SI

1. LOGARITMOS
MG VICTOR ALEGRE

2. LOGARITMOS EN BASE 10
 También llamados logaritmos decimales o
vulgares.
 Se suelen representar poniendo el logaritmo
sin la base:
log x = log10 x

3. LOGARITMOS NATURALES
 Al igual que = 3,14159... es un número
importante dentro de las matemáticas, existe
otro número muy importante, el número e
cuyo valor es 2,71828182845904523536...
 Los logaritmos en base e reciben el nombre
de logaritmos naturales o neperianos. Se
suelen representar poniendo el símbolo ln:
ln x = loge x


4. DEFINICIÓN # 1
 El logaritmo de un número n en base a se
define como el número al que hay que elevar
a para obtener el número n.
loga n = x ax = n

5. Ejemplos:
El logaritmo es, por tanto, la operación inversa a la
potencia, igual que la división es la operación inversa
de la multiplicación.

6. DEFINICIÓN # 2
 Se denomina logaritmo en base a del
número an , al exponente n de la base a. Se
escribe como:
log a an = n
Donde: a > 0

7. Ejemplos:
log2 16 = log2 24 = 4
log4 16 = log4 42 = 2
log16 16 = log16 161 = 1
log3 9 = log3 32 = 2
log10 100 = log10 102 = 2
log2 1/4 = log2 4-1 = log2 22(-1) = log2 2-2 = -2
log3 1/81= log3 81-1 = log3 34(-1) = log3 3-4 = -4

8. CAMBIO DE BASE
CONCLUSIÓN: El cambio de base permite obtener rápidamente un
resultado con ayuda de la calculadora científica
log2 5 → ?? Pero si……
log 5
log 2
≈ 2.32
ln 5
ln 2
≈ 2.32

9. Logaritmo de 1
log2 1 = log2 20 = 0
log4 1 = log4 40 = 0
log20 1 = log20 200 = 0
CONCLUSIÓN: El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a cero
a0=1

10. Logaritmo de 0
log2 0 = log2 ? → NO EXISTE
log4 0 = log4 ?
CONCLUSIÓN: El logaritmo de 0 NO EXISTE , pues a?≠ 0
→ NO EXISTE

11. EJERCICIOS:
Expresar el número 6 como un logaritmo de base 2
6=log2 ….. 6= log2 26 ó 6= log2 64
Expresar el número 2 como un logaritmo de base 12
2=log12 ….. 2= log12 122 ó 2= log12 144

12. EJERCICIOS:
Aplique logaritmos para llenar la tabla mostrada:

13. OTRAS PROPIEDADES
 Los logaritmos tienen la propiedad de convertir las
multiplicaciones en sumas, las divisiones en restas, las
potencias en multiplicaciones y la raíces en divisiones.

14. EJERCICIOS:
yxa
2
3log
yx
yxyx
aaa
aaaa
loglog23log
loglog3log3log 22


Desarrollar la expresión:
2
4
log
y
x
aDesarrollar la expresión:
yx
yx
y
x
aaa
aaaa
log2log4log
loglog4log
4
log 2
2



15. EJERCICIOS:
zyx
zyx
zyx
z
yx
aaaa
aaaa
aaaaa
log
2
1
loglog33log
logloglog33log
logloglog3log
3
log
2
1
3
3



Desarrollar la expresión:
z
yx
a
3
3
log

16. EJERCICIOS:
dcb aaa loglog2log 
Agrupar en un solo logaritmo la expresión:
d
bc
dbc
dcb
a
aa
aaa
2
2
2
log
loglog
logloglog



17. ECUACIONES LOGARÍTMICAS
7loglog x
7x UNICIDAD
* Determinar el valor de X
3log x
3
3log
3log
10
1010
1010
10



x
x
x

18. ECUACIONES LOGARÍTMICAS
* Determinar el valor de X
  16loglog2  xx
* Determinar el valor de X
15log2log x

19. APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS
 DECIBELIOS (DECIBELES)
 ESCALA DE RICHTER (TERREMOTOS)
 NIVELES DE PH
 ESCALAS (LOGARITMICAS)

