Un breve resumen de la teoría de Conjuntos

2. Notación
Determinación
De un conjunto
Conjuntos
numéricos
Conjuntos Conjuntos
especiales
Relaciones entre
conjuntos
Operaciones
Número de
elementos de un
conjunto

3. Intuitivamente por conjunto se tiene la idea de pluralidad
(colección, agrupación), unidad y nulidad de objetos
homogéneos o heterogéneos con posibilidades reales o abstractas,
que reciben el nombre de elementos.
NOTACIÓN: Para representar un conjunto se utilizan letras
Mayúsculas, tales como A , B , C ...
Sus elementos se denotan con letras minúsculas y se separan
mediante punto y coma.
Ejemplo: A= {e; u; c; a; l; i; p; t; o }

4. RELACIÓN DE PERTENENCIA:
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa
el símbolo “ ” : Se lee : “ pertenece a ”
Ejemplo:
Sea A = {x , y , z}
x A y A
z A m A
EXTENSIÓN COMPRENSIÓN
• Cuando se nombran a cada uno • Cuando existe una propiedad o
de sus elementos. condición que es común a todos
sus elementos.

5. Ejemplos:
A= {cabeza, tronco, extremidades}
B= {x / x es un día de la semana}
Números Naturales :
N 0;1 2;3; 4;5; 6;....
;
 Números Enteros:
Z ...; 2; 1 0;1 2;....
; ;
 Números Racionales:
a
Q x/ x ; a Z;b Z;b 0
b
Números Irracionales 3
I ..., 3 , 2 , ,e , 2....

6. NÚMEROS REALES
R
Q
Z
N
I
R Q I

7. FINITO Es un conjunto que tiene un número
limitado de elementos
Es cuando sus diferentes elementos no
INFINITO se pueden contar
UNITARIO Es todo conjunto que consta de un solo
elemento
VACÍO O Es aquel conjunto que no tiene
NULO
elementos se denota por: ó {}
UNIVERSAL Conjunto referencial que contiene a
todos los elementos de los conjuntos
dados. Se representa con La letra “U”

8. Conjuntos Son los que tienen exactamente los mismos
Iguales elementos
Conjuntos Dos conjuntos son diferentes si al menos uno de sus
Diferentes Elementos no son iguales
Conjuntos Son los que no tienen ningún elemento en común.
Disjuntos
Se dice que un conjunto A está incluido en
Inclusión y otro conjunto B, sí y solo sí , todos los
subconjuntos elementos de A pertenece a B ; es decir :
A B x A x B
Conjunto Es el conjunto formado por todos los subconjuntos
Potencia del conjunto dado. Se denota por
"P(A)"

9. Observación:
Para encontrar el número de elementos del conjunto potencia se
utiliza lo siguiente:
n P(A) =2n(A)
Donde: n A es el número de elementos de A.
EJERCICIOS
1. Determina por extensión los siguientes conjuntos.
A x/ x (n 1) 2 ; n Z; 1 n 4
n
B x/ x ;n Z; 3 n 3
n 3

10. x 1
C Z/x Z;4 x 16
3
D x R / 3x 2 2x 0 x2 4 0
E x Z / x3 x2 x 1 0
2. Determina por comprensión los siguientes conjuntos:
A 4; 1; 2; 5;8
B 1/ 8;1/12;1/16;1/ 20;1/ 24; 
C 3; 6;11;18; 27; 38; 51
D 1;1/ 4;1/16;1/ 64;

11. 3. Calcula “b-a”, si E es un conjunto unitario.
E 4a 1 2b
; a;3a 4
4. Si “A” y “B” son conjuntos unitarios . ¿Cuántos elementos
tiene el conjunto “C”?
A a 2b;17 B 3a b;16
C x/ x N; a x b
5. Si “A” y “B” son conjuntos iguales, encuentre los valores de
“a” y “b”
A 2a 3
;81 B 64;32b a

12. 6. Determine cual de los siguientes conjuntos son vacíos.
A x N / x2 5 0
B x R/x x
C x Z / x2 1 0
D x N / x2 3x 2 0
7. Determine todos los subconjuntos posibles del conjunto “A”
A 2; 1;3 ; 4
8. Dado el conjunto B 3; 4;5 ; 6; 7 coloque
verdadero o falso según corresponda.
a) 3 B b) 4; 5 P( B)
c) 7 B d) 6 B

13. 1. UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS
Dado dos conjuntos A y B , se tiene :
A B = { x/ x A x B}
A A B
B A B
A B A B B A B
Propiedades:
1. A A A ; A 2. A B B A
3. A A 4. Si A B A B B

14. 2. INTERSECIÓN DE CONJUNTOS
Dado dos conjuntos A y B , se tiene :
A B = { x/ x A x B }
A B B A B
A
A B A B A A B
Propiedades:
1. A A A ; A
2. A B B A
3. (A B) C A (B C)
4. A U A
5. A

15. 3. DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Dado dos conjuntos A y B , se tiene :
A - B = { x/ x A x B }
A B A B
B
A
A B A B A B A
B A
Propiedades
1. A A 2. A A
3. A 3. Si A B A B

