PROBLEMA copiados DE LIBROS .doc

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Gracias a los(as) alumnos(as) de cursos anteriores
PROBLEMAS DE DISTINTOS LIBROS
Problema 1 (CABALLERO Y OTROS (Programación Lineal)
Una tienda de electrodomésticos lanza una oferta durante 20 días. Para
ello contrata a cuatro vendedores y a tres instaladores durante cuatro horas
diarias. La oferta está dirigida a la venta de frigoríficos, lavadoras y
vitrocerámicas.
Se estima que un vendedor tarda 20 minutos en vender un frigorífico, 16
minutos en una lavadora y 30 en una vitrocerámica, mientras que los
instaladores necesitan 15 minutos en instalar un frigorífico, 36 minutos en una
lavadora y 21 en una vitrocerámica.
Si los precios de venta son 70.000 pts. un frigorífico, 50.000 pts. una
lavadora y 60.000 pts. una vitrocerámica,
¿Cuál es la combinación de ventas que maximiza los ingresos de la tienda
correspondiente a esta promoción?
¿Habrá contratado a algún vendedor y/o instalador de más?
Problema: Maximizar los ingresos de la tienda correspondientes a la
promoción.
Variables que intervienen: x  nº frigoríficos
y  nº lavadoras
z  nº vitrocerámicas
Función objetivo: Máx. Ingresos = 70000x + 50000y + 60000z
sujeto a:
20x + 16y +30z  19200
15x + 36y + 21z  14400
x,y,z  0
Solución óptima:
Variable Valor
x 960
s1 0
s2 0

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Gracias a los (as) alumnos (as) de cursos anteriores
2
Ingresos 67.200.000
No ha contratado a ningún vendedor y/o instalador de más, ya que las
variables de holgura (s1 y s2) adquieren valor cero (son un coladero).
Problema 2
Un profesor ha llevado a cabo un examen que consta de tres preguntas
y está asignando puntuación a cada una de ellas. Para ello decide:
a) El tercer problema debe puntuar como mínimo 2,5 puntos.
b) En total deben sumar diez puntos.
c) Debido a la dificultad de las preguntas 1 y 2, la diferencia entre la
puntuación de la primera y la segunda deberá ser a lo sumo de un
punto.
El profesor conoce que un 50 % del curso resolverá la primera pregunta
correctamente, un 30 % la segunda y un 40 % la tercera.
¿Cómo debe asignar los puntos de modo que se maximice la puntuación global
del curso?
Problema: Maximizar la puntuación global del curso.
Variables que intervienen: x  puntuación primera pregunta
y  puntuación segunda pregunta
z  puntuación tercera pregunta
Función objetivo: Máx. Z = 50x + 30y + 40z
sujeto a:
z  2,5
x + y + z = 10
x – y  1
x,y,z  0
Solución óptima:
Variable Valor
x 4,25

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3
y 3,25
z 2,50
Z 410,00
(Resolución en archivo puntuac.met , programa “manager”)
(Resolución en archivo puntuac.lp, programa “lp88”)
Problema 3
En una acería se producen cuatro tipos de acero: A, B, C y D,
dependiendo de su contenido en hierro y carbón.
Las instalaciones fabriles están divididas en 4 grandes departamentos:
fundición, laminado, corte y bobinado:
- El departamento de fundición trabaja las 24 horas del día.
- El departamento de laminado funciona con horas-máquina y horas-
hombre: las 2 máquinas existentes pueden trabajar las 24 horas al
día ininterrumpidamente, para lo que se utilizan tres turnos de
operarios de 2 hombres cada uno, que trabajan 8 horas.
- En el departamento de corte trabajan operarios al mismo nivel que en
el de laminado.
- En el departamento de bobinado se trabaja 12 horas al día.
El número de horas que la fabricación de cada tipo de acero requiere en
los distintos departamentos es:
Número de horas en el departamento
Fundición Laminado Corte Bobinado
Acero tipo A 2 2 6 -
Acero tipo B 3,5 3 2 -
Acero tipo C 1 4 3 1
Acero tipo D 2 1 4 3
El coste por unidad de medida de acero producido viene determinado
por la relación entre hierro y carbón que se utilice para cada tipo de acero:
Acero tipo A Acero tipo B Acero tipo C Acero tipo D
Hierro 6 9 8 7
Carbón 4 1 2 3
El coste de cada unidad de hierro es de 0,4 unidades monetarias,
mientras que el coste de cada unidad de carbón es de 1 unidad monetaria.
Debido a la cercanía del almacén del proveedor, el suministro de las materias
primas (hierro y carbón) es inmediato y el transporte no supone un plus en el
coste de las mismas.

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4
El acero tipo B está en fase de desaparición, debido a su poca
resistencia y alta corrosión, por lo que la empresa ha estimado que la
producción máxima del mismo sea de 2 unidades.
Los ingresos producidos por cada tipo de acero son 12, 9, 11 y 12
unidades monetarias respectivamente por unidad de medida.
¿Cuál es la producción óptima que maximice los beneficios de la acería?
Problema: Alcanzar la producción óptima que maximice los beneficios
de la acería.
Variables que intervienen: x1  acero tipo A
x2  acero tipo B
x3  acero tipo C
x4  acero tipo D
Función objetivo:
Máx. Beneficios = (12x1 + 9x2 + 11x3 + 12x4) – (6,4x1 + 4,6x2 + 5,2x3 + 5,8x4)
sujeto a:
2x1 + 3,5x2 + 1x3 + 2x4  24
2x1 + 3x2 + 4x3 + x4  48
6x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4  48
x3 + 3x4  12
x2  2
x1, x2, x3, x4  0
Solución óptima:
Variable Valor
x1 2,11
x2 2,00
x3 9,21
x4 0,93
s1 1,71

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5
Beneficios 79,80
Dual:
Min. W = 24y1 + 48y2 + 48y3 +12y4 + 2y5
s.a.:
2y1 + 2y2 + 6y3  5,6
3,5y1 + 3y2 + 2y3 + y5  4,4
y1 + 4y2 + 3y3 + y4  5,8
2y1 + y2 + 4y3 + 3y4  6,2
Problema 4
Un agricultor posee una parcela de 800 m2 para dedicarla al cultivo de
árboles frutales: naranjos, perales, manzanos y papayeros. Se pregunta de qué
forma repartirá la superficie de la parcela entre las cuatro variedades para
conseguir el máximo beneficio sabiendo que:
- Cada naranjo precisa como mínimo de 16 m2, cada peral 4 m2, cada
manzano 8 m2 y cada papayero 10 m2.
- Dispone de un total de 1200 horas de trabajo/año (150 jornales),
precisando cada naranjo de 30 horas/año, cada peral de 5 horas/año,
cada manzano de 10 horas/año y cada papayero de 13 horas/año.
- Los beneficios unitarios son de 50, 25, 20 y 35 unidades monetarias
por cada naranjo, peral, manzano y papayero respectivamente.
- El agricultor posee un depósito de 4.000 litros para el regadío de los
árboles frutales, el cual es llenado por la empresa suministradora una
vez al año. Cada naranjo precisa de 55 litros/año, perales 40
litros/año, manzanos 25 litros/año y papayeros 30 litros/año. El precio
de cada litro de agua tratada es de 0,3 unidades monetarias,
pagando el agricultor únicamente por el agua consumida.
- El cultivo de papayeros tiene como destino satisfacer la demanda
local, por lo que el agricultor ha determinado que para no quedarse
con excedentes la superficie de papayeros no puede ser superior a
180 m2.
Problema: Maximizar el beneficio a través del reparto de la superficie
dedicada al cultivo.

