Sismoresistencia ing gilberto

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ÍNDICE GENERAL:
OPÚSCULOS SOBRE DINÁMICA DE SUELOS Y SU APLICACIÓN EN EL
DISEÑO SISMORRESISTENTE EN NICARAGUA.
POR EL PROF ING GILBERTO LACAYO BERMÚDEZ.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA (UNI)
MANAGUA JUNIO DEL 2003
1. MECANICA DE ONDAS ELASTICAS TRIDIMENSIONALES.
1.1. ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO
1.2 SOLUCION EN CORRIMIENTOS PARA ONDAS ELASTICAS TRIDIMENSIONALES
PROPAGÁNDOSE EN ESTRATOS DE SUELOS.
1.3 ONDAS IRROTACIONALES
1.4. ONDAS DE DISTORSION
1.5 ONDAS ELASTICAS PLANAS PROPAGANDOSE EN ESTRATOS DE SUELOS.
1.6 ECUACION SENCILLA DE ONDAS DE CORTANTE PROPAGANDOSE EN ESTRATOS
HOMOGENEOS DE SUELOS
1.7 SOLUCIÓN PARA UN ESTRATO HOMOGÉNEO Y FINITO DE SUELO EN FUNCIÓN DE
SUS MODOS NATUALES DE VIBRACION
1.8 REFLEXION Y REFRACCION DE ONDAS PLANAS EN UN ESTRATO
HOMOGÉNEO Y FINITO DE SUELO.
1.9 FUNCION DE VELOCIDAD PARA LA PROPAGACIÓN DE ONDAS DE
CORTANTE EN ESTRATOS HOMOGÉNEOS Y FINITOS DE SUELOS.
1.10 MODULO DE RIGIDEZ Y AMORTIGUAMIENTO DEL SUELO
2. ANALISIS DINAMICO DE DEPOSITOS DE SUELO COMO SISTEMA
CONTINUO
2.1 TEORIA UNIDIMENSIONAL DE AMPLIFICACION DINAMICA
2.2 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARA EL MEDIO CONTINUO
2.3 SOLUCION PARA DEPOSITOS ESTRATIFICADOS

2
2.4 FUNCIONES DE RESPUESTAS DE FRECUENCIAS DEL DEPOSITO
2.5 FUNCIONES DE TRANSMISIÓN PARA LOS DEPOSITOS ESTRATIFICADOS DE
SUELOS.
2.6 EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LAS MATRICES DE TRANSFERENCIA
2.7 RESPUESTAS A MOVIMIENTOS SISMICOS
2.8 ANÁLISIS SÍSMICO DE PRESAS DE TIERRA.
3. DINAMICA DE SISTEMAS LINEALES CON VARIOS GRADOS DE
LIBERTAD
3.1 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO.
3.2 DINÁMICA DE ESTRUCTURAS DE PUENTES Y ESPIGONES
3.3 ANÁLISIS SÍSMICO DE UN CRUCE A DESNIVEL PARA AUTOPISTA EN MANAGUA.
3.4 ANÁLISIS SÍSMICO LATERAL DEL ESPIGÓN ENRÓN EN CORINTO.
3.5 DINAMICA DE EDIFICIOS DE CORTANTE CON NIVELES MULTIPLES.
3.6 ANALISIS MODAL ELÁSTICO.
3.7 RESPUESTAS SÍSMICAS PARA SISTEMAS ELÁSTICOS CON VARIOS GRADOS DE
LIBERTAD.
3.8 TORSIÓN SISMICA ESTATICA DE SISTEMAS ELÁSTICOS .
3.9 ANÁLISIS MODAL ELÁSTICO PARA UN EDIFICIO DE CINCO NIVELES.
3.10 ANÁLISIS POR TORSIÓN SÍSMICA DE UN EDIFICIO ALARGADO DE DOS NIVELES.
3.11 ANALISIS MODAL ESPECTRAL DE EDIFICIO EL CENTRO
4 TOPICOS SOBRE DISEÑO SÍSMICO DE ALGUNAS ESTRUCTURAS
PARTICULARES.
4.1 DISEÑO SÍSMICO DE UN ATRACADERO ANCLADO DE SHEET PILING EN EL
ESTERO DE PASOCABALLOS CORINTO.
4.2 ESTRUCTURAS DEL TIPO PÉNDULO INVERTIDO.
4.3 DISEÑO SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA DE A-36 Y DEL SISTEMA DE
CIMENTACIÓN PARA SOPORTE DE UN TACHO CONTINUO EN EL INGENIO SAN
ANTONIO

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4.4 VIGAS DE FLEXIÓN CON PARÁMETROS DISTRIBUIDOS
4.5 DISEÑO SÍSMICO DE UNA CHIMENEA Y DE SU SISTEMA DE CIMENTACIÓN PARA
LA CALDERA DE COGENERACIÓN DEL INGENIO SAN ANTONIO
4.6 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA EN EL DISEÑO SÍSMICO DE UNA LOSA DE
CIMENTACIÓN PARA LA CALDERA DE COGENERACIÓN DEL INGENIO SAN
ANTONIO
4.7 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA EN EL DISEÑO SÍSMICO DE PILOTES
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.

1
1. MECANICA DE ONDAS ELASTICAS TRIDIMENSIONALES.
1.1. ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO
Las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden que gobiernan la propagación
de las perturbaciones transitorias P y S a través de formaciones estratigráficas de suelos,
pueden obtenerse a partir del equilibrio dinámico de una partícula prismática
infinitesimal de suelo, con densidad ρ considerada representativa de un medio
seminfinito isótropo u ortótropo, homogéneo, o estratificado horizontalmente, para el
cual es válido expresar el movimiento bajo la suposición de que los desplazamientos y
las velocidades son pequeños y que no actúan fuerzas externas, admitiendo además un
comportamiento lineal elástico del material. Bajo estas condiciones la ecuación más
general del movimiento ondulatorio en un espacio elástico es la siguiente.
=
.∂ 2
u
∂t2
=..V2
∇ 2
u .V
2
.∂ 2
u
∂x2
.∂ 2
u
∂y2
.∂ 2
u
∂z2
(1.1)
Donde (u) es el vector de desplazamientos del cuerpo libre mostrado en la Fig (1.1),
cuyas componentes referidas al sistema cartesiano (x, y, z) son:
ux = u(x, y, z)
uy = u(x, y, z)
uz = u(x, y, z)
V es la velocidad de propagación de los trenes de ondas de dilatación P y de distorsión
S, la cual es dependiente del módulo de rigidez en cortante G = μ, y de la densidad ρ del
medio de propagación.
El término =.∇ 2
u .V
2
.∂ 2
u
∂x2
.∂ 2
u
∂y2
.∂ 2
u
∂z2
Es el operador de Laplace para la función (u)
δ
δ
5(τ )
(σ )3
(τ )χΖ 1
1Ζχ(τ )
1yy(σ )
(σ )z 5
δ
z(τ )5y
z
zx
xx
3xy(τ )
(τ )3xz
Fig (1.1): Propagación de ondas sísmicas en un medio elástico seminfinito de
suelo.

2
A cada uno de los seis lados del cuerpo libre mostrado en la Fig.(1.1), le corresponde
una componente de esfuerzos normales σ, y dos componentes de esfuerzos tangenciales
τ debidos a la acción de continuidad ejercida por el medio circundante sobre el elemento
aislado, cuyas dimensiones ∂x, ∂ y, ∂ z son infinitesimales en relación a las dimensiones
del semiespacio elástico, lo cual permite considerar que dichos esfuerzos están
puntualmente aplicados en el centroide geométrico de cada lado, los que al desplazarse
por efecto por efecto de la propagación de las ondas de cuerpo, provocan pequeñas
variaciones en los esfuerzos elásticos ( ∂ σ, ∂ τ ), las cuales son funciones continuas de
cada punto del espacio coordenado ( x, y, z ).
Por otro lado sabemos que en ausencia de fuerzas externas, los puntos del cuerpo libre
experimentan aceleraciones en todas las direcciones, induciendo fuerzas inerciales que
deben equilibrarse con las fuerzas elásticas centroidales mediante la aplicación del
principio de D`Alembert, resultando el sistema de tres ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales de Navier.
=
∂σ xx
∂x
∂τ xy
∂y
∂τ xz
∂x
.ρ
d
d
2
2t
ux 0
(1.2)
=
∂σ xy
∂x
∂τ yy
∂y
∂τ yz
∂z
.ρ
d
d
2
2t
uy 0
=
∂σ zx
∂x
∂τ zy
∂y
∂τ zz
∂z
.ρ
d
d
2
2t
uz 0

1
1.2 SOLUCION EN CORRIMIENTOS PARA ONDAS ELASTICAS TRIDIMENSIONALES
PROPAGÁNDOSE EN ESTRATOS DE SUELOS.
Por conveniencia operacional el sistema tridimensional de las Ecs (1.2), sera resuelto
sustituyendo las componentes de esfuerzos normales σ, y tangenciales τ, adoptando los
corrimientos como incógnitas, para lo cual nos valdremos de las conocidas relaciones
esfuerzo – deformación contenidas en la Ley de Hooke generalizada, las cuales se
expresan del siguiente modo:
i. Deformaciones unitarias debidas a esfuerzos normales uniformemente distribuidos en
cada lado del elemento:
=ε x .1
E
( )σxx .ν ( )σyy σzz
=ε y .1
E
( )σyy .ν ( )σxx σzz
(1.3)
=ε z .1
E
( )σzz .ν ( )σxx σyy
ii Distorsiones debidas a esfuerzos cortantes actuando en cada lado del elemento
=γ xy .1
G
τxy
=γ yz .1
G
τyz
(1.4)
=γ zx .1
G
τzx
La solución de las ecuaciones de Navier en función de los desplazamientos, nos
conduce a las ecuaciones dinámicas de Lame mediante las cuales podemos resolver los
problemas relacionados con los pequeños movimientos de cuerpos elásticos en términos
de corrimientos, lo cual es mas sencillo desde el punto de vista matemático al reducirse
el numero de incógnitas y de ecuaciones.
Basándonos en la teoría de elasticidad definimos la expansión volumétrica evol, como
la superposición de las deformaciones unitarias ε debidas a los esfuerzos normales σ,
considerando las relaciones lineales de Cauchy, escribimos la siguiente ecuación para la
expansión volumétrica:

2
evol = εx + εy + εz = ∂ux/∂x +∂uy/∂y + ∂uz/∂z (1.5)
Los parámetros elásticos de Lame se obtienen para cada material mediante las
relaciones sencillas entre el modulo de elasticidad E y el modulo de Poisson υ
expresadas mediante las Ecs (1.6) y (1.7).
=λ
νE
.( )1 ν ( )1 .2 ν
(1.6)
=μ =G
E
.2 ( )1 ν (1.7)
Ahora podemos expresar los esfuerzos normales σ del cuerpo libre en función de los
parámetros de Lame (λ, μ), de la expansión volumétrica e y de las deformaciones
unitarias ε, empleando ecuaciones de elasticidad que relacionan esfuezos con
deformaciones
=σxx λe .2G εx
=σyy λe .2G εy
(1.8)
=σzz λe .2G εz
Análogamente expresaremos los esfuerzos tangenciales τ, mediante relaciones esfuerzo
deformación de la forma siguiente:
=τ xy Gγ xy
(1.9)
=τ yz Gγ yz
=τ zx Gγ zx

3
Las componentes unitarias de distorsión γ serán obtenidas mediante las ecuaciones de
Cauchy
γxy = ∂ux/∂y+∂uy/∂x
γxz = ∂ux/∂z+∂uz/∂x (1.10)
γyz = ∂uy/∂z+∂uz/∂y
Las ecuaciones (1.8) y (1.9), pueden escribirse en términos de las funciones ux, uy, uz
que describen las características geométricas de las deformaciones, mediante las
ecuaciones lineales de Cauchy:
σxx = λe+2G∂ux/∂x
τxy = G (∂ux/∂y+∂uy/∂x) (1.11)
τzx = G (∂uz/∂x+∂ux/∂z)
La primera de las ecuaciones del sistema de Ecs (1.11), se diferenciara respecto a x, la
segunda respecto a y, y la tercera respecto a z, esto es:
∂σxx/∂x= λ∂e/∂x+G∂²u∂/∂x²
∂τxy/∂y= G(∂²ux/∂y²+∂²uy/∂x∂y) (1.12)
∂τxz/∂z= G(∂²uz/∂x∂z+∂²ux/∂z²)
Ahora llevaremos el sistema de Ecs (1.12), a la primera ecuación del sistema de Ecs
(1.2) de Navier, resultando:
λ∂e/∂x+G (∂²ux/∂x²+∂²uy/∂x∂y+∂²uz/∂x∂z) + (1.13)
G (∂²ux/∂x²+∂²ux/∂y²+∂²uxK∂z²) -ρ∂²ux/∂t² =0
La Ec (1.13), contiene las siguientes transformaciones:
∂²ux/∂x²+∂²uy/∂x∂y+∂²uz/∂x∂z=∂⁄∂x(∂ux/∂x+∂uy/∂y+∂uz/∂z)=∂e/∂x
∂²ux/∂x²+∂²ux/∂y²+∂²ux/∂z²=∇²ux

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Las cuales permiten escribir la Ec (1.13), del modo siguiente:
(λ+G)∂e/∂x+G∇²ux -ρ∂²ux/∂t² =0
Procediendo de modo semejante con las otras dos ecuaciones del sistema (1.2) de
Navier, obtenemos otras dos ecuaciones con estructura semejante a la ya obtenida, las
que en conjunto constituyen las ecuaciones dinámicas de Lame, fundamentales para
entender el carácter mecánico, geométrico y físico de la propagación de las
perturbaciones transitorias elásticas en los estratos de suelos, en función de los
corrimientos u.
(λ+G)∂e/∂x + G∇²ux - ρ∂²ux/∂t² = 0
(λ+G)∂e/∂y + G∇²uy- ρ∂²uy/∂t² = 0 (1.14)
(λ+G)∂e/∂z+G∇²∂uz -ρ∂²uz/∂t² = 0
Estas ecuaciones expresan:
i Las condiciones de equilibrio o movimiento para cada punto del cuerpo.
ii Las características geométricas de las deformaciones ux, uy, uz , evol.
iii Los factores físicos de Lame, λ, G, ρ que caracterizan las propiedades elásticas del
cuerpo y su densidad.
Si al conjunto de Ecs (1.14), aplicamos el artificio antes empleado con el sistema de Ecs
(1.11), esto es derivar la primera de las ecuaciones respecto a x la segunda respecto a y,
y la tercera respecto a z, considerando que ρ es constante para cada estrato de suelo y
que ux = u(x,t):
∂/∂x (ρ∂²ux/∂t²)= ρ∂²/∂t²(∂ux/∂x) (1.15)
Dos ecuaciones semejantes a la (1.15), resultaran al sustituir x por y, y y por z, después
de sumar las diferenciaciones indicadas obtenemos la ecuación siguiente:
(λ+2G)(∂²e/∂x²+∂²e/∂y²+∂²e/∂z²) = ρ∂²e/∂t²
O bien: ∂²e/∂t² = (λ+2G)∇²e (1.16)
Si ahora derivamos la tercera ecuación del sistema (1.14), respecto a y, y la segunda
ecuación respecto a z, y restando una de la otra, obtenemos las siguientes ecuaciones:

