cociente de la siguiente división: 3 x 5x 9x 5x 8 2x 2 3 4 - + - - - + a) x3+2x2+8x+10 b) 2x3+x2 – 8x+15 c) 2x3 – x2+8x – 15 d) x3 – 2x2 – 8x – 15 e) 2x3+x2+8x+15 8. Calcula el residuo de la siguiente división: x 1 4x 6x 2x 5 15 13 2 - - + + a) –3 b) 1 c) 5 d) 4 e) 7 9. Halla el resto de la siguiente división: x 5 x 4 x 4 3x 8 20 10 - - + - + - ^ ^ h h a) 1 b) 5 c) 7 d) 9 e) 12 10. De la siguiente división: x x 6 x x 5 2 x x 4 x x 2 2 100 2 2 2 + - + - - + - + + ^ ^ h h calcula el residuo. a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 1. Obtener el cociente de la siguiente división: x 2x 5 x 5x 3x 7x 6 2 4 3 2 - + - + + - a) x2+3x+4 b) x2 – 3x – 8 c) x2 – 3x+4 d) x2 – 3x+8 e) x2+x+4 2. Calcula el resto de la siguiente división: 5x 7x 3 10x 6x 37x 36x 12 2 4 3 2 - + + - + - a) 2x+1 b) 2x–1 c) 3x+1 d) 3x–1 e) 3x–3 3. Luego de efectuar: 3 2x x 6x 10x x 5 5x 2 4 3 2 - + + + - - - indica la suma de coeficientes del cociente. a) 0 b) 3 c) 4 d) 1 E) 10 4. Luego de dividir (8x4 – 5) entre (2x2+1), calcula 3Q(x) – 2R(x), donde Q(x) es cociente y R(x) es residuo. a) 4x2 – 2 b) x2 c) 4x2 – 5 d) 12x2+6 e) 12x2 5. Si los coeficientes del cociente de la siguiente división: x 2 2x ax bx cx 10 4 3 2 + + + + + son números enteros consecutivos, calcular: c a b - + a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
- 18. Capítulo 18 Colegios TRILCE Central: 6198-100 4 11. Calcula"m+n+p", si la siguiente división: 3x 4x 5x 7 6x 17x 7x mx nx p 3 2 5 4 3 2 - + - - + + + + es exacta: a) 22 b) 18 c) 17 d) 25 e) 28 12. Si el residuo de la siguiente división: x 2x 1 5x 4x 13x ax b 1 2 4 3 2 + - + - + + + es –12, calcula el valor de "a – b". a) –3 b) 4 c) 17 d) 21 e) 31 13. Calcula "a+b+c", si la siguiente división: 2x x 1 ax bx cx 17x 5 2 4 3 2 - + + + + - genera (6x – 3) como residuo, y un cociente cuya suma de coeficientes es 4. a) 10 b) 70 c) –1 d) 100 e) –7 14. Si: P(x)=x3 – 2019x2+4035x – 2015, evaluar P(2017). a) 4034 b) –2 c) 0 d) 2017 e) 2 15. Halla la suma de coeficientes del cociente de la división (n ∈ ): – – ( – – ) ( – ) – – x n nx n n x n x nx n 1 3 5 3 8 8 4 2 3 2 2 + + si el resto es 64. a) 50 b) 53 c) 51 d) 52 e) 60 16. Calcula el resto de la siguiente división: x x x 2 4 8 1 40 39 + + + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17. Halla el resto de: x x x x x 1 7 10 70 60 40 20 + + + + + a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 6 18. Calcula el resto de: ( )( )( )( ) x x x x x x 8 11 1 3 5 7 4 2 + + + + + + + a) - 9 b) - 10 c) - 11 d) - 12 e) - 13 19. Calcula "A+B – C", si la siguiente división: 4x 3x 1 Ax Bx Cx 27x 19x 5 3 5 4 3 2 + + + + + + + es exacta. a) 41 b) 21 c) 11 d) 10 e) 40 20. Si se sabe que la división: x 3dx 3ax b x 4dx 6ax 4bx c 3 2 4 3 2 + + + + + + + es exacta, calcula el valor de N=ab – cd; abcd ≠ 0. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 21. Si los coeficientes del cociente entero de la división: 2x 3 8x 18x ax bx c 4 3 2 + + + + + son números consecutivos, y el residuo es –8, calcula el valor de: a+b+c. a) 16 b) 12 c) 23 d) 26 e) 20 22. Halla el residuo en: – ( – ) x x x 2 1 3 2 2 2 2 7 5 3 + + + + a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
- 19. Álgebra 19 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 23. Halla el resto de: – ( – ) ( )– x x x x x x 3 1 3 5 1 15 14 2 3 3 2 + + + + a) 14 b) 8 c) 26 d) 15 e) 13 24. Calcula el residuo de la siguiente división: x(x 2) 2 x 1 7 x 1 3 x 1 3 38 28 18 + + + + + + + + ^ ^ ^ h h h a) x+6 b) 6 c) 0 d) –6 e) x – 6 25. Luego de efectuar: x 4x 3 x ax bx ax b 2 4 3 2 + + + + + + el residuo es: 10x+11. Calcula a×b. a) 6 b) 11 c) 25 d) 35 e) 40 Practica en casa 1. Obten el cociente de la siguiente división: x 2x 1 x 4x 6x 7x 2 2 4 3 2 + + + + - + 2. Calcula el resto de la siguiente división: 2x 3x 5 2x 3x x 9x 15 2 4 2 2 + - + + + - 3. Efectúa: 4 x 2x 5x 9x 8 20x 2 4 3 2 + - - + + dar como respuesta la suma de coeficientes del cociente. 4. Al dividir 3x 1 9x 2 2 4 + + , calcula: 3Q(x) + R(x), donde Q(x) es cociente y R(x) es residuo. 5. Calcula el cociente de la siguiente división: x 1 2x 5x 4x 3x 1 4 3 2 - + - - + 6. Si el polinomio Q(x) es el cociente de la división: 2 x 9x 7x 2x 14 x 2 3 4 - + - - - + calcula: Q(–2) 7. Obtén el cociente de: 5x 1 15x 8x 9x 7x 1 4 3 2 - - - + + 8. De la división, halla el resto: x 1 4x 6x 2x 1 8 4 2 - - + + 9. Calcula el resto de la división: ( ) ( ) – x x x x 2 2 3 3 6 5 4 + + + + 10. El resto de la división: x x 4 x x 3 5 x x 3 1 2 2 10 2 3 + - + - + + - + ^ ^ h h es igual a: 11. De la división, halla el resto: x 1 2x x 1 50 100 50 - - + 12. Calcula "a+b" si la división: 2x x 3 6x 3x 2x ax b 2 4 3 2 + - - - + + deja como resto R(x)=x+2 13. Dado el polinomio: P(x)=x3 – 2018x2+2019x – 4040 evalúe P(2017). 14. Calcula el valor de "a", si la división: – – – – – x a x ax ax a 3 2 3 2 2 deja como residuo: 7a + 2 15. Calcular el resto de: – y y y y y 2 5 2 8 6 4 2 + - + +
- 20. Capítulo 20 Colegios TRILCE Central: 6198-100 4 Túpuedes 1. En la siguiente división: – – x x x x x ax a 1 3 2 2 4 3 2 + + + + , el residuo no es de primer grado. Hallar el valor de "a". a) 12 b) 11 c) 13 d) 16 e) 22 2. Calcula el residuo de la siguiente división: x 4n 1 x 3n 1 x 3n x 3n 1 ... x 4n 2 2 2 2 2 - + - + + - + - - + + - + ^ ^ ^ ^ h h h h a) n(n – 1) b) n(n+1) c) 6 n n 1 2n 1 + + ^ ^ h h d) n2 e) 2 n n 1 2 + ^ h ; E 3. Según este esquema de Horner: 5 20 6a –3b –17c 9d 7 –2 (n–4) n (n+4) 34 3 Encontrar el valor de "a + b + c + d + n". a) ( 121+2) b) ( 2 +1) c) ( 144 – 1) d) 25 3 e) 1 4. Al dividir: P(x) = 6x5 – x4 + (mx)2 + x + 3 – 2n + n2, entre: Q(x) = (x – 2x2 + 3x3), se obtiene un residuo que al permutar sus coeficientes extremos es igual al cociente. Hallar "n ÷ m" e indicar su menor valor. a) 0 b) –1 c) 1 d) 3 2 e) – 3 1 5. Hallar el término lineal del cociente de la división: x 1 nx 1 (n 1)x 2 n 1 n - + - + - ^ h n ∈ ; n ≥ 80 a) (n–2)x b) –2x c) (–n+2)x d) (2n – 2)x e) (2 – 2n)x
- 21. 21 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 5 División algebraica II Problemas para la clase 6. Halla "n" para que la división genere un cociente notable: x y x y 5 3 n n–20 - - a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 7. Desarrollar el cociente notable generado por la siguiente división: x y x y 5 6 25 30 + + a) x20 – x15y6+x10y12 – x5y18+y24 b) x20+y24 c) x20+x15y6+x10y12+x5y18+y24 d) x5+x4y+x3y2+x2y3+xy4+y5 e) x5+y5 8. ¿Cuál de las divisiones propuestas genera el siguiente cociente: x12+x9+x6+x3+1? a) x 1 x 1 3 12 - - b) x 1 x 1 3 15 + + c) x 1 x 1 3 15 + - d) x 1 x 1 3 15 - - e) x 1 x 1 3 12 + + 9. Calcular el cuarto término en el desarrollo del cociente notable generado por: x y x y 20 20 - - a) x3y3 b) x16y3 c) x16y16 d) x16y4 e) x4y4 10. Calcula el tercer término en el desarrollo del cociente notable: x y x y 2 7 14 - - a) x6 b) x5y2 c) x4y4 d) x3y6 e) x2y8 1. Al dividir el polinomio P(x) entre (x+1), el cociente es (x2 – 5x+3) y el resto 7. Calcula el coeficiente del término lineal de P(x). a) 4 b) 2 c) 1 d) –2 e) –4 2. Luego de efectuar la siguiente división exacta: P(x) x 5x 3x 6 3 2 - + + el cociente es (x – 2). Obtener el polinomio P(x). a) P(x) = x2+5x+3 b) P(x) = x2 – 3x – 3 c) P(x) = x2+3x – 3 d) P(x) = x2+3x+5 e) P(x) = x2 – 5x – 3 3. Halla "m" si: P(x)=x3+2x2+x+m es divisible por: x – 2. a) 2 b) 9 c) –9 d) –18 e) 18 4. Calcula el valor de "a", si el polinomio (x3 – 4x2+ax – 8) es divisible por (x2 – 2x + 4) a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 5. ¿Cuántos términos tiene el cociente de la siguiente división: x y x y 5 2 40 16 - - ? a) 5 b) 8 c) 10 d) 16 e) 20
- 22. Capítulo 22 Colegios TRILCE Central: 6198-100 5 11. Indicar Verdadero (V) o Falso (F): A. El polinomio ( x2+x – 20) es divisible por (x – 4) ..................................................( ) B. x y x y 5 5 + + =x4+x3y+x2y2+xy3+y4............( ) C. – – x y x y 3 3 =x2–xy+y2..................................( ) D. El polinomio ( x3 – 3x +2) es divisible por (x+1)......................................................( ) a) FFFV b) VFFV c) FFVV d) VFFF e) VVVF 12. Calcular la suma de coeficientes del polinomio P(x), tal que al dividirlo entre (x3 –2x+1), el cociente es (x2 – 8) y el resto igual a (x+3). a) –1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4 13. Si el polinomio (x3+mx2 – nx – 27) es divisible por (x – 3), calcular el valor de m n m n m n 5n m - + + + - a) 1 b) 2 1 − c) 2 3 d) 2 e) 0 14. Calcular el término central generado por el desarrollo del cociente notable: ( ) –( – ) ( ) – ( – ) x x x x 1 1 1 1 4 4 20 20 + + a) 8(x2 – 1) b) (x + 1)8 c) (x – 1)8 d) (x2 + 1)8 e) (x2 – 1)8 15. Si A(x; y) es el sexto término en el desarrollo del cociente notable generado por: 3x y 3x 2y y 15 15 + + - ^ h calcula el valor de A(–1; 2) a) 1 b) –2 c) 16 d) –32 e) 32 16. Sabiendo que uno de los términos del cociente de la división: x y x y 2 a b - - es x4y10 calcula "a+b". a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 17. Si el término de lugar 4 contado del extremo final en el desarrollo del cociente notable generado por: P(x;y) x y x y 5 2 5n 2n - = - Es de grado 37, calcular el número de términos del desarrollo. a) 10 b) 11 c) 14 d) 15 e) 16 18. Simplifica: m m m ... 1 m m m ... 1 30 28 26 31 30 29 + + + + + + + + a) m b) m+1 c) m+2 d) m – 1 e) m – 2 19. Halla "m+n+p", si el polinomio: (2x5+3x4+7x3+mx2+nx+p) es divisible por (x2+1)(x–1) a) 10 b) 12 c) –12 d) –10 e) 8 20. Al dividir un polinomio P(x) entre (x+3), se obtuvo por residuo (–5) y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a (3). Calcular el residuo de dividir P(x) entre (x – 1). a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 7 21. Si el polinomio: ax7 + bx5 – 1 es divisible por: mx5 + nx4 + px3 – x – 1, calcular el valor de "ab + mn + p". a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
- 23. Álgebra 23 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 22. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el desarrollo del cociente generado por: M(x;y) x y x y 9 4 180 80 = - - a) 9 b) 10 c) 13 d) 15 e) 16 23. Reducir: x x 1 x x 1 x x x ... x 1 x 2 2 22 20 18 2 18 - + + + + + + + + - ^ ^ h h a) x6 – x3+1 b) x12 – x6+1 c) x6+x3+1 d) x10+x5+1 e) x12+x6+1 24. Al dividir por separado un polinomio "P(x)" entre los binomios (x + 1) y (x – 1), se obtuvo como restos 7 y 5 respectivamente. Hallar el residuo de dividir "P(x)" entre (x2 – 1). a) 6 – x b) x + 1 c) x – 1 d) x + 6 e) x – 6 25. Un polinomio "P(x)" de tercer grado es divisible entre (x + 1) y (x + 4), tiene por coeficiente principal 2 y como término independiente 20. Calcular el resto que se obtiene al dividirlo entre (x – 2). a) 180 b) 210 c) 148 d) 162 e) 124 Practica en casa 1. Al dividir el polinomio P(x) entre (x – 1), el cociente es (x2 – 3x+2) y el resto 4. Calcula P(5). 2. La siguiente división exacta: P(x) x 2x 5x 6 3 2 - - + da por cociente (x – 3) Obtener el polinomio P(x). 3. Calcula "m", si el polinomio: P(x) = x3 – 2x2+5x – m es divisible por (x – 1). 4. Si el polinomio: x3 – 5x2 + mx – 4 es divisible por (x2 – x+1) calcular el valor de "m". 5. ¿Cuántos términos tiene el cociente de la siguiente división: x y x y 5 8 30 48 - - ? 6. Halla el valor de "a" si la división – – x y x y5 8 a a 2 9 – genera un C.N. 7. Desarrollar el cociente notable generado por: x 1 x 1 3 12 - - 8. Obtener la división que genera el siguiente cociente: x10+x8+x6+x4+x2+1 9. El sexto término en el desarrollo del cociente notable: – – x y x y 9 9 es: 10. Calcular el cuarto término en el desarrollo del cociente notable: x y x y 10 5 100 50 - - 11. Calcular el segundo término al desarrollar: – – x x 3 81 3 12
- 24. Capítulo 24 Colegios TRILCE Central: 6198-100 12. Completa: A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x – 4), entonces P(4) = ................... B. En el cociente notable: x y x y 2 3 20 30 - - , el número de términos es ................ C. Desarrollar: x y x y 4 4 - - =................................ D. Si P(x)=x2 – mx+6 es divisible por (x – 2), entonces m= .......................... 13. Determina "a + b" de manera que el polinomio: P(x) = x3 + ax + b sea divisible por: (x – 1)2. 14. Si el polinomio: ax5+bx4+1, es divisible por: x2 – 2x + 1, calcula el valor de "ab". 15. Al dividir por separado un polinomio "P(x)" entre los binomios (x + 2) y (x – 2), se obtiene como restos 5 y 13 respectivamente. Calcula el residuo de dividir "P(x)" entre (x2 – 4). Tú puedes 1. Calcula "M+N" si: M = ... – –...– – 9 9 9 9 9 1 9 9 9 9 9 1 9 8 7 2 9 8 7 2 + + + + + + + + ; N = ... ... 2 2 2 1 2 2 2 1 32 28 24 34 32 30 + + + + + + + + a) 3,2 b) 5,8 c) 7,6 d) 9,8 e) 18 2. Un polinomio P(x) de cuarto grado, al ser dividido separadamente por (x2+x+1) y (x2 – x+2), genera el mismo residuo (3x – 5); pero al dividirlo por (x+1), el residuo es 12. Calcule P(0). a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 3. Si se sabe que: ". . . + x6y6 + xayb + x2y12 + . . ." son tres términos consecutivos de un C.N., halla el valor de "a + b". a) 13 b) 15 c) 12 d) 14 e) 10 4. El polinomio (x – 2)51+(x – 1)40+7 no es divisible entre x2 – 3x+2. Calcular el residuo. a) 2x + 1 b) 2x – 1 c) 2x – 4 d) 2x+4 e) 2x 5. Si se divide "P(x)" entre (x+2)4, el residuo es: (x3 – 12x+17). Calcula el residuo de dividir "P(x)" entre (x+2)2. a) 4x+4 b) 4x – 4 c) –16x+13 d) –16x – 13 e) 33 5
- 25. 25 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 6 Factorización I Problemas para la clase 7. Luego de factorizar las siguientes expresiones: P(x) = 8x3+1 Q(x) = x3 – 125 Dar como respuesta la suma de sus factores primos cuadráticos. a) 5x2 – 3x+26 b) 8x2 +4x+1 c) 5x2+3x+26 d) x2+3x+26 e) x2+x+26 8. Factoriza: P(x; y) = 3x2 + 20xy + 12y2 e indicar la suma de factores primos. a) 4x – 8y b) 4x + 8y c) 2x – 4y d) 2x + 4y e) 3x2 + 12y2 9. Indique el número de factores primos del polinomio: P(x) = x4 – 7x2 – 18 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10 10. Relaciona los polinomios con sus respectivas representaciones factorizadas: I. P(x; y) = xy – 7x+9y – 63 II . P(x; y) = 81x2 – 49y2 III. P(x; y) = 64x3+125y3 IV. P(x; y) = x2 – 2xy – 63y2 A. (9x – 7y)2 B. (4x – 5y)(16x2 – 20xy++25y2) C. (x+9)(y – 7) D. (9x+7y)(9x – 7y) E. (4x+5y)(16x2 – 20xy+25y2) F. (x – 9y)(x+7y) a) IF - IIA - IIIE - IVC b) IC - IIA - IIIB - IVD c) IF - IID - IIIE - IVC d) IC - IID - IIIE - IVF e) IF - IIA - IIIE - IVD 1. Sea: M(x) = 3x2(2x + 1)4 (x – 2)5 Indicarverdadero(V) ofalso(F)segúncorresponda: A. El número de factores primos es 2 ..... ( ) B. La suma de los factores primos es: 4x......( ) C. El factor primo de mayor multiplicidad es (x – 2) .................................................( ) D. Un factor primo es: 3x2..........................( ) a) VFFV b) VVFF c) FFFV d) FVVV e) FFVF 2. Factoriza: P(x; y)=2x2y + 3xy2 + xy Indicar el número de factores primos. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3. Factoriza: P(x) = x2(x+3) – 5x – 15 Indicar el factor primo de mayor grado. a) x2 – 3 b) x2+5 c) x2 – 5 d) x2+3 e) x2+15 4. Luego de factorizar: P(x; y) = 8xy – bx + 8ay – ab indica un factor primo. a) 8y+b b) 8x – b c) x+y d) x+a e) x – a 5. Factorizar: P(x) = 400x2 – 9 Dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo. a) 9 b) 11 c) 14 d) 17 e) 20 6. Factoriza: P(x; y) = x2 – y2+6x+9 Indica un factor primo. a) x+y+3 b) x – y – 3 c) x+y d) x+y – 3 e) x+y+6
- 26. Capítulo 26 Colegios TRILCE Central: 6198-100 6 11. Indicaverdadero (V) o falso (F) luego de factorizar: A(x) = 6x3 +5x2 – 4x A. Tiene tres factores primos......................( ) B. Tiene dos factores primos mónicos........( ) C. La suma de sus factores primos es: 6x – 1 ................................................( ) D. Tiene un factor primo cuadrático..........( ) a) VFFF b) VFFV c) VFVF d) VVFF e) FVVV 12. ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene el siguiente polinomio P(x;y) = x5y + ax4y + x3y + ax2y? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 13. Factoriza: P(x;y) = (x – y)3 – (x – y)2 – 2(x – y) indicando un factor primo. a) x – y + 3 b) x – y + 2 c) x – y + 1 d) x – y – 8 e) x 14. Factoriza: P(x; y) = x9y - x3y7 Indica un factor primo. a) x2 + xy + y2 b) x2 – xy – y2 c) x2 + y2 d) x2 + y e) x2 – y 15. Calcula la suma de los coeficientes de un factor primo de: P(m; n; p) = (2m+3n–p)2–14m–21n+7p–18 a) 2 b) –3 c) –4 d) 5 e) 6 16. Factoriza: P(x;y) = 4(x + 3y)2 – 9(2x – y)2 indicando un factor primo. a) 8x + 3y b) 8x – 3y c) 8x + 6y d) 8x – y e) 4x – y 17. Factoriza: A(n)=(n+3) (n+2) (n+1)+(n+2) (n+1)+ (n+1) indicando el factor primo que más se repite. a) n + 4 b) n + 1 c) n + 2 d) n + 3 e) n + 8 18. Factoriza: P(x;y) = 36x4 - 109x2y2 + 25y4 indicando el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 19. Un factor primo de la expresión: P(x) = x6 – x2 – 8x – 16 es: a) x3 – 4 b) x3 – 2x+4 c) x2+2x – 4 d) x3 – x – 4 e) x3 – x+4 20. Factoriza: P(x; y; z) = x4z+4x2y2 – 4x2y2z+4y4z–x4 – 4y4 Indicar la suma de coeficientes de un factor primo. a) –3 b) 1 c) –1 d) 2 e) –2 21. Factoriza: P(x) = (x2+x+1)(x2 – x+1)+7x2 – 385 indicando la suma de factores primos lineales. a) 24 b) –16 c) 2x d) 0 e) –8 22. Factoriza: P(x; y) = (x2 – y2+1)2+10(x2 – y2)+19 Indicando el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 23. Factoriza: P(x) = (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) – 10 Indicando un factor primo. a) x2 – 6x+10 b) x2+6x – 10 c) x2 – 6x – 10 d) x2+6x+3 e) x2+6x – 3
- 27. Álgebra 27 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 24. Factoriza: P(x; y; z) = (x3 + y3 + z3)3 – x9 – y9 – z9 indicando el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 8 25. Factorizar: P(a; b; c)=abc(ab+bc+c)+ac(a+ab+c)+b(a3+c3) Indicar la suma de dos factores primos. a) 2a+ac+b b) 2b+c+ac c) a+b+c d) ab+c e) 2c+a+ab Practica en casa 1. Factoriza el polinomio: P(x) = x3+5x2+17x 2. Factoriza el polinomio: P(x) = x2(x – 2)+3x – 6 3. Factoriza: P(x; y) = x2 – xy+3x – 3y 4. Factoriza: P(x; y) = 36x2 – 25y2 De como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo. 5. Factoriza: M(a; b) = a2 – 4 + 2ab + b2 Indica un factor primo. 6. Factoriza: P(x; y) = x3+27y3 7. Luego de factorizar: P(x; y) = 5x2+17xy+6y4 calcula la suma de los factores primos. 8. ¿Cuántos factores primos tiene el polinomio: P(x) = x4 – 17x2+16? 9. Indica verdadero (V) o falso (F) luego de factorizar: A(x) = 9x3 +7x2 – 2x A. Tiene dos factores primos...................... ( ) B. Tiene dos factores primos mónicos........ ( ) C. La suma de sus factores primos es: 11x–1.... ( ) D. Tiene un factor primo cuadrático.......... ( ) 10. Factoriza: P(x; y; z)=x2+xy+zx+zy+x+y Indicar un factor primo. 11. Factoriza: P(x) = (x+5)2 – 16 12. De la suma de los términos independientes de los factores primos de: P(x;y) = x2 + 2x + xy + y + 1 13. Factoriza: P(x) = (x+4)(x+2)(x+1)+(x+4)(x+1)–2 (x+1) indicando la suma de factores primos. 14. Factoriza: P(x;y) = 100x4 – 29x2y2 + y4 indicando el número de factores primos. 15. Factoriza: P(x) = x2(x+2)2 + x2+2x – 12
- 28. Capítulo 28 Colegios TRILCE Central: 6198-100 6 Túpuedes 1. Al factorizar: xn + 4 – xn + 2+x4 + x3 – x2 + x+2, uno de sus factores primos tiene: a) 3 términos b) 4 términos c) 5 términos d) 6 términos e) 7 términos 2. Uno de los factores primos de: x2x + xx – 12, para: x=3, se convierte en: a) 23 b) 25 c) 30 d) 31 e) 33 3. Factoriza: P(x;y) = x6 + 2x5y – 3x4y2 + 4x2y4 – y6 ; indicando un factor primo. a) x3 – xy+y2 b) x3 – x2y+y2 c) x2 – xy+y3 d) x3 – x2y+y3 e) x2 – xy2+y3 4. Factoriza: F(a;b) = (a + b)7 + c3(a + b)4 – c4(a + b)3 – c7, indicando un factor primo. a) a+b+c b) ab+bc+ac c) a2+ab+b2 d) a – b e) a2+b2+ c2 5. Factoriza: P(x) = (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)2 – x6, indicando un factor primo. a) x+2 b) x+3 c) x4+1 d) x+7 e) x+8
- 29. 29 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 7 Factorización II Problemas para la clase 6. Factoriza: P(x) = x4+5x2+9x2+11x+6 Indica el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Factoriza: P(x)=x4+3x3 – x2+7x+2 calcula el valor numérico de un factor primo para x=3. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 20 8. Factoriza: P(x) = x3 – 3x2+7x – 5 indica un factor primo. a) x+1 b) x – 5 c) x2 – 2x+5 d) x+5 e) x2+2x+5 9. Uno de los factores primos del polinomio: P(x) = x3 – x2 – 2x – 12 es: a) x+3 b) x2 – 2x+4 c) x – 3 d) x2+2x+2 e) x+2 10. Factoriza: P(x) = x3 – 5x2 – 2x + 24 indica la suma de los términos independientes de los factores primos. a) –7 b) –5 c) –3 d) 4 e) 6 11. Factoriza: P(x;y)=6x2+7xy–3y2+11x-11y–10, indicando la suma de sus factores primos. a) 5x+2y+3 b) 5x+y–3 c) 5x+2y–3 d) x+y+1 e) x+2y+3 1. Indica Verdadero (V) o Falso (F): A. El polinomio: P(x)=x3+3x2+x–2 se factori- za por divisores binómicos......................( ) B. El polinomio: P(x)=x4+x2+2 es mónico...( ) C. El polinomio: P(x) = x3 – 6x2 +11 x – 6 tiene como un posible cero a: x=2..................( ) D. El polinomio: P(x)=x4+6x3+7x2+6x+1 se factoriza por aspa doble..........................( ) a) VVFV b) VVVF c) VFVF d) FVVV e) FFFF 2. Factoriza: P(x; y) = x2+3xy+2y2 – x+y – 6 Indicar un factor primo. a) x+y+4 b) x+y+2 c) x+y – 2 d) x – y+18 e) x+2y+14 3. Factoriza: P(x; y) = x2+4y2 – 2x – 5xy+11y – 3 Indica la suma de coeficientes de un factor primo. a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 4. Factoriza: P(x;y)=15x2+11xy+2y2+16x+6y+4 Indica un factor primo. a) 3x+y b) 3x+y+2 c) 5x+2y d) 5x–2y+2 e) 5x + 2 5. Factoriza: P(x) = x4+5x3+6x2+5x+1 Indica el término lineal de un factor primo. a) –5x b) 4x c) 2x d) –x e) 3x
- 30. Capítulo 30 Colegios TRILCE Central: 6198-100 7 12. Factoriza: P(x; y; z)=6x2 – 3y2 – 2z2 – 7xy – xz+7yz uno de los factores primos es: a) 3x – y+z b) 2x+3y – z c) 3x+y – 2z d) x+y – z e) 2x+y+z 13. Indica un factor primo de: P(x)=x3(x+1)+2x2+5(x–3) a) x2 – 5 b) x2 + 5 c) x2 – x – 3 d) x2 – 3 e) x2 + 3 14. Factoriza: P(x) = x4 + 5x3 – 7x2 - 29x + 30 indica la suma de todos los factores primos. a) 4x + 3 b) 4x + 4 c) 4x + 5 d) 4x + 6 e) 4x + 7 15. Indica un factor primo de: P(x) = x4 + 4x2 + 16 a) x2 + 2x + 4 b) x2 + 2x c) x2 – 2x d) x2 – 2x + 3 e) x2 + 6x – 1 16. Indica Verdadero (V) o Falso(F) al factorizar: P(x) = x3 + 2x2 – 13x + 10 A. El polinomio tiene dos factores primos.... ( ) B. El polinomio tiene tres factores primos.... ( ) C. La suma de sus factores primos es: 3x+2....( ) D. Uno de los factores primos es: x – 2........ ( ) a) VVVF b) FVVV c) VVFF d) FVVF e) FVFF 17. Factoriza: H(x) = x3 – 7x + 6 Indica un factor primo. a) x – 3 b) x + 2 c) x – 1 d) x + 1 e) x 18. Factoriza: P(x) = 6x3 – 23x2 – 6x+8 indica un factor primo. a) 3x – 1 b) 2x + 1 c) 2x+3 d) 3x+2 e) 4x+1 19. Factoriza: P(x;y;z)=x2+y2 – 4z2+2xy+3xz+3yz indica un factor primo. a) x+y+z b) x+y – 4z c) x+y+4z d) x+y+2z e) x+y – 2z 20. Factoriza: P(x; y) = 28x2 – 69xy – 22y2 – 36x – 71y – 40 indicando la suma de sus factores primos. a) 11x+9y+3 b) 11x – 9y – 3 c) 11x – 9y+3 d) 11x+9y – 3 e) 11x+9y+5 21. Factoriza: P(x) = (x2+x – 1)2+(2x+1)2 calcula la suma de coeficientes de un factor primo. a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 6 22. Luego de factorizar: P(x)=x12 –x9 – 6x6+4x3+8 indica el factor primo cuadrático. a) x2+1 b) x2+x+1 c) x2 – x+1 d) x2+x+2 e) x2 – x+2 23. Luego de factorizar: P(x) = x3+2x2 – 5x – 6 se obtiene P(x)=(x – a)(x+b)(x+c) calcula a×b+c, si b a c. a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4
- 31. Álgebra 31 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 24. Calcula el valor numérico de un factor primo de: P(x)=x5+3x4 – 17x3 –27x2+52x+60 Para x=7. a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 10 25. Factoriza: P(x)=x6+7x5+17x4+13x3–10x2–20x – 8 Indica el factor primo de mayor multiplicidad. a) x – 1 b) x+1 c) x – 2 d) x+2 e) x+4 Practica en casa 1. Factoriza: P(x;y)=x2+5xy+4y2+2x+5y+1 2. Factoriza: P(x;y) = 5x2+8xy+3y2+2x – 3 3. Factoriza: P(x;y) = 3x2+4xy+y2+4x+2y+1 4. Factoriza: P(x;y) = 10x2+11xy – 6y2 – x – 11y – 3 de como respuesta la suma de los factores primos. 5. Factoriza: P(x) = x4 – 2x3 – 10x2+5x+12 ¿Cuántos factores primos tiene? 6. Factoriza: P(x)=x4+7x3+14x2+7x+1 7. Luego de factoriza: P(x)=x4 – 4x3+11x2 – 14x+10 indica el factor primo de mayor término independiente. 8. Factoriza: P(x)=x3 – 3x+2 9. Factoriza: P(x)=x3+2x2 – 5x – 6 calcula la suma de sus factores primos. 10. Factoriza: P(x)=2x3 – 5x2 – 23x – 10 de como respuesta la suma de sus factores primos mónicos. 11. Factoriza: P(x) = x3+5x+6 12. Factoriza: P(x;y;z)=6x2 – 20y2 – 14z2+7xy+38yz – 17xz 13. Factoriza: P(x)=x4+3x3+7x2+7x+6 14. Factoriza: P(x)=x4+2x2+9 Calcula el valor numérico de un factor primo para x=3. 15. Factoriza: P(x)=x3+6x2+11x+6 de como respuesta la suma de sus factores primos.
