Lista de ejercicios Matemática II

1. Lic. Segundo Oscar Minaya Salinas
LISTA DE EJERCICIOS Nº 3 – MATEMÁTICA II
COORDENADAS POLARES Y
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
I.- Transformar las siguientes ecuaciones
cartesianas en ecuaciones polares:
1) 2 2 x  y 6x 8y  0
2)
3
2
2
x
y
a x


, a
3) 2 y  2x 1 0
4) 2 2 3(x  2)  4y 16
5) 2 2 2 2x  y  a , a
6)
3
2
1
y
x
y


7)
2 2 ( ( ) )
1
xTg Ln x y
y
 

8)
2 2
4 4 2 2 (( ) ( ) )
2
2
x y x y
x y x y a
  
   , a  0
9)
2
2 2
2 2 2 2 ( ( ) 1) 0
( )
xy
x Sec x y
x Sec x y x
   
 
10) 4 2 3 2 2 2 4 x  y  2x  2xy  2x y  y  0
II.- Transformar las siguientes ecuaciones polares
en ecuaciones cartesianas:
1) r  aSen( ) bCos( ) , a,b
2) r(1Cos( ))  4
3) r  aSec( ) b , a,b
4) r(1 2Sen( ))  2
7) r(2Cos( ))  3
5) 2 2r 8r  7 Cos(2 )  0
6)
2
2 2
2 (2 )
a
r
Sen 


, a
8)
2
2 8 8 ( )
( )
Tg
r
Tg




9) 3 3 2 rTg( )  r Tg( )  aSec( ) r Tg( )Sen ( )
10) r[r(Sen(2 )Cos(2 )1) 4Cos( )]
2 2 2 Sen(2 )(1 r Sen ( ))
III.- 1) Hallar la ecuación de la recta polar que pasa
por los puntos en coordenadas cartesianas:
a) (1,1) y (1.5,0.5) b) (2,0) y (0,3)
2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el
punto 1 1 (r , ) y es perpendicular a la recta
rCos( )  p
3) Hallar la ecuación polar de las circunferencias
siguientes si los datos están dados en
coordenadas cartesianas:
a) Centro: C(2 2,2 2) y radio: r  3
b) Centro: C(0,3) y radio: r  5
4) Si C(c, ) son las coordenadas del centro de
una circunferencia de radio a, comprobar que
r  2aCos( ) es la ecuación de la
circunferencia que pasa por el polo.
5) Hallar la ecuación de la elipse con foco en el
polo, excentricidad e 1/2 y directriz
perpendicular al eje polar en el punto (4,0) .
6) Hallar la ecuación de la parábola con foco en
el polo y directriz perpendicular al eje polar
en el punto (3,0) .
7) Hallar la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de r 1Cos( ) en (1 ( 2/2), /4) .
8) Hallar la ecuación polar de la recta tangente
a la curva r  6Cos( ) en el punto (6, ) .
9) Hallar el valor del ángulo  , y el valor de
la pendiente de la recta tangente a la curva
2 2r  a (Cos(2 )) en el punto (a/ 2, /6) .
10) Comprobar que en los puntos de intersección
de las parábolas 2 r  aSec ( /2) y
2 r  bCsc ( /2) , sus rectas tangentes son
perpendiculares a,b / ab  0.
IV.- Discutir y graficar las siguientes ecuaciones
polares:
1) a r e  , a  
2) 2 3r Cos ( )  aSen( )
3) r  2aSec( ) 2aCos( )
4) r 1 Sen(2 )
5) r  a(1Cos( ))

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6) r  a(2Cos( ))
7) r(12Cos( ))  4
8) 2 2 r  a Cos(2 ) , a
9) r  Csc( )  2 , 0  
10) r  2Csc( )3
11)
3
1
( /3)
r
Sen 

