PROGRAMACION LINEAL

1. Investigación de Operaciones I
Resolución Gráfica de Modelos de LP
1. Descripción del Método
Cualquier problema de Programación Lineal de sólo 2 variables puede ser resuelto gráficamente. La
idea general es dibujar en un sistema de ejes ortogonales las variables de decisión y representar gr
áficamente las restricciones del problema en dicho plano.
Para ilustrar la técnica, consideremos el ejemplo de la mueblerı́a estudiado previamente:
Ejemplo 1
Max z = 3x1 + 2x2 (Función Objetivo)
sujeto a (st)
2x1 + x2 ≤ 100 (a) Restricción de terminaciones
x1 + x2 ≤ 80 (b) Restricción de carpinterı́a
x1 ≤ 40 (c) Restricción de demanda máxima
x1 ≥ 0 (d) Restricción de signo
x2 ≥ 0 (e) Restricción de signo
(1.1)
1.1. Región Factible
El conjunto de todos los puntos (x1, x2) que satisfacen todas las restricciones de (1.1) conforman
la región factible para el problema.
Para graficar la región factible, trazamos en primer lugar dos ejes ortogonales (uno para cada variable)
en el plano. A continuación se representan las rectas correspondientes a cada restricción como si el
signo de desigualdad correspondiera a una igualdad. Como cada recta divide al plano en 2 regiones,
debemos identificar cuál lado es el que satisface la desigualdad. Para ello basta evaluar un punto que
no pertenezca a la recta y determinar si cumple o no la restricción, en general se identifica la región
que satisface la restricción con unas flechas perpendiculares a la recta.
Representadas todas las restricciones e identificadas las zonas que satisfacen cada una de ellas se
busca aquella área que satisfaga simultáneamente todas las restricciones: está será la región factible
del problema (usualmente se achura).
El procedimiento descrito se ilustra en la Figura 1.1 para el modelo asociado al problema de la
mueblerı́a (1.1). Nótese que interesa sólo el primer cuadrante ya que las restricciones de signo obligan
a que las variables sean positivas.
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2. Resolución Gráfica
x1
x2
(b)
80
80
(a)
100
50
(c)
40
A
B
C
D
E
Figura 1.1: Región Factible
Luego, la región factible queda definida por el polı́gono ABCDE. Cualquier punto de la frontera o
interior al polı́gono satisface todas las restricciones y por lo tanto es una combinación factible.
1.2. Cálculo del Óptimo
Una vez identificada la región factible del problema, se debe determinar el punto de dicha región
que maximiza o minimiza la función objetivo. En el ejemplo (1.1), se debe determinar el punto que
maximiza:
z = 3x1 + 2x2 (1.2)
Para encontrar el óptimo, debemos graficar las lı́neas de igual valor de z, es decir las rectas de isobe-
neficio. En un problema de minimización se habla de las rectas de isocosto. A modo de ejemplo, se
muestran en la Figura 1.2 las lı́neas de isobeneficio z = 180 y z = 210 en lı́nea segmentada.
Evidentemente, en todo problema de programación lineal las lı́neas de isobeneficio son rectas paralelas,
por lo tanto para determinar el óptimo basta encontrar la mayor recta de isobeneficio (o la menor
recta de isocosto si se está minimizando) que intersecta a la región factible.
En el ejemplo, la mayor recta de isobeneficio corresponde a la lı́nea de z = 180 que se muestra
en la Figura 1.2, la que intersecta a la región factible en el punto G, es decir: x1 = 20 y x2 = 60, punto
que corresponde al óptimo del problema.
1.3. Restricciones Activas y No Activas
Una vez obtenida la solución óptima de un LP, se puede introducir la siguiente clasificación respecto
de las restricciones del problema:
Definición 1 Una restricción es activa si el lado izquierdo y derecho de la desigualdad son iguales
cuando el valor óptimo de las variables es substituido en las expresiones.
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3. Resolución Gráfica
x1
x2
A
B
C
D
E
z
=
1
8
0
90
60
z
=
2
0
0
105
70
Figura 1.2: Lı́neas de Isobeneficio
En el ejemplo, las restricciones (a) y (b) son activas.
