-KIGT

1. TRABAJO Y POTENCIA

2. El trabajo W realizado por una fuerza constante sobre un objeto se define
como el producto del componente de la fuerza a lo largo de la dirección del
desplazamiento y la magnitud del desplazamiento:
W = (Fcosθ) ∆x
TRABAJO

3. TRABAJO
• El trabajo W, es energía transferida hacia o desde un
objeto por medio de una fuerza que actúa sobre el objeto.
La energía transferida al objeto es trabajo positivo y la
energía transferida desde el objeto es trabajo negativo.
Por tanto, “trabajo”, es energía transferida; “realizar
trabajo” es el acto de transferir la energía.

4. Ejemplo ilustrativo
• Un hombre que limpia su departamento jala el depósito
de una aspiradora con una fuerza de magnitud F = 55.0
N. la fuerza forma un ángulo de 30.0° con la horizontal,
como se muestra en la figura. El depósito se desplaza
3.00 m a la derecha. Calcule el trabajo realizado por la
fuerza de 55.0 N sobre la aspiradora.
• W = FΔxcosθ
• W = (55 N)(3 m)(cos 30°) = 142.89 J

5. ENERGÍA CINÉTICA
• La energía cinética, K, es la energía asociada con el
estado de movimiento de un objeto. Cuanto más rápido
se mueva el objeto, mayor es su energía cinética; pero
cuando el objeto está inmóvil, es cero. Para un objeto de
masa m cuya rapidez v está por debajo de la rapidez de
la luz
K = ½ mv2

6. ENERGÍA CINÉTICA
• Si el objeto se desplaza una distancia de ∆x, el trabajo
realizado por Fnet sobre el objeto es
Wnet = Fnet Δx = (ma) ∆x
• La relación se cumple cuando un objeto experimenta
aceleración constante:
v2 = v0
2 + 2a ∆x o a ∆x =
𝑣2−𝑣0
2
• Podemos sustituir esta expresión para obtener
Wnet = m (
𝑣2− 𝑣0
2
2
)
Wnet = ½mv2 – ½mv0
2

7. TEOREMATRABAJO-ENERGÍA
CINÉTICA
Wnet = KEƒ – KEi = ∆KE
• Cuando una fuerza neta realiza trabajo sobre un objeto y
el único cambio en el objeto es su rapidez, el trabajo
realizado es igual al cambio en la energía cinética del
objeto.
• El teorema del trabajo y la energía cinética indica que la
rapidez del objeto aumenta si el trabajo neto realizado
sobre él es positivo, porque la energía cinética final es
mayor que la energía cinética inicial. La rapidez decrece
si el trabajo neto es negativo, porque ahora la energía
cinética final es menor que la energía cinética inicial.

8. Movimiento en una dimensión con
fuerzas constantes
• El trabajo W realizado por una fuerza constante F cuyo
punto de aplicación se traslada una distancia ∆xi, es
W = Fx ∆x = Fcosθ∆x
Wtotal = F1x ∆x1 + F2x ∆x2 + F3x ∆x3 + …
Wtotal = F1x ∆x1 + F2x ∆x2 + …
= (F1x + F2x + …)∆x
= Fneta x ∆x

9. Trabajo y energía en 3
dimensiones
Se tiene 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 ∙ 𝑣 =
𝑑𝐸 𝑐
𝑑𝑡
, donde 𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝑣2
. El teorema trabajo energía cinética en
tres dimensiones puede establecerse integrando los dos términos de ésta ecuación
con respecto del tiempo. Esto nos conduce a
𝑡1
𝑡2
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 ∙ 𝑣 𝑑𝑡 =
𝑡1
𝑡2 𝑑𝐸𝑐
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Como 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡, donde d es el dexplazamienro durante el tiempo dt, y teniendo en
cuenta, además, que (
𝑑𝐸 𝑐
𝑑𝑡
)𝑑𝑡 = 𝑑𝐸𝑐, la ecuación puede expresarse
1
2
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 ∙ 𝑑𝑠 =
1
2
𝑑𝐸𝑐