- 32. Capítulo 32 Colegios TRILCE Central: 6198-100 7 Túpuedes 1. Al factorizar: P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 – x2 – 8x – 4 , indique V o F I. El polinomio tiene cinco factores primos. II. El polinomio tiene tres factores primos. III. La suma de sus factores primos es: 3x+2 IV. Uno de los factores primos es: (x + 2)2. a) FVFF b) VVVV c) FVVV d) FVVF e) VVVF 2. Factoriza: P(x;y) = 24x3y2+60x2y2 – 6xy4 + 6xy3 + 36xy2 a) 6xy2 (x + y + 1)(2x – y + 3) b) 6xy2 (x + y + 2)(2x – y + 3) c) 6xy2 (2x + y + 2)(x – y + 3) d) 6xy2 (2x + y – 2)(2x – y – 3) e) 6xy2 (2x + y + 2)(2x – y + 3) 3. Factoriza: P(x) = x5 + x + 1 a) (x2 + x + 1) (x3 – x2 + 1) b) (x2 + x + 1) (x3 + x2 + 1) c) (x2 – x – 1) (x3 – x2 + 1) d) (x2 – x – 1) (x3 + x2 + 1) e) (x2 + x + 1) (x3 + x2 – 1) 4. Factoriza: P(x) = x12 – 3x9 – 7x6 + 27x3 – 18 a) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3 – 5)(x3 – 3) b) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3+3)(x3 – 3) c) (x+1)(x2 – x+1)(x3 – 2)(x3+3)(x3 – 3) d) (x – 1)(x2+x+1)(x3+2)(x3+3)(x3 – 3) e) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3+4)(x3 – 3) 5. Indica un factor primo de: P(x) = x5 – x4 + 2x2 – 2x + 1 a) x2 + x + 1 b) x3 + x + 1 c) x2 + x – 1 d) x3 – x+1 e) x2+1
- 33. 33 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 8 Fracciones algebraicas Problemas para la clase 6. Luego de efectuar: x 2 x x 2 3 - + + ; x ≠ –2 ∧ x ≠ 2 calcula la diferencia entre el numerador y denominador de la fracción resultante. a) x2 b) x+4 c) x2 – 4 d) 5x – 2 e) 5x+2 7. Efectúe: x 4 x x 2x 4 2 - - ; ; E E a) x 2 x + b) x 2 2 - c) x 2 x - d) x 2 2 + e) x 4 x - 8. Efectúe: x 3 6x x 2 3x 9 2x 1 2 + + - + - ' a) 2x+3 b) 3x – 1 c) 6x+9 d) 9x+6 e) 9x – 3 9. Si la fracción: x y x my 4 3 2 + + es independiente de x e y, halle m. a) 6 b) 6 1 c) 2 3 d) 4 e) 1 10. Si se cumple: x 1 A 2x 3 2x 2x 17x 3 2 - + = - - calcula el valor de A. a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7 11. Reducir: – – x x x x x x x 25 2 10 6 5 16 15 2 2 2 2 + + + + + a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 1. La siguiente fracción: F(x) x 3 x 1 = - + no está definida para: a) x=1 b) x=3 c) x=–1 d) x=–3 e) x=0 2. La fracción algebraica: F(x) x 5x 6 3 2 = − − está definida para x ≠ a ∧ x ≠ b Calcula a2+b2. a) 25 b) 37 c) 36 d) 1 e) 30 3. Simplifica la fracción: F(x) x 3x 10 x 5 2 = - - - ; x ≠ –2 ∧ x ≠ 5 De como respuesta la suma del numerador y denominador de la fracción obtenida. a) x – 1 b) x+3 c) x+4 d) x+2 e) x – 3 4. Reduzca: 1 1 x 1 1 1 + − a) x+1 b) x c) x – 1 d) 1 e) –x 5. Efectúe: x 4 3x x 4 6 2 2 - - - ; x ≠ –2 ∧ x ≠ 2 a) x+2 b) 4 c) x 2 3 - d) x 2 3 + e) x – 2
- 34. Capítulo 34 Colegios TRILCE Central: 6198-100 8 12. Simplifica: –– x y x x y x x y xy 2 1 2 2 2 + + + ; E a) x y 2 + b) x y 1 + c) – x y x d) 1 e) x y x + 13. Reduzca: x x x x x x 1 1 1 1 1 1 – – 3 2 + - + + + a) x2 + 1 b) x2 + 2 c) x2 + 3 d) x2 + 4 e) x2 + 5 14. Efectúe: x 1 4x x x 1 x 1 x x x 1 2 2 3 - + + + + - $ $ a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 8 15. Obtén el producto resultante: ... x x x x n 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 + + + + + + + ` c c c j m m m a) n x n + b) x x n 1 + + c) – n x n d) – x x n 1 + e) x n x 1 + + 16. Simplifica: 1 1 x 1 1 x 1 2 1 x 1 1 x 1 - + - - - + ' a) x b) x+2 c) x – 2 d) x+3 e) x – 3 17. Si la fracción: F(x;y) 8x 4y 7 a 2 x 2a 3b 1 y 3b = - + - + + - + ^ ^ h h tiene un valor constante para todos los valores de x e y, entonces este valor constante es: a) 3 1 − b) 5 1 − c) 7 1 − d) 27 1 − e) 9 1 − 18. Si: – – – x x x x A x B 20 3 3 5 4 2 + = + + Halla: (A × B)A+B a) 8 b) 4 c) – 6 d) 12 e) 9 19. Calcula el verdadero valor que toma la fracción: F(x) x x 2 x 6 x x 1 x 4 = - + + + - - Para x = 2 a) 0 b) 5 2 c) 5 16 d) 5 4 e) 9 8 20. Simplifica: – – a a b a b a b b b a b b a a b a 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + a) 1 b) – a a b c) – a b a b + d) a b b + e) b a 2 2 21. Reduzca: 3 1 3x 1 x 1 3x 13 13x 4 1 3x 1 x 1 3x 3 3x 4 2 2 - + + - + + - + + - + - c c c c m m m m a) 0 b) 1 c) x+1 d) x e) x+2 22. Si la fracción: – – – x x x x 2 1 3 2 4 2 2 + es equivalente a: α + – x x 2 1 1 β θ + + Halle: ( ) 15 3 α θ β + + a) – 5 1 b) 5 1 c) 5 3 d) 15 1 e) 3 1 23. Efectúe: a b 2c c a b 4c c b c 2a a b c 4a a c a 2b b c a 4b b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + - + + - + + + - + + - + + + - + + - ^ ^ ^ ^ ^ ^ h h h h h h a) 8 b) 4 c) 5 d) 7 e) 16
- 35. Álgebra 35 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 24. Simplifica: 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 4 3 2 5 - + + - - - - - - a) x–1 b) x–2 c) x–3 d) x–4 e) x–5 25. Sabiendo que: a2+b2+c2=3 ab+ac+bc=0 Calcula: ( – – ) –( ) ( – – ) –( ) ( – – ) –( ) a a b c a bc b b a c b ac c c a b c ab 4 2 4 2 4 2 + + a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Practica en casa 1. La fracción algebraica: F(x) x 4 x 2 = - - no está definida para x = _______ 2. La siguiente fracción: F(x) x 6x 8 5 2 = - + está definida para x ≠ a ∧ x ≠ b calcula a2+b2. 3. Simplifica la fracción: F(x) x 4x x 4 2 = - - ; x ≠ 0 ∧ x ≠ 4 4. Reduzca: 1 x 2 2 1 - + 5. Efectúe: x 1 x x 1 1 2 2 - + - ; x ≠ –1 ∧ x ≠ 1 6. Efectúe: x 3 5 x 1 3 - - + 7. Efectúe: x 9 x 1 x 1 x 3 2 - - + − H F 8. Efectúe: x 5 x 5x 4 x 5 x 1 2 + - + + - ' 9. Si la fracción: F(x; y) = – – x y mx y 4 6 12 es independiente de x e y, calcula m. 10. Si se cumple: x 1 A x 5 x x 11x 5 2 + + = + + halla el valor de A 11. Relaciona correctamente: – – x x x 2 4 4 2 + A 4 – – x x x x x x 7 2 5 2 + + + B x – 6 – x x 6 36 2 + C 2 – – y x y y x y + D x – 2 12. Reduzca: – – – – – – a a a a a a a a 2 5 6 3 4 20 2 2 2 2 + + + 13. Efectúe: – – – x x x x x x 1 1 2 1 2 2 3 2 + + 14. Si: x x x x A x B 3 2 3 4 1 2 2 + + = + + + + Halla: A.B 15. Si: M = ( ) ( – ) a b a b 1 1 1 2 2 1 – – – – – – + ; N = ( – ) ( – ) a b a b 2 2 1 1 1 1 – – – – – – Halla M.N.
- 36. Capítulo 36 Colegios TRILCE Central: 6198-100 8 Túpuedes 1. Si: x3 = 1, x ≠ 1 , reduzca: M = x x 1 5 4 + - c m 3 a) 1 b) - 1 c) 2 d) - 2 e) 2 3 2. Si: (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 , calcula: K = ( ) ( ) ( ) ( ) xy xz yz xyz x y z 2 2 2 + + - + + a) 2 b) 3 c) 2-1 d) 2-2 e) 9 3. Reduzca: ( ) ( ) . ( ) ( ) z x x y z z y x z 7 7 2 2 3 2 2 - - - - - - = = G G 2 -1 a) (y - z)4 (x - z)2 b) 7x (y - z)-4(x - z)-2 c) x(y - z)-4 (x - z)-2 d) 7x4 (y - z)-4 (x - z)-2 e) 7x4 (y - z) (x - z) 4. Si: b a c b a c 2 7 + + = y a b b c c a 2 5 + + = , halla: b a c b a c 1 1 1 + + + ` c ` j m j a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 5. Si: am = bn = cp, calcula: E = ( )( ) ( )( ) abc m n p mn mp np mnp a b c ab ac bc + + + + + + + + a) 1 b) 2 c) am d) abc e) mnp
- 37. 37 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 9 Repaso I Problemas para la clase 7. Obtén el quinto término en el desarrollo del cociente notable generado por: x y x y 4 5 28 35 - - a) x8y10 b) x4y20 c) x4y15 d) x8y20 e) x8y5 8. Halla el número de factores primos del polinomio: P(x;y) = 13x10y5 – 26x7y8 + 39x11y9 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9. Factoriza: P(x;y) = 4x2 + 12xy + 5y2 + 12x + 18y + 9 indicar un factor primo. a) 2x+y b) 2x+5y+3 c) x+y+3 d) 2x+2y+3 e) 2x+5y 10. Relacionar correctamente: I. x 3 x 6x 9 2 - - + A. 5 II. x x 2 x 3x 5 x x 7 + + + + - B. x – 3 III. x 10 x 100 2 + - C. 2 IV. m x m m x m + - - D. x – 10 a) IB - IID - IIIA _ IVC b) IB - IIC - IIID - IVA c) IA - IIB - IIIC - IVD d) ID - IIA - IIIC - IVB e) IB - IIA - IIID - IVC 11. Simplificar: 22 2 2 2 2 2 1 - 8 B a) 1 b) 2 c) 2 d) 4 e) 2 2 1. Simplifique: S= ( ) ( ) ( ) x y x y y 2 2 3 2 3 2 3 ; x ≠ 0, y ≠ 0 a) y x b) x y c) y x 2 d) y x2 e) x.y 2. Calcula el valor de x que verifica la igualdad: 16x+3 = 32x – 4 a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64 3. Calcula a + b + c , si el polinomio: P(x;y)=xa+3y2+5xb–5y+bx8yc+4+x10y9 es homogéneo. a) 44 b) 43 c) 42 d) 41 e) 40 4. Simplifica: – – 5 2 5 2 5 2 5 2 + + + a) 3 7 b) 2 7 c) 6 7 d) 3 14 e) 5 14 5. Reduzca: (x+2)2 – (x+5)2 +(x+4)2 – (x+1)2 a) 0 b) 1 c) –3 d) –6 e) 6x 6. Divide: – x x x x x x 2 1 4 6 7 2 2 4 3 2 + + + + + Indica el resto. a) 1 – 10x b) 1 + 11x c) 1 – 11x d) 10x – 2 e) 4x – 1
- 38. Capítulo 38 Colegios TRILCE Central: 6198-100 9 12. El siguiente polinomio: P(x)=5x3a–9+10xa+b–3+20(x2)4b–c+a es ordenado de forma creciente y completo. Calcula: ab + bc + ac. a) 15 b) 20 c) 22 d) 27 e) 2 13. Simplifica: R=(a+b+c+d)2–(a+b+c)(a+b+d)–(b+c+d)(a+c+d) a) ab b) ac + cd c) cd + ab d) -cd – ab e) 0 14. El residuo de la siguiente división: ( ) – –( ) ( ) x x x x a x b 1 4 6 2 3 2 4 3 2 + + + + + es: – (27x+11); indica a + b. a) - 3 b) 0 c) 3 d) 4 e) 5 15. Si el trinomio racional: (x5 – ax+b) es divisible por (x2 – 2x+1), calcula el valor de a2+b2 (ab ≠ 0). a) 25 b) 30 c) 36 d) 41 e) 47 16. Factoriza: F(x;y)=x2(x – y)2 – 14xy2(x – y)+24y4 de un factor primo. a) x + 2y b) x – 3y c) x – 4y d) x – y e) x + 8y 17. Luego de factorizar: P(x) = x5+4x4 – 10x2 – x+6 Indica el factor primo de mayor multiplicidad. a) x+1 b) x – 1 c) x+2 d) x – 2 e) x+3 18. Simplifica: E(a;b)= – – – – a b a b a b a a ab b ab 2 1 1 2 3 3 3 3 2 2 + + + c c m m a) 2 1 b) 1 c) b a d) a b e) 0 19. Hallar n en: x x x x 1 x 3 4 5 n 3 4 5 = a) 10 b) –17 c) 24 d) –33 e) 46 20. Encontrar el polinomio cuadrático P(x) que verifica: P x 2 1 P x 2 1 6x 8x 5 2 + + - + + / e e o o para luego indica la suma de sus coeficientes. a) 1 b) 8 c) 2 d) 9 e) 13 21. Halla el valor de: a b a a b b a b a a b b 4 a b a a b b 2 2 2 2 2 2 2 2 + + - + + - - - + - - c c ^ ^ m m h h = G H para a 2 3 ; b 2 3 = + = - a) 4 3 b) 3 4 c) 3 16 d) 16 3 e) 2 22. Calcula a . b–1, si luego de efectuar x a b a b x a b x a b x ; b 0 n 2 n 1 3 n 2 - + - + - + - ! - - ^ ^ ^ h h h se obtiene como residuo 3bn+1. a) 2 1 b) 3 c) 3 1 d) 4 e) 2 23. Factoriza: P(x)=(x+1)4+(x+2)3+(x+3)2 – 7(x+2)+2 Indica la suma de coeficientes de un factor primo. a) 1 b) 3 c) 6 d) 10 e) 5
- 39. Álgebra 39 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 24. Factoriza: F(x; y; z)=(x+y)(x+z)(y+z) – x3 – y3 – z3+4xyz Indica un factor primo. a) x+2y+2z b) x+y+z c) xy+xz+yz d) x2+y2+z2 e) x+y – z 25. Reducir: S = ( – )( – ) ( – )( – ) ( – )( – ) a b a c b a b c c a c b 1 1 1 + + ; a ≠ b ≠ c a) 0 b) 1 c) 2abc d) abc e) –a–b–c Practica en casa 1. Simplifica: x .y x y .y ; xy 0 3 3 4 4 3 10 ! ` ` j j 2. Calcula el valor de x, que verifica la igualdad: 125x – 3 = 25x+2 3. A partir del polinomio: P(x) = 2x+7 Calcula: P(5x) – 5P(x) 4. Reducir: S= – – y x x y y x x y 2 3 3 2 2 3 3 2 + c c m m 2 2 5. Multiplicar: 4 2 2 . 4 8 3 3 + - 6. Calcular el residuo de la siguiente división: 3x x 3 3x 10x 9x 11x 4 2 4 3 2 + + + + + - 7. Calcular n, si la división: – – x y x y n n n n 2 3 5 6 1 + ; genera un cociente notable. 8. Factorizar: P(x) = (x2+5x)(x – 1)+6(x – 1) 9. Factoriza: F(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6 10. Efectúe: x 1 x 3x 2 x 6 x 3x 18 2 2 + + + + - - - 11. Si el polinomio P(x) es completo y ordenado: P(x)=3xp–n–5–4xn–m+3+7xm–6+x2+(m+p)0 Calcula (m + n + p). 12. Efectúe: 2 3 5 2 3 5 2 6 + + + - - _ _ i i 13. Halla el resto de la división: – ( – ) ( – ) – ( – )– x x x x x x x x 9 5 9 6 9 4 2 9 14 6 6 2012 6 2011 6 + + + + 14 Dé un factor primo de: P(x) = (x–3)(x–2)(x–1)+(x–1)(x–2)–(x–1) 15. Completa luego de reducir: A. 1 x 1 1 - = B. x 5 x 7x 10 2 + + + = C. x 4 x 5x 4 x 3 x x 6 2 2 + + + + - - - = D. x 5 x 25 x 6 x 36 2 2 - - + - = c e m o
- 40. Capítulo 40 Colegios TRILCE Central: 6198-100 Túpuedes 9 1. Calcula el exponente final de z en: z z z z ... 3 5 7 10 10 10 10 a) 100 9 b) 81 11 c) 81 10 d) 91 14 e) 9 1 2. Uno de los factores primos de: P(x;y;z)=zx4 + 4x2y2 – 4x2y2z +4y4z- x4 - 4y4, es: a) 1 + z b) 2 – z c) z – 1 d) x – 2y e) x + 2y 3. Si: H= ( – )( )( – )( ) x x x x 5 6 1 2 196 + + + halla: , H 16 25 + a) 2x + 1 b) x 2 1 + c) x + 2 d) x 2 2 1 + e) 2x – 1 4. Dado el polinomio homogéneo: P(x;y) = xa+yb+c+xbyc+xcyb+xdye+xeyd; si la suma de todos los exponentes del polinomio propuesto es 42, halla: E = a + b + c + d + e a) 7 b) 14 c) 21 d) 28 e) 35 5. Dado el polinomio: P(x) x 3 2 2 x 2 2 1 5 3 = + - + + ^ h Calcula el valor de P 2 1 - ^ h. a) 2 b) 1 c) 2 d) 2 –1 e) 4
- 41. 41 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 10 Radicación algebraica Problemas para la clase 8. Al reducir: 3 9 4 se obtiene 3a 2 4 + . Calcula el valor de a. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9. Efectúa: – – 8 6 1 6 2 1 2 2 1 2 1 + + + + a) 2 b) -2 c) 1 d) -1 e) 0 10. Calcula el verdadero valor de: x 4 x 2 - - para x = 4 a) 1/2 b) 1/4 c) 1 d) 2 e) 4 11. Efectúa: 3 2 . 3 3 3 1 1 1 3 1 − − − − R T S S S S S V X W W W W W a) 2 1 2 3 - - b) 2 1 2 3 - + c) 2 1 2 3 - d) 2 1 2 3 + e) 3 1 + 12. Simplifica: x 1 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 2 2 2 2 2 - - - + - - + - - - H a) x b) 2x c) 3x d) 4x e) 5x 13. Calcula: 2 5 3 6 2 8 2 12 + - - + + a) 3 b) 3 4 c) 2 2 d) 2 4 e) 6 1. Efectúa: 16 3 32 5 8 5 3 - - + a) 8 b) 10 c) 15 d) 20 e) 23 2. Simplifica: 2 8 5 3 75 13 2 32 50 + - + - a) –2 b) 2 c) 3 d) 1 e) –1 3. Efectúa: 2 3 1 3 3 2 9 4 + - + ^ ^ h h a) 2 3 b) 0 c) 3 d) 16 e) 1 4. Calcula: ( )( – ) ( )( – ) ( )( – ) 7 2 7 2 3 2 3 2 5 2 5 2 + + + + + a) 10 b) 11 c) 13 d) 15 e) 17 5. Reduzca: 7 2 10 5 2 6 8 2 15 + + - - + a) 5 b) 0 c) 3 − d) 5 3 + e) 3 2 - 6. Luego de reducir: 12 6 3 7 48 + + - se obtiene: a) 1 b) 3 c) 5 d) 8 e) 10 7. Efectúa: 5 7 . 3 7 7 - + - a) 7 − b) –1 c) 7 d) 1 e) 1 7 +
- 42. Capítulo 42 Colegios TRILCE Central: 6198-100 10 14. Simplifica: 521 5 21 4 15 4 15 + - - + + - a) 5 3 b) 3 5 c) 1 d) 35 e) 7 15. Efectúa: 8 4 3 4 7 2 10 3 11 120 1 + + - - - a) 1 b) 5 c) 2 d) 0 e) 7 16. Indica el denominador racionalizado de: 35 6 21 10 1 - + - a) 8 b) 20 c) 10 d) 40 e) 25 17. Luego de racionalizar el denominador de la fracción: 25 20 16 1 3 3 3 + + se obtiene: a) 1 b) 9 c) 3 2 3 3 - d) 5 4 3 3 - e) 5 2 3 3 - 18. Calcula el verdadero valor de: x 1 2 x 1 2 - - + - para x = 3 a) 2 2 b) 3 2 c) 2 3 d) 2 5 e) 2 1 19. Reduzca: – – – 33 8 2 3 8 11 72 13 2 40 7 40 11 6 2 + + + + + + + a) 2 b) 3 2 c) 3 2 –1 d) 2 – 1 e) 1 20. Al reducir: – 7 4 5 2 9 2 7 2 6 + + + , se obtiene: a b + , ab. Halla: a+b. a) 12 b) 14 c) 9 d) 11 e) 15 21. Reduzca: 2 2 3 3 3 – 2 2 3 3 3 + + + - - - a) 6 b) 3 c) 1 d) 0 e) –1 22. Indica el equivalente de: 3 5 2 2 30 + + a) 3 5 5 3 2 30 - + b) 3 5 5 3 2 30 + + c) 3 5 5 3 2 30 - - d) 3 5 5 3 2 30 + - e) 5 3 2 5 4 30 + - 23. Relaciona los radicales dobles con sus respectivos radicales simples: I. 2x 2 x 49 2 + - A. x 7 + B. x 7 x 1 + + - II. x x 7 1 2 7 + + C. x 7 1 + + D. x 7 x 7 + + - III. 2x 6 2 x 6x 7 2 + + + - E. x 7 7 + + F. x 1 x 7 + + - IV. x 6 2 7x 7 + + - G. 7x 1 + H. x 1 7 - + a) ID - IIA - IIIB - IVC b) ID - IIG - IIIB - IVH c) IA - IIE - IIIF - IVH d) IE - IIC - IIIF - IVB e) IE - IIG - IIID - IVH 24. Si x 1, reduzca: 2 x x 1 2 x x 1 2 2 + - + - - a) 2 x 1 + b) x 1 2 - c) x 1 - d) x 1 2 + e) x 25. Sea: M a x a x a ax x a ax x 2 2 2 2 = + - - + + - - + donde a 0. Si x = 0, entonces M es igual a: a)1 b) a c) a 1 - d) a 1 - e) a 1 +
- 43. Álgebra 43 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Practica en casa 1. Efectúa: 125 4 81 2 16 3 4 - + - 2. Simplifica: 3 3 50 27 15 2 18 4 8 + - - + 3. Efectúa: 3 5 2 5 1 25 4 - + - ^ ^ h h 4. Calcula: 10 2 10 2 6 2 6 2 3 7 3 7 – + + + - + + - ^ ^ ^ ^ ^ ^ h h h h h h 5. Reduzca: 9 2 20 4 2 3 7 2 10 1 - - - - - + 6. Efectúa: 9 80 14 6 5 - + - 7. Luego de efectuar: – 19 2 48 13 48 3 + + + se obtiene: 8. Racionalizando el denominador de la fracción: 2 8 3 se obtiene 2m 3 . Calcula el valor de m. 9. Reduzca: 3 2 1 2 3 1 5 2 1 6 5 1 + + + + + + + 10. Calcula el verdadero valor de: x 9 x 3 - - para x = 9. 11. Simplifica: – 2 3 5 13 48 + + 12. Simplifica: – 2 2 2 – – 3 3 3 2 12 18 128 + + + + 13. Indica el denominador racionalizado de: 1 2 3 6 219 + + + 14. Transformar a radicales simples: 2x 5 2 x 5x 6 ; x 1 2 + + + - 15. Luego de racionalizar el denominador de la fracción: 2x 5 2 x 5x 6 1 2 + + + + se obtiene:
- 44. Capítulo 44 Colegios TRILCE Central: 6198-100 Túpuedes 1. Descomponer en radicales simples la expresión: M= ... n n n 1 2 3 4 2 2 2 + + + + + + a) n +1 b) n 2 +1 c) n d) n 2 + n e) n –1 2. Si: x2 = x + 1, x 0, reducir: E = – – x x x 2 1 + a) x 2 b) x 2 2 c) 2 2 d) x 2 e) 2 x 3. Calcula el verdadero valor de: x 9 2 2 x 3 3 + - + - para x = –5. a) 3 b) 2 1 c) 3 1 d) 2 e) 6 4. Si: 1 x 2, reducir: – – – x x x x 6 2 7 7 2 1 3 + + + a) 2 6 b) 7 c) – 2 7 1 d) 2 7 1 + e) 2 7 5. Si al dividir – 26 2 7 entre – 3 7 , se obtiene una expresión de la forma a+ b , donde a y b son enteros positivos, entonces a2 – b es: a) 9 b) 15 c) 29 d) 2 e) 18 10
- 45. 45 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 11 Factorial - número combinatorio Problemas para la clase 7. Efectúa la siguiente suma: C7 0 + C6 1 +C7 2 + C8 3 + C9 4 + C10 5 a) C10 2 b) C10 5 c) C11 5 d) C11 6 e) c ∨ d 8. Calcula: C513 0 + C2017 2 – C23 1 – C2017 2015 a) 1 b) –2017 c) 23 d) –22 e) 0 9. Calcula la diferencia entre los valores de x que verifican: C18 5 + C18 6 + C19 7 + C20 8 = C21 x a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 10. Indica la suma de los valores de x que verifican la ecuación: C35 x2 = C35 2x a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 11. Si: A = ! ! ! ! ! 6 7 6 7 8 + + + B = ! ! ! 69 70 71 + Calcula A.B a) 56 b) 560 c) 65 d) 650 e) 1 1. Efectúa: 5!+3.2! – 4.3! a) 103 b) 102 c) 101 d) 100 e) 99 2. Calcula el valor de x en: (x – 10)! = 120 a) 1 b) 2 c) 10 d) 14 e) 15 3. Calcula la suma de los valores de x que verifican la igualdad: (4x – 3)! = 1 a) 4 3 b) 1 c) 4 5 d) 5 6 e) 4 7 4 Simplifica: 4!.15! 5!.14! a) 1 b) 3 1 c) 2 7 d) 6 7 e) 3 5. Reduzca: 9! 10! 9! 10! 11! + + + a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 6. Calcula el valor de: C C 2 8 5 8 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
- 46. Capítulo 46 Colegios TRILCE Central: 6198-100 11 12. Calculael valor de x que verifica: 2x 1 ! 113 ! 5040 - - = ^ h 6 @ a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 13. Calcule el valor de x, si: ( )! ( )! ( )!( )! x x x x 6 5 5 5 11 + + + + + = 20! a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 14. Simplifica: C C C C C C 8 24 16 24 5 21 6 21 7 22 8 23 + + + + a) 1 b) 2 1 c) 2 d) –3 e) 4 15. Halla x en: Cx+5 x – 1= 7Cx+3 x – 1 a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 16. Sabiendo que: 3C77 7k = 11C76 7k–1 ; k ∈ +, calcula: ! ( !)! k k a) 1 b) 20 c) 120 d) 160 e) 180 17. Si: A = ! ( – )! ( !)–( – )( – )! n n n n n 1 2 1 1 + , n ∈ +, entonces podemos afirmar que: a) A 0 b) A 2 c) A=1 d) A ∉ e) A1 18. Halla a+b si: Ca+3 10 + Ca+1 7 + 2Ca+1 8 + Ca+1 9 = Cb+2 b–3 a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 19. Reduzca: A = ! !– ! ! !– ! ! !– ! 9 11 10 8 10 9 7 9 8 + + +... a) 380 b) 385 c) 386 d) 387 e) 400 20. Calcula el valor de n en: 1 + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = 719 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 21. Reduzca: x 4x 4 x 9x 20 x 4 ! x 3 ! x 2 ! 2 2 - + - + - + - + - ^ ^ ^ ^ ^ h h h h h ; x ≠ 2; x ≠ 4; x ≠ 5 a) (x – 2)! b) (x – 3)! c) (x – 5)! d) (x – 6)! e) (x – 8)! 22. Halla x en: 1024.(x – 1)![1.3.5.7....(2x – 3)] = (2x – 2)! a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 23. Halla la suma de todas las soluciones de: [Cx 2] [Cx 3 ] = 36x – 2 a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7 24. Halla n en: 2 C 2C C ! 120 n 4 n 1 n 3 n 1 n 2 n 1 + + = - - - - - - = G a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 25. Efectúa: C 2 C 3 C ... n C 1 n 2 2 n 2 3 n 2 n n 2 + + + + ^ ^ ^ ^ h h h h a) n 1 ! (2n 1)! 2 - - ^ h 6 @ b) n! 2n ! 2 ^ ^ h h c) n 1 ! 2n 1 ! 2 + + ^ ^ h h 6 @ d) n 1 ! 2n 1 ! - - ^ ^ h h e) n 1 ! 2n 1 ! 2 - - ^ ^ h h 6 @
- 47. Álgebra 47 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Practica en casa 1. Efectúa: 3! + 2.5! – 3.4! 2. Calcula el valor de x en: (x – 6)! = 24 3. Calcula la suma de los valores de x que verifican la igualdad: (2x – 5)! = 1 4. Simplifica: 10!.24! 9!.25! 5. Reduzca: 16! 17! 16! 17! 18! + + + 6. Calcula el valor de: C C 2 10 7 10 7. Efectúa la siguiente suma: C9 0 + C10 1 + C11 2 + C 12 3 + C13 4 8. Efectúa: C213 1 + C23 0 + C412 410 – C412 2 9. Calcula un valor de n+p, si: C2n 10 – p = C2n p – 2 10. Indica Verdadero (V) o Falso (F) respecto al factorial y número combinatorio: A. Si: M= ! ! 29 31 → M=930 .........................( ) B. C10 1 + C10 2 = C11 2 ................................... ( ) C. C4 0 + C4 1 + C 5 2 = C6 4 .........................( ) D. Si: E= ! ! ! 49 50 51 + → E=50! .................... ( ) 11. Halla el valor de a, sabiendo que: ( )! ( )! ( )!( )! a a a a 6 5 7 5 + + + + + = 15! 12. Determina x+y, si: C C C x x 5 x 1 x 5 x 3 y + = + + + + 13. Simplifica: ( ! !)( ! !)( ! !)... ( ! ! !)( ! ! !)( ! ! !)... n factores n factores 1 2 2 3 3 4 1 2 3 2 3 4 3 4 5 + + + + + + + + + 14 Calcula x en: C C C 5 7 4 x 2 2 x 3 x 1 + = + + 15. Simplifica: C C 2C C n 4 n 7 n 2 n 5 n 3 n 5 n 4 n 5 + + + + + + + + + +
- 48. Capítulo 48 Colegios TRILCE Central: 6198-100 Túpuedes 11 1. Calcular (n+1)(n+2)M, si: M 2 C 3 C 4 C 5 C ... n 2 C 0 n 1 n 2 n 3 n n n = + + + + + + a) n . 2n – 1 b) n . 2n–1 c) n . 2n+1 d) n . 2n–1–1 e) n.2n+1+1 2. Calcular n+k, en: C C n 1 n k 2 C C k 1 n 1 k n k 1 n 1 13 30 + + + - + = + + - + c m a) 40 b) 44 c) 47 d) 50 e) Dos alternativas son correctas 3. Simplificar: nC C C ...C n 1 1 n 1 n 1 n 2 n 2 n 3 2n 1 2n - + + + + + - : D a) n b) n 1 - c) 2n 1 - d) 2n e) 2n 1 + 4. Dada a; b∈+, tal que: C1999 0 – C1999 2 + C1999 4 – ... – C1999 1998 = ab Determina el menor valor de a+b. a) 341 b) 1001 c) 623 d) 729 e) 1331 5. Calcula: Ck n k 1 n n 1 30 = = e o / / a) 230–30 b) 231–32 c) 230–31 d) 231–30 e) 231–31
