Trabajo acerca de las derivadas

1. 1
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
Instituto Universitario de Tecnología
“Antonio José de Sucre”
Extensión San Cristóbal
derivadas
Apellidosynombres:
Mejía VillamizarStephanyYorliet
Cedula:
28.257.814
DiseñoGrafico

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San Cristóbal, Febrero de 2022
Indice.
 Índice.
 Introducción………………………………………………………3
 Derivadas ………………………………………………………..4
 Historia de las derivadas………………………………………..4
 Reglas de la derivación ………………………………………...5
 La derivada de una constante………………………………….5
 La derivada de una potencia entera positiva…………………5
 La derivada de una constante por una función……………..5
 La derivada de una suma……………….……………………...5
 La derivada de un producto…………………………………….6
 La derivada de un cociente……………………………………..6
 Las derivadas de las funciones trigonométricas……………..6
 La regla de la cadena…………………………………………...8
 Teorema. (Regla de la cadena)………………………………..8
 Funciones Trigonométricas Inversas………………………….9
 Derivada de la función arc sen x…………………………...….9
 Derivada de la función arc cos x……………………………....9
 Derivada de la función arc tg x…………………………………9
 Derivada de la función arc cotg x………………………………9
 Derivada de la función arc sec x……………………………….9
 Derivada de la función arc cosec x…………………………….9
 Las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas: …..9
 Circunferencia trigonométrica: …………………………………10
 La definición de las funciones circulares………………………11
 Relaciones elementales: ………………………………………..11
 Dominios y gráficas: ……………………………………………..12
 El coseno y su inversa: ………………………………………….13
 La tangente y su inversa…………………………………………13
 Fórmulas de la suma y diferencia de argumentos.……………14
 Factorizaciones …………………………………………………..16
 Conclusión ……………………………………...………………...18
 Bibliografía ……………………………………......………………19

3. 3
Introducción
La matemática tienen su origen en la realidad física, con ellas tratan de resolver
problemas prácticos y se sustentan por su capacidad para tratar, explicar,
predecir y modelar situaciones reales y dar rigor a los conocimientos científicos.
Siendo una área tan amplia se dividen en varias ramas, una de ellas son las
derivadas, que se utilizan no solo en las matemáticas si no que también son
aplicadas en la física, química y biología siendo necesarias medir la rapidez
con que se produce el cambio de una situación.

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Derivada
La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de
una función en un determinado punto. Es decir, qué tan rápido se está
produciendo una variación.
La definición de derivada es la siguiente:
Una función es la relación entre dos valores, en el cual un valor depende el
otro. Existe una diferenciación entre varios valores, puesto que un valor (por
ejemplo, X) cambia a causa de otro valor (por ejemplo, Y). La derivada es la
razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función, según
se modifique el valor de su variable independiente. En una gráfica ambos
valores incrementan progresivamente, y de esta forma se ven alterados.
Historia de las derivadas
El cálculo infinitesimal y los problemas que le dieron origen ya se empezaron a
estudiar en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no fue
hasta el siglo XVII cuando se dio con los métodos sistemáticos de resolución
gracias a Isaac Newton y Gottfried Leibniz.
Pero ¿y las derivadas? ¿Cómo surgieron? Pues fueron origen de dos
conceptos de tipo geométrico: el problema de la tangente a una curva y el
Teorema de los extremos: máximos y mínimos. En su conjunto dieron lugar a lo
que hoy en día conocemos como cálculo diferencial.
Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usar los
infinitesimales y, durante el siglo XVII, se usaron cada vez más para resolver
problemas de cálculos de tangentes (que darían origen al cálculo diferencial),
áreas y volúmenes (que darían origen al cálculo integral). Posteriormente, los
algoritmos usados se resumieron en lo que actualmente llamamos «derivada»
e «integral» a finales del siglo XVII.
La historia reconoce a Isaac Newton y Gottfried Leibniz como los creadores del
cálculo diferencial e integral. Mientras que ellos desarrollaron reglas para
manipular las derivadas (reglas de derivación), Isaac Barrow demostró que la
derivada y la integral son conceptos inversos.
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes
mediante un algoritmo para derivar funciones algebraicas, mientras que

5. 5
Gottfried Leibniz formuló y desarrolló el cálculo diferencial. Además, este último
es el inventor de los nombres de cálculo diferencial y cálculo integral y de
diversos símbolos matemáticos, como el símbolo de derivada y el símbolo de la
integral.
Reglas de la derivación
A continuación te mostraremos algunos ejemplos para que notes cómo se van
desarrollando las reglas de derivación
La derivada de una constante
Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante
es cero. Veamos un ejemplo.
f(x) = 7
f '(x) = 0
La derivada de una potencia entera positiva
Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1, entonces:
f(x)= x5
f '(x)= 5x4
Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5, aún no podemos derivar la
función porque no sabemos cuál es la regla para derivar ese tipo de
expresiones.
La derivada de una constante por una función.
Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la
constante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:>
f(x)= 3x5
f '(x)= 3(5x4) = 15x4
La derivada de una suma
Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para
la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de
funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por
separado. Entonces:
f(x)= 2x3 + x