20. 1.- DECIBELIO (dB)
 Es una magnitud profusamente utilizada en
Telecomunicaciones.
 Expresa la relación entre dos cantidades
homogéneas en forma logarítmica
 Equivale a la décima parte del Bel, puesto
que esta resulta ser demasiado grande para
las magnitudes normalmente utilizadas

21. Preguntas y Conclusiones
 ¿Que pasa cuando la potencia de salida es
el doble que la de entrada?
 ¿Que pasa cuando la potencia de salida es
el igual que la de entrada?
 ¿Que pasa cuando la potencia de salida es
la mitad que la de entrada?
 Resultado positivo indica ganancia.
 Resultado negativo indica pérdidas.
Gp=3dB
Gp=0dB
Gp=-3dB

22. Ejercicios:
 En cierto equipo, se especifica que la
ganancia de potencia es de 40dB. Esto
implica que si a la entrada aplicamos 4mW,
en la salida obtendremos?
 Mediante cables, desde un punto A se
transmite 120V hasta un punto B. Si al medir
el voltaje en el punto B, se obtienen 108V;
determine la atenuación por concepto del
cable.

23. RELACIÓN ENTRE VOLTAJES Y
CORRIENTES
 La relación en dB entre las señales en el
punto 1 y punto 2 puede darse tanto como
relación de potencias, como relación de
tensiones o corrientes.
 Dichas relaciones solo tienen sentido si se
desarrollan sobre la misma impedancia (en
instalaciones de distribución de TV, esta
impedancia es típica de 75Ω)

24. RELACIONES

25. COMPARACIÓN ENTRE MAGNITUDES
 SISTEMA LINEAL: La
ganancia, es la
proporción entre la
tensión de salida y de
entrada.
 La ganancia total entre
varias etapas, es el
producto entre ellas:
Vi
Vo
V 
.......** 21 VVVT 
CIRCUITOS AMPLIFICADORES DE VOLTAJE

26. COMPARACIÓN ENTRE MAGNITUDES
 SISTEMA
LOGARÍTMICO: La
ganancia, se expresa:
 La ganancia total entre
varias etapas, es la
suma entre ellas:
  dBVGv  log20
 dBGvGvGvT ...21 
CIRCUITOS AMPLIFICADORES DE VOLTAJE

27. Ejercicio:
 Dos bloques amplificadores se encuentran
conectados en cascada. Calcular:
* La ganancia total magnitud lineal y logarítmica (dB)
* Calcular el voltaje Vo

28. Ejercicios:
 Las características de cierto cable indican
que atenúa la señal de voltaje a razón de
4dB/km. Entonces, si en un punto B se han
medido 108V y la distancia entre la señal
original y el punto B es de 650m. Cuántos
voltios tiene la señal original?

29. Ejercicio (deber):
 Tres bloques amplificadores están conectados en
cascada. Calcular:
* GT y ΔV2
* Calcular el voltaje Vi y el voltaje en el punto x

30. Ejercicio (deber):
 Para el siguiente circuito, considere que:
Atenuación total en el cable: 5dB
Pérdidas en el elemento Z: 4dB
Ganancia del amplificador G: 40dB
Tensión en el punto A: 0.048mV
** Calcular la tensión en el punto C

31. 2.- INTENSIDAD SONORA (B)
 Se mide en watios por centímetros cuadrados W/cm2
 Se expresa en decibeles: B= 10 log( I / I0 ) dB
donde I0 es la intensidad de sonido que se toma como
referencia I0 =10-16 W/cm2 . Por tanto:
* El sonido más débil corresponde a I =10-16 W/cm2 , de
donde :
B = 10 log10 (10-16/10-16 ) dB = 0 dB.
* El sonido más intenso corresponde a I =10-4 W/cm2,
de donde:
B = 10 log10 (10-4/10-16 ) dB = 120 dB.

32. Niveles de intensidad

33. Ejercicios:
 ¿Por qué el personal de tierra en un
aeropuerto usa protección en los oídos?
 ¿Cuán más alto es un sonido de 60 dB que
un sonido de 40 dB?
 En un concierto de rock el nivel de sonido da
una medida de 110 dB. ¿Cuán más alto es
esto que el nivel de 80dB permitido en el
baile?