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Variables que intervienen: x1  naranjos
x2  perales
x3  manzanos
x4  papayeros
Función objetivo:
Máx. Z = (50x1 + 25x2 + 20x3 + 35x4) – (16,5x1 + 12x2 + 7,5x3 + 9x4)
sujeto a:
16x1 + 4x2 + 8x3 + 10x4  800
30x1 + 5x2 + 10x3 + 13x4  1200
55x1 + 40x2 + 25x3 + 30x4  4000
x4  18
x1, x2, x3, x4  0
Solución óptima:
Variable Valor
x1 23,07
x2 54,78
x4 18,00
s1 31,76
Z 1952,97
Dual:
Min. W = 800y1 + 1200y2 + 4000y3 + 18y4
s.a.:
16y1 + 30y2 + 55y3  33,5
4y1 + 5y2 + 40y3  13
8y1 + 10y2 + 25y3  12,5
10y1 + 13y2 + 30y3 + y4  26

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7
Problema 5
Un médico receta a una de sus pacientes una dieta especial de
adelgazamiento basada en cinco productos (arroz, pescado, verduras, carne de
pavo y fruta fresca) que han de combinarse de manera que cumplan una serie
de requisitos mínimos en cuanto a proteínas y calorías, y máximos en cuanto a
grasas y colesterol:
- Los requisitos mínimos se sitúan en 15 unidades de proteínas y
en 8.000 calorías.
- Los requisitos máximos se sitúan en 9 unidades de grasa y 5
unidades de colesterol.
Los productos que componen la dieta tienen las siguientes unidades por
kilogramo:
- El arroz contiene 1 unidad de proteína, 1.000 calorías, 0 unidades de
grasa y 0,5 unidades de colesterol.
- El pescado contiene 3 unidades de proteínas, 2.500 calorías, 2
unidades de grasa y 1 unidad de colesterol.
- Las verduras contienen 2 unidades de proteínas, 1.000 calorías, 1
unidad de grasa y 0,5 unidades de colesterol.
- La carne de pavo contiene 8 unidades de proteínas, 3.000 calorías, 4
unidades de grasa y 5 unidades de colesterol.
- La fruta fresca contiene 0 unidades de proteínas, 1.500 calorías, 0
unidades de grasa y 0 unidades de colesterol.
Los precios de los cinco productos básicos son respectivamente de 70,
120, 100, 210 y 90 pesetas el kilogramo.
¿Cuál ha de ser la combinación de productos que cubriendo los requerimientos
mínimos y máximos tenga el mínimo coste?
Problema: Minimizar el coste de la dieta propuesta por el médico.
Variables que intervienen: x1  arroz
x2  pescado
x3  verduras
x4  carne de pavo
x5  fruta fresca
Función objetivo: Min. Z = 70x1 + 120x2 + 100x3 + 210x4 + 90x5
sujeto a:
x1 + 3x2 + 2x3 + 8x4  15
1000x1 + 2500x2 + 1000x3 + 3000x4 + 1500x5  8000
2x2 + x3 + 4x4  9
0,5x1 + x2 + 0,5x3 + 5x4  5

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8
x1, x2, x3, x4, x5  0
Solución óptima:
Variable Valor
x2 3,00
x3 2,33
x4 0,17
s2 2333,33
Z 628,33
Dual:
Max. W = 15y1 + 8000y2 - 9y3 - 5y4
s.a.:
y1 + 1000y2 - 0,5y4  70
3y1 + 2500y2 - 2y3 - y4  120
2y1 + 1000y2 - y3 - 0,5y4  100
8y1 + 3000y2 - 4y3 - 5y4  210
1500y2  90
Problema 6
Un accionista particular, el 1/1/97, quiere invertir en acciones con
cotización oficial, para crear una cartera de valores que maximice su beneficio.
Tiene la opción de adquirir entre 6 tipos de acciones (Telefónica, Aceralia, BBV,
Banco Santander, Hiberdrola y Ercros), cuyos precios el primer día de
cotización son de 2700, 1800, 4750, 2800, 1500 y 160. Deseamos invertir un
máximo de 7 millones de pesetas para adquirir dichas acciones.
El 31/12/97 vamos a vender las acciones adquiridas a principios de año,
y sabemos que las previsiones de la Comisión del Mercado de Valores
garantizan que la cotización a finales de año sufrirá un aumento porcentual
sobre el valor nominal de lo mostrado en la tabla adjunta:

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9
Telefónica Aceralia BBV
Banco
Santander
Hiberdrola Ercros
10% - 12% 15% - 20% 5% - 7% 11% - 13% 7% - 9% 30% - 70%
El accionista teniendo en cuenta dichas previsiones de la Comisión, y
para determinar el precio final de venta, hace la media aritmética de los
aumentos porcentuales de las acciones.
Telefónica Aceralia BBV
Banco
Santander
Hiberdrola Ercros
Cotización
1/1/97
2700 1800 4750 2800 1500 160
Cotización
31/12/97
2997 2115 5035 3136 1620 240
Como viene siendo habitual en los últimos años las empresas reparten
unos dividendos que suponen un 10% del precio nominal a principio de año (se
acogen a este reparto de dividendos todas las empresas salvo Hiberdrola, que
este año no reparte dividendos).
La comisión que tenemos que pagar a los brokers por la adquisición de
dichas acciones es del 3 por 1000 del valor nominal de compra, pero cuando
dicho valor nominal es inferior a 1600 unidades monetarias la comisión
asciende al 6 por mil.
Debido a la privatización de Telefónica, el gobierno no permite adquirir
más de 100 acciones por accionista individual. Ya que Ercros tiene un riesgo
muy elevado, el accionista no quiere adquirir más de un 15% del presupuesto
total.
Dado que tiene cuentas bancarias en los dos bancos (BBV y Santander),
decide destinar un mínimo del 10% del presupuesto a la adquisición de
acciones para cada uno de los bancos.
Problema: Pretendemos maximizar los beneficios por invertir en Bolsa
Variables que intervienen: x1  acciones de Telefónica
x2  acciones de Aceralia
x3  acciones del BBV
x4  acciones del Banco Santander
x5  acciones de Hiberdrola
x6  acciones de Ercros

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10
Función Objetivo:
Máx. B = (2997x1 + 2115x2 + 5035x3 + 3136x4 + 1620x5 + 240x6) +
+ (10% · (2700x1 + 4750x3 + 2800x4 + 1500x5 + 160x6)) –
 (2700x1 + 1800x2 + 4750x3 + 2800x4 + 1500x5 + 160x6) –
 [(3‰ (2700x1+ 1800x2 + 4750x3 + 2800x4)) + (6‰ (1500x5 + 160x6))]
sujeto a:
(2700 ·1.003)x1 + (1800 ·1.003)x2 + (4750 ·1.003)x3 + (2800 ·1.003)x4 +
+ (1500 ·1.006)x5 + (160 ·1.006)x6  7000000
x1  100
160x6  1050000
4750x3  700000
2800x4  700000
x1, x2, x3, x4, x5, x6  0
Solución óptima:
Variable Valor
x1 0
x2 0
x3 147,36842
x4 1866,40039
x5 0
x6 6562,5
s2 100
s5 4525921,5
B 1867624,8800
Dual:
Min. W = 7000000y1 + 100y2 + 1050000y3 – 700000y4 –700000y5
s.a.:
2708,1y1 + y2  558,9
1805,4y1  309,6

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11
4764,25y1 – 4750y4  745,75
2808,4y1 – 2800y5  607,6
1509y1  261
160,96y1 + 160y3  95,04
Problema 7
La empresa X, S.A. tiene que distribuir el producto que fabrica, desde
tres plantas industriales, a cinco centros de consumo.
Las capacidades de producción son respectivamente de 200, 240 y 240
(en miles de unidades). El producto se consume en los cinco centros con unas
capacidades respectivamente de 80, 100, 140, 180 y 180 (en miles de
unidades).
Los costes de transporte desde cada planta industrial a cada centro de
consumo vienen dados en la siguiente tabla.
Centro 1 Centro 2 Centro 3 Centro 4 Centro 5 Producción
Planta 1 8 2 4 12 18 200
Planta 2 12 8 6 10 14 240
Planta3 10 4 12 8 16 240
Demanda 80 100 140 180 180
¿Cuál será la distribución de la producción para el coste del transporte sea el
mínimo?
Problema: Pretendemos minimizar el coste de transporte
Variables que intervienen:
x11  Unidades que tenemos que transportar desde
la planta 1 al centro de venta 1.