10. En donde la integral de la izquierda es el trabajo total𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙realizado sobre la
partícula. El primer miembro de la expresión anterior puede integrarse, lo
cual lleva a
𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
1
2
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 ∙ 𝑑𝑠 = 𝐸 𝐶2 − 𝐸𝑐1 = ∆𝐸𝑐
Ecuación de trabajo – energía en tres dimensiones
En la ecuación 𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1
2
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 ∙ 𝑑𝑠 = 𝐸 𝐶2 − 𝐸𝑐1 = ∆𝐸𝑐 se obtiene
directamente la segunda ley de Newton del movimiento.
Trabajo y energía en 3
dimensiones

11. Energía potencial
La cantidad de energía potencial del sistema se determina
mediante la configuración del mismo. Mover a los integrantes
del sistema a diferentes posiciones o girarlo cambia su
configuración y por ende, su energía potencial. El trabajo
realizado por un agente externo sobre el sistema, conforme
el objeto experimenta este desplazamiento hacia arriba, está
dado por el producto de la fuerza aplicada hacia arriba 𝑭 𝑎𝑝 y
el desplazamiento hacia arriba de esta fuerza ∆𝒓 = ∆𝑦 𝐣:
𝑤 𝑒𝑡𝑥 = 𝑭 𝑎𝑝 ∙ ∆𝒓 = 𝑚𝑔 𝐣 ∙ 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 𝐣 = 𝑚𝑔𝑦𝑓 − 𝑚𝑔𝑦𝑖

12. La energía potencial gravitacional solo depende de la altura vertical del objeto
sobre la superficie de la tierra. La misma cantidad de trabajo se debe realizar
sobre un sistema objeto-tierra.
𝑤 𝑒𝑡𝑥 = 𝑭 𝑎𝑝 ∙ ∆𝒓 = 𝑚𝑔 𝐣 ∙ 𝑥 𝑓 − 𝑥𝑖 𝐢 + 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 𝐣 = 𝑚𝑔𝑦𝑓 − 𝑚𝑔𝑦𝑖
Energía potencial

13. Después que el bloque pierde
contacto con el resorte, la
energía total del sistema es
energía cinética
Antes de comprimir el resorte,
no hay energía en el sistema
bloque-resorte
El resorte se comprime una cantidad
máxima y el bloque se mantiene fijo;
existe energía potencial elástica en el
sistema, pero no energía cinética
Cuando el resorte es parcialmente
comprimido, la energía total la
energía total del sistema es energía
potencial elástica.
Después de liberar el bloque la
energía potencial elástica en el
sistema disminuye y la energía
cinética aumenta
0
75%
75%
0
0
0
0%
100%
100%
75%
25%
100%
100%
0%
100%

14. Ejemplo
• Un atleta muestra un trofeo, cuando por un descuido, de desliza
de sus manos y cae sobre un dedo de su pie. Si elige el nivel
del suelo como el punto y=0 de su sistema coordenado, estime
el cambio en energía potencial gravitacional del sistema trofeo-
Tierra mientras el trofeo cae. Estima que el trofeo tiene una
masa de2kg y la parte superior del dedo del pie del atleta está a
0.05m sobre el suelo y además que el trofeo cae desde una
altura de 1.4m.
𝒰𝑖 = 𝑚𝑔𝑦𝑖 = 2𝑘𝑔
9.81𝑚
𝑠2
1.4𝑚 = 27.4 𝐽
𝒰 𝑓 = 𝑚𝑔𝑦𝑓 = 2𝑘𝑔
9.81𝑚
𝑠2
0.05𝑚 = 0.98 𝐽
∆𝒰 𝑔 = 0.98𝐽 − 27.4𝐽 = −26.4𝐽

15. Fuerzas conservativas
• El trabajo realizado por una fuerza conservativa haz sobre
una partícula moviéndose entre dos puntos cualesquiera es
independiente de la trayectoria tomadas por la partícula.
• El trabajo efectuado por una fuerza conservativa sobre una
partícula moviéndose a lo largo de cualquier trayectoria
cerrada es cero (una trayectoria cerrada es aquella en la
que el punto de partida y el punto final son idénticos).