- 49. 49 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 12 Binomio de Newton Problemas para la clase 7. Calcula el grado absoluto del término central en el desarrollo de: P(x; y) = (x3+y4)10 a) 7 b) 14 c) 21 d) 28 e) 35 8. La suma de los coeficientes en la expansión de: P(x; y) = (3x – y)8 es igual a: a) 0 b) 1 c) 32 d) 128 e) 256 9. La suma de los grados absolutos de todos los términos en el desarrollo de: P(x; y) = (x2+y5)6 es: a) 140 b) 147 c) 135 d) 114 e) 121 10. Calcula el resultado de: C9 0 +C9 1 +C9 2 + .... + C9 9 a) 1024 b) 512 c) 256 d) 1000 e) 800 11. Indica Verdadero (V) o Falso (F) respecto al desarrollo del binomio de Newton: A. El número de términos de: (12x4+y5)12 es 12 .........................................................( ) B. La suma de coeficientes al desarrollar: (x4+y3)5 es 32.........................................( ) C. El número de términos de: (x2+y3)n+1 es 12, si n=10...................................................( ) D. Si: C n–1 0 +C n–1 1 +C n–1 2 +...+C n–1 n–1 =214 entonces n = 13.....................................( ) a) FVFF b) FVVF c) FVVV d) VVVF e) VVFF 1. ¿Cuánto términos tiene el desarrollo de: (x+y)9? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 2. El desarrollo de (x – y)2n–4 tiene 17 términos. Calcula el valor de n. a) 17 b) 16 c) 12 d) 10 e) 8 3. Calcula el cuarto término en el desarrollo de: (x +1)5 a) 4x2 b) 9x3 c) 10x2 d) 6x e) 10x 4. Obten el tercer término en la expansión de: (x2+y3)6 a) 10x8y6 b) 15x6y8 c) 10x6y8 d) 15x8y6 e) 20x6y8 5. Calcula el penúltimo término en el desarrollo de: (3x2 – y3)12 a) 36x2y33 b) 12x2y33 c) –12x2y33 d) 24x2y33 e) –36x2y33 6. Calcula el término de lugar 13 en el desarrollo de: P(x) = x x 1 2 5 + c m 15 a) 252x61 b) 455x–54 c) 125x–8 d) 30x6 e) 4x10
- 50. Capítulo 50 Colegios TRILCE Central: 6198-100 12 12. Elcoeficiente de x12 en el desarrollo de: (x4+1)15 es igual a: a) 456 b) 385 c) 455 d) 386 e) 415 13. Calcula n, si en el desarrollo de: P(x)=(x5+0,5x)n el término de lugar 11 es de grado 20. a) 5 b) 15 c) 10 d) 12 e) 20 14. Si el grado absoluto del séptimo término en el desarrollo de: P(a; b; c) = (a2b + c)n es 30, halla el grado de su término central. a) 16 b) 24 c) 28 d) 31 e) 47 15. En el desarrollo de: x x 1 2 + c m n , x ∈ +, el término de lugar 17 es de la forma: T17 = C n 16x2. Calcula el valor de n. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 16. Calcula “n” si al desarrollar: F(x) = (x6 – 1)4(x4 + x2 + 1)2n(x2 – 1)2n se obtienen 25 términos. a) 8 b) 10 c) 12 d) 18 e) 20 17. Indica el valor de k si en el desarrollo de: (x +1)36, los términos de lugares (k – 4) y k2 tienen coeficientes iguales. a) 7 b) 6 c) 5 d) 9 e) 10 18. El término independiente en el desarrollo de: P(x) 2 3 x 3x 1 2 9 = - c m es igual a: a) 0,36 b) 0,40 c) 0,26 ! d) 0,38 ! e) 0,03 ! 19. En el desarrollo de (2x – y)10, el coeficiente de x6y4 es: a) 13 380 b) 13 450 c) 13 460 d) 13 440 e) 13 455 20. Si en el desarrollo de: 3x x y 3 2 n + e o existe un término cuyos exponentes de x e y son 5 y 8 respectivamente, halle el número de términos del desarrollo. a) 8 b) 7 c) 9 d) 6 e) 10 21. Determina el término racional en el desarrollo de: 2 2 3 5 + ^ h a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 22. ¿Cuántos términos irracionales presenta la expansión de: P(x)= x x 4 3 48 + ^ h ? a) 44 b) 32 c) 34 d) 42 e) 26 23. Al desarrollar la expresión: y x x y 10 n m n 20 – + + e o n , admite un solo término central cuya parte literal es: x60y600. Hallar: n ÷ m a) 44 b) 40 c) 4 d) 10 e) 8
- 51. Álgebra 51 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 24. Si un término en el desarrollo de: P(x) = – – x x x x 1 1 4 4 4 4 + c c m m ; E 4 4 m es igual a: 3×213; calcular el valor de m. a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 25. En el desarrollo de: y x x y 5 2 7 + e o 3 n , existen dos términosconsecutivos,elprimeroindependiente de x y el segundo independiente de y. Indique el número de términos del desarrollo. a) 54 b) 60 c) 61 d) 62 e) 63 Practica en casa 1. Calcula el número de términos en la expansión de: (x+y)14 2. El desarrollo de (x+3)2n–3 tiene 10 términos. Calcula el valor de n. 3. Calcula el tercer término en el desarrollo de: (x+1)7 4. Obtén el cuarto término en la expansión de: (x3+y4)5 5. Calcula el penúltimo término en el desarrollo de: (4x3 + y2)10 6. Calcula el cuarto término en el desarrollo de: 2 x x 2 6 + c m 7. Obtén el término central en el desarrollo de: x x 1 2 8 + c m 8. ¿Cuánto es la suma de los coeficientes en la expansión de: (3x+y)4? 9. La suma de los grados absolutos de todos los términos en el desarrollo de: (x4+y3)5 es igual a: 10. Si: Cn+3 0 +Cn+3 1 +Cn+3 2 +...+Cn+3 n+3=512 calcula el valor de n. 11. Indica Verdadero (V) o Falso (F) respecto al desarrollo del binomio de Newton: A. El número de términos de: (5x4+y7)10 es 11 ............................................................ ( ) B. La suma de coeficientes al desarrollar: (4x2 – y2)3 es 27 .................................... ( ) C. El número de términos de: (x4+y6)n –1 es 12, si n=12 .................................................. ( ) D. La suma de exponentes al desarrollar: (x4+y3)3 es 42......................................... ( ) 12. Indica el valor de n, si la expansión de (x3 + y2)n, contiene a: x18y16. 13. Calcula el valor de k en el desarrollo de (1+x)43, si se sabe que los coeficientes de los términos de lugares (2k+1) y (k+2) son iguales. 14. Desarrollando la expresión: (a2 + a)n.(a2 – 1)n + 2.(1 – a–1)n, se obtiene 21 términos en total. Halla n. 15. Calcula el término independiente en el desarrollo de: P(x)= x x 2 3 5 13 + - ` j
- 52. Capítulo 52 Colegios TRILCE Central: 6198-100 12 Túpuedes 1. Determina el coeficiente del término en el desarrollo de P(x;y;z)= 12 – x y z 2 4 1 3 4 2 ` j , en el que los expo- nentes de x, y, z (en ese orden), formen una progresión aritmética. a) 376 b) 495 c) 572 d) 396 e) 478 2. Determine el coeficiente de x6y3 en el desarrollo del producto: (x + y)5 (2x – y)4 a) 160 b) 36 c) 24 d) – 48 e) – 96 3. ¿Cuántos términos enteros tiene el desarrollo de: 34 12 + ^ h 12 34 1234 ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Más de 4 4. Siendo n∈+, calcula: M 4 1 C C C C ... C n 0 4n 2 4n 4 4n 6 4n 4n 4n = - + - + + : D a) 1 b) – 1 c) (–1)n d) 2 e) 4 5. Si el tercer término del desarrollo del binomio (n+x3)n es nk veces el cuarto término del desarrollo de (n + x2)n, halla n, si k ∈ +. a) – k k 3 2 b) k k 1 + c) k k 2 3 + d) k k 3 + e) k k 3 2 +
- 53. 53 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 13 Números complejos Problemas para la clase 7. Calcula el módulo del siguiente número complejo: z = (2+3i)(4+i) – 10i ; i = 1 - a) 5 2 b) 41 c) 5 d) 41 e) 50 8. Sea: z1=2+3i ∧ z2=4 – i ; i= 1 - Efectúa la siguiente operación: 17 z z 2 1 = G a) 5–14i b) –5+14i c) 5+14i d) –5 – 14i e) 14i 9. Calcula el valor de a si el número: z 3 2i a 3i = - + es complejo real i 1 = - ^ h a) 3 b) –9 c) 2 9 d) 2 3 e) 2 9 − 10. Reduzca: 4 3i 1 3i 2 - + + ^ h a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 11. Simplifica: i i i i i i i i i i 1973 1941 1960 1000 2007 400 501 17 90 131 + + - + + + + + donde i = 1 - a) i b) –i c) 1 d) –1 e) 1–i 12. Calcula el valor de q p , si: (2+3i)2+(5+i)(1–5i)+(3+4i)2=p+qi donde i = 1 - a) 8 3 b) 6 1 − c) 8 3 − d) 1/6 e) 3 1. Efectúa: 4 5 9 3 16 - + - - - a) 6i b) 5i c) 8i d) 4i e) 10i 2. Calcula: i i i i i i ; i 1 46 520 673 32 54 65 + - + + = - a) 0 b) 1 c) –i d) i e) –1 3. Halla el valor de: i 5i i 3i i 16 ; i 1 20 17 32 23 + + - = - ^ ^ h h a) 2 b) 4 c) 1 d) –2 e) i 4. Efectúa: i+i2+i3+i4+...+i2017 ; i = 1 - a) 1+i b) –i c) 1–i d) i e) 1 5. Calcula el valor de: Re(–4+5i) – Im(8 – 2i)+Re(4i – 1) a) 1 b) –3 c) 2 d) –1 e) –2 6. Calcula el valor de n, si: 3(n+i)+5(n+3i) = m(1+2i) i= 1 - ∧ n∈ ∧ m∈ a) 8 3 − b) 8 9 c) 9 d) 4 9 e) 4 3
- 54. Capítulo 54 Colegios TRILCE Central: 6198-100 13 13. Reduzca: i ii i ; i 1 423679 9 13 17 10 14 18 1112 1516 1920 + + = - a) 3 b) –3 c) 3i d) i 3 e) –3i 14. Simplifica: 1 i 1 i 1 i 1 i ; i 1 4 - + - + - = - ; E a) 16i b) 16 c) –16 d) 18 e) i 16 15. Calcula: 1 1 1 1 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i ; i 1 - - - - - + + + + + = - a) 1 b) i c) 1+i d) 1 – i e) –1 16. Encontrar el complejo opuesto del conjugado del opuesto de: z =a+bi ; donde a∈ ∧ b∈ ∧ i= 1 - a) a+bi b) a – bi c) –a+bi d) bi e) –a – bi 17. Simplifica: 1 i 2 i ; i 1 5 9 + - = - a) 1 b) i c) –i d) 10 e) 0 18. Si z=(ni21+2i32)(m – i3) se reduce a un número imaginario puro, entonces se cumple: m n i 1 R R = - d / d / ^ h a) mn=2 b) n m 2 1 = c) m=n d) mn=–2 e) m=2n 19. Calcula: i200201202 +i301302303 +i402403404 +i503504505 a) 2 b) 4 c) 2i d) 1 + i e) 2 + 2i 20. Determina el módulo de: z = (3+4i)(1+ 3 i)(2 2 – 2 2 i) a) 10 b) 40 c) 20 d) 60 e) 80 21. Si: – – – ... – i i i i 1 1 1 1 1 1 2 1 1 219 1 + + + ` c c c j m m m=a+bi calcula: (a + b)(2192 + 1) a) 1 b) 2 c) -1 d) –2 e) 3 22. Calcula el valor de: E = ki – k k k i k 1 2017 2 2 + = ; E / k donde: i = –1 a) 1 b) i c) –1 d) –i e) 0 23. Reduzca: 2 4i i 8 i ; i 1 5 6 4 3 - - - = - a) 1+i b) i – 1 c) –1 – i d) 2i+1 e) 2i – 1 24. Calcula el perímetro de un terreno de forma triangular, el cual está representado en el plano gaussiano por los números complejos: A=1+2i , B=6+14i y C=15+2i ; además: i= –1 ; |z1|, |z2| y |z3| son módulos. Im(Z) Re(Z) A B C |z1| |z2| |z3| a) 13u b) 16u c) 28u d) 35u e) 42u 25. Indique la parte real de: z=(1+i)2+(1+2i)2+(1+3i)2+...+(1+ni)2; n∈ + a) ( ) n n 2 1 + b) n c) ( ) n n 3 2 5 + d) ( ) n n 6 1 + e) n 6 (2n+5)(1–n)
- 55. Álgebra 55 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Practica en casa 1. Efectúa: 9 3 16 2 4 - + - - - 2. Reduzca: i i 3i 5i ; i 1 9 73 515 89 + + = - 3. Calcula el valor de: (i20 – i18)(i15+i35) ; i = 1 - 4. Efectúa: i+i2+i3++i4+...+i106 ; i= 1 - 5. Calcula el valor de: Im(5 – 4i) + Re(–2 – 8i) – Re(5i – 3) 6. Calcula el valor de n, si: 2(n+i)+3(n+2i) = m+(m+5)i Donde m∈ ∧ n∈ ∧ i = 1 - 7. Calcula el módulo del siguiente número complejo: z = (5 – i)(2+i) ; i= 1 - 8. Luego de efectuar: 4 i 5 2i ; i 1 - + = - indica la parte imaginaria del número complejo resultante. 9. Determinar el valor de m, si el número: z 2 3i 5 mi esimaginariopuro (i 1 = - + = - ) 10. Simplificar: i 1 i i 1 i 5 2 9 2 + + - ^ ^ h h 11. Completar: A. z1 = 3 – 2i → z1= ................................... B. z2 = – 2 + 5i → z* 2 = .............................. C. z3 = 6+ 8i → |z3|= ................................ D. z4 = – 7 + 7i → |z4|= ............................ 12. Efectúa: i i i ; i 1 17 25 33 18 26 34 1920 2728 3536 + + = - 13. Reduzca: 1 1 1 i 1 i 1 i 1 i ; i 1 - + - + - + = - 14. Calcula el equivalente de: 2 i i i ;i 1 5 - + = - 15. Reduzca: i2+2i4+3i6+4i8+ ... + 2ni4n n i 1 Z = - d / + ^ h
- 56. Capítulo 56 Colegios TRILCE Central: 6198-100 13 Túpuedes 1. Sea z un número complejo que satisface: – z z 1 1 + = 1 ; entonces: a) Re(z)0 b) Re(z) ≤ 0 c) Im(z) ≥ 0 d) z es un número real. e) z es un número imaginario puro. 2. Si: a bi + 3 =m+ni ; {a; b; m; n} ⊂ R, i2 = –1, calcula: – m a n b 1 1 3 3 + c c m m a) 3i b) 1 c) –1 d) –3i e) 3 3. Sean: z1, z2 ∈ ; reduzca: ( . ) ( . ) – – Re Re z z z z z z z z 1 2 1 2 1 2 1 2 + + 2 2 a) 1 b) 2 1 c) 2 d) 3 e) 3 1 4. Efectúa: ( ) ( ) ( ) ( ) m nw n mw m nw n mw mn 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + + + Si: n m; w = 1 3 a) m + n b) m – n c) n – m d) 2n – m e) 2m – n 5. Sabiendo que z1 y z2 representan un número complejo real e imaginario puro respectivamente, halla el valor de: R = a – b; ab ≠ 0 Donde: z1 = – – a b i a b i 3 2 + + ; z2 = – ( ) a bi a b i 8 + + ; a ∧ b ∈ a) 30 b) –3 c) –60 d) 10 e) 24
- 57. 57 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 14 Ecuaciones de primer grado Problemas para la clase 7. Resuelve: 22 2x 1 3 3 + - = a) {8} b) {10} c) {13} d) {–2} e) {4} 8. Resuelve: x 3 x 1 x 4 - - = a) {10} b) {12} c) {15} d) {9} e) {8} 9. Resolver la ecuación en x: 3ax+2b(a – 1) = a(x+2b)+2b a) b a ' 1 b) b 2a ' 1 c) a b ' 1 d) a 2b ' 1 e) 2b a ' 1 10. Mathías decide repartir 100 soles entre tres personas, de manera que la primera reciba 5 soles más que la segunda, y que esta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la tercera persona? a) S/. 20 b) S/. 25 c) S/. 30 d) S/. 35 e) S/. 40 11. Indica Verdadero (V) o Falso (F): A. Al resolver: 2x + 3x – 30 = 3x + 30; el valor de x es 30.....................................( ) B. Al resolver: 2-[2–x–(–x)]=x+2; el valor de x es 2 ...................................................( ) C. Al resolver: 5(x - 3)=4( 3 – x ); el valor de x es 3 ...................................................( ) D. Al resolver: x+ x x 2 3 + =44 ; el valor de x es 24 .......................................................( ) a) VVVV b) VFVV c) VFFV d) FFVV e) FFVF 1. Sea la ecuación de incógnita x: 6 m x 3 + + = si la solución es x = 49, halla el valor de m. a) 4 b) 8 c) 5 d) 13 e) 2 2. Calcula el valor de x en la ecuación: mx2+2x+m=5x2+13 si es reducible a primer grado en x. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Luego de resolver la ecuación: 3(x – 2)+4(–x+1) = x – 2(x – 1) se puede afirmar: a) Es compatible determinada b) Es compatible indeterminada c) No tiene solución d) Tiene infinitas soluciones e) Dos alternativas son correctas 4. Resuelve la ecuación: 5 – {– x – (4 – 2x) – 5} = x+{–6+2x} a) 2 1 ' 1 b) {5} c) 2 5 ' 1 d) 5 1 ' 1 e) {–1} 5. Resuelve: – – – x x x 2 5 2 3 3 4 4 7 5 + = – 1 a) 2 1 ' 1 b) 3 1 ' 1 c) 3 1 - ' 1 d) {3} e) {– 2} 6. Resuelve: x x x 3 2 5 1 2 + + + = +2 a) {34} b) {17} c) {33} d) {18} e) {– 17}
- 58. Capítulo 58 Colegios TRILCE Central: 6198-100 14 12. Calculeel valor de x en: – – – – – x x x x x 2 5 5 7 2 4 5 4 5 8 5 2 11 3 + = + a) 0 b) – 1 c) 1 d) 2 e) 2 1 13. Resuelve la ecuación: x 4 4 x 5x 1 x 2 2 3 3 + + - + = + a) {3–1} b) {2–1} c) {4–1} d) {5–1} e) {50} 14. Luego de resolver la ecuación en x (a ≠ b): x b a 1 a x a b x b b 1 + + - - - = + + se obtiene: a) {a+b} b) {a – b} c) 2 a b + ' 1 d) 2 a b - ' 1 e) a b a b - + ' 1 15. Calcula x en: x x x x 3 35 15 63 + + + =6 a) 2 27 b) 2 17 c) 2 37 d) 2 7 e) 1 16. Resuelve: – x x x 32 17 56 7 51 2 + + + + =3 a) {49} b) {32} c) {51} d) { 9 7 } e) {45} 17. Resuelve en x: – – b x a a x b + =2 a) {a+b} b) {b–a} c) {a–b} d) {a} e) {b} 18. En un restaurante, 24 personas consumen por una suma de S/. 360 para pagar en partes iguales. Como algunos no tienen dinero, cada uno de los que asumen la cuenta pagará 3 1 más de lo que le corresponde. ¿Cuántas personas saldaron la cuenta? a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18 19. Una de las soluciones de la ecuación en x: (2a – 1)x2 – a(x – b)(x+5) = 7b(a+x) es 2. Calcula el valor de 3a+7b. a) –1 b) 2 c) 3 d) –2 e) 1 20. Halla x en la ecuación: b a b a x b a b a 2 + + - - = a) b a b) b a 1 + c) a b 1 + d) a b e) a+b 21. Resuelve: x 3 x 1 x 2 x 5 x 5x 6 2x x 11 2 2 - + + - + = - + - - a) {2} b) {3} c) {1} d) {–3} e) φ 22. Calcula la suma de cifras de la solución de la ecuación: x 6 x 1 7 + + - = a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 10 23. Si por la compra de 120 botellas de vino, Roberto paga en impuestos el valor de una botella de vino más S/.11, y por 40 botellas el impuesto correspondiente equivale al valor de una botella menos S/.5, ¿cuánto cuesta cada botella de vino? a) S/.12 b) S/.9 c) S/.15 d) S/.13 e) S/.11 24. Resuelve en x: – – b a x a a b x b 1 1 1 + = ` c j m a) {a+b} b) {ab} c) {a – b} d) {1} e) {a2+ab+1} 25. Indica el valor de x en: – – – bc x a ca x b ab x c a b c 2 1 1 1 + + = + + c m a) a b c 1 1 1 + + b) a+b+c c) abc d) a2+b2+c2 e) a+b – c
- 59. Álgebra 59 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Practica en casa 1. Sea la ecuación de incógnita x: 5 m x 3 + + = si la solución es x=10, calcula el valor de m. 2. Si la ecuación en x: ax2+x+a=3x2+15 es reducible a primer grado, halla el valor de x. 3. Obtén el conjunto solución de la ecuación: 2(5 – x)+5(x – 2) = 3(x+1) 4. Resuelve la ecuación: 7 – {x – 1+(x – 2)} = 8 – (4 – x) 5. Resuelve: – – x x 4 2 2 4 + =2 6. Resuelve: – – x x 7 3 1 3 2 1 + =x 7. Resuelve: 5 x 4 2 3 + - = 8. Resuelve: x 4 x 1 x 3 - - = 9. Resuelve la ecuación en x: 5(x – b)+2(x+b)=4(x+6b) ; b ≠ 0 10. Paolo decide repartir 90 dólares entre tres personas, de manera que la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda y esta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda? 11. Indica Verdadero (V) o Falso (F): A. Al resolver: x+3x – 30=2x+30; el valor de x es 30.................................................( ) B. Al resolver: 6–[6–x–(–x)]=x+6; el valor de x es 2...................................................( ) C. Al resolver:5(x – 9)=4( 9 – x ); el valor de x es 9 ..................................................( ) D. Al resolver: x+ x x 4 5 + =58; el valor de x es 40.......................................................( ) 12. Resuelve: 4x x 9x 12x 2x 1 2 2 + + + = + 13. Resuelve: x 2 2x 4 3x 1 3x x 4 2 - - + - - = 14. Resuelve: – – b x a a x b + =2 ; ab ≠ 0 15. Resuelve: – – – x x x 15 32 4 43 13 34 + + =3
- 60. Capítulo 60 Colegios TRILCE Central: 6198-100 14 Túpuedes 1. Resuelve en x: ( – )( – ) ( – – )( – – ) – – a b c a b c x a c a b b a c x b c 2 2 2 + + + + = 1 a) {a} b) {b} c) {ab} d) {a + b} e) {bc} 2. Resuelve en x: – – – – a ab a x b ab b x a ab x a b ab x b 1 1 1 1 + + + + + + + = + + + a) {a + b + 1} b) {a + b – 1} c) {ab + 1} d) {ab – 1} e) {ab} 3. La solución de la ecuación: – . – . – a x x a x x 1 1 1 1 1 1 + = + + 4 4 es: a) 1 b) –1 c) a d) –a e) 2a 4. Resuelve en x: – 2 3 x a a 4 4 a a – – + = + a) {20} b) {16} c) {12} d) {8} e) {4} 5. Se tienen dos cirios de igual tamaño, pero de diferente calidad: el primero se consume en a horas y el segundo en b horas (ab). Si se encienden simultáneamente, ¿dentro de cuánto tiempo la altura del más lento será n veces la altura del más rápido? a) an b ab n 1 - - ^ h b) n b ab n 1 - - ^ h c) n b b n 1 - - ^ h d) ab n 1 an b - - ^ h e) an b b n 1 - - ^ h
- 61. 61 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 15 Ecuaciones de segundo grado Problemas para la clase 6. Sea la ecuación: (2k + 1)x2 + (3k – 3)x+5 = 0. Calcula k, si la suma de sus raíces es 3/4. a) 4 1 b) 2 1 c) 1 d) 2 e) 4 3 7. Las raíces de la ecuación 4x2 – 5x + 2 = 0 son: a) reales y diferentes b) reales e iguales c) imaginarias conjugadas d) simétricas e) recíprocas 8. Calcula el valor de p, si la ecuación: 3x2 – (4p - 20)x + 1 = 0 tiene raíces simétricas. a) – 5 b) 5 c) 6 d) 0 e) 5 1 9. Reconstruir una ecuación de segundo grado cuyas raíces son: x1= 4 + 5 x2= 4 – 5 a) x2 – 8x+20=0 b) x2+8x – 11=0 c) x2 – 8x + 11=0 d) x2+8x – 16=0 e) x2 – 8x – 11=0 10. Si las ecuaciones cuadráticas en x: (m – 2)x2+15x+6=0 4x2+(n+3)x+2=0 son equivalentes, calcula m n + . a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 1. Resuelve la ecuación: x2 – 4x – 12 = 0 Indica la mayor solución. a) 1 b) –6 c) 4 d) –2 e) 6 2. Luego de resolver: (x+1)(x – 2) = 4 Indica la menor solución. a) –3 b) 1 c) –2 d) –1 e) 2 3. Resuelve: 18 2x 9 x 1 + = Determina el cociente entre las soluciones mayor y menor. a) 2 1 b) 4 1 c) 4 1 − d) 1 e) 2 1 − 4. Luego de resolver: 2x2 – 3x – 1 = 0 , señala una raíz. a) – 2 3 15 b) 4 3 17 + c) 2 3 17 + d) – 4 3 15 e) – 2 17 3 5. A partir de la ecuación: 2x2+3x – 1 = 0 da raices x1 ∧ x2, indica verdadero o falso: I) x1+x2= 3/2 II) x1 . x2 =–1/2 III) El discriminante es 17 IV) x 1 x 1 3 1 + = 2 a) FVFV b) FVVV c) VVFV d) VFVF e) FVFF
- 62. Capítulo 62 Colegios TRILCE Central: 6198-100 15 11. Despuésde resolver: 10(x+1)(x – 2)+11(x – 3)(x+3)=19x – 109 indica la raíz negativa. a) 7 2 − b) 3 5 − c) 3 2 − d) 7 5 − e) –1 12. Resuelve la ecuación: 2 x 3x 6 x = + + a) 9 b) {4} c) {4; 9} d) {9} e) φ 13. Calcula el menor valor de m para el cual la ecuación: x2+2(m+2)x+9m=0 tiene raíces iguales. a) 4 b) –2 c) 1 d) –1 e) –3 14. Si: x (x – 6) = – 3 tiene C.S.={x1; x2}, calcula el valor de: T=(1+x1) (1+x2) a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 15. Calcula la suma de las raíces de la siguiente ecuación en x: (2m+2)x2+(4 – 2m)x+(m – 2)=0 sabiendo que son recíprocas. a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 16. Si: x2 + 2bx + 3c = 0 tiene C.S. = {x1 ; x2}, calcule el valor de: M= b x x c 6 2 1 2 2 2 + + a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 17. Forma la ecuación cuadrática de raíces: x1 = m + – m 1 2 x2 = m – – m 1 2 a) 2x2 – mx+2=0 b) x2 – 2mx+1=0 c) 2x2 – 2mx+1=0 d) x2 – mx+1=0 e) 2x2 – mx+1=0 18. Un terreno cuadrado se vende en 2 lotes. El primero es un rectángulo, uno de los lados mide 30 metros y el otro 5 3 del lado del cuadrado; el segundo lote se vende en S/. 12 400 a razón de S/. 2,50 el metro cuadrado. Calcula el lado del cuadrado. a) 62 m b) 75 m c) 80 m d) 88 m e) 92 m 19. Resuelve la ecuación: (x – 1)(x+2)(x+3)(x – 2)=–3 indica una de sus raíces. a) 2 1 21 - b) 2 1 19 - + c) 2 1 17 + d) 2 1 15 - + e) 2 1 13 - + 20. Resuelve la ecuación en x: x 3a 1 x 4b 1 2x 3a 4b 2 9 + + + + + = c ^ m h Indica una de sus soluciones. a) 4b – 6a b) 6a – 4b c) 2a – 3b d) 3a+2b e) 3a2 – b2 21. La ecuación: x2 – 2x+2017=0 tiene como conjunto solución a {α; b} Calcula: 2017 b b + a b + = G a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 22. Seanayblasraícesde: x2+2017x+2007=0 Calcula: G = a2+b2+a2b2+2ab(a+b+1) a) 169 b) 81 c) 100 d) 121 e) 144 23. Si las raíces de la ecuación en x: ax2+bx+c=0 son reales y diferentes, entonces las raíces de la siguiente ecuación en x: 2a2x2+2abx+b2 – 2ac = 0 son: a) imaginarias conjugadas b) enteros positivos c) reales e iguales d) reales y diferentes e) racionales.
