DESCUENTO, TASA Y RENTAS.docx

1
DESCUENTO,
TASA DE
INTERÉS Y
ANUALIDADES
Lic. Carlos F. Goñy Ameri
Lic. Enrique U. Díaz Vega
Lic. Ronnel E. Bazán Bautista

2
Autores:
Carlos F. Goñy Ameri.
Licenciado en Matemática Aplicada
Docente Universitario. UNJFSC.
Enrique U. Díaz Vega.
Docente Universitario- UNJFSC.
Ronnel E. Bazán Bautista.
Docente Universitario UNJFSC.
Prohibida la reproducción total o Parcial
de esta obra por cualquier medio sin
autorización escrita de los autores.
1ª Edición, agosto 2013
Hecho el Depósito Legalen la Biblioteca Nacional del Perú N° 2013-10105
Editado por:
Carlos F. Goñy Ameri

3
Av. Francisco Vidal N| 475
Impreso en:
MAGYGRAF PERU EIRL
Jr. Bolognesi 131 Huacho
Agosto 2013
Derechos reservados ©
Primera Edición – Agosto 2013
Prólogo
Dentro del área de las ciencias económicas, la matemática
financiera es una asignatura de importancia en todas las
universidades y escuelas de comercio. El gran desarrollo de las
instituciones que emergen de la desvalorización monetaria,
demandan unos números cada vez mayor profesionales y
expertos especializados en el área de las matemáticas
financieras. Los economistas, los administradores de empresas
los ingenieros industriales o de otras áreas vinculados a los
proyectos de inversión, encontraran en este texto las bases
matemáticas de descuento, tasa interés y anualidades que
utilizan en su análisis de decisión económica. En esta edición se
han agregado el desarrollo matemático de descuento, tasa interés
y anualidades con la intención de proporcionar el más amplio
soporte que debe manejar las técnicas del análisis económico de
los proyectos de inversión.
En esta edición el lector encontrará un mayor número tanto de
problemas desarrollados y problemas propuestos.
Impreso en Perú Printed in Perú

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Los autores
ÍNDICE
DESCUENTO
1 Descuento racional matemático o verdadero. 03
1.1 Descuento racional simple. 05
1.2 Descuento racional compuesto. 09
2 Descuento bancario. 13
2.1 Descuento bancario simple 13
2.2 Descuento bancario compuesto 16
TASAS DE INTERÉS
1. Tasa activa. . 24
2. Tasa pasiva. 25
3. Tasa nominal y tasa proporcional. 25
4. Tasa efectiva. 26
5. Tasa equivalente. 31
6. Tasa vencida. 33
7. Tasa adelantada. 34
7.1 Tasa adelantada equivalente a una tasa vencida. 35
ANUALIDADES
ANUALIDADES VENCIDAS
1. Monto de una anualidad simple vencida . 41
2. Valor presente de una anualidad simple. 42
3. Cálculo del valor de la renta en la anualidad simple. 43
4. Cálculo de ´n´ anualidades vencidas. 45
5. Cálculo de ´n´ en función de P. 47

5
6. Cálculo de la tasa de interés implícita de una anualidad 48
ANUALIDADES ANTICIPADAS
1. Monto de una anualidad simple anticipada. 50
2. Valor presente de una anualidad simple. 52
3. Cálculo del valor de la renta en la anualidad simple. 52
3.1 Renta o imposición conociendo el valor futuro. 53
3.2 Renta o imposición conociendo el valor presente. 54
4. Cálculo de ´n´ anualidades vencidas. 55
6. Cálculo de la tasa de interés implícita de una anualidad 57
Bibliografía 65
Descuento
Definición. Es una cierta cantidad de dinero que se produce de
un documento comercial o del precio de algún bien cuando en vez
de cancelarse al vencimiento de un plazo establecido, se cancela
en una fecha anterior.
El descuento es la diferencia entre el valor nominal o monto (S) de
una deuda a su vencimiento y su importe recibido en el presente:
El descuento se clasifica de diferentes términos y conceptos
aplicados en el sistema financiero, comercial y mercantil.
𝐃 = 𝐒 − 𝐏 …(1)
0 nm
1 nk+1 ...
2 ... nk
P S
D=S-P
Clase de descuento
{
Racional {
Simple
Compuesto
Bancario {
Simple
Compuesto
Comercial {
Unitario
Sucesivo

6
𝐃 =
𝐏(𝟏 + 𝐢𝐧)𝐢𝐧
𝟏 + 𝐢𝐧
𝐃 =
𝐒𝐢𝐧
𝟏 + 𝐢𝐧
𝐃 = 𝐒 −
𝐒
𝟏 + 𝐢𝐧
𝐃 =
𝐒(𝟏 + 𝐢𝐧)
𝟏 + 𝐢𝐧
−
𝐒
𝟏 + 𝐢𝐧
𝐃 =
𝐒 +𝐒𝐢𝐧 − 𝐒
𝟏 +𝐢𝐧
𝐃 = 𝐒 −𝐏
𝐏 =
𝐒
𝟏 + 𝐢𝐧
1. Descuento Racional, Matemático o Verdadero
El descuento racional aplicado a un título de crédito que vence en
el futuro es el interés deducido anticipadamente calculado con la
tasa i sobre el importe que verdaderamente recibe el descontante;
este importe es el respectivo valor presente del monto del título.
De este modo, el interés y el descuento racional calculados para
el mismo momento o tiempo y aplicando la misma tasa produce
iguales resultados.
1.1 Descuento Racional Simple
Como sabemos que el interés y el descuento racional producen el
mismo resultado podemos decir que:
Remplazando :
Homogenizando tenemos:
Multiplicando:
Por lo tanto:
Equivalencia Del Descuento Racional Simple y el Interés
Simple.
Sea la fórmula del descuento simple:
Reemplazamos el monto S:
Simplificando el factor (1+in): 𝐃 = 𝐏 𝐢 𝐧
𝐃 =
𝐒𝐢𝐧
𝟏+𝐢𝐧
…(2)

7
Por lo tanto: 𝐃 = 𝐈
Por lo tanto el descuento racional simple sobre el valor nominal
valor futuro (S) produce el mismo resultado equivalente al
interés simple aplicado sobre su respectivo capital o valor
presente.
Ejemplo 1.- una letra de S/. 4000 con vencimiento el 30 de mayo
es descontada el 15 de mayo a una tasa de interés simple anual
del 36% ¿Cuál es el importe del descuento racional?
Solución:
D = ? Aplicando la fórmula:
S = 4000
i = 0.36 TNA <> 0.03 TND.
n = 15 días.
Ejemplo 2.- Una deuda de s/.40000 con vencimiento dentro de
75 días se descuenta hoy a una tasa nominal anual del 20%
calcule.
a) El descuento racional simple.
b) Su valor Presente.
c) El interés que se cobrará sobre el importe realmente
desembolsado.
Solución:
a) Cálculo del descuento.
D = ?
S = 40000
i = 0.20 TNA <>0.20/360 TND.
n = 75 días.
Aplicando la fórmula:
b) Cálculo el valor presente.
Aplicando la fórmula: 𝐏 = 𝐒(𝟏 + 𝐢𝐧)−𝟏
c) Cálculo del interés sobre el importe realmente
desembolsado.
𝐃 =
40000 × (
0.20
360
)75
1 + (
0.20
360
)75
= s/.1600
𝐏 = 40000 [1 + (
0.20
360
) × 75]
−1
= s/.38400
𝐃 =
𝐒𝐢𝐧
𝟏 + 𝐢𝐧
𝐃 =
4000 × 0.03 × 15
1 + 0.03 × 15
= s/.1241.379
𝐃 =
𝐒𝐢𝐧
𝟏 + 𝐢𝐧

8
Aplicando la fórmula: 𝐈 = 𝐏 𝐢 𝐧𝐈 = 38400× (
0.20
360
) × 75 = s/.1600
Ejemplo 3.- Calcular el valor nominal de una deuda con
vencimiento dentro de 55 días pagando una tasa nominal anual
del 26%. La deuda será descontada racionalmente a interés
simple y el importe neto requerido es de S/.5000.
Solución:
S = ?
P = 5000
i = 0.26 TNA <>0.26/360 TND.
n = 55 días.
Ejemplo 4.- Una empresa tiene dos obligaciones de S/.6000 y s/
8000 que vencen de 47 días y 65 días respectivamente si el
acreedor aplica una tasa anual de interés simple del 24% para la
letra a 47 días y del 36% para la letra a 65 días. ¿Cuál será el
pago total por ambas obligaciones si decide cancelarlos hoy?
Solución:
P = ?
S1 = 6000, n1=47 días, i1 =24% TNA. <> (24/360)% TNA
S2 = 8000, n2=65 días, i2 =36% TNA. <> (36/360)% TNA
Aplicando la fórmula: 𝐏 = 𝐒𝟏(𝟏 + 𝐢𝟏𝐧𝟏)−𝟏
+ 𝐒𝟐(𝟏 + 𝐢𝟐𝐧𝟐)−𝟏
P = s/.7058,168
Ejemplo 5.- El día de hoy, 18 de marzo, se descuentan 3 letras
cuyos valores nominales son de S/.7200, S/. 6000 y S/.8300
siendo los vencimientos el 19, 23 y 25 de abril respectivamente.
Calcule el importe total del descuento racional simple aplicado
una tasa de interés simple del 24% anual.
Solución:
P = ?
𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢𝐧) = 5000[1 + (
0.26
360
) × 55] = 𝑠/.5198,611
P = 6000[1 + (
24
360
)47]
−1
+ 8000[1 + (
36
360
)65]
−1

9
S1 = 7200, n1=22 días
S2 = 6000, n2=36 días
S3 = 8300, n3=38 días
i =24% TNA. <> (36/360)% TNA
𝐏 = 𝐒𝟏(𝟏+ 𝐢𝐧𝟏)−𝟏
+ 𝐒𝟐(𝟏 + 𝐢𝐧𝟐)−𝟏
+ 𝐒𝟑(𝟏 + 𝐢𝐧𝟑)−𝟏
P = s/7032,6814
1.2 Descuento Racional Compuesto
Sea el descuento racional simple: 𝐃 = 𝐒 − 𝐏
Sabemos que el capital es: 𝐏 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝐧
Reemplazamos y tenemos: 𝐃 = 𝐒 − 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝐧
Factorizando S:
Equivalencia Del Descuento Racional Compuesto y el Interés
Compuesto.
Sea la fórmula del descuento simple: 𝐃 = 𝐒[𝟏− (𝟏 + 𝐢)−𝐧
]
Reemplazamos el monto S: 𝐃 = 𝐏(𝟏+ 𝐢)𝐧
[𝟏− (𝟏 + 𝐢)−𝐧
]
multiplicando: 𝐃 = 𝐏[(𝟏+ 𝐢)𝐧
− (𝟏 + 𝐢)𝐧(𝟏 + 𝐢)−𝐧
]
𝐃 = 𝐏[(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏]
Por lo tanto: 𝐃 = 𝐈
Por lo tanto el descuento racional compuesto sobre el valor
nominal valor futuro (S) produce el mismo resultado equivalente
al interés compuesto aplicado sobre su respectivo capital o valor
presente.
𝐃 = 𝐒[𝟏 − (𝟏 + 𝐢)−𝐧
] …(3)
P = 7200[1 + (
24
360
)22]
−1
+ 6000 [1 + (
24
360
)36]
−1
+ 8300[1 + (
24
360
)38]
−1

10
Ejemplo 6.- Calcule el descuento racional compuesto a
practicarse a un pagaré con valor nominal de S/.3000 y
vencimiento a 50 días con una tasa efectiva mensual del 3%.
Solución:
D = ?
S = 3000
i = 0.03 TEM.
n = 50 días
Aplicando la fórmula: 𝐃 = 𝐒[𝟏− (𝟏 + 𝐢)−𝐧
]
𝐃 = 𝟑𝟎𝟎𝟎[𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟑)−
𝟓𝟎
𝟑𝟎]
𝐃 = 𝐬/. 𝟏𝟒𝟒, 𝟐𝟏𝟑
Ejemplo 7.- Calcule el descuento racional compuesto a
practicarse hoy, a una letra con valor nominal de S/.15000 la
cual vence dentro de 42 días. La tasa activa vigente es 1.5%
efectiva mensual.
Solución:
D = ?
S = 15000
i = 0.015 TEM.
n = 42
Aplicando la fórmula: 𝐃 = 𝐒[𝟏 − (𝟏 + 𝐢)−𝐧
]
𝐃 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 [𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟓)−
𝟒𝟐
𝟑𝟎] = 𝐬/. 𝟑𝟎𝟗, 𝟒𝟐𝟓
Ejemplo 8.- ¿Por qué monto deberá aceptarse un pagaré con
vencimiento a 90 días, para descontarlo racionalmente hoy si se
requiere disponer un importe de S/.13000? Utilice una tasa
efectiva mensual del 3%.
Solución:
S = ?
P = 13000
n = 90 días <> 3 meses.
i = 0.03 TEM.
a) Calculando el valor nominal
Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐧
𝐒 = 𝟏𝟑𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟑)𝟑
= 𝐬/. 𝟏𝟒𝟐𝟎𝟓, 𝟒𝟓𝟏

11
b) Calculando el descuento
]
𝐃 = 𝟏𝟒𝟐𝟎𝟓, 𝟒𝟓𝟏[𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟑)−𝟑] = 𝐬/. 𝟏𝟐𝟎𝟓, 𝟒𝟓𝟏
Ejemplo 9.-Una empresa comercializadora de insumos químicos
ha efectuado compras de mercaderías por un importe de S/85000
incluido el 18% de impuesto general a las ventas (IGV). ¿Qué
importe de la factura puede utilizar para el crédito fiscal?
Solución:
D = ?
S = 85000
i = 0.18
n = 1
]
𝐃 = 𝟖𝟓𝟎𝟎𝟎[𝟏− (𝟏 + 𝟎. 𝟏𝟖)−𝟏] = 𝐬/. 𝟏𝟐𝟗𝟔, 𝟔𝟏𝟎
Descuento Racional Compuesto Dk Devengado en Cada
Período de Descuento
En una operación de descuento compuesto, los importes de los
descuentos practicados al valor nominal del documento decrecen
geométricamente en cada período de descuento. En este caso
surge cual
.
.
D1 = S − S(1 + i)−1
= S(1 + i)−1(1 + i − 1) = S i (1 + i)−1
D2 = S i (1+ i)−1
− S(1 + i)−2
= S(1 + i)−2(1 + i − 1) = S i (1 + i)−2
D3 = S i (1+ i)−2
− S(1 + i)−3
= S(1 + i)−3(1 + i − 1) = S i (1 + i)−3
Dn = S i (1 + i)−(n−1)
− S(1+ i)−n
= S(1 + i)−n(1 + i − 1) = S i (1+ i)−n
…
n n-1 … 3 2 1 0
Dn … D3 D2 D1 S
𝐏𝐧 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝐧
𝐏𝟑 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝟑 𝐏𝟐 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝟐 𝐏𝟏 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝟏
. . .

