guia de problemas

1. UNIVERSIDAD RICARDO PALMA FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS
ÁREA DE MATEMÁTICA
INTEGRALES DE LÍNEA Y SUS APLICACIONES
1. Calcular las integrales de línea:
a)
2 2 2 2
( ) ( )     x y dx x y dy

a lo largo de la curva : 1 1y x    desde el punto
0 (0,0)P hasta 1 (2,0)P .
b) 2 2
( 2 ) ( 2 )x xy dx y xy dy

     siendo  el arco de la parábola 2
y x que une los puntos
0 ( 2 , 4 )P y 1 ( 1 , 1 )P .
c) 2 2
(2 )z x y ds

  donde es la primera espira de la línea helicoidal cónica cosx t t ,
y t sen t y z t .
d)
2 2
( )n
C
x y ds donde C es la frontera del círculo 2 2 2
x y a 
2. Calcular 3 3 2 2 3
[ ( 2 2 3) (2 1) ]xy x dx x y y dy

     cuando  es el arco de la cicloide
t x t sen , 1 cosy t  ,  0 , 2t 
3. Hallar la integral de línea 2 2
(3 6 ) 14 20    C
x y dx yz dy xz dz donde C es el segmento de recta
que va del punto (1,0,0) al punto (1,1,0) y luego del punto (1,1,0) al punto (1,1,1). Rpta: 20/3
4. Calcular 2 2 2
( )x y z ds

  , donde ( ) ( cos , , )t t sen t t  es una hélice  0 , 2t 
5. Calcular 2 2
ydx xdy
x y
 
 sobre la circunferencia 2 2 2
: x y a   , 0a recorrido en sentido
antihorario.
6. Evaluar 4 4
( ) ,x y ds

 donde λ es la frontera de  2 2 2
( , ) / 25D x y x y   
7. Calcular la integradle línea del campo vectorial
2 2 2
( , , )
2
xi y j zk
F x y z
x y z x y z
 

    
  
a lo largo del segmento de la recta del punto
0 ( 1 , 1 , 1 )P , hasta el punto 1 ( 4 , 4 , 4 )P
8. Calcular
2
2
1
(2 ) ( )
x Lnx
xLny dx dy
xy y y
   , si 3
( ) ( 1+t ,cos100 )t t  , 0 1t 
9. Calcular. ydx zdy xdz

  donde:
a)  es la curva de intersección de las superficies 2x y  , 2 2 2
2 ( )x y z x y    . La curva es
recorrida en el sentido horario mirado desde el origen
b)  es la intersección de las superficies z xy y 2 2
1x y  , recorrida en el sentido antihorario
visto desde encima del plano XY .
10. Calcular las siguientes integrales de línea según el caso:
a) 2 3 2
1 cosy sen x xds

 donde es el arco de la curva y sen x de 0 ( 0 , 0 )P a
1 2
( , 1 )P 
.

2. b)
2 2
1
xdx ydy
x y

 
 en el sentido horario a lo largo del cuarto de la elipse
2 2
2 2
1
x y
a b
  en el
primer cuadrante.
c) 2 2 2
xdx ydy zdz
x y z
 
  , donde es el arco de la curva 2x t , 2 1y t  , 2
z t t  que une los
puntos 0 ( 0 , 1 , 0 )P y 0 ( 2 , 3 , 2 )Q .
11. Calcular la integral de línea del campo vectorial a lo largo del camino indicado.
a) ( , , ) ( , , )F x y z x y xz y  a lo largo de 2 3
( ) ( t , 2t , 4t )t  , 0 1t 
b) 2
( , , ) (2 , , )F x y z xy x z y  desde 0 ( 1 , 0 , 2 )P a 0 ( 3 , 4 , 1 )Q a lo largo del
segmento de recta.
12. Calcular 3 2 2 3
( ) ( )x y dx x y dy