16. Fuerzas no conservativas
• Una fuerza es no conservativa si no satisface las
propiedades 1 y 2 mencionadas. El trabajo efectuado
por una fuerza no conservativa depende de la
trayectoria. La suma de las energías cinética y
potencial de un sistema se define como la energía
mecánica del sistema:
𝐸 𝑚𝑒𝑐 = 𝐾 + 𝑈

17. Relación entre fuerzas
conservativas y energía potencial
• Si la configuración del sistema cambia debido al
movimiento de una partícula lo largo del eje x.
Entonces se puede evaluar el trabajo interno realizado
por esta fuerza conforme a la partícula se mueva sobre
el eje 𝑥4 utilizando la siguiente ecuación:
𝑊𝑖𝑛𝑡 =
𝑥 𝑖
𝑥 𝑓
𝐹𝑥 𝑑𝑥 = −∆ 𝑈
∆ 𝑈 = 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = −
𝑥 𝑖
𝑥 𝑓
𝐹𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑈 = −𝐹𝑥 𝑑𝑥
𝐹𝑥 = −
𝑑𝑈
𝑑𝑥

18. Trabajo realizado por una fuerza
Variable.
Considere una partícula que se desplaza a lo largo del eje
x bajo la acción de una fuerza que varía con la posición.
Sin embargo, si piensa que la partícula se somete a un
desplazamiento muy pequeño ∆x, como se muestra en la
figura a), la componente x de la fuerza, Fx, es
aproximadamente constante en este intervalo pequeño;
para este desplazamiento pequeño, se puede aproximar
el trabajo invertido en la partícula mediante la fuerza
como:
𝑊 ≈ 𝐹𝑥 ∆𝑥

19. • Que es el área del rectángulo sombreado en la figura a). Si
toma en cuenta Fx en función de la curva x dividida en un
gran número de tales intervalos, el trabajo total consumido
por el desplazamiento desde xi a xf es aproximadamente
igual a la suma de un gran número de tales términos:
𝑊 ≈
𝑋𝑖
𝑋𝑓
𝐹𝑥 ∆𝑥
Entonces el trabajo invertido por Fx en
la partícula
Conforme se traslada de xi a xf se
puede expresar como:
𝑊 = 𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝐹𝑥 𝑑𝑥

20. Ejemplo Ilustrativo
• Una fuerza que actúa sobre una partícula varia con x como
se muestra en la figura 7.8. Calcule el trabajo consumido
por la fuerza en la partícula conforme se traslada de x = 0 a
x = 6.0 m.
• 𝑊 = 0
6
Á𝑟𝑒𝑎𝑠
• A1= 4 m * 5 N= 20J
• A2= (2 m * 5N)/2 = 5J
• ∴ 0
6
Á𝑟𝑒𝑎𝑠 = 25 J
• La fuerza que actúa sobre una partícula es constante para los primeros 4.0 m de
movimiento y después disminuye linealmente con x de xB = 4.0 m a xC = 6.0 m. El trabajo
neto invertido por esta fuerza es el área bajo la curva.

21. Potencia
• Si cierta fuerza realiza trabajo W en un cuerpo durante
un tiempo, la Potencia Promedio de esta será:
𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝑊
𝑡
• Siendo la Potencia instantánea P igual a:
𝑃 =
𝑑𝑊
𝑑𝑡
• Donde dW, es la pequeña cantidad de trabajo
ejecutado en el intervalo dt. Si la potencia es constante
en el tiempo, entones P = P prom y
𝑊 = 𝑃𝑡

22. Ejemplo Ilustrativo
• Un elevador vacío pesa 5,160 N . Está diseñado para
transportar en 18 segundos una carga máxima de 20
pasajeros de la planta baja al vigesimoquinto piso de un
edificio. Supongamos que el peso promedio por
persona es de 710 N y que la distancia entre los pisos
sean de 3.5 m ¿Qué potencia promedio ha de generar
el motor del elevador?