12) r  3 Sen(3 )
13) r  3Cos(2 )
14) 2 r  4r 3 2Cos( )  0
15) r  2Sen( /2) 1
V.- Hallar los puntos de intersección de las
siguientes curvas, con a :
1) r 1 Sen( ) y r 1Cos( )
2) r 1Cos( ) y r  3Cos( )
3) 2 r  4Sen( )Cos ( ) y r  Sen( )
4) r  4(1 Sen( )) y r(1 Sen( )) 3
5) rSen( )  2a y r(Cos(  /6))  a
6) 2 r  9Cos(2 ) y r  2Cos( )
7) r  2Csc( ) y r  4Sen( )
8) 2 1
( /2)
2
r  Sec  y r  2
9) 3r  4Cos( ) y 2 rCos ( /2) 1/2
10) r 1 aSen( ) y r 1(a/3)Cos()
VI.- Calcular el área de las siguientes regiones
limitadas por:
1) 3 2 y  x 3x  2x , y  0 .
2) 2 2 y  2px, x  2py, p .
3)
2 2
2 2 1, 2
x y
x a
a b
   .
4) y  x 5  x 3 , x  y  2  0 .
5) 2 2 4 (4 x )y  x y sus asíntotas verticales.
6) 2 3 2 y  4x , y  2x .
7) 1 y x   e , la recta tangente a esta curva en
(3, y) y el eje X.
8) La región mayor encerrada por las gráficas
de 2 5x  y  0 y la elipse cuyos focos son
los puntos (0,6) y cuya longitud de su eje
menor es 6.
9) 4 4 2 2 x  y  x  y .
10) Entre la primera y segunda espira del espiral
de Arquímedes r  a , a .
11) Interior común a r  3a(Cos(2 )) y
r  a(1Cos(2 )) , a  0 .
12) Interior y exterior a 3r  aSen ( /3) , a .
13) Interior común a 2 r  2aCos ( /2) y
2 r  2aSen ( /2) , a .
14)
3
3
( ) ( )
( ) ( )
x t aCos t
y t bSen t
  
 
; a,b  0 .
15) La curva cerrada
2
2
1
at
r
t


,
1
t
t

 

, a .
VII.- 1) Determinar m de modo que la región que
está por encima de y  mx y debajo de la
parábola 2 y  2x  x tenga área igual 36u2.
2) El área de la región comprendida entre la
parábola 2 y 12x 6x y el eje X está
dividido en 2 partes iguales por una recta
que pasa por el origen, hallar la ecuación
de dicha recta.
3) La curva 3 y  4 x es cortada por una
parábola en los puntos (-1,5) y (1,3), si la
región limitada por ambas curvas tiene un
área de 4u2. Hallar la ecuación de la
parábola si en la región la parábola está por
encima de la curva.
4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por
el punto ( ,0) y que divide a la región
limitada por y  2Sen(x/2) y el eje X en 2
partes de tal forma que el área de la
primera es el doble que de la segunda.
5) Dos rectas 1 y  m x e 2 y  m x , 1 2 mm  0
intersectan a la región limitada por la
circunferencia 2 2 2 x  y  a y el eje X en 2
puntos de tal forma que la dividen región
en tres regiones de áreas iguales, hallar las
ecuaciones de dichas rectas.
VIII.- 1) Hallar el volumen del sólido S que es la
parte común de 2 cilindros circulares rectos

3. Lic. Segundo Oscar Minaya Salinas
de radio r, suponiendo que sus ejes se cortan
perpendicularmente.
2) La base de un sólido S es la región entre las
parábolas 2 y  x , 2 y  3 2x , hallar el
volumen del sólido si las secciones
transversales perpendiculares al eje Y, son
triángulos rectángulos isósceles, cada uno de
ellos con la hipotenusa sobre el plano XY.
3) Hallar el volumen del sólido formado al girar
un disco de 3cm de radio alrededor de una
recta que dista 5cm de su centro y que es
paralela a uno de sus diámetros.
4) Sean S1 una esfera de radio 5cm y S2 un cono
circular recto de altura 8cm y radio de la
base de 6cm, si el vértice del cono coincide
con el centro de la esfera, encontrar el
volumen común a S1 y S2.
5) Dos circunferencias con un diámetro común
se hallan en planos perpendiculares; un
cuadrado se mueve de manera que su plano
se mantiene perpendicular a este diámetro,
mientras sus diagonales son cuerdas de
dichas circunferencias, calcular el volumen
del sólido generado por el desplazamiento
del cuadrado, donde el radio de ambas
circunferencias es R.
IX.- Encontrar el volumen del sólido generado
por la región R alrededor de la recta L
donde:
1) 2 R: y  (x 1) , y  x 1
L: x 4  0
2) R: y  ArcCos(x), y  ArcSen(x), x 1
L: y  1;
3)
( ) 2
: , ,
1 ( ) 2 3
Sen x
R y x x
Cos x
 
  

L: y  0
4) 3 2 R: y  x 5x 8x  4, y  0
L: y  0
5) 2 2 R:3y 4x  6, 4y 3x  8, x (y 2)  25
L: x  0
6) 6 3 2 R: y  x 8, y  (x 2) , x  0
L: x 3  0
7) R: Triángulo equilátero de vértices (0,0);
(a,0); (a/2, 3a/2) ; L: y  0
8) R: Entre la curva
0 2 3
4
( 1)
x t
y dt
t


  , x 
y su asíntota, L es su asíntota.
9) R: r  a(1Cos( )) , a  0 , L: Eje polar.
10) R: r  aCos(2 ) , a  0 , L: Eje polar.
11) 2 R: r  aCos ( ) , a  0 , L: Eje polar.
12) De la rotación de la figura limitada por
las curvas 3   r ,   , L: Eje polar.
13) De la rotación de la región
a  r  a 2Sen(2 ) , a  0 , L: Eje polar.
14)
( ) ( ( ))
: , [0,2 ], 0
( ) (1 ( ))
x t a t Sen t
R t a
y t a Cos t