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12
.
.
Función objetivo:
Min C = 8x11 + 2x12 + 4x13 + 12x14 + 18x15 + 12x21 + 8x22 + 6x23 +
+ 10x24 + 14x25 + 10x31 + 4x32 + 12x33 + 8x34 + 16x35
sujeto a:
x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 200
x21 + x22 + x23 + x24 + x25 = 240
x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 240
x11 + x21 + x31 = 80
x12 + x22 + x32 = 100
x13 + x23 + x33 = 140
x14 + x24 + x34 = 180
x15 + x25 + x35 = 180
xij  0
Solución óptima:
Variable Valor
x11 20
x12 100
x13 80
x14 0
x15 0
x21 0
x22 0
x23 60
x24 0
x25 180
x31 60
x32 0
x33 0

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13
x34 180
x35 0
C 5600
COMENTARIO DEL DUAL
Las variables yi corresponden a los precios sombra, que serán los costes
de oportunidad de cada una de las restricciones del primal. La variable dual es
el precio que, en el óptimo, la empresa está dispuesta a pagar por un
incremento de recurso disponible. Por tanto, mide el grado de sensibilidad de la
función objetivo en el óptimo cuando se varían ligeramente las constantes de
restricción.
Así pues, podemos considerar los problemas duales como determinar un
sistema de precios marginales no negativos de forma que se minimiza el precio
total de los recursos y tal que los costes imputados a cada bien sean iguales o
mayores que su margen de beneficio unitario.
Para la solución óptima del problema, unas restricciones estarán
saturadas y otras no. Las variables duales asociadas a las restricciones no
saturadas del primal son nulas, y si la variable dual es positiva, el recurso
correspondiente se utiliza en su totalidad, es decir, las restricciones están
saturadas.
Si la variable de holgura asociada a una restricción es positiva nos
indicará que los recursos utilizados en producir el output vale más que el
margen de beneficios derivado del bien, y sabemos, por las condiciones de
holgura complementarias, que la variable del primal asociada a esa restricción
es cero, es decir, no se producirá unidad alguna de ese bien. Luego, sólo se
producirá de aquellos bienes para los cuales el valor de los recursos utilizados
en su producción coincide con su margen de beneficios.
Por ejemplo, tomando los datos del problema tipo número 1 (acería.dua):
PRIMAL DUAL
Variable Valor Variable Valor
X1 2,11 Y1 0
X2 2,00 Y2 0,70
X3 9,21 Y3 0,70
X4 0,93 Y4 0,90
S1 1,71 Y5 0,90

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14
En el primal podemos observar que en la restricción primera hay una
variable de holgura no nula. Por tanto, en el dual la variable y1 tomará valor
nulo, ya que no supondrá un coste adicional el aumento o disminución en una
unidad de las horas de trabajo en el departamento de fundición.
Por otro lado, observamos que en el dual no hay variables de holgura, lo
que implica que vamos a producir de todos los tipos de acero, ya que el coste
de los recursos usados en cada tipo de acero coincide con su margen de
beneficios.
Los valores de las variables del dual yi (i = 1,2,3,4,5), nos indican en
cuanto se ve modificado el coste de producción al variar en una unidad las
capacidades respectivas del primal.
Problema 8
El “Banco Canario” está formulando una política de préstamos, en la que se
pueden invertir un máximo de 1.200 millones de pesetas. Los datos de los diferentes
tipos de préstamos con los que el banco trata son los siguientes:
Tipo de Préstamo Tipo de Interés Probabilidad de insolvencia
De coche 0’13 0’07
De vivienda 0’12 0’03
Agrícola 0’125 0’05
Comercial 0’1 0’02
La competencia con otras instituciones financieras del entorno, requiere que el
banco asigne al menos el 40% de los fondos a préstamos agrícolas y comerciales. Con
el fin de ayudar a la industria constructora de viviendas de la región, los préstamos para
vivienda deben igualar, al menos, al 5% de los personales, de coche y de vivienda en
conjunto. Asimismo, el “Banco Canario” ha establecido una política que especifica que
el ratio global de los impagados en todos los préstamos no puede exceder del 0’04%.
Solución:
Definición de las variables (en centenas de millones de ptas.)
X1 = préstamos personales Probabilidad Probabilidad
X2 = préstamos para coche de insolvencia de solvencia
X3 = préstamos para vivienda
X4 = préstamos agrícolas 0’10 0’90
X5 = préstamos comerciales 0’07 0’93
0’03 0’97

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15
0’05 0’95
0’02 0’98
Primal:
F.O. Max. Z= 0’14 0’90 X1 + 0’13 0’93.X2 + 0’97 X3 + 0’125 0’95.X1 + 0’1
0’98 X5 - 0’1 X1 - 0’07 X2 - 0’03 X3 - 0’05 X4 - 0’02 X5
Sujeto a:
X1 + X2 + X3 + X4 + X5  12  inversión
X4 + X5  4’8 (40 % de 12)  Préstamos agrícolas y
comerciales
X3  0’5 (X1 + X2 + X3)  Préstamos de viviendas
0’1X1 + 0’07 X2 + 0’03 X3 + 0’05 X4 + 0’02 X5  0’04  límite de inpagados
X1+ X2 + X3 + X4 + X5
X1, X2, X3, X4, X5  0  no negatividad
Simplificando, tenemos:
F.O. Max Z = 0’026 X1 + 0’0509 X2 + 0’0864 X3 + 0’06875 X4 + 0’078 X5
Sujeto a: X1 + X2 + X3 + X4 + X5  12
X4 + X5  4’8
- 0’5 X1 - 0’5 X2 + 0’5 X3  0
0’06 X1 + 0’03 X2 - 0’01 X3 + 0,01 X4 - 0,02X5  0
DUAL
F.O Min. W = 12 Y1 - 4’8 Y2
Sujeto a: 1Y1 + 0Y2 - 0’5 Y3 + 0’06Y4  0’026
1Y1 + 0Y2 - 0’5 Y3 + 0’03Y4  0’0509
1Y1 + 0Y2 + 0’5 Y3 - 0’01Y4  0’0864
1Y1 + 1Y2 + 0 Y3 + 0’01Y4  0’06875
1Y1 + 1Y2 + 0 Y3 - 0’025Y5  0’078
Problema 9. Planificación urbana:
Una empresa posee 800 has. de tierra no urbanizada a orillas de un lago. En el pasado
no se aplicó prácticamente regulación alguna a nuevos desarrollos alrededor del lago.
Las orillas del lago están ahora pobladas con viviendas para veraneantes. Debido al