12
.
Por lo tanto para en un periodo K el respectivo descuento DK
puede calcularse con la siguiente fórmula.
Ejemplo 10.- un pagaré cuyo valor nominal es S/.7000 y cuya
fecha de vencimiento es el 30 de abril fue descontado faltando
150 días para su vencimiento, aplicando una tasa efectiva
mensual del 4%. Calcule su valor presente y el descuento
matemático realizado en cada período de 30 días.
Solución:
a) Calculando el valor presente
𝐏 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝐧
= 𝟕𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒)−𝟓
= 𝟓𝟕𝟓𝟑, 𝟒𝟖𝟗
b) Calculando los descuentos periódicos
Aplicando la fórmula: 𝐃𝐊 = 𝐒 𝐢 (𝟏 + 𝐢)−𝐊
Si k = 1 ⇒ D1 = 7000× 0.04 × (1 + 0.04)−1
= 269,231
Si k = 2 ⇒ D2 = 7000× 0.04 × (1 + 0.04)−2
= 258,875
Si k = 3 ⇒ D3 = 7000× 0.04 × (1 + 0.04)−3
= 248,919
Si k = 4 ⇒ D4 = 7000× 0.04 × (1 + 0.04)−4
= 239,345
Si k = 5 ⇒ D5 = 7000 × 0.04× (1 + 0.04)−5
= 230,139
En la siguiente tabla muestra los descuentos mensuales y
acumulados
𝐃𝐊 = 𝐒 𝐢 (𝟏 + 𝐢)−𝐊
…(4)
150 días 120 90 60 30 0
D5 D4 D3 D2 D1 S=7000
𝐏𝟓 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝟓
𝐏𝟑 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝟑
𝐏𝟐 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝟐 𝐏𝟏 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝟏
𝐏𝟒 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝟒
Fecha Días Valor presente
Descuento
mensual
Descuento
acumulado
30-04 0 S=7000 0,000 0,000
30-05 30 P1= 6730,769 269,231 269,231
29-06 60 P2= 6471,893 258,875 528,106
28-07 90 P3= 6222,975 248,919 777,025
27-08 120 P4= 5983,629 239,345 1016,371
26-09 150 P5= 5753,489 230,139 1246,510

13
Comprobando el descuento total que debe de ser igual al
descuento acumulado total.
Aplicaremos la fórmula: 𝐃 = 𝐒[𝟏 − (𝟏 + 𝐢)−𝐧]
𝐃 = 𝟕𝟎𝟎𝟎[𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒)−𝟓
]
𝐃 = 𝐬/. 𝟏𝟐𝟒𝟔, 𝟓𝟏𝟎
2. Descuento Bancario
El descuento bancario constituye el interés calculado sobre el
valor nominal o valor futuro (S) de un título o valor, importe a
deducir del monto del documento para encontrar su valor líquido,
el cual va a representar el verdadero importe financiero. La tasa
de interés aplicada es conocida como tasa adelantada o tasa de
descuento “d”, la cual se diferencia de la tasa vencida “i” en que
ésta se aplica sobre P, y aquella sobre S. lo que origina un
importe líquido menor al valor presente del documento.
2.1 Descuento Bancario Simple
El descuento bancario simple es el producto del valor nominal del
documento, la tasa del descuento y el número de periodos que
falta para el vencimiento de la operación.
Como el descuento racional simple es equivalente al interés
simple se aplica la fórmula 𝐈 = 𝐏 𝐢 𝐧 , donde valor nominal “S” es
P y la tasa de descuento “d” es i por lo tanto el descuento
bancario tiene la siguiente forma matemática.
D S
d
P n
1 2 ...
0

14
De la fórmula (5) se obtiene:
Ejemplo 11.- Calcule el descuento bancario simple al 1 de julio,
sobre un documento con valor nominal de s/.3800 y fecha de
vencimiento el 20 de agosto, si la tasa mensual de descuento
simple aplicado es del 3.6%.
Solución:
D = ?
S = 3800
d = 0.036
n = 51 días
Aplicando la fórmula: 𝐃 = 𝐒 𝐝 𝐧
𝐃 = 3800× 0.036× (
51
30
) = s/.232,56
Ejemplo 12.- Determine el valor nominal de un pagaré cuyo
importe del descuento bancario ha sido S/.1000. la operación se
ha efectuado con una tasa anual de descuento simple del 24% en
un período de 65 días.
Solución:
S = ?
D = 1000
d = 0.24 anual
n = 65 días
Ejemplo 13.-Calcule la tasa de descuento bancario mensual
simple aplicada a un pagaré de valor nominal de S/.1200 y cuyo
descuento ha sido S/300 en un tiempo de 60 días.
Solución:
d = ?
S = 1200
D = 96
n = 60 días
𝐃 = 𝐒 𝐝 𝐧 …(𝟓)
𝐒 =
𝐃
𝐝𝐧
…(6) 𝐝 =
𝐃
𝐒𝐧
…(7) 𝐧 =
𝐃
𝐒𝐝
…(8)
𝐒 =
𝐃
𝐝𝐧
=
1000
(
0.24
360
) × 65
= s/.23076,923
𝐝 =
𝐃
𝐒𝐧
=
96
1200 × (
60
30
)
= 0.04 = 4% mensual

15
Ejemplo 14.- ¿Cuántos meses falta para el vencimiento de una
letra de S/.4000 si se recibió s/.3910, después de haberla
descontado a una tasa anual de descuento simple del 18%?
Solución:
n = ?
S = 4000
D = 90
d = 0.18 anual.
Cálculo Del Valor Líquido (P)
Sea: 𝐃 = 𝐒 − 𝐏
Como 𝐃 = 𝐒 𝐝 𝐧 entonces: 𝐒 𝐝 𝐧 = 𝐒 − 𝐏
Despejando P: 𝐏 = 𝐒 − 𝐒𝐝𝐧
Factorizando S:
El valor liquido de un título o valor descontado bancariamente, es
el importe que recibe el descontante por el documento. En una
operación de descuento bancario, el valor líquido es menor a su
respectivo valor presente, porque ha sido obtenido aplicado una
tasa anticipada sobre el monto o valor nominal del documento, el
cual necesariamente es mayor al importe realmente recibido por
el descontante.
Ejemplo 15.- Una institución financiera carga una tasa de
descuento bancario simple del 12% anual en sus operaciones. Si
la empresa GAMA S.A. acepta un pagaré de S/.6000 con
vencimiento a 70 días ¿Qué importe líquido recibirá del banco al
descontarlo?
Solución:
n = ?
S = 6000
𝐧 =
𝐃
𝐒𝐝
=
90
4000 × (
0.18
12
)
= 1,5 meses
𝐏 = 𝐒(𝟏 − 𝐝𝐧) …(9)
𝐏 = 𝐒(𝟏 − 𝐝𝐧) = 6000[1 − (
0.12
360
)70] = 𝑆/.5860
1
P S
D
n
2 ...
0

16
n = 70 días.
d = 0.12 anual
Cálculo Del Valor Nominal (S)
Despejando S de la fórmula (9) tenemos:
O también se puede expresar:
Ejemplo 16.-¿Cuál ha sido el valor nominal de una letra, la cual
descontada 37 días antes de su vencimiento a una tasa de
descuento bancario simple mensual del 2% ha permitido obtener
un valor líquido de S/.6700?
Solución:
S = ?
P = 6700
n = 37 días.
d = 0.02 mensual.
Descuento Bancario Compuesto
El descuento bancario compuesto consiste en una serie de
cálculos de descuentos simples donde, en primer término, se
aplica el descuento por un período sobre el valor nominal de la
deuda a su vencimiento, encontrado su valor líquido final del
primer período (evaluando de derecha a izquierda), o al comienzo
del segundo período. A este valor obtenido se aplica el descuento
por segunda vez encontrando a su valor líquido pagadero dentro
de dos periodos y así sucesivamente para todos los periodos en la
línea de tiempo comprendido entre la fecha que se hace efectivo el
abono del importe líquido del documento y la fecha del
vencimiento de la deuda.
𝐒 = 𝐏 [
𝟏
𝟏−𝐝𝐧
] …(10)
𝐒 = 𝐏(𝟏 − 𝐝𝐧)−𝟏
…(11)
𝐒 = 𝐏(𝟏 − 𝐝𝐧)−𝟏
= 6700[1 − (
0.02
30
)37 ]
−1
= s/.6869,446

17
Cálculo del Valor Líquido (P)
.
.
.
Ejemplo 17.- Calcule el valor líquido que obtendrá una letra de
S/.5000, descontada mensualmente aplicando una tasa de
descuento bancario compuesto del 1,5% mensual faltando 52
días para su vencimiento.
Solución:
P = ? Aplicado la fórmula:
S = 5000
n = 52 días.
d = 0.015 mensual.
Ejemplo 18.- Calcule el importe líquido a disponer hoy (19 de
enero), por 2 letras de S/.4500 y S/.7800 con vencimientos el 20
y 26 de febrero respectivamente. El banco las ha descontado a
una tasa de descuento bancario compuesto del 2% mensual.
Solución:
P = ?
P1 = S − S𝐝 = S(1 − 𝐝)
P2 = P1 − P1𝐝 = P1 (1 − 𝐝) = S(1 − 𝐝)(1− 𝐝) = S (1 − 𝐝)2
P3 = P2 − P2𝐝 = P2 (1 − 𝐝) = S (1− 𝐝)2(1− 𝐝) = S(1 − 𝐝)3
Pn = Pn−1 − Pn−1𝐝 = Pn−1 (1− 𝐝) = S (1 − 𝐝)n−1(1 − 𝐝) = S(1 − 𝐝)n
…
𝐏 = 𝐒(𝟏 − 𝐝)𝐧
…(12)
. . .
n n-1 … 3 2 1 0
d … d d d S
𝐏 = 𝐏𝐧 = 𝐏𝐧−𝟏 − 𝐏𝐧−𝟏𝐝 𝐏𝟑 = 𝐏𝟐 − 𝐏𝟐𝐝 𝐏𝟐 = 𝐏𝟏 − 𝐏𝟏𝐝 𝐏𝟏 = 𝐒 − 𝐒𝐝
𝐏 = 𝐒(𝟏 − 𝐝)𝐧
= 5000[1− 0.015 ]
52
30 = s/.4870,716

18
S1 = 4500, n1 =32 días.
S2 = 7800, n2 =38 días.
d= 0.02 mensual.
f = 30
Ejemplo 19.- Un pagaré con valor nominal de s/.5000 y que
vence dentro de 4 meses, ha sido descontado bancariamente
aplicando una tasa de descuento anual con período de descuento
mensual del 36% para el primer mes y del 48% para los últimos 3
meses. ¿Cuál será su valor líquido?
Solución:
P2 = ?
S1 = 5000
d1 = 0.03 mensual, n1 = 1 mes.
d2 = 0.04 mensual, n2 = 3 meses.
Cálculo del Valor Nominal
Despejando S de la ecuación (12)
𝐏 = 𝐒𝟏(𝟏 − 𝐝)
𝐧𝟏
𝐟 + 𝐒𝟐(𝟏 − 𝐝)
𝐧𝟐
𝐟
𝐏 = 5000(1− 0.02)
32
30 + 7800(1 − 0.02)
38
30
𝐏 = S/.12006,99
𝐏 = 𝐒(𝟏 − 𝐝𝟏)𝐧𝟏(𝟏 − 𝐝𝟐)𝐧𝟐
𝐏 = 5000(1− 0.03)1
(1− 0.04)3
= s/.4290,9696
P S=5000
0
0
1 2 3 meses
d1=3% d2=4%
𝐒 = 𝐏(𝟏 − 𝐝)−𝐧
…(13)

19
Ejemplo 20.-¿Cuál será el valor nominal de un pagaré con
vencimiento a 60 días a descontarse hoy, si se requiere obtener
un importe líquido de s/.20000 ?. Sí la tasa de nominal anual es
9% con período de descuento mensual?
Solución:
S = ?
P = 20000
n = 60 días <> 2 meses
d = 0.09 anual.
Aplicado la fórmula:
Ejemplo 21.- El financiamiento de un auto cuyo precio de
contado es de $10000 la institución financiera exige al cliente
una cuota inicial de $4000, un pago adelantado de $1000 y una
letra a 90 días por $5312,41 en la cual le han cargado una tasa
de descuento bancario compuesto mensual del 2% si el cliente
solicita que el importe de los $1000 se incluya en la letra a 90
días ¿Cuál será el nuevo valor nominal de la letra?
Solución:
S = ?
P = 6000
n = 90 días <> 3 meses
d = 0.02 mensual.
Ejemplo 22.- Determine el tiempo que falta para el vencimiento
de una letra de S/.5000, la que descontada bancariamente a una
tasa de descuento del 12% anual liquidado los descuentos
mensualmente, ha producido un valor líquido de S/.4938,40.
Solución:
n = ?
S = 5000
P = 4938,40
d = 0.12 anual <> 0.01mensual
Cálculo del descuento bancario compuesto
𝐒 = 𝐏(𝟏 − 𝐝)−𝐧
= 20000(1− 0.09/12)−2
= s/.20303,41
𝐒 = 𝐏(𝟏 − 𝐝)−𝐧
= 6000(1− 0.02)−3
= s/.6374,89
𝐧 =
𝐋𝐨𝐠(
𝐏
𝐒
)
𝐋𝐨𝐠(𝟏 − 𝐝)
=
Log(
4938,40
5000
)
Log(1 − 0.01)
= 1,234 ≈ 37 𝑑í𝑎𝑠