- 63. Álgebra 63 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 24. Forma una ecuación de segundo grado en x, cuyas raíces sean los cuadrados de las raíces de: x 3 1 x 1 3 3 + + - = a) x2+16=0 b) x2 – 12x+16=0 c) x2 – x+2=0 d) x2 – 2x+4=0 e) 2x2+x+1=0 25. Si las siguientes ecuaciones cuadráticas: (2m – n)x2 + x = 2x2 – 1 (m2 + n2)x2 + 2x = – x2 – 2 (m;n∈R). son equivalentes, calcula m.n. a) 3 b) 1 c) 2 d) – 2 e) – 3 Practica en casa 1. Resuelve la ecuación: x2 – 10x+21=0 2. Luego de resolver: 3(x2+1)=10x dar como respuesta la menor raíz. 3. Resuelve la ecuación: (x – 3)(x+4)=8 4. Resuelve: x2 – 5x+2=0 De como respuesta la mayor raíz. 5. Respecto a la ecuación: 5x2 – 4x – 2 = 0 de raíces x1, x2 completa: • x1 + x2 = • x1 . x2 = • D = 6. Dada la ecuación en x: (m – 1)x2 – 4x+2m=0 Calcula m, si el producto de sus raices es igual a 6. 7. Relaciona: I. x2+6x+10=0 II. 2x2+5x – 1=0 III. 4x2 – 4x+1=0 A. Raíces reales y diferentes. B. Raíces reales e iguales. C. Raíces imaginarias y conjugadas. 8. Si la ecuación en x: (5m – 1)x2 + 4x+m=–11 tiene raíces recíprocas, calcular m. 9. Reconstruir una ecuación cuadrática en x, si sus raíces son: x1= –3 x2=1/2 10. Dadas las ecuaciones cuadráticas equivalentes: (m – 5)x2+6x+4n=0 x2+2x+12=0 calcula n – m. 11. Edú encuentra dos números cuya suma es ocho y su hermano Mathías encuentra que la suma de las inversas de los mismos números es igual a dos tercios. ¿Cuál fue el mayor número en- contrado? 12. Relaciona correctamente: x2+x+1=0 A x1.x2=1/4 x2+6x+5=0 B x1+x2=–1 x2–9x+8=0 C D=16 4x2+4x+1=0 D C.S.={1;8} 13. Si: 3x2 – 7x + 1 = 0 tiene C.S. = {x1 ; x2}, calcule: E = x x 1 1 1 2 + a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
- 64. Capítulo 64 Colegios TRILCE Central: 6198-100 14. Sila ecuación en x: 3x2+7x+m=0 tiene como conjunto solución a {x1; x2}, calcula m si: (x1+3)(x2+3)=0 15 15. Dada la ecuación cuadrática en x: 2x2 – (a+1)x+(a+1)=0 cuyas raíces no son reales, calcular el mínimo valor de a, si a∈. Tú puedes 1. Si α es solución de: x2 – 3 x+1=0, halle: α12 + α6 + 1 a) 3 b) 2 c) 1 d) - 1 e) 4 2. Si: x2+3x+1=0 tiene C.S. = {x1 ; x2} , calcula el valor de: ( ) ( ) x x 3 1 3 1 1 5 2 5 + + + a) 32 b) 43 c) 51 d) 83 e) 123 3. Si D es el discriminante de: x2 – (D – 1)x + (D + 4 19 ) = 0 (D 0), determina el conjunto solución. a) ; 2 5 12 9 ' 1 b) ; 2 5 2 11 ' 1 c) ; 2 3 2 9 ' 1 d) ; 2 3 2 11 ' 1 e) f 4. Si: x2–x–c=0 tiene C.S.={α; β}, de modo que: 1 1 2 2 β α α β + + + = c – 20; calcula el mayor valor posi- tivo de c. a) 6 b) 12 c) 8 d) 16 e) 14 5. Si una de las raíces de: x2 + px + q = 0 es el cuadrado de la otra, calcula: pq p q q 3 2 + + a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
- 65. 65 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 16 Ecuaciones polinomiales Problemas para la clase 6. Si x1; x2; x3 son las raíces de la ecuación: 2x3 – 6x2+7x+1=0 relaciona correctamente A. 1/2 I. x1+x2+x3 B. 3 C. 7/2 II. x1x2+x1x3+x2x3 D. –1/2 E. –3 III. x1x2x3 F. –7/2 a) IE - IIF - IIID b) IE - IIC - IIID c) IB - IIC - IIID d) IB - IIC - IIIA e) IB - IIF - IIID 7. Si la ecuación: xn+2 + 4xn+1 + 7xn – 1 = 0 presenta cuatro raíces, halla n. a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5 8. La ecuación: (n+1)xn–1+7x2 – 2nx+3n=0 tiene 3 raíces x1; x2; x3. Calcula: x1+x2+x3+x1 . x2 . x3 a) 5 1 − b) 5 19 − c) –1 d) 5 17 − e) –2 9. Indica la suma de la mayor raíz positiva con la mayor raíz negativa que se obtienen al resolver: 9x4 – 37x2 + 4=0 a) 0 b) 6 11 c) 3 5 d) – 6 11 e) – 6 5 10. Forma una ecuación bicuadrada que tenga por dos de sus raíces : – 2 3 y 5. a) x4+42x2+280=0 b) x4 – 40x2+390=0 c) x4 – 37x2+300=0 d) x4 – 42x2+280=0 e) x4+37x2+280=0 1. Resuelve la ecuación: (x – 1)(x+2)(x+5)=0 a) {–5; 1; 2} b) {1; 2; 5} c) {–2; –1; 5} d) {–5; –2; –1} e) {–5; –2; 1} 2. Indica verdadero (V) o falso (F) respecto a la ecuación polinomial: (x – 3)2(x+2)4(x+1)3=0 I. Tiene 9 soluciones. II. Tiene 9 raíces III. x=3 es raíz de multiplicidad 3 IV. La raíz de mayor multiplicidad es x=–2 a) VFFV b) VVVF c) FFVV d) FVFV e) FVVV 3. ¿Cuál es la mayor de las raíces de la siguiente ecuación: (x – 2)(x2+x – 20)=0? a) –4 b) 2 c) –2 d) 4 e) 5 4. Luego de resolver: x3+x2 – 6x=0 indica la menor solución. a) –6 b) –3 c) 0 d) 2 e) 3 5. Resuelve la ecuación: x3 – 4x2+5x – 2=0 ¿Cuál es la raíz de mayor multiplicidad? a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) –2
- 66. Capítulo 66 Colegios TRILCE Central: 6198-100 16 11. Siuna raíz de: x3 – 3x2 – 13x + 15=0 es igual a 5, halla las otras raíces. a) {3 ; – 1} b) {– 3 ; – 1} c) {– 3 ; 1} d) {– 3 1 ; 1} e) { 3 1 ; – 1} 12 Siendo x1; x2; x3 y x4 raíces de la ecuación: x4 – 2x3 – 7x2+8x+12=0 tales que x1x2x3x4 Calcula: x1.x2+x1+x3+x3 . x4 a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12 13. Si la ecuación: 2x3+7x2 – 3x – 3 = 0 tiene una raíz racional, calcula la suma de sus raíces irracionales. a) 2 3 b) –3 c) 3 d) 2 1 e) 2 3 − 14. Si una raíz de la ecuación en x: x3 – 12x2+39x – n = 0 es la semisuma de las otras dos, calcula n 3 - . a) 4 b) 5 c) 2 d) 8 e) 0 15. Si: 3x3 – 2x2+7x+k=0 tiene C.S.={x1; x2; x3}; además: x x x x x x 1 1 1 7 8 1 2 2 3 1 3 + + = Calcular k. a) 4 7 b) – 4 7 c) 1 d) – 1 e) 4 1 16. Calcular el valor de m, sabiendo que las raíces de: 4x3 – 24x2+mx+18 = 0 son: x1=α+β, x2=α y x3 = α – β. a) 18 b) 21 c) 23 d) 25 e) 27 17. Luego de resolver: (x2 – 3)2=4x2 – 7 indica su mayor solución. a) –3 b) 2 c) 1 d) 2 2 e) 3 18. Si x0 es una raíz de la ecuación: x5 – 3 = 4x, halla el valor de: – x x 8 1 2 5 0 0 5 + a) 2 1 b) 3 2 c) – 5 3 d) –4 e) 1 19. La siguiente ecuación: x5 – 3x4 – 6x3+10x2+21x+9=0 tiene: a) 5 raíces diferentes b) 2 raíces de multiplicidad 2 c) 1 raíz de multiplicidad 2 y otra de multiplicidad 3 d) 1 raíz de multiplicidad 4 e) no tiene solución. 20. Halle el valor de a en la ecuación: x3 + x2 + (1 – 3a)x – 24 = 0, si el producto de dos de sus raíces es - 8. a) – 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6 21. Determina el valor de m, si las raíces de la ecuación cúbica en x: x2n–5 – (4n – 1)x2+mx+5=0 están en progresión aritmética. a) 16 b) 25 c) 36 d) 49 e) 64 22. En la ecuación cúbica: x3+ax2+bx+c=0 se sabe que la suma de las inversas de dos de sus raíces es igual a la tercera. Luego, una raíz es: a) b – a b) c – b c) c – a d) a – b e) b – c
- 67. Álgebra 67 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 23. Si x1; x2 y x3 son las raíces de la siguiente ecuación: x3+7x – 5 = 0 calcula: x x x x 5 x 5 x 5 1 2 2 2 3 2 1 2 3 - + - + - a) 0 b) –7 c) –14 d) –21 e) 10 24. Calcula a + b en la ecuación: x3 + ax2 + bx + 7 = 0 para que una de sus raíces sea x1 = 1 – 8 , siendo a y b ∈ . a) 2 b) 5 c) 8 d) – 8 e) – 5 25. Reconstruir una ecuación con coeficientes racionales de grado mínimo, que tenga como raíces los números: 1 ; 1 2 ; 3i i 1 = - + ^ h De como respuesta el coeficiente de su término lineal. a) 1 b) 5 c) 7 d) 9 e) 12 Practica en casa 1. Resuelve la ecuación: (x – 3)(x – 6)(x+2)=0 2. Respecto a la ecuación polinomial ,completa: (x – 6)4(x + 2)8(x – 1)2 =0 A. La raíz que más se repite es: ....................... B. La raíz: x=–2 tiene multiplicidad: .............. C. La ecuación tiene ............... raíces. D. La ecuación tiene .............. soluciones . 3. Resuelve la ecuación: (x+5)(x2+x – 30)=0 De como respuesta la suma de las dos menores raíces. 4. Luego de resolver: x3 – 5x2 – 24x=0 indica la mayor solución. 5. Calcula la raíz de mayor multiplicidad de la ecuación: x3 – 9x2+15x+25=0 6. Si x1; x2; x3 son las raíces de la ecuación: 3x3 – 5x2+4x – 1=0 completa: I. x1+x2+x3= ________ II. x1x2+x1x3+x2x3= ________ III. x1x2x3= _________ 7. La ecuación: 3xn–8 + 4xn–7 + 5 = 0 presenta diez raíces. Calcula n. 8. La ecuación: nxn–1+6x2 – 2nx + n+3 = 0 tiene tres raíces: x1 ; x2 y x3. Calcule: G = x1 + x2 + x3 + x1x2x3 9. Resuelve la ecuación bicuadrada: x4 – 13x2+36=0 10. Reconstruye una ecuación bicuadrada que tenga por dos de sus raíces a –3 y 5 . 11. Si una raíz de: x3 – 3x2 + 9x – 27 = 0 es igual a 3, halla las otras dos raíces.
- 68. Capítulo 68 Colegios TRILCE Central: 6198-100 12. Lasraíces de la ecuación en x: x3 – mx2 +5x – n = 0 son x1; x2; x3, tales que x 1 x 1 x 1 10 + + = 1 2 3 Calcular el valor de n. 13. El campo de fútbol de un club campestre está representado por un rectángulo de dimensiones: Largo = x1x2 + x2x3 + x1x3 Ancho= x1x2x3 + x1 + x2 + x3 donde: x1, x2 y x3 son las raíces de la siguiente ecuación polinomial: x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0. Calcula el área rectangular. 16 14. Si b es una raíz de la ecuación: 2x3 – x + 5 = 0, calcular: E= – b b 3 1 3 + 15. Si: 3 – 2 2 es una raíz de la ecuación: x3 – 8x2 + ax + b = 0, calcular el valor de a – b (a ∧ b ∈ ). Tú puedes 1. Si x1, x2 y x3 son las raíces de: x3+mx+10=0; calcular la suma de cubos de las mismas. a) – 18 b) 27 c) – 30 d) – 27 e) 18 2. Determine la condición que debe cumplir el parámetro real m de manera que la ecuación: x4 – 2(m – 1)x2+m2 – 2m=0 admita al menos una raíz real y otra imaginaria. a) m0 b) m2 c) 0≤m2 d) m2∧m3 e) –2m0 3. Sea la ecuación: x3 – 5x2 = 5x – 1, cuyas raíces son: – 1, α y β. Calcular el valor de: – – 6 1 6 1 2 2 α α β β + a) 1 b) 2 c) – 3 d) 4 e) – 2 4. Si: α es una raíz de la ecuación: x2 = – x – 1 β es una raíz de la ecuación: x5 = x + 2 indicar el valor de: β5 – a3β+2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Si una raíz de la ecuación: x5 – 5x4+ax2+bx+c=0 (a; b; c∈) es 2+ 2 , calcular la suma de los productos binarios de las 3 raíces racionales. a) 1 b) 6 c) –6 d) 5 e) –1
- 69. 69 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 17 Repaso II Problemas para la clase 6. Resuelve la ecuación: 9x – (5x+1) – {2+8x – (7x – 5)+9x}=0 a) 4 3 ' 1 b) {–1} c) 4 1 - ' 1 d) 3 4 - ' 1 e) 4 3 - ' 1 7. Resuelve: x 5 3x 2 3 3 2x 5 - - = - - a) {0} b) {1} c) {2} d) {4} e) {16} 8. Indica verdadero (V) o falso (F) respecto a la ecuación: mx2+nx+m=0 A. La suma de raíces es igual a: –m/n ....... ( ) B. Tiene raíces recíprocas ....... ( ) C. Su discriminante es igual a: n2–4mn ..... ( ) D. Su producto de raíces es 1 ....... ( ) a) FVVV b) FFFV c) FVFV d) VFVF e) VVVF 9. La ecuación: (2m – 8)x2+3(m+4)x+(m–7)=0, tiene raíces simétricas. Calcula m. a) 1 b) –2 c) 4 d) –4 e) –1 10. Si una raíz de: x3 – 5x2+4x – 20=0 es igual a 5, halla las otras dos. a) –2 b) –2i c) 2i d) ±2i e) 2 1 11. Calcula A + B, si: – – A B 15 2 56 8 2 7 + + = a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 1. Reduzca: E= 2 – – 18 8 50 98 + a) 4 2 − b) 0 c) 2 − d) 3 2 e) 5 2 − 2. Indica verdadero (V) o falso (F): I. Si (5x –2)! = 24, entonces x = 5 26 II. La suma de los valores de x que verifican la igualdad (x – 9)!=1 es 19. III. Si C C3 x 4 x = , entonces x = 12. IV. Una de las soluciones que verifica la igualdad. C 30 3x= C 30 x+6 es x=6 a) VVFV b) VFVF c) FFFV d) FVFV e) FVFF 3. Obtén el quinto término en la expansión de: (x3+1)7 a) 35x4 b) 28x6 c) 35x5 d) 42x3 e) 35x9 4. A partir del binomio: P(x; y) = (x5 + yn)8 halla el valor de n, si el grado del sexto término es 45. a) 6 b) 8 c) 4 d) 12 e) 9 5. Reduzca: A i i i 2i i i i 2; i 1 22 13 39 8 9 16 40 = - - + + + - = - ^ h a) 1 b) 2 c) i d) 2i e) 4i
- 70. Capítulo 70 Colegios TRILCE Central: 6198-100 17 12. Hallael lugar del término independiente en la expansión de: P(x) = (x2 + x 1 3 )15 ; x ≠ 0 a) Lugar 6 b) Lugar 7 c) Lugar 8 d) Lugar 9 e) Lugar 10 13. Si: z= ( – ) ( ) ( ) i i i 1 1 1 4 8 10 + + + , halla: Re(z)+Im(z) a) 4 b) - 4 c) - 12 d) 12 e) - 6 14. Si: w = 3 – 2i y z = i + w , halla: – – z z w 3 a) 3 5 b) – 5 3 c) 5 3 d) – 3 5 e) - 1 15. Resuelve: x x x x x x x x 5 15 7 12 6 16 8 13 2 2 2 2 + + + + = + + + + Indica una de sus raíces. a) 1 b) 2 3 c) 2 1 d) – 2 1 e) – 2 3 16. Halla el valor de “k” para el cual la ecuación: x2 + (k + 3)x – k = 0 tiene raíces iguales. Indica el mayor valor. a) 4 b) 2 c) – 4 d) – 1 e) 3 17. Siendo x1 y x2 raíces de la ecuación: x2 – 8x – 12 = 0 calcula: (x1 + 1)–1 + (x2 + 1)–1 a) 5 8 b) 21 10 c) – 3 10 d) 15 2 e) – 5 18. Las raíces de: 2x3+9x2+10x+b=0 son proporcionales a 1, 2 y 6. Calcula: b2 – 1. a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 19. Simplifica: M 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = - - - - - - a) 2 b) 1 c) 0 d) 2 +1 e) 2 –1 20. En el desarrollo de P(x)=(2+3x2)n, el coeficiente de x24 es 4 veces el coeficiente de x22. Calcula el término independiente de la expansión. a) 219 b) 223 c) 243 d) 225 e) 221 21. Efectúa y da el módulo del complejo: z 2 i 2 i 9 4 = - a) 2 b) 2 4 c) 2 d) 3 e) 3 9 22. Indica el valor de x en: c a b x b a c x a b c x a b c 4x 1 + - + + - + + - + + + = a) abc b) a+b+c c) a–b+c d) 0 e) a – b – c 23. Dada la ecuación: 5x2+7x+3=0, determinar la ecuación de segundo grado que tiene por raíces las recíprocas de las raíces de la ecuación dada. a) x2+7x+5=0 b) x2+2x – 3=0 c) 2x2 – 7x+3=0 d) x2+5x+7=0 e) 3x2+7x+5=0
- 71. Álgebra 71 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Practica en casa 1. Transforma a radicales simples: a) 4 2 3 + b) 6 20 + 2. A partir de la ecuación: a! (a! - 5) = 6, calcula el valor de: a 1 + . 3. Obtén el cuarto término en la expansión de: (x2 + y3)10 4. Efectúa: i343+i459+i623+i975+i1240 – i4020 ; i= 1 − 5. Resuelve: 3 2 5 x 1 4 3 3 x 6 + = - c c m m 6. Resuelve: (x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2 7. Dada la ecuación: 3x2 – 7x+1=0 de raíces x1 ∧ x2, completar: I) x1+x2= ______ II) x1 . x2 =________ III) x 1 x 1 1 2 + = ________ 8. Si x1, x2 y x3 son raíces de: x3 – 6x2+11x – 6=0 Calcula: (x1x2x3) ÷ (x1 + x2 + x3) 9. Efectúe: – – – – 16 2 63 12 2 35 8 2 15 4 12 + + + 10. Relaciona correctamente: z=3+4i w=5 – 12i A zimag.puro: a=3 wreal : b=2 9 25 − + − B –1 i258 C 8i z=(a – 3)+4i w=5 – (b – 2i) D |z|=5; |w|=13 11. Si: z= – b i a i 3 2 + es un complejo real, halle el valor de: a a b + (i= 1 − ). 12. Si una solución de la ecuación dada es 2 3 , halle el valor de m: 4mx2 + 10mx – 2m – 11 = 0 13. Halla m, si las raíces de la ecuación son iguales: x2 – 2 (1+3m)x+7(3+2m)=0(m0). 14. Si las siguientes ecuaciones cuadráticas: (2n+1)x2+5nx+20=0 (5m – 52)x2+(m – 4)x+4=0 son equivalentes, calcula m . n. 15. Forma una ecuación bicuadrada que tenga por dos de sus raíces a 2 – y 2. 24. Halla el mayor valor de α, tal que una de las raíces de: P(x) = x3 – 28x+α es el doble de la otra. a) 24 b) 48 c) –48 d) –24 e) –12 25. Si la gráfica del número complejo: z 1 mi 1 mi ; m R = - + d Es la que se muestra en la figura, encuentra el valor de m. Im(z) Re(z) a) 4 b) –2 c) 1 d) –1 e) 2
- 72. Capítulo 72 Colegios TRILCE Central: 6198-100 17 Túpuedes 1. Siendo a y b raíces de la ecuación: 5x2 – 23x + 11 = 0; halla el valor de E= – – . – – a a b b 2 9 3 1 2 9 3 1 c c m m a) 2 1 b) 2 3 c) 1 d) 2 e) 4 2. Indica la solución de: – – – x x x x 1 1 2 4 2 4 + + 3 3 = x a) 2 b) 0 c) 1 d) 3 e) – 3 3. Indica el equivalente de: – i i 2 1 7 2 1 7 + + c c m m 4 4 a) 1 b) – 1 c) 3 d) 5 e) 6 4. Calcula: C C C C ... C 0 n 2 1 n 2 2 n 2 3 n 2 n n 2 + + + + + ^ ^ ^ ^ ^ h h h h h a) Cn n 1 + b) Cn 2n c) Cn 4n d) Cn 2n 1 - e) Cn 2n 1 + 5. Calcula: . . . . . . . . . . . . ... 1 4 3 4 8 3 5 4 8 12 3 5 7 4 8 12 16 3 5 7 9 + + + + + a) 2 3 b) 3 2 c) 2 2 d) 3 3 e) 4 2
- 73. 73 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 18 Matrices Problemas para la clase a) 3 3 2 4 1 6 - R T S S S S V X W W W W b) 4 3 1 3 6 2 - = G c) 3 4 3 1 2 6 - = G d) 4 2 1 3 6 3 - = G e) 6 1 1 4 4 3 = G 6. Dadas las matrices: A 3 1 1 3 y B 9 0 2 1 = - = = = G G además: P(x; y)=3x – 2y+2 Calcula P(A; B) a) 7 1 0 1 = G b) 9 3 2 3 = G c) 2 0 7 1 - = G d) 7 3 7 9 - - = G e) 9 0 1 2 = G 7. Si la matriz: A 1 2 x y 1 5 3 z 6 = - - R T S S S S V X W W W W es simétrica, calcula x – y+z a) 6 b) 5 c) –4 d) 10 e) 4 8. Dadas las matrices: A 4 2 0 3 1 2 ; B 1 0 2 1 3 0 = - - = R T S S S S = V X W W W W G calcula A×B. a) 2 4 2 11 - = G b) 4 4 1 0 - = G c) 2 4 11 0 = G d) 2 2 4 11 - = G e) 2 0 4 11 = G 9. Dada la matriz A 3 1 0 2 = = G calcula: A2 – A. a) 6 4 0 2 = G b) 0 0 3 2 = G c) 4 1 2 1 = G d) 3 1 4 0 = G e) 5 0 0 2 = G 1. De la matriz: A 6 1 8 4 0 4 –2 3 5 1 2 0 = - - R T S S S S V X W W W W calcula a12 – a32+a24 – a13 a) 0 b) 2 c) 6 d) 10 e) 12 2. Escribe explícitamente la matriz: A = (aij)3x2 / aij = i+2j a) 3 4 5 5 6 7 H b) 3 4 5 7 8 6 H c) 5 6 7 7 8 9 H d) 4 0 1 2 0 4 H e) 4 1 0 5 6 7 H 3. Calcula x, si la traza de la siguiente matriz: B 4 3 5 0 x 2 0 1 6 1 = - - - R T S S S S V X W W W W es igual a 14. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 4. Sean las matrices: A = – – x y x x y 2 3 = G ; B = y 2 3 4 4 + = G halla xy, si: A = B. a) 2 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 5. Dadas las matrices: A 2 3 1 2 3 4 y B 1 2 1 1 3 2 = - - = R T S S S S = V X W W W W G Calcular A+Bt.