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G∇²(∂uz/∂y - ∂uy/∂z) = ρ(∂²/∂t²∂uz/∂y - ∂uy/∂z) (1.17)
Definimos el vector rotacional {Ω} = {Ωx, Ωy, Ωz} cuyas componentes son:
∂uz/∂y-∂uy/∂z = 2Ωx
∂ux/∂z-∂uz/∂x = 2Ωy (1.18)
∂uy/∂x-∂ux/∂y = 2Ωz
La Ec (1.17) puede escribirse del siguiente modo:
∂²Ωx/∂t² = G/ρ∇²Ωx
Las otras dos ecuaciones con idéntica estructura que completan el sistema, las
obtenemos mediante permutaciones cíclicas de esta ecuación, o sea:
∂²Ωx/∂t² = G/ρ∇²Ωx
∂²Ωy/∂t²= G/ρ∇²Ωy
∂²Ωz/∂t²=G/ρ∇²Ωz (1.19)
O bien: ∂²Ω∂t²= G/ρ∇²Ω
Las ecuaciones que muestran estructuras semejantes a las de las Ecs (1.16) y (1.17),
representan la forma mas general de la ecuación de ondas tridimensionales
propagándose en un medio homogéneo, elástico e isótropo.
Los coeficientes:
=Vp
λ 2G
ρ (1.20)
=Vs
G
ρ
(1.21)

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representan las velocidades de propagación de dos tipos de ondas de sumo interés para
la ingeniería sísmica conocidas como ondas de expansión (P) y ondas de distorsión (S),
observándose que Vp >Vs, y son dependientes de las propiedades elásticas (λ,G) y de la
densidad del medio ρ, e independientes de la forma de las ondas.
Si se logran integrar las ecuaciones (1.16) y (1.19), quedarían quedarían determinados
en todas partes la dilatación cúbica e, es decir la divergencia del vector de traslación
u(ux, uy, uz) y el vector de rotación Ω(Ωx, Ωy, Ωz), lo cual significa que conociendo e
y Ω queda determinado el vector u, lo que equivale a determinar los corrimientos del
campo para todos los puntos (x, y, z) del espacio elástico.

1
1.3 ONDAS IRROTACIONALES
Estudiaremos dos casos límites de propagación por separado dada su importancia en la
dinámica de suelos:
i. Caso en que los corrimientos u tienen potencial, lo cual significa que las componentes
del vector u(x, y, z) admiten derivadas de una función particular φ = φ(x, y, z).
Podemos demostrar por sustitución, que las ecuaciones diferenciales del sistema (1.14)
que plantean el equilibrio en términos de los desplazamientos, es satisfecha por el
siguiente sistema de ecuaciones armónicas:
ux = φ1 - α∂/∂x(φo + φ1x + φ2y + φ3z)
uy = φ2 - α∂/∂y(φo + φ1x + φ2y + φ3z) (1.22)
uz = φ3 - α∂/∂z(φo + φ1x + φ2y + φ3z)
En las cuales:
=α
1
.4 ( )1 ν
Las cuatro funciones φo, φ1, φ2, φ3 son armónicas y cumplen con la ecuación
diferencial de Laplace, esto es: ∇²φo = ∇²φ1 = ∇²φ2 = ∇²φ3 = 0
De acuerdo con la definición de potencial, la función u admite derivadas de la función
φ por lo que se cumplen las relaciones: ux = ∂φ/∂x, uy = ∂φ/∂y, uz = ∂φ/∂z.
Según la definición de expansión volumétrica evol dada en la Ec (1.5), podemos
escribir:
e = ∂ux/∂x+∂uy/∂y+∂uz/∂z = ∇²φ (1.23)
∂e/∂x=∂/∂x(∇²φ)=∇²(∂φ/∂x)=∇²u (1.24)

2
Sustituyendo la Ec (1.24) en la primera del sistema de Ecs (1.14) de Lame, y
procediendo de manera análoga con las dos ecuaciones restantes, obtenemos el sistema
de ecuaciones generales correspondientes a las ondas de expansión
∂²ux/∂t² = V²p∇²ux
∂²uy/∂t² = V²p∇²uy (1.25)
∂²uz/∂t² = V²p∇²uz
O bien en forma general: ∂²u/∂t² = V²p∇²u
Las ecuaciones correspondientes al primer caso extremo son llamadas ondas
irrotacionales o de dilatación, lo cual significa que el rotor {Ω} = 0, existiendo
únicamente expansión volumétrica, por lo tanto:
∂uz/∂y - ∂uy/∂z = ∂ux/∂z - ∂uz/∂x = ∂uy/∂x - ∂ux/∂y = 0

1.4. ONDAS DE DISTORSION
Ahora nos ocuparemos de las ondas de distorsión, las cuales son de gran importancia
para la ingeniería sísmica.
ii. Caso en que la expansión volumétrica es nula en todo el espacio, o sea que:
=
∂e
∂x
=
∂e
∂y
=
∂e
∂z
0
Esto significa que únicamente existen deformaciones por cortante y rotación,
realizándose el fenómeno ondulatorio sin cambio de volumen. Para estas condiciones
las ecuaciones del sistema (1.14) se reducen a las ecuaciones de onda del tipo general
correspondiente a las ondas de distorsión, esto es:
∂²ux/∂t² = V²s∇²ux
∂²uy/∂t² = V²s∇²uy (1.26)
∂²uz/∂t² = V²s∇²uz
O bien en forma condensada:
∂²u/∂t² = V²∇²u
u = u(x, y, z, t)
Podemos concluir que el problema fundamental del movimiento de ondas homogéneas
propagándose en un espacio elástico, queda resuelto cuando se logra integrar la
Ec (1.26), determinándose la dilatación cúbica del medio mediante la divergencia del
vector de traslación u = u(ux, uy, uz) y el vector de rotación Ω = Ω(Ωx, Ωy, Ωz).

1
1.5 ONDAS ELASTICAS PLANAS PROPAGANDOSE EN ESTRATOS DE SUELOS.
Las ecuaciones mas sencillas de ondas elásticas debidas a oscilaciones homogéneas, son
las correspondientes a la propagación unidimensional de ondas planes las cuales
expresan el caso particular en que la función de desplazamientos depende únicamente
de una coordenada espacial y del tiempo, o sea u = u (x,t). La ecuación general que
gobierna la propagación de ondas elásticas planas, es un caso particular de la Ec (1.26),
cuando se cumple la condición:
ux = u(x, t) ∇²u = ∇²ux = ∂²u/∂x²
uy = 0 (1.27)
uz = 0 =
.∂
2
u
.∂ t
2
.V
2 .∂
2
u
.∂ x
2
La Ec (1.27) tiene muchas aplicaciones en problemas de vibraciones en ingeniería
práctica, entre los que se incluyen los sistemas tratados como vigas de cortante, de los
cuales las formaciones estratigraficas de suelos constituyen excelentes modelos.
Los depósitos formados por estratos horizontales de suelos homogéneos, como el
mostrado en la Fig (1.2), en los cuales las configuraciones modales corresponden al de
una viga de Timoshenko, bien sean éstos considerados como sistemas de parámetros
distribuidos o discretizados.
ρ
ρ
ρ
δι+1
τ
σ
τ
σ
γ
δ
δ
δι
δι+1
τ
τ
σ
σ
Fig. (1.2): Columna de suelo que vibra como un sistema de cortante
Es bien sabido que cuando ocurre una perturbación en el seno de un medio
homogéneo, linelmente elástico e isótropo, las ondas viajan radialmente alejándose de la
fuente en todas las direcciones por lo que en puntos suficientemente alejados de ésta, las
ondas pueden considerarse planas, lo cual es justificado en la mayoria de los casos de

2
ingeniería sísmica, dado que generalmente la distancia a estaciones de interés suele ser
muy grande comparada con las dimensiones de la fuente. En esos casos los
desplazamientos asociados a las ondas P y S, son longitudinales y transversales a la
dirección de propagación respectivamente.
Podemos suponer que las ondas de cuerpo en el interior de una sustancia homogénea, e
isótropa, estén formados por un grupo de ondas P y S atravesando la sustancia
independientemente entre si.
Las ondas secundarias S pueden sufrir una dolarización plana, de manera que si todo el
movimiento tiene lugar en planos horizontales que contienen la dirección de la
trayectoria, se les llama onda SH, cuando todo el movimiento tiene lugar en planos
verticales que contienen la dirección del recorrido, se les llama ondas SV.
Para la resolución de algunos problemas de propagación de ondas de cuerpo que tienen
importancia practica en los problemas de diseño sismorresistente, resulta ventajoso
resolver la Ec (1.27), proponiendo los corrimientos u y verificando si estos satisfacen
las ecuaciones de Lame, este constituye un método inverso al de integración.
En el caso de oscilaciones longitudinales en un medio elástico indefinido, los puntos
situados en el plano Q normal al eje OX, mostrado en la Fig (1.3), se desplazaran todos
igual y simultáneamente manteniéndose a la misma distancia del plano YOZ, el cual se
desplazara en la dirección del eje OX, sin deformarse.
Fig. (1.3): Movimiento de ondas longitudinales
Para el estado de reposo cuando to = 0, la ecuación del plano Q es x = xo, durante el
movimiento en cualquier instante t, la ecuación del plano Q será x = xo + μ(xo,t), lo
cual nos indica que dicho plano se encuentra a distancia paralela y dependiente del
tiempo. Si elegimos una serie de planos paralelos Q1, Q2...........Qn, todos se
desplazaran normalmente al eje OX, aproximándose o alejándose ente si. A este

3
movimiento se denomina oscilación longitudinal homogénea a lo largo del eje OX, con
una velocidad de propagación Vp definida mediante la Ec (1.20).
Para verificar si estas oscilaciones son posibles, llevaremos los corrimientos
ux = u(x, t), uy = uz = 0, a las Ecs (1.14) de Lamé.
Por tratarse de un medio elástico indefinido, no necesitamos verificar las condiciones en
la superficie y sabemos de previo que:
∂εx/∂x = ∂²ux/∂x² = ∇²ux
∂εy/∂y = ∂²uy/∂y² = ∇²uy = 0
∂εz/∂z = ∂²uz/∂z² = ∇²uz = 0
∂²uy/∂t² = ∂²uz/∂t² = 0
Al llevar los corrimientos al sistema de ecuaciones (1.14), observamos que la segunda
y tercera ecuación de dicho sistema se verifican idénticamente, y la primera se
transforma en la siguiente ecuación:
(λ+G)∂²u/∂x² + G∂²u/∂x² = ρ∂²u/∂t² (1.28)
∂²u/∂t² =
λ .2 G
ρ
∂²u/∂x²
Deducimos que el movimiento oscilatorio longitudinal propuesto mediante los
corrimientos ux = u(x, t), uy = uz = 0, es posible si la funcion ux(x, t), satisface la
Ec (1.28).
En el caso en que los corrimientos sean transversales al eje OX, o sea que: ux = uy = 0,
uz = u(x, t), verificaremos que entonces, todos los corrimientos se realizan
paralelamente al eje OZ, comprobándose como en el caso anterior, que todos los puntos
contenidos en el plano Q mostrado en la Fig (1.4), se desplazan igual y
simultáneamente, manteniéndose a la misma distancia del plano YOZ.
Si consideramos varios planos paralelos y similares Q1, Q2........Qn, veremos que éstos
se desplazan verticalmente.
En el caso de movimiento periódico se tratara de una oscilación transversal homogénea
a lo largo del eje OZ, propagándose con una velocidad Vs, definida mediante la
Ec (1.21)

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Fig. (1.4): Movimiento de ondas transversales
Verificamos la posibilidad de estas oscilaciones, basándonos en los corrimientos
ux = uy = o, uz = u(x, t), y en el hecho de que no ocurrirán expansiones volumétricas
por tanto:
e= ∂ux/∂x+∂uy/∂y+∂uz/∂z = 0
∂e/∂x = ∂e/∂y = ∂e/∂z = 0
∇²ux = ∇²uy = 0
∇²uz = ∂²uz/∂x²
∂²ux/∂t = ∂²uy/∂t² = 0
Llevando estas condiciones al sistema de Ecs (1.14), observamos que la primera y la
segunda de estas se verifican idénticamente y la tercera toma la siguiente forma:
G∂²uz/∂x² = ∂²uz/∂t² (1.29)
∂²uz/∂t² = G/ρ∂²uz/∂x²
Por consiguiente, la oscilación correspondiente a los corrimientos ux=uy=0, uz=u(x,t),
satisface la Ec (1.29), la cual posee idéntica estructura que la Ec (1.28), difiriendo
únicamente por la magnitud del coeficiente constante Vs.
La velocidad de propagación de las oscilaciones transversales Vs es menor que la
velocidad de propagación de las oscilaciones longitudinales Vp, y su relación depende
únicamente de las constantes elásticas del medio de propagación.