34. Ejercicios (deber):
 La Ley de Salud y Seguridad Ocupacional
(OSHA, por sus siglas en inglés) declara que
la exposición continua a niveles de sonido de
90 dB y más altos pueden llevar a la pérdida
de la audición.
Suponiendo que el nivel de un equipo de
sonido es 88 dB y lo suben a 91 dB, ¿cuán
más intenso es el sonido?

35. Ejercicios (deber):
 El comité de seguridad de la escuela requiere que la
intensidad de sonido en el gimnasio durante la clase
de baile no exceda los 80 dB.
Cuando comienza el baile, el sonido resultó ser de
90 dB, pero los estudiantes a cargo de la clase no
piensan que esto representa una gran diferencia en
la intensidad del sonido.
¿Está justificado el profesor a cargo de la clase al
pedirle al DJ que baje el volumen de la música?

36. 3.- TERREMOTOS (ESCALA RICHTER)
 La fuerza de un terremoto medida por la
escala Richter está dada por la expresión:
R = log E/Io
donde E es la intensidad de las vibraciones del
terremoto medido y Io es la intensidad de la unidad
de un terremoto estándar.
 La escala Richter es una medida
comparativa.

37. Magnitud / Efectos

38. Ejercicio:
 El 14 de mayo de 1995, el Servicio de
Información Nacional de Terremotos de los
Estados Unidos informó un terremoto en el sur
de California que midió 3.0 en la escala Richter,
pero pocas personas se dieron cuenta de esto.
Anteriormente, ese mismo año, el 17 de enero,
un terremoto en Kobe, Japón, dejó 2000
muertos y billones de dólares en daños. Éste
midió 7.2 en la escala Richter.
¿Cuán más severo fue el terremoto de Kobe,
que el del sur de California?

39. Respuesta y conclusión
 El terremoto de Kobe tuvo una intensidad de
15,849 veces mayor que el terremoto de
California.
 Debido a que la escala Richter es una escala
logarítmica, las diferencias pequeñas en los
valores Richter (7.2 a 3.0, por ejemplo) se
traducen en diferencias enormes en la
intensidad de los terremotos.

40. Ejercicio (deber):
 El terremoto de San Francisco en el año
1989, registró una magnitud de 6.9 en la
escala Richter. El número de víctimas fatales
fue de 62. En el año 1906, en esta misma
ciudad, ocurrió un terremoto que midió 8.3
en la escala Richter. La cantidad de víctimas
fatales fue de 503.
¿ Cuán más poderoso (intenso) fue el terremoto
del año 1906, que el del año 1989?

41. Ejercicio (deber):
 Suponga que un terremoto en la ciudad de
Los Ángeles es la mitad de poderoso que el
terremoto del año 2005 en Indonesia, el cuál
midió 8.7 en la escala Richter.
¿Cuál hubiera sido la medida del
terremoto de Los Ángeles en la escala
Richter?

42. 4.- ESCALAS LOGARÍTMICAS
 Son utilizadas mayoritariamente para
mostrar gráficamente fenómenos
exponenciales, logarítmicos y potenciales;
debido a que en una escala aritmética, no es
posible ubicar valores demasiado grandes.
 Las escalas logarítmicas típicamente son en
base 10, pero es posible hacerlas de
cualquier base.

43. Elaboración de escalas logarítmicas
 Designar el espacio (cm) en la hoja donde se va a
dibujar la escala logarítmica.
 Establecer la base del logaritmo, y realizar cálculos
básicos según el número de escalas. Por ejemplo:
Base 10: log 1…..log 10…..log 100…..log 1000
Base 4: log 1…..log 4…….log 16……log 64
 Trazar proporcionalmente la escala con respecto al
espacio destinado en la hoja.

44. Elaboración de escalas logarítmicas
BASE 10
BASE 4

45. TIPOS DE PAPEL
 Si utilizamos un eje de coordenadas en
escala logarítmica y en el otro eje una escala
aritmética se dice que estamos en presencia
de un papel semilogarítmico (logarítmico
simple ó semi-log).
 Si en ambos ejes utilizamos escalas
logarítmicas, se trata de un papel logarítmico
(logarítmico doble ó log-log)