El documento explica los conceptos básicos del plano cartesiano, incluyendo cómo describir la posición de un punto mediante coordenadas, analizar figuras geométricas como círculos, elipses y parábolas, y calcular la distancia entre puntos. También describe cómo trazar estas curvas mediante ecuaciones algebraicas y los elementos clave de cada curva cónica como vértices, focos, directrices y radios.
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto. Estado-Lara
PLANO NUMÉRICO
Nombre y Apellido
Willibeth Sifontes
C.I 29.997.054
AD0105
PNF: Administración
2. PLANO NUMÉRICO O CARTESIANO
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y
otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
¿QUÉ ES?
La finalidad del plano cartesiano es
describir la posición o ubicación de un punto
en el plano, la cual está representada por el
sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para
analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole,
la línea, la circunferencia y la elipse, las
cuales forman parte de la geometría
analítica.
3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2, se deduce la fórmula de distancia entre estos
dos puntos. La demostración usa el teorema de Pitágoras.
Un ejemplo muestra cómo usar la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos dadas
sus coordenadas La distancia entre dos puntos P1 y P2 del plano la denotaremos por d (P1, P2).
La fórmula de la distancia usa las coordenadas de los puntos.
4. PUNTO MEDIO O EQUIDISTANTE
Es el punto que se encuentra a la misma distancia
de dos elementos geométricos, ya sean puntos,
segmentos, rectas, etc.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
El punto medio del segmento AB, que llamaremos M,
es un punto del segmento que dista lo mismo de A
que de B. Esto quiere decir que: Si es un segmento
acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto
medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición,
pertenece a la mediatriz del segmento.
Teorema Sea AB. Ejemplo: Un segmento cuyos extremos tienen coordenadas A(xA; yA) ;
B(xB; yB) entonces las coordenadas del punto medio M(xM ; yM) de AB son:
5. ECUACIONES Y TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de
los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro.
DETERMINACIÓN DE UNA
CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia queda determinada
cuando conocemos:
a) Tres puntos de la misma, equidistantes
del centro.
b) El centro y el radio.
c) El centro y un punto en ella.
d) El centro y una recta tangente a la
circunferencia.
También podemos decir que la
circunferencia es la línea formada por
todos los puntos que están a la misma
distancia de otro punto, llamado centro.
Entonces, entrando en el terreno de la
Geometría Analítica, (dentro del Plano
Cartesiano) diremos que —para cualquier
punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo
centro es el punto C (a, b) y con radio r ─,
la ecuación ordinaria es
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
6. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
Es una forma geométrica. Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación,
cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:
1-Vértice (V): Punto de la parábola que
coincide con el eje focal (llamado también
eje de simetría).
2-Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta
que divide simétricamente a la parábola en
dos brazos y pasa por el vértice.
3-Foco (F): Punto fijo de referencia, que no
pertenece a la parábola y que se ubica en el
eje focal al interior de los brazos de la
misma y a una distancia p del vértice.
4-Directriz (d): Línea recta perpendicular al
eje focal que se ubica a una distancia p del
vértice y fuera de los brazos de la parábola.
vértice y foco, así como entre vértice y
directriz (ambas distancias son iguales).
6-Cuerda: Segmento de recta que une dos
puntos cualesquiera, pertenecientes a la
parábola.
7-Cuerda focal: Cuerda que pasa por el
foco.
8-Lado recto (LR): Cuerda focal que es
perpendicular al eje focal.
5-Distancia focal (p): Parámetro que
indica la magnitud de la distancia entre
7. ECUACIONES ELIPSE
Se llama elipse al lugar geométrico de un plano, cuya suma de distancias a dos puntos fijos
llamados focos es constante.
Es el lugar geométrico de los puntos P (x,y) del plano cartesiano cuya suma de distancias de
los puntos, llamados focos: F1 y F2 es constante.
CUANDO LA ELIPSE
TIENE FORMA VERTICAL
CUANDO LA ELIPSE TIENE
FORMA HORIZONTAL
FÓRMULA CANÓNICA
Cuando la elipse tiene forma
vertical:
El eje focal está paralelo al
eje de las abscisas (y, y1).
Cuando la elipse tiene forma
horizontal:
El eje focal está paralelo al
eje de las abscisas (x, x1).
8. ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
Se define como el lugar geométrico de los puntos del
plano en el que la diferencia de distancias a dos puntos
fijos denominados focos, F y F', es siempre constante.
Ejemplo:
Las líneas azules constituyen lo que se conoce como
una hipérbola. Observa sus focos F y F'.
Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola siempre se cumple
que:
|d(P,F)−d(P,F')|=2⋅a
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al foco F y al foco
F' respectivamente. Y donde 2a es una constante
Estos puntos son muy importantes ya que la diferencia de la distancia entre cada punto P(x,y) y
estos puntos es siempre constante.
9. ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la
diferencia de distancia entre ellos y cualquier
punto de la hipérbola es siempre la misma.
Eje focal, principal o real. Recta que pasa por
los focos.
Eje secundario o imaginario. Mediatriz del
segmento que une los dos focos.
Centro (O). Punto de intersección de los ejes
focal y secundario.
Semidistancia focal (c). La mitad de la
distancia entre los dos focos F y F'. Su valor es
c.
Distancia focal (2c). Distancia del segmento
que une los dos focos F y F'. Su longitud es 2c.
Los vértices (A y A'). Puntos de la hipérbola
que cortan al eje focal.
Semieje real (a). Segmento que va desde el
origen O hasta cualquiera de los vértices A o A'.
Su longitud es a.
Semieje imaginario (b). b=c2−a2−−−−−−√
De manera general podemos
encontrarnos dos tipos de hipérbolas,
aquellas en las que el eje focal se
encuentra horizontal o vertical. De este
modo podemos definir dos tipos de
ecuaciones.
HIPÉRBOLA DE EJE FOCAL
HORIZONTAL CENTRADA EN UN
PUNTO P(X0, Y0) CUALQUIERA
10. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS SECCIONES CÓNICAS
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de
las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el
vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos:
elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (1), elipse y
circunferencia (2) e hipérbola (3).
11. TIPOS
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano
respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
β < α: Hipérbola (naranja)
β = α: Parábola (azul)
β > α: Elipse (verde)
β = 90°: Circunferencia (un caso particular de
elipse) (rojo)
β = 180°: Triangular
Si el plano pasa por el vértice del cono, se
puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
Cuando β = 90°, el ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye,
cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