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Vs < Vp
=
Vs
Vp
G
λ .2 G (1.30)

1
1.6 ECUACION SENCILLA DE ONDAS DE CORTANTE PROPAGANDOSE EN
ESTRATOS HOMOGENEOS DE SUELOS
La ecuación de onda (1.27) admite soluciones de la siguiente forma sencilla:
u(x, t) = f1(x-Vt) + f2(x+ Vt) (1.31)
Donde f1 y f2 son funciones arbitrarias que admiten segundas derivadas. El segundo
miembro de esta ecuación expresa dos oscilaciones que se propagan en los sentidos
positivo y negativo del eje OX, con velocidad Vs, por lo que estos dos términos se
conocen como ondas de propagaciones hacia delante y hacia atrás.
Como vimos en el Art 1.5, la vibración de los estratos horizontales de suelo, se puede
tratar como un problema de propagación de ondas de cortante en una dirección vertical,
lo cual puede extenderse a la vibración de edificios altos de cortante ante los
movimientos del terreno.
Para el estrato de suelo mostrado en la Fig (1.5), una onda incidente propagándose hacia
arriba en el terreno se convierte en una onda reflejada cuando alcanza la superficie libre,
lo cual nos permite definir la relación entre las funciones f1 y f2 a partir de las
condiciones de frontera
Fig. (1.5): Reflexión de una onda S en la superficie libre del suelo.
En la superficie libre z = 0, y el esfuerzo cortante G∂u /∂z = 0, condiciones que al
sustituirse en la ecuación (1.31), nos conducen a la igualdad siguiente:
∂f1/∂t = ∂f2/∂t → f1 = f2

2
Si ug es de la forma de la onda en la superficie, cuyo valor es el siguiente:
ug (0, t) = 2f(t)
El desplazamiento en el instante t, es el promedio de los desplazamientos de la
superficie libre en tiempos anteriores y posteriores.
u (z, t) = 1/2[ug (z -Vt) + ug (z + Vt)] (1.32)
Cuando el terreno esta compuesto por dos estratos como se muestra en la Fig (1.6), en la
interfase entre ambos, parte de la onda incidente viajando hacia arriba desde el estrato
inferior, pasa por la frontera del estrato superior, mientras el resto se refleja.
ρ
ρ
Fig. (1.6): Transmisión de ondas en la interfase entre dos estratos.
La propagación de ondas para los dos estratos se expresa como:
u1 = f1(t - z/V1) + g1(t+z/V1) (1.33)
u2 = f2(t - z/V2) (1.34)
En la superficie de la interfase, los esfuerzos y las deformaciones por cortante son
idénticos, por lo que las condiciones de compatibilidad son:
u1(0) = u2(0) (1.35)
G1∂u1/∂z = G2∂u2/∂z

3
Al sustituir las Ecs (1.33) y (1.34) en la Ec (1.35), y considerando la ecuación de onda
(1.29), obtenemos:
=.f2 t
z
v2
..1 α
1 α
f1 t
z
v1 (36a)
=.g1 t
z
v1
..1 α
1 α
f1 t
z
v1
(36b)
Donde α es la impedancia de propagación de la onda expresada como.
=α
.ρ2 V2
.ρ1 V1
1 α
1 α
Es el coeficiente de reflexión de la onda
Es el coeficiente de transmisión
2
1 α
Tanto la onda incidente como la transmitida y la reflejada tienen la misma forma
Para el caso de un estrato único de suelo cimentado sobre un estrato rocoso, a como se
muestra en la Fig (1.7), la forma de la onda en el punto z2 del estrato superficial, de
acuerdo con la Ec (1.32), puede expresarse en términos de la onda superficial ug
Esto es:
=.u2 ( ),t z2 .0.5 .ug t
z2
V2
.ug t
z2
V2 (1.37)
Análogamente la forma de la onda en el punto z1, contenido en el estrato rocoso es la
siguiente:
=.u1 ( ),t z1 f1 t
z1
V1
g1 t
z1
V1
En la interfase entre los estratos, las condiciones de compatibilidad son las expresadas
por la Ec (1.39):
(`1.38)

4
u2(t, h) = u1(t, 0) (1.39)
G2(∂/∂z2)u2(t, -h) = G1∂/∂z1
De acuerdo con las Ecs (1.37), (1.38) y (1.39) podemos escribir:
=.f1 ( )t .1
4
..( )1 α ug t
h
v2
..( )1 α ug t
h
v2
(1.40
Fig. (1.7): Propagación ondulatoria en un estrato de suelo homogéneo cimentado
sobre roca.
Si la forma de la onda superficial es: =ug .Αg e
iωt
Y la de la onda incidente es: =.f1 ( )t .Α e
iωt
Entonces: (1.41)
=A =.Ag
4
( )1 α
iω h
v2 .( )1 α e
iω h
v2 .Ag
2
cos
ω h
v2
.( )iα sin
ω h
v2
La relación entre la amplitud en la superficie Ag y la amplitud 2A en la frontera, puede
escribirse del siguiente modo:

5
=
Ag
.2 A
cos
ωh
v2
2
.α
2
sin
ωh
v2
2
1
2
(1.42)
La Ec (1.42) expresa el cambio experimentado en la amplitud de la onda incidente por
efecto de la existencia del estrato superficial de suelo de espesor h, subyacente a la
roca.
Las curvas de la Fig (1.8), muestran la relación entre la frecuencia circular natural del
estrato ω y la amplificación dinámica del mismo para diferentes valores de la
impedancia α.
π
α = 0.00
α = 0.20
π π
ωh/V2
Fig (1.8): Amplificación dinámica del estrato de suelo superficial de la Fig (1.7).
La condición resonante ocurre cuando la frecuencia circular de la onda incidente ω
coincide con una de las frecuencias circulares naturales del estrato:
=ω n
..( ).2 n 1 π V2
.2 h (1.43)
=n ( ),,1 2 3......
n denota el modo de vibración del estrato de suelo.
Los periodos predominantes de vibración del estrato de suelo son los siguientes:

6
=Tn .1
.2 n 1
4h
V2 (1.44)
Este procedimiento puede emplearse para calcular los periodos de vibración en el caso
de que existan varios estratos de suelos subyaciendo sobre un basamento rocoso.
Hemos mostrado algunas aplicaciones importantes de la ecuación sencilla para la
propagación de ondas de cortante S a través de formaciones estratigráficas de suelo,
verificándose que las Ecs(1.31) y (1.33) son soluciones generales de la Ec (1.29).

1
1.7 SOLUCION PARA UN ESTRATO HOMOGÉNEO Y FINITO DE SUELO EN FUNCION
DE LOS MODOS NATURALES DE VIBRACIÓN.
Hemos visto en el Art 1.5, que la ecuación (1.29) gobierna la propagación ondulatoria
en un medio seminfinito isótropo u ortótropo homogéneo o estratificado
horizontalmente, sujeto a desplazamientos horizontales, en los cuales las deformaciones
predominantes son por cortante, y la pendiente es proporcional al esfuerzo cortante
medio en la sección transversal, razón por la cual se les llama sistemas de cortantes y
constituyen excelentes modelos para el análisis de edificios altos y suelos estratificados,
siendo la estructura de parámetro distribuido mas sencilla, en la cual no hemos
considerado fuerzas de amortiguamiento viscoelástico, y donde la densidad de masa ρ, y
la rigidez en cortante G, se distribuyen uniformemente por unidad de longitud o
volumen.
ρ
( 2 )
υ
δυ
x
δΖ
Ζδ
δ
( 1 )
Fig. (1.9): Estrato de suelo que vibra libremente como un sistema de cortante.
Para el elemento de suelo mostrado en la Fig (1.9), la diferencia S entre la cortante de la
parte superior respecto a la parte inferior del elemento infinitesimal, en ausencia de
fuerzas externas aplicadas, debe equilibrarse con la fuerza inercial inducida por la
aceleración actuante en el elemento de suelo.
El equilibrio del cuerpo libre lo establecemos empleando el principio de D'Alembert:
=.∂ S
∂z
dz .ρ
.∂
2
u
∂t
2
0

2
La definición de sistema de cortante nos permite establecer la siguiente relación:
=S .G
∂ u
∂z
=
∂S
∂ z
.G
.∂
2
u
∂ z
2
Combinando ambas ecuaciones tenemos:
=.G
.∂
2
u
∂ z
2
.ρ
.∂
2
u
∂ t
2
0
=
.∂
2
u
.∂ t
2
.V
2 .∂
2
u
.∂ z
2
Nos encontramos con la ecuación (1.29), la cual resolveremos en la forma de un
desarrollo en serie en función de los modos naturales de vibración, para lo cual
emplearemos el recurso de separación de variables, partiendo de que la función u(z, t),
puede expresarse como el producto de las funciones Zn,y θn(t) de manera que la
función u(z, t) puede escribirse de la siguiente forma:
=.u ( ),z t
...Zn ( )z θn ( )t (1.45)
El recurso de variables separadas permite la siguiente transformación:
=
.∂
2
u
∂z
2
..
.∂
2
Zn
∂ z
2
θn ( )t (1.46)
=
.∂
2
u
∂t
2
..Zn ( )z
.∂
2
θn
∂t
2

3
Por comodidad operacional convendremos en llamar θ˝= ∂²θn/∂t² y Z″= ∂²Zn/∂z²
valores que al ser sustituidos en la Ec (1.29) generan las siguientes ecuaciones, donde
ωn es arbitraria.
=.Zn θ''n ..V
2
Z''n θn 0
(1.47)
=
θ''n
θn
=.V
2 Z''n
Zn
.ω
2
n
La ecuación (1.47) permite el siguiente desdoblamiento:
=
θ''n
θn
.ω
2
n (1.48)
=
Z''n
Zn
.ω
2
n
V
2
(1.49)
La ecuación (1.48) indica que ωn no depende de z, y la ecuación (1.49) por su lado
establece que ωn no depende de t, por lo tanto ωn es una constante.
Las soluciones generales de ambas ecuaciones, son de las siguientes formas:
=θn =sin( ).ω n ( )t tn 0 (1.50)
Donde tn mide un desfasamiento arbitrario del tiempo.
=Zn .An sin .ω n
V
( )z an (1.51)
Ahora sustituimos las soluciones (1.50) y (1.51), en la ecuación (1.45) y obtenemos la
siguiente solución:
=.u ( ),z t =..An sin .ωn
V
( )z an sinωn( )t tn 0 (1.52)

4
Aquí An y an son constantes arbitrarias que dependen de las condiciones de frontera.
La forma de la ecuación (1.52) describe el modo natural enésimo de vibración para el
sistema de cortante de parámetros distribuidos, ya que ésta satisface la definición de
modos naturales de vibración.
La frecuencia circular natural del sistema ωn se determina con la constante an, llamada
coeficiente de participación modal, que junto con la constante que define la amplitud de
bración An, serán determinadas a partir de las condiciones de frontera para cada caso.
La solución general de la ecuación (1.29) se obtiene combinando linealmente tantas
ecuaciones de la forma (1.52) como se quiera. Las amplitudes An y los desfasamientos
de tiempo tn pueden determinarse de modo que satisfagan cualquier configuración
inicial de desplazamientos, velocidad y condiciones de frontera, ya que cualquiera de
estas configuraciones puede expresarse como una combinación lineal de los modos
naturales de vibración del sistema analizado.
Este tipo de solución muestra claramente la naturaleza ondulatoria del fenómeno, pero
no se adapta muy bien en la restitución del movimiento del terreno, para lo cual
emplearemos posteriormente los espectros de Fourier y su función transformada para la
restitución del movimiento.
Para el estrato único homogéneo cimentado sobre un espacio elástico rocoso seminfinito
mostrado en la Fig (1.9), determinaremos las configuraciones modales y las envolventes
de fuerzas cortantes, empleando la solución particular (1.51).
Las condiciones de frontera para el estrato analizado son las siguientes:
i. En la superficie libre z = H, y la cortante es nula, por lo tanto:
S = 0, an = 0, ∂u/∂z(H, t) = 0 (1.53)
ii. En la interfase entre el estrato de suelo y el basamento rocoso, el desplazamiento
relativo es nulo, por lo tanto:
u(0, t) = 0 (1.54)
El estrato es caracterizado por los parámetros físicos de densidad ρ, módulo dinámico
de rigidez en cortante G y el amortiguamiento interno β, de naturaleza viscoelástica, el
cual inicialmente consideramos β = 0.
Estas características se consideran aproximadamente constantes en un area
relativamente extensa, lo cual permite la aceptacion del semiespacio, despreciándose
los efectos confinantes debidos a estratos vecinos con diferentes características
mecánicas.

5
La condición (1.53) genera las siguientes ecuaciones:
=
d
dz
u =..An
ω n
V
cos .ω n
V
z 0
(1.55)
Y como Anωn/V ≠ 0 → ωnZ/Vs = (2n-1)π/2
Entonces el valor de la frecuencia circular natural de vibración del estrato es la
siguiente:
=ωn .
.( )2n 1 π
2H
G
ρ (1.56)
Los periodos fundamentales correspondientes a los tres primeros modos de vibración
son los siguientes:
=Tn =
.2 π
ω n
.
.4 H
( )2n 1
ρ
G (1.57)
n=1 T1=4H/Vs
n=2 T2=4H/3Vs
n=3 T3=4H/5Vs
Las ecuaciones (1.56) y (1.57), son las mismas (1.43) y (1.44) previamente obtenidas
mediante el empleo de la solución general sencilla de onda (1.32) y (1.33).
La fuerza cortante Sn se distribuye verticalmente en el espesor del estrato H, y su valor
puede obtenerse a partir de la definición dada para un sistema de cortante.
Sn = G(∂u/∂z) =AnGωnCos(ωnz/Vs) (1.58)
=Sn
.
...( )2n 1 π An G
2H
cos .ω n
V
z
(1.59)

6
Ahora emplearemos la ecuación (1.52) para obtener los desplazamientos y los
coeficientes de participación modal del estrato único de suelo, excitado por un
movimiento arbitrario üo(τ), incidente desde la roca.
ρ
β
υχ
(τ)
Fig (1.10): Estrato único homogéneo de suelo excitado por un movimiento
arbitrario üo(τ), incidente desde la roca.
La ecuación que gobierna el movimiento del estrato debido a la excitación proveniente
del basamento rocoso üo(τ), es de la siguiente forma:
ρü + Gu = -ρüo(τ) (1.60)
Donde üo (τ) es una función vectorial del tiempo.
Los desplazamientos se obtienen mediante la suma de los términos semejantes
correspondientes a cada modo de vibración, integrando la Ec (1.52) en el dominio del
tiempo (0, t), efectuando la siguiente ecuación integral:
=.u ( )t
n
an
ω n
sin
ωnz
V
d
0
t
τ.uo( )τ sin( )ωn( )t τ (1.61)
Los coeficientes de participación modal se obtienen efectuando las siguientes
operaciones integrales en el dominio del espacio (0, h)

7
=an =
d
0
h
z.ρ sin .ω n
V
z
d
0
h
z.ρ sin .ω n
V
z
4
.( )2n 1 π (1.62)
En la figura (1.10) se muestran las envolventes de los desplazamientos y de las fuerzas
cortantes, obtenidas como la suma de las contribuciones modales en función del tiempo,
según Newmark y Rosenblueth.

