hoja de pràctica

1. Departamento de Ciencias – UPNC
Facultad de Estudios Generales
CÁLCULO II
UNIDAD 1: Integral definida y sus aplicaciones.
SESIÓN 8: Longitud de arco, áreas de superficies de revolución y centroide.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular la longitud de arco de las curvas
dadas por las siguientes funciones:
a) 𝑦 = 𝑥3/2
entre 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3
b) 𝑦 =
2
3
(𝑥2
+ 1)3/2
entre 𝑥 = 1 y 𝑥 = 2
c) 𝑦 = (9 − 𝑥2/3
)3/2
entre 𝑥 = 1, 𝑥 = 27
d) 𝑦 =
𝑥4+3
6𝑥
entre 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3
e) 𝑥 =
𝑦4
16
+
1
2𝑦2 entre 𝑦 = −3 y 𝑦 = −2
2. Determine la longitud exacta de las
siguientes curvas
a) 𝑦 = 1 + 6𝑥3/2
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
b) 𝑦2
= 4(𝑥 + 4)3
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑦 > 0
c) 𝑦 =
𝑥3
3
+
1
4𝑥
, 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
d) 𝑥 =
𝑦4
8
+
1
4𝑦2 , 1 ≤ 𝑦 ≤ 2
e) 𝑥 =
1
3
√ 𝑦(𝑦 − 3), 1 ≤ 𝑦 ≤ 9
3. Encuentre la función longitud de arco para la
curva 𝑦 =
3
2
𝑥2
−
1
12
ln 𝑥, tomando a 𝑃(1,1)
como el punto de partida
4. Halle la longitud de arco de la curva desde el
punto 𝑃 hasta el punto 𝑄
a) 𝑦 =
1
4
𝑥2
, 𝑃(−1,
1
4
), 𝑄(1,
1
4
)
b) 𝑥2
= (𝑦 − 2)3
, 𝑃(1, 3), 𝑄(2√2, 4)
5. En los siguientes problemas encuentre el
área de la superficie generada al hacer girar
la curva dada alrededor del eje X
a) 𝑦 = 4𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
b) 𝑦 = √25 − 𝑥2 , − 2 ≤ 𝑥 ≤ 3
c) 𝑦 =
𝑥3
9
, 1 ≤ 𝑥 ≤ √5
d) 𝑦 = (𝑥6
+ 2)/(8𝑥2
), 1 ≤ 𝑥 ≤ 3
6. Determine el área de la superficie obtenida
al hacer girar la curva en torno al eje X.
a) 𝑦 = 𝑥3
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
b) 9𝑥 = 𝑦2
+ 18, 2 ≤ 𝑥 ≤ 6
c) 𝑦 = √1 + 4𝑥, 1 ≤ 𝑥 ≤ 5
d) 𝑦 = √1 + 𝑒 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
e) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
f) 𝑦 =
𝑥3
6
+
1
2𝑥
,
1
2
≤ 𝑥 ≤ 1
g) 𝑥 =
1
3
(𝑦2
+ 2)3/2
,
1
2
≤ 𝑦 ≤ 2
h) 𝑥 = 1 + 2𝑦2
, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2
7. Un grupo de ingenieros está construyendo
un plato de satélite parabólico cuya forma se
obtiene al hacer girar la curva 𝑦 = 𝑎𝑥2
en
torno al eje 𝑌. Si el plato tiene un diámetro
de 8 pies y una profundidad máxima de 3
pies, encuentre el valor de 𝑎 y el área
superficial del plato

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Facultad de Estudios Generales
8. Un grupo de ingenieros está construyendo
un plato de satélite parabólico cuya forma se
obtiene al hacer girar la curva 𝑦 =
𝑥2
𝑎2 en
torno al eje 𝑌. Si el plato tiene un radio de 3
pies y una profundidad máxima de 2 pies,
encuentre el valor de 𝑎 y el área superficial
del plato.
9. Un cable eléctrico soportado por dos
postes distantes entre sí 36 metros, adopta
la forma de una catenaria de la ecuación:
𝑦 = 9 (𝑒
𝑥
18 + 𝑒−
𝑥
18)
Calcular la longitud del cable.
10. Un cable eléctrico soportado por dos
postes distantes entre si 28 metros, adopta
la forma de una catenaria de la ecuación:
𝑦 = 7 (𝑒
𝑥
14 + 𝑒−
𝑥
14)
Calcular la longitud del cable.
11. Un cable eléctrico soportado por dos
postes distantes entre si 48 metros, adopta
la forma de una catenaria de la ecuación:
𝑦 = 12 (𝑒
𝑥
24 + 𝑒−
𝑥
24)
Calcular la longitud del cable.
12. Demostrar que el área de la superficie de
una esfera de radio 𝑅 es 4𝜋𝑅2
.
13. Calcular el área de la superficie de una
esfera de diámetro 𝑅.
14. Demostrar que el área de la superficie
lateral de un cilindro de radio basal R y
altura H es 2𝜋𝑅𝐻.
15. La curva: 𝑦 = 𝑥 + 2, 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 gira
alrededor de la recta 𝑦 = 𝑥 formando un
cilindro de revolución. Calcular el área de la
superficie de dicho cilindro.
16. Determina el área superficial lateral del
cono formado por la curva: 𝑦 = 2𝑥,
0 ≤ 𝑥 ≤ 1, que gira alrededor del eje 𝑋.