Definición 2 Una restricción no es activa si el lado izquierdo y derecho de la desigualdad no son
iguales cuando el valor óptimo de las variables es substituido en las expresiones.
En el ejemplo, como x1 = 20 en el óptimo, la restricción (c) es no activa pues 20 es menor que 40.
1.4. Regiones Convexas y Extremos
El problema de la mueblerı́a corresponde a un ejemplo de región factible convexa.
Definición 3 Una región S es convexa si toda lı́nea recta que une cualquier par de puntos de la región
está completamente contenida en S.
La Figura 1.3 (a) y (b) muestra ejemplos de regiones convexas. En la misma figura, las regiones (c) y (d)
no son convexas. En el caso de regiones convexas, ciertos puntos (Puntos Extremos) son de gran
interes para LP.
(a) (b) (c) (d)
Figura 1.3: Regiones Convexas y No Convexas
Definición 4 Para cualquier región convexa S, un punto P es un punto extremo si cada lı́nea
completamente contenida en S y que contiene a P tiene a P como punto final del segmento.
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4. Segundo Semestre 2004 Resolución Gráfica
Por ejemplo, en la Figura 1.3(b) cada punto del contorno del cı́rculo es un punto extremo. En la Figura
1.3(a) los cuatro vértices del rectángulo son puntos extremos. Frecuentemente, los puntos extremos
se denominan esquinas, ya que en el caso de polı́gonos, todos sus vértices corresponden a puntos
extremos.
En el problema de la mueblerı́a, la región factible es convexa. Esto no es un accidente y se puede
demostrar que la región factible de un LP siempre es convexa. En el ejemplo, de la Figura 1.1 se obser-
va que los puntos A, B, C, D y E son puntos extremos y se puede demostrar que la región factible de
un LP siempre posee un número finito de puntos extremos. Además, se puede observar que la solución
óptima del ejemplo (punto D) corresponde a un punto extremo. En general, se puede demostrar que
cualquier LP que tenga solución óptima debe tener como óptimo un punto extremo. Este resultado es
muy importante, pues reduce el problema de determinar el óptimo de un LP a un conjunto finito de
puntos de la región factible, en otras palabras, el óptimo (si existe) pertenece al conjunto de puntos
extremos. El resulto anterior es válido cualquiera que sea el tamaño del LP (no sólo para el caso en dos
variables) y será fundamental para desarrollar el algoritmo general de solución de un LP (SIMPLEX).
2. Problemas de Minimización
Para ver algunas consideraciones especiales en el caso de minimización tomemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2 Una distribuidora de vehı́culos vende autos y camionetas. Para ampliar el mercado de
posibles clientes ha decidido iniciar una ambiciosa campaña publicitaria por televisión. La estrategia
consiste en adquirir minutos de avisos comerciales en dos tipos de programas: teleseries y juegos de
futbol. Se espera que cada minuto de publicidad en horario de teleseries sea visto por al menos 700 mil
mujeres y 200 mil varones. Cada minuto de publicidad en horario de fútbol deberı́a ser visto por al menos
200 mil mujeres y 1200000 varones. Cada minuto en horario de teleseries cuesta 5 millones de
pesos y en horario de fútbol cuesta 10 millones de pesos. La distribuidora desea que al menos 2,8
millones de mujeres y 2,4 millones de varones vean los avisos comerciales. Empleando LP determine
cómo deben ser contratos los minutos de publicidad para satisfacer los requerimientos de la
distribuidora a costo mínimo.
Si entrar en mayores detalles, designando como x1 y x2 la cantidad de minutos de publicidad con-
tratados en horario de teleseries y fútbol respectivamente, el modelo queda:
Min z = 5x1 + 10x2 (Función Objetivo)
st
7x1 + 2x2 ≥ 28 (a) Mujeres
2x1 + 12x2 ≥ 24 (b) Varones
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
(2.1)
La función objetivo se ha escrito en término de millones y las restricciones se han referido a cientos
de miles personas para simplificar el modelo.