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16
problema de servicio de aguas residuales, las tanquillas sépticas, la mayoría instaladas
impropiamente, están teniendo un gran uso.
Para parar esto las autoridades públicas han aprobado ordenanzas para
construcciones futuras.
1. Solo pueden construirse casas para una familia, para dos o para tres, siendo las de
una familia, al menos, un 50% del total.
2. Para limitar el número de tanquillas sépticas, las viviendas simples, dobles y triples
han de tener un tamaño mínimo de 2,3 y 4 has., respectivamente.
3. Debe establecerse áreas de recreo de una hectárea cada una por cada 200 familias (al
menos).
La empresa está estudiando la posibilidad de desarrollar 800 has. Este nuevo
desarrollo incluirá viviendas simples, dobles y triples. Se estima que el 15% de la
superficie de destinará a la apertura de calles y servidumbres.
Estimación de los ingresos netos
Simples Dobles Triples
Bº Neto por ud. 10.000 12.000 15.000
El coste de la conexión del servicio de aguas es proporcional al Nº de viviendas
construídas. Sin embargo, la empresa estipula que para que el proyecto sea
económicamente viable deben ser recaudados al menos 100.000 u.m. Además, la
expansión de la conexión de aguas mas allá de la capacidad actual está limitada a
200.000 galones por día durante las horas de mayor consumo.
Simples Dobles Triples Areas de recreo
Cte. Unitario del ss. de agua 1000 1200 1400 800
Consumo unitario de agua (gal/dia) 400 600 840 450
Solución
X1 = Nº. de viviendas simples
X2 = Nº. de viviendas dobles
X3 = Nº. de viviendas triples
X4 = Nº. de áreas de recreo
PRIMAL
F.O: Max. Z = 10.000X1 + 12.000X2 + 15.000X3
Sujeto a:
Uso del terreno 2X1 + 3X2 + 4X3 + 1X4  680 ( 85% X 800)
Viviendas simples X1  0’5  0’5X1 -0’5 X2 - 0’5 X3  0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
17
X1+X2+X3
áreas de recreo  200 X4 - 1X1 - 2X2 - 3X2  0  X4  X1 + 2X2 + 3X3
200
capital  1000X1 + 1200X2 + 1400X3 + 800X4  100.000
consumo de agua  400X1 + 600X2 + 840X3 + 450X4  200.000
diario
Max. Z = 10.000X1 + 12.000X2 + 15.000X3
Sujeto a: 2X1 + 3X2+ 4X3 + 1X4  680
0’5X1 - 0’5X2 - 0’5X3  0
-X1 - 2X2 - 3X3 + 200X4  0
1000X1 + 1200X2 + 1400X3 + 800X4  100.000
400X1 + 600X2 + 840X3 + 450X4  200.000
DUAL
F.O. Min. W = 680Y1 - 0Y2 - 0Y3 - 100.000Y4 + 200.000Y5
Sujeto a: 2Y1 + 0’5Y2 - 1Y3 + 1000 Y4 + 400Y5  10.000
3Y1 - 0’5Y2 - 2Y3 + 1200 Y4 + 600Y5  12.000
4Y1 - 0’5Y2 - 3Y3 + 1400 Y4 + 840Y5  15.000
1Y1 + 0Y2 + 200Y3 + 800 Y4 + 450Y5 = 0
Problema 10. Reducción de tráfico:
Una empresa está estudiando la posibilidad de introducir un sistema de tránsito
el guaguas que reduzca el tráfico en la ciudad, de manera que se determine el número
mínimo de guaguas que puedan cubrir las necesidades de transporte. Después de recabar
la información necesaria, la empresa ve como el mínimo de guaguas varía según la hora
del día. Estudiando esos datos más a fondo, llegan a la conclusión de que el número de
guaguas requerido puede estar próximo a valores constantes de intervalos sucesivos de
4 horas cada uno (vemos los resultados en el gráfico). Para cumplir con el
mantenimiento diario requerido, cada guagua sólo puede operar durante 8 horas
sucesivas al día.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
18
X1 = nº de guaguas que salen a las 12:01 A.M.
X4 = nº de guaguas que salen a las 12:01 P.M.
PRIMAL
Min. Z : X1 + X2+ X3 + X4 + X5+ X6
Sujeto a: X1 + X6  4
X1 + X2  8
X2 + X3 10
X3 + X4  7
X4 + X5 12
X5 + X6  4
0
2
4
6
8
10
12
14
0 4 8 12 16 20 24
horas de salida
nº
de
guaguas
0 4 8 12 16 20 24
horas de salida

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
19
DUAL
Max . W = -4Y1 - 8Y2 - 10Y3 - 7Y4 - 12 Y5 - 4Y6
Sujeto a: 1Y1 + 1Y2 + 0Y3 + 0Y4 + 0Y5 + 0Y6  1
0Y1 + 1Y2 + 1Y3 + 0Y4 + 0Y5 + 0Y6  1
0Y1 + 0Y2 + 1Y3 + 1Y4 + 0Y5 + 0Y6  1
0Y1 + 0Y2 + 0Y3 + 1Y4 + 1Y5 + 0Y6  1
0Y1 + 0Y2 + 0Y3 + 0Y4 + 1Y5 + 1Y6  1
1Y1 + 0Y2 + 0Y3 + 0Y4 + 0Y5 + 1Y6  1
Problema 11. PRODUCCION AGRICOLA
Un experimento social interesante en la región del Mediterráneo es el Sistema
de Kibbutzim, o comunicaciones agrícolas comunales, en Israel. Es igual que algunos
grupos de Kibbutzim se unen para compartir los ss. técnicos comunes y coordinar la
producción. El ejemplo se refiere a un grupo de 3 Kibbutzim, al que se llamará la
Confederación Sur de Kibbutzim.
La planeación global de la C.S.K se hace en su oficina de coordinación
técnica. En la actualidad están planeando la producción agrícola para el próximo
año.
La producción agrícola está limitada tanto por la extensión de terreno disponible
para irrigación como por la cantidad de agua que la Comisión de Aguas asigna para
irrigarlo (Tabla 1).
El tipo de cosecha apropiada para la región incluye remolacha, algodón y sorgo,
y éstas son precisamente las 3 que se están estudiando para la estación venidera.
Las cosechas difieren primordialmente en su rendimiento neto por area esperado
y en su consumo de agua. Además, el Ministerio de agricultura ha establecido
cantidades máximas de acres que la confederación puede dedicar a estas cosechas.
(Tabla 2)
Los 3 que pertenecen a la C.S. están de acuerdo en que cada Kibbutz se la
misma proporción de sus tierras irrigables disponibles. Cualquier combinación de esta
cosechas se puede sembrar en cualquiera de las Kibbutz. El W al que se enfrenta la
oficina de coordinación técnica consiste en planear cuantas acres deben asignarse a cada
tipo de cosecha en cada Kibbutz.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
20
Tabla 1 = datos de recursos para C.S.K
Kibbutz Terrenos para Asignación de Agua
uso (acres) (pies-acre)
1 400 600
2 600 800
3 300 375
Tabla 2 = Datos de cosechas para C.S.K
Cosecha Cant. Máx. Consumo de agua Rendimiento neto
(acres) (pies - acre/acre) ($ / acre)
Remolacha 600 3 400
Algodón 500 2 300
Sorgo 325 1 100
Cumpliendo con las restricciones dadas, el objetivo es maximizar el rendimiento neto
total para C.S.
Tabla 3 = Vbles. de decisión para el problema de CSK
Cosecha Asignación (acres) Kibbutz
1 2 3
Remolacha X1 X2 X3
Algodón X4 X5 X6
Sorgo X7 X8 X9

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21
PRIMAL
Maximizar Z = 400 ( X1+ X2 + X3 ) + 300 (X4 + X5 + X6 ) + 100 (X7 + X8 + X9)
Sujeta a las siguientes restricciones:
1) Terreno: X1 + X4 + X7  400
X2 + X5 + X8  600
X3 + X6 + X9  300
2) Agua: 3X1 + 2X4 + X7  600
3X2 + 2X5 + X8  800
3X3 + 2X6 + X9  375
3) Cosecha: X1+ X2 + X3  600
X4 + X5 + X6  500
X7 + X8 + X9  325
4) Sociales: 3 (X1 + X4 + X7)-2( X2 + X5 + X8) = 0
X2 + X5 + X8 –2(X3 + X6 + X9) = 0
4(X3 + X6 + X9)-3( X1 + X4 + X7) = 0
5) No negatividad: Xj  0 ; para j = 1,2,.......,9
DUAL
Min. W = 400Y1+ 600Y2 + 300Y3 + 600Y4 + 800Y5 + 375Y6 + 600Y7 + 500Y8 +
325Y9 + 0 Y10 + 0 Y11 + 0 Y12
Restricciones:
Y1+ 3Y2 + Y3 + 3Y4 - 3Y5  400
Y1+ 3Y2 + Y3 - 2Y4 + 1Y5  400 Remolacha
Y1+ 3Y2 + Y3 - 2Y4 + 4Y5  400
Y1 + 2Y2 + Y3 +3Y4 -3Y5  300
Y1 + 2Y2 +Y3 - 2Y4 + 1Y5  300 Algodón
Y1 + 2Y2 + Y3 - 2Y4 + 4Y5  300