20
Sea: 𝐃 = 𝐒 − 𝐏
𝐃 = 𝐒 − 𝐒(𝟏− 𝐝)𝐧
Factorizando S se tiene:
Ejemplo 23.-Halle el descuento bancario compuesto de una letra
cuyo valor nominal es de S/.5000 y vence dentro de 130 días. La
tasa nominal anual es de 24% con periodo de descuento mensual.
Solución:
D = ?
S = 5000
n = 130 días
d = 0.24 anual <>0.02 mensual.
𝐃 = 𝐒/. 𝟒𝟏𝟗. 𝟏𝟏
Ejemplo 24.- Un pagaré con valor nominal de S/.7000 se somete
a descuento bancario compuesto aplicado una tasa del 36%
anual con período de descuento mensual, 3 meses antes de su
vencimiento. Calcule los descuentos de cada mes. Prepare el
cuadro de los descuentos periódicos.
Ejemplo 25.- Calcule el descuento bancario compuesto efectuado
en una letra con valor nominal de S/.2500 faltando 37 días para
su vencimiento, si a este título- valor se le aplicó una tasa anual
del 18% con período de descuento cuatrimestral.
Ejemplo 26.- Un pagaré con valor nominal de S/.9000 se somete
a descuento bancario compuesto aplicado una tasa del 66%
anual con período de descuento mensual, 3 meses antes de su
vencimiento. Calcule los descuentos de cada mes. Prepare el
Ejemplo 27.- Calcule el descuento bancario compuesto efectuado
en una letra con valor nominal de S/.8500 faltando 156 días para
𝐃 = 𝐒[𝟏 − (𝟏 − 𝐝)𝐧] …(14)
𝐃 = 𝐒[𝟏 − (𝟏 − 𝐝)𝐧] = 𝟓𝟎𝟎𝟎[𝟏 − (𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟐)
𝟏𝟑𝟎
𝟑𝟎 ]

21
su vencimiento, si a este título- valor se le aplicó una tasa anual
del 48% con período de descuento cuatrimestral.
Ejemplo 28.- Un pagaré con valor nominal de S/.10000 se
somete a descuento bancario compuesto aplicado una tasa del
36% anual con período de descuento mensual, 4 meses antes de
su vencimiento. Calcule los descuentos de cada mes. Prepare el
Descuento Bancario Compuesto Dk Devengado en Cada
Período de Descuento
En una operación de descuento Bancario compuesto es posible
calcular el descuento bancario compuesto DK devengado de cada
período de descuento. Para un período K cualquiera, su
respectivo descuento DK puede calcularse con la siguiente
fórmula:
Aplicando la formula (5) D = S d n ; si n = 1
.
.
.
.
Por lo tanto para en un periodo K el respectivo descuento DK
puede calcularse con la siguiente fórmula.
𝐃𝐊 = 𝐒𝐝 (𝟏− 𝐝)𝐊−𝟏
…(15)
D1 = Sd1 = Sd
D2 = S (1− d).d. 1 = S(1 − d)d
D3 = S (1− i)2
. d .1 = S(1 − d)2
d
Dn = S (1 + i)n−1
d
…
n n-1 … 3 2 1 0
Dn … D3 D2 D1 S
𝐏𝐧 = 𝐒(𝟏 − 𝐝)𝐧
𝐏𝟑 = 𝐒(𝟏 − 𝐝)𝟑 𝐏𝟐 = 𝐒(𝟏 − 𝐝)𝟐 𝐏𝟏 = 𝐒(𝟏 − 𝐝)
. . .

22
Ejemplo 28.- Un pagaré cuyo valor nominal es de S/4000 y cuya
fecha de vencimiento es el 29 de noviembre fue descontado
bancariamente faltando 150 días para su vencimiento, aplicado
una tasa anual de descuento del 60% con período de descuento
mensual. Calcule su valor líquido y el descuento realizado en
cada periodo de 30 días.
Ejemplo 29.- Un pagaré cuyo valor nominal es de S/.3000 fue
descontado faltando 180 días para su vencimiento, aplicando una
tasa nominal adelantada del 48% con capitalización mensual.
Calcule el descuento bancario realizado en el tercer y quinto mes.
Tasas de Interés
Introducción.-Una tasa “T” es la razón de la diferencia de dos
cantidades de la misma especie en la cual una de ellas es tomada
como base, la misma que debe ser necesariamente el sustraendo
de la diferencia. Designando “C0”a la base y “Cn” a la otra
cantidad referida a la base, podeos expresar la tasa “T” como:
𝐓 =
𝐂𝐧 − 𝐂𝟎
𝐂𝟎
=
𝐂𝐧
𝐂𝟎
− 𝟏
Una tasa “T” refleja una variación en forma neta, mientras que un
índice de variación “In” refleja la relación existente entre las
cantidades.
Las tasas se expresan en tanto porciento (%).
Ejemplo 01.- La compañía Líder al 30 de setiembre y 31 de
octubre ha registrado ventas de S/.8000 y S/.9200
respectivamente y su producción para el mismo período ha sido
5000 y 4800 unidades. Tomando como base el 30 de setiembre
calcule los índices y las tasas de variación de ventas y
producción.
Solución:
𝐓 =
𝐂𝐧
𝐂𝟎
− 𝟏 … (1)
𝐈𝐧 =
𝐂𝐧
𝐂𝟎
… (2)

23
a) Índice de variación de ventas Iv, índice de variación de
producción Ip.
𝐈𝐯 =
9200
8000
= 1.15 𝐈𝐩 =
5000
4800
= 1.042
“Iv” indica que en setiembre se han vendido en unidades
monetarias el 115% con relación a octubre, mientras la
producción alcanzó sólo 104.2%
b) Tasa de variación de ventas “Tv”, tasa de variación de
producción “Tp”.
𝐓𝐯 =
9200
8000
− 1 = 0.15 𝐓𝐩 =
4800
5000
− 1 = 0.042
“Tv” indica que la tasa de crecimiento del 15% en ventas y un
decrecimiento del 4.2% en producción.
Tasa de interés
Aplicando la definición de tasa, lasa de interés “i” que refleja la
variación de un capital “P” el que se ha convertido en un monto
“S” después de un período de tiempo es igual a:
Sea el monto en “1” período: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)
Despejando tenemos: 𝐢 =
𝐒
𝐏
− 𝟏
Como el interés: I=S-P se puede obtener:
En relación a las tasas de interés, el Banco Central de Reserva del
Perú de acuerdo con su ley orgánica, Decreto Ley 26123 de
29.12.92 tiene las siguientes atribuciones y obligaciones:
Artículo 51: El Banco establece de conformidad con el Código
Civil, las tasas máximas de interés compensatorio, moratorio y
𝐢 =
𝐈
𝐏
… (4)
𝐢 =
𝐒
𝐏
− 𝟏 … (3)

24
legal, para las operaciones ajenas al sistema financiero. Las
mencionadas tasas, así como el índice de reajuste de deudas y las
tasas de interés para las obligaciones de sujetas a este sistema,
deben guardar relación con las tasas de interés prevalecientes en
las entidades del sistema financiero.
Artículo 52: El Banco propicia que las tasas de interés de las
operaciones del sistema financiero sean determinadas por la libre
competencia, dentro de las tasas máximas que fije para ello en
ejercicio de sus atribuciones.
Excepcionalmente, el Banco tiene la facultad de fijar tasas de
interés máximas y mínimas con el propósito de regular el
mercado.
En el sistema financiero los productos transados son colocaciones
y captaciones, cuyo costo denominado tasa de interés se fija de
acuerdo a las reglas del mercado, bajo la regulación y supervisión
de organismos especializados, creados de acuerdo a ley.
Existe una terminología muy variada para designar las diversas
tasas de interés vigentes en el sistema financiero, muchas de
ellas representando el mismo concepto a pesar de tener diferentes
denominaciones. Trataremos de agrupar, clasificar y definir esas
tasas, en función de algún elemento común que las une.
Clasificación de las tasas
Activa
Pasiva
Según el balance bancario
Nominal y proporcional
Efectiva y equivalente
Por el efecto de la capitalización
Vencida
Adelantada
Según el momento
Compensatoria
Moratoria
Tasa de interés total en mora
De acuerdo al cumplimiento de la
obligación
TAMN Tasa Activa Moneda Nacional
TAMEX Tasa Activa Moneda
Extranjera
Según el tipo de moneda
TIPMN Tasa de interés pasiva de MN
TIPMEX Tasa de interés pasiva de
ME
De inflación
Real
Corregida por inflación
Considerando la pérdida del poder
adquisitivo
Discreta
Continua
Por el tipo de capitalización
Explícita
Implícita
De acuerdo a su anuncio en la operación
Tasa de interés Legal
Tasa de interés Moratorio TIM
Para operaciones no financieras

25
1. Tasa Activa.
Son operaciones activas todas aquellas formas técnicas mediante
las cuales los Bancos utilizan o aplican los fondos recolectados y
cuyos montos quedan expresados en los distintos rubros del
activo de sus balances: fondos disponibles, colocaciones,
inversiones, otras cuentas del activo. Se puede decir también que
son operaciones activas todas aquellas formas técnicas por las
cuales los Bancos mantienen disponible, colocan o invierten los
fondos provenientes de sus operaciones pasivas.
La tasa activa, expresada generalmente en términos efectivos, se
aplica a las colocaciones efectuadas por los pagos e instituciones
financieras a sus clientes por créditos de corto mediano y largo
plazo.
2. Tasa Pasiva.
Son operaciones pasivas todas aquellas formas técnicas
mediante las cuales las instituciones del sistema financiero
captan fondos directamente de los depositantes o indirectamente
a través de otras instituciones de crédito.
La tasa pasiva corresponde básicamente a las captaciones que se
efectúan del público a través de cuentas corrientes, depósitos
aplazo, depósitos de ahorro, emisiones de bonos y de certificados.
Las tasas pasivas aplicadas por las instituciones del sistema
financiero a los usuarios finales se expresan generalmente en
términos nominales y con frecuencia de capitalización
determinada.
3. Tasa Nominal y tasa Proporcional.
Se dice que una tasa es nominal cuando:
a) Se aplica directamente a operaciones de interés simple.
b) Es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse)
“ j/m” veces un año, para ser expresada en otra unidad de tiempo
equivalente, en el interés simple; o como unidad de medida para
ser capitalizada “n” veces en operaciones a interés compuesto.
Donde “m” es el número de capitalizaciones en el año de la tasa
nominal anual.

26
La proporcionalidad, de la tasa nominal anual “j” puede
efectuarse directamente a través de una regla d tres simple
considerando el año bancario de 360 días.
Por ejemplo: ¿Cuál será la tasa proporcional diaria y mensual
correspondiente a una tasa nominal anual del 36%?
Solución: la tasa diaria (36%)/360=0.001%diario.
la tasa mensual (36%)/12=0.03%mensual.
4. Tasa Efectiva.
La tasa efectiva “i” es el verdadero rendimiento que produce un
capital inicial en una operación financiera y, para un plazo mayor
a un periodo de capitalización, puede obtenerse a partir de una
tasa nominal anual “j” capitalizable “m” veces en el año.
Tasa Efectiva Anual.-La tasa efectiva anual “i” es aquella que
genera el mismo monto que la tasa nominal “j” capitalizable “m”
veces al año durante el plazo que dure el depósito, supongamos
“n” años así:
El monto de “P” después de “n” años a la tasa efectiva “i” por año
será:
𝐒 = 𝐏(𝟏+ 𝐢)𝐧
Después del mismo plazo, “n” años, el monto a la tasa “j”
capitalizable “m” veces al año será:
𝐒 = 𝐏 (𝟏 +
𝐣
𝐦
)
𝐧×𝐦
Nota: recomendable que “j” sea TNA o convertírtelo.
Dado que los montos son los mismos los segundos miembros son
iguales.
𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐧
= 𝐏 (𝟏 +
𝐣
𝐦
)
𝐧×𝐦
Por lo tanto: 𝐢 = (𝟏 +
𝐣
𝐦
)
𝐦
− 𝟏 … (5)

27
Para hallar la tasa nominal “j” se aplica la siguiente fórmula:
Ejemplo 02.- Calcule la TEA equivalente a una TNA del 24%
capitalizable mensualmente.
Solución:
i = ? TEA
j = 0.24
m =12
Aplicando la fórmula: 𝐢𝐓𝐄𝐀 = (𝟏 +
𝐣
𝐦
)
𝐦
− 𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟔𝟖𝟐
Ejemplo 03.- Calcule la TEA equivalente a una TNA del 24%
capitalizable trimestralmente.
Solución:
i = ? TEA
j =0.24
m =4
𝐣
𝐦
)
𝐦
− 𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟔𝟐𝟒
Ejemplo 04.- Calcule la TET a partir de una TNA del 36%
capitalizable mensualmente.
Solución:
i = ? TET
j = 0.36
m = 12
n = 3
Aplicando la fórmula: 𝐢𝐓𝐄𝐓 = (𝟏 +
𝐣
𝐦
)
𝐧
− 𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟗𝟐𝟕
Ejemplo 05.- Si la TNM es del 2% y el Periodo de capitalización
mensual ¿Cuál es la tasa efectiva? a) Trimestral, b) de 8 meses y
c) de14 meses.
𝐣 = 𝐦 × [(𝟏+ 𝐢)𝟏/𝐦
− 𝟏] …(6)

28
Solución:
𝐢𝐓𝐄 = ?
j =
Aplicando la fórmula: 𝐢 = (𝟏 + 𝐣)𝐧
− 𝟏
𝐚) iTET = 0.61208
𝐛) iTE 8−meses = 0.17166
𝐜) iTE14−meses = 0.31948
Ejemplo 06.- Calcule la TEA que producirá una TNM del 2% que
se capitaliza trimestralmente.
Solución:
i = ? TEA
j = 0.02
Aplicando la fórmula: 𝐢𝐓𝐄𝐀 = (𝟏 + 𝐣𝐦)𝐧
− 𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟔𝟐𝟓
Ejemplo 07.- Las acciones de la Compañía Omega han tenido
una rentabilidad del 17% durante 15 días, calcule la rentabilidad
mensual.
Solución:
i = ? TEM
j = 0.17
Aplicando la fórmula: 𝐢𝐓𝐄𝐌 = (𝟏 + 𝐣)𝐧
− 𝟏 = 𝟎. 𝟑𝟔𝟖𝟗
Ejemplo 08.- Una operación financiera produjo una tasa de
rentabilidad efectiva del 1.5% en 10 días. ¿Cuál será la tasa de
rentabilidad proyectada efectiva mensual?
Solución:
i = ? TEM
j = 0.015
Aplicando la fórmula: 𝐢𝐓𝐄𝐌 = (𝟏 + 𝐣)𝐧
− 𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟔𝟖
Ejemplo 09.- ¿Cuál será la tasa efectiva ganada en un depósito a
plazo pactado a una TNA del 18% con capitalización diaria
durante 128 días?

