Redes de tuberias con elementos finitos, andahuaylas

XIV CONGRESO NACIONAL DE INGENIERIA CIVIL - IQUITOS 2003
Capítulo de Ingeniería Civil del Consejo Departamental de Loreto del Colegio de Ingenieros del Perú
ANALISIS Y DISEÑO DE REDES DE TUBERIAS DE AGUA POTABLE POR
EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS EN FLUJOS PERMANENTES
Ing. Civil Irex. Moisés Falcón Martínez1
RESUMEN
Un nuevo método de calculo es presentado para obtener los caudales y alturas piezométricas en una
red de tuberías de agua potable en condiciones de flujo permanente. El Método de Elementos
Finitos es usado para resolver la ecuación de movimiento de un fluido en un conducto cerrado
unidimensional despreciando los efectos inerciales y la ecuación de equilibrio en una unión. El
modelo es aplicado a dos redes de tuberías de agua potable y el resultado de una de las redes es
comparado con otro modelo que usa el Método de Hardy Cross.
1. INTRODUCCION
Los sistemas de redes de tuberías son frecuentemente redes abiertas o ramificadas, redes
cerradas o circuitos cerrados y la combinación de las anteriores; donde los flujos son generalmente
no permanentes, pero para fines de cálculo y para facilitar el modelo matemático se asume que el
flujo es permanente.
Existen diversidad de métodos iterativos para el análisis y diseño de redes de tuberías en
flujos permanentes, tales como para las redes abiertas el método de balance de cantidad, para redes
cerradas los métodos de Hardy–Cross, método de Newton-Raphson, Método de la teoría lineal,
método de la Gradiente, etc.
El Método de Elementos Finitos es usado recientemente para el calculo del flujo y la
intención de este capitulo es desarrollar eficientemente el análisis y diseño de redes de tuberías por
este método, el cual es empleado para resolver la ecuación del movimiento de un fluido en un
conducto unidimensional y la ecuación de equilibrio en una unión.
Estas ecuaciones, desarrollados, originan un sistema de ecuaciones no lineales para cada
tubería, ensamblando adecuadamente los elementos de toda la red y expresándolo en forma
matricial se obtiene una matriz de coeficientes de naturaleza no lineal y para su solución se utiliza
un método iterativo como el método de Newton Raphson.
1
Ingeniero Civil, Egresado de la Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga
Estudios de Post Grado en Ingenieria Civil, mención Ingeniria Estructural en la Universidad Nacional de Ingenieria.
Domicilio: Jirón Amargura Nº 421 – San Jerónimo – Andahuaylas – Apurimac
Email: irex@terra.com.pe imfmirex@hotmail.com
Gerencia XIV CONIC: ICG Instituto de la Construcción y Gerencia
Calle Nueve 1056 Urb. Corpac San Isidro, LIMA – PERU / (51 – 1) 225-9066 / www.construccion.org.pe / icg@icg.org.pe
1
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Telefono: 083-722221
Nota : Este tema es un capitulo de la tesis para la obtención del titulo de Ing. Civil.
Para el calculo de perdidas de carga, se utiliza la ecuación de Darcy - Weisbach y para el
calculo del coeficiente de fricción la ecuación de Hagen - Poiseuille para flujo laminar, Colebrook –
White para flujo turbulento y la interpolación cúbica al diagrama de Moody (Dunlop) para la zona
de transición.
En este documento técnico, se presenta dos modelos de redes de tuberías de agua potable,
donde uno de los modelos es comparado con otro modelo que utiliza el método de Hardy Cross.
2. ECUACION GOBERNANTE
La ecuación gobernante para la simulación de un flujo permanente es descrito por la
ecuación de movimiento (Ref. 1) incluido perdidas menores por accesorios y contracciones, tal
como:
0
22
22
=++
∂
∂
∑ Lg
V
k
gD
V
f
x
H
m (2.1)
ó escribiendo en función del caudal
0
2
1
2
=





++
∂
∂
∑ qq
D
L
fk
LgAx
H
m (2.2)
El valor absoluto en la ecuación (2.2) permite el apropiado signo para el término de perdida
de carga en caso de que el flujo marche en sentido contrario a la simulación.
Para el flujo en un conducto cerrado es el factor de fricción de Darcy que es calculado
por diferentes ecuaciones, dependiendo del numero de Reynolds ( ) del flujo
f
eR
Para se emplea la formula de Hagen – Poiscuille (Ref. 2):2000<eR
eR
f
64
= (2.3)
Para se emplea la formula de Colebrook – White (Ref. 2):4000>eR
2
Ver indice