6. 6
f '(x)= 6x2 + 1
La derivada de un producto
Aún no hemos dicho cual es la regla para derivar un producto de funciones, la
regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se
interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por
la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".
f(x)= (4x + 1)(10x2 - 5)
f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5)
La derivada de un cociente
Ahora daremos la regla para la derivada de un cociente.
f f 'g - fg'
[ ]'=
g g2
Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la
derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre
la segunda al cuadrado.
4x + 1
f(x) =
10x2 - 5
4(10x2 - 5) - 20x(4x + 1)
f '(x) =
(10x2 - 5)2
Las derivadas de las funciones trigonométricas
Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de las funciones
trigonométricas.

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f(x) = sen(x)
f(x+h) - f(x) sen(h + x) - sen(x)
=
H H
cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
=
H
cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
f '(x) = Lim[ ] = cos(x)
h 0
h
El resto de las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas
f(x)= sen(x) f '(x)= cos(x)
f(x)= cos(x) f '(x)= -sen(x)
f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x) f '(x)= sec2(x)
f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x) f '(x)= -csc2(x)
f(x)= sec(x) f '(x)= sec(x) tan(x)

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f(x)= csc(x) f '(x)= -[cot(x) csc(x)]
La regla de la cadena
Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten
encontrar la derivada de una función compuesta como (3x + 5)4, a menos que
desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa
el siguiente ejemplo.
f(x) = (3x + 5)2 = 9x2 + 30 x + 25
f
'(x)
= 18x + 30 = 6(3x + 5)
f(x) = (3x + 5)3 = 27x3 + 135x2 + 225x + 125
f
'(x)
= 81 x2 + 270x +
225
= 9(3x + 5)2
f(x) = (3x + 5)4 = 81x4 + 540x3 + 1350x2 + 1500x +
625
f
'(x)
= 324x3 + 1620x2 + 2700x + 1500 = 12(3x + 5)3
f(x) = (3x + 5)5
= 243x5 + 2025x4 + 6750x3 + 11250x2 + 9375x + 3125
f
'(x)
= 1215x4 + 8100x3 + 20250x2 + 22500x + 9375
= 15 (3x + 5)4
Observa que después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene la
misma función pero con el exponente disminuido en 1, multiplicada por un
factor que es igual al producto del exponente original por la derivada de la
función base.
Teorema. (Regla de la cadena)
Sea y=f(u) una función diferenciable de u y sea u=g(x) una función
diferenciable de x, las cuales determinan la función compuesta fog, entonces:
Dx(fog)(x)=Dxf(g(x))=f´(g(x)).g´(x)
Teorema. Si f es una función diferenciable de x y r es un número racional,
entonces, según la regla de la cadena:

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Dx [f(x)] r= r[f(x)] r-1.f´(x)
Funciones Trigonométricas Inversas
La función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa
de f(x) = sen x, llamada «arco-seno» y que se simboliza por arc sen x.
Derivada de la función arc sen x
La función sen x tiene una función inversa llamada arco-seno y se simboliza
por arc sen x. De la conocida fórmula sen2 y + cos2 y = 1, cos2y = 1 sen2y ®
Derivada de la función arc cos x
Análogamente, la función cos x tiene una función inversa llamada «arco-
coseno» y se simboliza por arc cos x. De y = arc cos x se deduce x = cos
y. Derivando por la regla de la cadena.
Derivada de la función arc tg x
La inversa de la función tg x se llama «arco-tangente» y se simboliza por arc
tg x. y = arc tg x, x = tg y. Derivando por la regla de la cadena.
Derivada de la función arc cotg x
La inversa de la función cotg x se llama «arco-cotangente» y se simboliza
por arc cotg x. Si y = arc cotg x, x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla
de la cadena.
Derivada de la función arc sec x
Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una función inversa
llamada «arco secante» y simbolizada por arc sec x.
y = arc sec x, x = sec y. Derivando por la regla de la cadena,
1 = y' · sec y · tg y = y' · x · tg y (1)
Derivada de la función arc cosec x
Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior, y = arc cosec x, x =
cosec y
Derivando: 1 = - y' · cosec y · cotg y = - y' · x · cotg y (1)

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Las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas:
Denominamos funciones trigonométricas circulares a aquellas funciones
trigonométricas referenciadas en la circunferencia.
Las funciones trigonométricas construidas con referencia en la hipérbola se
denominan funciones hiperbólicas.
Por simplicidad, y puesto que lo permite el Teorema de Thales, usamos la
circunferencia trigonométrica (de radio unidad) para el estudio de las funciones
circulares, lo mismo que podríamos usar la hipérbola equilátera de parámetro
unidad para el estudio de las funciones hiperbólicas.
Circunferencia trigonométrica:
Para un punto cualquiera (x,y) se verifica, cualquiera que sea el radio r de la
circunferencia, que son constantes las razones x/r, y/r, en virtud del Teorema
de Thales. Por lo cual, y por simplicidad, podemos utilizar, en el estudio de las
funciones circulares, la circunferencia en la que r = 1, es decir, la que
llamaremos circunferencia trigonométrica, de radio unidad.

