1. El origen de los números se remonta a la época del hombre primitivo, quien desarrolló sistemas de numeración para cuantificar sus posesiones y territorios. Cada civilización inventó sus propios símbolos numéricos. Los sistemas más antiguos eran no posicionales, mientras que los hindúes desarrollaron el sistema posicional actual.

1. 1-Ensayo: El Origen de los números
El origen de los números se remonta a la época del hombre primitivo, este empezó a
valerse de un sistema numérico por que tuvo muchas razones y situaciones cotidianas
que lo impulsaron a tratar de cuantificar todo lo que le rodeaba. En su etapa sedentaria se
vio forzado a emplear algún método de conteo, ya fuera para saber cuántas cabezas de
ganado u ovejas poseía como también para conocer el número de armas que tenía,
o para cuantificar la extensión de los terrenos sembrados o conquistados.
El tener el hombre antiguo un sistema base de medida, se vio en la necesidad de
cuantificar las medidas en su modo base de contar, esta operación la llevó a cabo, por
ejemplo, utilizando un sistema de rayas rasgadas en las paredes o pintadas en papiro;
Otro método era haciendo marcas en los troncos de los árboles o cortes sobre una vara
para llevar un registro permanente de las cosas. Cada pueblo o tribu tuvo que inventar
sus propias palabras y signos para representar sus operaciones de conteos realizados,
con el comercio los antiguos mercaderes estaban obligados a saber una gran variedad de
sistemas de medidas y numeración, a fin de poder comerciar con los diferentes pueblos o
tribus. El sistema de numeración aditivo acumula los símbolos de todas las cifras hasta
completar el número deseado, una de las características es que los símbolos se pueden
colocar de cualquier forma u orden. El sistema hibrido combina el principio del sistema
aditivo con el multiplicativo, pero el orden en la escritura de las cifras es muy fundamental
para evitar confusiones en su interpretación. Numeración posicional, este sistema es el
mejor y más desarrollado sistema inventado por las civilizaciones antiguas, en ellos la
posición de las cifras indica la potencia de la base que le corresponde. Solamente tres
culturas lograron implementar este sistema. Para la civilización egipcia se data que
ellos crearon la escritura más antigua que se conoce, la escritura jeroglífica fue
desarrollada por dibujos que representaban la idea del número. Los griegos aprendieron
de los egipcios y de los fenicios, tomaron el diez como número básico, su sistema de
numeración era literal usando letras del alfabeto como símbolos para los números.
Los romanos adoptaron gran parte de las unidades literales griegas, a las que les
incorporaron algunas propias como la libra y entendieron su uso por todos sus dominios
conquistados. Utilizaron signos simples combinados con algunas letras, para construir un
sistema que era mucho más fácil de manejar. El sistema literal de numeración romano no
utiliza el principio del valor relativo, el valor de los símbolos siempre es el mismo sin que
influya el lugar que ocupan. Los hindúes dominaron por completo el arte de contar. El
sistema numérico actual llamado arábigo no fue inventado por los árabes, sino por
los hindúes, ellos recogieron este gran conocimiento y lo introdujeron en Europa, al
cero lo llamaron céfer, que en el idioma árabe significa vacío.
Cada una de las civilizaciones aporto y desarrolló su sistema de numeración, pero la
civilización de india aporto mucho o más bien logro obtener parte de lo que es el sistema
actual de numeración, pero a este sistema se reconoce como indo arábiga, debido a que
los árabes sustrajeron dicha información delos hindúes, los árabes fueron los que dieron a
conocer dicho sistema de numeración, pero los que desarrollaron y crearon este sistema
fueron los hindúes.