+−=
fRD
ks
f e
51.2
7.3
log2
1
10 (2.4)
Para se emplea la interpolación cúbica al diagrama de Moody (Dunlop)
(Ref. 3):
40002000 << eR
((( 4321 XXRXRXf +++= )))
)
(2.5)
( FBFARX 5.03032.04 +−= (2.6)
FBFAX 213128.03 −+−= (2.7)
FBFAX 5.217128.02 +−= (2.8)
FBFAX −= 71 (2.9)
2000
ER
R = (2.10)






−=
3.2
00514215.0
2
YY
FAFB (2.11)
( ) 2
3
−
= YFA (2.12)
9.0
74.5
7.3
2
eRD
ks
Y += (2.13)






+−= 9.0
4000
74.5
7.3
86859.03
D
ks
LnY (2.14)
donde:
ν
VD
Re = (2.15)
La expresión de equilibrio describe la continuidad en un conducto (Ref. 2), tal como
0 (2.16)=− Qq
3. METODO DE SOLUCION
Escribiendo la expresión (2.2) como:
dx
dH
q
k
q −= (3.1)
3
Ver indice

donde:






+
=
∑ D
L
fk
LgA
k
m
2
2
(3.2)
reemplazando en la ecuación (2.16), se tiene
0=+ Q
dx
dH
q
k
(3.3)
Al aplicar residuos ponderados (Ref. 4 y 5) se define un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas que se puede expresar en la tradicional forma matricial,
[ ] { } { }
32132143421
QHK
Q
Q
H
H
kk
kk






=












2
1
2
1
2221
1211
(3.4)
donde:
( ) 22
2
1
2111
2
2 kHH
D
L
fk
g
Ak
m
=−


















+
−=
−
∑
(3.5)
( ) 21
2
1
2112
2
2 kHH
D
L
fk
g
Ak
m
=−


















+
=
−
∑
(3.6)
Las ecuación (3.4), es una expresión no lineal, el cual necesita de proceso iterativo para su
solución.
4. RESOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES
La matriz [ es de naturaleza no lineal, para la solución se utilizara el método de Newton-
Rasphson (Ref. 6) que es proceso iterativo de más rápida convergencia para la solución de
problemas no lineales (siempre que, naturalmente, la solución inicial esté dentro de la “zona de
atracción” y no ocurra divergencia). Por tanto se tendrá:
]K
4
Ver indice

{ } { }n
n
n
H
H Ψ−





∂
Ψ∂
=
−1
δ (4.1)
donde:
{ } { } { }nnn HHH δ+=+1 (4.2)
( ) 0=−=Ψ QHK (4.3)
Para una iteración inicial n =0
Expresando en forma matricial, se tendrá
[ ] { } { }
434213214434421
Ψ−






Ψ−
Ψ−
=












2
1
2
1
2221
1211
H
H
H
kkkk
kkkk
KK δ
δ
δ
(4.4)
donde:
( )
22
2
1
21
11
1
2
kk
HH
D
L
fk
g
Akk
m
=
−

















+
−=
∑
(4.5)
( )
21
2
1
21
12
1
2
kk
HH
D
L
fk
g
Akk
m
=
−

















+
=
∑
(4.6)
( )
( )
1
2
1
21
21
1
2
2 Q
HH
HH
D
L
fk
g
A
m
−
−
−


















+
=Ψ
∑
(4.7)
( )
( )
2
2
1
21
21
2
2
2 Q
HH
HH
D
L
fk
g
A
m
−
−
−


















+
−=Ψ
∑
(4.8)
5. ENSAMBLAJE DE MATRICES DE LOS ELEMENTOS
5
Ver indice

Habiendo formado las matrices de los elementos, el siguiente paso es el ensamblaje de estas
matrices (Ref. 4,5 y 6).
La expresión (4.1), para la forma global se expresara como
∑=








∂
Ψ∂
=
∂
Ψ∂ N
e
e
j
i
j
i
HH 1
(5.1)
Donde:
Nji ,...,1, =
Aplicando la expresión de continuidad en una unión (Ref. 2)j
(5.2)0,
1
=−∑=
extj
N
j
ij Qq
a la ecuación (5.1).
Donde Q es el caudal de demanda y caudal en la tubería ijextj, ijq
Expresando en forma matricial la expresión (5.1), se tiene
