1
1.8 REFLEXION Y REFRACCION DE ONDAS PLANAS EN UN ESTRATO
HOMOGÉNEO Y FINITO DE SUELO.
Basándonos en las condiciones de equilibrio y continuidad que deben existir en la
interfase entre el estrato de suelo y el basamento rocoso mostrado en la Fig (1.11),
determinaremos las relaciones existentes entre las direcciones de las ondas reflejadas,
refractadas y la onda incidente, las cuales son sencillas y de especial interés cuando se
trata de ondas elásticas que arriman a una interfase casi plana.
Fig. (1.11): Reflexión y refracción de ondas en una interfase plana.
Definiendo el vector característico de configuraciones modales como un(z), entonces
los desplazamientos totales u(z, t) pueden escribirse en la siguiente forma compleja:
U(z, t) = un(z) e
..i ω t
(1.63)
La cual es una solución que satisface la Ec (1.29), por lo que es necesario efectuar doble
derivación respecto a las variables (z, t), obteniendo las siguientes dos ecuaciones:
∂²un/∂t² = -ω²n(z) e
..i ω t
(1.64)
∂²u/∂z² = d²un(z)/dz²e
..i ω t
(1.65)

2
Llevando las Ec (1.64) y (1.65) a la ecuación (1.29), resulta la siguiente ecuación
diferencial ordinaria, homogénea de segundo orden:
d²un/dz² + (ω²n/V²)un = 0 (1.66)
Cuya solución es de la forma siguiente:
Un(z) = A2sen(pz) + A'2cos(pz) = A1e
ipz
+ A'1 e
ipz
(1.67)
En esta solución p = (ωn/V) cos( )φ
es la constante de propagación del medio considerado, siendo φ el ángulo formado
entre el haz de ondas incidentes y reflejadas con la línea normal a la interfase entre dos
medios elásticos 1 y 2 tal como se aprecia en la Fig (1.11) .
A y A' son constantes arbitrarias dependientes de las condiciones de fronteras, y
representan a como vimos en el Art 1.6, las amplitudes de las ondas viajando hacia
arriba y hacia abajo respectivamente.
Tomando únicamente la parte real de la solución (1.67), se obtiene la siguiente
ecuación:
Un (z) = A1cos (pz) (1.68)
Siendo A1 = (A2 + A'2) y A'1 = (A2 - A'2)i
Entonces la solución de la Ec (1.63) es la siguiente:
U(z, t) = (1.69)
..A1 e
..i ω t
cos( pz)
En la superficie libre del estrato de suelo, las amplitudes son iguales, esto es A2 = A'2,
y en la interfase entre los estratos, la continuidad del desplazamiento y del esfuerzo
cortante requieren del cumplimiento de las condiciones de compatibilidad expresadas
mediante las Ec (1.35), las cuales aplicamos considerando las condiciones de fronteras
definidas:
uz1 (H) = uz2 (0) (1.70)
τz1(H) = τz2 (0) (1.71)
La condición (1.70) implica que:

3
A2(e
ip2H2
+e
ip2H2
)u2(z, t) = (A1 + A’) u1 (z, t) (1.72)
Como la identidad (1.72), es satisfecha para cualquier valor (z, t), tenemos que:
=.
.i ω
V2
sin( )φ 2 .
.i ω
V1
sin( )φ 1 (1.73)
=.A2 e
ipz
e
ipz
A1 A'1
(1.74)
Donde p es la constante de propagación del medio considerado expresada por la
Ec (1.67).
Si se cumplen las dos condiciones impuestas de continuidad para los desplazamientos y
esfuerzos cortantes, determinadas por las ecuaciones (1.70) y (1.71), la ecuación (1.73)
expresa la ley de Snell, la cual define las relaciones existentes entre las direcciones de
ondas incidentes, reflejadas y refractadas, para el caso de ondas planas que arriman a
una interfase casi plana como la de la Fig (1.11).
=
sin( )φ 1
V1
=
sinh( )φ 2
V2
p (1.75)
Según esta Ley, el seno del Angulo φ formado por la dirección de propagación de
cualquier onda - sea esta incidente, reflejada o refractada – con la normal a la interfase
entre dos medios elásticos, es proporcional a la velocidad de propagación Vs de la onda,
en el medio estratigráfico considerado.
La condición de continuidad de los esfuerzos cortantes expresada mediante la
Ec (1.71), genera la siguiente ecuación:
=.A2G2h2 e
ip2h2
e
ip2h2 ...i G1 p1 ( )A1 A'1 (1.76)
Combinando las Ecs (1.71) y (1.76) obtenemos entonces las siguientes relaciones (1.77)
y (1.78):
(1.77)
=A1 A'1 .Α2 e
ip2H2
e
ip2H2
(1.78)
=A1 A'1 ..A2 e
ip2H2
e
ip2H2 G2p2
G1p1
El término G1p1/G2p2 es la relacion de admitancia entre el suelo y la roca , y se define
como

4
=q =
G1p1
G2p2
=
..G1 cos( )φ 1 V2
..G2 cos( )φ 2 V1
.
.ρ1 G1
.ρ2 G2
cos( )φ1
cos( )φ2
(1.79)
Al parámetro α = 1/q se le llama relación de impedancia, previamente referido en el
Art1.6, Ec (1.36) y su valor es el siguiente:
=α
G2p2
G1p1 (1.80)
Ahora podemos definir los coeficientes A1 y A'1 en términos de la admitancia, del
siguiente modo:
=A1 .0.5 Α2 .( )1 q e
ip2H2 .( )1 q e
ip2H2
(1.81)
=A'1 .0.5A2 .( )1 q e
ip2H2 .( )1 q e
ip2H2
(1.82)
La función de amplificación dinámica del estrato de suelo D (ωn), es definida como la
relación entre la amplitud del movimiento del punto a en la superficie libre del estrato,
respecto a la amplitud del desplazamiento del punto b, localizado en la interfase entre el
suelo y la roca, a como se muestra en la Fig (1.12).
β = 0
ω
ω
ω
Fig. (1.12): Amplificación dinamica de un estrato único de suelo cimentado sobre
roca.
Tomando en consideración la ecuación (1.77)), y la condición de que las amplitudes
son iguales en la superficie libre del estrato, como consecuencia directa de las
ecuaciones (1.70) y (1.71), podemos escribir la función de amplificación dinámica del
siguiente modo:

5
A2 = A1 = 1
=.D2 ( )ω n =
A2 A'2
A1 A'1
=
.uz2 ( )0
.uz1 ( )h
=
2
e
iω h
e
iω h
1
.cos( )ωh
ρ
G
(1.83)
La ecuación (1.83), indica que si p es real, esto es en ausencia de amortiguamiento
interno del suelo β=0, y si: cos (ph) → 0 entonces D2 (ωn) → ∞, y ocurre el fenómeno
de resonancia, lo cual es posible cuando la frecuencia circular de una onda incidente ωs'
coincide con una de las frecuencias circulares naturales del estrato superficial ωn, es
decir:
=.D ( )ω n
1
1
ωs'
ωn
2
(1.84)
En la Fig (1.12) se muestra la forma de la curva de resonancia (1.84), para el estrato
analizado β = 0.

1
1.9 FUNCION DE VELOCIDAD PARA LA PROPAGACIÓN DE ONDAS DE
CORTANTE EN ESTRATOS HOMOGÉNEOS Y FINITOS DE SUELOS.
Dada la importancia de la velocidad de las ondas elásticas de cortante Vs, como
indicador de las propiedades físicas del medio de propagación, abordaremos aquí sus
características desde el punto de vista de su trayectoria y sus variaciones con la
profundidad.
Inicialmente aceptamos que las variaciones de la velocidad, son sistemáticas a lo largo
de su trayectoria, lo cual permite expresarla como función de la profundidad Vi =Vi(z).
Bebido a que la velocidad real, generalmente experimenta variaciones rápidas en cortos
intervalos de longitud, es necesario integrar estas variaciones sobre distancias de una
longitud de onda con rangos de 30 a 100 m, obteniéndose una función que presenta un
comportamiento suavizado, excepto para discontinuidades debidas a marcados cambios
litológicos. Si las discontinuidades de velocidad son pequeñas, podemos representar su
distribución con suficiente aproximación mediante la función suavizada de velocidad a
lo largo de la tayectoria que atraviesa una onda desde la fuente perturbadora hasta una
estación de interés, quedando determinada teóricamente mediante dos ecuaciones
integrales obtenidas bajo la consideración de que el medio estratificado
horizontalmente, es dividido en un considerable numero de capas, en cada una de las
cuales la velocidad es constante; si hacemos que el numero de lechos sea
suficientemente grande, el espesor se torna una cantidad infinitesimal, y la distribución
de la velocidad se vuelve una función continua del espesor.
Sabemos que una columna estratigráfica de suelo que descansa sobre roca o suelo firme
con N>50, queda bien caracterizada en cuanto a su consolidación mediante las
velocidades medias de las ondas de cortante, asociadas con el numero de golpes por pie
N de las pruebas de penetración estándar (SPT), de modo que se clasifican las
formaciones de suelos estratificados como superficiales, medias y firmes, asignándoles
los siguientes rangos de velocidades a las ondas de cortante S:
Formaciones superficiales N<10 Vs< 150 (m/seg)
Formaciones medias 10<N<50 150≤Vs≤600 (m/seg)
Formaciones firmes N>50 Vs>600 (m/seg)
Referidos a la Fig (1.13), tenemos que para el enésimo estrato:
Vn = Vn (z) (1.85)
Δun = ∆zntan(αn) (1.86)
=Δ tn
Δ zn
.Vn cos( φ n)
(1.87)

2
γ
ο
γ
γ
Fig (1.13): Onda incidente SV propagándose desde la roca
En el límite cuando n→∞ tenemos que:
) =u d
0
z
ztan( )φ o (1.88)=
d
dz
u tan( φ o
=
d
dz
t
1
.V cos( φ o)
=t d
0
z
ztan( )φ o (1.89)
La trayectoria de las ondas es definida por el parámetro de propagación p, cuyo valor es
una constante de la que depende la dirección del rayo bajo Φo, y es definida por la Ley
de Snell expresada por la Ec (1.75).
A partir de las Ecs (1.88), (1.89) y (1.75), se obtienen las dos ecuaciones integrales
siguientes para u y t, relacionadas con la profundidad z.
=u d
o
z
z
pV
1 ( ).p v
2
(1.90)

3
=t d
o
z
z
1
.V 1 ( ).p V
2
(1.91)
Estas ecuaciones integrales se resuelven por métodos numéricos cuando se tienen
valores conocidos para la velocidad Vs = V(z), en diferentes profundidades z, lo cual
tiene aplicabilidad en programas de exploración sísmica.
Un caso de considerable importancia es aquel en el que la velocidad varia linealmente
con la profundidad, de modo que esta puede escribirse como V(z) = Vo + kz, donde Vo
es la velocidad de propagación referida a un datum plano horizontal, y k es una
constante cuyos valores generalmente oscilan en el intervalo 0.3 ≤ k ≤ 1.3 1/seg.
Introduciendo la variable r = pV, entonces dr = pdV = pkdz, y las ecuaciones (1.90) y
(1.91), se transforman en las siguientes:
=u =.1
pk
d
ro
r
r
r
1 r
2
=.1
pk
1 r
2 .1
pk
( )cos( )φo cos( )φ
(1.92)
=t =.1
p
d
ro
r
r
1
.r 1 r
2
=.1
p
log
r
1 1 r
2
=t =.1
k
log .sin( )φ
sin( )φ o
1 cos( )φ o
1 cos( )φ
.1
k
log
tan
φ
2
tan
φo
2 (1.93)
=φ .2 tan
1 .e
kt
tan
φo
2
(1.94)

4
=z =.1
k
( )V Vo .1
pk
( )sin( )φ sin( )φo
(1.95)
Ahora es posible determinar las coordenadas (u, z) de cualquier punto de la trayectoria
unidimensional del rayo de ondas, mediante el empleo de las ecuaciones (1.92) y (1.93).
Casi siempre la velocidad de la onda de cortante es una función creciente de la
profundidad para depósitos blandos, limitados por una superficie libre y una superficie
superior de la roca basal, ambas casi horizontales, lo cual permite considerar los efectos
de reflexión bajo la suposición de trenes de ondas viajando verticalmente.
Sabemos que una onda que viaja casi normalmente a la interfase, solamente origina
ondas de su misma clase, lo cual ocurre para depósitos mucho más blandos que el
cimiento rocoso, donde el angulo de incidencia casi coincide con la normal z en la
superficie libre, tal a como se aprecia en la Fig (1.14).
γ
γ
Fig (1.14): Onda incidente desde la roca viajando por un estrato blando de suelo en
dirección casi normal a la interfase.
El efecto del angulo de incidencia muy pequeño, en la frecuencia natural del estrato de
suelo es despreciable para los propósitos prácticos, siendo la magnitud del factor de
amplificación dinámica una función de la frecuencia para diferentes valores de φ1
Mostramos el efecto del de incidencia para diferentes valores de φ y según
Roësset.
1 φ2

5
Efecto del ángulo de incidencia de ondas SH, para β = 0.05
φ1en la roca φ2en el suelo .ωn ( )φ1
.ωn ( )φ2
.D1 ( )φ1
.D2 ( )φ2
0 0 1 1
10º 1º40' 1.0004 0.98
20º 3º 1.002 0.94
30º 4º45' 1.004 0.87
40º 6º10' 1.006 0.77
45º 6º45' 1.007 0.71
50º 7º18' 1.008 0.64
60º 8º17' 1.011 0.50
70º 9º 1.013 0.35
80 9º23' 1.013 0.17
90º 9º37' 1.020 0