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
22
Y1 + Y2 + Y3 + 3Y4 - 3Y5  100
Y1 + Y2 + Y3 - 2Y4 + 1Y5  100 Sorgo
Y1 + Y2 + Y3 - 2Y4 + 4Y5  100
Problema 12. CONTROL DE LA CONTAMINACION
La compañía Nori & Leets, una de las mayores productoras de acero del mundo
occidental, está localizada en Stell Town que de momento emplea a cerca de 50.000
residentes. La contaminación no controlada del aire debida a los altos hornos de la
planta, está arruinando la apariencia de la ciudad y poniendo en peligro la salud de sus
habitantes.
Como resultado durante las elecciones de un nuevo consejo directivo más
responsable, hubo una revuelta entre los accionistas. Los nuevos directores han decidido
seguir políticas de responsabilidad social y están en pláticas con las autoridades de la
ciudad. Juntos han establecido estándares de calidad del aire para la ciudad.
Los 3 tipos principales de contaminantes son partículas de materia, óxidos de
azufre e hidrocarburos. Los nuevos estándares requieren que la compañía reduzca su
emisión anual. El consejo directivo ha dado instrucciones a la gerencia para que el
personal de ingeniería determine cómo lograr estas reducciones.
Reducción requerida en la
Contaminante tasa de emisión anual (millones libras)
Partículas 60
Oxidos de azufre 150
Hidrocarburos 125
La fabricación de acero tiene 2 fuentes principales de contaminación, los altos
hornos para fabricar el arrabio y los hornos de hogar abierto para transformar el hierro
en acero.
Los medios de abatimiento son:
1) aumentar la altura de las chimeneas
2) usar filtros en las chimeneas
3) incluir limpiadores de alto grado en los combustibles de los hornos. Todos
estos métodos tienen limitaciones.
Reducción de la tasa de emisión con el uso factible máximo del método de
abatimiento para Nori & Leets.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
23
Chimeneas más altas Filtros Mejores combustibles
Contaminante Altos Hornos hog. Altos Hornos hog. Altos horno hog.
Hornos abierto Hornos abierto Hornos abierto
Partículas 12 9 25 20 17 13
Oxidos de azufre 35 42 18 31 56 49
Hidrocarburos 37 53 28 24 29 20
Los métodos se pueden utilizar en cualquier nivel fraccionario de su capacidad
de abatimiento. Como operan de manera independiente, las reducciones logradas por
cada método no se ven afectadas en forma sustancial si se usan también los otros
métodos.
La combinación de los 3 métodos a toda su capacidad resulta demasiado caro y
mucho mayor de lo que se pide. Por lo tanto se tendría que utilizar alguna combinación
de los métodos.
Se llevó a cabo un análisis para estimar el costo total anual de cada método de
abatimiento, se tomaron en cuenta los costos iniciales o fijos: Costo total anual para el
uso factible máximo del MA.
Método de Abatimiento Altos Hornos Hornos Hogar Abierto.
Chimeneas más altas 8 10
Filtros 7 6
Mejores combustibles 11 9
El plan para disminuir la contaminación consistirá en especificar que tipo de
métodos de abatimiento deben emplearse y a que fracciones de su capacidad para 1)
Altos Hornos y 2) Hornos Hoagres Abiertos. El objetivo es minimizar el costo total sin
violar los requerimientos de la emisión.
PRIMAL
Minimizar: Z = 8X1 + 10X2 + 7X3 + 6X4 + 11X5 + 9X6
Sujeto a: 1) Reducción de emisión de contaminación

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
24
12X1 + 9X2 + 25X3 + 20X4 + 17X5 + 13X6  60
35X1 + 42X2 + 18X3 + 31X4 + 56X5 + 49X6  150
37X1 + 53X2 + 28X3 + 24X4 + 29X5 + 20X6  125
2) Tecnológicas
XJ  1
3) No Negatividad
XJ  0
Variables de decisión
Método abatimiento Altos Hornos Hornos Hogar Abierto
Chimeneas más altas X1 X2
Filtros X3 X4
Mejores Combustibles X5 X6
Costo mín. ( X1, X2, X3, X4, X5, X6) = (1, 0’623, 0’343, 1, 0’048, 1)
DUAL
Máx. W = -60 Y1 - 150 Y2 - 125 Y3
Sujeto a: 12Y1 + 35Y2 + 37Y3  8
9Y1 + 42Y2 + 53Y3  10
25Y1 + 18Y2 + 28Y3  7
20Y1 + 31Y2 + 24Y3  6
17Y1 + 56Y2 + 29Y3  11
13Y1 + 49Y2 + 20Y3  9

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
25
Problema 13
Un médico receta a uno de sus pacientes una dieta especial de
adelgazamiento basado en tres productos (arroz, pescado y verduras frescas) que
han de combinarse de manera que cumplan una serie de requisitos mínimos en
cuanto a proteínas y calorías. Estos mínimos se sitúan en tres unidades de
proteínas y en 4000 calorías.
Los productos que componen la dieta tienen las siguientes unidades por Kg:
- el arroz contienen 1 unidad de proteínas y 2000 calorías
- el pescado tiene 3 unidades de proteínas y 3000 calorías
- las verduras frescas poseen 2 unidades de proteínas y 1000
calorías
Si los precios de los tres productos básicos son respectivamente de 70, 120 y
50 pesetas el Kg ¿ cuál ha de ser la combinación de productos que
cubriendo los requerimientos mínimos tenga el mínimo coste 
Las ecuaciones del problema son:
Min. F(x) = 70 x1 + 120 x2 + 50 x3
s. a. 2000 x1 + 3000 x2 + 1000 x3  4000
x1 + 3 x2 + 2 x3  3
x1  0 ; x2  0 ; x3  0
Problema 14.
La empresa “A” se dedica al montaje de motocicletas de 500, 250, 125 y 50
centímetros cúbicos. Posee una planta que está estructurada en cuatro

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
26
departamentos: fabricación de los chasis, pintura, montaje y el departamento de
O.K.- Line o verificación de calidad.
Las horas de mano de obra que necesita cada uno de los modelos de
motocicletas en los diferentes departamentos son los siguientes:
Sección
Fabricación
Chasis
Sección Pintura Sección
Montaje
Sección O.K.-
Line
Mod. 500 8 6 8 4
Mod. 250 6 3 8 2
Mod. 125 4 2 6 2
Mod. 50 2 1 4 2
La distribución de los trabajadores es la siguiente:
El departamento de fabricación de chasis dispone de 25 trabajadores, el de
pintura de 18, el de montaje de 30 y el de O.K.- Line de 10. Todos los trabajadores
realizan una jornada laboral de 8 horas.
Si el margen de beneficio de cada uno de los modelos es de 200000, 140000,
80000 y de 40000 ptas. respectivamente, ¿ cuál ha de ser la combinación óptima de
motocicletas a producir para que el beneficio sea máximo?
Función Objetivo: Max. F(x) = 200000 x1+140000 x2+80000 x3+40000 x4
s.a. 8 x1 + 6 x2 + 4 x3 + 2 x4  200
6 x1 + 3 x2 + 2 x3 + x4  144
8 x1 + 8 x2 + 6 x3 + 4 x4  240
4 x1 + 2 x2 +2 x3 +2 x4  80
x1 0 ; x2 0; x3 0; x4 0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
27
Problema 15.
Una persona dedicada a la fabricación de artículos navideños produce
bolas, tiras de luces y estrellas luminosas. En la producción de una unidad de cada
artículo utiliza materias primas en las siguientes cantidades:
Bolas Tiras Estrellas
Cable eléctrico -- 2 1 (metros)
Bombillas -- 10 4 (unidades)
Plástico 2 2 10 (bloques)
Papel brillante 2 4 4 (hojas)
Llegado el mes de Diciembre se encuentra con que su almacén proveedor ha
cerrado por quiebra y no le queda tiempo para reemplazarlo. Haciendo inventario
de sus existencias contabiliza 100 m. de cable eléctrico, 400 bombillas, 1000 bloques
de plástico y 560 hojas de papel brillante.
Por otra parte, sabe que, para que las tiendas admitan un determinado pedido,
el número de bolsas ha de ser como mínimo el doble que el número de tiras y
estrellas. El beneficio que proporciona cada unidad de producto es
respectivamente de 5, 8 y 10 ( bolas, tiras y estrellas)
El fabricante se plantea cual debe ser su producción para que el beneficio sea
máximo.
Función objetivo: Max F(x)= 5x1 +8x2 +10x3
s.a. : 2x2 +x3  100
10x2 +4x3  400
2x1 +2x2 +10x3  1000
2x1 +4x2 +4x3  560
x1  2(x2 +x3)
x1 0; x2 0; x30