Ψ
Ψ
Ψ






















∂
Ψ∂
∂
Ψ∂
∂
Ψ∂
∂
Ψ∂
∂
Ψ∂
∂
Ψ∂
∂
Ψ∂
∂
Ψ∂
∂
Ψ∂
=
















−
N
N
NNN
N
N
N
HHH
HHH
HHH
H
H
H
M
M
LL
MMM
MMM
LL
LL
M
M
2
1
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
δ
δ
δ
(5.3)
6. MODELOS DESARROLLADOS Y RESULTADOS DE CALCULO
Para mostrar la aplicabilidad de la técnica de solución propuesta, dos hipotéticos sistemas de
redes de tuberías de agua potable son considerados. Los pasos de calculo para determinar las alturas
piezométricas y caudales son: primeramente se enumera los nudos y tuberías, se asume las alturas
piezométricas iniciales, se ingresa las características de las tuberías y del agua, se calculan los
6
Ver indice

coeficientes de fricción, se calculan las matrices de los elementos, se ensambla la matriz global de
toda la red y se resuelve el sistema de ecuaciones no lineales una y otra ves hasta su convergencia.
6.1. Red de distribución A
La red de distribución de tuberías mostrado en la figura 1 consiste de ocho tubos, siete
nudos, demandas nodales constantes, cotas de terreno y un reservorio de altura constante.
Como primer paso para comparar el modelo, los caudales y las alturas piezométricas son
calculados por el método de Hardy Cross como muestran las figuras 2 y 3, en este método las
alturas piezométricas se obtienen a partir de los caudales finales siguiendo una ruta determinada u
otra, estas presiones pueden variar su valor dependiendo de la ruta en que se calculen, como se
muestra en la Tabla 1, por tal razón es necesario utilizar un proceso iterativo para la corrección de
alturas piezométrica.
7
Ver indice

Como segundo paso, las alturas piezométricas y caudales son calculados por el método de
Elementos Finitos como se muestran en las figuras 4 y 5
8
Ver indice

En este método las alturas piezométricas se obtienen directamente y luego los caudales en
cada tubería, por tal razón no será necesario una corrección de alturas piezométrica.
6.2. Red de distribución B
La red de distribución de tuberías mostrado en la figura 6 consiste de nueve tubos, ocho
nudos, demandas nodales constantes, cotas de terreno, dos reservorio.
7. CONCLUSIONES
Un metodo de calculo es desarrollado para obtener las alturas piezométricas en los nudos y
caudales en las tuberías de una red de tuberías de agua potable, este método de Elementos Finitos
9
Ver indice

usa las ecuaciones de movimiento despreciando los efectos inerciales en estado permanente. En este
modelo, el calculo se inicia asumiendo las alturas piezométricas, corrigiendo iterativamente.
La discretización de la red de tuberías por el método de Elementos Finitos, origina un
sistema de ecuaciones no lineales, los cuales son resueltos por el método de Newton Raphson.
El método es aplicado para dos redes de tuberías y el resultado de la red de distribución A es
comparado por el método ya conocido de Hardy Cross. Como es de esperar, ambos métodos
producen similares resultados en referencia a los caudales, sin embargo, existe una diferencia en las
alturas piezométricas. El método de Hardy Cross, posee una deficiencia en el calculo de las alturas
piezométricas, tal como se muestra en la Tabla 1, motivo por el cual se tiene que hacer un calculo
iterativo para corregirlos, estos errores pueden ser despreciados en redes de distribuciones
pequeñas, pero no así en redes extensas, porque el error es acumulativo. Por tal razón se plantea el
método de Elementos Finitos, el cual, calcula primero las alturas piezométricas y luego el caudal en
las tuberías, este método, también es aplicable a redes ramificadas como se muestra en la figura 6.
8. REFERENCIAS
(1) STREETER, Víctor L.: “Mecánica de los fluidos”, McGraw – Hill Book Company, Madrid,
España, Cuarta Edición, 1968.
(2) SALDARRIAGA V., Juan G.: “Hidráulica de tuberías”, McGraw – Hill, Santa fe de Bogota,
Colombia, 2000.
(3) MARTINEZ ALZAMORA, Fernando.: “EPANET Manual del usuario”, Universidad
Politécnica de Valencia, España, 2001.
(4) IBAÑES DE NAVARRA, E. Oñate.: “Una introducción generalizada al método de los
elementos finitos”, Universidad Politécnica de Cataluña Barcelona, España, 1997 - 1998.
(5) ZIENKIEWICZ, O. C. y TAYLOR, R. L.: “El método de los elementos finitos”, Volumen I,
McGraw – Hill, Madrid, España, 1994.
(6) ZIENKIEWICZ, O. C. y TAYLOR, R. L.: “El método de los elementos finitos”, Volumen II,
McGraw – Hill, Madrid, España, 1995.
9. NOTACION
Los siguientes símbolos son usado en esta nota técnica:
: Altura piezométrica en los extremos 1 y 2.2,1H
f : Coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach.
: Velocidad media.V
10
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D : Diámetro de la tubería.
: Aceleración de la gravedad.g
: Longitud de la tubería.L
mk : Coeficiente de perdidas menores.
q : Flujo o caudal.
x∂
∂
: Derivada parcial con respecto a .x
2,1Q : Flujo o caudal de demanda en el extremo 1 y 2
eR : Numero de Reynolds.
ks : Rugosidad absoluta
N : Numero de nudos
A : Área transversal de la tubería
v : Viscosidad cinemática del fluido
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