     donde es la frontera del pentágono de vértices
0 ( 0 , 0 )P , 1 ( 1 , 0 )P , 2 ( 2 , 1)P , 3 ( 0 , 1 )P y 4 ( 1 , 2 )P .
13. Calcular la integral de línea ( ) ( 3 )xy x y
ye x dx xe y dy

     a lo largo del segmento que
une los puntos 0 ( 1 , 2 )P y 1( - 2 , 9 )P .
14. Calcular la integral de línea xy z xy z xy z
ye dx xe dy e dz

  
    a lo largo del segmento
que une los puntos 0 ( 1 , 2 , - 3 )P y 1 ( -2 , 5 , 11 )P .
15. Calcular 2 2 2 2
( )
y x
dx dy
x y x y

  siendo  la elipse de ecuaciones paramétricas
4cosx t ; 3y sen t , 0 2 t 
16. Calcular xyzds
 donde  , es la parte de la recta 1,x y z y z    . Que se encuentra
en el primer cuadrante.
17. Calcular la integral de línea 2 2
I x y ds

  donde  es la curva que va del punto
( 4 ,4 )P  al punto (0 ,0 )Q y de ahí recorre la semi-circunferencia inferior de centro
(2 ,0 )C y radio 2r  como se observa en la figura.
18. Calcular 3 3
( ) (4 )x y dx y x dy

     , donde  es la frontera de la región del primer
cuadrante que está limitada por los gráficos de 2
y x , 3
y x
19. Hallar [( ) ]  C
y z dx zdy xdz a lo largo de la curva descrita por la intersección de los
planos 1 2 0   x y z , 2 2 0   x y z del punto (1,0,0) al punto (7, 10,2)
Rpta: - 38
20. Calcular [( ) ( ) ]xy x y dx xy x y dy

     , donde es:
a) La elipse
2 2
2 2
1
x y
a b
  b) La circunferencia 2 2
x y ax  .
- 4
4
2

3. 21. Calcular
2
2 2 3
[(3 ) ( ) ]
3
y yy
x e x y dx x e coy dy

    alrededor de 2 2
: 1x y  
22. Calcular 2 2 2 2
(2 ) (3 )y x dx x y dy

     , si 2 2 2
: ( )x a y a   
23. Calcular 2 2 2
( ) ( )x y dx x y dy

     , si  es el contorno del triángulo de vértices
(1 , 1 )A , (2 , 2 )B y (1 , 3 )C recorrido en sentido antihorario.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LÍNEA
1.- Hallar el trabajo realizado por la fuerza 2
(2 , ,3 2 4 )      

F x y z x y z x y z al desplazar
una partícula en el plano XY a lo largo de la curva 2 2
1 x y en sentido antihorario Rpta:
2
2.- Una partícula se mueve a lo largo de la curva 2
: y x  , desde el punto 0 (1,1)P al 1(3,9)P , si el
movimiento se debe a la fuerza 2 2 2
( , ) ( )F x y x y i x y j   . Hallar el trabajo total realizado.
3.- Una fuerza en el espacio viene dada por ( , , ) ( , , ( 1))F x y z yz xz x y  . Calcular el trabajo
realizado por F al mover una partícula recorriendo una vez el contorno del triángulo de vértices
0 (0,0,0)P , 1(1 , 1 , 1)P y 2 ( 1 , 1 , -1)P  .
4.- Calcular el área de la región limitada por y x , 0y ;
2
 y x x
a) Mediante integral de línea.
b) Mediante integrales dobles.
5.- Una partícula se mueve a lo largo de una recta en 2
 que une los puntos A(a, b), B(c, d) debido a la
fuerza
2 2 3 / 2 2 2 3 / 2
( , ) ( ) y ( )F x y x x y i x y j 
    
 
a) Hallar el trabajo realizado
b) Demuestre que no varía si se toma una trayectoria diferente que une A y B sin pasar por el
origen.
6.- Una partícula da una vuelta alrededor del círculo unitario contrario al de las manecillas del reloj,
mientras está sujeta a la fuerza 3 3
( , ) ( ) (cos arctan(tan ))x
F x y e y i y x j   
 