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
28
Problema 16.
Cierta empresa produce cuatro artículos diferentes utilizando los
materiales A y B. Dada la distancia existente entre el almacén proveedor y
la empresa, el proveedor establece como condición de servir los materiales
que el consumo mínimo mensual de A y B debe ser de 5.600 y de 8.700
unidades.
La estructura del proceso productivo es la siguiente:
Producto (1) Producto (2) Producto (3) Producto (4)
Material A 200 150 100 45
Material B 300 250 180 82
El coste unitario de producción es, respectivamente, de 90, 80, 50,
24.
¿Cuál debe ser la distribución de la producción para que los costes sean
mínimos?
Función objetivo: Min F(x) = 90x1 + 80x2 +50x3 +24x4
s.a : 200x1 +150x2 +100x3 +45x4  5.600
300x1 +250x2 +180x3 +82,5x4  8.700
x1 0; x2 0 ; x3 0 ; x40

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
29
Problema 17.
Una refinería de petróleo destila tres tipos de crudos: el Arabia (ligero),
el Venezuela (medio) y el México (pesado), cuyos precios en el mercado
libre son de 40$, de 36$ y de 32$ el barril, respectivamente.
De cada uno de los crudos en el proceso de destilación y refino se
obtiene gasolina, keroseno y gas-oil, así como unas pérdidas por obtención
de residuos inservibles. Por cada barril de crudo se obtienen los siguientes
barriles de los productos refinados:
G
GA
AS
SO
OL
LI
IN
NA
A K
KE
ER
RO
OS
SE
EN
NO
O G
GA
AS
S-
-O
OI
IL
L R
RE
ED
DI
ID
DU
UO
OS
S
1 barril Arabia 0.40 0.20 0.30 0.10
1 barril Venezuela 0.30 0.20 0.40 0.10
1 barril México 0.20 0.30 0.40 0.10
La refinería ha firmado un contrato con una compañía multinacional
para el suministro de 1.500.000 barriles de gasolina, 400.000 de keroseno y
700.000 de gas-oil , durante el próximo año. ¿ Qué cantidad debe adquirir
de cada tipo de crudo para que el coste sea mínimo?
Función objetivo: Min F(x) = 40x1 +36x2 +32x3
s.a. : 0.4x1 +0.3x2 + 0.2x3  1.500.000
0.2x1 +0.2x2 +0.3x3  400.000
0.3x1 +0.4x2 +0.4x3  700.000
x1  0; x2  0; x3  0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
30
Problema 18.
Una empresa ha preseleccionado 5 candidatos para ocupar 4 puestos de trabajo
en la empresa. Los puestos de trabajo consisten en manejar 4 máquinas diferentes (un
trabajador para cada máquina).
La empresa, para realizar la selección, ha probado a 5 trabajadores en las 4
máquinas. Realizando el mismo trabajo todos ellos en cada una de las máquinas el
mismo trabajo, se ha obtenido la siguiente relación de tiempos.
Trabajadores m1 m2 m3 m4 Máquinas
t1 10 6 6 5
t2 8 7 6 6
t3 8 6 5 6
t4 9 7 7 6
t5 8 7 6 5
Determinar qué 4 trabajadores debe seleccionar la empresa y a qué máquinas debe
asignar cada uno de los trabajadores contratados.
Problema 19.
La empresa “Química, S.A.” busca la definición de su proceso de producción en
base a la fabricación de dos productos A y B. Para ello se consideran relevantes los
siguientes criterios: se quiere conseguir el mayor beneficio posible con la producción y
venta de A y B.
Por otra parte la empresa desea respetar limitaciones relacionadas con las
disponibilidades máximas de 1.000 y 800 unidades, respectivamente. Por otra parte,
también existen limitaciones con la disponibilidad de la mano de obra que alcanza una
cuantía máxima de 1.200 horas/hombre.
Para mantener cierto nivel de actividad se considera que el volumen de
producción total no debe bajar de 400 unidades entre ambos productos. Existe además,
la limitación de no poder trabajar más de 20 días al mes por riesgo a sobrecarga en las
instalaciones y a no poder operar más de 6 horas seguidas en las máquinas que generan
ambos productos. Por razones medioambientales, esta empresa química no puede
producir más de 10.000 productos al mes. Se trata de hallar la función de producción
mensual, teniendo en cuenta los siguientes datos unitarios:
Bº unitario Consumo unit. X Consumo unit. Y Mano Obra Días H/M
Producto A 3 3 1 3h/h 2 2
Producto B 4 1 2 2h/h 1 1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
31
Problema 20.
Una entidad financiera tiene 5 tipos de préstamos para sus clientes, que tienen
los siguientes tipos de interés:
Préstamos de 1ª hipoteca .................... 14%
Préstamos de 2ª hipoteca .................... 20%
Préstamos acondicion. vivienda.......... 20%
Préstamos personales.......................... 10%
Préstamos preferenciales.................... 8%
La entidad tiene disponibles para prestar a sus clientes en estas cinco
modalidades de préstamos hasta 250 millones de pesetas. Sin embargo se deben cumplir
las siguientes condiciones de política financiera de la entidad:
a) los préstamos de 1ª hipoteca deben ser al menos el 55% del total de los
hipotecarios.
b) los préstamos de 2ª hipoteca no deben exceder del 25% del total.
c) por razones impositivas para la entidad, que tiene un tipo impositivo
progresivo, el tipo medio de interés del total de los préstamos no debe exceder del 15%.
¿Cual debe ser la distribución de los préstamos de la entidad a fin de que se
maximice la renta de interese y se verifiquen todas las limitaciones de política
financiera?
Problema 21. (de Hiller - Liebermann)
La compañía Wyndor Glass produce artículos de vidrio de alta calidad,
incluye ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras
de aluminio se hacen en la planta 1; los marcos de madera se fabrican en la
planta 2 y en la planta 3 se produce el vidrio y se ensamblan los productos.
Debido a que las ganancias se han reducido, la gerencia general ha
decidido reorganizar la línea de producción. Se dejarán de producir varios
productos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad de
producción para emprender la fabricación de uno o dos productos nuevos que
han tenido demanda. Uno de los productos propuestos (producto 1) es una
puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio. El otro (producto 2) es una

