calculo

2. TEOREMAS SOBRE DERIVADAS
Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada
utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso.
Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los
teoremas sobre derivadas.
TEOREMA 1
La derivada de una función constante es cero.
Prueba: Ejercicio para el estudiante.
EJEMPLO:
3.3 TEOREMAS PARA LA OBTENCIÓN DE DERIVADAS DE FUNCIONES
ALGEBRAICAS.

3. TEOTREMA 2
Si F(x)= x<n entonces F es derivable sobre R y Dx F(x) = Dx = 1
Prueba: Ejercicio para el estudiante.
EJEMLPLO:
TEOREMA 3
Si F(x)= x<n con n E Q y x pertenece al conjunto A en el que x está bien definida, entonces f es derivable en A y D
X<n = n<x-1
EJEMLPLO:

4. TEOREMA 4
Si la función F es derivable sobre un intervalo K y C es un número real, entonces la función G para la que g(x)= C f(x)
es derivable sobre K además Dx [C f(x) = C Dx f(x)
Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante por una función derivable, es igual al producto de
la constante por la derivada de la función.
EJEMPLO:

5. TEOREMA 5
si la F y G son funciones derivable sobre un intervalo K, entonces la función h 0 F+G es derivable sobre k y además Dx
f(X)+g(x) = Dx g(x), para x E k
se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es igual ala suma de las derivadas de cada una de las
funciones. También:
Dx f1(x) +F2(x)+F3(x)+....+Fn(X)= Dx f1(x)+Dxf2(x)+Dxf3(x)+...Dxfn(x) donde f1,f2..,fn son funciones derivables sobre un
intervalo K.
EJEMPLO:
TEOREMA 6
si la f y g son funciones derivables sobre un intervalo k entinces la funcion f-g es derivables sobre k, y ademas para
cualquier x e k se tiene que dx f(x)-g(x)= dxf(x)-dxg(x)
EJEMPLO:

6. TEOREMA 7
Si f y g son funciones derivables sobre un intervalo k entonces la función H= f.g es derivable sobre k, y además para
cualquier x E k se tiene que Dxf(x)= f(x)Dxg(x)+g(x)Dxf(x)
puede decirse que la derivada del producto de funciones, es igual al producto de la primera función por la derivada
de la segunda, mas el producto de la segunda función por la derivada de la primera
EJEMPLO:

7. TEOREMA 8
Si f y g son dos funciones derivables y si g(x) / 0 sobre un intervalo k entonces la funcion h=f/g es derivable sobre k, y
ademas para cualquier x E k y se tiene que
Puede decirse que la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del
numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del
denominador.
EJEMPLO:

8. 3.4 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA (REGLA DE LA CADENA).
La gran mayoría de las funciones que se estudian en cálculo están construidas por una composición de funciones, de
aquí la importancia de conocer un método sencillo para diferenciar dichas funciones; el método utilizado para hallar la
derivada de una función compuesta se conoce como "Regla de la cadena".

9. En los siguientes ejercicios obtenga la derivada de la función que se indica aplicando la regla de
la cadena:
EJEMPLOS:

10. 3.5 LA DERIVADA COMO VELOCIDAD INSTANTANEA:
Si s(t) es la posición de una partícula en cualquier instante
t Definimos la velocidad instantánea en un instante t0 como el límite
de la velocidad media si el intervalo de tiempo tiende a cero:
vi=

11. 3.6 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA
• La derivada implícita de una función implícita se obtiene derivando
la función, después de despejar la variable y, que es la que se
considera variable dependiente (a esta derivada la llamaremos y’),
considerando que es función de x.