Determinar el
trabajo realizado por la fuerza F
APLICANDO EL TEOREMA DE GREEN RESOLVER
1.- Verificar el teorema de Green y evaluar.
a) 2 3
(x ydx y dy

   , es la curva cerrada por las gráficas de y x , 3 2
y x de (0 , 0 )A
, (1 , 1 )B .
b) 3 3 3 3
(2 ) ( )x y dx x y dy

     , 2 2
: 1x y  
c) 2
ydx x ydy

   , curva cerrada por la gráfica de y x y 2
y x entre los puntos
(0 , 0 )A y (1 , 1 )B .
2. Calcular la integral curvilínea  2xydx xdy

 a lo largo del rectángulo de vértices 0 (0,0)P ,
1 (2 , 0)P , 2 (2 , 1 )P y 3 (0 , 1 )P .
3. Hallar 2 2 2 2
(2 2 ) ( 2 )     C
x y dx x xy y dy donde la curva C es el contorno del triángulo
con vértices en los puntos; (1,1), (3,3) y (1,3) en sentido antihorario. Rpta: - 08/3.
4. Calcular la integral curvilínea 2 2 3
(2 ) ( )xy y dx x y dy

     a lo largo del rectángulo de
vértices 0 (1,1)P , 1 (1 , 3)P , 2 ( 1 , 3 )P  y 3 ( 1 , 1 )P  .

4. 5. Calcular la integral curvilínea 2 3 2
( 5 3 ) (2 7 )x y x dx xy x dy

       a lo largo del
semicírculo superior de centro el origen y radio3.
6. Evaluar le integral ( 1) (1 )x y x y
x e dx x e dy

 
     donde λ es el arco de la circunferencia x2
+ y2
= 1 comprendido en los dos primeros cuadrantes.
7.- Calcular la integral 2 2 2
[ ]
C
x ydx x y dy  donde C es la circunferencia 2 2 2
x y R  recorrida en
el sentido contrario al de las agujas del reloj
8.- Calcular la integral 2 3 3
[ ], : ( ) (2 cos , 2sin ), [0, 2 ]
C
y dx xdy C t t t t   
9.- Evaluar la integral 2 2 2 2
( ( ))
C
x y dx y xy Ln x x y dy     donde C es el rectángulo
1 4, 0 2x y   
10.- Evaluar la integral 4 4
9
C
xy dx x ydy , donde C es la frontera de la región semianillar superior
comprendido entre las circunferencias 2 2
4x y  , 2 2
9x y 
11.- Evaluar la integral 3 2 2 3 2
( 6 3 ) (2 4 2 3 )
C
x x y y y dx x xy xy y dy       donde C es el
círculo 2 2
( 2) ( 2) 4x y   
AREA DE SUPERFICIES, INTEGRALES DE SUPERFICIE
APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE STOKES Y DE GAUSS
1. Encontrar el área de la porción del paraboloide 2 2
z x y  que se encuentra bajo el plano
4z  .
2. Hallar el área de la superficie limitada por los cilindros 2 2 2
x y a  , 2 2 2
y z a 
3. Hallar el área de la superficie de la esfera 2 2 2 2
x y z a   , en el primer octante positivo.
4. Calcular el área de la porción de la superficie cónica 2 2 2
x y z  situada entre los dos planos
0z  , 2 3x z  .
5.- Determinar el área de la parte de la esfera
2 2 2 2
4x y z a   interior al cilindro
2 2
2 , 0x y ay a  
6. Evaluar 2
S
x zdS suponiendo que S es la parte del cono circular 2 2 2
z x y  que se encuentra
entre los planos 1z  y 4z  .
7. Evaluar 2
( 2 )
S
y yz dS donde S es la parte del plano 2 2 6x y z  
8. Evaluar ( )
S
x z dS donde S es la parte del cilindro 2 2
9x y  entre 0z  y 4z  .
9. Evaluar .
S
F dS donde
2
2
( , , ) ( ) ( )x z
F x y z xy i y e j sen xy k    y S es la parte de la
región G acotada por el cilindro parabólico 2
1z x  y los planos 0z  y 2y z  .
10. Sea S la parte de la gráfica 2 2
9z x y   tal que 0z  y sea ( , , ) 3 3F x y z x i y j zk  
. Calcular el flujo de F a través de S .
11. Determinar el flujo del campo vectorial ( , , ) kF x y z x i y j z   a través de la esfera
2 2 2
: 9S x y z  
12. Determinar el flujo del campo vectorial ( , , ) kF x y z x i y j z   a través del elipsoide
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  