Para resolver el problema se representan las restricciones un plano formado por dos ejes ortogonales
(uno por variable), al igual que el caso anterior. La Figura 2.1 muestra las restricciones, la región
factible y algunas lı́neas de isocosto.
En este caso, al igual que el anterior, la región factible ABC es convexa, pero en este caso la región
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5. Resolución Gráfica
0 2 4 6 8 10 12 14
0
2
4
6
8
10
12
14
x1
x2
(b)
(a)
A
B
C
z=60
z=32
Figura 2.1: Problema de la Distribuidora de Vehı́culos
contiene puntos en los cuales al menos una de las dos variables puede hacerse arbitrariamente grande.
En estos casos se habla de región factible no acotada.
Debido a que se desea minimizar el costo, interesa la lı́nea de isocosto de menor valor que intercepte
la región factible. Ello ocurre con la lı́nea de isocosto que pasa por el punto B, el cuál se determina
calculando la intersección de las dos restricciones del problema (x1 = 3,6 y x2 = 1,4). El valor de la
función objetivo para este caso es z = 320, es decir, 320 millones de pesos. Otra forma de obtener
el óptimo es evaluando en los puntos extremos de la región factible, es decir, evaluando la función
objetivo en A, B y C, para luego escoger el menor valor. Debido a que la solución óptima se encuentra
sobre las rectas (a) y (b), ambas restricciones son activas.
3. Casos Especiales
Los problemas estudiados anteriormente poseen una única solución, sin embargo existen varias
situaciones especiales:
1. Algunos LP pueden tener un número infinito de soluciones óptimas (alternativos o múltiples
óptimos).
2. Algunos LP pueden no tener soluciones factible (LP no factibles).
3. Algunos LP pueden ser no acotados: existen puntos en la región factible que pueden tener un
valor arbitrariamente grande de la función objetivo (caso de maximización).
3.1. Óptimos Alternativos o Múltiples
Ejemplo 3 Una armadurı́a fabrica autos y camionetas. Cada vehı́culo pasa por una etapa de ensam-
blaje y por otra de pintado. Si en el taller de pintura sólo se pintan camionetas, se puede terminar
40 camionetas al dı́a. Si en el taller de pintura sólo se pintan autos, se pueden terminar 60 autos al
dı́a. Si en el taller de ensamblaje sólo se trabaja con camionetas, se pueden producir 50 camionetas al
dı́a. Similarmente, si en el taller de ensamblaje sólo se trabaja con autos, se puede terminar hasta 50
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6. Resolución Gráfica
autos al dı́a. El beneficio neto de cada camioneta es 3 millones, mientras que el de cada auto es de 2
millones. Emplee LP para determinar la producción diaria que maximiza la utilidad de la compañı́a.
Escogiendo como x1 y x2 el número diario de camionetas y autos producidos al dı́a, respectivamente,
el modelo de LP que resuelve el problema queda:
Max z = 3x1 + 2x2 (Función Objetivo)
st
1
40 x1 + 1
60 x2 ≤ 1 (a) Pintura
1
50 x1 + 1
50 x2 ≤ 1 (b) Ensamblaje
x1, x2 ≥ 0
(3.1)
La función objetivo se ha escrito en millones por simplicidad. Siguiendo el procedimiento descrito
previamente, la representación gráfica del problema se ilustra en la Figura 3.1.
0 10 20 30 40 50 60
0
10
20
30
40
50
60
x1
x2
(a)
(b)
A
B
C
D
z
=
6
0
z
=
1
0
0
z
=
1
2
0
Figura 3.1: Problema de la Armadurı́a de Vehı́culos
En este caso, la región factible es la definida por el polı́gono ABCD. Siguiendo el procedimiento
descrito, se debe evaluar la función objetivo en los puntos extremos de la región, en este caso se
encuentra que el mayor valor z se obtiene en el punto A, pero también en el punto B donde también
z = 120. Analizando con mayor cuidado la situación, se observa que el segmento de recta de (a) entre
los puntos A y B es paralela a las lı́neas de isocosto, por lo tanto la evaluación de la función objetivo
sobre cualquier punto de (c) entre A y B entregará el mismo resultado. Luego, en este caso existen
infinitos óptimos alternativos. Otra forma de chequear la situación consiste en reemplazar la ecuación
de la recta en la expresión de la función objetivo:
de (a): x1 = 40
¡
1 − 1
60 x2
¢
reemplazando en z: z = 3 × 40
¡
1 − 1
60 x2
¢
+ 2x2
= 120
(3.2)
En la práctica, cuando el tomador de decisiones encuentra que existen múltiples óptimos, debe recurrir
a criterios secundarios para seleccionar un determinado óptimo. En la Figura 3.1 el segmento grueso
entre los puntos A y B ilustra el conjunto (infinito) de óptimos del problema.