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
32
ventana grande (4*6 pies) para vidrio doble con marco de madera. El
departamento de Marketing ha sacado por conclusión que la compañía puede
vender todo lo que pueda producir de cualquiera de los productos. Sin
embargo, como ambos productos compiten por la misma capacidad de
producción en la planta 3, no es obvio qué mezcla de los 2 productos sería la
más rentable. Por todo esto, la gerencia pidió al departamento de investigación
de operaciones que estudiara el asunto.
Después de hacer algunas investigaciones, el departamento de I. de O.
determinó:
1. el porcentaje de la capacidad de producción en cada planta que
estará disponible para estos productos.
2. el porcentaje de esta capacidad que requiere cada unidad producida
por minuto.
3. la ganancia unitaria por cada producto.
Esta información se resume en la tabla. Como cualquiera que sea la capacidad
utilizada por uno de los productos en la planta 3, el otro ya no puede
aprovecharla, de inmediato el departamento de I. de O. reconoció éste como
un problema de programación lineal clásico de mezcla de productos y
emprendió la tarea de formular y resolver el problema.
Capacidad usada por unidad de tasa de producción.
Planta Producto
1
Producto
2
Capacidad
disponible
1
2
3
1
0
3
0
2
2
4
12
18
Ganancia
unitaria
$3 $5
X1= Producto 1
X2= Producto 2
Función Objetivo:
Max Z= 3X1+5X2
Restricciones:
X1<=4
2X2<=12
3X1+2X2<=18
X1, X2>=0
DUAL:
Función objetivo:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
33
Min Z = 4Y1 + 12Y2 + 18Y3
Restricciones:
Y1 + 3Y3 >= 3
2Y2 + 2Y3 >=5
Soluciones:
PRIMAL DUAL
S1 = 2 Y3 = 1
X2 = 6 Y2 = 1.5
X1 = 2 Z = 36
Z = 36
Problema 22. (de Programación Lineal, Metodología y Problemas. Mocholi
Arce y Sala Garrido).
La empresa ¨A¨ se dedica al montaje de motocicletas de 500, 250, 125 y
50 cc.Posee una planta que está estructurada en 4 departamentos: fabricación
de los chasis, pintura, montaje y el departamento de O.k.-Line o verificación de
calidad.
Las horas de mano de obra que necesita cada uno de los modelos de
motocicleta en los diferentes departamentos son los siguientes:
Sección de
Fabricación
Chasis.
Sección
Pintura
Sección
Montaje
Sección
O.K.-Line
Mod. 500 8 6 8 4
Mod. 250 6 3 8 2
Mod. 125 4 2 6 2
Mod. 50 2 1 4 2
La distribución de los trabajadores es la siguiente:
El departamento de fabricación de chasis dispone de 25 trabajadores, el
de pintura de 18, el de montaje de 30 y el de O.K.-Line de 10. Todos los
trabajadores realizan una jornada laboral de 8 horas.
Si el margen de beneficio de cada uno de los modelos es de 200.000,
140.000, 80.000 y de 40.000 pesetas respectivamente, ¿Cuál ha de ser la
combinación óptima de motocicletas a producir para que el beneficio sea
máximo?.
Se trata de un problema de PRODUCCIÓN cuyo objetivo es maximizar los beneficios
de una empresa que fabrica 4 modelos de motocicletas. Las restricciones se refieren al
máximo de horas de trabajo en cada uno de los 4 departamentos.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
34
Función objetivo:
Max f(x) = 200.000 X1 + 140.000 X2 + 80.000 X3 + 40.000 X4
Restricciones:
8 X1 + 6 X2 + 4 X3 + 2 X4 <= 200
6 X1 + 3 X2 + 2 X3 + X4 <= 144
8 X1 + 8 X2 + 6 X3 + 4 X4 <= 240
4 X1 + 2 X2 + 2 X3 + 2 X4 <= 80
X1,X2,X3;X4 >=0
DUAL:
Función objetivo:
Min f(x) = 200Y1 + 144Y2 + 240Y3 + 80Y4
Restricciones:
8Y1 + 6Y2 + 8Y3 + 4Y4 >= 200000
6Y1 + 3Y2 + 8Y3 + 2Y4 >= 140000
4Y1 + 2Y2 + 6Y3 + 2Y4 >= 80000
2Y1 + Y2 + 4Y3 + 2Y4 >= 40000
Soluciones:
PRIMAL DUAL
X2 = 20 Y4 = 10000
S2= 24 S4 = 20000
S3 = 0 Y1 = 20000
X1 = 10 S3 = 20000
Z = 4800000 Z = 4800000
Problema 23. (de Programación Lineal, Metodología y Problemas. Mocholi Arce
y Sala Garrido).
Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de pollos, una
dieta mínima para la alimentación de las aves compuesta de 3 uds. de hierro y
4 uds. de vitaminas. El granjero sabe que cada kilo de maíz proporciona 2.5
uds. de hierro y 1 ud. de vitamina, cada kilo de harina de pescado, 3 uds de
vitamina y cada kilo de cierto pienso sintético 1 ud. de hierro y 2 uds. de
vitamina.
El granjero se pregunta por la composición de la dieta óptima que
minimice el costo de la alimentación, sabiendo que los precios del maíz, la
harina de pescado y pienso sintético son, respectivamente, de 20, 30 y 16
pesetas.
Se trata de encontrar la combinación de kilos de maíz (X1), de harina de
pescado (X2) y pienso sintético (X3) que minimice la función de coste.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
35
Se trata de un problema de asignación de dieta, para minimizar los costes de la
misma, sabiendo que ésta debe cumplir unos requisitos de contenido mínimo de hierro y
vitaminas.
Función objetivo:
Min f(x) = 20 X1 + 30 X2 + 16 X3
Restricciones:
5/2 X1 + 3 X2 + X3 >= 3
X1 + 3 X2 + 2 X3 >= 4
X1, X2, X3 >=0
DUAL:
Función objetivo:
Max f(x) = 3 Y1 + 4Y2
Restricciones:
5/2Y1 + Y2 <= 20
3Y1 + 3Y2 <= 30
Y1 + 2Y2 <= 16
Soluciones:
PRIMAL DUAL
X2 = 0.67 S1 = 4
X3 = 1 Y1 = 4
Z = 36 Y2 = 6
Z = 36

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
36
Problema 24. (de Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos.
Wayne L. Winston)
Una oficina de correos necesita un número diferente de empleados de
tiempo completo, para diferentes días de la semana. El número de empleados
de tiempo completo requerido para cada día son:
DÍAS nº de empleados de tiempo
completo requerido
1 = lunes
2 = martes
3 = miércoles
4 = jueves
5 = viernes
6 = sábado
7 = domingo
17
13
15
19
14
16
11
Las reglas sindicales señalan que cada empleado de tiempo completo,
tiene que trabajar 5 días consecutivos y, después, descansar 2 días. La oficina
de correos quiere cumplir con sus requerimientos diarios y utilizar sólamente
empleados de tiempo completo. Formule un P.L. que pueda utilizar la oficina de
correos para minimizar el número de empleados de tiempo completo que hay
que contratar.
Se trata de un problema de establecimiento del horario de trabajo con 7 variables y 7
restricciones referentes al número mínimo de empleados de tiempo completo requeridos por
día.
Variables:
Xi = número de empleados que empiezan a trabajar el día i; i= 1,...,7
Función objetivo:
Min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7
Restricciones:
X1 + X4 + X5 + X6 + X7 >= 17 (restricción del lunes)
X1 + X2 + X5 + X6 + X7 >= 13 (restricción del martes)
X1 + X2 + X3 + X6 + X7 >= 15 (restricción del miércoles)
X1 + X2 + X3 + X4 + X7 >= 19 (restricción del jueves)
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 >= 14 (restricción del viernes)
X2 + X3 + X4 + X5 + X6 >= 16 (restricción del sábado)
X3 + X4 + X5 + X6 + X7 >= 11 (restricción del domingo)
Xi >= 0 ( i = 1,...,7) (restricción de signo)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
37
DUAL:
Función objetivo:
Max Z = 17Y1 + 13Y2 + 15Y3 + 19Y4 + 14Y5 + 16Y6 + 11Y7
Restricciones:
Y1 + Y2 +Y3 +Y4 +Y5 <= 1
Y2 + Y3 +Y4 +Y5 +Y6 <= 1
Y3 +Y4 +Y5 +Y6 +Y7 <= 1
Y1 + Y4 +Y5 + Y6 +Y7 <= 1
Y1 + Y2 + Y5 + Y6 + Y7 <= 1
Y1 + Y2 + Y3 + Y6 + Y7 <= 1
Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y7 <= 1
Soluciones:
PRIMAL DUAL
X4 = 7.33 Y4 = 0.33
X1 = 6.33 Y6 = 0.33
X6 = 3.33 Y7 = 0
X3 = 0.33 Y1 = 0.33
S2= 1.67 S5 = 0.33
S5 = 5 Y3 = 0.33
X2 = 5 S7 = 0
Z = 22.33 Z = 22.33
Problema 25. (Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos. Wayne
L. Winston).
Star Oil Company considera 5 diferentes oportunidades de inversión. En
la siguiente tabla se muestran los desembolsos de caja y los valores actuales
netos (en millones de dólares).
Salidas caja Inversión 1 Inversión 2 Inversión 3 Inversión 4 Inversión 5
Tiempo 0 11 53 5 5 29
Tiempo 1 3 6 5 1 34
VAN 13 16 16 14 39