2. 2-Reporte: Numeración no posicional
En los sistemas no-posicionales el valor del símbolo utilizado no depende de la posición
que ocupa en la expresión del número. Un ejemplo de este tipo de sistemas es el sistema
de los números romanos. En el número romano XIX (19) los símbolos X (10) del inicio y
del fin del número equivalen siempre al mismo valor, sin importar su posición.
Estos son los más antiguos, se usaban por ejemplo los dedos de la mano para
representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También
se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Entre ellos están los
sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana. Numeración romana El
sistema de numeración romana es un sistema de numeración no posicional que se
desarrolló en la Antigua Roma y se utilizó en todo el Imperio romano. Este sistema
emplea algunas letras mayúsculas como símbolos para representar ciertos números, la
mayor parte de números se escriben como combinaciones de letras. Numeración egipcia
El sistema de numeración egipcio permitía representar números, desde el uno hasta
millones, desde el inicio del uso de la escritura jeroglíficos. A principios del tercer milenio
a.C. los egipcios disponían del primer sistema desarrollado decimal (numeración de base
10). Aunque no era un sistema posicional, permitía el uso de grandes números y también
describir pequeñas cantidades en forma de fracciones unitarias: las fracciones del Ojo de
Horus. Las cantidades se representaban de una forma muy larga. Éste es uno de los
sistemas de numeración más antiguos.
3-Reporte: Números naturales
En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan
para contar los elementos de ciertos conjuntos, como también en operaciones
elementales de cálculo. Son aquellos números naturales que sirven para contar
elementos por lo que son enteros por ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9… Por definición
convencional se dirá que cualquier miembro del siguiente conjunto, ℕ = {1, 2, 3, 4,…}, es
un número natural. De dos números vecinos cualesquiera, el que se encuentra a la
derecha se llama siguiente o sucesivo, por lo que el conjunto de los números naturales es
ordenado e infinito.
El conjunto de todos los números naturales iguales o menores que cierto número
natural {k}, es decir, el conjunto {1,2,…, k-1, k}, se llama segmento de una sucesión
natural y se denota |1, k| o bien [k]
Los números naturales están totalmente ordenado. La relación de orden ≤ se puede
redefinir así: a ≤ b si y solo si existe otro número natural c que cumple a + c = b. Este
orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son
números naturales y a ≤ b, entonces se cumple:
a + c ≤ b + c
a × c ≤ b × c

3. 4-Reporte: Número enteros
Un número entero es cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales, sus
opuestos (versiones negativas de los naturales) y el cero.
Estos son: -Los naturales (o enteros positivos): +1, +2, +3, +4, +5...
-El cero, que no es ni positivo ni negativo.
-Los enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5...
-El conjunto de los enteros se designa por Z, (nótese que no es una Z). En notación matemática:
Diferencia entre un número natural y un entero Pues es muy fácil, como ya lo comentamos, un
entero abarca tanto números positivos, como números negativos, mientras que los naturales solo
abarcan números positivos.
Similitud entre un número natural y un número entero Como su única diferencia son los signos
positivo y negativo, entonces su similitud es todo. Son cualquier infinidad de números que no sean
fracciones o decimales, deben ser exclusivamente cantidades cerradas.
5-Reporte: Números Racionales
Es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o,
más precisamente, un entero y un natural positivo;1
es decir, una fracción común a/b con
numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción
o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q que deriva de
«cociente. Este conjunto de números incluye a los números enteros (z), y es un subconjunto
de los números reales (r). La principal razón por la cual existe una diferencia entre estos
dos tipos de números es la manera de representación de cada tipo. Los números enteros
se representa por uno o varios dígitos que van del 0 al 9, además el número posee un signo
que en caso de ser positivo se omite, mientras que los números racionales se representan
por un par de enteros, uno de los cuales es numerador y otro (no puede ser cero) que se
llama denominador. También se pueden utilizar un número infinito de pares para
representar el mismo racional. El hecho de que un número racional acepte muchas
representaciones como par de enteros, es una de las diferencias sustanciales entre los
enteros y los racionales y esto lleva frecuentemente a dificultades en la comprensión y el
trabajo con este tipo de números.