23. SOLUCION
• F ejercida por el motor= Fuerza que carga
F= 5160 N + 20(710)= 19,360
W= Fs= 19,360 * (25)(3.5 m) = 1,694,000 J
P= W/t =
1,694,000 J
18 𝑠𝑒𝑔
= 94𝑘𝑊

24. Funciones de energía potencial
El trabajo realizado por una fuerza conservativa no
depende de la trayectoria, sólo depende de sus
puntos extremos.
La función de energía potencial se define de tal
modo que el trabajo realizado por una fuerza
conservativa sea igual a la disminución de la
función energía-potencial.
𝑊 =
𝑥 𝑖
𝑥 𝑓
𝑭. 𝑑𝑥 = −∆𝑈 = − 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖

25. Para un desplazamiento infinitesimal tenemos
𝑑𝑈 = −𝑭. 𝑑𝑥
Podemos calcular la función energía-potencial asociada con la
fuerza gravitatoria próxima a la superficie de la tierra. Para la
fuerza 𝑭 = −𝑚𝑔𝒋, resulta
𝑑𝑈 = −𝑭. 𝑑𝑠 = − −𝑚𝑔𝒋 . 𝑑𝑥𝒊, 𝑑𝑦𝒋, 𝑑𝑧𝒌 = 𝑚𝑔 𝑑𝑦
Integrando se obtiene
𝑈 = 𝑚𝑔 𝑑𝑦 = 𝑚𝑔𝑦 + 𝑈0
𝑈 = 𝑈0 + 𝑚𝑔𝑦

26. Ejemplo ilustrativo
Una botella de .350kg de masa cae desde un estante que
está a 1.75m por encima del suelo. Determinar la energía
potencial del sistema Tierra-botella cuando la botella está
en el estante y cuando está a punto de chocar con el
suelo. Determine la energía cinética de la botella justo
antes del impacto.

27. SOLUCION

28. Energía potencial y equilibrio
Considerando la función de energía potencial de un
sistema bloque-muelle como 𝑈𝑠 =
1
2
𝑘𝑥2
.
Si colocamos el bloque en reposo en la
posición de equilibrio del muelle (𝑥 = 0),
punto en el que la fuerza se anula,
permanecerá allí a no ser que una fuerza
externa actúe sobre él.

29. Si la fuerza externa estira el muelle desde su
posición de equilibrio:
• La elongación 𝑥 es positiva
• La pendiente 𝑑𝑈/𝑑𝑥 es positiva
• La fuerza 𝐹𝑠 ejercida por el muelle sobre el
bloque es negativa
• El bloque se acelera hacia la posición de
equilibrio
Si la fuerza externa comprime el muelle desde su
posición de equilibrio
• La elongación 𝑥 es negativa
• La pendiente 𝑑𝑈/𝑑𝑥 es negativa
• La fuerza 𝐹𝑠 ejercida por el muelle sobre el
bloque es positiva
• El bloque se acelera hacia la posición de
equilibrio
La posición 𝒙 = 𝟎 para el sistema bloque-muelle es una posición de equilibrio
estable.
La configuración de equilibrio estable corresponde a un mínimo de la energía
potencial.

30. Considerando una partícula
moviéndose a lo largo del eje 𝑥 bajo la
acción de una fuerza conservativa,
donde la curva energía potencial como
función de la posición de la partícula
toma la forma de la figura.
𝐹𝑠 = −
𝑑𝑈
𝑑𝑥
= 0 en 𝑥 = 0, así que la
partícula está en equilibrio en ese
punto.

31. Si se coloca el bloque en reposo en la posición de equilibrio, punto en
el que la fuerza se anula, permanecerá allí a no ser que una fuerza
externa actúe sobre él.
Si la fuerza externa desplaza la partícula hacia la derecha:
• 𝑥 > 0
• La pendiente 𝑑𝑈/𝑑𝑥 es negativa
• La fuerza 𝐹𝑥 = −𝑑𝑈/𝑑𝑥 es positiva
• La partícula acelera alejándose de 𝑥 = 0
La posición x=0 es una posición de equilibrio inestable. La
configuración de equilibrio inestable se corresponde a un
máximo de la energía potencial.