- 74. Capítulo 74 Colegios TRILCE Central: 6198-100 18 10. Sedefine la matriz: A 1 3 0 1 = = G calcula A50. a) 1 3 0 1 50 = G b) 1 50 0 1 = G c) 1 150 0 1 = G d) 1 3 0 1 = G e) 1 0 0 1 = G 11. Escribir explícitamente la matriz: A = (aij)2x3 / aij = ; – ; j i j i j i j 2 i H + ) a) 3 1 4 0 5 0 e o b) – 3 5 1 6 2 1 e o c) – – – 3 5 1 6 2 1 e o d) – – – 2 5 1 6 2 1 e o e) 3 5 1 6 2 1 e o 12. Dada la matriz: A = – – – x y y x x y x y x x y 2 3 9 3 8 2 2 7 + + H Donde se cumple: traz(A) = 16 ; a21+a31=a22+1 Calcula xy. a) 6 b) 4 c) 5 d) 3 e) 7 13. Sean las matrices: A = – – x y y 2 1 3 2 e o ; B = – – y x x 5 1 2 2 + e o C = – – 2 4 5 1 e o Halla A+C, si: A = B a) 5 3 3 1 e o b) 5 9 3 1 e o c) – 5 4 2 2 e o d) 1 0 2 1 e o e) 5 3 2 1 e o 14. Sean las matrices: A = 0 3 1 2 e o ; B = – 2 0 3 1 e o que verifican el sistema matricial: – x y A x y B + = = ) Calcula la matriz x. a) 1 1 2 1/2 = G b) 2 1/2 1 3/2 = G c) 1 3/2 1/2 0 = G d) 1 3/2 2 1/2 = G e) 1 0 0 1/2 = G 15. Dadas la matrices: A 3 3 4 9 2 1 ; B 1 4 3 2 1 0 4 5 1 = = R T S S S S = V X W W W W G calcula A×B. a) 25 2 10 15 34 58 = G b) 12 12 15 11 16 10 = G c) 25 42 10 15 34 8 = G d) 5 25 0 15 4 58 = G e) 25 42 10 15 34 58 = G 16. Si: A = – 3 2 1 1 e o ; además: F(x) = x2 + 2x – 5 Halla F(A) e indica la suma de sus elementos. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15 17. Halla la matriz X que verifique: 2 1 5 3 X 4 2 6 1 = - $ = = G G Indica traz (X). a) 2 b) 5 c) –17 d) 10 e) –2 18. Halla la matriz inversa de: A 6 3 4 3 = = G a) 1/2 1/2 2/3 1 - - = G b) 2 3 1/2 4 - = G c) 2 1/3 1/2 1/2 - = G d) 1/2 2 1 1/3 - - = G e) 2 1/2 1/3 3 - - - = G
- 75. Álgebra 75 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 19. Escribe explicitamente la matriz: A a 3×2 a 3i 2j i j 2i 3j ; ; ; i j i i i j ij ij = = + + + = 6 @ Z [ ] ] ] a) 2 8 10 6 4 11 R T S S S S V X W W W W b) 2 11 8 6 4 13 R T S S S S V X W W W W c) 2 6 8 8 4 10 R T S S S S V X W W W W d) 2 8 11 8 4 13 R T S S S S V X W W W W e) 2 8 13 6 4 10 R T S S S S V X W W W W 20. Sean las matrices: A 2x y 3x 4y 7 10 B 6 x y 7 11 2x 10 3 8 2 = + - - = + - - = G H Donde se cumple: traz(A) = traz(B) ∧ a21=b21 Calcula: 2x – y a) 60 b) 50 c) 63 d) 56 e) 48 21. Sea A 1 0 0 0 b c a 0 0 = R T S S S S V X W W W W (a; b; c∈+) se sabe que la segunda columna de la matriz A2 – At es 3 2 6 R T S S S S V X W W W W Calcula el valor de a+b+c. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 22. Dado el sistema matricial: x + y = – 5 2 1 3 e o ; x – y = 1 2 1 7 e o halla: xt . yt a) 6 2 6 12 e o b) – – 6 2 6 12 e o c) – 5 2 5 0 e o d) – 1 2 1 1 e o e) – – 6 2 6 12 e o 23. Resuelve la ecuación matricial: 1 3 2 7 X 4 0 1 2 = - = = G G a) 31 6 9 2 - - = G b) 28 6 11 2 - - = G c) 28 12 11 5 - - = G d) 31 28 9 11 - - = G e) 31 –12 9 5 - = G 24. Sean las matrices: A = – 2 3 1 1 e o ; B = m n 1 5 e o Si A y B son permutables respecto a la multiplicación, halla m+n. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 25. Dada la matriz: A 0 0 3 1 0 0 0 2 0 = R T S S S S V X W W W W calcula la suma de los elementos de A40. a) 611 b) 614 c) 613 d) 612 e) 6
- 76. Capítulo 76 Colegios TRILCE Central: 6198-100 18 Practicaen casa 1. Dada la matriz: A 1 4 3 0 1 2 3 7 0 = - - R T S S S S V X W W W W Calcula: a23 – a31+a13 2. Escribir explícitamente la matriz: B=[bij]2×2 / bij=2i+j 3. La traza de la matriz: A x 1 0 6 x 4 esiguala9 = + - = G . Calcula el valor de x. 4. Si: – – – a x y 3 2 5 4 3 3 3 = e e o o calcula: a – x + y 5. Dadas las matrices: A 1 3 0 0 4 1 y B 6 10 1 5 4 0 = - = - R T S S S S = V X W W W W G Calcula At+B. 6. Dadas las matrices: A = – 2 1 1 2 e o ; B = – 5 0 1 1 e o Si P(x; y) = x+y+2, halla P(A; B) 7. Si la matriz: A 4 3 5 x 1 2 6z y 3 12 1 = - + R T S S S S V X W W W W es simétrica, calcular x+y+z. 8. Dadas las matrices: A 1 2 0 3 ; B 2 1 0 0 4 3 = = R T S S S S = V X W W W W G Calcula B×A. 9. Completar correctamente a partir de la matriz: C = 4 0 1 3 e o • Ct = ___________________________ • 2C = ___________________________ • C2 = ___________________________ 10. Dada la matriz: A 2 3 1 1 = - = G calcula A2+2A 11. Sea la matriz: B 4 2x y 3x 1 x 6 y 8 = - - - R T S S S S V X W W W W Donde se cumple: b31 – b21=b22 b12=b22 Calcula: x – y 12. Sean las matrices: A = – x y x y 3 1 e o ; B = – – y x 2 1 6 6 e o ; C = – – 4 2 8 3 e o Si: A = B, halla: 3A + 2C. 13. Dado el sistema matricial: x y A x y B ; donde A 3 2 1 0 B 7 4 3 0 + = - = = - = / = = G G ) Calcula la matriz X. 14. Halla la matriz X que resuelve: X 1 2 3 1 11 7 4 3 = e e o o Indica como respuesta la suma de sus elementos. 15. Calcula la matriz inversa de: A 4 3 5 4 = = G
- 77. Álgebra 77 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Tú puedes 1. Si: A = – – 3 2 5 2 e o ; B = – 2 4 3 5 e o ; C = – – 7 2 3 1 e o; resolver: 3(x – 2A) = 5(B – C) + 2(x – A – B) a) – – 29 6 4 28 e o b) – – 29 6 4 28 e o c) – – 29 6 4 28 e o d) 29 6 4 28 e o e) – – 29 6 4 28 e o 2. Si A y B son dos matrices simétricas de orden n y C es una matriz cuadrada de orden n que cumplen la condición: Ct+ABt(C – It)=At(BC – I) Determinar la matriz C. a) AB b) B – A c) A – B d) (A – I)B e) (B – I)A 3. Dada la matriz: A = – – 1 2 1 1 1 0 1 0 0 f p , calcular: A100. a) A b) – A c) I d) 2I e) φ 4. Hallar la suma de los elementos de la matriz: C = (BA)t – 2A, si: A = – 2 1 2 0 4 2 1 1 1 f p ; B = – – – 6 2 1 3 4 5 2 0 2 f p a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 5. Si A; B; X son matrices de orden n que poseen inversas, tales que B.A=I, y que satisfacen la condición: AX=X+B–1. Halla la matriz X. a) (A – I)–1 b) (I – A)–1 c) (I – B)–1 d) (B – I)–1 e) (A – B)–1
- 78. Capítulo 78 Colegios TRILCE Central: 6198-100 Determinantes 19 Problemaspara la clase 7. Calcula P(–1; 0; 2), si: P(x;y;z) x 2 1 y 0 4 z 1 3 = a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23 8. Si {m; n} es el conjunto solución de la ecuación: x2 – 3x+1=0, calcula el valor de: m n 1 1 m 4 0 n - + a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 9. Reduzca: 5 1 7 8 2 9 12 5 0 1 5 1 6 7 6 9 4 9 5 1 7 12 5 0 8 2 9 - + + - a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4 10. Un alumno del colegio Trilce tiene sus notas de Aritmética (A), Álgebra (X), Geometría (G) y Trigonometría (T), representados por los siguientes determinantes: G 4 0 1 = 15 ; A 1 2 3 = 46 X 2 0 0 2 0 3 1 5 = 200 ; T T 2 1 3 1 2 3 + = 19 Calcula el promedio de sus notas. a) 16 b) 16,5 c) 17 d) 17,25 e) 18 11. Calcula el determinante: – – – – 4 3 1 3 2 7 5 8 5 a) 100 b) 90 c) 80 d) 10 e) 0 1. Efectúa: 4 2 1 3 2 0 3 1 4 + a) 1 b) 4 c) 8 d) 10 e) 16 2. Calcula x en: x 1 2 3 17 - = a) 5 b) 3 19 c) 7 d) 3 22 e) 8 3. Calcula: 1 0 3 6 2 1 1 1 0 - - a) –9 b) 10 c) –11 d) 12 e) –13 4. Efectúa: 2 3 1 4 5 0 0 1 2 0 7 1 1 + - a) 0 b) 3 c) –2 d) –5 e) 10 5. Resuelve la ecuación: 1 4 1 0 x 1 3 0 2 =1 a) {9} b) {11} c) {2} d) {7} e) φ 6. Calcula: 1 1 1 5 7 8 25 49 64 a) 5 b) 4 c) 6 d) 3 e) 2
- 79. Álgebra 79 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 12. Luego de resolver la ecuación: x 2 1 x 3 1 4 0 x 0 - - = calcula la suma de soluciones. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 13. Sabiendo que: a 2 b 3 a 6 b 5 32 - - - = calcula el valor de 4a 4 b 1 - a) 8 b) 16 c) 32 d) 64 e) 128 14. Si a y b son raíces de: x2 – 4x+1=0, calcular el determinante de: A = – α β β α β α + + = G a) 4 b) 9 c) 16 d) 25 e) 36 15. Resolver: x x x x x x x x x 1 2 3 5 7 1 2 + + + + + + + + – x 0 0 6 2 0 7 8 1 = 8 a) {–4} b) {6} c) {3} d) {–2} e) {7} 16. Resolver la ecuación: x 1 x x x x 1 x x x x 3 0 - + + = a) {–6} b) {–5} c) {–4} d) {–3} e) {–2} 17. Se define la matriz: A 6 5 5 5 7 7 5 5 8 8 8 5 5 5 5 5 = R T S S S S S V X W W W W W Calcula det (A). a) 5 b) 6 c) 10 d) 24 e) 30 18. Calcula el determinante de la matriz X que verifica: X 7 5 4 3 8 6 5 4 = = = G G a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) –3 19. Dada la matriz A a c b d = = G que verifica: |A|=4 ∧ (a+d) – (b+c)=8, resuelve la ecuación en x: a x c x b x d x –4 + + + + = a) {0} b) {–1} c) {1} d) {2} e) {3} 20. Efectúa: x 5 x 5 x 5 x 5 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3 + - - + + + - - + a) 20x b) 32x c) 40x d) 44x e) 50x 21. Se define: P(x;y;z) x 0 0 0 y 0 0 0 z x 4 8 0 y 9 0 0 z x 0 0 5 y 0 7 5 z = + + Calcula: P(1; 2; 4) a) 16 b) 18 c) 24 d) 15 e) 21 22. Simplifica la expresión: a b 2ab 2ab a b b 2ab a 2 2 2 2 2 2 a) a2+b2 b) a3+b3 c) ab+1 d) a+b e) a2 – b2 23. Calcula x al resolver: – x x x 4 3 3 6 2 4 2 3 5 + = 7 Indica como respuesta: 3x+2. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) –2
- 80. Capítulo 80 Colegios TRILCE Central: 6198-100 19 24. Calculax en: a a 2a b 2b b 2c c c x c ab a b - - - = + a) x a b abc = + b) x a b abc =− − c) x a b 5abc = + d) x a b 5abc =- + e) x a b 3abc = + 25. Si α; b; θ son las raíces de la ecuación: x3+4x+3=0 Calcula el determinante de la matriz: a b i b i a i a b R T S S S S V X W W W W a) 0 b) 1 c) –1 d) 4 e) 3 Practica en casa 1. Efectúa: 3 1 2 1 3 4 0 1 2 + 2. Calcula x en: x 5 2 1 = 4 3. Calcula el determinante: 2 5 1 1 3 4 3 2 3 4. Efectúa: 5 2 1 1 3 1 4 0 2 3 0 0 1 - + - 5. Resuelve la ecuación: 1 3 1 x 2 0 0 1 2 6 =- 6. Calcula: 1 2 4 1 4 16 1 5 25 7. Si P(x; y; z)= x 0 3 1 y 1 0 2 z Calcula P(1; 1; 2) 8. Si {α; b} es el conjunto solución de la ecuación: x2 – 7x+2=0, calcula el valor de: 1 1 0 4 - a b a b + 9. Calcula: |A| = 4 3 2 1 5 6 7 8 2 4 6 8 4 3 2 1 10. Un alumno del colegio Trilce tiene sus notas de Aritmética (A), Álgebra (X), Geometría (G) y Trigonometría (T), representados por los siguientes determinantes: X 3 4 2 = 52 ; A 2 4 5 = - 54 G 3 2 1 0 4 0 0 2 = 96 ; T T 2 1 4 2 3 5 + = 62 ¿Cuál fue su mejor nota? 11. Calcula: x 3 x 3 x 3 x 3 + - - + 12. Indica el producto de las soluciones de la ecuación: x 5 8 0 x 2 0 1 1 3 2 3 x 0 - + - = 13. Resuelve la ecuación: 1 0 4 x 1 2 3 1 2 - - - =0 14. Resuelve la ecuación: x 10 x 11 x 12 x 4 x 5 x 6 x 10 x 11 x 12 1 4 2 0 x 1 0 0 3 15 + + + + + + + + + + = 15. Calcula det (A), si: A 1 1 1 b a b 2b c b c a c = + + + R T S S S S V X W W W W
- 81. Álgebra 81 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Tú puedes 1. Sea la progresión geométrica: ÷÷2:n2:n3:n4... cuya razón es: k2; se cumple en ella que la suma de los cuatro primeros términos es igual a 80. (k ∈ +). Hallar: 2a – b, a partir del siguiente resultado: a 1 b 2 ak2 k2 bk2 2k2 ak3 k3 bk3 2k3 ak k bk 2k + + + =120 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 2. Si A es una matriz definida por: A = h –1 0 0 hx h –1 0 hx2 hx h –1 hx3 hx2 hx h , entonces el valor del Det(A), es: a) h3(x+h)3 b) x3(x+h) c) (x+h)3 d) x(x+h)3 e) h(x+h)3 3. Calcular: 0 a b c –a 0 d e –b –d 0 f –c –e –f 0 a) (af+be – cd)2 b) (af – be+cd)2 c) (af – bd+ce)2 d) (ad+bf – ce)2 e) (ad – bf+ce)2 4. Calcular: x 0 –1 1 0 1 x –1 1 0 1 0 x–1 0 1 0 1 –1 x 1 0 1 –1 0 x a) (x2+x+1)(x3+x+1) b) (x2 – x+1)(x3+1) c) (x2 – x+1)(x3 – x – 1) d) (x2 – x – 1)(x3 – x – 1) e) (x2 – x+1)(x3 – x+1) 5. Calcula: 1 6 5 4 3 2 2 1 6 5 4 3 3 2 1 6 5 4 4 3 2 1 6 5 5 4 3 2 1 6 6 5 4 3 2 1 a) –21(6)4 b) 22(6)4 c) 21(6)4 d) 23(6)4 e) 21(5)4
- 82. Capítulo 82 Colegios TRILCE Central: 6198-100 Sistemade ecuaciones 20 Problemas para la clase tiene infinitas soluciones, calcula el valor de m+n. a) 4 b) 8 c) 9 d) 10 e) 13 7. Calcula el valor de m si el sistema: mx 8y 6 2x my 3 + = + = ) no tiene solución. a) –4 b) 0 c) 4 d) 2 e) más de una alternativa es correcta 8. Luego de resolver el sistema: x 2y z 11 x y z 6 x y z 8 + - = + + = - - = * calcula: x . y – z. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 9. Determina la solución del siguiente sistema: 2x y 18 y 4z 6 x z 3 + = + = + = * a) (1; 10; 4) b) (4; 10; –1) c) (–4; –1; 10) d) (4; 10; 1) e) (–1; 4; 10) 10. Carlos tiene pantalones de colores negro, azul y verde. Todos sus pantalones son de color negro, menos 4; todos son de color azul, menos 4; y todos son de color verde, menos 4. ¿Cuántos pantalones tiene Carlos en total? a) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 9 1. Si (2; 3) es solución del siguiente sistema en x e y: x ay 11 x y b + = + = ) calcula: a×b a) 5 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18 2. Calcula x, si: x y 5 x y 1 + = - = ) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Resuelve el sistema: 2x y 1 x 3y 11 = + = − ) Indica el valor de xy. a) 6 b) 3 c) 2 d) 12 e) 18 4. Calcula xy al resolver: x y x y 2 3 8 4 5 14 + = + = ) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Resuelve: – x y x y 7 3 2 4 + = = * Indicando el valor de x+y a) 3 b) 7 c) 10 d) 12 e) 15 6. Si el sistema en x e y: (m 1)x ny 6 4x 2y 3 - + = + = )
- 83. Álgebra 83 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 11. Calcula x al resolver: ( ) ( ) ( ) ( ) x y x y 2 3 3 2 18 3 4 4 3 36 + + + = + + + = ) a) –12 b) –6 c) 0 d) 6 e) 12 12. Calcular x – y al resolver: 1 2 6 7 2 1 3 4 x y x y + = + = Z [ ] ] ] a) 2 b) 3 c) 1 d) –1 e) –2 13. Determina la solución del sistema en x e y: a x y 2b b x y a–b + = - = Z [ ] ] ] ] (ab ≠ 0) a) (a; b) b) (ab; b) c) (b; a) d) (ab; a) e) (a; ab) 14. Luego de resolver: x 4 2y 5 6 x 4 3y 15 + + = + - = * calcula x+y. a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 2 15. Luego de resolver el sistema: x y z 4 2x 3y 5z 7 6x y 9z 21 + + = - + = + + = * se verifica: a) Tiene infinitas soluciones. b) No tiene solución. c) Tiene solución única d) (2; –1; 0) es una solución e) (–1; 0; 3) es una solución 16. Calcula m para que el siguiente sistema tenga solución única: x y x y x my 2 3 13 4 5 23 6 18 + = + = + = Z [ ] ] ] a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 17. Si el sistema en x e y: (a 3)x (b 2)y 8 (a 1)x (b 4)y 24 - + - = + + + = ) es compatible indeterminado, calcula a+b. a) 1 b) 2 c) 5 d) 10 e) 5 18. Calcular a en el sistema incompatible: ( ) ( ) a x ay x a y 2 2 7 5 3 8 + + = + + = ) a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 19. Resolver el sistema: 2x 1 3 x y 4 1 y 2 + = - + = Indicar el valor de x. a) 3 1 b) 2 c) 3 d) – 3 1 e) 4 20. Calcular 6x del sistema: – – – x y x y x y x y 3 2 3 4 3 3 2 3 4 1 + + = + = Z [ ] ] ] a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 21. Calcular x+y, del sistema: 2 x 1 y 3 2 23 3 x 1 y 2 1 - + = - - = Z [ ] ] ] ] a) 5 27 b) 4 23 c) 5 23 d) 9 31 e) 7 30 22. Dado el sistema lineal de incógnitas x e y: ab x b y 1 a b x a y a ab 2 2 2 - = - + = + Z [ ] ] ] ] Si ab ≠ 0, calcular: x y a) a+b b) ab c) (ab)2 d) b a e) a b
- 84. Capítulo 84 Colegios TRILCE Central: 6198-100 20 23. Resuelvael sistema: x 2x x 2 3x 6x 3x 6 3x x 3 – 1 2 3 3 2 1 1 3 - + + = + + = - = Z [ ] ] ] Calcular el valor de x1+x2+x3. a) 2 3 b) 2 9 c) 2 7 d) 10 e) 2 15 24. En una feria campestre los boletos para los adultos se venden en $ 5,50; para los jóvenes en $ 4,00 y para los niños $ 1,50. El día de la apertura, el número de boletos para jóvenes y niños que se vendieron fue 30 más que la mitad de los boletos de adultos vendidos. El número de boletos para jóvenes vendidos tiene cinco más que cuatro veces el número de boletos para niños. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron, si la venta total de boletos ascendió a $ 14 970? a) Niños=845 b) Niños=210 Jóvenes=210 Jóvenes=850 adultos=2050 adultos=2000 c) Niños=210 d) Niños=210 Jóvenes=845 Jóvenes=845 adultos=2000 adultos=2050 e) Niños=800 Jóvenes=845 adultos=2050 25. Si pqr ≠ 0, calcular el valor de x del siguiente sistema: px qz r qy rx p rz py q + = + = + = * a) p2+q2 – r2 b) 2pr q p r 2 2 2 + - c) 2pq p q r 2 2 2 + - d) 2qr q r p 2 2 2 + - e) 2pr r p q 2 2 2 + - Practica en casa 1. Si (1; 3) es solución del siguiente sistema en x e y: x y a x by 10 + = + = ) calcula a×b. 2. Calcula x, si: x y 10 x y 6 + = - = ) 3. Resuelve el sistema: x y 7 x 3y 1 + = - =- ) Calcular el valor de x . y 4. Indica el valor de x+y del sistema: 7x 4y 3 5x 3y 1 + = + = ) 5. Indica x que verifica el sistema: 4 3 4 2 – 6 –3 x y x y + = = Z [ ] ] ] 6. Si el sistema en x e y: (m 2)x ny 8 3x 5y 4 + + = + = ) Tiene infinitas soluciones, calcula n – m. 7. Si el sistema: mx 4y 2 9x my 3 + = = + ) No tiene solución, calcular el valor de m.
- 85. Álgebra 85 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 8. Resuelve el sistema: x y 5z 9 x y z 3 x y z 5 + + = - - = + + = * Calcula xy+z. 9. Determina la solución del sistema: x 1 y 2 7 x 1 y 2 3 + + - = + - - = * 10. Edú, Mathías y Carla pueden soldar 37 metros lineales por hora cuando trabajan juntos. Edú y Mathías juntos pueden soldar 22 metros lineales por hora, mientras que Edú y Carla juntos pueden soldar 25 metros lineales por hora. ¿Cuántos metros lineales por hora pueden soldar cada uno de ellos por separado? 11. Indica el valor de 7y luego de resolver: ( ) ( ) ( ) ( ) x y x y 3 5 5 3 36 4 2 2 4 18 + + + = + + + = ) 12. Resolver e indicar el valor de y: 3 – 4 5 2 1 5 2 x y x y = + = Z [ ] ] ] ] 13. ¿Para qué valor de m el siguiente sistema: ( – ) ( ) m x y x m y 2 3 4 6 2 1 12 + = + + = ) tiene infinitas soluciones? 14. Halla m para que el sistema sea incompatible: ( ) ( ) m x y m x y 1 2 5 7 2 4 8 + + = + + = ) 15. Calcula a2 + b2 en el siguiente sistema com- patible indeterminado: ( – ) – ( – ) – x y x y 3 5 10 4 3 5 α β = = ) Tú puedes 1. Calcula y al resolver: – x y xy x y 2 8 9 2 1 + + = = ) a) 4 b) 6 c) 8 d) 16 e) 32 2. Halla xy del sistema: – – – – x y x y x y x y 4 3 2 7 2 5 3 2 + + = + + = a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3. Calcula xyz al resolver: 1 1 – 1 6 1 – 1 1 4 1 1 1 x y z x y z y z x + = + = + = Z [ ] ] ] ] ] ] a) 2 1 b) 90 1 c) 60 1 d) 30 1 e) 1 4. Indica xy luego de resolver el sistema: – – – – – – x a a y b b a b x a a y b b a b + = + = Z [ ] ] ] ] a) a b) b c) a – b d) a+b e)1+ a b ab + + 5. Indica x – y al resolver: ( – ) – ax by a b bx ay a b 2 2 2 2 2 + = + = ) a) a+b b) a – b c) a d) b e) 1
- 86. Capítulo 86 Colegios TRILCE Central: 6198-100 Desigualdadese inecuaciones lineales 21 Problemas para la clase a) 5 2 b) 5 c) 10 d) 10 e) 25 10 7. Resuelve la inecuación: (x+3)(x+2)+x2 ≥ 2x(x+2)+17 a) 〈11;+∞〉 b) c) [11;+∞〉 d) 〈–∞; 11] e) φ 8. Indica el menor valor que puede tomar x en: – x x 3 2 1 4 3 1 + + ≥ x + 3 a) 5 b) 8 c) 4 d) –3 e) 7 9. Luego de resolver el sistema de inecuaciones: x+8 ≤2x+5 x+12 calcula la suma de los valores enteros del conjunto solución. a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 21 10 Calcula un número entero y positivo, sabiendo que la tercera parte del que le precede, disminuido en una decena , es mayor que 14; y que la cuarta parte del que le sigue, aumentado en una decena no llega a 29. a) 72 b) 73 c) 74 d) 75 e) 76 11. Dados los conjuntos: A={x∈/x–3 ∧ x≤6} B= x N 3 1 2x [–3; 4 ! ! − ) 3 calcula n(A – B) a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 0 1. Indica verdadero (V) o falso (F): I) Si x≥2 x∈〈–∞; 2] II) Si 4≤2x10 x∈[2; 5〉 III) Si –2x3 x2∈〈4; 9〉 IV) Si 1x4 x 1 4 1 ;1 ! a) VVVF b) VFFV c) FVFV d) FVFF e) FFFV 2. Si –2x≤1, obtener el intervalo de variación de: M(x) = 3x+1 a) 〈–2; 0] b) 〈–5; 4] c) 〈–∞; 3] d) 〈–2; 3] e) 〈–2; ∞〉 3. ¿Cuántos valores enteros toma x si verifica: 2 1 x –1;3 - ! H 6 ? a) 5 b) 7 c) 8 d) 10 e) 11 4. Sabiendo que x∈[–3; 6〉, obtener el intervalo de variación de: M(x) 3x 10 4 = + a) [4; 6〉 b) 〈2; 3] c) 7 1;4E d) 2 1 ;3 ; e) 7; 4 1 - E 5. Si: –2 x ≤ 3, calcula el intervalo de: x2 – 1 a) ]– 1 ; 8] b) [3 ; 9] c) ]3 ; 8] d) [– 1 ; 8] e) ]– 1 ; 8[ 6. Si: x∈+, indica el mínimo valor que toma: x x 6 150 +
- 87. Álgebra 87 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 12. Si (4x – 1)∈〈–13; 7〉, calcula la variación de: H(x)= 2x – 4 a) 〈1; 6〉 b) 〈–3; 2〉 c) 〈–5; 7〉 d) 〈–10; 0〉 e) 〈–3; 0〉 13. Si x∈[–2; 4〉, determina el intervalo de variación de: F(x)=(x – 6)2 – 7 a) [57; +∞〉 b) [–57; 3〉 c) [–3; ∞〉 d) 〈–3; 57] e) 〈–∞; 7] 14. Si: x ∈ 〈– 2 ; 5], halla el intervalo de variación de: M = – x x 6 2 1 + a) ; 8 3 11 ; E b) – ; 8 3 11 ; E c) – ; 8 3 3 ; E d) – ; 11 8 3 ; e) ; 8 3 11@ 15. Si {x; y} ⊂ +, calcula el mínimo valor de: x y x 1 y 1 3 + + + ^ c h m a) 5 b) 3 c) 4 d) 7 e) 6 16. Si 0ab, resuelve en “x”: a b a x 3a a b b x 3b 2 2 - - - + $ a) 〈–∞; 2] b) 〈–∞; 3] c) [3; ∞〉 d) [–3; 3] e) 17. Indica cuántos valores enteros de x verifican el sistema: 9 2 –3 5 –1 2 3 2 5 3 –2 4 x x x x + + + Z [ ] ] ] a) 5 b) 3 c) 4 d) 2 e) 1 18. Siendo x; y números enteros positivos que satisfacen las siguientes desigualdades: 5x 3y 2 2x y 11 y 3 + − * calcula x . y a) 1 b) 3 c) 4 d) 7 e) 12 19. Indica verdadero(V) o falso(F): I. Si m 0 m+ m 1 ≥2 II. Si a0 ∧ abac c – b0 III. Si a0 a 1 0 IV. Si ab a3b3 a) FVVF b) FVFF c) FFVV d) VVVF e) VVVV 20 Se definen las funciones: F(x) = 4 – 5x; x∈[–3; 1〉 G(x) = 2x 5 1 − ; 1x ≤ 2 Calcula el producto del valor máximo de “F” y el mínimo de “G”. a) –7 b) –8 c) –19 d) –10 e) –12 21. Si x∈[–5; 3], obtén el intervalo de variación de: M(x) = x2 – 4x+9 a) [3; 49] b) 〈25;39〉 c) [5; 54] d) [3; 25〉 e) 〈5; 54〉 22. Sabiendo que x4, calcula la variación de: H(x) = 3x+ x 4 12 - –12 a) [5; +∞〉 b) [12; +∞〉 c) [14;+∞〉 d) 8; + 3 6 e) 4 3; + 3 6 23. Luego de resolver en “x”: a x 2 1 3x 4a x 1 ;a ; 2 1 - + 3 # ! − − − se obtiene como conjunto solución 3 m ; 3 − B Calcula: m 3 + a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 2
- 88. Capítulo 88 Colegios TRILCE Central: 6198-100 24. Enuna tienda se han comprado lapiceros, cajas de tiza y motas, los cuales no llegan a 8 artículos. El número de lapiceros que se compró no llega a 5 y se compraron más cajas de tizas que motas. Si al doble del número de lapiceros se le resta el número de cajas de tizas y a esta diferencia se le suma el número de motas, se obtiene más de 6 artículos. Si cada lapicero, caja de tizas y mota cuesta S/.2, S/.10 y S/.8 respectivamente, ¿cuánto se ha gastado en total? a) S/.21 b) S/.24 c) S/.30 d) S/.32 e) S/.36 21 25. Calcula el valor de z x y - , si x, y, z son enteros positivos que satisfacen el sistema: 2x 3y 5z 23 2x y 5z 13 y z 1 y 4 + + + − − Z [ ] ] ] ] ] a) 5 2 b) 2 1 c) 0 d) 1 e) 2 Practica en casa 1. Expresa las desigualdades como intervalos: I) Si x5 x ∈ __________________ II) Si 2x3 2x ∈ _____________ III) Si –3x5 x2 ∈ _____________ IV) Si 1x3 x 1 ∈ ________________ 2. Si –1x4, obtén el intervalo de variación de M(x) = 2x–1 3. ¿Cuántos valores enteros toma “x” si verifica: (3 –x) ∈〈–2; 5]? 4. Si x∈〈3; 7〉,obtén el intervalo de variación de M(x)= 2x 5 12 - 5. Si –3 ≤x2, calcula el intervalo de: N(x)=x2+3. 6. Si x∈+, calcula el mínimo valor de: 3 2x x 54 + 7. Resuelve la inecuación: (x+3)2 ≤ (x+2)2+11 8. Obtén el mayor valor entero que verifica la inecuación: 2 x 1 3 x 1 1 - + - 9. Resuelve el sistema: x – 3 2x – 5x+4 10. Un carpintero hizo un cierto número de mesas; vende 35 y le quedan más de la mitad; luego le devuelven 3 y vende 18, con lo que le restan menos de 22 mesas. ¿Cuántas mesas fabricó el carpintero? 11. Dado el conjunto “A” definido por: A x Z 3 5 2x [ 3;7 = ! ! H − − ) 3 Calcula la suma de sus elementos. 12. Indica la raíz cuadrada del mayor número entero que verifica la inecuación: 6 1 2 x 1 2 1 5 x 3 1 10 x 2 3 + + + + ` ` ` j j j 13. Si ab; además a y b ∈+, resolver: b ax a b a bx b a + + 14. Las lecturas de temperaturas con las escalas Fahrenheit y Celsius se relacionan mediante la fórmula: C = 9 5 (F - 32). ¿Qué valores de F corresponden a los valores de C tales que: 30 ≤ C ≤ 40? 15. Si: x 5, ¿cuál es el mínimo valor que toma la expresión: E(x) = x + x 5 49 - ?