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
38
La compañía dispone de 40 millones de dólares para invertir en el
momento actual ( tiempo 0); estima que en un año (tiempo 1) dispondrá de 20
millones de dólares para invertir. Star Oil puede comprar cualquier fracción de
cualquier inversión. En este caso, las salidas de caja y los VAN se ajustan de
forma correspondiente. Star Oil quiere maximizar el VAN que se puede
obtener mediante las inversiones 1 a 5. Formule un P.L. que ayude a alcanzar
esta meta. Supóngase que los fondos no usados en el tiempo 0 no se pueden
utilizar en el tiempo 1.
Solución:
Star Oil tiene que determinar qué fracción de cada inversión hay que
comprar. Definimos:
Xi = fracción de la inversión i comprada por Star Oil ( i = 1,..,5)
La meta de la compañía es maximizar el VAN ganado por las
inversiones.
Se trata de un problema de inversiones con un presupuesto limitado.
Función Objetivo:
Max Z = 13 X1 + 16 X2 + 16 X3 + 14 X4 + 39 X5
Restricciones:
11 X1 + 53 X2 + 5 X3 + 5 X4 + 29 X5 <= 40 (restricción del tiempo 0)
3 X1 + 6 X2 + 5 X3 + X4 + 34 X5 <= 20 (restricción del tiempo 1)
X1 <= 1
X2 <=1
X3 <= 1
X4 <= 1
X5 <= 1
Xi >= 0; i = 1,...,5.
DUAL:
Función objetivo:
Min Z = 40Y1 + 20Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6 + Y7
Restricciones:
11Y1 + 3Y2 + Y3 >= 13
53Y1 + 6Y2 + Y4 >= 16
5Y1 + 5Y2 + Y5 >= 16
5Y1 + Y2 + Y6 >= 14
29Y1 + 34Y2 + Y7 >= 39

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
39
Soluciones:
PRIMAL DUAL
X2 = 0.20 Y3 = 7.95
X5 = 0.29 Y1 = 0.19
X1 = 1 Y5 = 10.12
S4 = 0.80 Y6 = 12.06
X3 = 1 Y2 = 0.98
X4 = 1 Z = 57.45
S7 = 0.71
Z= 57.45
Problema 26. (J. Faulin y A.A. Juan, Proyecto e-Math, uoc)
Supongamos que pretendemos realizar una encuesta para determinar la opinión de los
españoles acerca del problema de la inmigración. A fin de que la misma sea
representativa desde un punto de vista estadístico, exigiremos que ésta deba cumplir los
siguientes requisitos:
1. Entrevistar al menos un total de 2.300 familias españolas
2. De las familias entrevistadas, al menos 1.000 deben cumplir que su cabeza de
familia no supere los 30 años de edad
3. Al menos 600 de las familias entrevistadas tendrán un cabeza de familia con
edad comprendida entre los 31 y los 50 años
4. El porcentaje de entrevistados que pertenecen a zonas con elevadatasa de
inmigración no debe ser inferior a un 15% del total
5. Finalmente, no más de un 20% de los entrevistados mayores de 50 años
pertenecerán a zonas con alta tasa de inmigración
Además todas las encuestas deberán realizarse en persona
A continuación indicamos el coste estimado en euros de cada encuesta según la edad del
encuestado y si procede o no de una zona con alta tasa de inmigración:
ZONA EDAD  31 AÑOS EDAD 31-50 AÑOS EDAD  50 AÑOS
Tasa de inmigración
elevada
7.50 6.80 5.50
baja
6.90 7.25 6.10
Obviamente, nuestro objetivo será cumplir todos los requisitos anteriores minimizando
el coste.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
40
Definimos pues, nuestras variables de decisión (cuántos de cada grupo deben ser
entrevistados) tal como reflejamos en el cuadro siguiente:
ZONA EDAD  31 AÑOS EDAD 31-50 AÑOS EDAD  50 AÑOS
elevada
E1 (A) E2(B) E3(C)
baja
B1(D) B2(E) B3(G)
Y las restricciones vienen expresadas por los requisitos que se han de cumplir.
Luego nuestro modelo matemático es:
Min 7.5 A + 6.8 B + 5.5 C + 6.9 D + 7.25 E + 6.1 F
st
A + B + C + D + E + F >= 2300
A + D >= 1000
B + E >= 600
A + B + C - .15 A - .15 B - .15 C - .15 D - .15 E - .15 F >= 0
C - .2 C - .2 F <= 0
end
gin 6
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4
OBJECTIVE VALUE = 15166.0000
FIX ALL VARS.( 2) WITH RC > 0.000000E+00
NEW INTEGER SOLUTION OF 15166.0000 AT BRANCH 0 PIVOT 4
BOUND ON OPTIMUM: 15166.00
ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 4
LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND
RE-INSTALLING BEST SOLUTION...

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
41
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 15166.00
VARIABLE VALUE REDUCED COST
A 0.000000 7.500000
B 600.000000 6.800000
C 140.000000 5.500000
D 1000.000000 6.900000
E 0.000000 7.250000
F 560.000000 6.100000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.000000
3) 0.000000 0.000000
4) 0.000000 0.000000
5) 395.000000 0.000000
6) 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 4
BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0
Problema 27. (J. Faulin y A.A. Juan, Proyecto e-Math, uoc)
Una compañía de ámbito nacional produce y distribuye una línea de bicicletas
de alta competición. La empresa tiene líneas de montaje en dos ciudades:
Castellón y Sabadell, mientras que sus principales cadenas de distribución
están localizadas en Madrid, Barcelona y Vitoria.
La oficina de Madrid presenta una demanda anual de 10.000 bicicletas,
mientras que la de Barcelona solicita 8.000 y la de Vitoria 15.000.
La planta de Castellón puede producir hasta 20.000 bicicletas anuales, por
15.000 la de Sabadell.
Los costes en euros de transporte por unidad son los siguientes:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
42
MADRID BARCELONA VITORIA
CASTELLON 2 3 5
SABADELL 3 1 4
La Compañía pretende establecer una plan de distribución que minimice sus costes
anuales.
Para su solución, definimos las variables de decisión que definen las cantidades que
envío desde las plantas montadoras a las ciudades donde tenemos el mercado (p.e CV
indica la cantidad de bicicletas que envío desde Castellón para su venta en Vitoria).
Así pues, nuestras variables de decisión son: CM, CB, CV, SM, SB y SV
La función objetivo: Minimizar Costes, luego:
Min 2 CM + 3 CB + 5 CV + 3 SM + 1 SB + 4 SV
Y las restricciones son las que establece el estudio de Mercado y la capacidad de
producción de ambas plantas, luego:
CM + SM = 10000
CB + SB = 8000
CV + SV = 15000
CM + CB + CV  20000
SM + SB + SV  15000
siendo todas las variables enteras.
Con el LINDO:
Min 2 CM + 3 CB + 5 CV + 3 SM + 1 SB + 4 SV
ST
CM + SM = 10000
CB + SB = 8000
CV + SV = 15000
CM + CB + CV <= 20000
SM + SB + SV <= 15000
end
GIN 6

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
43
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 96000.00
VARIABLE VALUE REDUCED COST
CM 10000.000000 2.000000
CB 0.000000 3.000000
CV 8000.000000 5.000000
SM 0.000000 3.000000
SB 8000.000000 1.000000
SV 7000.000000 4.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.000000
3) 0.000000 0.000000
4) 0.000000 0.000000
5) 2000.000000 0.000000
6) 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 2
BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0

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