6
Ejemplo de aplicación 1.9.1: Velocidad superficial para un pulso de incidente desde
la roca.
Para la formación de suelo cuaternario del Holoceno y del Pleistoceno superior
conocido como Grupo Managua, cimentado sobre las tobas de la Sierra del Pleistoceno
inferior, y cuyas características dinámicas fueron determinadas por el método Up-Hole
empleando un plato Hammer, deseamos conocer las velocidades en la superficie libre
del terreno para un pulso de velocidad incidente desde la roca, viajando hacia arriba
como una onda de cortante horizontal plana. Para el depósito fueron considerados los
valores medios de las ρ y de las Vs.
Emplearemos una solución ondulatoria aplicando el método de las líneas características,
las cuales son rectas mientras la masa ρ y la rigidez G no sufran cambios por unidad de
longitud y cuyas pendientes representan las velocidades en la roca y en el suelo, estas
líneas serán referidas al sistema coordenado que tiene como abscisa el tiempo t, y la
profundidad h (z) como ordenadas.
La Fig (1.15), muestra la geometría y las propiedades físicas del basamento y del
estrato, y la magnitud del pulso de velocidad incidente, determinándose la distribución
de la velocidad en la superficie como una función del tiempo, relacionada con la
velocidad que tendría el estrato de roca ùo, si no existiera el deposito de suelo
subyacente.
u
0-00...........
z γ2=2.10 (T/m³) 1
ρ2=0.2147 (Tseg²/m4) 6V1
V2=225 (m/seg)
0-30.00(m)
γ2=2.36 (T/m³)
ρ2=0.2405 (Tseg²/m4) 1
V2=1350 (m/seg) úo V1
(1+α)α
1+α 1.740 (1+α)α²
1.405
0.453
0.133 0.266 0.266 (m)

7
Fig. (1.15): Pulso triangular de velocidad incidente desde la roca hasta la superficie
libre de un estrato de suelo del grupo Managua.
Definimos la constante de reflexión como: =α =
.m1 V1 .m2 V2
.m1 V1 .m2 V2
0.74 (1.96)
El desplazamiento u(t) como función del tiempo según Newmark y Rosenblueth es el
siguiente:
=.u ( )t .( )1 α
= 0
∞
n
..( )α
n
uo t .( )2n 1
H
V
(1.97)
La Ec (1.97) ha sido confirmada experimentalmente en formaciones aluvionales
someras que descansan sobre roca para una onda de cortante arbitraria horizontal que
produjera el desplazamiento uo de su superficie de no existir el depósito estratificado de
suelo.
Se han graficado las velocidades en la superficie del terreno comparadas con las que
habría en la superficie de la roca si no existiera la formación de suelo.
Las aceleraciones en la superficie se obtuvieron empleando la Ec (1.48), los resultados
se muestran en la Fig (1.15).
`

1
1.10 MODULO DE RIGIDEZ Y AMORTIGUAMIENTO DEL SUELO
1.10.1 INTRODUCCION
Hasta ahora hemos establecido las principales ecuaciones que gobiernan el movimiento
de las ondas de cortante al propagarse en depósitos formados por estratos horizontales
de suelos, para los cuales hemos admitimos un comportamiento elástico no
amortiguado, no obstante, saber que dicho medio queda caracterizado por los
parámetros de densidad ρ, modulo de rigidez al cortante G o μ y amortiguamiento
interno de naturaleza viscosa D o β, por lo tanto es necesario el conocimiento de cada
una de estas propiedades para una mejor comprensión del comportamiento de los
estratos de suelos sujetos a un régimen de cargas dinámicas sísmicas reversibles.
En este articulo trataremos de establecer relaciones esfuerzo deformación que nos
permitan determinar el modulo de rigidez de las formaciones estratigráficas de suelo
para cargas cíclicas reversibles, las cuales sabemos que debido a la naturaleza
heterogénea del suelo como medio de propagación, no son lineales, aun bajo régimen de
cargas estáticas, lo cual hace que la ley matemática que establezca dichas relaciones
conste de muchas variables, tornándola muy compleja y de difícil manejo.
Los diagramas esfuerzo- deformación correspondientes a diversos ciclos de cargas
variables con el tiempo, se refieren a deformaciones debidas a cortantes simples, dado
que estos son los que más se aproximan al estado de esfuerzos inducidos en la masa del
suelo durante u terremoto, los cuales varían en frecuencia y amplitud.
El modulo de rigidez en cortante de los suelos decrece considerablemente con el
incremento de las deformaciones por cortante, lo cual ha podido verificarse mediante
muchas pruebas dinámicas de compresión triaxial.
Para arenas puras estas pruebas han sido realizadas por Idriss y Seed (1969), y para
arcillas puras por Hara (1972), obteniéndose los resultados reproducidos en la
Fig (1.16).
Los valores de las deformaciones unitarias de cortante ε obtenidas mediante exploración
sísmica, y en microtemblores, oscilan en el rango =ε 10
5
a 10 3
%
Para sismos destructivos, el rango de valores para las deformaciones unitarias es del
orden ε = 0.5 al 1%.
Se han propuesto representaciones matemáticas ajustadas a las curvas obtenidas
directamente de las pruebas, las cuales muestran ser no lineales. Hardin y Drnevich
(1970), postulan representaciones hiperbólicas, las cuales son simplistas por no
considerar el aspecto cíclico de las cargas sísmicas, razón por la cual se ha adoptado
utilizar las ecuaciones de Ramberg- Osgood, que sí reflejan la naturaleza cíclica y
reversible de la propagación sísmica.
Sin embargo hay que admitir que cualquier expresión matemática que trate de describir
el comportamiento dinámico del suelo, es aproximada.

2
Debido a que no siempre los suelos guardan una relación lineal, algunos investigadores
optan por describir el comportamiento esfuerzo- deformación, mediante una expresión
tensorial general de esfuerzo elástico, en la cual los esfuerzos definidos como σij, son
funciones de las deformaciones εij.
Para rangos pequeños de las deformaciones, una primera aproximación consiste en
suponer que las σij, son funciones lineales de las εij, es decir que una expresión exacta
para la ley de Hooke es σij = Eijkm εkm (1.98).
Esta relación junto con la ley del cociente, nos indica que si las Eijkm conservan los
mismos valores en cualquier sistema de coordenadas, son componentes de u tensor
isotrópico y definen un medio isótropo, en cuyo caso es demostrable que dicho tensor
puede expresarse mediante una ecuación con estructura semejante a la de la ecuación
(1.8).
σij = λфδij + 2μεij (1.99)
Donde λ y μ son los parámetros característicos de Lame para el medio de propagación,
ф = εii es un invariante lineal del medio, igual a la divergencia del vector deformación
ui definido en el Artículo 1.2, εij, son componentes de un tensor de deformación y
constituye la parte simétrica del tensor derivado del vector deformación, σij, es el
tensor de segundo orden de Kronecker definido del siguiente modo:
1 sí i = j
σij = =σij
1
0
0
0
1
0
0
0
1 (1.100)
0 sí i ≠ j
Este tensor tiene la importante propiedad de poseer las mismas componentes en
cualquier sistema coordenado de referencia.
Del tensor esfuerzos σij definido mediante la ecuación (1.100), se deduce que los
esfuerzos cortantes τij, están directamente influidos por el módulo de cortante G o μ, lo
cual tiene particular importancia en el caso de cargas cíclicas reversibles, las que
sabemos generan esfuerzos de cortantes que varían con el tiempo, y deformaciones de
ablandamiento en la masa del suelo, los cuales muestran una estructura interna
consistente en un arreglo relativo de fases solida, liquida y gaseosa, cuyas partículas
están unidas entre si mediante débiles vínculos, lo cual permite cambios considerables
en la estructura interna del material ante pequeños incrementos de esfuerzos, resultando
que el comportamiento mecánico sea una función del proceso de aplicación de las
cargas.
Las características de densidad ρ, resistencia, y deformación, pueden alterarse
irreversiblemente por efecto de un ciclo de carga, de modo que el siguiente ciclo se

3
aplica de hecho a un suelo distinto, Esto impide en la practica el uso de simples
ecuaciones que de modo general describan el comportamiento dinámico de los suelos.
En general el comportamiento mecánico de un elemento de suelo depende en su estado
inicial de la relación de vacíos, grado de saturación, estructura interna y estado de
esfuerzo, también importa la manera como se apliquen los incrementos de esfuerzos, y
conocer el valor y la trayectoria de los mismos así como las condiciones de drenajes.
Las propiedades mecánicas de los suelos son fijadas en términos de estas siete variables
mediante prototipos que las incorporen. Sin embargo repetidos ensayos experimentales
de campo y laboratorio confirman que el efecto de estas variables puede considerarse
con buena aproximación mediante los tres siguientes factores independientes:
• Incremento de deformaciones.
• Trayectoria de los esfuerzos
• Estado de esfuerzo efectivo.
Siendo este ultimo el factor predominante, puesto que se trata del componente de
esfuerzo que es efectivo para controlar tanto las deformaciones debidas a los cambios
volumétricos, como la resistencia al corte del suelo, ya que el esfuerzo total σ, y el
esfuerzo cortante τ, se transmiten a través de los contactos entre granos, siendo en
términos cuantitativos la diferencia entre el esfuerzo total σ y la presión neutra σo,
expresando el esfuerzo promedio intergranular en un area plana dentro de la masa de
suelo. Este es el llamado principio de esfuerzo efectivo, mediante el cual pueden
referirse las propiedades dinámicas de varios tipos de suelos.
Las propiedades que definen plenamente el comportamiento dinámico de un suelo
estable son las siguientes:
• Modulo de rigidez a las cortantes G o μ.
• Amortiguamiento interno viscoso D
• Relaciones esfuerzo- deformación para deformaciones cíclicas de amplitudes largas.
• Resistencia bajo cargas cíclicas.
La relación de Poisson ν, es otra propiedad requerida para la descripción de las
respuestas dinámicas del suelo, la cual sabemos varia dentro de limites relativamente
cerrados y es independiente de la frecuencia en el rango de interés para la ingeniería
sísmica.
Para suelos poco cohesivos, la relación de Poisson en régimen dinámico varia entre 0.25
y 0.35, y entre 0.40 y 0.50 para suelos cohesivos. En contraste con G y E, ν es
insensible a los efectos tixotrópicos.

4
1.10.2 MODULO DE RIGIDEZ AL CORTANTE PARA VIBRACIONES DE PEQUEÑAS
AMPLITUDES.
Ante la primera aplicación de carga, un espécimen de suelo sujeto a cortante,
experimenta deformaciones parcialmente irreversibles, sin importar la amplitud de dicha
deformación, por lo que los diagramas esfuerzo- deformación correspondientes a un
ciclo de cargado y recargado no son coincidentes. Si la amplitud de la deformación es
pequeña, la diferencia entre los sucesivos diagramas de recargado tienden a desaparecer
después de unos pocos ciclos de similar amplitud, y la curva esfuerzo- deformación se
convierte en un lazo histerético cerrado descrito por dos parámetros:
• La pendiente del eje longitudinal respecto a un eje horizontal
• El área encerrada por el lazo.
El primero de estos define el modulo de cortante G, y el segundo el amortiguamiento
interno del suelo D.
Sabemos que el módulo de cortante G y la velocidad de propagación de las ondas de
cortante Vs, están interrelacionadas mediante la ecuación (1.21). Existen varios métodos
para cuantificar aproximaciones del valor del modulo de cortante y de la velocidad de
propagación, los cuales son dependientes de las deformaciones, siendo los más
conocidos los siguientes:
• Exploración sísmica en el sitio
Existen tres diferentes maneras de realizar pruebas de exploración sísmica en el sitio las
cuales difieren por la disposición de las fuentes generadoras de ondas y de los geófonos,
El método “down hole” es el más frecuentemente empleado, la fuente perturbadora
consiste en pequeñas detonaciones de dinamita o bien mediante platos vibradores.
Fig. (1.17): Sistemas de exploración sísmica.

5
Las deformaciones por cortante en el caso de exploración sísmica son del orden
de magnitud mostradas en la Fig (1.18)
Fig (1.18): Deformaciones por cortante en exploración sísmica.
• Pruebas de compresión dinámica triaxial
Mediante la prueba de compresión dinámica triaxial, se aplica un esfuerzo cíclico axial
σ1, a un espécimen cilíndrico de suelo, el cual se encuentra confinado en una recamara
conteniendo un liquido de presión σ3, pudiéndose medir las deformaciones axiales ε1, y
las deformaciones volumétricas εvol del espécimen a como se aprecia en la Fig (1.19).
2
σ
τ =
τ
εε
σ1
1ε
3σ
ε
1 3σ
γ)(1+ε = ε1
ε1
γ=
ε
2 1ε
Fig. (1.19): Prueba de compresión dinámica triaxial y lazo histerético.

6
La curva esfuerzo- deformación obtenida de esta prueba tiene una forma
aproximadamente elíptica, pudiéndose determinar el modulo de cortante G para
cualquier magnitud de las deformaciones desde muy pequeñas, hasta grandes
amplitudes en la vecindad de la ruptura del suelo.
τ
ε
Fig. (1.20): Lazo histerético para arcilla caolinitica blanda según Krizek y
Franklin.
• Prueba de la columna resonante.
Consiste en la aplicación de torque cíclico a un espécimen cilíndrico de suelo, mediante
el péndulo de torsion libre del Dr Zeevaert (1973), mostrado en la figura (1.21).
La prueba consiste en sujetar la probeta del suelo a un esfuerzo confinante σc. Cuando
el material de la probeta se encuentra saturado, se disipa el exceso de presión
hidrostática antes de comenzar la prueba, se impulsa el brazo y se registra la vibración
libre la cual representa la respuesta visco elástica después del primer impulso. De la
vibración registrada se mide el periodo amortiguado de vibración libre del sistema Tsd y
el porcentaje de amortiguamiento, critico con esta información se determina el valor de
μ para un determinado confinamiento σc empleando la ecuación (1.105).
=μ .ω sd
2
1 ζ s
2 .1 ζ a
2 ω sd
2
ω ad
2
G
(1.100)
O bien
=μ .
.2 π
.1 ζ s
2
Tsd
2 .1 ζ a
2
Tad
2
2
G
(1.101)

7
Donde:
ωsd frecuencia circular del sistema.
ωad frecuencia circular del aparato obtenida mediante calibración
ζs % de amortiguamiento critico del sistema.
ζd % de amortiguamiento critico del aparato obtenido por calibración.
=G .Ja
Ip
h
Ja = Σ mr² momento polar de inercia de las masas del aparato
Ip momento polar de inercia de la sección del espécimen.
h altura del espécimen.
2W
1ε
σ
σ
Fig. (1.21): Péndulo de torsión libre de Zeevaert.
El modulo dinámico de cortante obtenido con el péndulo de torsión libre, puede
determinarse prácticamente para diferentes distorsiones iniciales γo, en el rango de las
esperadas en el subsuelo durante la acción sísmica.