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La definición de las funciones circulares
sen a : “seno circular del ángulo a”, o, simplemente, “seno de a”
Función seno: f(x)= senx
cos a : “coseno circular del ángulo a”, o, simplemente, “coseno de a”
Función coseno: f(x)= cosx
tg a : “tangente circular del ángulo a”, o, simplemente, “tangente de a”
Función tangente: f(x)= tgx
ctg a : “cotangente circular del ángulo a”, o, simplemente, “cotangente de a”
Función cotangente: f(x)= ctgx (inversa de la tangente)
sec a : “secante circular del ángulo a”, o, simplemente, “secante de a”
Función secante: f(x)= secx (inversa del coseno)
cosec a : “cosecante circular del ángulo a”, o, simplemente, “cosecante de a”
Función cosecante: f(x)= cosecx (inversa del seno)

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Relaciones elementales:
Del Teorema de Pitágoras en la anterior figura, tenemos:
y de la definición de las restantes razones:
de la anterior relación pitagórica:
También pueden expresarse la tangente y la cotangente en función de la
secante y cosecante:
por tanto:
Dominios y gráficas:
El seno y su inversa:
1.3.1.a. Características de y = sen x:
Función seno: función real de variable real
Dominio: Dom(sen(x))=R
Rango: [-1,1]
Paridad: sen x = - sen(-x) [función impar]
1.3.1.b. La cosecante:
y= cosec x = 1/sen x
Función cosecante: Función real de variable real:
Dominio: Dom(cosec(x))= R-
Rango: R - (-1, 1)
Paridad: cosec x = -cosec(-x) [función impar]
1.3.1.c. Gráficas:

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El coseno y su inversa:
Características de y = cos x:
Función coseno: función real de variable real
Dominio: Dom(cos(x))=R
Rango: [-1,1]
Paridad: cos x = cos(-x) [función par]
1.3.2.b. La secante:
y= sec x = 1/cos x
Función secante: Función real de variable real:
Dominio: Dom(sec(x))=R-
Rango: R - (-1, 1)
Paridad: sec x = sec(-x) [función par]
1.3.2. c. Gráficas:

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La tangente y su inversa:
Características de y = tg x:
Función tangente: función real de variable real
Dominio: Dom(tg(x))=R-
Rango: R
Paridad: tg x = - tg(-x) [función impar]
1.3.3.b. La cotangente:
y= ctg x = 1/tg x
Función cotangente: Función real de variable real:
Dominio: Dom(ctg(x))=
Rango: R
Paridad: ctg x = - ctg(-x) [función impar]
Gráficas:

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2. Fórmulas de la suma y diferencia de argumentos
Es fácil obtener las razones trigonométricas circulares del ángulo suma y
diferencia de otros dos ángulos a + b y a - b.
Si, en la figura, consideramos los vectores perpendiculares y :
Podemos expresar con respecto a ellos el vector

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[1.1]
O sea:
[1.2]
Identificando ahora las igualdades [1.1] y [1.2] aparecen:
Por tanto:
También, sustituyendo la b por -b en las relaciones obtenidas:
Para las restantes razones de los ángulos suma y diferencia pueden obtenerse
a partir de las anteriores diferentes expresiones, en función de las tangentes,
cotangentes, secantes o cosecantes de ambos ángulos. Veamos algunos
ejemplos:

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Factorizaciones
A partir de las razones de los ángulos suma y diferencia pueden obtenerse
fórmulas que conviertan sumas y diferencia de senos o cosenos en productos,
es decir, que nos permitan factorizar sumas y diferencias.
Llamando a + b = A y a - b = B, se tiene:
entonces:
en definitiva se tiene para la factorización de suma y diferencia de senos o de
cosenos:

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Conclusión.
Las derivadas tienen como objetivo principal optimizar sistemas representados
por funciones más o menos complejas. Además, las derivadas se suelen
encontrar aplicando los valores máximos y mínimo de alguna expresión
matemática. Finalmente, siempre que se pueda representar como una función,
las derivadas son útiles para encontrar intervalos de valores crecientes o
decrecientes de interés. Esto nos da a entender que las derivadas

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Bibliografía
https://www.youtube.com/watch?v=U7onW7mMzLM
http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/deriva
da/der_reg.html
https://derivadasimplicitas.wordpress.com/2016/02/06/blog-aplicacion-de-la-
derivada/