  
  
  
L: x  a
15)
2
3
( ) 2
:
( ) 4
x t t t
R
y t t t
   
  
,
a) L: x  0
b) L: y  0
X.- Determinar la longitud de arco de las
siguientes curvas:
1) f (x)  Ln(Ctgh(x/2)) , x[a,b] , a  0
2) 2 2 1 1
( ) 1 ( 1)
2 2
f x  x x   Ln x  x  , x[3,5]
3) ( ) ( ) x f x  ArcSen e , x[Ln(2),0]
4) 2 1 1
( ) ( )
4 2
f y  y  Ln y , y[1,e]
5) 2 ( ) 1 ( ) 1 x x f x  e   ArcSec e  , x[0,4]
6)
1
( )
1
x
x
e
f x Ln
e
  
  
  
, x[a,b]
7)
( ) ( )
( ) ( )
t
t
x t e Sen t
y t e Cos t
  
 
, t[0,1]
8)
( ) (2 ( ) (2 ))
( ) (2 ( ) (2 ))
x t a Cos t Cos t
y t a Sen t Sen t
  
  
, a ; t[0, ]

4. Lic. Segundo Oscar Minaya Salinas
9)
( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ( ) ( ))
x t a Cos t tSen t
y t a Sen t tCos t
  
  
, a,  ; t[0,]
10)
1
1
( )
( )
( )
( )
t
t
Cos x
x t dx
x
Sen x
y t dx
x

 
 



, desde el origen de
coordenadas hasta el punto más próximo
donde la tangente es vertical.
11) 3r  aSen ( /3) , a ,  [0,3 ]
12) r  a(1Cos( )) , a ,  [0,2 ]
13)
1 1
2
r
r

 
   
 
, r[1,3]
14) r  aTgh( /2) , a ,  [0,2 ]
15)
0
r Senh( )
d

 

  , r[0,a]
XI.- Hallar el área de la superficie de revolución
de la curva dada por:
1) 3 1
3
y  x , x[0,2], si gira alrededor del eje X.
2) 2 x  4y  2Ln(x) , x[1,2], si gira alrededor
del eje Y.
3) 5/3 1/3 3 3
5 4
x  y  y , y[0,1] si gira alrededor
de la recta y  1.
4) 2 2 2x  y y 1 Ln(y  y 1) , y[2,5] , si
gira alrededor del eje Y.
5) 2 4 4 6a xy  x 3a , x[a,2a] si gira alrededor
del eje X.
6) 2 2 2 x  (y b)  a , 0  a  b, si gira alrededor
del eje X.
7)
( ) ( ( ))
( ) (1 ( ))
x t a t Sen t
y t a Cos t
  
  
, t[0,2 ] , a , si
gira alrededor del eje Y.
8)
( ) ( ( ) ( ( /2))
( ) ( ( ))
x t a Cos t Ln Tg t
y t a Sen t
  
 
, t[0, ] ,
a ; si gira alrededor del eje X.
9) r 1Cos( ) , situada entre el eje polar y el
eje  /2 , si gira alrededor del eje  /2 .
10) 2 2 r  a Cos(2 ) , a , si gira alrededor
del eje polar.
XII.- 1) Hallar las coordenadas del centro de
gravedad de la figura limitada por:
2y  x , y  x .
2) Hallar las coordenadas del centroide
de la región limitada por la curva:
y  x ln(x) , el eje X y la recta x  e .
3) Hallar las coordenadas del centro de
gravedad de la región limitada por: y  x ,
2
, si 1
, si 1
x x
y
x x
 
 
 
, x  2 .
4) Hallar las coordenadas del centro de
gravedad de la región limitada por:
3
y  x 1, x  1, x  2, y  0 .
XIII.- 1) La región limitada por las gráficas de:
2 y  20x , 2 x  20y gira alrededor de la
recta 3x  4y 12  0, calcular el volumen
del sólido generado.
2) Hallar el volumen del solido generado por
la revolución de un rectángulo cuyos lados
miden a y b, (a  b  0) , alrededor de un
eje que pase por un vértice,
perpendicularmente a la diagonal.
3) Un hexágono regular de lado a, gira
alrededor de uno de sus lados, hallar el
volumen V y el área S de la superficie del
sólido generado.
4) Una astroide
3
3
( ) ( ( ))
( ) ( ( ))
x t a Cos t
y t a Sen t
  
 
, t[0,2 ] ,
gira alrededor de una recta que atraviesa 2
picos contiguos, Hallar el volumen y el
área de la superficie del sólido generado.