5. 13. Calcular el flujo del campo vectorial 2 2 2
( , , ) 3 4 5 kF x y z z i x j y   a través de
2 2 2
: 6S x y z   , 0z  , con sus normales apuntando hacia su exterior.
14.- Dada la función vectorial ( , , ) kF x y z xzi yz j xz  
 
,K es la porción de la esfera
2 2 2
16x y z   que se encuentra dentro del cilindro 2 2
1x y  y arriba del plano XY hallar la
circulación de F sobre el ciclo C y el flujo de F a través de la superficie K.
15. Aplicar el teorema de Stokes para calcular el flujo del campo vectorial
( , , ) kF x y z z i x j y   a través del hemisferio 2 2
: 1S z x y   .
16. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial ( , , ) 0 kF x y z y i x j   y la
superficie 2 2
: 1S z x y  
17. Sea  el triángulo orientado situado en el plano 2 2 6x y z   . Evaluar .F dr

 donde
2
( , , ) kF x y z y i z j x    (Aplicar el teorema de Stokes)
18. Comprobar el teorema de Stokes para 2
( , , ) 2 kF x y z z i x j y   donde
S Es la superficie del paraboloide 2 2
4z x y   y  es la traza de S .
19. Sea S la parte del paraboloide 2 2
9z x y   para 0z  y esa  es la traza de S en el plano
XY .Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial ( , , ) 3 4 2 kF x y z z i y j z   .
20. Un líquido está arremolinado en un depósito circular de radio 2 de forma que su movimiento
viene descrito por el campo de velocidades. 2 2 2 2
( , , )F x y z y x y i x x y j     .
Hallar ( ). N
S
rotF dS siendo S la superficie superior del depósito cilíndrico.
21. Usando el teorema de Gauss (divergencia) calcular 3 3 3
S
x dydz y dzdx z dxdy    , donde
2 2 2 2
:S x y z a   .
22. Sea Q la región sólida limitada por la esfera 2 2 2
4x y z   . Hallar el flujo exterior al exterior
del campo vectorial 3 3 3
( , , ) 2 2 2 kF x y z x i y j z   a través de la esfera dada, es decir,
calcular . N
S
F dS
23.- Sea la función vectorial ( , , ) kF x y z xi y j z   y K la superficie de la esfera con
centro (1,0,1) y radio 3, determinar el flujo de F hacia fuera de K aplicando teorema de la
divergencia.
24.- Aplicando el teorema de la divergencia calcular
C
F d es decir el flujo de F a través de la
superficie K.
a)
2 2
( , , ) kF x y z xy i yz j x z  
 
, K es la superficie del sólido comprendido entre los
cilindros 2 2 2 2
1, 4x y x y    y entre los planos 1, 3z z 
b)
2 2 2 2 2
( , , ) 3 9 4 kF x y z y z i x yz j xy  
 
, K es la superficie del cubo con vértices
1, 1, 1.   ( 1 1, 1 1, 1 1x y z         )
25.- Usando el teorema de Stokes determinar la circulación del campo vectorial
2 2 2
( , , )F x y z y z i z x j x yk  
 
por el contorno de C que es la intersección de la
superficie
2 2
z y x  con el plano x = 9. .
26.- Utilizando el teorema de Gauss. Calcular el flujo del campo vectorial
2 2
( , , ) 4 2F x y z x i y j z k  
 
a través de la superficie exterior al sólido
limitado por
2 2
, 0 3x y x z    .