8
δ
τ
τ
τ
υ
γ γ
γ
υ= Δτ
Δγ
Δγ ο
Fig (1.22): a) Esfuerzo cortante vs distorsión angular.
b) Respuesta visco - elástica del suelo debida a un impulso
• Formulas empíricas de Hardin`s
Esta es una formula empírica obtenida mediante estimación de la velocidad de la onda
de cortante.
=Vs ..110
3 e
.γ ( )1 e
.1 2Ko
3
σv
1
4
(1.107)
Vs velocidad de las ondas de cortante (m/seg)
e relación de vacíos
σv sobrepresión efectiva (T/m²)
Ko coeficiente de presión del suelo ≈ 1 – sen (ф)
ф ángulo de fricción interna
• Estimación a partir del número de golpes por pie N de la prueba de penetración
estándar.
El modulo de cortante puede ser estimado con buena aproximación a partir del valor
medio de N para cada estrato del suelo. El modulo de cortante obtenido corresponde a
pequeñas deformaciones iguales a las obtenidas mediante exploración sísmica.
La ecuación que correlaciona a G con N, tiene la siguiente forma:
=G .a N
b
(1.108)
=G .1200 N
0.8
(T/m²) Oshaki - Iwasaki
=G .139 N
0.72
(kg/cm²) Ohta - Uchyama

9
Donde a y b son valores paramétricos.
TIPO DE SUELO a b COEFICIENTE
DE
CORRELACION
Suelos arenosos 650 0.94 0.852
Suelos intermedios 1182 0.76 0.742
Suelos cohesivos 1400 0.71 0.921
Todos los tipos de
suelos
1218 0.78 0.888
Valores de los parámetros a y b según Oshaki - Iwasaki
β = 0
( /m²)
1200 ( /m²)
139 (Kg/cm²)
Fig. (1.23): Módulo de cortante G vs N según Oshaki (1973)
Los principales factores que afectan los valores del modulo de cortante del suelo, son
generalmente la amplitud de la deformación por cortante, el esfuerzo efectivo inicial, la
relación de vacíos, y el nivel de esfuerzo cortante. Adicionalmente importa conocer el
historial de esfuerzos, el grado de saturación, la frecuencia de la carga, la temperatura y
la tixotropía, factores que ejercen varios grados de influencia en suelos cohesivos.

10
• Suelos poco cohesivos.
Para suelos poco cohesivos, los factores dominantes son la amplitud de las
deformaciones por cortante, el esfuerzo efectivo medio principal, y la relación de
vacíos. Los suelos con amplitudes de deformaciones menores que 10
4
muestran módulos de cortante con valores aproximadamente constantes, por lo que han
sido propuestas expresiones para cuantificar los valores máximos del modulo de
cortante en términos de la relación de vacíos e, y del esfuerzo efectivo medio principal
σ mediante ecuaciones de la forma (1.109).
=Gmax ..k1
( )k2 e
2
1 e
σm
0.5
(1.109)
k1 y k2 son constantes que consideran la geometría de los granos del suelo, adquiriendo
diferentes valores según se trate de suelos con granos redondeados, en cuyo caso:
=Gmax ..2630
( )2.17 e
2
1 e
σm
0.5
(1.110)
o bien se trate de suelos con granos de forma angulosa, en cuyo caso:
=Gmax ..1230
( )2.97 e
2
1 e
σm
0.5
(1.111)
Gmax, y σm están en psi
Estas ecuaciones básicamente expresan la influencia de e y σm, en los valores de G max
para pequeñas amplitudes de vibración, en vista de que los coeficientes k1 y k2
decrecen sensiblemente para amplitudes de deformaciones por cortante mayores que
10
4
. También se observa que la historia de esfuerzos tiene poco efecto en la
determinación de Gmax.
Debido a que e y σm muestran desviaciones grandes, los valores de Gmax obtenidos
mediante las ecuaciones de Hardin, discrepan en más o menos un 10% de los valores
obtenidos mediante exploración sísmica y pruebas de compresión triaxial.
• Suelos cohesivos.

11
Para determinar Gmax en suelos cohesivos en el rango de deformaciones por cortante
10
5
a 10
4
importa conocer los efectos de la relaciónes de vacíos, el esfuerzo
principal efectivo, y la historia de esfuerzos, representada mediante la relación de
sobreconsolidacion OCR, todas estas variables están relacionadas por la ecuación de
Hardin y Black
=Gmax ...1230
( )2.97 e
2
1 e
OCR
K
σm
0.5
(1.112)
k es un factor de ajuste de la relación de sobreconsolidacion (OCR), y es una función
del índice de plasticidad del suelo Ip, mostrada en la figura (1.24).
Fig. (1.24): Factor de ajuste de la sobreconsolidación según Hardin y Black.
Los coeficientes de las ecuaciones deberán determinarse mediante pruebas para casos
representativos. El nivel de esfuerzo cortante inicial parece no tener efectos
significativos en el valor de Gmax para suelos cohesivos, es en suelos con poca
cohesión donde la amplitud de vibración causa decrecimiento del valor de Gmax.
La ley hiperbólica esfuerzo- deformación de Hardin y Drnevich para pequeñas
amplitudes de deformaciones esta expresada mediante la ecuación:
=Gmax
γ
1
Go
γ
τ m
=γ R
τ max
Go
(1.113)
Donde Go es el modulo inicial para pequeñas amplitudes de deformaciones por
cortante, cuya definición se muestra en la figura (1.25), siendo γR una deformación de
referencia.

12
+1 γ
τ
γ
τ
γ
1
1
τγ
Fig. (1.25): Ley hiperbólica de Hardin y Drnevich.
El máximo esfuerzo por cortante puede determinarse por medio de la ecuación
τmax = σm sen ф
σm es el esfuerzo confinante medio y ф es el ángulo de fricción efectiva del suelo.
1.10.3 RELACIONES ESFUERZO DEFORMACIÓN PARA DEFORMACIONES CÍCLICAS DE
AMPLITUDES GRANDES.
Ahora estamos interesados en una descripción realistica de las relaciones totales
esfuerzo – deformación, para el caso en que las deformaciones cíclicas del suelo son de
amplitudes grandes.
Estas relaciones pueden obtenerse construyendo inicialmente la curva esfuerzo –
deformación para cargas monotónicas, las cuales definirán la forma del lazo histerético,
mediante reglas simples concordantes con los hechos experimentados. Particularmente
el lazo histerético deberá tener un modulo secante G variable con la amplitud de las
deformaciones, y la relación de amortiguamiento D dependiente de la frecuencia de
vibración.
Si se emplea un modelo viscoso equivalente, este deberá caracterizarse por un
coeficiente de viscosidad inversamente proporcional a la frecuencia de vibración.
Los modelos histeréticos construidos en base a las curvas esfuerzo – deformación y a
las reglas geométricas para construir lazos histeréticos, permitieron concluir a Dobry
que el modelo de Ramberg – Osgood mostrado en la figura (1.26), presenta muchas
ventajas analíticas y buena aproximación con los experimentos.
Este modelo se caracteriza por un punto de fluencia ( τy, γy), el cual define el limite del
comportamiento lineal del material, un modulo de cortante inicial Gmax y dos
parámetros, α y γ.
El modelo elástico lineal corresponde al caso α = 0, y el perfecto estado elasto – plástico
cuando γ→∞, los cuales constituyen los estados limites.
El modulo de cortante en el modelo de Ramberg – Osgood decrece monotónicamente
con la amplitud de las deformaciones mas allá del limite de fluencia, mientras la
relación de amortiguamiento crece asintóticamente hasta alcanzar un valor máximo. Se
ha logrado un buen grado de aproximación entre el modelo y los resultados obtenidos
para arenas secas y arcillas muy compresibles de la ciudad de México.

13
El modulo de cortante del suelo decrece considerablemente con el incremento de las
deformaciones por cortante.
ττ+
2τ = τ2
τ+τ +
γ
τ
2τ
τ+ τ
τ
γ
+τ
τ=γ
γ
τ
τ,−γ
γ
τ
τ,γ
γ
τ
τ2
τ
γ
+ττ
2τ=γ2
γ γ
τ
τ
γ
γ
Fig. (1.26): Modelo constitutivo de Ramberg – Osgood.
Resumiendo los resultados de un considerable número de pruebas dinámicas triaxiales
de compresión realizadas por Hara para arcillas y por Seed para arenas puras, se han
construido las curvas mostradas en la figura (1.27).
Hemos establecido previamente que las deformaciones por cortante en depósitos de
suelos expuestos a microtemblores en pruebas de exploración sísmica, son del orden
ε = 0.5 ~ 1.0 % por lo tanto el modulo de cortante se reduce a 1/3 ~ 1/5 para arcillas y
a 1/10 o menos para arenas.

14
Fig. (1.27) : Relación entre el modulo de cortante y las deformaciones del suelo.
(Seed & Idriss)
1.10.4 AMORTIGUAMIENTO DEL SUELO.
Se puede evidenciar que la energía disipada durante la aplicación de cargas dinámicas a
un elemento de suelo, debida al lazo histerético del diagrama esfuerzo deformación, es
proveída en el seno de la masa de suelo para mantener la estabilidad durante las
vibraciones libres.

15
Algunos de los parámetros empleados en la medición del amortiguamiento interno del
suelo son: el amortiguamiento especifico ψ, el decremento logarítmico δ, el ángulo de
fase entre fuerzas y deformaciones ф y la relación de amortiguamiento D .
Los mas comunes son la relación de amortiguamiento, medido como la relación entre el
amortiguamiento viscoso y el amortiguamiento critico, y el decremento logarítmico, el
cual mide el decrecimiento del logaritmo de la amplitud en un ciclo de vibración libre.
Bajo resonancia o vibraciones libres, todos estos parámetros son relacionados mediante
la ecuación (1.114).
=ψ =.2 δ =..2 π φ
..4 π D
1 D
2 0.5
(1.114)
La relación de amortiguamiento es independiente de la frecuencia en arenas secas, rocas
y arcilla moldeable, lo cual es indicativo de que el mecanismo fundamental de
disipación de energía en estos materiales es de naturaleza histerética mas que viscosa.
La forma y el área del lazo histerético no depende del incremento de las cargas, de aquí
que D no depende de la frecuencia de vibración, sin embargo, es sensitivo a la amplitud
de las deformaciones, y es afectado por el estado de esfuerzo efectivo, el contenido de
agua y en arcillas por el historial de cargas.
• Modelos de amortiguamiento del suelo.
Para representar el mecanismo de amortiguamiento interno del suelo, son
frecuentemente empleados dos modelos, el de Voigt y el de Maxwell, los cuales son
mostrados en la figura (1.28).
τ
τ η
τ
τ
η
.
Fig. (1.28): Modelos empleados para el mecanismo de amortiguamiento del suelo.
τ: esfuerzo cortante (T/m²)
G: modulo de cortante. (T/m²)
η coeficiente de viscosidad.(Tseg²/m²)

16
• Características del modelo de Voigt.
En este modelo, tanto la rigidez elástica de resorte como el embolo de viscosidad están
sujetos a la misma deformación ε
Por lo tanto:
Esfuerzo debido al resorte τ1 = Gε
Esfuerzo debido ala viscosidad τ2 = ηė
Esfuerzo total τ1 + τ2 = Gε + ηė (1.115)
La ecuación (1.115) representa el comportamiento del modelo de amortiguamiento de
Voigt, para el cual admitimos deformaciones cíclicas armónicas, con frecuencia ω, de
la siguiente forma:
La cual da el siguiente resultado para el esfuerzo total: τ
ε = εosen (ωt) (1.116)
τ = Gosenωt + ηωεocosωt (1.117)
Si en las ecuaciones (1.116) y (1.117) eliminamos ωt, obtenemos la ecuación de una
elipse con respecto a las coordenadas (τ/Gεo, ε/εo), la cual se muestra en la figura
(1.29).
ε
τ
θ
ε
ε
Fig. (1.29): Elipse esfuerzo - deformación
Ecuación de la elipse ( τ/Gεo, ε/εo):

17
=
τ
Gε o
2
..2
τ
Gε o
ε
ε o
.1
.η ω
G
2
ε
ε o
2 .η ω
G
2
(1.118)
Rotando un ángulo θ el sistema coordenado:
=θ .tan
1 .1
2
.η ω
G
2
4
.η ω
G
4
(1.119)
La ecuación de la elipse respecto al sistema (x, y) es la siguiente:
=
X
2
.2
.η ω
G
2
2
.η ω
G
2
4
.η ω
G
4
Y
2
.2
.η ω
G
2
2
.η ω
G
2
4
.η ω
G
4
1
(1.120)
El área encerrada por la elipse es:
=W
..π η ω
G (1.121)
Y representa la perdida de energía por un ciclo de carga, o sea el amortiguamiento
interno del suelo, observándose que en este modelo es proporcional a la frecuencia ω
• Características del modelo de Maxwell.
En el modelo de Maxwell, tanto la rigidez de resorte como el embolo de viscosidad
están sujetos al mismo esfuerzo τ por lo que:
La deformación del resorte =ε 1
τ
G
Deformación debida a la fuerza viscosa =ε 2 dτ
τ
η

18
Siendo entonces la deformación total =ε =ε 1 ε 2
τ
G
dτ
τ
η
(1.122)
. O bien:
=
d
dt
τ .G
η
τ .G
d
dt
ε
La cual es la ecuación característica del modelo de amortiguamiento viscoso de
Maxwell, a la que aplicamos las deformaciones cíclicas de la ecuación (1.111),
resultando una elipse en el sistema ( τ/Gεo, ε/εo ), descrita por la ecuación siguiente:
=.1
G
.η ω
2
τ
.G ε o
2
..2
τ
.G ε o
ε
ε o
ε
ε o
2
G
.η ω
2
1
G
.η ω
2
(1.123)
Rotando un ángulo θ el sistema coordenado (τ/Gεo, ε/εo), obtenemos la ecuación de la
elipse referida al sistema (x, y).
=θ ..tan 1 1
2
G
.η ω
2
4
G
.η ω
4
(1.124)
=
X
2
.2
G
.η ω
2
.G
.η ω
2
G
.η ω
2
4
G
.η ω
4
Y
2
.2
G
.η ω
2
.1
G
.η ω
2
2
G
.η ω
2
4
G
.η ω
4
1
(1.125)
El área encerrada por la elipse es la siguiente:

19
=W
..π
G
η
ω
G
η
2
ω 2
(1.126)
• Amortiguamiento real del suelo.
Aproximadamente las curvas reales esfuerzo – deformación muestran la forma de una
elipse bajo la aplicación de esfuerzos cíclicos de cortante. La figura (1.30) muestra los
lazos histeréticos esfuerzo – deformación obtenidos experimentalmente con arcilla
caolinitica blanda por Krizek y Franklin para un amplio rango de frecuencias cíclicas
que van desde 0.095 hasta 9.5 ciclos por segundo. Todos los lazos histeréticos
obtenidos presentan casi la misma forma y el mismo tamaño, o sea que W= constante e
independiente de la frecuencia ω. Esto se ha confirmado en muchas pruebas con
diferentes tipos de suelos que muestran las mismas características de amortiguamiento
constante en un amplio rango de frecuencias.
El grafico de la figura (1.31) nos indica que ni el modelo de Voigt ni el de Maxwell
representan el amortiguamiento real del suelo, dado que este es una constante con
respecto a la frecuencia ω, o sea que ηω/G = constante.
Considerando el hecho de que el área encerrada por el lazo histerético es constante, e
independiente de la frecuencia, es practico asumir que el coeficiente de viscosidad η en
el modelo de Voigt es inversamente proporcional a la frecuencia ω
Fig. (1.30): Curvas histeréticas correspondientes a arcilla caolinitica blanda para
diferentes frecuencias.
Si admitimos que =η
..2 β G
ω (1.127)

20
Donde β es un coeficiente adimensional definido como una fracción del
amortiguamiento critico, el cual es llamado factor de amortiguamiento critico del suelo.
Se verifica que para β ≥ 1, el modelo no vibra.
( π/2)
ηω
Fig. (1.31): Factores de amortiguamiento de los dos modelos.
El modelo más razonable de amortiguamiento del suelo es la combinación de la rigidez
de resorte G y el amortiguamiento η. A este modelo se le llama de amortiguamiento
histerético.
2 β
η = ω
Fig. (1.32): Modelo lineal histerético.
• Dependencia del factor de amortiguamiento de las deformaciones.
Similarmente al modulo de cortante G, el factor de amortiguamiento β sufre
incrementos considerables con los incrementos de deformaciones para arcillas y arenas.

