PDS Unidad 2 Sección 2.4: Respuesta de sistemas discretos

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NAYARIT
INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
UNIDAD 2
SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO
Solo poco podemos ver del futuro, pero lo suficiente
para darnos cuenta que hay mucho que hacer.
– Alan Turing

Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
Sistemas en tiempo discreto
Respuesta de sistemas discretos

Descomposición en señales elementales
Este método se basa en la descomposición de la señal de entrada en una
secuencia de señales elementales y de esta forma caracterizar la salida de
un sistema.
𝑥 𝑛 =
𝑘
𝐶 𝑘 𝑥 𝑘(𝑛)
Donde los ck definen el conjunto de amplitudes de la descomposición de la
señal.
Rev. Abril/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 3

Descomposición en señales elementales
Suponemos que el sistema esta en reposo y usamos la propiedad de
superposición para obtener la salida de un sistema lineal
𝑦 𝑛 = 𝒯 𝑥 𝑛 = 𝒯
𝑘
𝐶 𝑘 𝑥 𝑘(𝑛)
=
𝑘
𝐶 𝑘 𝒯 𝑥 𝑘 𝑛 =
𝑘
𝐶 𝑘 𝑦 𝑘 𝑛
Las señales elementales que podemos usar depende de la señal de entrada, por
ejemplo, si se trata de señales periódicas se puede elegir señales elementales
exponenciales, sin embargo, si no hay restricción podemos usar la forma mas
general de señal elemental, el impulso unitario.

Descomposición de una señal discreta en impulsos
Si no hay restricciones, la señal se puede descomponer en una suma
ponderada de impulsos unitarios
𝑥 𝑛 𝛿 𝑛 − 𝑘 = 𝑥 𝑘 𝛿 𝑛 − 𝑘
Cada multiplicación de la señal 𝑥 𝑛 por un impulso unitario desplazado un
cierto 𝑘 [(es decir 𝛿(𝑛 − 𝑘)], extrae el valor 𝑥 𝑛 de la señal en el instante
en que el impulso unitario es distinto de cero. Si repetimos la multiplicación
para todos los posibles desplazamientos, −∞ < 𝑘 < ∞ y sumamos todos
los productos, el resultado es una secuencia igual a 𝑥(𝑛)
𝑥 𝑛 =
𝑘=−𝑖𝑛𝑓𝑡𝑦
∞
𝑥 𝑘 𝛿(𝑛 − 𝑘)
El lado derecho es la suma ponderada (escalada) de impulsos unitarios.

Descomposición de una señal discreta en impulsos
x(n)
δ(n-k)
x(k)δ(n-k)




k
knkxnx )()()( 

Ejemplo 2.6: Considere el caso especial de una secuencia de duración finita
dada por:
𝑥 𝑛 = 2, 4, 0,3
Exprese esta secuencia 𝑥 𝑛 como la suma ponderada de impulsos.
Solución: Puesto que la secuencia 𝑥 𝑛 es distinta de cero en los instantes
de tiempo 𝑛 = −1,0,2, necesitamos tres impulsos en 𝑘 = −1,0,2
𝑥 𝑛 = 2𝛿 𝑛 + 𝑎 + 4𝛿 𝑛 + 3𝛿(𝑛 − 2)

¿Qué es la convolución?
La convolución la podemos describir como la función que combina una
señal de entrada con la respuesta característica de un sistema.

¿Qué es la convolución?
La luz antes del cristal es x(n); la característica del cristal que cambia el
color o la intensidad de la luz es h(n); la luz del lado derecho del cristal es
y(n)
x(n)
h(n)
y(n)

La convolución (lineal)
La fórmula que da la respuesta 𝑦(𝑛) del sistema lineal invariante en el
tiempo, (LTI), como función de la señal de entrada 𝑥(𝑛) y de la respuesta
impulsional ℎ(𝑛) se denomina convolución.