16. 4. DIFERENCIA SIMÉTRICA
Dado dos conjuntos A y B ; la diferencia Simétrica ,
denotada por A B se define así:
A B = (A – B ) U (B – A)
= (A B) - (A B)
A B
Propiedades:
1. A A 2. A A
3. A Δ B BΔ A 4. A B C A B C

17. 5. COMPLEMENTO
Dado el universo U y un conjunto A ; el complemento de A,
denotado por A O Ac se define así :
Ac = { x/ x U x A}=U –A
U
A Ac
Propiedades
1. (A ) A 2. A A U
3. A A 4. U
5. U 6. A B A B

18. EJERCICIOS
1. Dados los conjuntos:
A 2x 1/ x N; 4 x 10
B x 1/ x N; 6 x 12
C x2 / x N; 1 x 5
Encuentre (A B) (A C)
2. Dados los conjuntos:
A x Z / x2 5x 6 0 x2 x 0
B x N /( x 4) 2 ( x 2 4)( x 2 9) 0
C x Z / x3 6x2 11x 6 0
Encuentre (A C) B

19. 3.Sean los conjuntos:
A x N / x impar ; 2 x 13
B 2x 1/ x N; 3 x 6
C x N /( x 5)( x 2 9x 14) 0
Encuentre (A B) (A C)
4. Dados los conjuntos:
A x Z / x3 x2 9x 9 0
B x N /( x 4) 2 ( x 2 9)( x 2 9) 0
C x N/ 2 x 3
Si U A B C , encuentre (A B) C

20. Al número de elementos de un conjunto se le llama :
Cardinal de un Conjunto y se denota así:
Para un conjunto A se tiene n(A) ó Card (A)
PROPIEDADES
1. Si A y B son conjuntos disjuntos , entonces:
n(A B) n(A) n(B)
2. Si A y B son conjuntos cualesquiera :
n(A - B) n(A) - n(A B)

21. 3. Si A y B son conjuntos no disjuntos, entonces:
n(A B) n(A) n(B) - n(A B)
4. Si A , B y C son conjuntos cualesquiera, tales que:
A B C , entonces:
n( A B C) n( A) n( B ) n(C ) n( A B)
n( A C ) - n( B C ) n( A B C)

22. 1. Dados los conjuntos A y B, se conoce que
n( A) 16; n( B) 17 y n( A B) 26
Encuentre n( A B)
2. Si A y B son conjuntos finitos y se sabe que:
A B y , n B A 5, n P A B 510 n P A B
Encuentre el número de elementos del conjunto A.
3. En una asamblea de 60 integrantes de un club, 45 son
bailarines, 39 son cantantes y 8 no bailan ni cantan.
¿Cuántos bailan y cantan?

23. 4. En un Instituto se inscriben 160 postulantes. En el examen de
ingreso 90 aprueban RM, 120 RV y 25 ninguno de los dos. ¿Cuántos
ingresaron al instituto si para ello deben aprobar las dos partes del
examen?
5. Un grupo de 63 niños dieron 3 exámenes para ser admitidos en un
colegio y se sabe que 25 aprobaron el primer examen, 23 el segundo
examen y 31 el tercero; 10 aprobaron el primero y el segundo, 5 el
primero y el tercero, 8 el segundo y el tercero y 4 no aprobaron
examen alguno. ¿Cuántos niños fueron admitidos al centro
educativo si solo se necesitan aprobar dos exámenes?

24. 6. En una encuesta realizada a 129 televidentes se obtuvo la
siguiente información: 37 ven el canal A; 34 ven el canal B; 52
ven el canal C; 12 ven los canales A y B; 17 ven los canales B y
C; 15 ven los canales A y C; 40 ven otros canales. ¿Cuántos
televidentes ven los tres canales?
7. De un grupo de postulantes a universidades se sabe que:
- El 46% postulan a “San Marcos”
- El 42% postulan a la “UNI”
- El 58% postulan a “Católica”
- El 8% postulan a las tres universidades.
- El 5% no postulan a ninguna de estas 3 universidades.
Si 1720 estudiantes postularan a por lo menos a 2 universidades,
diga:
a) ¿Cuántos postulantes hubieron en total?
b) ¿Cuántos postularon a las tres universidades?

25. 8. El resultado de una encuesta sobre preferencia de yogurt de fresa,
durazno e higo se obtuvo la siguiente información:
- 34 gustan de fresa, pero no durazno.
- 28 gustan de fresa, pero no higo.
- 16 gustan de durazno, pero no fresa.
- 24 gustan de durazno, pero no higo.
- 18 gustan de higo, pero no de durazno.
- 48 gustan de higo, pero no fresa.
Si se sabe que el número de encuestados fue de 180, hallar:
¿Cuántas personas gustan de los tres sabores de yogurt?
9. De 55 alumnos que estudian en una Universidad se obtuvo la
siguiente información: 32 alumnos estudian el curso A, 22 alumnos
estudian el curso B, 45 alumnos estudian el curso C y 10 alumnos
estudian los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian solamente dos
cursos?