29
Solución:
i = ? TE
j = 0.18
Aplicando la fórmula: 𝐢𝐓𝐄 = (𝟏 +
𝐣
𝐦
)
𝐧
− 𝟏 = 𝟎.𝟎𝟔𝟔
Ejemplo 10.- ¿Cuál será la TET si la TNA para los depósitos a
plazo que pagan los bancos es de 24% y la frecuencia de
capitalización diaria?
Solución:
i = ? TET
j = 0.24
Aplicando la fórmula: 𝐢𝐓𝐄𝐓 = (𝟏 +
𝐣
𝐦
)
𝐧
− 𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟗𝟖
Ejemplo 11.- Hallar el monto de S/.1000 TNA de 20%,
capitalizable trimestralmente después de 5 años.
a) Utilizando la tasa nominal. b) Utilizando la tasa efectiva.
Solución:
a) j =
Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐣)𝐧
= 𝟐𝟒𝟖𝟖. 𝟑𝟐
b) i = ? TEA
j =0.20
m =4
𝐣
𝐦
)
𝐦
− 𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟏𝟓𝟓𝟏
Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏+ 𝐢𝐓𝐄𝐀)𝐧
= 𝟐𝟔𝟓𝟑
Ejemplo 12.-Hallar la TNA que da como resultado el 62.25625%
capitalizándose semestralmente.
Solución:
j = ? TNA.
i = 62.25625%
m=2
Aplicando la fórmula: 𝐣 = 𝐦 × [(𝟏 + 𝐢)𝟏/𝐦
− 𝟏] = 𝟎. 𝟓𝟒𝟕𝟔

30
Ejemplo 13.- Calcule la TNA capitalizable trimestralmente
equivalente a una TEA del 12%.
Solución:
j = ? TNA.
i = 12%
m=4
Aplicando la fórmula: 𝐣 = 𝐦 × [(𝟏+ 𝐢)𝟏/𝐦
− 𝟏] = 𝟎. 𝟏𝟏𝟓
Ejemplo 14.- Si la TEA es 30%, ¿Cuál es su TNA con
capitalización mensual?
Solución:
j = ? TNA.
i = 30%
m=12
− 𝟏] = 𝟎. 𝟐𝟔𝟓
Ejemplo 15.- Por las ventas a crédito a 60 días una empresa
carga una tasa efectiva del 12.36%. ¿Qué tasa nominal bimestral
con capitalización mensual debe cargar al precio de contado?
Solución:
j = ? TNB.
i = 12.36%
m=2
− 𝟏] = 𝟎. 𝟏𝟐
Ejemplo 16.- ¿Cuál será la TNS con capitalización trimestral,
equivalente a una TEA del 36%?
Solución:
j = ? TNS.
i = 36%
m=4
n=2
Aplicando la fórmula: 𝐣 = 𝐦 × [(𝟏 + 𝐢)𝟏/𝐧
− 𝟏] = 𝟎. 𝟔𝟔𝟒𝟖
Ejemplo 17.- Convertir la TEM del 5% a TNA para un préstamo
que se amortiza cada 90 días.
Solución:

31
j = ? TNA.
i =0.05
Primero hallar la equivalencia de la TEM para cada 90 días o
cada 3 meses:
Aplicando la fórmula: 𝐢𝐓𝐄𝐓 = (𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟓𝟕𝟔𝟐𝟓
Segundo hallar la equivalencia de la TET para el año o la TEA:
Aplicando la fórmula: 𝐢𝐓𝐄𝐀 = (𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏 = 𝟎. 𝟕𝟗𝟓𝟗
Tercero hallaremos la TNA equivalente:
− 𝟏] = 𝟎. 𝟎𝟒𝟖𝟗
5.- Tasas equivalentes.
Dos o más tasas son equivalentes, si dan el mismo monto para
un mismo capital a un mismo plazo. Así, la tasa efectiva anual
“i”, es equivalente a la tasa
𝐣
𝐦
por periodo de capitalización.
Por ejemplo, la tasa efectiva 𝟎. 𝟐𝟏𝟓𝟓𝟎𝟔𝟐𝟓 anual es equivalente a
𝟎.𝟐𝟎
𝟒
trimestralmente (ver ejemplo 10), ya que en un mismo plazo
producen un mismo monto.
En la práctica comercial y empresarial, sin embargo, se requiere
saber muchas veces las tasas efectivas equivalentes a periodos de
capitalización distinta al utilizado por una institución financiera
cualquiera.
Puede darse el caso de que una institución financiera opere con el
“𝐣𝟏%” capitalizable “𝐦𝟏” veces al año, mientras que un cliente esté
dispuesto a efectuar sus cálculos con una tasa “𝐣𝟏, 𝐦𝟏 y 𝐦𝟐” son
datos, mientras que “𝐣𝟐” es la incógnita.
Análisis:
𝐣𝟏
𝐦𝟏
es una tasa efectiva por cada uno de los “𝐦𝟏”
periodos que utiliza la institución y no lo cambiará.

32
𝐢 = (𝟏 +
𝐣𝟏
𝐦𝟏
)
𝐦𝟏
− 𝟏 … .(𝐞𝟏)
La tasa efectiva anual de la institución, tampoco la cambiará.
Se trata de hallar una tasa “𝐣𝟐” que capitalizándose “𝐦𝟐” veces al
año, nos dé la misma tasa efectiva, es decir, que:
𝐢 = (𝟏 +
𝐣𝟐
𝐦𝟐
)
𝐦𝟐
− 𝟏 … .(𝐞𝟐)
Con los primeros miembros de las ecuaciones (𝐞𝟏) y (𝐞𝟐) son
iguales (tasa efectiva de la misma institución financiera), los
segundos miembros también lo serán entonces observamos que:
(𝟏 +
𝐣𝟐
𝐦𝟐
)
𝐦𝟐
− 𝟏 = (𝟏 +
𝐣𝟏
𝐦𝟏
)
𝐦𝟏
− 𝟏
(𝟏 +
𝐣𝟐
𝐦𝟐
)
𝐦𝟐
= (𝟏 +
𝐣𝟏
𝐦𝟏
)
𝐦𝟏
𝟏 +
𝐣𝟐
𝐦𝟐
= (𝟏 +
𝐣𝟏
𝐦𝟏
)
𝐦𝟏
𝐦𝟐
𝐣𝟐
𝐦𝟐
es la tasa efectiva por cada uno de los “𝐦𝟐” periodos, tasa
que le interesa al cliente. En este caso, la tasa nominal será:
Ejemplo 18.- Una institución financiera opera con el 64% TNA,
capitalizable trimestralmente. Hallar:
a) Una tasa efectiva bimestral.
b) La correspondiente tasa nominal de la tasa efectiva bimestral.
𝐣𝟐
𝐦𝟐
= (𝟏 +
𝐣𝟏
𝐦𝟏
)
𝐦𝟏
𝐦𝟐
− 𝟏 … (7)
𝐣𝟐 = 𝐦𝟐 × [(𝟏 +
𝐣𝟏
𝐦𝟏
)
𝐦𝟏
𝐦𝟐
− 𝟏] … (8)

33
Solución:
𝐣𝟏 = 0.64 TNS.
𝐦𝟏 = 𝟐
𝐦𝟐 = 𝟏𝟐
a) Aplicando la fórmula:
𝐣𝟐
𝐦𝟐
= (𝟏 +
𝐣𝟏
𝐦𝟏
)
𝐦𝟏
𝐦𝟐
− 𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟓
b) Aplicando la fórmula: 𝐣𝟐 = 𝐦𝟐 × [(𝟏 +
𝐣𝟏
𝐦𝟏
)
𝐦𝟏
𝐦𝟐
− 𝟏] = 𝟎. 𝟑𝟎
Se capitaliza cada dos meses y da la misma tasa efectiva anual
que 64% capitalizable trimestralmente.
Observación: Sí 𝐦𝟏 = 𝟏; 𝐦𝟐 = 𝟐; 𝐦𝟑 = 𝟑; 𝐦𝟒 = 𝟒; 𝐦𝟓 = 𝟓; 𝐦𝟔 = 𝟔
entonces:
𝐣
𝟏
= 𝐭𝐚𝐬𝐚 𝐚𝐧𝐮𝐚𝐥;
𝐣
𝟐
= 𝐭𝐚𝐬𝐚 𝐬𝐞𝐦𝐞𝐬𝐭𝐫𝐚;
𝐣
𝟑
= 𝐭𝐚𝐬𝐚 𝐜𝐮𝐚𝐭𝐫𝐢𝐦𝐞𝐬𝐭𝐫𝐚;
𝐣
𝟒
= 𝐭𝐚𝐬𝐚 𝐭𝐫𝐢𝐦𝐞𝐬𝐭𝐫𝐚𝐥,
etc.
Las mismas que pueden representarse como 𝐢; 𝐢𝐬; 𝐢𝐜; 𝐢𝐭,
respectivamente, de tal modo que:
Donde 𝐦𝟏 y 𝐦𝟐 pueden ser iguales como no y siempre que 𝐢𝐦𝟐
sea
equivalente a 𝐢𝐦𝟏
6.- Tasa Vencida.
La tasa vencida “i” es el porcentaje a ser aplicado a un capital
inicial, el cual se hace vencido al vencimiento del plazo de la
operación pactada (cálculo racional). Todas las formulas
matemático financiero.
7.- Tasa Adelantada.
La tasa adelantada “d”, nos permite conocer el precio que habrá
de pagarse por la percepción de una deuda antes de su
(𝟏 + 𝐢𝐦𝟐
)
𝐦𝟐
= (𝟏 + 𝐢𝐦𝟏
)
𝐦𝟏
… (𝟗)

34
vencimiento. La tasa adelantada determina en cuánto disminuye
el valor nominal de un título valor, tomando en consideración el
tiempo por transcurrir entre la fecha que se anticipa el pago y la
fecha de su vencimiento. Matemáticamente es aquella que
multiplicada por el capital final “S”, lo disminuye, para encontrar
el capital inicial “P”.
7.1 Tasa adelantada equivalente a una tasa vencida.
Para encontrar una tasa adelantada “d” equivalente a una tasa
vencida “i” proporcionada como dato, podemos relacionar las
formulas:
Estableciendo una ecuación de equivalencia con los factores
simples de actualización
Elevando ambos miembros de la igualdad a la “1/n”
Por lo tanto:
Ejemplo 20.- En una operación de descuento bancario a 120 días
se requiere ganar una tasa cuatrimestral vencida del 5%. ¿Qué
tasa adelantada equivalente debe aplicarse para los 120 días?
Solución:
d=?
i= 5%
𝐏 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝐧
𝐏 = 𝐒(𝟏 − 𝐝)𝐧
(𝟏 + 𝐢)−𝐧
= (𝟏 − 𝐝)𝐧
𝟏
(𝟏 + 𝐢)𝐧
= (𝟏 − 𝐝)𝐧
𝟏
(𝟏 + 𝐢)
= (𝟏 − 𝐝)
𝐝 =
𝐢
(𝟏 + 𝐢)
… (𝟏𝟎)
𝐝 =
𝐢
(𝟏 + 𝐢)
= 𝟎.𝟎𝟒𝟕𝟔

35
Ejemplo 21.- En una operación de descuento bancario a 180 días
se requiere ganar una tasa cuatrimestral vencida del 2.5%. ¿Qué
tasa adelantada equivalente debe aplicarse para los 180 días?
Solución:
d=?
i= 2.5%
Conversión de tasa nominal con capitalización continua, en
tasa efectiva.
En la medida que el plazo del periodo capitalizable de la tasa
nominal disminuye (se capitaliza a mayor velocidad, por ejemplo
de año a semestres, a trimestre, a bimestres, a meses, etc.), el
valor de m aumenta infinitamente y la tasa de interés efectiva
aumenta hasta llegar a un límite.
Así, si una TNA es de 24% se capitaliza cada hora, cada minuto o
cada segundo se tiene las siguientes tasas efectivas.
Ahora analizaremos para encontrar la fórmula de la
capitalización continua:
Se sabe que: 𝐢 = (𝟏 +
𝐣
𝐦
)
𝐦
− 𝟏
Dándole forma: 𝐢 = [(𝟏 +
𝟏
𝐦
𝐣
)
𝐦
𝐣
]
𝐣
− 𝟏
Periodo
𝐢 = (𝟏 +
𝐣
𝐦
)
𝐦
− 𝟏
Cada hora 𝐢𝐓𝐄𝐇𝐨𝐫𝐚 = (𝟏 +
𝟎.𝟐𝟒
𝟑𝟔𝟎 × 𝟐𝟒
)
𝟑𝟔𝟎×𝟐𝟒
− 𝟏 = 𝟐𝟕.𝟏𝟐𝟒𝟒𝟗𝟏𝟐𝟖%
Cada minuto 𝐢𝐓𝐄𝐌𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨 = (𝟏 +
𝟎.𝟐𝟒
𝟑𝟔𝟎 × 𝟐𝟒 × 𝟔𝟎
)
𝟑𝟔𝟎×𝟐𝟒×𝟔𝟎
− 𝟏 = 𝟐𝟕.𝟏𝟐𝟒𝟗𝟎𝟕𝟕𝟕%
Cada segundo 𝐢𝐓𝐄𝐒𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨 = (𝟏 +
𝟎. 𝟐𝟒
𝟑𝟔𝟎 × 𝟐𝟒 × 𝟔𝟎 × 𝟔𝟎
)
𝟑𝟔𝟎×𝟐𝟒×𝟔𝟎×𝟔𝟎
− 𝟏 = 𝟐𝟕.𝟏𝟐𝟒𝟖𝟕𝟕𝟖𝟏%
𝐝 =
𝐢
(𝟏 + 𝐢)
= 𝟎.𝟎𝟐𝟒𝟒