k
knhkxny )()()(

Para realizar la convolución en forma gráfica se deben seguir los siguientes
pasos:
Reflexión: Se refleja ℎ(𝑘) respecto de 𝑘 = 0 para producir ℎ(−𝑘).
Desplazamiento: Se desplaza ℎ(−𝑘) 𝑛0 hacia la derecha (izquierda) si 𝑛0
es positivo (negativo), para obtener ℎ(𝑛0 − 𝑘).
Multiplicación: Multiplicamos 𝑥(𝑘) por ℎ(𝑛0 − 𝑘) para obtener la secuencia
producto 𝑣 𝑛𝑜(𝑘) ≡ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛0 − 𝑘).
Suma: Se suman todos los valores de la secuencia producto 𝑣 𝑛𝑜(𝑘) y
se obtiene el valor de la salida en el instante 𝑛 = 𝑛0.




k
knhkxny )()()(

Ejemplo 2.7: (Proakis, ejemplo 2.3.3, p.70) Determine la salida 𝑦(𝑛) de un
sistema en reposo lineal e invariante en el tiempo con respuesta
impulsional
ℎ(𝑛) = 𝑎n 𝜇(𝑛), |𝑎 | < 1
Cuando la entrada es la secuencia escalón unidad:
𝑥(𝑛) = 𝜇(𝑛)
Solución: Para ℎ(𝑘) la gráfica queda como:
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 k
h(k)
1
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7

Ejemplo 2.7: (Proakis, ejemplo 2.3.3, p.70)
La gráfica para 𝑥(𝑘) es
Invirtiendo, para 𝑥(−𝑘) la gráfica es
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑘
𝑥(𝑘)
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
𝑥(−𝑘)
1
𝑘

Multiplicando ℎ(𝑘) y 𝑥(−𝑘):
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑘
ℎ(𝑘)
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
𝑥(−𝑘)
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
𝒗(𝒌)
1
=
𝑘

Multiplicando ℎ(𝑘) y 𝑥(1 − 𝑘):
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑘
ℎ(𝑘)
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
𝑥(1 − 𝑘)
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
𝑣(𝑘)
1
=
𝑘

Multiplicando ℎ(𝑘) y 𝑥(2 − 𝑘):
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 k
ℎ(𝑘)
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
𝑥(2 − 𝑘)
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
𝑣(𝑘)
1
=
𝑘

Sumando v(𝑘) para obtener y(𝑛):
𝑦(0) = 1
𝑦(1) = 1 + 𝑎
𝑦(2) = 1 + 𝑎 + 𝑎2
𝑦(𝑛) = 1 + 𝑎 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
𝒚(𝒏)
1
1+a
1+a+a2
1+a+a2+a3
1+a+a2+a3 +a4
1+a+a2+a3+a5
1+a+a2+a3+a4+a5+a6 Asíntota
1
1 − a
𝑦 𝑛 =
1
1 + 𝑎

Denotamos la convolución con un asterisco:
𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ 𝑛 =
𝑘=−∞
∞
𝑥 𝑘 ℎ 𝑛 − 𝑘

Propiedades de la convolución (lineal)
Propiedad de identidad o desplazamiento: Podemos ver que el impulso
unitario 𝛿 𝑛 es el elemento identidad de la operación de convolución
𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝛿 𝑛 = 𝑥 𝑛
Si desplazamos 𝛿 𝑛 una cantidad 𝑘,la secuencia de convolución se
desplaza también una cantidad 𝑘
𝑥 𝑛 ∗ 𝛿 𝑛 − 𝑘 = 𝑦 𝑛 − 𝑘 = 𝑥 𝑛 − 𝑘

Propiedad de identidad: Podemos ver que el impulso unitario 𝛿 𝑛 es el
elemento identidad de la operación de convolución
𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝛿 𝑛 = 𝑥 𝑛
Propiedad de desplazamiento: Si desplazamos 𝛿 𝑛 una cantidad 𝑘,la
secuencia de convolución se desplaza también una cantidad 𝑘
𝑥 𝑛 ∗ 𝛿 𝑛 − 𝑘 = 𝑦 𝑛 − 𝑘 = 𝑥 𝑛 − 𝑘