4. 6-Reporte: Números Irracionales
Tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no
periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un
cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número
√2, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato,
cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado,
fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias
raciones o fracciones.
Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que
los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por
ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz
cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su
fraccionamiento resulta imposible.
Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de
decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135
esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene
infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un
decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número
irracional, solo es una aproximación en números racionales.
7-Reporte: Números naturales reales
-Números reales: Los números reales comprenden tanto a los números racionales como
también a los irracionales. El sistema de números reales puede ser dividido en muchos
subconjuntos. Un número real se refiere a cualquier número que puede encontrarse en
una recta numérica. La recta numérica puede definirse como una línea geométrica donde
se traza un punto de origen. Los puntos que se encuentran en el lado derecho del origen
son considerados como números positivos, mientras que los números en el lado izquierdo
del origen se consideran negativos.
-Número racional: Un número racional es un número que está determinado por una
relación que se define como (p/q), donde p representa algún entero y q un número natural
distinto de cero. Estos números constituyen un subconjunto de los números reales. Por
otro lado, los números reales que no puede ser expresado como el cociente de dos
enteros se denominan números irracionales.
-Diferencias clave entre número racional y número real. Los números reales pueden ser
racionales o irracional y pueden tomar cualquier valor expresado en una recta numérica;
mientras que los números racionales son los que pueden expresarse en forma de
fracción, pero con un denominador distinto de cero. Los números reales incluyen (pero no
se limitan): números positivos, negativos, enteros, racionales, raíces cuadradas, raíces
cúbicas… Los números racionales incluyen: 3/4 como una forma de fracción. Raíz
cuadrada de 16, que sería 4 y podría expresarse como 4/1. Las repeticiones de decimales
son racionales, ejemplo: 0.777777.

5. 8-Reporte: Números imaginarios
Son números complejos cuya parte real es igual a cero. Un número imaginario puede describirse
como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, donde la letra i denota la raíz
cuadrada de -1. Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
Un número imaginario se denota por bi, donde: b es un número real e i es la unidad imaginaria:
√¯-1 = a i. Cada número imaginario puede ser escrito también como i·r donde r es un número real
e i es la unidad imaginaria.
Los valores de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro. Los números
imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo.
-Partiendo de que la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un número
imaginario (por ejemplo: √¯-36 = √¯ (-36) (-1) = √¯36 √¯-1 = 6 i).
-Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo (i² = -1) .
-Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números
complejos.
-Los números imaginarios, al igual que los números reales, no pueden ser ordenados de acuerdo a
su valor.
-Para los números imaginarios no se cumple: 1 > 0 y -1 < 0.
-Los números imaginarios formalmente no pertenece al conjunto de los números reales ni al
conjunto de los números racionales.
-El número imaginario es tan real como cualquier otro natural, entero o fraccionario, ya que se
ocupa igualmente para describir la realidad, y es tan racional y entendible como cualquier número
irracional.
-Estos tienen una infinita cantidad de decimales.
-Al multiplicar un número complejo por la unidad imaginaria rota un ángulo e 90º, pero mantiene
su valor absoluto.
-Uno de los valores de ii es un número real.
9-Reporte: Fractales
La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o
simplemente “roto” o “quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensión es
fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro
The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce,
generalmente, como geometría fractal.
Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala,
su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal. El hecho que goce de
autosimilitud significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es
decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un
aumento doble el dibujo es exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000
comprobaremos la misma característica, así pues si hacemos un aumento n, el dibujo
resulta igual luego las partes se parecen al todo.
Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente
mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye.

6. Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son
considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas,
las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no
así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.
Algunas definiciones sencillas extraídas de ensayos y libros acerca del tema:
 Modelos infinitos comprimidos de alguna manera en un espacio finito
 Bellísimos y fascinantes diseños de estructura y complejidad infinita.
Resumen de las propiedades de los fractales:
 Dimensión no entera.
Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un
número entero sino un número generalmente irracional.
 Compleja estructura a cualquier escala.
Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la
escala a la cual lo observemos.
 Infinitud.
Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del
instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o
perímetro.
 Auto similitud en algunos casos.
Existen fractales plenamente auto similar de manera que el todo está formado por
pequeños fragmentos parecidos al todo.
Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño. Ejemplos de
autosimilaridad
 Fractales naturales son objetos naturales que se pueden representar
con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con
autosimilaridad estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza
se diferencian de los fractales matemáticos en que los naturales son
aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende solo a un
rango de escalas.
 Conjunto de Mandelbrot es un fractal autosimilar, generado por el
conjunto de puntos estables de órbita acotada bajo cierta
transformación iterativa no lineal.
 Paisajes fractales, este tipo de fractales generados computacionalmente
pueden producir paisajes realistas convincentes.
 Fractales de pinturas, se utilizan para realizar el proceso
de decalcomanía. No basta con una sola de estas características para
definir un fractal.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito
mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio,
las líneas costeras3 o los copos de nieve son fractales naturales. Esta
representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos
fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.