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República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Del Estado, Lara Andrés Eloy Blanco
Estudiante:
Rodríguez Dayindris
Sección DL0203
Docente: María Ramírez
Barquisimeto, Enero 2023
PLANO NUMÉRICO O CARTISIANO
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de
un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la
elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.
ELEMENTOS DEL PLANO CARTESIANO
Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son
los ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. A
continuación, te explicamos cada uno.
Ejes coordenados
Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares que se
interconectan en un punto del plano. Estas rectas reciben el nombre de abscisa
y ordenada.
 Abscisa: El eje de las abscisas está dispuesto de manera
horizontal y se identifica con la letra “x”.
 Ordenada: El eje de las ordenadas está orientado
verticalmente y se representa con la letra “y”.
DISTANCIA
La distancia entre dos puntos es igual a la longitud del segmento que los
une. Por lo tanto, en matemáticas, para determinar la distancia entre dos
puntos diferentes se deben calcular los cuadrados de las diferencias entre sus
coordenadas y luego hallar la raíz de la suma de dichos cuadrados.
Es decir, la fórmula que sirve para calcular qué distancia hay entre dos
puntos diferentes en el plano cartesiano es la siguiente:
Por otro lado, en geometría analítica la demostración de la fórmula de la
distancia entre dos puntos también se puede hacer a partir del teorema de
Pitágoras:
El teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la hipotenusa de un
triángulo rectángulo es equivalente a la suma de los cuadrados de sus catetos.
PUNTO MEDIO
Es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos
puntos cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que
se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean
puntos, segmentos, rectas, etc.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes
iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del
segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del
segmento.
CIRCUNFERENCIA:
Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la
circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al
centro.
Ecuación analítica de la circunferencia: Si hacemos coincidir el centro con
el origen
de coordenadas, las
coordenadas de
cualquier punto de la
circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que
responde al teorema de Pitágoras: r2
= x2
+ y2
. Puesto que la distancia entre
el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es
constante e igual al radio r tendremos que: r2
= (x – a)2
+ (y – b)2
Llamada
canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado
perfecto) y obtenemos
x2
+ y2
– 2ax –2by – r2
= 0.
ELIPSE
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias
a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la
elipse.
Ecuación analítica de la elipse: Para
simplificar la explicación ubiquemos a
los focos sobre el eje de
las x, situados en los puntos F (c,0) y
F' (– c,0). Tomemos un punto
cualquiera P de la elipse cuyas
coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre
PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' =
2a. Aplicando Pitágoras tenemos que:
Elevamos al cuadrado ambos
miembros para sacar las raíces y
desarrollamos los cuadrados (ver
operación) queda finalmente:
HIPÉRBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de
distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman
focos de la hipérbola.
Ecuación analítica de la hipérbola:
Nuevamente ubiquemos los focos
sobre el eje x, F = (c,0) y F' = (– c,0), y
tomemos un punto cualquiera P =
(x, y) de la hipérbola. En este caso, la
diferencia de las distancias
entre PF y PF' es igual al doble de la
distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la
hipérbola con el eje x. Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a
Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente
podemos llegar a esta expresión: (c2
– a2
). x2
– a2
y2
– (c2
– a2
) a2
= 0 (los
cálculos los dejo por tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo que
hicimos para la elipse). Nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitágoras
podemos obtener que c2
= a2
+ b2
y por lo tanto la ecuación nos queda: b2
x2
–
a2
y2
= a2
b2
. Dividiendo cada término por a2
b2
obtenemos:
Asíntotas: Son rectas que jamás cortan a la hipérbola, aunque se
acercan lo más posible a ella. Ambas deben pasar por el "centro" (p, q)
Las ecuaciones de las asíntotas son:
PARÁBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Ecuación analítica de la parábola: Supongamos que el foco esté situado en
el punto (0,c) y la directriz es la recta y = –
c, por lo tanto el vértice está en su punto medio
(0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x ,
y) de la parábola y un punto Q = (x, – c) de la
recta debe de cumplirse que: PF = PQ
Elevando al cuadrado ambos miembros: x2
= 4cy
Observación: Es de destacar que el término x y no aparece, la razón es que
se ha supuesto que los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes
de coordenadas; en caso contrario aparecería este término, que como es lógico
dependerá del ángulo de inclinación de los ejes.
