![ El proceso para obtener la derivada de una función se
denomina "derivación". Se efectuarán según las reglas, y
estableceremos en los siguientes teoremas:
Teorema 1. Sea k una constante, Si f(x)=k entonces
f´(x)=0.
Teorema 2. Si f(x)=x entonces f´(x)=1.
Teorema 3. Si n es número racional y f(x)=xn, entonces:
f´(x)=nxn-1
Teorema 4. Si k es una constante y f es diferenciable
entonces:
Dx[kf(x)]=k.f´(x)
Teorema 5. Si f y g son funciones diferenciables entonces:
Dx[f(x)+g(x)] = f´(x) + g´(x)
Teorema 6. Si f y g son funciones diferenciables entonces:
Dx[f(x)g(x)] = f´(x) .g(x)+f(x) g´(x)
Teorema 7. Si f y g son funciones diferenciables entonces:](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 2. El proceso para obtener la derivada de una función se denomina "derivación". Se efectuarán según las reglas, y estableceremos en los siguientes teoremas: Teorema 1. Sea k una constante, Si f(x)=k entonces f´(x)=0. Teorema 2. Si f(x)=x entonces f´(x)=1. Teorema 3. Si n es número racional y f(x)=xn, entonces: f´(x)=nxn-1 Teorema 4. Si k es una constante y f es diferenciable entonces: Dx[kf(x)]=k.f´(x) Teorema 5. Si f y g son funciones diferenciables entonces: Dx[f(x)+g(x)] = f´(x) + g´(x) Teorema 6. Si f y g son funciones diferenciables entonces: Dx[f(x)g(x)] = f´(x) .g(x)+f(x) g´(x) Teorema 7. Si f y g son funciones diferenciables entonces:
- 10. Sea u una función diferenciable de x, luego se define Aquí se calculan las derivadas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, y se usan en el cálculo de otras funciones. Ahora, procedemos a calcular las derivadas de algunas de las funciones trigonométricas básicas, utilizando la definición y las propiedades estudiadas en capítulos anteriores. Luego se dará una tabla con las derivadas de las seis funciones trigonométricas básicas.
- 11. Funciones Trigonométricas Inversas La función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa de f(x) = sen x, llamada «arco-seno» y que se simboliza por arc sen x. Derivada de la función arc sen x La función sen x tiene una función inversa llamada arco-seno y se simboliza por arc sen x. De la conocida fórmula sen2 y + cos2 y = 1, cos2y = 1 sen2y ®
- 12. Derivada de la función arc cos x Análogamente, la función cos x tiene una función inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza por arc cos x. De y = arc cos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena. Derivada de la función arc tg x La inversa de la función tg x se llama «arco- tangente» y se simboliza por arc tg x. y = arc tg x, x = tg y. Derivando por la regla de la cadena. Derivada de la función arc cotg x La inversa de la función cotg x se llama «arco-cotangente» y se simboliza por arc cotg x. Si y = arc cotg x, x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena.
- 13. Derivada de la función arc sec x Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una función inversa llamada «arco secante» y simbolizada por arc sec x. y = arc sec x, x = sec y. Derivando por la regla de la cadena, 1 = y' · sec y · tg y = y' · x · tg y (1) Derivada de la función arc cosec x Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior, y = arc cosec x, x = cosec y Derivando: 1 = - y' · cosec y · cotg y = - y' · x · cotg y (1)