32. Ejemplo Ilustrativo
La fuerza de una partícula en la región -a< x < a se representa
mediante la función de energía potencial:
𝑈 = −𝑏
1
𝑎 + 𝑥
+
1
𝑎 − 𝑥
Donde a y b son constantes positivas. A) Determinar la fuerza 𝐹𝑥
en la región −𝑎 < 𝑥 < 𝑎. B)¿Para qué valor de 𝑥 la fuerza vale
cero? C) En el punto en que la fuerza se anula, ¿el equilibrio es
estable o inestable?

33. SOLUCION

34. EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN
• 1.- Durante sus vacaciones de invierno un profesor
participa en una carrera de trineos tirados por presos en
un lago helado. Para iniciar la carrera tira de su trineo
(masa total 80 kg) con una fuerza de 180 N que forma un
ángulo de 20° con la horizontal. Determinar (a) el trabajo
realizado y (b) la velocidad final del trineo después de un
recorrido ∆x = 5m, suponiendo que parte del reposo y que
no existe rozamiento.

35. EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN
• 2.- Una caja de ascensor de 1000 kg desciende 400 m dentro de un
rascacielos. a)¿Cuál es el trabajo que hace la gravedad en la caja de
ascensor durante este desplazamiento? b) Suponiendo que la caja
desciende a velocidad constante, ¿cuál es el trabajo que hace la tensión del
cable de suspensión?
• 3.- Una partícula de 3kg se desplaza con una velocidad de 2 m/s cuando se
encuentra 𝑥 = 0. Esta partícula se encuentra sometida a una única fuerza Fx
que varía con la posición del modo indicado en la siguiente figura. A) ¿Cuál
es su energía cinética para 𝑥 = 0? B) ¿Cuál es el trabajo realizado por la
fuerza cuando la partícula se desplaza de 𝑥 = 0 𝑎 𝑥 = 4 𝑚.?

36. EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN
• 4.- Sobre una partícula actúa una fuerza que está relacionada con la
posición de la particula por la formula 𝐹𝑥 = 𝐶𝑥3 en donde C es una
constante. Determinar el trabajo realizado por esta fuerza al actuar
sobre la partícula que se desplaza 𝑥 = 1,5 𝑚 𝑎 𝑥 = 3 𝑚
• 5.- La fuerza A realiza un trabajo de 5 J en 10 segundos. La fuerza B
realiza un Trabajo de 3J en 5 segundos ¿Cuál de las dos fuerzas
suministra mayor potencia?
• 6.- Un hombre 80kg asciende por una escalera de 6m de altura.
¿Cuál es el incremento de energía potencial gravitatoria del sistema
hombre-tierra?
• 7. Una piedra de 0.20kg se mantiene a 1.3m sobre el borde de un
pozo de agua y entonces se le deja caer con él. El pozo tiene una
profundidad de 5.0 m. Respecto a la configuración en el borde del
pozo. ¿Cuál es la energía potencial gravitacional en el sistema
piedra-tierra cuando la piedra está a 1 m de llegar al fondo del pozo?

37. EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN
• 8.- Un hombre de 80kg asciende por una escalera de 6m de
altura. ¿Cuál es el incremento de energía potencial gravitatoria
del sistema?
• 9.- Determinar la fuerza 𝐹𝑥 asociada con la función de energía
potencial 𝑈 = 𝐴𝑥4
, en donde 𝐴 es una fuerza constante, ¿En
qué punto o puntos la fuerza es nula?
• 10.- La energía potencial de un objeto viene dada por 𝑈 𝑥 =
3𝑥2
− 2𝑥3
, donde 𝑈 se expresa en Julios y x en metros.
• Determinar la fuerza que actúa sobre este cuerpo.
• ¿En qué posiciones está el objeto en equilibrio?
• ¿Cuáles de esas posiciones de equilibrio son estables y cuáles
inestables?