36
Pero como la capitalización es continua, entonces, se puede decir
que m es tan grande que tiende al infinito como vemos:
𝐥𝐢𝐦
𝐦→∞
𝐢= 𝐥𝐢𝐦
𝐦→∞
{[
(𝟏+
𝟏
𝐦
𝐣
)
𝐦
𝐣
]
𝐣
− 𝟏
}
𝐢= 𝐥𝐢𝐦
𝐦→∞
[
(𝟏 +
𝟏
𝐦
𝐣
)
𝐦
𝐣
]
𝐣
− 𝟏
Donde “𝒆” es la base del logaritmo Neperiano 𝒆 ≈ 𝟐.𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖.
Observación:
- Esta tasa es la máxima efectiva que puede generar una tasa
nominal de un período capitalizable
- La capitalización continua sirve para estimar el límite del
rendimiento de un capital a una tasa nominal dada.
Ejemplo 22.-Estructure un modelo que obtenga una TET a partir
de una tasa de 12% capitalización continuamente.
Solución:
j= 12%TNA<>0.02873%TET
Aplicando la fórmula: 𝐢 = 𝒆𝐣
− 𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟕𝟓
Ejemplo 23.-¿Cuál es el monto compuesto generado por un
capital de S/.80000, que devenga una TNA de 0.08 capitalizada
continuamente? La operación estuvo vigente durante 18 meses.
Solución:
j= 8%TNA.
− 𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟑𝟑
Para hallar el monto compuesto:
Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐧
= 𝟕𝟎𝟐𝟏. 𝟓𝟏
𝐢 = 𝒆𝐣
− 𝟏 …(11)

37
Ejemplo 24.-¿Qué principal debe colocarse hoy para conseguir
un monto compuesto de S/.60000 dentro de cuatro meses, en
una operación financiera que devenga una TNA de 0.075
capitalizable continuamente?
Solución:
j= 7.5%TNA.
− 𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟕𝟕𝟗
Para hallar el principal:
Aplicando la fórmula: 𝐏 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝐧
= 𝟓𝟖𝟓𝟏𝟖. 𝟑𝟏
Tasa nominal con capitalización continua que produce una
tasa efectiva dada.
Si se quiere conocer el valor de una tasa nominal que produce
una tasa efectiva objetivo, se utiliza la siguiente fórmula (10),
previa demostración.
Sea: 𝐢 = 𝒆 𝐣
− 𝟏
𝒆 𝐣
= 𝟏 + 𝐢
Aplicando logaritmo neperiano: 𝐥𝐧(𝐞 𝐣
) = 𝐥𝐧(𝟏 + 𝐢)
𝐣 = 𝐥𝐧(𝟏 + 𝐢)
Ejemplo 25.- ¿Cuál es la TNA que capitalizada continuamente
genera una TEA de 30%?
Solución:
i= 30%TEA.
Aplicando la fórmula: 𝐣 = 𝐥 𝐧(𝟏 + 𝐢) = 𝟎. 𝟐𝟔𝟐𝟒
Ejemplo 26.-¿A qué TNA capitalizable continuamente debe
colocarse un capital de S/.90000 durante 270 días para obtener
un monto de S/.100000?
Solución:
n = 270/360 año.
P = 90000
S = 10000
Aplicando la fórmula: 𝐢 = (
𝐒
𝐏
)
𝟏
𝐧 − 𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟓𝟏
𝐣 = 𝐥𝐧(𝟏 + 𝐢) …(12)

38
Aplicando la fórmula: 𝐣 = 𝐥 𝐧(𝟏 + 𝐢) = 𝟎. 𝟏𝟒𝟎𝟓
ANUALIDADES
Definición.-Una renta o anualidad es una serie de pagos o cobros iguales
efectuados a intervalos de tiempo. El alquiler mensual de una vivienda es un
ejemplo típico de una renta o anualidad (Anualidad es un nombre
convencional)
Elementos de una renta o anualidad
a) Periodo o Intervalo de Pago.- Es el tiempo transcurrido entre cada pago
sucesivo. El periodo puede ser mensual, bimestral, trimestral, semestral o de
cualquier otra unidad de tiempo.
b) Término de la Renta o Pago periódico R.- Es el importe de cada pago o
cobro efectuados al inicio o al final de cada periodo.
c) Plazo de la Renta.- Es el tiempo transcurridos entre el inicio del primer
periodo y el final del último periodo de la renta. Se puede decir que el plazo
de una renta es igual a n_períodos.
Clasificación de las rentas.- Podemos clasificar a las rentas según los
criterios que se muestran en el siguiente cuadro
Criterios de
clasificación
Según certeza
de Existencia
Según duración
de plazo
Según sea el
primer
pago de
inmediato
o después
de un plazo
m.
Según sea el
pago al
inicio o al
final de cada
periodo
Según
Ciertas Temporales
Inmediatas
Anticipadas
Vencidas
Diferidas
Anticipadas
Vencidas
Perpetuas
Inmediatas
Anticipadas
Vencidas
Anticipadas

39
certeza de
existencia
Diferidas
Vencidas
Eventual,
Inciertas o
contingentes
Vitalicia,
temporal
No tienen
duración
definida
Inmediatas
Anticipadas
Vencidas
Diferidas
Anticipadas
Vencidas
Anualidades ciertas.- Son aquellos anualidades cuyas
condiciones se conocen de antemano (plazo, tasa, días del período
capitalizable, etc.) y se establecen previamente, generalmente por
contrato entre las partes intervinientes (deudor y acreedor). Estas
anualidades de acuerdo a su duración pueden ser:
-Temporales.-cuando el horizonte temporal es un plazo
determinado.
- Perpetuidades.-Son anualidades en la que el fin del horizonte
temporal no está determinado.
Anualidades eventuales o contingentes.-son aquellas cuya
fecha inicial o terminal depende de algún suceso previsible, pero
cuya fecha de realización no puede especificarse por estar en
función de algún acontecimiento externo no previsible
exactamente. Son ejemplos de anualidades eventuales los seguros
de vida, en los cuales se conocen la renta pero su duración es
incierta. El desarrollo de estos flujos corresponden al campo de
las matemáticas Actuariales, el cual demanda no sólo el
conocimiento del interés compuesto sino también las
probabilidades. Estas anualidades a su vez pueden ser:
- Vitalicias.-Es una anualidad que tiene vigencia mientras dure
la vida del rentista.
- Temporales.-Es en esencia, una anualidad vitalicia cuya
diferencia con ella se apoya en que termina después de un
determinado números de pagos, aun cuando el rentista continúe
con vida.
Nota: Las anualidades ciertas y contingentes pueden ser a su
vez:

40
- Vencidas u Ordinarias: cuando las rentas se inician a fin de
período.
- Anticipadas o imposiciones: cuando las rentas se inician a
comienzo de período.
- Diferidas: cuando las rentas se inician después de un
determinado número de períodos de renta, plazo en el cual el
capital inicial se va capitalizando. Las rentas diferidas pueden
ser, a su vez, vencidas o anticipadas.
Las anualidades en general pueden ser a su vez:
- Simples: cuando el período de renta coincide con el período de
capitalización.
- Generales: cuando el período de renta no coincide con el
período de capitalización. Pueden darse varios períodos
capitalizables por período de renta, o varios períodos de renta por
período capitalizable.
- Impropias o variables: son anualidades cuyas rentas no son
iguales.
Simbología
P=Valor presente de una anualidad.
S=Monto de una anualidad, valor futuro.
R=Renta.
N=número de periodos de capitalización en el horizonte temporal.
i=Valor contante que asume la tasa de interés del período
capitalizable.
Esquema de la clasificación de las anualidades ciertas
temporales
Vencida:
Anticipada:
Vencida
Diferida
0 . . .
1 2 3 n-2 n-1 n
R R R R
R R
0 . . .
1 2 3 n-2 n-1 n
4
R R
R R
R
0 . . .
1 2 3 n-2 n-1 n
R R R R R R

41
(2 rentas)
Anticipada
Diferida
(2 rentas)
Anualidades y Rentas Ciertas Vencidas
Las rentas pueden ser capitalizadas (monto de una anualidad),
descontadas (valor presente de una anualidad) o evaluadas en
cualquier momento de un determinado horizonte temporal,
aplicando el principio de equivalencia financiera. A partir de un
stock de efectivo ya sea en el presente o en el futuro, es posible
calcular el importe de su correspondiente flujo uniforme o renta
constante.
1) Monto de una Anualidad Simple Vencida: Estableciendo una
ecuación de equivalencia financiera tomando como fecha focal el
final del horizonte temporal, El monto “S” de una anualidad
simple, puede obtenerse del modo siguiente:
El monto total de la anualidad es igual a la suma de los montos
parciales de cada “R” llevado al final del horizonte temporal:
0 . . .
1 2 3 n-2 n-1 n
R R R
R R
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝐒𝟏 = 𝐑(𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟏
𝐒𝟐 = 𝐑(𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟐
𝐒𝐧−𝟏 = 𝐑(𝟏 + 𝐢)𝟏
𝐒𝟑 = 𝐑(𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟑
𝐒𝐧−𝟐 = 𝐑(𝟏 + 𝐢)𝟐
𝐒𝐧 = 𝐑(𝟏 + 𝐢)𝟎
R R R R
R R
0 . . .
1 2 3 n-2 n-1 n

42
Aplicando la propiedad:
𝒂𝒏−𝟏
𝒂−𝟏
= 𝒂𝒏−𝟏
+ 𝒂𝒏−𝟐
+ 𝒂𝒏−𝟐
+ ⋯𝒂𝟐
+ 𝒂 + 𝟏
Por lo tanto:
EL FACTOR DE CAPITALIZACIÓN DE LA SERIE UNIFORME
(FCS).
En la fórmula (1) el término entre corchetes es conocido como el
Factor de Capitalización de la Serie (FCS). La fórmula puede
representarse de la siguiente:
Nota: 𝐅𝐂𝐒𝐢;𝐧 = [
(𝟏+𝐢)𝐧−𝟏
𝐢
] , se le conoce como factor de capitalización
de una serie de pagos iguales al final de cada período, durante “n”
períodos.
Ejemplo 01.- Hallar el monto de una serie de 5 pagos de S/.500
al final de cada año, percibiendo una TEA del 10%.
Solución:
R = S/.500
n = 5 años.
i = 10%T.E.A.
𝐒 = 𝐑 [
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
𝐢
] … (1)
𝐒 = R.𝐅𝐂𝐒 𝐢 ; 𝐧 … (2)
𝐒 = 𝐑 [
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
(𝟏 + 𝐢) − 𝟏
]
𝐒 = 𝐒𝟏 + 𝐒𝟐 + 𝐒𝟑 + ⋯ + 𝐒𝐧−𝟐 + 𝐒𝐧−𝟏 + 𝐒𝐧
𝐒 = 𝐑 (𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟏
+ 𝐑 (𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟐
+ 𝐑 (𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟑
+ ⋯ + 𝐑 (𝟏 + 𝐢)𝟐
+ 𝐑 (𝟏 + 𝐢)𝟏
+ 𝐑 (𝟏 + 𝐢)𝟎
𝐒 = 𝐑 (𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟏
+ 𝐑 (𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟐
+ 𝐑 (𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟑
+ ⋯ + 𝐑 (𝟏 + 𝐢)𝟐
+ 𝐑 (𝟏 + 𝐢)𝟏
+ 𝐑
𝐒 = 𝐑 [(𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟏
+ (𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟐
+ (𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟑
+ ⋯(𝟏 + 𝐢)𝟐
+ (𝟏 + 𝐢) + 𝟏]

43
𝐒 = 𝐑 [
(𝟏+𝐢)𝐧−𝟏
𝐢
] = 500 [
(1+0.10)5−1
0.10
] = S/. 3052,55
2. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD SIMPLE.
Estableciendo una ecuación de equivalencia financiera tomando
como fecha focal el inicio del horizonte temporal, el valor presente
P de una anualidad se puede obtener reemplazando 𝐒 = P.𝐅𝐒𝐂i,n
en 𝐒 = R. 𝐅𝐂𝐒𝐢;𝐧
Reemplazando “S” por su equivalente:
Por lo tanto:
EL FACTOR DE ACTUALIZACIÓN DE LA SERIE UNIFORME.
factor de Actualización de la Serie (FAS). La fórmula puede
representarse:
Ejemplo 2.- Calcule el valor presente de los 5 flujos anuales de
S/.360 cada uno aplicado una TEA del 10%.
Solución:
P = ?
R = S/.360
i = 10%TEA
𝐏 = 𝐑 [
(𝟏+𝐢)𝐧−𝟏
𝐢(𝟏+𝐢)𝐧
] = 𝟑𝟔𝟎 [
(𝟏+𝟎.𝟏𝟎)𝟓−𝟏
𝟎.𝟏𝟎(𝟏+𝟎.𝟏𝟎)𝟓
] = 𝐒/. 𝟏𝟑𝟔𝟒. 𝟔𝟖
3.-CÁLCULO DEL VALOR DE LAS RENTAS EN LAS
ANUALIDADES SIMPLES.-
𝐏 = R. 𝐅𝐀𝐒 𝐢 ; 𝐧 … (4)
𝐒 = 𝐑 [
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
𝐢
]
𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐧
= 𝐑 [
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
𝐢
]
𝐏 = 𝐑 [
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
𝐢(𝟏 + 𝐢)𝐧
] …(3)