21
Para deformaciones grandes en el rango de 0.5 – 1% como las que ocurren durante
terremotos destructivos, el factor de amortiguamiento adquiere los siguientes valores:
β = 12-15% para arcillas
β = 20 – 25% para arenas.
Valores que son considerablemente mayores que los correspondientes al acero β = 2%,
y al concreto β = 5%.

1
2. ANALISIS DINAMICO DE DEPOSITOS DE SUELO COMO SISTEMA
CONTINUO
2.1 TEORIA UNIDIMENSIONAL DE AMPLIFICACION DINAMICA
Todos los problemas asociados con movimientos sísmicos ocurren realmente en tres
dimensiones, sin embargo es usual en la practica de ingeniería sísmica considerar el
problema como si ocurriera en dos dimensiones, una horizontal y otra vertical,
considerando por separado la otra dimensión horizontal del espacio. En el análisis
dinámico de depósitos de suelos, generalmente se hacen las siguientes hipótesis
simplificatorias:
i. Usualmente interesan los terremotos violentos capaces de provocar severas
destrucciones.
El centro de liberación de energía de los sismos destructivos generalmente ocurre cerca
de los sitios de interés, por consiguiente las ondas sísmicas viajan con un ángulo de
incidencia φ pequeño respecto a la dirección vertical, por lo que cos ≈1( φ )
Ver figuras (1.11) y (2.1).
superficie libre
1
2
j
k
basamento rocoso
Onda incidente S
Fig. (2.1): Ondas S incidiendo en formaciones estratigráficas de suelo con
tendencia hacia la normal mientras se aproxima a la superficie libre.
ii. La roca y los estratos de suelos tienden a ser más blandos conforme nos
aproximamos a la superficie libre del terreno.

2
La dirección de propagación se acerca a la dirección vertical cada vez que las ondas
atraviesan la interfase hacia los estratos más blandos, de acuerdo a la Ley de Snell,
Ec (1.75).
iii. Si bien es cierto que las condiciones de los suelos permiten cambios en dirección
horizontal, estos resultan insignificantes comparados con las variaciones verticales.
Esto ha sido verificado en un buen número de casos, lo cual a permitido la justificación
de los depósitos de suelos en estratos horizontales
iv. Durante los terremotos se registran en la superficie ondas Love y Rayleigh, las cuales
son de largas amplitudes y periodos, por consiguiente no desarrollan grandes
aceleraciones, y su contribución a los daños potenciales es menor.
Los daños severos en estructuras son probablemente debidos a las ondas S de cortantes,
por esta razón se justifica considerar que la propagación ocurre únicamente en dirección
vertical, lo cual permite establecer la teoría de amplificación dinámica en una dirección.
Esta teoría es de gran utilidad en caso de limitaciones operacionales, los análisis en dos
y tres dimensiones, pueden realizarse mediante el empleo de elementos finitos, como
una generalización de la teoría unidimensional.
2.2 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARA EL MEDIO CONTINUO
Un medio ortotropo, homogéneo, estratificado horizontalmente, que es seminfinito y
esta sujeto a desplazamientos horizontales u (zk, t), debido a ondas S de cortante,
puede analizarse satisfactoriamente en la mayoría de las aplicaciones prácticas
considerándolo como una viga uniforme de cortante.
Si ρ(z), G(z) y η(z), no cambian considerablemente en el espesor de cada estrato, el
sistema puede tratarse como estructura de parámetros distribuidos, estrechamente
acoplada, con un comportamiento dinámico correspondiente al de un sólido visco –
elástico lineal, caracterizado por los parámetros (ρ, G, β).
1 z τ(z, t)A xi
2
xi ζ (z, t)
i zi
zi elemento infinitesimal de suelo dz
k
..τ ( ),z t
.∂τ ( ),z t
∂z
dA
zi
medio rocoso
onda S incidente
Fig. (2.2): Consideración de un depósito estratigráfico como medio continuo.

3
Estableceremos el equilibrio dinámico del elemento infinitesimal de suelo localizado a
la profundidad, z y desplazado la cantidad ζ (z, t) respecto a su posición original en el
tiempo.
Si no obran fuerzas externas horizontales por unidad de longitud o volumen, la
diferencia de valores para las cortantes en ambas caras del elemento, debe estar en
equilibrio con la fuerza inercial inducida por el movimiento del terreno.
Aceleración del terreno: ∂²u(z, t)/∂t²
Fuerza inercial en dirección x: -ρ (z) Adz∂²u(z, t)/∂t²
Estableciendo el principio de D`Alembert para el elemento de suelo, obtenemos la
siguiente ecuación en derivadas parciales:
∂τ(z, t)/∂z – ρ (z)∂²u(z, t)/∂t² = 0 (2.1)
La cual esta referida al sistema particular de referencia (x, z) del estrato considerado.
La nueva ecuación de equilibrio se obtiene realizando ∂τ(z, t)/∂z en la Ec (2.2) y luego
sustituyendo este valor en la Ec (2.1), tenemos:
ρ∂²u(z, t)/∂t² - η∂³u/∂t∂z² - G∂²u(z, t)/∂z² = 0 (2.2)
Esta es la ecuación del movimiento para depósitos horizontales de suelo considerados
como un sistema continuo de cortante.
Ahora asumamos que el desplazamiento del basamento rocoso es: y (t), y el
desplazamiento relativo del deposito de suelo respecto a la base es: x (z, t).
De modo que el desplazamiento total esta dado por la superposición de ambos
desplazamientos, esto es:
u (z, t) = x (z, t) + y (t) (2.3)
x
z
k
y(t) x(z, t)
y(t) + x(z, t)
Fig. (2.3): Desplazamiento total del depósito de suelo estratificado.

4
Efectuando derivaciones parciales de segundo y tercer orden en la Ec (2.4), la Ec (2.3)
se generaliza mediante la siguiente ecuación:
ρ∂²x(z, t)/∂t² - η∂³x(z, t)/∂t∂z² - G∂²x(z, t)/∂z² = -ρd²y(t)/dt² (2.5)
La aceleración en la roca es: Ϋ(t) = d²y(t)/dt²
Entonces la Ec (2.5), es la forma generalizada de la ecuación del movimiento del
depósito de suelo como medio continuo.
Ahora estamos interesados en la solución de esta ecuación para el caso de estratos
uniformes horizontales de suelos, excitados por la aceleración Ÿ (t), incidente desde la
roca.
2.3 SOLUCION PARA DEPOSITOS ESTRATIFICADOS
Consideremos los dos estratos de suelos subyacentes referidos a su sistema local de
coordenadas (xk, yk), caracterizados cada uno por sus parámetros (ρk, Gk, βk).
xk
zk ρk, Gk, βk k Hk
xk+1
zk+1 ρk+1, Gk+1, βk+1 Hk+1
k+1
Fig. (2.4): Solución para depósitos estratificados de suelos.
La Ec (2.3), puede escribirse de la siguiente manera:
(Gk + ηk∂/∂t)∂²uk(z, t)/∂ z²k = ρk∂²uk(z, t)/∂t² (2.6)
Si asumimos que el depósito total de suelo vibra con frecuencia angular natural
constante ω, podemos escribir:
=η k
.2 βGk
ω
(2.7)

5
Sabemos que si u (z) representa la configuración modal del estrato considerado, el
desplazamiento de este puede escribirse en la siguiente forma exponencial:
u (z, t) = u(zk) e
iωt
(2.8)
Sustituyendo las Ecs (2.7) y (2.8), en la Ec (2.6), transformamos la ecuación diferencial
parcial en una ecuación diferencial ordinaria con respecto u(zk).
=..d
d
2
2z
u( )z
.ρ ω
2
.G ( )1 .2 βi
u ( )z 0
(2.9)
Donde i = √-1 y G (1 + 2βi) es el módulo complejo de cortante.
El coeficiente =p2
.ρ ω
2
.G ( )1 .2 βi
(2.10)
Es la constante de propagación del estrato en consideración, cuyo significado es
definido por la Ec (2.7), para el caso no amortiguado β = 0.
Se observa que la Ec (2.9), es semejante a la Ec (2.6), correspondiente al caso no
amortiguado β = 0.
La Ec (2.9), puede ser reescrita en función del parámetro de propagación del siguiente
modo:
=..d
d
2
2z
.u ( )z p2
u ( )z 0 (2.11)
Apreciamos que la Ec (2.11), expresa el movimiento armónico del estrato en función de
sus parámetros característicos (ρ, G, β), siendo su solución de la forma siguiente:
=u( )z Α e
ι pz
Β e
ι pz
(2.12)
=u( ),z t =.u( )z e
.i ωt .A e
i( ).ω t .p z
Be
i( ).ω t .p z
(2.13)

6
A y B son constantes de integración, las cuales dependen de las condiciones de
fronteras para cada estrato, y miden las amplitudes de las ondas viajando hacia arriba y
hacia abajo, a como vimos en los Arts (1.6) y (1.8).
Para un depósito con N estratos, es aplicable la Ec (2.13) a cada uno de ellos
.. . x1
z1
=u1( ),z1 t Α1e
i( )ωt p1z1
Β 1e
i( )ωt p1z1
A1 B1
1
x2
z2
=u2( ),z2 t A2e
i( )ωt p2z2
B2e
i( )ωt p2z2
A2 B2
2 (2.14)
j xj .........................................................…………
zj 0≤ z ≥ h
k=1,2…N-1
=uj( ),zj t Aje
i( )ωt pjzj
Bje
i( )ωt pjzj
Aj Bj
j
k xk ...………………………………………….
zk Ak Bk
=uk( ),zk t Ake
i( )ωt pkzk
Bke
i( )ωt pkzk
k
BASAMENTO ROCOSO
S
Fig. (2.5): Amplitudes de las ondas incidentes y reflejadas.
Condiciones de fronteras:
i. En el estrato libre del terreno z1=0, y el esfuerzo cortante es nulo, o sea que:
=.G1 .
.2 G1
ω
∂
∂ t
.∂ u1 ( ),0 t
∂z1
0 (2.15)
Por consiguiente A1 = B1

7
ii. En la interfase entre estratos adyacentes zk = hk, zk+1 = 0, las deformaciones son
iguales y las cortantes estan equilibradas. Esto implica que: uk (hk, t) = uk+1(0,t)
Entonces: =Ak ..( )1 α Aj e
iph ..( )1 α Bj e
iph
(2.16)
=Bk ..( )1 α Aj e
iph ..( )1 α Bj e
iph
Vale observar que las Ecs (2.16), expresan las amplitudes en términos de la impedancia
α, definida por la Ec (1.80), en cambio las Ecs (1.81) y (1.82), lo hacen en términos de
la admitancia q, Ec (1.79), los cuales dependen de los parámetros característicos de cada
estrato.
Las ecuaciones de recurrencia (2.16), permiten calcular sucesivamente de arriba hacia
abajo, los coeficientes Ak y Bk con solo conocer que A1 = B1
2.4 FUNCIONES DE RESPUESTAS DE FRECUENCIAS DEL DEPÓSITO
Consideremos nuevamente la formación de estratos horizontales y calculemos los
desplazamientos en las interfases para las dos fronteras de cada estrato.
ζj (0, t)
xj
zj ζk (0, t) j
xk
zk k
Fig. (2.6): Desplazamientos relativos entre las interfases de un estrato.
Aplicando la Ec (2.13) a los bordes superior e inferior del estrato j, tenemos: zj = 0
uj(0, t) = (Aj + Bj) e
iω t
es el desplazamiento del extremo superior del estrato j.
El desplazamiento inferior del estrato j es igual al desplazamiento superior del estrato k,
o sea zk = 0
uk(0, t) = (Ak + Bk) e
iω t
Ahora podemos calcular la relación para los desplazamientos de los extremos del estrato
considerado, lo cual nos permite conocer en que medida se amplifica el desplazamiento
de un estrato al otro.
=D( )ω =
uj( ),0 t
uk( ),0 t
Aj Bj
Ak Bk
(2.17)