Ley conmutativa:
𝑥 𝑛 ∗ ℎ 𝑛 = ℎ 𝑛 ∗ 𝑥 𝑛

Ley asociativa:
𝑥 𝑛 ∗ ℎ1 𝑛 ∗ ℎ2 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ1 𝑛 ∗ ℎ2 𝑛
Desde el punto de vista físico, podemos interpretar 𝑥 𝑛 como la señal de
entrada a un sistema lineal invariante en el tiempo con una respuesta al
impulso ℎ1 𝑛 . La salida de este sistema, designada por 𝑦1 𝑛 , se convierte
en la entrada a un segundo sistema lineal invariante en el tiempo con una
respuesta al impulso ℎ2 𝑛 .
𝑦 𝑛 = 𝒚 𝟏 𝒏 ∗ ℎ2 𝑛 = 𝒙 𝒏 ∗ 𝒉 𝟏 𝒏 ∗ ℎ2 𝑛
que es equivalente a
𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝒉 𝒏 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝒉 𝟏 𝒏 ∗ 𝒉 𝟐 𝒏

Ejemplo 2.8: (Proakis, ejemplo 2.3.4, pág. 73) Determine la respuesta al
impulso para la conexión en cascada de dos sistemas lineales invariantes
en el tiempo que tienen respuestas al impulso
ℎ1 𝑛 =
1
2
𝑛
𝜇 𝑛
ℎ2 𝑛 =
1
4
𝑛
𝜇 𝑛
Solución: Para determinar la respuesta al impulso global de los dos
sistemas conectados en cascada, convolucionamos ℎ1 𝑛 con ℎ2 𝑛
ℎ 𝑛 =
𝑘=−∞
∞
ℎ1 𝑘 ℎ2 𝑛 − 𝑘

Ejemplo 2.8: (Proakis, ejemplo 2.3.4, pág. 73)
Donde ℎ2 𝑛 se refleja y se desplaza. Definimos la secuencia producto
𝑣 𝑛 𝑘 = ℎ1 𝑘 ℎ2 𝑛 − 𝑘
=
1
2
𝑘
1
4
𝑛−𝑘
Que es diferente de cero para valores 𝑘 ≥ 0 y 𝑛 − 𝑘 ≥ 0, o lo que es igual
𝑛 ≥ 𝑘 ≥ 0. Para 𝑛 < 0, 𝑣 𝑘 = 0 para todo 𝑘. Lo anterior debido a que se
multiplican por el escalón unitario. Entonces
ℎ 𝑛 = 0, 𝑛 < 0

Para 𝑛 ≥ 𝑘 ≥ 0, la suma de los valores de la secuencia producto
𝑣 𝑛 𝑘 para todo 𝑘 es
ℎ 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
1
2
𝑘
1
4
𝑛−𝑘
sacando de la sumatoria los componentes de 𝑛
ℎ 𝑛 =
1
4
𝑛
𝑘=0
𝑛
1
2
𝑘
1
4
−𝑘
=
1
4
𝑛
𝑘=0
𝑛
2 𝑘

Se expande la serie finita
ℎ 𝑛 =
1
4
𝑛
20 + 21 + 22 + ⋯ + 2 𝑛
Dando por resultado
ℎ 𝑛 =
1
4
𝑛
2 𝑛+1
− 1 , 𝑛 ≥ 0

Ley distributiva:
𝑥 𝑛 ∗ ℎ1 𝑛 + ℎ2 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ1 𝑛 + 𝑥 𝑛 ∗ ℎ2 𝑛
Interpretándola físicamente, esta ley implica que si tenemos dos sistemas
lineales invariantes en el tiempo con respuestas al impulso ℎ1 𝑛 y ℎ2 2
excitados con la misma señal de entrada 𝑥 𝑛 , la suma de las dos
respuestas es idéntica a la suma de un sistema global con la respuesta al
impulso
ℎ 𝑛 = ℎ1 𝑛 + ℎ2 𝑛
Por tanto, el sistema completo es una combinación en paralelo de los dos
sistemas lineales invariantes en el tiempo

Ley distributiva:
𝑥(𝑛)
ℎ1 𝑛
ℎ2 𝑛
+ 𝑦(𝑛) ℎ 𝑛 = ℎ1 𝑛 ℎ2(𝑛)𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛)

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