El documento describe el método de lugar de las raíces para analizar sistemas de control de lazo cerrado. Explica cómo usar este método para determinar la estabilidad y el comportamiento dinámico de sistemas lineales de un solo entrada/salida. Presenta 5 ejercicios que ilustran cómo aplicar el método de lugar de las raíces para diseñar controladores que satisfagan requisitos de tiempo de asentamiento y sobrepaso.

1. Ejercicios:
MÉTODO LUGAR DE
LAS RAÍCES
Realizado por: Arlenis Rodríguez
Profesor: Ing. Juan Carlos Vielma
Curso: Simulación Digital

2. MÉTODO LUGAR DE
LAS RAÍCES
Es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de
transferencia que se varía la ganancia del sistema K en un determinado
intervalo.
El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los
polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado
valor de ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto.
El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas
dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad.

3. Ejercicio 1:
Está operando con una
G (s)= k respuesta en escalón en
s (s+7) lazo cerrado que tiene
un sobrepaso del 15%
Gráfica en Matlab
Método lugar de las Raíces

4. A través del sobrepaso de
15% se obtiene un factor
de amortiguamiento de la
siguiente forma:
Método lugar de las Raíces

5. Ejercicio 2:
Un sistema con retroalimentación unitaria con función en
transferencia de la trayectoria directa.
G (s)= k
s (s+7)
Para calcular el tiempo de asentamiento :
Ts = 4
çwn
Se tiene los valores: Amortiguamiento=0.5169 y Ganancia=45.938 con un sobrepeso
de 15%
 para wn se puede obtener por la gráfica del lugar de raíces en la esquina inferior
izquierda (natural frequency=6.78).
 Tiempo asentamiento
Ts = 4 = 1.141s
(0.5169) (6.78)
En la gráfica se obtiene el polo dominante.
3(-3.5)+3(5.81)i=-10.5+17.4 i
Método lugar de las Raíces

6. En el triángulo de Pitágoras se calcula la suma de los ángulos al punto
de diseño de todos los polos y ceros del sistema compensado.
La suma de los ángulos debe ser igual a 180º diferencia
entre 180º -130.78º=49.2º (ángulo del polo)
Método lugar de las Raíces

7. Gráfica en Matlab
G (s)= s+10
s +25.52
Sistema compensado
Método lugar de las Raíces

8. Respuesta del Sistema compensado
Método lugar de las Raíces

9. Ejercicio 3:
Ecuaciones dinámicas en la forma función de transferencia
Se diseñar un controlador realimentado de modo que cuando la perturbación del
camino (W) se simula por una entrada escalón unitario, la salida (X1-X2) tenga un
tiempo de asentamiento menor que 5 segundos y un sobrepico menor que 5%. por
ejemplo, cuando el colectivo corre hacia un escalón de 10 cm de altura, la carrocería del
colectivo oscilará en un rango de +/- 5 mm y dejará de oscilar en 5 segundos.
Método lugar de las Raíces

10. Gráfica en Matlab
Método lugar de las Raíces

11. Ejercicio 4:
Función de transferencia a lazo abierto
donde
m=1000
b=50
U(s)=10
Y(s)=velocidad salida
El gráfico de lugar de raíces muestra los lugares de los posibles polos a lazo cerrado cuando se varía una
ganancia desde cero a infinito. Por lo que, solo un será considerado controlador proporcional (Kp) para
resolver el problema. Luego, la función de transferencia a lazo cerrado será:
Método lugar de las Raíces

12. Las siguientes dos ecuaciones se usarán para hallar el coeficiente de amortiguamiento y la
frecuencia natural:
Donde:
Wn=Frecuencia natural
zeta=coeficiente de
amortiguamiento
Tr=Tiempo de Subida
Mp=Sobrepico Máximo
Gráfica en Matlab
Método lugar de las Raíces

13. Gráfica en Matlab
Las dos líneas punteadas en
ángulo indican los lugares de
coeficiente de a
amortiguamiento constante
(zeta=0.6); el coeficiente de
amortiguamiento es mayor
que 0.6 en entre estas líneas y
menor que 0.6 fuera de ellas.
La semi-elipse indica los
lugares de frecuencia natural
constante (Wn=0.36); la
frecuencia natural es mayor
que 0.36 fuera de la semi-
elipse, y menor que 0.36
dentro de ella
Método lugar de las Raíces

14. Ejercicio 5:
Sistema de control de fuerza donde la medida es un acelerómetro
mecánico representado en la siguiente figura:
Método lugar de las Raíces

15. La ganancia k que hace al sistema inestable será aquella que lleva las raíces al
semiplano s derecho, es decir, que hace que las raíces tengan parte real positiva.
Obtención de la Gráfica en Matlab
Método lugar de las Raíces

16. Gráfica
Método lugar de las Raíces