- 89. Álgebra 89 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Tú puedes 1. Sea: a0 y b0, determinar el menor valor de k tal que: ( ) a b a b 3 3 3 + + ≤ k ; k ∈ . a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 2. Si: a ; b ; c ∈ + , se puede afirmar que: k = ( )( ) abc a b c a b c 2 2 2 + + + + es: a) k≤1 b) k≤2 c) k≥1 d) k≥9 e) k≤20 3. Si: x0, calcular el mínimo valor de la expresión: K = x + x 4 2 a) 3 3 b) 2 3 c) 2 3 3 d) 3 2 3 e) 3 4. Sabiendo que: a ; b ; c ∈ + donde: a ≠ b ≠ c ; indicar el menor valor entero que puede tomar: k = (a + b + c) (a–1 + b–1 + c–1) a) 9 b) 10 c) 8 d) 11 e) 6 5. Calcular el mínimo valor positivo de: E= – b a a b c + + , si f(x)=ax2+bx+c es no negativo x R a 0 / 6 ! a) 3 b) 2 c) 4 d) 2 5 e) 2 7
- 90. Capítulo 90 Colegios TRILCE Central: 6198-100 Inecuacionespolinomiales y fraccionarias 22 1. Resuelve: x2 – x – 20 ≤ 0 a) 〈–∞; –4] ∪ [5; +∞〉 b) 〈–5; 4〉 c) 〈–∞; 4]∪[5; +∞〉 d) [–4; 5] e) 〈–∞; –4〉∪[5; +∞〉 2. Resuelve: (x – 1)(x – 2) 12 a) 〈–2; 5〉 b) 〈–∞; 2]∪[5; +∞〉 c) 〈–∞; 2〉∪〈5; +∞〉 d) [2; 5] e) 〈–∞; –2]∪[5; +∞〉 3. Luego de resolver: (5 – x)(x+2)6 calcula la suma de los valores enteros que la verifican. a) 2 b) 4 c) 6 d) 10 e) 12 4. Relaciona las inecuaciones cuadráticas con su respectivo conjunto solución: A. –{1} I. (x–1)2 ≥ 0 B. φ C. –{5} II. (x+3)20 D. {–3} E. {2} III. (x+5)2 ≤ 0 F. G. {–5} IV. (x – 2)20 H. –{2} a) IA - IIB - IIIG - IVE b) IF - IIB - IIIG - IVH c) IF - IID - IIIC - IVH d) IA - IID - IIIG - IVH e) IF - IIB - IIIC - IVE 5. Resuelve: x2 – 8x+190 a) b) 〈0;+∞〉 c) 〈4;+∞〉 d) {4} e) φ 6. Resuelve: (x – 1)(x+3)(x – 4) ≥ 0 a) [–3; 1]∪[4;+∞〉 b) 〈–∞; –3]∪[1, 4] c) 〈–∞; 1]∪[4;+∞〉 d) 〈–∞; –3]∪[4;+∞〉 e) [–3; 4] 7. Resuelve: x3+x242x a) 〈–∞; –6〉∪〈7;+∞〉 b) 〈–7; 6〉 c) 〈–6; 7〉 d) 〈–∞; –7〉∪〈0; 6〉 e) 8. Resuelve: (x2 – 1)(6+x – x2)≥0 ¿Cuántos valores enteros la verifican? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9. Resuelve: x 1 x 5 0 - + # a) 〈–∞; 1〉∪[5;+∞〉 b) 〈1; 5〉 c) 〈–∞; –5]∪〈1;+∞〉 d) 〈–5;+∞〉 e) [–5; 1〉 10. Resuelve: x 4 x x 6 2 - - - ≥0 a) [2; 3]∪〈4;+∞〉 b) 〈–∞; –2]∪〈4;+∞〉 c) 〈–∞; –2]∪[3; 4〉 d) [–2; 3]∪〈4;+∞〉 e) 〈–∞;3]∪〈4;+∞〉 Problemas para la clase
- 91. Álgebra 91 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 11. Resuelve: 15x2 – 2x – 8 ≤ 0; calcula el producto del mínimo y el máximo valor de su conjunto solución. a) 15 4 b) – 5 2 c) – 15 1 d) – 15 8 e) 15 8 12. Si [α; b] es el conjunto solución de la inecuación: x2+4x+1 ≤0 calcula (α+1)(b+1) a) 2 b) 4 c) –2 d) 8 e) –4 13. En un rectángulo, el largo excede al ancho en 3 unidades. Indicar a qué intervalo pertenece el menor de los lados, si el área de dicho rectángulo es numéricamente menor que su perímetro. a) 〈–2; 3〉 b) 〈0; 3〉 c) 〈0; 4〉 d) 〈–1; 3〉 e) 〈1; 3〉 14. Hallar el máximo valor entero de M de modo que se cumpla lo siguiente: x2 – 6x+4 – M ≥ 0 ; ∀ x ∈ a) – 3 b) – 5 c) – 4 d) 0 e) –2 15. Resuelva la inecuación polinomial: (x+2)(4x – 1)(–x + 3) 0 e indica cuántos enteros no negativos la verifican. a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 16. ¿Cuántos valores enteros satisfacen el siguiente sistema: x 1 7 x 16x 3 - $ ) ? a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 17. Resuelve: x 8x 15 x 4x 3 0 2 2 - + - + de como respuesta la suma de valores enteros del conjunto solución. a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 18. Luego de resolver la inecuación fraccionaria: – – x x x 2 1 2 1 + 0, se obtiene: C.S.= 〈a;0〉 ∪ 〈b;–a〉 Calcula el valor de (2b + a). a) 0 b) 2 1 c) 1 d) 2 e) 4 19. Dado los conjuntos: A={x∈/x2+2x – 15 ≤0} B={x∈/x((x+4) ≤ 32} se puede afirmar: a) A∩B = φ b) B⊂A c) A⊂B d) A – B=[–8; 4] e) A∪B= 20. Resuelve: (ax – b)2 ≥ (bx – a)2 siendo 0ab a) 〈–∞; –1] b) [–1; 1] c) [1;+∞〉 d) 〈–∞; 1] e) 〈–∞; –1]∪[1;+∞〉 21. Calcula el valor de (a – 2) si la inecuación en x: x2 + 2(1 – 2 )x+ a ≤ 0, se verifica para un solo valor de x. a) 2 b) 1+2 2 c) 2 2 – 1 d) 2 2 e) 1 – 2 2 22. Resuelve: (x – 1)4(x – 3)7(x – 8)16(x+2)9 ≤ 0 a) [–2; 3] b) 〈–∞; –2]∪[3;+∞〉 c) [–2; 8] d) 〈3;+∞〉 e) [–2; 3]∪{8} 23. Luego de resolver la inecuación: (x2 – x)2 (x3 – 1)(2x2 – 3x+1) (2x – 1)40 se obtiene: C.S. = 〈– ∞ ; m〉 – {n} Calcula el valor de: mn. a) 9 b) 8 c) 4 d) 1 e) 0
- 92. Capítulo 92 Colegios TRILCE Central: 6198-100 22 24. Resuelvelas siguientes inecuaciones: – 0 – – 0 x x x x x 4 2 1 1 2 2 / G + + e indica el intervalo solución común. a) 〈–4 ; 2 1〉 b) 〈– 2 ; 2 1] c) 〈–2; +∞〉 d) 〈– 4 ; 2 1] e) 〈–2 ; 2〉 25. Resuelve: bx a ax b 1 + + $ donde 0ab a) ; b a 3 − − b) b a;1 − c) 〈a; b] d) 〈–b; 1〉 e) b a;1 − E Practica en casa 1. Resuelve: x2 – 5x+60 2. Resuelve: (x+2)(x – 2)3x 3. Resuelve: (3 – x)(x+2) ≥ 4 Da como respuesta la suma de los valores enteros que la verifican. 4. Determina el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: • Si: (x – 5)20 → x ∈ ........... • Si: (x – 5)2 ≤ 0 → x ∈ ........... • Si: (x – 5)2 ≥ 0 → x ∈ ........... • Si: (x – 5)2 0 → x ∈ ........... 5. Resuelve: x2 – 2x +50. 6. Resuelve: (x – 2)(x – 4)(x – 7) ≤ 0 7. Resuelve: x3+12x 7x2 8. ¿Cuántos valores enteros verifica la inecuación: (x2 – x – 2)(16 – x2) 0? 9. Resuelve: x 2 x 6 0 + - # 10. Resuelve: x 3 x 6x 8 0 2 - - + $ 11. Resuelve 3x2–x – 100 12. Calcular el mayor valor entero m, tal que: x2 – 10x+32 ≥ m; ∀x∈ 13. Resuelve: x3x 14. Resuelve: (x+6)4(x+2)6(x – 4)8(x – 3)110 15. Indica la suma de valores enteros que verifican: ( )(– – ) (– )( – ) x x x x x 9 4 8 2 8 2 2 + + + ≤ 0
- 93. Álgebra 93 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Tú puedes 1. El conjunto solución de la inecuación: x x 2 x 3 x 5 x x 1 x x 2 x 5 0 2 2 2 + - + - + + - + - ^ ^ ^ ^ ^ ^ h h h h h h es de la forma: 〈a; b〉∪〈c; d〉∪〈 e; +∞〉. Calcula a+b+c+d+e. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 2. Resolver: (x – 2)3 . . .( – 4) . – x x x x 1 3 64 5 7 6 2 4 + + ≥ 0 a) [–3; –1] ∪ [2 ;+∞ b) [–3; –1] ∪ [2; 8] c) [–3; –1] ∪ [2; 8] ∪ {–8} d) e) + 3. Resuelva: x(2x + 1) (x – 2) (2x – 3) 63 Indique el producto de valores enteros negativos mayores que –5. a) 6 b) –6 c) 24 d) –24 e) 12 4. Determinar el conjunto A, si: A = / ( – ) ( – ) – ( – ) ( – ) – x x x x x 19 1 19 2 19 2 19 4 + + ! ' 1 3 3 2 2 a) x17 b) 7x19 c) 0x17 d) x19 e) 0x19 5. Indique las soluciones negativas de la inecuación: – – ( – – )( )( – ) x x x x x x x 2 2 2 35 2 1 5 3 2 2 3 + + ≥ 0 a) – b) 〈–1; 0〉 c) 〈–7; 0〉 d) [–5; –2] e) [–5; –1]
- 94. Capítulo 94 Colegios TRILCE Central: 6198-100 Inecuacionesirracionales 23 Problemas para la clase 6. Resuelve: x 2 3 - a) [2; 11〉 b) [2;+∞〉 c) 〈–∞; 2]∪〈11;+∞〉 d) 〈11;+∞〉 e) 〈–∞; 11〉 7. Resuelve: x 3 + +2 ≥ 0 a) [1; +∞〉 b) [–3;+∞〉 c) 〈–∞; –3]∪[1;+∞〉 d) φ e) 8. Resuelve: x 3 9 x - - a) 〈6;+∞〉 b) [3; 9] c) 〈–∞; 6〉∪〈9;+∞〉 d) 〈6; 9] e) [9;+∞〉 9. Resuelve: x 1 3 + 2 a) 〈–1;+∞〉 b) 〈–∞; –1〉∪〈7;+∞〉 c) 〈7;+∞〉 d) 〈–∞; 7〉 e) 〈–∞; –1]∪[7;+∞〉 10. Resuelve: x 11 2 3 # − − a) 〈–∞; 3] b) 〈–∞; 11] c) 〈2; 11] d) 〈11;+∞〉 e) 〈–∞; –8]∪[11;+∞〉 1. Resuelve: x 3 a) 〈–∞; 9〉 b) 〈–∞; 0〉∪〈9;+∞〉 c) [0; 3〉∪〈9;+∞〉 d) [0; 9〉 e) [0; 3] 2. Resuelve: x 2 3 - # a) 〈–∞; 2]∪[11:+∞〉 b) [2; 11] c) [2; +∞〉 d) 〈–∞; 11] e) 〈–∞; 0]∪[11:+∞〉 3. Resuelve: x 3 5 x + - a) 〈–3; 4〉 b) 〈–∞;1〉∪〈3;+∞〉 c) 〈–∞; –3〉∪〈1;+∞〉 d) [–3; 1〉 e) [–3; +∞〉 4. Resuelve: 5 x 1 - - a) 〈–∞; 5]∪〈10;+∞〉 b) 〈4; 5] c) 〈–∞; 4〉∪[5;+∞〉 d) 〈4;+∞〉 e) φ 5. Resuelve: x – 5 ≥ 0 a) [5; +∞〉 b) 〈–∞; 0]∪〈5;+∞〉 c) [0; 25] d) 〈–∞; 0]∪[25;+∞〉 e) [25;+∞〉
- 95. Álgebra 95 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 11. Resuelve: x 7 2 + 4 a) 〈–∞; 3〉 b) 〈–∞; –3〉∪〈3;+∞〉 c) 〈–3; 3〉 d) e) φ 12. Resuelve: x 8 3 0 2 + - $ a) 〈–1; 1〉 b) 〈–∞; –1]∪[1;+∞〉 c) 〈–8; 8〉 d) 〈–∞; –8〉∪〈8;+∞〉 e) φ 13. Resuelve: x 9 4 0 2 # − − a) [–5; 5] b) 〈–∞; –5]∪[5;+∞〉 c) 〈–∞; –3]∪[3;+∞〉 d) [–5; –3]∪[3; 5] e) 14. Resuelve: 6 x x 8 2 − − − a) 〈–∞; –3]∪[2;+∞〉 b) [–3: 2] c) 〈–∞; –8〉∪〈8;+∞〉 d) e) φ 15. Resuelve: x 2 2 3 + 3 a) b) 〈–2; 2〉 c) 〈–∞; –5〉∪〈5;+∞〉 d) 〈–∞; –2〉∪〈2;+∞〉 e) 〈–5; 5〉 16. Resuelve: x 2 6 x 1 3 # − − a) 〈–∞; 2]∪[4;+∞〉 b) 〈2; 4] c) 〈–∞; 2〉∪[4;+∞〉 d) e) φ 17. Resuelve: x 2 x 1 . x 5 0 3 5 + − − ^ h a) b) 〈–∞; –1〉∪〈2; 5〉 c) 〈–1; 5〉 d) 〈2;+∞〉 e) 〈–∞; 2〉∪〈5;+∞〉 18. Resuelve: x 3 + . (x2+x+3)(x – 5)≤0 a) [3; 5] b) 〈–∞; –3]∪[5;+∞〉 c) 〈–∞; 3] d) [–3; 5] e) 〈–∞; 3]∪[5;+∞〉 19. Resuelve: – x 2 x a) [0; 1[ b) ]0; 2] c) [4; 6[ d) ]–2; 2] e) ]1; 2] 20. Resuelve: x 6 x + a) [–6; 3〉 b) [–6; 6〉 c) [–3; 0〉 d) [–6; 5〉 e) 21. Resuelve: x 3x 5x 6 x 2 3 2 3 - + - - a) 〈–∞; 1/3〉∪〈2;+∞〉 b) 〈1/3; 2〉 c) [–1; 1] d) 〈–∞; –1]∪[1;+∞〉 e) 〈–1;+∞〉 22. Resuelve: x 2 x 4 2x x 2 4 x 2 1 − − − − − ^ h a) 〈4;+∞〉 b) 〈2; 4〉 c) 〈2;+∞〉 d) 〈0;+∞〉 e) 〈–2; 4〉
- 96. Capítulo 96 Colegios TRILCE Central: 6198-100 23. Resuelvela inecuación: ( ) ( ) ( – ) . – x x x x x 1 2 5 4 2 25 2 8 2 9 8 2 3 5 + + + 0 a) 〈1; 2〉 b) 〈2; 3〉 c) 〈3; 4〉 d) 〈4; 5〉 e) 〈5; 6〉 24. Resuelve: – x x 2 2 + 5 – x a) 〈– ∞ ; –1] ∪ [1; 11 25 〉 b) 〈– ∞ ; –2] ∪ [1; 11 27 〉 c) 〈– ∞ ; –4] ∪ [2; 11 23 〉 d) x ∈ {0} e) x ∈ 23 25. Resuelve: x x x 1 x 2 2 + + a) 2 2 1 ;3 − b) 2 2 1 ; + 3 c) 2 2 1 1 ; + - 3 d) 2 4 2 1 1 ; + - 3 e) 2 2 ; 3 Practica en casa 1. Resuelve: x 5 # 2. Resuelve: x 3 1 - 3. Resuelve: x 1 7 x + - # 4. Resuelve: 10 x 1 - - 5. Resuelve: x 2 0 - 6. Resuelve: x 5 1 + 7. Resuelve: 7 x 4 0 - + $ 8. Resuelve: x 1 11 x − − 9. Resuelve: x 3 4 3 + 10. Resuelve: 7 x 2 3 # − − 11. Resuelve: – – x x 4 2 2 12. Resuelve la desigualdad: x+2 ≤ x 8 3 3 + 13. Resuelve: – x 6 2 x+1 14. Resuelve: (x – 2)3. x 1 . x 3 5 7 + + ^ ^ h h. 4– x 6 ^ h ≥0 15. Si: A = 〈– ∞ ; a] ∪ [b ; c〉 , es el conjunto solu- ción de: – x x 5 4 2 + 7 – x; calcular el valor de a+b+c.
- 97. Álgebra 97 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Tú puedes 1. Indica un intervalo solución de la siguiente inecuación: – – – – – x x x x 1 1 3 3 3 + a) [–1; 3〉 b) 0; 3 1] c) 〈–1;3] ∪ 〈4;+∞〉 d) [–3; 0〉 e) 〈–3; 1] ∪ [3; +∞〉 2. Resuelve: – – – – x x x 5 16 3 4 2 2 ≥ x2 – 2x – 29 a) [–4; –1] ∪ {4} b) [–3; –1] ∪ {4} c) [–2; –1] ∪ {4} d) [–2; 1] ∪ {4} e) x ∈ {0} 3. Resuelve: – – x x x 2 1 2 + a) [ 2 2 5 + ; +∞〉 b) [ 2 1 7 + ; +∞〉 c) [ 2 3 10 + ; +∞〉 d) 〈 2 1 7 + ; +∞〉 e) 〈 2 3 10 + ; +∞〉 4. Resuelve: – – – – – – x x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 8 8 4 4 8 2 16 8 8 # + + + + + + a) x ∈ {1; 2} b) x ∈ {9; 12} c) x ∈ 〈0; 1] d) x ∈ {1} e) x ∈ {2} 5. Resuelve: x x x x x x 2 4 3 7 7 3 8 $ - + - - - - - a) [3; 4〉 b) [3; 4]∪[5; 7] c) [3; 9〉 d) [3; 4〉∪[5; 7〉 e)
- 98. Capítulo 98 Colegios TRILCE Central: 6198-100 24 Relacionesbinarias Problemas para la clase 6. Dado el conjunto A={2; 3; 4} se define una relación R, mediante: R={(x; y)∈A2/x+y=3 c } Calcula n(R). a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Calcula la suma de elementos del dominio de: R = {(x; y) ∈ A×B / xy} Si: A = {7; 19; 21; 24} y B = {4; 5; 16; 20} a) 33 b) 47 c) 28 d) 26 e) 76 8. Dado el conjunto: A={x∈/43x – 2≤16} Determina el rango de la relación definida por: R={(x; y)∈A2/y=2x – 3} a) {3; 4} b) {3; 5} c) {4; 6} d) {3; 4; 5} e) {4; 5} 9. En un plano cartesiano, grafica la siguiente relación: R={(x; y)∈×/x=2y+1} a) y x b) y x c) y x d) y x e) y x 1. Calcula ab en la igualdad: (a+b; 8) = (10; a+1) a) 12 b) 21 c) 18 d) 9 e) 24 2. Dados los conjuntos: A={–1; 2; 3} B={–2; –1} Indica verdadero (V) o falso(F): I) (–1; 3)∈A×B II) (–1; 2)∈B×A III) (–1; –1)∈B2 IV) (2; 3)∈A2 a) FVVF b) FVVV c) FFVV d) VVVF e) VVFF 3. Si: A={x ∈ / 1x ≤ 6} y B={x∈ / 3 ≤ x9}; indica el número de elementos de: A×B a) 21 b) 32 c) 48 d) 49 e) 30 4. A partir de los siguientes conjuntos: A={3; 4; 5} B={4; 5} determina la relación: R={(x; y)∈A×B/x=y} a) R={(3; 3), (4; 4), (5; 5)} b) R={(3; 3), (4; 4)} c) R={(4; 4), (5; 5)} d) R={(3; 3), (5; 5)} e) R=φ 5. Si: A={9; 10;15} y B={5; 7}, indica el número de elementos de: R={(x; y)∈A×B/x+y≥17} a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 0
- 99. Álgebra 99 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 10. Usando una tabla de valores, Grafica en el plano cartesiano la siguiente relación: R={(x; y) ∈×/x=y2 – 3} a) y x b) y x c) y x d) y x e) y x 11. Determina un valor de x . y que verifica la igualdad: (x2; x+y)=(y; 2) a) –6 b) 1 c) 8 d) 4 e) –4 12. Dados los conjuntos: A={x∈/((x+1)(x – 5)(x – 2)=0} B= x 1 2 x 1 3 Z ! # − ) 3 calcula n(A×B) a) 9 b) 3 c) 6 d) 8 e) 12 13. Dado el conjunto: A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} se define: R = {(x; y) ∈ A×A / 2x+y=10} Indica la suma de elementos del dominio de R. a) 18 b) 15 c) 14 d) 19 e) 10 14. Sean los conjuntos: A={x∈/–1≤x5} B={x∈/2≤x≤4} a partir de los cuales se definen las relaciones: R1={(x; y)∈A×B/xy} R2={(x; y)∈A×B/x+y=3} Calcula el número de elementos de: Dom (R1)∩ Ran (R2) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 15. Se define la relación: R={(x; y)∈2/(a – b)x+3y+b –5=0} Si(1; 3)∈R, calcula el valor de a. a) –2 b) 0 c) 1 d) –4 e) 3 16. Dados los conjuntos: A={x∈/x es impar ∧ 3x11} B={x∈/x3 ≤ 100 ∧ x=12} ¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones: R1={(9; 2), (5; 4), (7; 3)} R2={(3; 1), (5; 2), (7; 3), (9; 4)} R3={(5; 12), (7; 4)} Están definidas de A en B? a) R1 b) R2 c) R3 d) R1 y R3 e) R2 y R3 17. La gráfica de la relación definida por: R={(x; y)∈×/2x – 3y+18=0} Determina una región triangular con los ejes cartesianos, cuya área es igual a: a) 3u2 b) 9u2 c) 12u2 d) 18u2 e) 27u2 18. Dada la siguiente gráfica: 2 1 -1 -2 x y -2 -1 -3 2 3 1 Indica a qué relación corresponde. a) y=2x b) y=2x–1 c) y=2x+1 d) y=x+1 e) y=x–1
- 100. Capítulo 100 Colegios TRILCE Central: 6198-100 24 19. Siel par ordenado (a2 – 16; a+2) pertenece al segundo cuadrante de un plano cartesiano, calcular la suma de valores enteros de a que verifican esta condición. a) –3 b) 2 c) –1 d) 4 e) 5 20. Dados los conjuntos: A={x∈+/x∈〈–3; 4]} B= x 2 4 3x 1 5 Z - ! ) 3 Indica cuál de todos los pares ordenados dados, no pertenece a los conjuntos A×B o B×A. a) (1; 6) b) (5; 4) c) (4; 4) d) (1; 7) e) (2; 5) 21. A partir del conjunto: A={1; 2; 3; 4; 5} se define la relación: R={(1; 1), (2; 2), (3; 3), (5; 1), (2; 4), (5; 4), (5; 2), (4; 3), (3; 5)} Si: M={x∈A/(x; 2)∈R} N={x∈A/(3; x)∈R} P={x∈A/(x; 5)∈R} Entonces (M∪N) – P es: a) {2; 5} b) {3; 5} c) {3} d) {5} e) {1; 2; 4; 5} 22. Del conjunto: A = {x ∈ / (x – 2)5 (x+3)7(x – 5)60} se define: R={(a; b) ∈ A×A / a+b ≥ 0}. Indicar el número de elementos de R. a) 2 b) 5 c) 4 d) 6 e) 7 23. Dados los conjuntos: A={1; 2; 3; 4; 5; 6} B={1; 3; 5} C={2; 4; 6} y las relaciones: R1={(x; y)∈B×A/x+y es par} R2={(x; y)∈C×B/x+y es impar} Calcula el número de elementos de R1∪R2. a) 15 b) 18 c) 21 d) 27 e) 30 24. Un ciclista corre en línea recta 200 m hacia el este; luego 200 m hacia el norte, 300 m al noreste y 100 m hacia el este; 100 m al norte y 150 m al noreste. ¿A qué distancia del punto de origen está? a) 100(3+2 3 )m b) 100(2+3 2 )m c) 150(2+3 2 )m d) 150(3+2 2 )m e) 200(3+2 2 )m 25. Usando una tabla de valores, grafica en el plano cartesiano la siguiente relación: R={(x; y)∈2/y=x3 – 6x2+8x} a) y x b) y x c) y x d) y x e) y x
- 101. Álgebra 101 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Practica en casa 1. Calcula ab en la igualdad: (a + b ; 5) = (12 ; a – 4) 2. Indica verdadero (V) o falso (F), dados los conjuntos: A = {1; 2; 3} ; B = {1; 3; 5} • El par (2; 5) ∈ A×B ................................ ( ) • El par (3; 3) ∈ A2 ................................... ( ) • El par (5; 1) ∈ B×A ................................ ( ) • El conjunto: R = {(2; 3), (3; 3), (1; 1)} es una relación de A×B .................................... ( ) 3. Si: A={x ∈ / 3≤x ≤ 5} y B={x∈ / 2 x6}; indica el número de elementos de: A×B 4. Completa correctamente, dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4} y B = {4; 6; 8; 10} • Si: R1={(x ; y) ∈ A × B / x y}, entonces: R1= {_______________________} • Si: R2={(x ; y) ∈ B × A / x = y}, entonces: R2= {_______________________} 5. Si: A={6; 8} y B={5; 9}, indica el número de elementos de: R={(x;y) ∈ A×B / x+y15} 6. Dado el conjunto A={1; 3; 6} se define una relación R, mediante: R={(x; y)∈A2/x+y=2 c } Calcula n(R). 7. Calcula la suma de elementos del dominio de: R = {(x ; y) ∈ A×B / x=2y} Si: A={8; 9; 10} y B={4; 5; 16; 20} 8. Dado el conjunto: A={x∈/–32x – 57} Determina el rango de la relación definida por: R={(x; y)∈A×A/y=3x – 7} 9. En un plano cartesiano, Grafica la siguiente relación: R={(x; y)∈×/x+y=3} 10. Usando una tabla de valores, grafica en un plano cartesiano la siguiente relación: R={(x; y)∈2/x – 2=y2} 11. Dada la igualdad: (2a+3b; –1)=(4; 3a+b) calcula el valor de a+b. 12. Si: A={–6; –8} y B={–5; –3; 1; 2}, indica la suma de elementos del rango de: R={(x; y) ∈ A×B / xy0} 13. A partir del conjunto: A={1; 2; 3} se definen las relaciones: R1={(x; y)∈A2/xy} R2={(x; y)∈A2/x+y=5} Calcula el número de elementos de R1∪R2. 14. Un ciclista corre en línea recta 100 m hacia el este, luego 100 m hacia el norte, 150 metros al noreste y 50 m hacia el este, 50 m al norte y 75 m al noreste. ¿A qué distancia del punto de origen está? 15. Se define la relación: R={(x; y)∈×/y=x3 – 8x2+15x} Usando una tabla de valores, construir la gráfica de R.