44
Una serie uniforme de rentas ha sido llevada al futuro
capitalizándola con el FCS y ha sido traída al valor presente
actualizándola con el FAS, las fórmulas aplicadas son:
RENTA CONOCIENDO EL VALOR FUTURO.
Despejando “R” de la fórmula (2) tenemos:
𝐒 = 𝐑. 𝐅𝐂𝐒𝐢;𝐧
EL FACTOR DE DEPÓSITO AL FONDO DE AMORTIZACIÓN.
Factor de Depósito al Fondo de Amortización (FDFA). La
fórmula puede representarse:
Ejemplo 3.- Una empresa ha decidido adquirir dentro de 4 meses
un préstamo cuya cantidad estimada es S/.5000. ¿Qué importe
constante de fin de cada mes, debe ahorrar en ese periodo de
tiempo, en un banco que paga una TNA del 36% con
capitalización mensual, a fin de disponer ese monto al
vencimiento de dicho plazo?
Solución:
S = S/.5000
n = 4 meses
𝐑 = 𝐒 [
𝐢
(𝟏 + 𝐢)𝐧 − 𝟏
] …(5)
𝐑 = S. 𝐅𝐃𝐅𝐀 𝐢 ; 𝐧 … (6)
𝐑 = 𝐒 [
𝟏
(𝟏 + 𝐢)𝐧 − 𝟏
𝐢
]
𝐑 = 𝐒 [
𝟏
𝐅𝐂𝐒𝐢;𝐧
]
𝐒 = R. 𝐅𝐂𝐒 𝐢 ; 𝐧 …(2) 𝐏 = R. 𝐅𝐀𝐒 𝐢 ; 𝐧 …(4)

45
i = 36%TNA<>3%TEM.
RENTA CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE:
Despejando R de (4) tenemos:
EL FACTOR DE RECUPERACIÓN DEL CAPITAL.
Factor de Recuperación del Capital (FRC). La fórmula puede
representarse:
Ejemplo 4.-¿Cuál será la cuota constante a pagar por un
préstamo bancario de S/.8000, reembolsable en 4 cuotas cada
fin de mes?. El banco cobra una TNS del 18% con capitalización
mensual.
Solución:
P = S/.8000
n = 4 meses.
i = 18%TNS<>3%TEM
Aplicando la fórmula: 𝐑 = 𝐏. [
𝐢(𝟏 + 𝐢)𝐧
(𝟏 + 𝐢)𝐧 − 𝟏
] = 𝟖𝟎𝟎𝟎. [
𝟎. 𝟎𝟑(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟑)𝟒
(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟑)𝟒 − 𝟏
] = 𝐒/. 𝟐𝟏𝟓𝟐, 𝟐𝟐
R = S[
i
(1 + i)n − 1
] = 5000[
0.03
(1 + 0.03)4 − 1
] = S/.1195,14
𝐑 = 𝐏. [
𝐢(𝟏 + 𝐢)𝐧
(𝟏 + 𝐢)𝐧 − 𝟏
] … (7)
P = R. FASi;n
R = P.
1
FASi,n
R = P.
1
[
(1 + i)n − 1
i(1 + i)n ]
𝐑 = P.𝐅𝐑𝐂 𝐢 ; 𝐧 …(8)

46
4. CÁLCULO DE “n” EN UNA ANUALIDAD VENCIDA.
A partir de las fórmulas:
Podemos calcular “n”, empleando el método de tanteo o
despejándola directamente de cualquiera de las fórmulas
señaladas anteriormente.
CÁLCULO DE “n” EN FUNCIÓN DE “S”.
Ya que el FCS y el FDFA son recíprocos, el despeje de “n” a partir
de las fórmulas (2) ó (4) nos dará el mismo resultado:
Sea la fórmula del monto:
Aplicando logaritmo:
Por propiedad tenemos:
Por lo tanto:
Ejemplo 5.- ¿Cuántos depósitos de fin de mes de S/.500 serán
necesarios ahorrar, para acumular un monto de S/. 5474,86 en
un banco que paga una TNA del 24% con capitalización mensual?
Solución:
n = ?
i = 0.24/12 <> 0.02 TNM.
𝐒 = R. 𝐅𝐂𝐒 𝐢 ; 𝐧 …(2)
𝐏 = R.𝐅𝐀𝐒 𝐢 ; 𝐧 …(4)
𝐑 = S. 𝐅𝐃𝐅𝐀 𝐢 ; 𝐧 …(6)
𝐑 = P. 𝐅𝐑𝐂 𝐢 ; 𝐧 …(8)
𝐒 = 𝐑 [
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
𝐢
]
𝐒𝐢 = 𝐑 [(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏]
𝐒𝐢
𝐑
= (𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
(𝟏 + 𝐢)𝐧
=
𝐒𝐢
𝐑
+ 𝟏
𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝐢)𝐧
= 𝐥𝐨𝐠 (
𝐒𝐢
𝐑
+ 𝟏)
𝐧 𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝐢) = 𝐥𝐨𝐠 (
𝐒𝐢
𝐑
+ 𝟏)
𝐧 =
𝐥𝐨𝐠 (
𝐒𝐢
𝐑
+ 𝟏)
𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝐢)
… (𝟗)

47
R = S/.500
S = S./5474.86
5. CÁLCULO DE “n” EN FUNCIÓN DE “P”.
Despejar “n” a partir de las fórmula (8) obtendremos:
Por lo tanto:
Ejemplo 6.- ¿Con cuántas cuotas constantes trimestrales
vencidas de S/.500 se podrá amortizar un préstamo de S/. 5000,
por el cual se paga una TET del 6.1208% ?
Solución:
n = ?
i = 0.061208 TET.
R = S/.500
P = S/.5000
𝐑[𝟏 − (𝟏 + 𝐢)−𝐧] = 𝐏. 𝐢
𝟏 − (𝟏 + 𝐢)−𝐧
=
𝐏. 𝐢
𝐑
(𝟏 + 𝐢)−𝐧
= 𝟏 −
𝐏. 𝐢
𝐑
𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝐢)−𝐧
= 𝐥𝐨𝐠(𝟏 −
𝐏. 𝐢
𝐑
)
−𝐧 𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝐢) = 𝐥𝐨𝐠(𝟏 −
𝐏. 𝐢
𝐑
)
𝐧 = −
𝐥𝐨𝐠 (𝟏 −
𝐏. 𝐢
𝐑
)
…(10)
𝐑 = 𝐏. [
𝐢(𝟏 + 𝐢)𝐧
(𝟏 + 𝐢)𝐧 − 𝟏
]
𝐑[(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏] = 𝐏. 𝐢(𝟏 + 𝐢)𝐧
𝐑 [
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
(𝟏 + 𝐢)𝐧
] = 𝐏. 𝐢
𝐧 =
𝐥𝐨𝐠 (
𝐒𝐢
𝐑
+ 𝟏)
=
𝐥𝐨𝐠 (
𝟓𝟒𝟕𝟒. 𝟖𝟔 × 𝟎. 𝟎𝟐
𝟓𝟎𝟎
+ 𝟏)
𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐)
= 𝟏𝟎 𝐦𝐞𝐬𝐞𝐬
𝐧 = −
𝐥𝐨𝐠 (𝟏 −
𝐏. 𝐢
𝐑
)

48
𝟏 𝟐
𝒊 = 𝟔, 𝟏𝟐𝟎𝟖% 𝟏𝟓 𝐧 = 𝟏𝟔 𝐭𝐫𝐢𝐦𝐞𝐬𝐭𝐫𝐞
…
Ya que no es aplicable pactar un crédito a 15,94 trimestres, la
presente operación puede pactarse con 15 cuotas: 14 de S/. 500
y la última de un importe mayor, o con 16 cuotas: 15 de S/. 500
y la última de un importe menor. Adoptando esta última decisión
la equivalencia financiera puede plantearse del siguiente modo:
El diagrama de tiempo- valor de la anualidad impropia o variable
es el siguiente:
6. CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS IMPLÍCITA DE UNA
ANUALIDAD.
Cuando en una anualidad se conocen P, R, S y n, excepto la tasa
efectiva periódica, es posible que sea hallada planteando su
respectiva ecuación de equivalencia y buscando el valor de la tasa
aplicando la interpolación lineal o método de Newton y Raphson.
Ejemplo 7.-Un artefacto electrodoméstico tiene un precio de
contado de S/.1500 y al crédito se ofrece con una cuota inicial de
S/300 y 12 cuotas uniformes de S/.130 cada una pagaderas cada
fin de mes. ¿Cuál es la TEM cargada en el financiamiento?
𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟎𝟎.𝐅𝐀𝐒𝟎.𝟎𝟔𝟏𝟐𝟎𝟖;𝟏𝟓 + 𝐗. 𝐅𝐒𝐀𝟎.𝟎𝟔𝟏𝟐𝟎𝟖;𝟏𝟔
𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝟖𝟏𝟖,𝟎𝟐 + 𝟎,𝟑𝟖𝟔𝟓𝟑𝟕𝟔𝟎𝟖𝟔 𝐗
𝐗 = 𝐒/.𝟒𝟕𝟎,𝟕𝟗
𝐑 = 𝐒/.𝟓𝟎𝟎 𝐗 = 𝐒/.𝟒𝟕𝟎,𝟕𝟗
𝐑 = 𝐒/.𝟓𝟎𝟎 𝐑 = 𝐒/.𝟓𝟎𝟎
𝟎
𝐏 = 𝐒/. 𝟓𝟎𝟎𝟎
𝐧 = −
𝐥𝐨𝐠 (𝟏 −
𝟓𝟎𝟎𝟎 × 𝟎.𝟎𝟔𝟏𝟐𝟎𝟖
𝟓𝟎𝟎
)
𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝟎.𝟎𝟔𝟏𝟐𝟎𝟖)
= 𝟏𝟓,𝟗𝟒 𝐭𝐫𝐢𝐦𝐞𝐬𝐭𝐫𝐞𝐬

49
Solución:
i = ?
P = 1500-300=S/.1200
n = 12 meses
R = 130
Interpolando:
𝐢 − 𝟎.𝟎𝟒𝟎
𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟐𝟐𝟎.𝟎𝟓𝟗𝟔
=
𝟎.𝟎𝟓𝟎− 𝟎.𝟎𝟒𝟎
𝟏𝟏𝟓𝟐.𝟐𝟐𝟐𝟕− 𝟏𝟐𝟐𝟎.𝟎𝟓𝟗𝟔
𝐢 − 𝟎.𝟎𝟒
−𝟐𝟎.𝟎𝟓𝟗𝟔
=
𝟎. 𝟎𝟏𝟎
−𝟔𝟕.𝟖𝟑𝟔𝟗
𝐢 − 𝟎. 𝟎𝟒𝟎 = 𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟗𝟓𝟕 ⇒ 𝐢 = 𝟎,𝟎𝟒𝟐𝟗𝟓𝟕 = 𝟒.𝟐𝟗%
𝐏 = 𝐑 [
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
𝐢(𝟏 + 𝐢)𝐧
]
𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟑𝟎 [
(𝟏 + 𝐢)𝟏𝟐
− 𝟏
𝐢(𝟏 + 𝐢)𝟏𝟐
]
# i Valor
1 0.040 1220.0596
2 i=? 1200
3 0.050 1152,2227

50
ANUALIDADES ANTICIPADAS
Introducción.- Una anualidad es una sucesión de rentas que empiezan en el
momento 0, a inicios del período de renta como sucede en el pago de
alquileres, en las compras a plazos cuando debe darse una cuota inicial, en
las pólizas de seguros, en las pensiones de enseñanzas, etc. La diferencia
entre una anualidad simple vencida y una anualidad simple anticipada,
dado un número igual de rentas, radica en que en la anualidad vencida la
última renta no percibe interés, porque coincide con el término del plazo de
la anualidad, mientras que en la anualidad anticipada la última renta no
coincide con el final del plazo de la anualidad, ubicándose al inicio del
último período de renta y percibiendo el interés o beneficio hasta el final del
período, fecha en que concluye el plazo de la anualidad.
Anualidad
Simple
Vencida
Anualidad
Simple
Anticipada
1) MONTO DE UNA ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA:
Estableciendo una ecuación de equivalencia financiera tomando como fecha
focal el final del horizonte temporal, El monto “S” de una anualidad simple,
puede obtenerse del modo siguiente:
0 . . .
1 2 3 n-2 n-1 n
R R R R
R R
0 . . .
1 2 3 n-2 n-1 n
Ra Ra Ra Ra Ra
Ra
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝐒𝟏 = 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)𝐧
𝐒𝟐 = 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟏
𝐒𝐧−𝟐 = 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)𝟐
𝐒𝟑 = 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟐
𝐒𝟒 = 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)𝟐
𝐒𝐧−𝟏 = 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)𝟏

51
El monto total de la anualidad es igual a la suma de los montos
parciales de cada “Ra” llevado al final del horizonte temporal:
Aplicando la propiedad:
𝒂𝒏−𝟏
𝒂−𝟏
= 𝒂𝒏−𝟏
+ 𝒂𝒏−𝟐
+ 𝒂𝒏−𝟐
+ ⋯𝒂𝟐
+ 𝒂 + 𝟏
Por lo tanto:
Se puede apreciar que el monto de una anualidad anticipada es
igual al de una vencida cuya renta ha sido multiplicada por
(𝟏 + 𝐢). Reemplazando en la fórmula (1) por las siglas conocidas
tenemos:
Ejemplo 1.- ¿Qué monto se acumulará al término del quinto mes,
si hoy y durante 4 meses consecutivos se depositan S/. 200 en
una cuenta de ahorros percibiendo una TNA del 36% con
Solución:
R = 200
n = 4 meses.
i = 36% TEA
𝐒 = 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢) [
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
𝐢
] … (1)
𝐒 = 𝐑 𝐚(𝟏 + 𝐢)[
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
(𝟏 + 𝐢) − 𝟏
]
0 . . .
1 2 3 n-2 n-1 n
Ra Ra Ra Ra Ra
Ra
𝐒 = 𝐒𝟏 + 𝐒𝟐 + 𝐒𝟑 + ⋯ + 𝐒𝐧−𝟐 + 𝐒𝐧−𝟏 + 𝐒𝐧
𝐒 = 𝐑𝐚 (𝟏 + 𝐢)𝐧
+ 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟏
+ 𝐑 𝐚 + ⋯ + 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)𝟑
+ 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)𝟐
+ 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)𝟏
𝐒 = 𝐑𝐚 [(𝟏 + 𝐢)𝐧
+ (𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟏
+ (𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟐
+ (𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟑
+ ⋯(𝟏 + 𝐢)𝟐
+ (𝟏 + 𝐢)]
𝐒 = 𝐑𝐚 (𝟏 + 𝐢)[(𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟏
+ (𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟐
+ (𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟑
+ (𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟒
+ ⋯(𝟏 + 𝐢)𝟏
+ 𝟏]
𝐒 = Ra(𝟏 + 𝐢) 𝐅𝐂𝐒𝐢 ; 𝐧 … (2)

