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Fractales, la Nueva Geometría de Mandelbrot
                                      José Acevedo Jiménez
                                       Santiago, Rep. Dom.




   "Una nube está hecha de billones de billones de billones que parecen nubes. Mientras más te
    acercas a una nube no obtienes algo suave, sino irregularidades a una escala más pequeña."
                                                                           Benoît B. Mandelbrot.



Durante siglos, la geometría se limitó al estudio de ciertas reglas para hallar áreas y volúmenes.
El origen de la geometría se remonta al tiempo de los antiguos egipcios. Es precisamente en
Egipto y Babilonia donde la geometría se desarrolla, sin embargo su desarrollo está basado
solamente en experiencias y observaciones. Fueron los griegos quienes le dieron un carácter
abstracto a la geometría, por ejemplo, mientras que para los egipcios una línea era una cuerda
tensa, para los griegos la idea de línea venía siendo un concepto mental que podía ser
representado por algún objeto físico apropiado, como la cuerda. Otro gran aporte legado por
los griegos a la geometría fue la interpretación en términos de geometría a la aritmética y el
álgebra. Así, por ejemplo, una longitud podía ser interpretada como un número; y el producto
de dos números como el área de un rectángulo y el producto de tres números como el volumen
de un cubo.


Euclides y su obra Elementos


Es poco lo que se sabe sobre la vida del geómetra griego, una de las cosas que sabemos es que
fue profesor de matemáticas en la universidad de Alejandría, ciudad donde vivió durante el
reinado de Ptolomeo I.
Se puede decir que es Euclides quien sistematiza la geometría al agrupar y seleccionar los
axiomas que conforman su afamada obra Elementos. Los Elementos de Euclides es una de las
obras científicas más difundidas, durante muchos siglos el estudio de Los Elementos de Euclides
estudio era obligatorio en los centros de estudios superiores. Parte del contenido de los
Elementos nos es muy familiar, puesto que es usado por algunos profesores como introducción
a la geometría plana y del espacio que conforman nuestro nivel de estudios secundarios.


Geometrías no euclidianas


Como ya se ha dicho, durante mucho tiempo la geometría clásica o euclideana permaneció casi
invariable. Debieron pasar casi dos mil años para que se dieran cambios significativos en la
evolución de la geometría. Los matemáticos franceses René Descartes y Pierre de Fermat son
dos figuras claves en el desarrollo de una nueva corriente geométrica al crear de manera
simultánea e independiente la geometría analítica, es gracias a la nueva rama de las
matemáticas que la geometría logra al fin conjugarse de manera metódica con el algebra y la
aritmética.




                               René Descartes (1596-1650)
    Fuente imagen: http://media.web.britannica.com/eb-media/33/8433-004-8E2D30AB.jpg




                                                                                            Pierre de Fermat (1601- 1665)

                                       Fuente imagen: http://www.geek.com/wp-content/uploads/2011/08/Pierre_de_Fermat.jpg
Otros avances importantes se dan a mediados del siglo XVIII, los matemáticos se habían dado
cuenta que el axioma del paralelismo, expuesto en los Elementos, podía no cumplirse para
ciertas geometrías, tales sospechas fueron confirmadas cuando János Bolyai (1802 – 1860) y
Nikolái Lobachevski (1792 – 1856), en trabajos independientes, crean una geometría no
eclideana totalmente consistente. Junto a los ya mencionados, los matemáticos alemanes Carl F.
Gauss (1777 - 1855) y Bernhard Riemann (1826 – 1866) ocupan un destacado lugar entre los
matemáticos que contribuyeron al desarrollo de las nuevas geometrías.

Hoy día contamos con diversas geometrías entre las que podemos citar:

La geometría hiperbólica; geometría proyectiva; geometría elíptica; geometría fractal; entre
muchas otras.

La Geometría Fractal

A mediados de la década de los setenta (siglo XX) el matemático francés Benoît Mandelbrot
(1924 – 2010) desarrolló la geometría fractal. El término fractal fue inventado por el propio
Mandelbrot para referirse a ciertos objetos geométricos cuya estructura básica irregular se
repite a escalas cada vez más reducidas.

  “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas
                         de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta.”

                                                                              Benoît Mandelbrot.

Como bien describe el Dr. Mandelbrot, existen objetos en la naturaleza que no pueden ser
descritos, de manera exacta, por la geometría tradicional. Sin embargo, dada su naturaleza
irregular y fragmentada son ideales para ser descritos por la geometría fractal.

Dada la naturaleza de los fractales, la geometría que los describe puede ser denominada como
la geometría de la autosemejanza, sin embargo es mucho más que eso pues en ella se usa un
término mucho más abstracto de la dimensión que en el caso de tales objetos puede ser un
número fraccionario.
Cabe destacar que mucho antes de que el Dr. Mandelbrot acuñara el termino fractal dichos
objetos eran conocidos y estudiados por los matemáticos, entre estos matemáticos podemos
destacar a: Gaston M. Julia (1893 – 1978); Wacław F. Sierpiński (1882 – 1969) ; Helge von
Koch (1870 – 1924).

Algunos Fractales




                      Copo de nieve de Koch, con dos iteraciones. (Ilustración Xavier cid).




                       Triángulo de Sierpiński, con tres iteraciones. (Ilustración Xavier Cid).
Árbol de Pitágoras, fractal creado por Albert E. Bosman en 1942. ( Ilustración Xavier Cid)




                               Fractal creado a partir de la iteración de triángulos rectángulos. (Ilustración Xavier Cid).