- 102. Capítulo 102 Colegios TRILCE Central: 6198-100 24 Túpuedes 1. Dados: A = {x ∈ / x3 = x} y B = {x ∈ / x216}; halla n(R), siendo: R = {(a; b) ∈ A×B / a+b=0} a) 2 b) 0 c) 4 d) 1 e) 3 2. Dados: M={x ∈ /x4–x=0} y N={x ∈ /x4–x2=12}; halla n(R), siendo: R={(a;b) ∈ M×N/a – b0} a) 2 b) 0 c) 4 d) 1 e) 3 3. Calcular el área limitada por las gráficas de las siguientes relaciones: R1={(x; y) ∈2/x2 – 12=x} R2={(x; y)∈2/y2 – 5y=14} a) 2u2 b) 10u2 c) 48u2 d) 63u2 e) 81u2 4. Halla la suma de elementos del dominio de R, si: P={x∈ / x3 – x2 – 6x=0} y R={(a;b)∈P2/ab0} a) 2 b) 0 c) –2 d) 1 e) –1 5. Bosquejar la gráfica de la relación: R{(x; y)∈2/x2 – xy – 2y2=0}. a) y x b) y x c) y x d) y x e) y x
- 103. 103 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 25 Repaso III Problemas para la clase 7. Resuelve: x3 – 5x2+6x ≥ 0 a) [0 ; 2] ∪ [3 ; +∞〉 b) 〈– ∞ ; 0] ∪ [ 2 ; 3] c) [– 2 ; 3〉 d) 〈–2 ; 3] e) [– 2 ; 0] ∪ [3 ; +∞〉 8. Resuelve: x x x x 4 3 2 2 2 + + - - ≤ 0 a) ] – 3 ; – 1[ ∪ ]1 ; 2] b) ] – 3 ; – 1] c) ] – 3 ; – 1[ ∪ ] – 1 ; 2] d) ] – 1 ; 2] e) ] – 3 ; 2[ 9. Resuelve: x 4 1 + # a) 〈–∞; –3] b) 〈3; +∞〉 c) [–4; +∞〉 d) 〈–∞; –4] e) [–4; –3] 10. Dados los conjuntos: A={1; 2; 7} B={3; 4; 5} Se define la relación: R={(x; y)∈A×B/xy=2 c } Calcula n(R). a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 11. Sean las matrices: A= 4 2 3 1 = G y B= 5 7 6 8 = G Halla la traza de la matriz: 2A – B+I, donde I es la matriz identidad. a) – 4 b) – 5 c) – 1 d) 1 e) 2 1. Halla x en la siguiente igualdad: – a b a b a b x 2 3 2 3 6 + + = e e o o a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 2. Calcula: 1 0 5 2 1 0 4 3 2 - a) 48 b) –24 c) 12 d) –48 e) 24 3. Luego de Resuelve el sistema: 3x 5y 5 4x 3y 26 - = + = ) Calcula x+y. a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 7 4. Si: x ∈ +, halla el mínimo valor de: G = x x 8 200 + a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 5. Resuelve la inecuación: 5 x 4 x 1 3 x 2 + − − a) 〈–∞; 15〉 b) 〈15; +∞〉 c) 〈–15; +∞〉 d) 〈–∞; –15〉 e) 6. Resuelve la inecuación: (x – 1)(x+3) ≤ 5 Calcula la suma de los valores enteros del conjunto solución. a) 3 b) –6 c) 1 d) 2 e) –7
- 104. Capítulo 104 Colegios TRILCE Central: 6198-100 25 12. Si:{x1; x2} es el conjunto solución de la ecuación: x 4 1 x 5 1 x 2 4 0 - - - - = calcula el valor de: x1+x2+x1x2. a) 12 b) –14 c) 10 d) 24 e) –18 13. Calcula m para que el siguiente sistema sea inconsistente: (m 3)x 3y 5 2x (m 2)y 7 - + = + - = ) a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 14. Sea: x ∈ [5 ; 7]; indicar el intervalo de: g(x) = x2 – 4x + 9 a) [5; 30] b) [7; 30] c) [10; 30] d) [14; 30] e) [15; 30] 15. Resuelve: (x – 5)(x+3)+ – x 8 1 (x – 6) (x + 4)+ – x 8 1 a) x ∈ φ b) x ∈ c) x ∈ {5} d) x ∈ – {8} e) x ∈ 〈0;+∞〉 – {8} 16. Resuelve: (x – 4)x3 ≤ 9x(x – 4) a) 〈– ∞ ; – 3] ∪ [0 ; 3] b) 〈– ∞ ; – 3] ∪ {3 ; 4} c) [– 3 ; 0] ∪ [3 ; 4] d) 〈– ∞ ; – 3] ∪ [0 ; 3] ∪ [4 ; +∞〉 e) [– 3 ; 3] ∪ [4 ; +∞〉 17. Al Resuelve: 9 x x 4 2 2 − − +50 se obtiene: x∈〈a; b]∪[c; d〉 Halla el valor de: E=a – b+c – d a) 0 b) –1 c) 3 d) –2 e) 1 18. A partir de los conjuntos: A={x∈/4x+49} B={x∈/x3 – 5x2 – x+5=0} se define la relación: R={(x; y)∈A×B/xy} Calcula la suma de los elementos del rango de R. a) 20 b) 15 c) 10 d) 5 e) 0 19. Si: A2=B2= 1 0 0 1 e o; AB= 0 1 1 2 - e o; BA= 2 1 1 0 - e o halla: (A+B)2 a) 4 0 0 4 e o b) 0 4 4 0 e o c) 4 4 4 4 e o d) 4 0 0 4 - - e o e) 0 4 4 0 - - e o 20. Indica la suma de las soluciones al Resuelve: x 3 5 6 1 x 3 6 1 1 x 4 + - - - + =0 a) 0 b) –5 c) 6 d) 4 e) –4 21. Luego de Resuelve el sistema: 3 x y 2 2x 3y 7 10 2 x y 2 3 2x 3y 7 14 + + - - - = + + + - - = ) indica el valor de 3x – 2y. a) 10 b) 12 c) 18 d) 21 e) 25 22. Si: 〈–∞; b]∪[1;+∞〉, es el conjunto solución de la inecuación: 2x2+ax+1≥0; calcula b – a. a) 7 b) 2 7 c) 2 3 - d) 2 1 e) 4 1 23. Luego de Resuelve la inecuación: (x – 4)5(x2 – x+2)2(2x – 1)3(x4 – 16)0 se obtiene: C.S. = a; a 1 a;b - j Calcula el valor de ab. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12
- 105. Álgebra 105 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 24. Indica la suma de los valores enteros que no satisfacen la inecuación fraccionaria siguiente: – – – x x x 3 10 2 11 2 1 2 # a) 5 b) 7 c) 6 d) 3 e) 8 25. Dados los conjuntos: A = {x ∈ / – x 3 1 – 2} B = {x ∈ / – – x x x 2 1 3 2 3 $ + } Indica el conjunto: A ∩ B. a) [–1 ; 3] b) [–1;3]–{ 3 1} c) [–1 ; 3 1] d) [ 3 1 ; 3] e) 〈 3 1 ; 3] Practica en casa 1. Calcular el valor de x en: ab a b 5 a b x 10 5 4 + - - = - = = G G 2. Calcula: – – – 3 2 1 4 5 7 6 4 2 3. Resuelve el sistema: 2x 5y 1 3x 2y 11 + = - = ) Calcula el valor de x . y. 4. Si x∈+, calcula el mínimo valor de: M(x) 6 x x 54 = + 5. Resuelve: 2x+8(x+1)3(2x+1)+15 6. ¿Cuántos valores enteros verifican la inecuación: (x – 5)(8 – x) – 4? 7. Resuelve: (x – 5)(x2 – 2x – 24) ≥ 0 8. Resuelve: x 1 (x 6)(x 5) 0 - - + # 9. Halla el conjunto solución de: – x x 6 8 2 + – 4 10. Si: A={–6; –8; 3; 4} y B={–4; –2; –1; 2}, indica el número de elementos de: R={(x; y) ∈ A×B/xy 0} 11. Si: A = 0 4 3 5 = G ; B = –3 4 1 2 = G Halla: 2At – 3B+5I. 12. Halla x en: ... x x 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 2 1 2 0 1 1 1 0 0 3 1 3 0 1 1 1 0 0 1 0 1 + + + + =72 13. Calcula a para que el sistema siguiente sea compatible determinado: x 3y 1 5x 7y 11 9x ay 35 - =- - = - = * 14. Resuelva la inecuación cuadrática: x2+14x+49≥0 15. Indica el C.S. de la siguiente inecuación: ( ) ( ) ( ) ( – ) ( ) ( – ) x x x x x x 1 3 1 3 1 2 3 37 4 50 7 23 + + + + ≤ 0
- 106. Capítulo 106 Colegios TRILCE Central: 6198-100 25 Túpuedes 1. Encontrar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. –1 – x e ⇒ x2 ∈ [0 ; e2〉 II. – 5 ≤ x2 4 ⇒ x ∈ 〈– 2 ; 2〉 III. x2 1 ⇒ x ∈ 〈1 ; +∞〉 a) V V F b) F V V c) F F F d) V V V e) V F F 2. Calcula el mayor número real m tal que: x x 1 2 2 2 + + ≥ 2m ; ∀ x ∈ . a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 3. Resuelve en : – x 3 1 + 2x – 7. a) [– 2 7 ; 2 7 ] b) [ 2 7 ; 51] c) 〈 2 7 ; +∞〉 d) 〈 4 17 ; +∞〉 e) – [ 2 7 ] 4. Resuelve: bx a x 1 + + a 2 , si: a2b0. a) 〈– ∞ ; – a b a 2 〉 b) 〈– b a ; – b a a 2 〉 c) 〈– b a ; – – b a a 2 〉 d) 〈 – b a a 2 ; – b a 〉 e) 〈 b a ; – b a a 2 〉 5. Resuelve: – – – – x x 3 4 1 0 a) [– 15 ; 1] b) [– 15 ; 1 〉 c) 〈 0 ; 1] d) 〈– 15 ; 1 〉 e) 〈– 1 ; 1]
- 107. 107 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 26 Funciones I Problemas para la clase Calcula: F(7)+F(F(–9)) a) 0 b) 1 c) 4 d) 7 e) 8 6. Halla el dominio de la función f definida por: f(x) = x 4 - a) [0; 4〉 b) [–4;+∞〉 c) d) [4;+∞〉 e) 〈–∞; 4] 7. Indica el dominio de la función G definida por: G(x)= – x x 9 7 2 + ; x 3 4 ! a) – {3} b) –{9} c) –{3;–3} d) e) { } 8. Halla el rango de la función H: H(x)=–x+4 ; x∈〈–2; 3] a) 〈0; 4] b) [1; 6〉 c) 〈–1; 6] d) 〈1; 6〉 e) 〈–∞; 6〉 9. Indica el rango de la función H definida por: H(x)= – – x x 3 4 6 5 a) – { 3 4 } b) – {4} c) – {2} d) e) { } 10. Un albañil y su ayudante son contratados para realizar la cerca de un jardín. El ayudante comienza a trabajar a las 8 de la mañana y cobra S/.15 por hora de trabajo; el albañil comienza a trabajar a las 10 cobrando S/.20 la hora. Si x es el número de horas trabajadas por el albañil, obtener la expresión y que define el dinero cobrado por el ayudante. a) y=x+15 b) y=15x+1 c) y=15x+30 d) y=15x+20 e) y=20x+30 1. Determina la función F definida por: F(x)=2x – 3; x∈{0; 1; 4} a) F={(0; 3), (1; 1), (4; 5)} b) F={(–3; 0), (–1; 1), (5; 4)} c) F={(0; 0), (1; 1), (4; 4)} d) F={(0; –3), (1; –1), (4; 5)} e) F={(0; –3), (1; 1), (4; 5)} 2. Indica verdadero (V) o falso (F): I. La relación definida por: R={(2; 8), (3; 9), (2; 7), (9; 5)} es una función. ( ) II. Sea g una función tal que: (1; x)∈g ∧ (1; 4)∈g entonces x=4. ( ) III. Dada la función h. Si: (1; 5)∈h, entonces h(1)=5 ( ) a) VVF b) FVF c) FFV d) VVV e) FVV 3. Sea la función: F= {(3;5), ; a 4 2 ` j, (5;2), (4;9), ; b 3 4 c m} Calcula a – b. a) –6 b) –2 c) 2 d) 18 e) 38 4. De la función: F={(2; 3), (3; 4), (4; 1)} calcula: F(F(2))+F(F(3)) a) 1 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 5. Se define la función F tal que: F(x) 5 x ;x 2 x 2 ;x 2 = - + $ )
- 108. Capítulo 108 Colegios TRILCE Central: 6198-100 26 11. Seaf y g dos funciones donde: 0 1 2 –1 1 3 1 2 4 f g Calcula: f[g(3)]+g[f(2)]+g[f(0)] a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 12. Sean (2;m) y (n;7) pertenecen a la función F definida por: F(x)=4x+3, Calcula mn. a) 16 b) 11 c) 4 d) 9 e) 8 13. Indica la suma de los elementos del dominio de la función: F={(7; 4), (m–1; 9), (m; 6), (7; m+3)} a) 8 b) 11 c) 10 d) 9 e) 12 14. Calcula la suma de los elementos del dominio de la función: F={(3;4), (n+1;7), (n;1), (3;n2), (2;9)} a) 5 b) –2 c) 2 d) –4 e) 0 15. Indica cuántos valores enteros pertenecen al dominio de la función F definida por: F(x)= –x 4 2 a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 16. ¿Cuántos valores enteros tiene el dominio de la función g definida por: g(x) x 10 x 2 x 7 3x = - - + + - a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 17. Halla el rango de la función h definida por: h(x)=x2+4x+7 ; x∈ a) b) [1;+∞〉 c) [3;+∞〉 d) 〈–∞;1] e) 〈–∞; 3] 18. Calcula la suma de los valores enteros del dominio de la función g definida por: g(x)=3– x 2 , si Ran(g)=〈–1; 2〉 a) 31 b) 47 c) 83 d) 147 e) 155 19. Se define la función: F(x) ax 5;x 4 3bx 7 ;x 4 = + - $ ) si se cumple: F(6) – F(2)=2(7–3b), calcula el valor de F(F(12)). a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 20. Si la relación: G={(3; a2), (a; a+1), (2; 5), (3; a+2)} es una función, Calcula el valor de: G(G(a)+2) – G(2 – a) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 21. Se define la función f tal que: f(x)= x 3 x 1 + + ; x∈〈–5; –4〉. Obtener el rango de la función: a) 〈–2; 1〉 b) 〈2; 3〉 c) 〈0; 1〉 d) 〈2; 4〉 e) 〈1; 2〉 22. Se define la función F mediante: F(x)=x2 – 4x+5; x∈[0; 3] Calcula la diferencia entre el máximo y el mínimo valor de F(x). a) 3 b) 1 c) 4 d) 0 e) 5 23. Dada la función h: h(x)= x 2x 3 4 2 - + –1 ; x∈ Hallar el rango de h. a) 〈–1; 2] b) 〈0; 1〉 c) 〈–2; 1] d) 〈0; 2] e) 〈–1; 1]
- 109. Álgebra 109 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 24. Un vendedor tiene un sueldo mensual de S/.1000 más el 40% de comisión sobre el monto vendido en ese mes; entonces: I. Halla la expresión que defina el ingreso I mensual del vendedor en función del monto (x) vendido en el mes. II. Si en un mes vendió S/.3500, ¿cuál fue su ingreso en ese mes? a) I(x)=1000x; S/.2400 b) I(x)=1000+0,4x; S/.2400 c) I(x)=0,4x; S/.2400 d) I(x)=1000+0,04x; S/.240 e) I(x)=1000+0,4x; S/.240 25. En la figura adjunta se muestra un trapecio isósceles: h 45° x 1 Expresar el área sombreada en términos de x. a) 8 x 1 2 - ^ h b) 8 x 2 x 2 + - ^ ^ h h c) 4 x2 d) 8 x 1 x 1 + - ^ ^ h h e) 8 x 4 x 4 + - ^ ^ h h Practica en casa 1. Determina la función F definida por: F(x)=x+2 ; x∈{0; 1; 2} 2. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda, dada la función: F(x)= –x 9 2 • F(0) = 3 .................................................( ) • No existe F(4)......................................( ) • ( 5 ; 2) ∈ F............................................( ) • (– 8 ; 1) ∈ F.........................................( ) 3. Calcula ab en la función: F = {(2; 7), (6; a–b), (6; 1), (2; a+b)} 4. De la función: F={(1; 3), (3; 4), (4; 0)} calcula: F(F(3)) + F(F(1)) 5. Sabiendo que: F(x) = ; – ; x x x x 3 4 0 2 3 0 $ + ) calcula: E = F[F(1)] – F[F(0)] 6. Halla el dominio de la función g definida por g(x)= x 5 + 7. Halla el dominio de la función h definida por: h(x)= x 5 4x 1 - + 8. Halla el rango de la función f: f(x)=2x+1; x∈〈–1; 3] 9. Hallar el rango de la función h: h(x)= x 5 3x 1 - + ; x ≠ 5 10. Dadas las funciones f y g definidas en los siguientes diagramas: 1 2 5 4 5 2 2 5 4 6 3 5 f g Halla el valor de: f(1) + g(2) f[g(4)] + g[f(2)] 11. Calcula n en la función: F={(5; 9), (3; 6), (n; 1), (5; n2)}
- 110. Capítulo 110 Colegios TRILCE Central: 6198-100 12. Relacionacorrectamente, respecto al dominio de las funciones: F(x)= – x 4 A x ∈ –{±2} G(x)= – – x x 4 2 B x ∈ [–2; 2] H(x)= –x 4 2 C x ∈ –{4} I(x)= – x 4 1 2 D x ∈ [4; +∞〉 13. Halla el dominio de la función F definida por: F(x) = – – x x 3 3 4 8 + 14. Halla el dominio de la función F definida por: F(x) = – x x 2 1 + 15. Halla el rango de la función f definida por: f(x)=x2 – 2x+7; x∈. Tú puedes 1. La siguiente tabla muestra parte del dominio y rango de una función lineal g: x 2 5 8 b g(x) 10 a 28 37 a) 25 b) 40 c) 45 d) 30 e) 35 2. Si: F(x+y)=F(x)+F(y) ; F(2)+F(5)=42 calcula la pendiente de la función lineal F a) 7 b) 4 c) 12 d) 21 e) 6 3. Halla el rango de la función cuadrática f la cual satisface: f(0) = 11 ; f(–1)=6 ; f(1)=18 Para todo pre-imagen real de f. a) [2; +∞〉 b) [1; +∞〉 c) [3; +∞〉 d) [–1; +∞〉 e) [0; +∞〉 4. Un hombre dispone de 40 m de alambre para cercar un jardín rectangular. Sabiendo que solo debe colocarlo sobre tres lados porque el cuarto limita con su casa, Determina el área máxima que puede cercar. a) 120 m2 b) 180 c) 200 d) 300 e) 240 5. Hallar el rango de: F(x) = ex + e–x – 2 Si: e = 2,7182 a) [– 2 ; +∞〉 b) [ 2 ; +∞〉 c) [ 2 ; 2] d) [2– 2 ; +∞〉 e) [2+ 2 ; +∞〉 26
- 111. 111 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 27 Funciones II Problemas para la clase 3. Grafica la función h definida por: h(x)=5 – x ; x∈. a) –5 x y 5 b) –5 x y 5 c) 5 x y d) –5 x y e) –5 x y 5 4. Obtén las coordenadas del vértice de la parábola determinada por la gráfica de la función: f(x)=x2– 4x+5; x∈ a) (0; 8) b) (4; 5) c) (2; 1) d) (4; 1) e) (1; 2) 5. Obtén las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica de: g(x)=6+x – x2 ; x∈ con el eje x. a) (2; 0), (3; 0) b) (–3; 0), (2; 0) c) (–2; 0), (3; 0) d) (6; 0), (1; 0) e) (–3; 0), (–2; 0) 6. ¿Cuál es el punto de intersección entre la gráfica de la función: f(x)=x2 – 3x+5; x∈ y el eje de ordenadas? a) (0; 1) b) (0; –3) c) (0; 2) d) (0; 5) e) (0; –4) 1. Grafica la función g definida por: g(x)=4 ; x∈ a) –4 x y b) 4 x y c) –4 x y d) 4 x y e) –4 x y 4 2. Grafica la función f definida por: f(x)=x+3 ; x∈ a) 3 x y b) –3 x y 3 c) –3 x y 3 d) –3 x y e) –3 x y –3
- 112. Capítulo 112 Colegios TRILCE Central: 6198-100 27 7. Grafica la función: g(x)=x2 – 2x – 8 ; x∈ a) x y b) x y c) x y d) x y e) x y 8. Calcula el valor mínimo de la función g definida por: g(x)=x2 – 6x+13; x∈ a) 5 b) 3 c) 4 d) –1 e) 9 9. Obténlascoordenadas delpuntodeintersección entre las gráficas de las funciones g y h definidas por: g(x)=x – 5 ; x∈ h(x)=9 – x ; x∈ a) (7; 5) b) (2; 7) c) (9; 7) d) (7; 2) e) (5; 7) 10. Calcula el área de la región formada por la gráfica de la función f(x)= 3 2 − x+4 ; x∈, con los ejes coordenados. a) 48u2 b) 16u2 c) 24u2 d) 12u2 e) 15u2 11. Halla el rango de la función constante f tal que satisface la siguiente condición: f( 1) 3 f(40) f(10) - - + =8 a) 4 b) [4;+∞〉 c) –4 d) {4} e) 〈–∞; 4] 12. Al graficar la función F definida por: F(x) = 2x – 4; x∈ se obtiene: y x a b F Halla a×b. a) –6 b) –10 c) –4 d) –8 e) –9 13. La grafica de la función: F(x)=x2 – 4; x∈ está dada por: y x n m p F calcula m.n+p. a) –10 b) –12 c) –8 d) 6 e) –6 14. La gráfica de la función g definida por: g(x)=x2 – 4x – m ; x∈ es: x y 16 7 Calcula el valor mínimo de g. a) –3 b) 4 c) 8 d) –9 e) –12 15. Calcula el área de la región sombreada: x y –5 f(x)=x2 – 49 a) 72u2 b) 144u2 c) 100u2 d) 36u2 e) 18u2
- 113. Álgebra 113 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 16. Calcula la distancia entre los puntos de intersección de las gráficas de las funciones definidas por: g(x)=x2 – 4x+17 ; x∈ h(x)=3x+5 ; x∈ a) 5u b) 7 u c) 10 u d) 9u e) 4u 17. Grafica la función: f(x) x 5 ; x 1 2 1 x 3;x 1 = + - + $ * a) x y 1 b) x y 1 c) x y 1 d) x y 1 e) x y 1 18. Calcula el área de la región determinada por las gráficas de las funciones: h(x)=8 – x ; x∈ g(x)=x+6 ; x∈ y el eje x. a) 4u2 b) 16u2 c) 25u2 d) 49u2 e) 81u2 19. Calcula la pendiente de una línea recta determinada por la gráfica de la función lineal F tal que: F(1)=3 y F(2)=2F(3) a) 3 b) 1/2 c) –1 d) –2 e) 1 20. Luego de graficar la función: F(x)=x2 – 6x+5; x∈ se obtiene la figura siguiente: y x b a c d F Calcula: a+b+c+d a) 6 b) 5 c) 4 d) –2 e) 7 21. La gráfica de la función: f(x)=–x2+6x – 5; x∈ intersecta al eje x en los puntos A y B; y al eje y en el punto C. Calcula el área de la región triángular ABC. a) 15u2 b) 10u2 c) 12u2 d) 20u2 e) 30u2 22. Calcula el área de la región formada por las gráficas de las funciones: f(x)=2x – 6 ; x ≥ 0 g(x)=x+4 ; x ≥ 0 y los ejes coordenados. a) 41u2 b) 32u2 c) 100u2 d) 45u2 e) 18u2 23. Se va a cercar un terreno rectángular con un alambre de longitud 8 m; sabiendo que uno de los lados quedará limitado por un muro, ¿cuál será la longitud del alambrado paralelo al muro, si se desea tener la mayor área posible?¿Cuál es el valor de esta área? a) 4m; 8m2 b) 1m; 4m2 c) 4m; 16m2 d) 8m; 4m2 e) 2m; 4m2
- 114. Capítulo 114 Colegios TRILCE Central: 6198-100 27 24. Lagráfica de la función: f(x)=x2 – mx+4; x∈ está dada por: x y Calcular el menor valor entero de m. a) –1 b) –5 c) 3 d) –4 e) –3 25. Obtener la relación entre m y n, tal que las gráficas de las funciones definidas por: f(x)=n – 3x; x∈, g(x)=x2+x+m; x∈ sean tangentes. a) m+4=n b) m=4n c) m+n=4 d) m – n=4 e) mn=4 Practica en casa 1. Grafica la función f definida por: f(x)= –5; x∈ 2. Grafica la función g definida por: g(x)=x+8 ; x∈ 3. Grafica la función h definida por : h(x)=6 – x; x∈ 4. Obtén las coordenadas del vértice de la parábola determinada por la gráfica de la función: f(x)=x2 – 2x+7; x∈ 5. Halla los interceptos con el eje x, en la gráfica de la función: F(x)=x2+2x–15. 6. ¿Cuál es el punto de intersección entre la gráfica de la función: f(x)= –x2+2x – 7 y el eje de ordenadas? 7. Grafica la función: g(x)=x2 – 6x+10; x∈ 8. Halla el máximo valor de la función definida por: F(x)=10x – x2 – 25; x∈ 9. Obténlas coordenadas delpuntodeintersección entre las gráficas de las funciones h y g, definidas por: h(x)= x+2 ; x∈ g(x)=12 – x ; x∈ 10. Calcula el área de la región formada por los ejes positivos de x e y y la gráfica de la función: F(x) = – 3x + 6; x∈ 11. Calcula m.n+p, si la gráfica de la función F definida por: F(x)=x2 – 25; x∈ es: y x n m p F 12. Calcula la suma de las ordenadas de los puntos de intersección entre las gráficas de las funciones: F(x)=x2 – 4 ; x∈ G(x)= 14 – x2 ; x∈ 13. Si el máximo valor de la función g definida por: g(x)= –2x2+16x+m ; x∈ es 35, calcula el valor de m.
- 115. Álgebra 115 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 14. Calcula el área de la región formada por las gráficas de las funciones: f(x)=5 – x ; x∈ g(x)=13+x ; x∈ ,y el eje x. 15. Si la producción mensual de x artículos, viene dada por: P(x)=–x2+40x – 300, entonces: • Hallar la cantidad de artículos que se debe producir para obtener la máxima producción en un mes. • Hallar la máxima producción en un mes. Tú puedes 1. Si h es una función lineal, de pendiente 3 e intercepto con el eje y igual a 5, hallar la regla de correspondencia de la función g si: g(x) – x = h(1) + h(x+1) a) g(x)=4x+4 b) g(x)=4x+16 c) g(x)=4x+12 d) g(x)=3x+13 e) g(x)=3x+12 2. Del siguiente gráfico: y x (2; 0) halla la ecuación de la parábola, si el punto (3; 2) pertenece a ella y su rango es el intervalo: [– 4 1 ;+∞〉. a) y=x2 – 3x+2 b) y=x2+3x+2 c) y=x2 – 3x – 2 d) y=2x2+3x+2 e) y=2x2 – 3x – 2 3. Indica cuántos puntos de la forma (a; b), donde a y b ∈ , se encuentran dentro de la zona limitada por las funciones: F(x)=(x+2)(x – 2); x∈ y G(x) = (2+x)(2 – x); x∈. a) 21 b) 19 c) 14 d) 12 e) 17 4. Calcular el área de la región sombreada: y x F(x)=x2–2x–3 5 a) 36 u2 b) 18 c) 24 d) 12 e) 25 5. Grafica: F(x) = x2+2mx+m2; x∈ si: m0. a) b) c) d) e) y x y x y x y x y x
- 116. Capítulo 116 Colegios TRILCE Central: 6198-100 Progresiónaritmética (P .A.) 28 Problemas para la clase 8. De la P.A.: ÷ 2; 9; 16; ... calcula la suma de los primeros 15 términos. a) 764 b) 765 c) 780 d) 792 e) 800 9. En la P.A.: ÷7 ; x ; y ; z ; 21 Calcula la razón. a) 2,5 b) 2,4 c) 3,5 d) 1,8 e) 1,6 10. Una deuda se paga en cuotas que conforman una progresión aritmética. El primer pago realizado es S/.31 y el último S/.94. Si la suma que se debía es igual a S/.625. ¿En cuantas cuotas se canceló la deuda? a) 10 b) 8 c) 12 d) 15 e) 7 11. Calcula el número de términos de una P.A., si se sabe que el primer término es b – 6a, el último término es a+8b y la razón es a+b. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 12. Indica verdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda en la P.A.: ÷ (3x–7); (4x+1); (6x–1). I. La razón es 10 .......................................( ) II. El cuarto término es 76 ..........................( ) III. El valor de x es 10 ..............................( ) IV. El primer término es 23.......................... ( ) a) FVFV b) VFVV c) VFVF d) FFVV e) VVFF 1. De la P.A.: ÷ 3; 7; x; 15; y; ... calcula x+y. a) 11 b) 19 c) 30 d) 21 e) 8 2. Calcula el vigésimo término de la P.A.: ÷ –3; 1; 5; 9; ... a) 76 b) 75 c) 74 d) 73 e) 72 3. El primer término de una P.A. es 5 y la razón es 4. Calcula el noveno término. a) 15 b) 36 c) 28 d) 37 e) 19 4. En la P.A.: ÷3; 8; 13; 18; ... calcula el lugar que ocupa el número 53. a) 13º b) 10º c) 18º d) 15º e) 11º 5. Calcula la razón de una P.A., si se cumple que el cuarto término es 10 y el décimo es 4. a) – 6 b) – 2 c) – 4 d) – 3 e) – 1 6. Calcula la razón de una P.A. definida por: an=4 – 3n. a) –1 b) 3 c) 2 d) –3 e) 1 7. Calcula x en la P.A.: ÷(x – 2) ; (2x+6) ; (4x+10); ... a) 6 b) 4 c) 7 d) 8 e) 5
- 117. Álgebra 117 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 13. En una P.A. se cumple que el quinto término es igual a la suma de los 3 primeros. Si el primer término es igual a 4, calcula la suma de los primeros 20 términos. a) 1000 b) 1200 c) 1400 d) 1600 e) 1800 14. Calcula el decimoquinto término de una P.A., si la suma de los primeros n términos está determinada por: Sn=n(n+8) a) 33 b) 35 c) 37 d) 39 e) 41 15. En una P.A. de términos positivos, se sabe que el triple del cuadrado del término central es igual a 243. Si la suma de todos sus términos es 171, ¿cuántos términos posee dicha progresión? a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 16. Dada la siguiente P.A.: a; ........ ; 7b 6a xtérminos - ' ^ h S Si la razón es (b – a), calcula el valor de x. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 17. La suma del cuarto y décimo término de una P.A. es 60 y la relación del segundo y décimo término es como 1 es a 3. Halla el primer término. a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 9 18. Una deuda de S/. 363000 será pagada de la siguiente manera: S/. 3000 el primer mes, S/.9000 el segundo, S/.15000 el tercero, S/.21000 el cuarto mes, y así sucesivamente. ¿En cuántos meses la deuda quedará saldada? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 19. Siendo ÷a1; a2; a3 una P.A. decreciente de términos positivos. Indica entre qué límites varía su razón, si se cumple: 7+5a213a1 – 8a3 a) 〈–5; 4〉 b) 〈–1/3;+∞〉 c) 〈–∞; 1/3〉 d) 〈–1/3; 0〉 e) 〈–1/3; 4〉 20. Halla el número de términos de una P.A., si la suma de sus n términos no varía al aumentar en 1 la razón y simultáneamente al disminuir en 30 su primer término. a) 30 b) 31 c) 60 d) 61 e) 59 21. Al dividir el noveno término de una P.A. por su segundo término, el cociente es 5, mientras que al dividir el término decimotercero por su sexto término, el cociente es 2 y el resto 5. Calcula la suma de los primeros 30 términos. a) 1300 b) 1450 c) 1610 d) 1790 e) 1830 22. Dada la P.A.: ÷ a; b; c; d donde bc=50. Calcula: b2+c2+(a – b)2 – (b – c)2 – (c – d)2 a) 4 b) 9 c) 25 d) 64 e) 100 23. Dos móviles se encuentran a una distancia de 153 metros uno del otro, se mueven al encuentro mutuo; el primero recorre 10 m/s, el segundo recorrió 3 metros el primer segundo y en cada segundo siguiente recorre 5 metros más que el segundo anterior. ¿Después de cuántos segundos se encuentran? a) 2s b) 4s c) 6s d) 10s e) 12s 24. En una P.A., el término de lugar A es B y el término de lugar B es A. Calcula (A+B), si el segundo término de la progresión es el doble del sexto término. a) 11 b) 10 c) 2 d) 3 e) 5 25. En una P.A., el último término es u, la razón es r y sus valores se obtienen al resolver el sistema: u r 335 ur u r 70;r 0 3 3 2 2 - = - =− ) Si la suma de términos es 16, hallar el número de términos. a) 9 b) 7 c) 4 d) 12 e) 5
- 118. Capítulo 118 Colegios TRILCE Central: 6198-100 28 Practicaen casa 1. Dada la P.A.: ÷ x; 9; 12; y; ... calcula x + y. 2. En la P.A.: ÷2; 6; 10; 14; ... Calcula el vigésimo término. 3. Calcula el primer término de una P.A., si el décimo término es 57 y la razón es 5. 4. ¿Qué lugar ocupa el número 50 en la P.A.: ÷ 2; 5; 8; ... ? 5. En una P.A., el término de lugar 40 es 59 y el término de lugar 27 es 33. Halla la razón de dicha progresión. 6. Indicar verdadero (V) o falso (F) en la P.A. de término general: an=6n – 5. • La razón es –5 ........................................ ( ) • Los tres primeros términos suman 20....... ( ) • Todos sus términos son positivos............. ( ) 7. De la P.A.: ÷ x; x+3; 2x calcula x. 8. En la P.A.: ÷1; 5; 9; 13; ... Calcula la suma de los 15 primeros términos. 9. En la P.A.: ÷2; x; y; 23; ... calcula la razón. 10. Un alpinista escala una montaña de 5700 m de altura. En el transcurso de la primera hora alcanzó una altura de 800 m; mientras que durante cada hora siguiente subió a una altura de 25 m menor que en la precedente. ¿Cuántos metros ascendió durante la última hora en que alcanzó la cima? 11. Hallar el término de lugar 120 de la progresión aritmética: ÷ –8; –3; 2; 7; 12; ... 12. ¿Cuánto es la suma de los 25 términos de una P.A., cuyo primer término es 4 y la razón es 10? 13. Una P.A. de 30 términos tiene por primer término 200 y por suma 5130. ¿Cuánto valen la razón y su último término? 14. Hallar el número de términos y la suma de ellos, de una P.A. cuya razón es 3, su primer término es 6 y su último término 123. 15. No pudiendo cancelar una deuda de S/.12 950, Mathías le propone a su acreedor pagarle del siguiente modo: S/. 600 al final del primer mes y cada mes siguiente S/.50 más que el anterior. ¿Cuál será el importe del último pago?