52
Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢) [
(𝟏+𝐢)𝐧−𝟏
𝐢
]
𝐒 = 𝟐𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟑) [
(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟑)𝟓
− 𝟏
𝟎.𝟎𝟑
] = 𝐒/. 𝟏𝟎𝟗𝟑. 𝟔𝟖
Ejemplo 2.- ¿Qué monto se acumulará al término del octavo
mes, si hoy y durante 12 meses consecutivos se depositan S/.
400 en una cuenta de ahorros percibiendo una TNA del 48% con
Solución:
R = 400
n = 8 meses.
i = 36% TEA
Aplicando la fórmula: 𝐒 = 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢) [
(𝟏+𝐢)𝐧−𝟏
𝐢
]
𝐒 = 𝟒𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒) [
(𝟏+𝟎.𝟎𝟒)𝟏𝟐−𝟏
𝟎.𝟎𝟒
] = 𝐒/. 𝟔𝟐𝟓𝟎. 𝟕𝟒.
2. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD SIMPLE.-
Estableciendo una ecuación de equivalencia financiera tomando
como fecha focal el inicio del horizonte temporal, el valor presente
P de una anualidad se puede obtener reemplazando 𝐒 = P.𝐅𝐒𝐂i,n
en 𝐒 = Ra. (𝟏 + 𝐢) 𝐅𝐂𝐒𝐢;𝐧
Reemplazando “S” por su equivalente:
Por lo tanto:
Se puede apreciar que el monto de una anualidad anticipada es
igual al de una vencida cuya renta ha sido multiplicada por
𝐒 = 𝐑𝐚 (𝟏 + 𝐢) [
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
𝐢
]
𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐧
= 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢) [
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
𝐢
]
𝐏 = 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢) [
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
𝐢(𝟏 + 𝐢)𝐧
] …(3)

53
(𝟏 + 𝐢). Reemplazando en la fórmula (3) por las siglas conocidas
tenemos:
Ejemplo 3.- Un local comercial es alquilado por 6 meses con
pagos anticipados de S/.800. ¿Cuál es el valor actual del contrato
de arriendo aplicando una TEM del 4%?
Solución:
P = ?
Ra = S/.800
i = 4%TEM.
n = 6 meses.
Aplicando la fórmula: 𝐏 = 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)𝐅𝐀𝐒 𝟎.𝟎𝟒 ; 𝟔
𝐏 = 𝟖𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒) [
(𝟏+𝟎.𝟎𝟒)𝟔−𝟏
𝟎.𝟎𝟒(𝟏+𝟎.𝟎𝟒)𝟔
] = 𝐒/. 𝟒𝟑𝟔𝟏. 𝟒𝟔
3. CÁLCULO DEL VALOR DE LAS RENTAS O IMPOSICIONES
EN LAS ANUALIDADES SIMPLES ANTICIPADAS.
3.1 RENTA O IMPOSICIÓN CONOCIENDO EL VALOR FUTURO.
Despejando “Ra” de la fórmula (1) tenemos:
Reemplazando la fórmula (5) por las siglas conocidas tenemos:
Ejemplo 4.- Calcule el importe de la imposición mensual que al
cabo de 12 meses permitirán acumular S/.10000 ganando una
TEM del 2%.
Solución:
Ra = ?
𝐏 = Ra(𝟏 + 𝐢) 𝐅𝐀𝐒 𝐢 ; 𝐧 …(4)
𝐒 = 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢) [
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
𝐢
]
𝐑𝐚 =
𝐒
(𝟏 + 𝐢)
[
𝐢
(𝟏 + 𝐢)𝐧 − 𝟏
] … (5)
𝐑𝐚 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝟏
. 𝐅𝐃𝐅𝐀𝐢 ; 𝐧 …(𝟔)

54
S = S/.10000
n = 12 meses.
i = 2%TEM.
Aplicando la fórmula: 𝐑𝐚 = 𝐒(𝟏 + 𝐢)−𝟏
.𝐅𝐃𝐅𝐀 𝟎.𝟎𝟐 ;𝟏𝟐
𝐑𝐚 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐)−𝟏
[
𝟎.𝟎𝟐
(𝟏+𝟎.𝟎𝟐)𝟏𝟐−𝟏
] = 𝐒/. 𝟕𝟑𝟎.𝟗𝟖
3.2 RENTA O IMPOSICIÓN CONOCIENDO EL VALOR
PRESENTE.
Despejando “Ra” de la fórmula (3) tenemos:
Reemplazando la fórmula (7) por las siglas conocidas tenemos:
Ejemplo 5.- ¿Cuál será la imposición mensual constante a pagar
por un préstamo bancario de corto plazo de S/8000,
reembolsable con 6 cuotas anticipadas aplicando una TEM del
4%? Calcule además el préstamo neto.
Solución:
a) Cálculo de la imposición mensual.
Ra = ?
P = S/.8000
n = 6 meses.
i = 4%TEM.
Aplicando la fórmula: 𝐑𝐚 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)−𝟏
.𝐅𝐑𝐂 𝟎.𝟎𝟒 ; 𝟔
𝐑𝐚 = 𝟖𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒)−𝟏
[
𝟎.𝟎𝟒(𝟏+𝟎.𝟎𝟒)𝟔
(𝟏+𝟎.𝟎𝟒)𝟔−𝟏
] = 𝐒/. 𝟏𝟒𝟔𝟕. 𝟒𝟎
b) Cálculo del préstamo neto.
𝐏 = 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)[
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
𝐢(𝟏 + 𝐢)𝐧
]
𝐑𝐚 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)−𝟏
[
𝐢(𝟏 + 𝐢)𝐧
(𝟏 + 𝐢)𝐧 − 𝟏
] …(𝟕)
𝐑𝐚 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)−𝟏
.𝐅𝐑𝐂 𝐢 ; 𝐧 …(𝟖)

55
Observación: como es una anualidad anticipada se paga por
adelantado la primera renta entonces el préstamo neto será:
4. CÁLCULO DE “n” EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA.
A partir de las fórmulas:
Podemos calcular “n”, empleando el método de tanteo o
despejándola directamente de cualquiera de las fórmulas
señaladas anteriormente.
CÁLCULO DE “n” EN FUNCIÓN DE “S”.
Ya que el FCS y el FDFA son recíprocos, el despeje de “n” a partir
de las fórmulas (2) ó (6) nos dará el mismo resultado:
Sea la fórmula del monto:
𝐒 = 𝐑𝐚. (𝟏 + 𝐢) 𝐅𝐂𝐒 𝐢 ; 𝐧 … (𝟐)
𝐏 = 𝐑𝐚. (𝟏 + 𝐢)𝐅𝐀𝐒𝐢 ; 𝐧 …(𝟒)
𝐑𝐚 = 𝐒.(𝟏 + 𝐢)−𝟏
𝐅𝐃𝐅𝐀 𝐢 ; 𝐧 …(𝟔)
𝐑𝐚 = 𝐏. (𝟏 + 𝐢)−𝟏
𝐅𝐑𝐂 𝐢 ; 𝐧 …(𝟖)
Préstamo bruto S/.8000.00
Abono de la 1ra cuota anticipada S/.1467.40
Préstamo neto S/.6532.60
𝐒 = 𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢) [
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
𝐢
]
𝐒𝐢
(𝟏 + 𝐢)
= 𝐑𝐚 [(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏]
𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝐢)𝐧
= 𝐥𝐨𝐠 [
𝐒𝐢
𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)
+ 𝟏]
𝐧 𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝐢) = 𝐥𝐨𝐠[
𝐒𝐢
𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)
+ 𝟏]
𝐥𝐨𝐠 [
𝐒𝐢
𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢) + 𝟏]
𝐒𝐢
𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)
= (𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
(𝟏 + 𝐢)𝐧
=
𝐒𝐢
𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)
+ 𝟏

56
Por lo tanto:
Ejemplo 5.- ¿Cuantas imposiciones mensuales de S/400 serán
necesarias ahorrar, para acumular un monto de S/. 7000 en un
banco que paga una TNA del 12% con capitalización mensual?
Solución:
n = ?
S = S/.7000
i = 1%TEM.
CÁLCULO DE “n” EN FUNCIÓN DE “P”.
A partir de las fórmulas (6) tenemos:
Sea la fórmula del valor presente:
𝐧 =
𝐥𝐨𝐠 [
𝐒𝐢
𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)
+ 𝟏]
𝐧 =
𝐥𝐨𝐠 [
𝟕𝟎𝟎𝟎 × 𝟎. 𝟎𝟏
𝟒𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎.𝟎𝟏)
+ 𝟏]
𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏)
≈ 𝟏𝟕.𝟑𝟖 𝐭𝐫𝐢𝐦𝐞𝐬𝐭𝐫𝐞𝐬
𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝐢)−𝐧
= 𝐥𝐨𝐠[𝟏 −
𝐏 𝐢
𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)
]
−𝐧 𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝐢) = 𝐥𝐨𝐠[𝟏 −
𝐏 𝐢
𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)
]
𝐑𝐚 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)−𝟏
[
𝐢(𝟏 + 𝐢)𝐧
(𝟏 + 𝐢)𝐧 − 𝟏
]
𝐑𝐚 =
𝐏
(𝟏 + 𝐢)
{
𝐢
(𝟏 + 𝐢)−𝐧 [ (𝟏 + 𝐢)𝐧 − 𝟏 ]
}
𝐑𝐚 =
𝐏 𝐢
(𝟏 + 𝐢)
[
𝟏
𝟏 − (𝟏 + 𝐢)−𝐧
]
𝐑𝐚[𝟏 − (𝟏 + 𝐢)−𝐧
] =
𝐏 𝐢
(𝟏 + 𝐢)
(𝟏 + 𝐢)−𝐧
= 𝟏 −
𝐏 𝐢
𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)

57
Por lo tanto:
Ejemplo 7.- ¿Con cuántas imposiciones mensuales de S/800 se
podrá amortizar un préstamo de S/. 9000 la entidad financiera
cobra una TET del 6%?
Solución:
n = ?
P = S/.9000
Ra= S/.800
i = 6 %TET.
5. CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS IMPLÍCITA DE UNA
ANUALIDAD ANTICIPADA.
De modo similar a lo trabajado en lo anterior de anualidades
vencidas, cuando en una anualidad se conocen todas las
variables intervinientes excepto la tasa efectiva periódica, es
posible que sea hallada planteando su respectiva ecuación de
equivalencia y buscando el valor de la tasa aplicando la
interpolación lineal o método de Newton y Raphson.
Ejemplo 8.-Un artefacto electrodoméstico tiene un precio de
contado de S/.1000 y al crédito se ofrece con tres cuotas
mensuales adelantadas de S/380 cada una. ¿Cuál es la TEM
cargada en el financiamiento?
Solución:
i = ?
P = S/.1000
n = 3 meses
Ra = S/.380
𝐧 = −
𝐥𝐨𝐠[𝟏 −
𝐏 𝐢
𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)
]
𝐧 = −
𝐥𝐨𝐠 [𝟏 −
𝐏 𝐢
𝐑𝐚(𝟏 + 𝐢)
]
… (𝟏𝟎)
𝐧 = −
𝐥𝐨𝐠 [𝟏 −
𝟗𝟎𝟎𝟎 × 𝟎. 𝟎𝟔
𝟖𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟔)
]
𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟔)
= 𝟏.𝟐𝟗 𝐓𝐫𝐢𝐦𝐞𝐬𝐭𝐫𝐞𝐬

58
Interpolando:
𝐢 − 𝟎.𝟏𝟒𝟕𝟏𝟕
𝟏𝟎𝟎𝟎− 𝟏𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟑𝟗
=
𝟎.𝟏𝟒𝟕𝟏𝟕− 𝟎.𝟏𝟒𝟕𝟏𝟖
𝟗𝟗𝟗.𝟗𝟗𝟔𝟎− 𝟏𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟑𝟗
𝐢 − 𝟎.𝟏𝟒𝟕𝟏𝟕
−𝟎.𝟎𝟎𝟑𝟗
=
𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏
−𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟗
𝐢 − 𝟎. 𝟏𝟒𝟕𝟏𝟕= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟒𝟗 ⇒ 𝐢 = 𝟎,𝟏𝟒𝟕𝟏𝟕𝟒𝟗 = 𝟏𝟒.𝟕𝟏𝟕𝟒𝟗%
𝐏 = 𝐑𝐚 (𝟏 + 𝐢)[
(𝟏 + 𝐢)𝐧
− 𝟏
𝐢(𝟏 + 𝐢)𝐧
]
𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟖𝟎( 𝟏 + 𝐢)[
(𝟏 + 𝐢)𝟑
− 𝟏
𝐢(𝟏 + 𝐢)𝟑
]
# i Valor
1 0.14717 1000.0039
2 i=? 1000.0000
3 0.14718 999.9960

59
Problemas propuestos
Descuento
Ejemplo 1.- una letra de S/. 5000 con vencimiento el 30 de mayo es
descontada el 18 de mayo a una tasa de interés simple anual del 48% ¿Cuál
es el importe del descuento racional?
Ejemplo 2.- Una deuda de s/.8000 con vencimiento dentro de 85 días se
descuenta hoy a una tasa nominal anual del 20% calcule.
a) El descuento racional simple.
b) Su valor Presente.
c) El interés que se cobrará sobre el importe realmente desembolsado.
Ejemplo 3.- Calcular el valor nominal de una deuda con vencimiento dentro
de 95 días pagando una tasa nominal anual del 28%. La deuda será
descontada racionalmente a interés simple y el importe neto requerido es de
S/.7000.
Ejemplo 4.- Una empresa tiene dos obligaciones de S/.5800 y s/ 7000 que
vencen de 67 días y 95 días respectivamente si el acreedor aplica una tasa
anual de interés simple del 34% para la letra a 67 días y del 49% para la
letra a 95 días. ¿Cuál será el pago total por ambas obligaciones si decide
cancelarlos hoy?
Ejemplo 5.- El día de hoy, 20 de marzo, se descuentan 3 letras cuyos
valores nominales son de S/.6200, S/. 4000 y S/.8500 siendo los
vencimientos el 21, 26 y 29 de abril respectivamente. Calcule el importe total
del descuento racional simple aplicado una tasa de interés simple del 36%
anual.
Ejemplo 6.- Calcule el descuento racional compuesto a practicarse a un
pagaré con valor nominal de S/.3500 y vencimiento a 70 días con una tasa
efectiva mensual del 3.3%.
Ejemplo 7.- Calcule el descuento racional compuesto a practicarse hoy, a
una letra con valor nominal de S/.2400 la cual vence dentro de 62 días. La
tasa activa vigente es 2.5% efectiva mensual.