8
La Ec (2.17) es una función de transferencia de frecuencia desplazamiento-
deplazamiento para estratos sucesivos. Para su empleo es conveniente escribir la
Ec (2.16) de la siguiente forma:
=Ak Bk .Aj e
.ipj hj .Bj e
.ipj hj
(2.18)
Es importante observar en la Ec (2.18), que la respuesta de un punto situado por encima
de un nivel de referencia, no se ve afectada por las propiedades de los estratos situados
por debajo de dicho nivel
En sentido estricto la Ec (2.17) representa el desplazamiento en el extremo superior del
estrato j, en términos del desplazamiento del extremo superior del estrato k.
Para obtener las funciones de transferencia de frecuencia para las aceleraciones de cada
estrato, partimos de diferenciar dos veces respecto al tiempo la Ec (2.13), o sea:
=üj( ),0 t ω
2 .( )Aj Bj e
iω t
(2.19)
=ük( ),0 t ω
2 .( )Ak Bk e
iω t
=D( )ω
Aj Bj
Ak Bk
2.5 FUNCIONES DE TRANSMISIÓN PARA LOS DEPOSITOS ESTRATIFICADOS DE
SUELOS.
Los medios continuos analizados como una serie de segmentos que permiten especificar
las fuerzas cortantes y los desplazamientos generalizados para la interfase del estrato j a

9
partir de los correspondientes al etrato k, son excelentes modelos para el empleo de las
matrices de transmisión.
Si disponemos vectorialmente el desplazamiento uk (zk), y el esfuerzo cortante
τ(zk,t), obtenemos el vector de estado ŵk correspondiente a la interfase del estrato k.
El vector de estado para el estrato subyacente, ŵk-1 puede obtenerse mediante la
premultiplicación de la matriz de transferencia [Tk], por el vector de estado ŵk, o sea
que podemos escribir la siguiente ecuación matricial:
Ŵk-1 = [Tk] ŵk (2.20)
La matriz cuadrada [Tk] transfiere el estado esfuerzo – deformación de uno a otro
punto del deposito, por tal razón la denominamos matriz de transferencia para el medio
continuo
SUPERFICIE LIBRE τ(0,t) = τ(0) VECTORES DE ESTADO
w [u (0), τ(0)]
1
2
w [u (zk), τ(zk) ]
k
[Tk]
w[u(zk-1), τ(zk-1) ]
k-1 [Tk-1]
BASAMENTO ROCOSO. Vs > 600m/seg
Fig. (2.7): Matrices de transferencia y vectores de estado.
Para el depósito de N estratos mostrados en la Fig (2.7), podemos escribir las funciones
de transferencia desde la roca hasta la superficie libre del terreno, considerando que el
depósito vibra libremente de acuerdo a la ley del movimiento dada por la Ec (2.11),
cuya solución sabemos es de la forma:
=u( )zk =.Ak e
ipz .Bk e
ipz .A'k cos( )pz .B'k sin( pz) (2.21)
Tomando únicamente la parte real de esta ecuación tenemos:

10
=u( )zk .( )Ak Bk cos( )pz
Si definimos pkzk = λk - βkλki y =λ k .ω
Vs
z
Entonces:
) (2.22)=.u ( )zk =.( )Ak Bk cos( )λ k β ki ..Ak cos( )λ cosh( )βλ ..Bk sin ( )λ sinh( βλ
Con objeto de simplificar la operatividad matemática, admitiremos inicialmente que
β<< 1.0, lo cual prácticamente equivale a considerar el movimiento como no
amortiguado. El efecto del amortiguamiento viscoso en el movimiento, será
posteriormente considerado mediante correcciones hechas a la frecuencia natural de
vibración no amortiguada del depósito estratigráfico.
Si β<<1.0 → y=cosh( )βλ 1 =sinh( )βλ βλ
=u( )zk .Ak cos( )λ k .Bkβλ sin( )λ k (2.23)
Considerando que η (z) ≈ 0, la Ec (2.2) para el esfuerzo cortante τ (zk), se
transforma en la siguiente:
=τ ( )zk =
d
d z
.u( )z Gk .Gk .Akλ sin( )λ .Bkβλ
2
cos( )λ (2.24)
En la superficie libre del terreno las condiciones de frontera son: z1 = 0, de modo que
u(0) = Ak por la Ec (2.23) y τ( 0) = Bkβkλ²Gk por la Ec (2.24)
De modo que podemos escribir las ecuaciones para los esfuerzos y las deformaciones de
la siguiente manera:
=u( )zk .u( )0 cos( )λ .τ ( )0
λ G
sin( )λ (2.25)
=τ ( )zk .u( )0 sin( )λ .τ ( )0
λ G
cos( )λ (2.26)
El sistema de Ecs (2.25) y (2.26), puede expresarse mediante la siguiente notación
matricial:

11
=
u( )z
τ ( )z
λ G
.
cos( )λ
sin( )λ
sin( )λ
cos( )λ
u( )0
τ ( )0
λ G (2.27)
Esta ecuación es de la misma forma que la Ec (2.20), por lo tanto podemos escribirla de
la siguiente manera:
=
u( )z
τ ( )z
λ G
Tk ........... ...T3 T2 T1
u( )0
τ ( )0
λ G
(2.28)
Tk ........... =..T3 T2 T1
cos
= 1
k
n
λ n
sin
= 1
k
n
λ n
sin
= 1
k
n
λ n
cos
= 1
k
n
λ n
En forma generalizada la función de transferencia puede escribirse de la siguiente
manera:
=
u( )z
τ ( )z
λ G = 1
k
n
.Tn
.u ( )0
.τ ( )0
.λ G
(2.29)
Aquí n denota el número de estratos del depósito de suelo.

12
2.6 EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LAS MATRICES DE TRANSFERENCIA
La estratigrafía mostrada en la Fig (2.8), corresponde a un sitio en la vecindad del teatro
Rubén Darío, y es uno de los cuatro lugares de Managua para los cuales se obtuvieron
las velocidades de propagación de las ondas de cortante Vs, mediante exploración
sísmica, empleando la técnica “down-hole”, realizada por el “Earthquake Egineering
Research Institute”.
El estrato superficial 1 consiste de materiales granulares sueltos y escombros, con un
numero de golpes por pie N=10, por lo que se trata de un estrato con densidad blanda.
El estrato 2 consiste de arena y grava fina cuya consistencia va de suelta a bien
cimentada, con un numero de golpes por pie N=30, clasificando como un estrato con
densidad media.

13
h(m) N
0-0 .00
γk=ρg(T/m³) Gk(kg/cm²) Vs(m/seg) pk=ω/Vs λ=pkhk
x1
z1 10
1
0-12.00
1.55 685 208 0.0048ω 0.0576ω
z2 x2
2 30
0-17.00
1.60 880 232 0.0043ω 0.0215ω
x3
z3 50
3
0-50.00
1.75 2855 400 0.0025ω 0.0825ω
Basamento rocoso 1.85 5710 550
Fig (2.8): Estratigrafía del sitio cerca del teatro Rubén Darío
Los espectros de respuestas para el sitio se construyeron con auxilio del programa
Shake 91, considerando un amortiguamiento critico β = 0.05 para los estratos de suelo.
ESPECTRO DE ACELERACION PARA EL
SITIO EN LA VECINDAD DEL TNRD
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
PERIODO (Sec)
ACELERACION
(%g)
El estrato 3 consiste de gravas graduadas, con intercalaciones lenticulares de limos, y un
numero de golpes por pie N = 50, tratándose de un estrato de consistencia dura.
El basamento consiste en la formación tobacea del Grupo “La Sierra” cuya consistencia
va de dura a muy dura.

14
En la etapa inicial del análisis es de gran utilidad el uso del programa DREB para
estandarizar las propiedades dinámicas iniciales del modulo de cortante Go y del
porcentaje de amortiguamiento crítico, para cada estrato de suelo, obteniéndose un
perfil simplificado como el mostrado a continuación:
Para los tres estratos se calcularon los módulos de rigidez al corte Gk = ρV²s empleando
los valores obtenidos para γs, y Vs en las pruebas de campo, con los cuales se
caracteriza cada estrato. Los valores de Gk se consideran representativos de las
amplitudes iniciales de las deformaciones, cuyo orden de magnitud es de 10 6
10 5

15
ESPECTROS DE FOURIER PARA EL SITIO
EN LA VECINDAD DEL TNRD
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0 2 4 6 8
FRECUENCIA (Hz)
AMPLITUD
Los valores del espesor de cada estrato hk, fueron determinados a partir de los puntos de
rotura del grafico de la trayectoria de las ondas S en el tiempo, verificando que los
valores obtenidos, guardan correlación con los datos correspondientes al número de
golpes por pie N de las pruebas de penetración estándar (SPT).
Bebido a que los valores de Vs se incrementan con la profundidad desde la superficie
libre, alcanzando valores Vs ≥ 550m/seg en la profundidad de 50m, admitimos que este
es el basamento rocoso, ya que se establece que para valores de Vs >500m/seg y pesos
volumétricos γ ≥ 1.95T/m³, se trata de roca blanda, motivo por el cual a partir de la
profundidad de 50m, encontramos una formación que contrasta con los estratos
superiores admitiéndose como un cimiento de roca blanda para los estratos subyacentes
donde realizaremos el filtrado de sismos.
Con la información disponible, es posible calcular los periodos fundamentales de
vibración del depósito empleando las matrices de transferencia, para lo cual es necesario
definir las condiciones de fronteras en la superficie libre y en la interfase con el
basamento rocoso.
i. En la superficie libre: =wo
uo
0
ii. En la elevación basal: =w3
0
Q
λ G

16
Matrices de transferencia:
Estrato1: =T1
cos( ).0.0576 ω
sin( ).0.0576 ω
sin( ).0.0576 ω
cos( ).0.0576 ω
Estrato 2: =T2
cos( ).0.0215 ω
sin( ).0.0215 ω
sin( ).0.0215 ω
cos( ).0.0215 ω
Estrato 3: =T3
cos( ).0.0825 ω
sin( ).0.0825 ω
sin( ).0.0825 ω
cos( ).0.0825 ω
=
u( )z
τ ( )z
λ G = 1
k
i
.Ti
u( )0
τ ( )0
λ G
FRECUENCIAS NATURALES DE VIBRACIÓN DEL DEPÓSITO.
Tomando en consideración los valores λ de cada estrato contenidos en la Fig (2.8) y
aplicando la E c (2.28) tenemos, obtenemos los valores de las frecuencias naturales ω
de la formación estratigráfica para los tres primeros modos de vibración..
.
=
u( )0
0
.
cos( ).0.1616 ω
sin( ).0.1616 ω
sin( ).0.1616 ω
cos( ).0.1616 ω
0
Q
λ G
Desarrollando las operaciones indicadas obtenemos el siguiente par de ecuaciones:
=u( )0 .Q
λ G
sin( ).0.1616 ω
=.Q
λ G
cos( ).0.1616 ω 0

17
Como Q ≠ 0 esto implica que: =.0.1616 ω .( )2n 1
π
2
=n ,1 2...... ∞
n indica el modo de vibración.
Se muestran los resultados obtenidos para el caso de oscilación no amortiguada β = 0
para los tres primeros modos de vibración.
n ωn(rad/seg) Tn(seg)
1 9.720 0.646
2 29.160 0.215
3 48.601 0.129
VECTORES MODALES CARACTERÍSTICOS
Ahora procederemos al calculo de los vectores modales para n = 1, ω = 9.72rad/seg
λ3 = 0.0825ω = 0.8019rad = 45.94˚
λ3+λ2 = 0.104ω = 1.010rad ≈ 57.92°
λ3+λ2+λ1 = 0.1616ω = 1.57rad ≈ 90°
Los vectores de formas modales para la superficie libre y las interfases de los estratos,
correspondientes al primer modo de vibración son los siguientes:
=( )zo =...
0.862
0.507
0.507
0.862
0.978
0.208
0.208
0.978
0.695
0.719
0.719
0.695
0
Q
λ G
=.
0.027
1
1
0.027
0
Q
λ G
Q
λ G
0.027Q
λ G
=( )z1 =..
0.978
0.208
0.208
0.978
0.695
0.719
0.719
0.695
0
Q
λ G
=.
0.53
0.848
0.848
0.53
0
Q
λ G
0.848Q
λ G
0.53Q
λ G

18
=( )z2 =.
0.695
0.719
0.719
0.695
0
Q
λ G
0.719Q
λ G
0.695Q
λ G
Normalizando el conjunto de vectores modales respecto al desplazamiento del estrato
inferior obtenemos el vector de forma (U1) para el primer modo de vibración del
conjunto de estratos
Fig. (2.9): Configuración característica para el primer modo de vibración del
depósito estratigráfico.
Procediendo de manera semejante, determinaremos el vector de la forma característica
correspondiente al segundo modo de vibración n=2, ω2= 29.16 rad/seg.

19
El vector característico del segundo modo de vibración de la formación estratigráfica es
entonces:
Fig. (2.10): Configuración característica para el segundo modo de vibración, n=2

20
Procediendo de manera semejante obtenemos la configuración característica para el
tercer modo de vibración n=3, ω3 = 48.60rad/seg
=( )zo =...
0.942
0.336
0.336
0.942
0.335
0.865
0.865
0.335
0.646
0.763
0.763
0.646
0
Q
λ G
=.
0.741
0.666
0.666
0.741
0
Q
λ G
0.666Q
λ G
0.741Q
λ G
=( )z1 =..
0.335
0.865
0.865
0.335
0.646
0.763
0.763
0.646
0
Q
λ G
=.
0.876
0.303
0.303
0.876
0
Q
λ G
0.303Q
λ G
0.876Q
λ G
=( )z2 =.
0.646
0.763
0.763
0.646
0
Q
λ G
0.763Q
λ G
0.646Q
λ G

21
El vector de forma característica para el tercer modo es el siguiente:
Fig. (2.11): Vector característico para el tercer modo de vibración n = 3
FUNCION DE AMPLIFICACIÓN DINAMICA
La amplificación dinámica D (ω) en la superficie libre N = 0-00, para el primer modo
de vibración n = 1, se obtiene mediante el calculo recursivo de arriba hacia abajo de los
coeficientes AK y Bk de la Ec (2.15), o bien de las Ecs (1.81) y (1.82), partiendo de que
en la superficie libre A1 = B1 =1
Por conveniencia operacional rescribimos las ecuaciones recursivas de modo que se
facilite calcular los factores de amplificación dinámica para los modos fundamentales
de vibración:
=A2 B2 A1e
ip1h1
B1e
ip1h1
=D( )ω =
A1 B1
A2 B2
=
2
e
..0.0576 ω i
e
..0.0576 ω i
1
cos( ).0.0576 ω
En la Fig (2.12) se muestra la forma del espectro de amplificación del estrato superior
para un amortiguamiento viscoso β = 0.05

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