Ejercicio por resolver:
 Calcula la distancia entre dos puntos, utilizando método gráfico:
A ( 1 , 1) y B ( 5 , 4)
Bibliografía
 https://www.significados.com/plano-cartesiano/ Revisión por Silvia Pina
Romero: Licenciada en Matemáticas por la Universidad Nacional
Autónoma de México (2007) y doctora en Matemáticas por la
Universidad de Manchester (2012).
 https://www.geometriaanalitica.info/formula-de-la-distancia-entre-dos-
puntos-geometria-ejemplos-y-ejercicios-resueltos/ por Marc Gisbert
Juárez DNI 4809759 C/ Equador 90-BARCELONA, distribución de
contenido especializado en la geometría analítica (matemáticas) en el
año 2002.
 http://zambranosanchez.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%20de%2
0Matematicas/Analisis_Algebra/matem/matematica/Conicas.htm
Cónicas y la Autora es: Silvia Sokolovsky Graduada por la Universidad
Nacional Autónoma de México (1997).

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  • 1. República Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial Del Estado, Lara Andrés Eloy Blanco Estudiante: Rodríguez Dayindris Sección DL0203 Docente: María Ramírez Barquisimeto, Enero 2023
  • 2. PLANO NUMÉRICO O CARTISIANO Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica. ELEMENTOS DEL PLANO CARTESIANO Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. A continuación, te explicamos cada uno. Ejes coordenados
  • 3. Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares que se interconectan en un punto del plano. Estas rectas reciben el nombre de abscisa y ordenada.  Abscisa: El eje de las abscisas está dispuesto de manera horizontal y se identifica con la letra “x”.  Ordenada: El eje de las ordenadas está orientado verticalmente y se representa con la letra “y”. DISTANCIA La distancia entre dos puntos es igual a la longitud del segmento que los une. Por lo tanto, en matemáticas, para determinar la distancia entre dos puntos diferentes se deben calcular los cuadrados de las diferencias entre sus coordenadas y luego hallar la raíz de la suma de dichos cuadrados. Es decir, la fórmula que sirve para calcular qué distancia hay entre dos puntos diferentes en el plano cartesiano es la siguiente: Por otro lado, en geometría analítica la demostración de la fórmula de la distancia entre dos puntos también se puede hacer a partir del teorema de Pitágoras:
  • 4. El teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equivalente a la suma de los cuadrados de sus catetos. PUNTO MEDIO Es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento. CIRCUNFERENCIA: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.
  • 5. Ecuación analítica de la circunferencia: Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2 . Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0. ELIPSE Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. Ecuación analítica de la elipse: Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre
  • 6. PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que: Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados (ver operación) queda finalmente: HIPÉRBOLA Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola. Ecuación analítica de la hipérbola: Nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' = (– c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola. En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la hipérbola con el eje x. Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a
  • 7. Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta expresión: (c2 – a2 ). x2 – a2 y2 – (c2 – a2 ) a2 = 0 (los cálculos los dejo por tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo que hicimos para la elipse). Nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación nos queda: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2 . Dividiendo cada término por a2 b2 obtenemos: Asíntotas: Son rectas que jamás cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo más posible a ella. Ambas deben pasar por el "centro" (p, q) Las ecuaciones de las asíntotas son: PARÁBOLA Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
  • 8. Ecuación analítica de la parábola: Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y un punto Q = (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ Elevando al cuadrado ambos miembros: x2 = 4cy Observación: Es de destacar que el término x y no aparece, la razón es que se ha supuesto que los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes de coordenadas; en caso contrario aparecería este término, que como es lógico dependerá del ángulo de inclinación de los ejes. Ejercicio por resolver:  Calcula la distancia entre dos puntos, utilizando método gráfico: A ( 1 , 1) y B ( 5 , 4)
  • 9. Bibliografía  https://www.significados.com/plano-cartesiano/ Revisión por Silvia Pina Romero: Licenciada en Matemáticas por la Universidad Nacional Autónoma de México (2007) y doctora en Matemáticas por la Universidad de Manchester (2012).  https://www.geometriaanalitica.info/formula-de-la-distancia-entre-dos- puntos-geometria-ejemplos-y-ejercicios-resueltos/ por Marc Gisbert Juárez DNI 4809759 C/ Equador 90-BARCELONA, distribución de contenido especializado en la geometría analítica (matemáticas) en el año 2002.  http://zambranosanchez.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%20de%2 0Matematicas/Analisis_Algebra/matem/matematica/Conicas.htm Cónicas y la Autora es: Silvia Sokolovsky Graduada por la Universidad Nacional Autónoma de México (1997).