- 119. Álgebra 119 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Tú puedes 1. Indique el número de términos de una P.A., si el primer término es (m – 2), la razón (2 – m) y la suma de términos (10 – 5m). a) 10 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 2. Indica la relación correcta de la P.A.: ÷(m – n)–1 ; (2m)–1 ; (m – p)–1. a) n=mp b) m=n+p c) m=np c) m2=np e) m=(np)2 3. Calcula: a b c 2 2 2 + de la P.A.: ÷ (a+b)–1 ; (b+c)–1 ; (a+c)–1. a) 0,5 b) 1 c) 2 d) 4 e) 0,25 4. La suma de los seis términos centrales de una P.A. creciente de 16 términos es 141 y el producto de los extremos es 46. ¿Qué lugar ocupa en la progresión el número 7? a) 5º b) 7º c) 9º d) 2º e) 3º 5. Si Skn es la suma de los kn primeros términos de una P.A., calcula el valor de: M= S S S n n n 5 4 9 - a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
- 120. Capítulo 120 Colegios TRILCE Central: 6198-100 29 Progresióngeométrica (P .G.) Problemas para la clase 7. En la P.G.: ÷÷ 16 ; x ; y ; z ; 81 calcula: x+y+z. a) 96 b) 84 c) 74 d) 128 e) 114 8. Interpolar 4 medios geométricos entre 5 y 160. Dar como respuesta la suma de los 2 términos centrales. a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 9. Calcula la siguiente suma límite: 4 1 4 1 16 1 ... + + + + a) 2 17 b) 9 16 c) 4 15 d) 3 16 e) 2 15 10. Una bacteria tiene un peso determinado inicialmente. Cada día aumenta su peso al doble. Si al cabo de una semana su peso es n, Calcula el peso que tenía el tercer día. a) 2 n b) 4 n c) 8 n d) 16 n e) 32 n 11. En la P.G.: ÷÷ 48; 72; 108; ... calcula el lugar que ocupa el número 243. a) 6º b) 10° c) 8º d) 7º e) 5º 12. La diferencia del tercer término con el sexto de una progresión geométrica es 26 y el cociente 27. Calcula el primer término. a) 245 b) 234 c) 243 d) 342 e) 324 1. Dada la P.G.: ÷÷ 1; 3; x; 27; y Calcula y – x. a) 9 b) 15 c) 36 d) 72 e) 81 2. Calcula el séptimo término de la P.G.: ÷÷ 4; 8; 16; ... a) 48 b) 128 c) 200 d) 256 e) 512 3. El primer término de una P.G. es 128 1 y la razón es 2. Calcula el término de lugar 12. a) 4 b) 16 c) 8 d) 12 e) 24 4. Calcula la razón de una P.G., si se cumple que el cuarto término es 96 y el noveno es 3. a) 0,5 b) 0,2 c) 0,4 d) 1 e) 2 5. Calcula x en la P.G.: ÷÷ (x – 3); x; 2x a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 6. De la P.G.: ÷÷ 3; 6; 12; ... calcula la suma de los primeros 10 términos. a) 1024 b) 2048 c) 3069 b) 4096 e) 1008
- 121. Álgebra 121 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 13. Calcula el término siguiente en la P.G.: ÷÷ (x – 1) ; (2x+1) ; (7x – 1) ; ... a) 80 b) 81 c) 64 d) 68 e) 70 14. Luego de sumar un número constante a 20, 50 y 100 se obtienen 3 números que conforman una P.G. Calcula la razón. a) 5 3 b) 2 5 c) 2 d) 5 1 e) 3 5 15. La suma de los seis primeros términos de una P.G. es igual a 126 veces la suma de sus tres primeros términos. Calcula la razón. a) 4 b) 5 c) 3 d) 6 e) 7 16. Entre 3 y 1536 y entre 7 y 56 se han interpolado n medios geométricos. Si la razón de la primera progresión es el doble de la segunda, calcula el valor de n. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 17. Calcula: 5 3 10 9 20 27 40 ... + + + + a) 21 b) 12 c) 18 d) 15 e) 10 18. Se dibuja un triángulo equilátero de lado x. Si se unen los puntos medios de los lados, se forma otro triángulo equilátero. Al efectuar la misma operación indefinidamente, el límite de la suma de los perímetros de todos los triángulos es: a) 2x b) 3x c) 4x d) 5x e) 6x 19. Sean t1; t2; t3 términos consecutivos y positivos de una P.G. creciente. ¿Entre qué límites varía su razón si se cumple: 2t2 t3 – 3t1? a) 〈–∞; 1〉 B) 〈1; 3〉 c) 〈–1; 3〉 d) 〈3; +∞〉 e) 〈–3; +∞〉 20. Una progresión geométrica admite cuatro términos, siendo la suma de sus extremos 27 y la de los centrales 18. Calcula la suma de cifras del mayor de estos números. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 21. Tres números positivos en progresión aritmética son aumentados en 3; 3 y 7 respectivamente, formando una progresión geométrica de suma 28. ¿Qué números son? a) 3; 5 y 7 b) 2; 6 y 10 c) 3; 6 y 9 d) 1; 5 y 9 e) 3; 7 y 11 22. Los lados de un triángulo rectángulo forman una P.G. Calcula el seno del menor de sus ángulos agudos. a) 2 1 2 5 2 - b) 2 1 5 1 + c) 2 1 5 1 - d) 2 1 5 2 - ^ h e) 2 1 5 1 - ^ h 23. Se tiene una circunferencia de radio R; dentro de ella se dibuja una circunferencia concéntrica y de radio la mitad de la primera; luego se dibuja otra circunferencia concéntrica y radio la mitad de la segunda y así indefinidamente. Si se suman las áreas de todas las circunferencias, se obtiene la misma área de una circunferencia cuyo radio sería: a) 3 R b) 3 2 3 R c) 3 2 R d) 2 3 2 R e) 3 4 3 R 24. Calcula la suma límite: 1 3 2 1 5 2 1 7 2 1 ... 2 3 + + + + c c c m m m a) 2 b) 4 c) 5 d) 2 13 e) 6 25. Conociendo la suma S de los primeros n términos de una P.G., y la suma T de los recíprocos de estos términos, Calcula el producto de los n primeros términos de dicha progresión. a) T S 2 n c m b) S T 2 n c m c) Tn/2 d) Sn/2 e) (ST)n/2
- 122. Capítulo 122 Colegios TRILCE Central: 6198-100 29 Practicaen casa 1. Dada la P.G. ÷÷ 2; 8; x; y calcula y – x. 2. Calcula el noveno término de la siguiente P.G.: ÷÷ 2 1 ; 1; 2; ... 3. Si el primer término de una P.G es 96 y la razón es igual a 2 1 , calcula el término de lugar 10. 4. Dada la P.G.: ÷÷ t1; t2; t3; ... calcula la razón, si: t9 = 3 y t14=96 5. Calcula x en la P.G.: ÷÷ (x – 8); (x – 4); (x+8) 6. En la P.G.: ÷÷ 1; 3; 9; 27; ... calcula la suma de los seis primeros términos. 7. De la P.G.: ÷÷ 4; x; y; z; 324 Calcula: y 4 x z + + 8. Interpolar 4 medios geométricos entre 3 y 96. De como respuesta la suma de los dos términos centrales. 9. Calcula la suma límite: 1 2 1 4 1 ... + + + 10. Una hoja de papel se parte por la mitad; después se superponen las dos mitades y se vuelven a partir por la mitad, y así sucesivamente. Después de ocho cortes, ¿cuántos trocitos de papel habrá? 11. En la P.G.: ÷÷ 0,25; 0,5; 1; 2; ... , calcula el décimo término. 12. En una progresión geométrica, el primer término es 6 y el término de lugar 15 es 54. Halla el octavo término. 13. Halla la suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica: ÷÷ ; ; 3 4 3 2 3 1; ... 14. En la P.G.: ÷÷ 18 ; x ; y ; z ; 88 Calcula: x.z – y2. 15. Se deja caer una pelota desde una altura: h=270m. En cada rebote la pelota se eleva 2/5 de la altura de la cual cayó la última vez. ¿Qué distancia total recorre la pelota hasta quedar en reposo?
- 123. Álgebra 123 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Tú puedes 1. Si: x; y ; z son términos consecutivos de una P.G. creciente, indicaa el valor de z en el sistema: – x y z y z 2 40 3 10 + + = = ) a) 16 b) 12 c) 20 d) 32 e) 15 2. En una P.G., la suma de los seis primeros términos es igual a nueve veces la suma de los tres primeros términos. Halla la razón de la progresión. a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 6 3. Indica el valor de: ... 2 1 2 1 2 1 81 82 100 + + + a) 2 1 100 –1 b) 2 1 80 –1 c) – 2 2 1 80 100 d) – 2 2 1 100 20 e) – 2 2 2 101 80 4. Encontrar una P.A. y una P.G., si se sabe que los primeros términos son iguales a 2, tienen el mismo tercer término y el undécimo término de la P.A. es igual al quinto término de la P.G. Indica la suma de las razones de ambas progresiones. a) 8 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 5. Calcula: S = 1+2 2 1 3 2 1 + c c m m 2 +4 2 1 c m 3 +5 2 1 c m 4 +... a) 2 b) –4 c) –6 d) 6 e) 4
- 124. Capítulo 124 Colegios TRILCE Central: 6198-100 30 LogaritmosI Problemas para la clase 7. Calcula: log86 . log310 . log64 . log3 a) 3 2 b) 2 3 c) 5 3 d) 9 2 e) 3 5 8. Si: x=log53, calcula log153 a) x 1 1 - b) x 1 c) x 1 1 + d) x 1 x + e) x x 1 + 9. Si: log2=a ∧ log3=b calcula el valor de log72. a) a3+b2 b) 2a+3b c) a2+b3 d) 3a+2b e) a+b 10. Efectúa: log197antilog197 23 – colog28 a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 11. Calcula: log1000+ln e +log0,1 – lne2 a) 0,2 b) 3 c) 4 d) 0,5 e) 1 12. Efectúa: log 16 75 log 81 50 log 243 32 - + c c c m m m a) 1 b) 0 c) –1 d) 2 1 e) 2 1 − 1. Calcula: log832 a) 4 b) 3 5 c) 4 1 d) 5 3 e) 4 5 2. Efectuar: log 36 7 3log 4 log 8 6 7 4 + - a) 3 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4 3. Calcula: log2(log24)+log3(log327) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 4. Si M= log log log 256 3 2 2 ^ ^ hh calcula el valor de 2 M 1 - . a) 1 b) 2 1 c) 2 d) 0 e) 2 3 5. El logaritmo en base 3 1 del número 729 1 es igual a: a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 18 6. Calcula: – log log 5 1 5 1 50 2 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1
- 125. Álgebra 125 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 13. Calcula: log89.log274 log1625.log12532 a) 7 15 b) 2 13 c) 4 3 d) 15 8 e) 7 5 14. Calcula el valor de: 5 log 10 1 1 3 log 7 5 1 + - ` j a) 2 b) 1 c) –1 d) 8 e) 0 15. Si e: base de los logaritmos naturales, efectuar: lne+lne2+lne3+ ... + lnex+1 a) x b) 2 x 1 + c) 2 x(x 1) + d) 2 (x 1)(x 2) + + e) 2 x 1 x - ^ h 16. Calcula: (2+log27)(2+log72)–(log249+log74) a) 8 b) 13 c) 14 d) 5 e) 10 17. Si log422=a ∧ log423=b calcula log4249. a) 1+a – b b) 2(1+a+b) c) 3(1 – a – b) d) 2(1 – a – b) e) a – b+2 18. Calcula: colog6 antilog3 (log312+1) a) 2 1 b) 2 c) –2 d) 4 1 e) 2 1 − 19. Calcula: log 12 2 2 log 15 9 log 4 2 3 1 3 0,6 5 3 0,5 + + - e c o m ! a) 6 1 b) 2 1 − c) 0 d) 2 1 e) 6 1 − 20. Simplifica: 49log 6 log 5log 3 7 3 2 5 log 2 ^ h a) 9 b) 36 c) 4 d) 7 e) 14 21. Calcula: log log log 1 36 1 1 72 1 1 8 1 4 2 18 + + + + + a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 0,5 22. Calcula: 8 4 8 log log log 4 3 8 2 4 + + + a) 128 b) 130 c) 134 d) 135 e) 127 23. Se sabe: log2=0,3010; log 3=0,4771 Calcula log311,04 con cuatro cifras decimales. Dar como respuesta la suma de cifras de la parte decimal. a) 13 b) 15 c) 18 d) 19 e) 20 24. Efectúa: .log 5 antilog b 1 log b 1 log a 2 a b a + + = G si: a1 ∧ b1 a) 8 b) 32 c) 16 d) 2 e) 1/2 25. Si log2 = a, calcula log5 500 3 a) 3 1 a 3 a - - ^ h b) 1 a 3 a - - c) 1 a 2 a - - d) 2 1 a 2 a - - ^ h e) 3 1 a 3 a + + ^ h
- 126. Capítulo 126 Colegios TRILCE Central: 6198-100 30 Practicaen casa 1. Calcula: log3264. 2. Efectúa: log5125+5log88–3log34 3. Calcula: log3(log28)+log2(log39) 4. Calcula: log log log 81 2 3 2 3 ^ ^ hh 5. El logaritmo en base 2 1 del número 512 1 es igual a: 6. Calcula: log log 6 1 6 1 2 108 + 7. Efectúa: log35 . log210 . log3 . log564 8. Si x=log23, calcula: log62. 9. Si log 2=m ∧ log3=n, Calcula el valor de: log24. 10. Efectuar: log14 antilog1435+colog749 11. Calcula: 100 81 ln e l log log 2 3 + + c m (e: base de los logaritmos naturales) 12. Calcula: log log log log log log 12 4 12 2 12 18 3 3 7 7 5 5 + + 13. Calcula: (1+log53)(1+log35) – log53 – log35 14. Calcula: 5 36 log log 4 5 3 3 15. Calcula: log log log yz xz xy 1 1 1 1 1 1 x y z + + + + + donde: x; y; z ∈〈1;+∞〉 Tú puedes 1. Si: xy.yx = (xy)2 con x ≠ y, reducir: log log x x y y 1 1 y x + + + a) 0,5 b) 1 c) 2 d) 0 e) 0,25 2. Si: log1428 = a, Calcula: log4916. a) – ( – ) a a 2 2 1 b) – ( – ) a a 2 2 1 c) – – a a 2 1 d) – – a a 1 2 e) – a a 2 3. Si: x2+y2=1, reducir: – + – – log log log x y x y y x y y 1 1 1 1 1 + + + + c c c m m m 2 . a) 2 b) 1 c) 0,5 d) 0,25 e) 4 4. Calcula: log(log63)(log936) a) –36 b) –1 c) 3 d) 6 e) 9 5. Si: logaba=3, Calcula: logab( a b 3 ). a) 6 1 b) 5 2 c) 3 2 d) 6 5 e) 1
- 127. 127 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Capítulo 31 Logaritmos II Problemas para la clase 8. Resuelve: 5log5(4–x)=x – 8 a) {3} b) {3; 6} c) {6} d) {–1} e) φ 9. Luego de Resuelve el sistema: log (x 2) 2 x y 10 3 + = + = * calcula x . y a) 3 b) 7 c) 10 d) 15 e) 21 10. Resuelve: (log3x–1)(log3x–4)=0 a) {1; 3} b) {3; 9} c) {3; 81} d) {3; 27} e) {27; 81} 11. Halla el valor de x en: 3 2 logx 3log x 6 1 logx log81 + - = a) x=3 b) x=9 c) x= 9 1 d) x= 3 1 e) x=27 12. Resuelve la ecuación: 3log3(2–x)=x2 – 2x – 4 Dar como respuesta el producto de soluciones. a) 3 b) –2 c) –6 d) 2 e) –1 13. Si x satisface la ecuación: 2 2 32 log (x 1) 4 = - 4 ^ h calcula x2 – 1 a) 8 b) 24 c) 35 d) 15 e) 48 1. Resuelve: log3(2x – 1)=2 a) {7/2} b) {3/2} c) {5} d) {1/5} e) φ 2. Calcula el valor de x en: log2(x – 1)=log23+log24 a) x=6 b) x=12 c) x=13 d) x=8 e) x=11 3. Calcula x 1 + , si: log3(log2x)=1 a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2 4. Resuelve: xlogx(x+2)+5log5x=3log312 a) {4} b) {5} c) {6} d) {8} e) {10} 5. Resuelve: 2logx+log x =log32 a) {1} b) {2} c) {4} d) {8} e) {16} 6. Resuelve: logx+log(x – 1)=log6 a) {–2} b) {–2; 3} c) {2} d) {3} e) {–3; 2} 7. Resuelve: log x 1 log x 13 2 2 + + = ^ ^ h h a) {2} b) {–4} c) {6} d) {8} e) φ
- 128. Capítulo 128 Colegios TRILCE Central: 6198-100 14. Indicala menor solución al Resuelve: log2x – logx2 = 15 a) 0,1 b) 0,001 c) 0,01 d) 100 e) 10 15. Indica el producto de las soluciones al Resuelve: (lnx+1)lnx=90 a) e 1 b) e c) e2 d) e3 e) 1 16. Resuelve: 2log(logx)=log(7 – 2logx) – log5 a) {3} b) {5} c) {3; 5} d) {10} e) {8} 17. Resuelve el sistema: x y 11 logx logy 1 2 2 = = − − * a) x=–10/3 b) x=10/3 c) x=1 y=1/3 y=1/3 y=1/3 d) x=2/3 e) x=5/3 y=10/3 y=1/3 18. Indica la suma de las soluciones al Resuelve: x log3x = 81 a) 4 17 b) 9 82 c) 2 5 d) 3 10 e) 5 26 19. Resuelve la ecuación: x+log(1+2x)=xlog5+log6 Halla x+1. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 8 20. Halla el valor de x: 2 log x 1 log x 1 log x 2 2 2 x x x + - + = ^ c h m a) x=2 b) x=1 c) x= 4 1 d) x=4 e) x= 2 1 21. Si xo es la solución de la ecuación: log lnx 1 lnx 1 ln e 1 logx x + - = c c m m Calcula el valor de ln xo (e: base de los logaritmos naturales) a) 11 b) 9 1 c) 9 11 d) 11 1 e) 9 10 22. Resuelve: 4x=2(14x)+3(49x) a) log7 log3 b) log2 log7 c) log2 log7 log3 - d) log3 log2 log7 + e) log3 23. ¿Cuál es la menor solución de la siguiente ecuación: 5 4log x 1 1 1 4log x 1 5 2? - + + + + = ^ ^ h h a) 8 b) 9 c) 10 d) 10 1 + e) 10 1 - 24. Calcula x, en: x e 1 Inx logx 5 = - a) e 10 5 loge c m b) 10 e 5ln10 ` j c) e 10 5loge c m d) 10 e5 In10 c m e) e 10 5 In10 c m 25. Una colonia de bacterias crece de acuerdo a: N(t)=n0ekt (t: número de horas). Si la cantidad de bacterias se duplica cada 3 horas, ¿cuánto tardará la colonia en triplicar su cantidad inicial? (e: base de logaritmos naturales) a) ln2 3ln3 horas b) 2 3ln2 horas c) ln3 3ln2 horas d) 3ln3 horas e) 2ln3 horas 31
- 129. Álgebra 129 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Practica en casa 1. Resuelve: log2(x – 5)=4 2. Calcula el valor de x en: log4(x+3)=log424 – log43 3. Resuelve: log5(log2x)=1 4. Halla x: 3log3x+xlogx(x+5)=2log219 5. Resuelve: logx+log x =log8 6. Resuelve: logx+log(x – 2)=log15 7. Resuelve: log x 3 log x 33 2 2 + + = ^ ^ h h 8. Resuelve: 2log2(5 – x)=x – 7 9. Resuelve el sistema: log x 4 4 x y 12 2 - = - = ^ h * De el valor de x . y 10. Resuelve: (log2x – 3)(log2x – 1)=0 11. Resuelve: 3logx – log32=2log 2 x ` j 12. Resuelve: log log x 1 2 2 - ^ ^ hh=4 13. Resuelve la ecuación: (logx)2 – 7logx+12=0 Indica el producto de soluciones. 14. Halla el valor de x que verifica la ecuación: 4x+5.2x=50 15. Calcula la suma de soluciones de la ecuación: xlog2x=16 Tú puedes 1. Halla x en: logx 125 4 = 2 3 . a) 5 1 b) 2 c) 5 d) 5 e) 25 2. Calcula el valor de x en: 3logx81=x. a) 1 b) 3 c) 3 1 d) 9 1 e) 27 1 3. Resuelve: 9x=6x+1+7(4x). a) log73 b) log27 c) – log log log 2 7 3 d) log log log 3 2 7 – e) log3 4. Dado el sistema: – – log a x y a b a b 10 10 x y + = = + c m * , calcula: 10x – 10y. a) 2 b) a c) b d) 2b e) a+b 5. Resuelve: abx =c a) loga(logbc) b) logb(logac) c) loga(logca) d) logacb e) log(logbac)
- 130. Capítulo 130 Colegios TRILCE Central: 6198-100 32 RepasoIV Problemas para la clase 6. En la P.G.: ÷÷ 32; x; y; z; 162 Calcula la razón. a) 3,5 b) 2,4 c) 1,5 d) 1,8 e) 1,6 7. Relacionar correctamente: I. 2log25+log663 A. 6 II. log3 3 B. 8 III. antilog5(log56) C. 1/2 IV. lne5 D. 5 a) IB - IID - IIIC - IVA b) IA - IIB - IIIC - IVD c) IA - IID - IIIB - IVC d) IB - IIA - IIIC - IVD e) IB - IIC - IIIA - IVD 8. Efectúa: log 10 log 3 log 5 3 5 + - a) 2 b) 0 c) 3 d) –1 e) 1/2 9. Calcula el valor de x: log x 5 2x 1 log3 log2 - - = - c m a) x=10 b) x=–10 c) x=–13 d) x=12 e) x=13 10. Calcula log3x, si: log636 – colog3x=antilog23 a) 6 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4 11. Sabiendo que el conjunto de pares ordenados: F={(3; a2), (3; 1), (5; 4), (5;a+b), (b; 4)} representa una función, indicar la suma de elementos del dominio. a) 3 b) 5 c) 8 d) 13 e) 11 1. A partir de la función: F = {(4; a+3), (–2; a), (4; 2a–1)} calcula: F(4)+F(–2) a) 13 b) 9 c) 8 d) 10 e) 11 2. Sea la función f cuya regla de correspondencia es: f(x)=x3 – 2x+1; calcula el rango de f, si el Dom(f)={–2; 0; 3}. a) {–11; 1; 22} b) {–3; 1; 22} c) {0; 1; 22} d) {–8; 0; 27} e) {1; 13; 22} 3. Halla el dominio de la función f definida por: f(x) = –15+8x – x2 a) x∈[1;2 ] b) x∈[2; 3] c) x∈[3; 4] d) x∈[3; 5] e) x∈[3; 6] 4. Grafica la función F definida por: F(x)=2x+3 ; x∈ a) b) c) y x y x y x d) e) y x y x 5. En una P.A., el octavo término es igual a 81, y el tercero es igual a 16. Calcula la razón. a) 3 b) 8 c) 13 d) 15 e) 10
- 131. Álgebra 131 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria 12. Dada la función: F(x)=2x2+3x+2; x∈. calcula el valor de a, si Ran(F)= a 1 a ; + +3 8 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 13. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función: g(x)=6 – 4 3 x; x∈ y los ejes coordenados. a) 6u2 b) 12u2 c) 18u2 d) 21u2 e) 24u2 14. Calculaladistanciaentreelvérticedelaparábola determinada por la gráfica de la función: f(x)=–x2+4x – 7; x∈, y el punto de intersección de f con el eje y. a) 5 u b) 5 2 u c) 3 2 u d) 2 5 u e) 10u 15. ¿Cuántos términos hay que tomar de la progresión aritmética: ÷ –2; 2; 6; 10; 14; ... para que la suma sea 8190? a) 63 b) 64 c) 65 d) 66 e) 67 16. Indica el quinto término de una P.G. creciente de siete términos, si la suma de los tres primeros es 26 y la suma de los tres últimos 2106. a) 42 b) 152 c) 144 d) 162 e) 216 17. Sea: f(x)=log3(x – 4) y g(x)=logx Calcula: f(85)+f(31)+f(7) g(100)+g(1000)–g(10) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 18. Halla el valor de: eln log log log 8 15 2 3 5 27 16 – + c c c m m m ' 1 (e: base de los logaritmos naturales) a) e b) log2 c) ln2 d) 0,47712 e) 5 19. Se define la función f: f(x) x ; x [0;2 2x 1;x [2;5 2 = + ! ! H H * Si: x 1; 2 3 ! ; calcula f(2x – 1) – f(2x2) a) 14 b) 2x – 1 c) –4x d) x2 e) 2x 20. Dada la figura: y x y 8 x 8 3 = + C A B y n 3 4 x = - calcula el área de la región formada al unir los puntos A, B y C. a) 20u2 b) 30u2 c) 40u2 d) 45u2 e) 50u2 21. Si: x xx =10, calcula: log log log logx logx logx logx a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 22. Luego de resolver la siguiente ecuación: logx2 – log x 16 ( ) 2 = log x 64 ( ) 2 indica el producto de sus soluciones. a) 12 b) 17 c) 1 d) 16 e) 24 23. Si x, y, z son términos consecutivos de una P.A., simplifica: E = ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z y z x z x y 3 2 2 2 + + + + + + + a) 9 1 b) 9 7 c) 9 2 d) 9 4 e) 1
- 132. Capítulo 132 Colegios TRILCE Central: 6198-100 32 Practicaen casa 1. Dada la función: g={(3; 2a+1), (–4; a), (3; a+7)} calcula: g(3)+g(–4) 2. Sea la función f con dominio: {2; 3; 4} y f(x)=x2+1; halla la suma de elementos del rango de f. 3. Halla el dominio de la función g definida por: g(x) x 3 9 x = - + - 4. Grafica la función f definida por: f(x)= 3 1 − x+2 ; x∈ 5. En una P.A., el noveno término es igual a 93, y el cuarto es igual a 28. Calcula la razón. 6. Calcula x en la P.G. (x0): 2x 6 ; 3 x ; 2x 6 ;... - + ''^ ^ ^ h h h 7. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: M; N∈+ ∧ a∈+ – {1} • logaM+logaN=loga(M.N) .......................( ) • logaMn=nlogaM ...................................( ) • loga1=a ...................................( ) • logaM – logaN=loga(M – N) .................( ) 8. Calcula: log0,25+log0,52+log0,254 9. Calcula x en: log3(5x+1)=4 10. Resolver: log4log2(x – 1)=0 11. Dada la función: F={(4; 8), (b; 3), (4; a+b), (5; 9), (5; a2)} calcula: ab. 12. Obténlas coordenadas delpuntodeintersección entre las gráficas de las funciones definidas por: F(x)=2x – 1 ; x∈ G(x)=3x+2 ; x∈ 13. Calcula: log 0,25 log 0,04 log 0,2 log 0,5 2 5 25 4 + + 14. Calcula el término siguiente en la P.A.: ÷(3x – 5); (4x+6); (6x+10); ... 15. Si la suma de un número infinito de términos de una P.G. decreciente es 7 2 y la suma de sus cubos es 511 8 , halla la razón. 24. En una P.G. decreciente de seis términos, se cumple que la suma de los términos extremos es 5 a, y el producto de los dos términos centrales es a2. Calcula la razón, si a0. a) 2 3 5 5 + b) 2 3 5 5 − c) 3 5 5 + d) 3 5 5 − e) 2 5 3 5 − 25. Calcula: log ab 1 log ab 1 a 1 b 1 + + + si la ecuación: x2 – 5x+2=0 tiene como C.S.={a; b} a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 8
- 133. Álgebra 133 www.trilce.edu.pe Cuarto añode secundaria Tú puedes 1. Dada la función: F(x)= – – – x x x x 1 1 1 1 + + , hallar su dominio. a) 〈–1 ; 0] ∪ 〈1 ; +∞〉 b) 〈– 1 ; 1〉 c) 〈– ∞ ; – 1〉 ∪ 〈1 ; + ∞〉 d) 〈–1 ; +∞〉 e) 〈– ∞ ; –1〉 2. Sabiendo que: f(x)= x 1 1 + , calcule: f(1)+f(2)+...+f(10)+f(1–1)+f(2–1)+...+f(10–1) a) 10 1 b) 100 c) 8 d) 10 e) 20 3. Si el dominio de la función f, cuya regla de correspondencia es: f(x)= – – – x x a x x 3 2 1 2 2 + + ; a ∈ tiene solo cinco elementos enteros, señale el número de valores enteros de a. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Dada la función F definida por: F(x)= – – – x x x x x x 3 3 6 15 18 11 2 4 3 2 + + + ; x∈, determine el rango. a) [2 2 ; +∞〉 b) [1; +∞〉 c) [3; +∞〉 d) [ 2 ; +∞〉 e) [0; +∞〉 5. Dada la función F definida por: F(x)= – – – x x x 9 2 20 5 2 + + halle el mayor elemento de su rango. a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 2 3