60
Ejemplo 8.- ¿Por qué monto deberá aceptarse un pagaré con vencimiento a
120 días, para descontarlo racionalmente hoy si se requiere disponer un
importe de S/.2300? Utilice una tasa efectiva mensual del 5%.
Ejemplo 9.-Una empresa comercializadora de insumos químicos ha
efectuado compras de mercaderías por un importe de S/66000 incluido el
18% de impuesto general a las ventas (IGV). ¿Qué importe de la factura
puede utilizar para el crédito fiscal?
Ejemplo 10.- un pagaré cuyo valor nominal es S/.8900 y cuya fecha de
vencimiento es el 30 de abril fue descontado faltando 180 días para su
vencimiento, aplicando una tasa efectiva mensual del 3.6%. Calcule su valor
presente y el descuento matemático realizado en cada período de 30 días.
Ejemplo 11.- Calcule el descuento bancario simple al 1 de julio, sobre un
documento con valor nominal de s/.6500 y fecha de vencimiento el 30 de
agosto, si la tasa mensual de descuento simple aplicado es del 4.7%.
Ejemplo 12.- Determine el valor nominal de un pagaré cuyo importe del
descuento bancario ha sido S/.1000. la operación se ha efectuado con una
tasa anual de descuento simple del 24% en un período de 65 días.
Ejemplo 13.-Calcule la tasa de descuento bancario mensual simple aplicada
a un pagaré de valor nominal de S/.2300 y cuyo descuento ha sido S/650
en un tiempo de 65 días.
Ejemplo 14.- ¿Cuántos meses falta para el vencimiento de una letra de
S/.8000 si se recibió s/.7300, después de haberla descontado a una tasa
anual de descuento simple del 21%?
Ejemplo 15.- Una institución financiera carga una tasa de descuento
bancario simple del 15% anual en sus operaciones. Si la empresa CGA S.A.
acepta un pagaré de S/.8900 con vencimiento a 85 días ¿Qué importe
líquido recibirá del banco al descontarlo?
Ejemplo 16.-¿Cuál ha sido el valor nominal de una letra, la cual descontada
49 días antes de su vencimiento a una tasa de descuento bancario simple
mensual del 2.8% ha permitido obtener un valor líquido de S/.8100?
Ejemplo 17.- Calcule el valor líquido que obtendrá una letra de S/.7000,
descontada mensualmente aplicando una tasa de descuento bancario
compuesto del 3,5% mensual faltando 72 días para su vencimiento.
Ejemplo 18.- Calcule el importe líquido a disponer hoy (18 de enero), por 2
letras de S/.2500 y S/.4800 con vencimientos el 21 y 28 de febrero
respectivamente. El banco las ha descontado a una tasa de descuento
bancario compuesto del 2.9% mensual.

61
Ejemplo 19.- Un pagaré con valor nominal de s/.6000 y que vence dentro de
7 meses, ha sido descontado bancariamente aplicando una tasa de
descuento anual con período de descuento mensual del 40% para los dos
primeros meses y del 52% para los últimos 5 meses. ¿Cuál será su valor
líquido?
Ejemplo 20.-¿Cuál será el valor nominal de un pagaré con vencimiento a 90
días a descontarse hoy, si se requiere obtener un importe líquido de
s/.34000 ?. Sí la tasa de nominal anual es 8.6% con período de descuento
mensual?
Ejemplo 21.- El financiamiento de un auto cuyo precio de contado es de
$14000 la institución financiera exige al cliente una cuota inicial de $5000,
un pago adelantado de $2000 y una letra a 90 días por $8512,4 en la cual le
han cargado una tasa de descuento bancario compuesto mensual del 2% si
el cliente solicita que el importe de los $2000 se incluya en la letra a 90 días
¿Cuál será el nuevo valor nominal de la letra?
Ejemplo 22.- Determine el tiempo que falta para el vencimiento de una letra
de S/.2000, la que descontada bancariamente a una tasa de descuento del
15% anual liquidado los descuentos mensualmente, ha producido un valor
líquido de S/.3935,80.
Ejemplo 23.-Halle el descuento bancario compuesto de una letra cuyo valor
nominal es de S/.9700 y vence dentro de 130 días. La tasa nominal anual es
de 20% con periodo de descuento mensual.
Ejemplo 24.- Un pagaré con valor nominal de S/.5000 se somete a
descuento bancario compuesto aplicado una tasa del 36% anual con período
de descuento mensual, 3 meses antes de su vencimiento. Calcule los
descuentos de cada mes. Prepare el cuadro de los descuentos periódicos.
Ejemplo 25.- Calcule el descuento bancario compuesto efectuado en una
letra con valor nominal de S/.9800 faltando 67 días para su vencimiento, si
a este título- valor se le aplicó una tasa anual del 48% con período de
descuento cuatrimestral.
Ejemplo 26.- Un pagaré con valor nominal de S/.8000 se somete a
descuento bancario compuesto aplicado una tasa del 76% anual con período
de descuento mensual, 3 meses antes de su vencimiento. Calcule los
descuentos de cada mes. Prepare el cuadro de los descuentos periódicos.
Ejemplo 28.- Un pagaré cuyo valor nominal es de S/5000 y cuya fecha de
vencimiento es el 20 de noviembre fue descontado bancariamente faltando
180 días para su vencimiento, aplicado una tasa anual de descuento del
60% con período de descuento mensual. Calcule su valor líquido y el
descuento realizado en cada periodo de 30 días.

62
Ejemplo 29.- Un pagaré cuyo valor nominal es de S/.2300 fue descontado
faltando 240 días para su vencimiento, aplicando una tasa nominal
adelantada del 38% con capitalización mensual. Calcule el descuento
bancario realizado en el segundo y quinto mes.
Tasas de interés
Ejemplo 01.- La compañía Líder al 30 de setiembre y 31 de octubre ha
registrado ventas de S/.11000 y S/.8200 respectivamente y su producción
para el mismo período ha sido 7000 y 4800 unidades. Tomando como base
el 30 de setiembre calcule los índices y las tasas de variación de ventas y
producción.
Ejemplo 02.- Calcule la TEA equivalente a una TNA del 20% capitalizable
mensualmente.
Ejemplo 03.- Calcule la TEA equivalente a una TNA del 25% capitalizable
trimestralmente.
Ejemplo 04.- Calcule la TET a partir de una TNA del 40% capitalizable
mensualmente.
Ejemplo 05.- Si la TNM es del 2.5% y el Periodo de capitalización mensual
¿Cuál es la tasa efectiva?
a) Trimestral,
b) de 8 meses
c) de14 meses.
Ejemplo 07.- Las acciones de la Compañía Omega han tenido una
rentabilidad del 13% durante 25 días, calcule la rentabilidad mensual.
Ejemplo 08.- Una operación financiera produjo una tasa de rentabilidad
efectiva del 1.5% en 40 días. ¿Cuál será la tasa de rentabilidad proyectada
efectiva mensual?
Ejemplo 09.- ¿Cuál será la tasa efectiva ganada en un depósito a plazo
pactado a una TNA del 18% con capitalización diaria durante 124 días?
Ejemplo 10.- ¿Cuál será la TET si la TNA para los depósitos a plazo que
pagan los bancos es de 30% y la frecuencia de capitalización diaria?
Ejemplo 11.- Hallar el monto de S/.2000 TNA de 30%, capitalizable
trimestralmente después de 4 años.
a) Utilizando la tasa nominal. b) Utilizando la tasa efectiva.
Ejemplo 12.-Hallar la TNA que da como resultado el 62% capitalizándose
semestralmente.

63
Ejemplo 13.- Calcule la TNA capitalizable trimestralmente equivalente a
una TEA del 14%.
Ejemplo 14.- Si la TEA es 40%, ¿Cuál es su TNA con capitalización
mensual?
Ejemplo 15.- Por las ventas a crédito a 90 días una empresa carga una tasa
efectiva del 12.46%. ¿Qué tasa nominal bimestral con capitalización
mensual debe cargar al precio de contado?
Ejemplo 16.- ¿Cuál será la TNS con capitalización trimestral, equivalente a
una TEA del 20%?
Ejemplo 17.- Convertir la TEM del 4% a TNA para un préstamo que se
amortiza cada 120 días.
Ejemplo 18.- Una institución financiera opera con el 4% TNA, capitalizable
trimestralmente. Hallar:
a) Una tasa efectiva bimestral.
b) La correspondiente tasa nominal de la tasa efectiva bimestral.
Ejemplo 19.- En una operación de descuento bancario a 180 días se
requiere ganar una tasa cuatrimestral vencida del 6%. ¿Qué tasa
adelantada equivalente debe aplicarse para los 90 días?
Ejemplo 20.- En una operación de descuento bancario a 210 días se
requiere ganar una tasa cuatrimestral vencida del 5.5%. ¿Qué tasa
adelantada equivalente debe aplicarse para los 180 días?
Ejemplo 21.-¿Cuál es el monto compuesto generado por un capital de
S/.9500, que devenga una TNA de 0.75 capitalizada continuamente? La
operación estuvo vigente durante 18 meses.
Ejemplo 22.-¿Qué principal debe colocarse hoy para conseguir un monto
compuesto de S/.6400 dentro de cuatro meses, en una operación financiera
que devenga una TNA de 0.75 capitalizable continuamente?
Ejemplo 23.- ¿Cuál es la TNA que capitalizada continuamente genera una
TEA de 28%?
Ejemplo 24.-¿A qué TNA capitalizable continuamente debe colocarse un
capital de S/.60000 durante 210 días para obtener un monto de S/.80000?
ANUALIDADES
Ejemplo 01.- Hallar el monto de una serie de 5 pagos de S/.500 al final de
cada año, percibiendo una TEA del 10%.

64
Ejemplo 2.- Calcule el valor presente de los 7 flujos anuales de S/.480 cada
uno aplicado una TEA del 12%.
Ejemplo 3.- Una empresa ha decidido adquirir dentro de 8 meses un
préstamo cuya cantidad estimada es S/.6800. ¿Qué importe constante de fin
de cada mes, debe ahorrar en ese periodo de tiempo, en un banco que paga
una TNA del 48% con capitalización mensual, a fin de disponer ese monto al
vencimiento de dicho plazo?
Ejemplo 4.-¿Cuál será la cuota constante a pagar por un préstamo bancario
de S/.9000, reembolsable en 6 cuotas cada fin de mes?. El banco cobra una
TNS del 28% con capitalización mensual.
Ejemplo 5.- ¿Cuántos depósitos de fin de mes de S/.500 serán necesarios
ahorrar, para acumular un monto de S/. 5474,86 en un banco que paga
una TNA del 24% con capitalización mensual?
Ejemplo 6.- ¿Con cuántas cuotas constantes trimestrales vencidas de
S/.600 se podrá amortizar un préstamo de S/. 7000, por el cual se paga una
TET del 8% ?
Ejemplo 7.-Un artefacto electrodoméstico tiene un precio de contado de
S/.2300 y al crédito se ofrece con una cuota inicial de S/300 y 14 cuotas
uniformes de S/.200 cada una pagaderas cada fin de mes. ¿Cuál es la TEM
cargada en el financiamiento?
Ejemplo 8.- ¿Qué monto se acumulará al término del quinto mes, si hoy y
durante 4 meses consecutivos se depositan S/. 300 en una cuenta de
ahorros percibiendo una TNA del 48% con capitalización mensual?
Ejemplo 9.- ¿Qué monto se acumulará al término del octavo mes, si hoy y
durante 12 meses consecutivos se depositan S/. 500 en una cuenta de
ahorros percibiendo una TNA del 38% con capitalización mensual?
.
Ejemplo 10.- Un local comercial es alquilado por 10 meses con pagos
anticipados de S/.900. ¿Cuál es el valor actual del contrato de arriendo
aplicando una TEM del 2.5%?
Ejemplo 11.- Calcule el importe de la imposición mensual que al cabo de 18
meses permitirán acumular S/.15000 ganando una TEM del 4%.
Ejemplo 12.- ¿Cuál será la imposición mensual constante a pagar por un
préstamo bancario de corto plazo de S/6000, reembolsable con 15 cuotas
anticipadas aplicando una TEM del 2.6%? Calcule además el préstamo neto.
Ejemplo 13.- ¿Cuantas imposiciones mensuales de S/400 serán necesarias
ahorrar, para acumular un monto de S/. 7000 en un banco que paga una
TNA del 12% con capitalización mensual?

65
Ejemplo 14.- ¿Con cuántas imposiciones mensuales de S/600 se podrá
amortizar un préstamo de S/. 9000 la entidad financiera cobra una TET del
3%?
Bibliografía
Aliaga Valdez, Carlos, Aplicaciones prácticas de matemática financiera: 603
problemas resueltos. Lima CIUP 1996.
Ayres, Frank, Matemáticas financieras. México: Mc Graw-Hill, 1982.
Portus Govinden, Lynconyan, Matemáticas financieras. México: Mc Graw-Hill,
1985.
Garayar, P. Gregorio, Matemáticas financieras. Lima: Editorial Universo, 1967.

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