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7. Resolución Gráfica
3.2. LP No Factibles
Supongamos que al problema del Ejemplo 3 incorporamos la restricción de producir al menos 30
camionetas y al menos 20 autos. Luego, el modelo de LP queda:
Max z = 3x1 + 2x2 (Función Objetivo)
st
1
40 x1 + 1
60 x2 ≤ 1 (a) Pintura
1
50 x1 + 1
50 x2 ≤ 1 (b) Ensamblaje
x1 ≥ 30 (c) Camionetas
x2 ≥ 20 (d) Autos
x1, x2 ≥ 0
(3.3)
De acuerdo a la técnica descrita, se construye la Figura 3.2
0 10 20 30 40 50 60
0
10
20
30
40
50
60
x1
x2
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 3.2: Problema de la Armadurı́a de Vehı́culos - Caso No Factible
A partir de la Figura 3.2 se observa claramente que no existen puntos que satisfagan todas las res-
tricciones simultáneamente, por lo tanto la región factible es vacı́a y el problema es No Factible. El
problema es No Factible debido a que producir 30 camionetas ó 20 autos requiere mayor tiempo de
taller de pintura del disponible.
3.3. LP No Acotados
En el caso de maximización, un LP No Acotado ocurre cuando es posible encontrar puntos en la
región factible con valores de la función objetivo z arbitrariamente grandes. Evidentemente, en un LP
bien formulado no deberı́an existir soluciones óptimas arbitrariamente grandes, pues en la práctica no
tiene sentido hablar de utilidades o ingresos ilimitados.
En un problema de minimización, un LP No Acotado ocurre cuando es posible encontrar puntos
en la región factible con valores de la función objetivo z arbitrariamente pequeños.
Para ilustrar dicha situación consideremos:
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8. Resolución Gráfica
Ejemplo 4
Max z = 2x1 − x2 (Función Objetivo)
sujeto a (st)
x1 − x2 ≤ 1 (a)
2x1 + x2 ≥ 6 (b)
x1, x2 ≥ 0
(3.4)
De acuerdo al procedimiento descrito, se construye la Figura 3.3.
0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
6
x1
x2
(b)
(a)
A
B
C
z
=
4
z
=
6
Figura 3.3: Ejemplo 4
En este caso, la región factible queda definida por el polı́gono no acotado ABC. En la figura se muestra
dos lı́neas de isobeneficio que ilustran como va creciendo el beneficio en la medida que las rectas se
trazan más a la derecha de la figura. En este caso, el punto C no es un vértice de la región y sólo ilustra
el último punto de mayor beneficio dentro de la escala de ejes representada. Luego, en la medida que
se desplaza C a la derecha, el punto se aleja del orı́gen y la función objetivo crece tan arbitrariamente
como se desplace el punto C. Esto se debe a que las rectas de isobeneficio tienen mayor pendiente que
la restriccioń (a). Finalmente, la función objetivo no está acotada y el problema no tiene sentido.
Si bien en esta sección se han mostrado problemas con un único óptimo, múltiples óptimos, no factibles
y no acotados sólo para el caso de dos variables, los conceptos se extienden a problemas de más variables
que serán estudiados más adelante. Si el LP se ha formulado con una función objetivo y restricciones
adecuadas para un conjunto de variables de decisión, no es difı́cil encontrar una solución óptima. Los
problemas de resolución más frecuentes aparecen cuando no se ha seleccionado las variables de decisión
correctas.
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