Cada vez son más las aplicaciones prácticas que se encuentran en la geometría fractal. Gran
parte del desarrollo de los fractales ha sido posible gracias a los ordenadores y a la vez los
fractales han sido cruciales para la mejora en la calidad de las imágenes que en ellos se
generan, por lo que podemos decir que existe un beneficio mutuo entre las partes.

En un principio, considerados como simples curiosidades matemáticas los fractales han
recorrido un largo camino hasta que fueron reconocidos por el Dr. Mandelbrot como parte
esencial de una nueva geometría, los fractales se abren cada vez mas paso en las matemáticas
modernas.




    “El matemático de corazón no distingue las matemáticas puras de las aplicadas. En su mundo, hasta los objetos más abstractos pueden ser
                                                                                                         usados para describir la realidad.”
                                                                                                                            José Acevedo J.
Referencias bibliográficas:



Frank Ayres, Jr.
Geometría Proyectiva Teoría y 200 Problemas Resueltos.
Ed. McGraw-Hill.
USA. 1970.


Ediciones Larousse.
El Pequeño Larousse Ilustrado 2011.
Ediciones Larousse, S. A. de C. V.


Wikipedia, la enciclopedia libre.


Charles H. Lehmann.
Geometría Analítica.
USA. 1959.

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Fractales, la nueva geometría de Mandelbrot

  • 1. Fractales, la Nueva Geometría de Mandelbrot José Acevedo Jiménez Santiago, Rep. Dom. "Una nube está hecha de billones de billones de billones que parecen nubes. Mientras más te acercas a una nube no obtienes algo suave, sino irregularidades a una escala más pequeña." Benoît B. Mandelbrot. Durante siglos, la geometría se limitó al estudio de ciertas reglas para hallar áreas y volúmenes. El origen de la geometría se remonta al tiempo de los antiguos egipcios. Es precisamente en Egipto y Babilonia donde la geometría se desarrolla, sin embargo su desarrollo está basado solamente en experiencias y observaciones. Fueron los griegos quienes le dieron un carácter abstracto a la geometría, por ejemplo, mientras que para los egipcios una línea era una cuerda tensa, para los griegos la idea de línea venía siendo un concepto mental que podía ser representado por algún objeto físico apropiado, como la cuerda. Otro gran aporte legado por los griegos a la geometría fue la interpretación en términos de geometría a la aritmética y el álgebra. Así, por ejemplo, una longitud podía ser interpretada como un número; y el producto de dos números como el área de un rectángulo y el producto de tres números como el volumen de un cubo. Euclides y su obra Elementos Es poco lo que se sabe sobre la vida del geómetra griego, una de las cosas que sabemos es que fue profesor de matemáticas en la universidad de Alejandría, ciudad donde vivió durante el reinado de Ptolomeo I. Se puede decir que es Euclides quien sistematiza la geometría al agrupar y seleccionar los axiomas que conforman su afamada obra Elementos. Los Elementos de Euclides es una de las obras científicas más difundidas, durante muchos siglos el estudio de Los Elementos de Euclides
  • 2. estudio era obligatorio en los centros de estudios superiores. Parte del contenido de los Elementos nos es muy familiar, puesto que es usado por algunos profesores como introducción a la geometría plana y del espacio que conforman nuestro nivel de estudios secundarios. Geometrías no euclidianas Como ya se ha dicho, durante mucho tiempo la geometría clásica o euclideana permaneció casi invariable. Debieron pasar casi dos mil años para que se dieran cambios significativos en la evolución de la geometría. Los matemáticos franceses René Descartes y Pierre de Fermat son dos figuras claves en el desarrollo de una nueva corriente geométrica al crear de manera simultánea e independiente la geometría analítica, es gracias a la nueva rama de las matemáticas que la geometría logra al fin conjugarse de manera metódica con el algebra y la aritmética. René Descartes (1596-1650) Fuente imagen: http://media.web.britannica.com/eb-media/33/8433-004-8E2D30AB.jpg Pierre de Fermat (1601- 1665) Fuente imagen: http://www.geek.com/wp-content/uploads/2011/08/Pierre_de_Fermat.jpg
  • 3. Otros avances importantes se dan a mediados del siglo XVIII, los matemáticos se habían dado cuenta que el axioma del paralelismo, expuesto en los Elementos, podía no cumplirse para ciertas geometrías, tales sospechas fueron confirmadas cuando János Bolyai (1802 – 1860) y Nikolái Lobachevski (1792 – 1856), en trabajos independientes, crean una geometría no eclideana totalmente consistente. Junto a los ya mencionados, los matemáticos alemanes Carl F. Gauss (1777 - 1855) y Bernhard Riemann (1826 – 1866) ocupan un destacado lugar entre los matemáticos que contribuyeron al desarrollo de las nuevas geometrías. Hoy día contamos con diversas geometrías entre las que podemos citar: La geometría hiperbólica; geometría proyectiva; geometría elíptica; geometría fractal; entre muchas otras. La Geometría Fractal A mediados de la década de los setenta (siglo XX) el matemático francés Benoît Mandelbrot (1924 – 2010) desarrolló la geometría fractal. El término fractal fue inventado por el propio Mandelbrot para referirse a ciertos objetos geométricos cuya estructura básica irregular se repite a escalas cada vez más reducidas. “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta.” Benoît Mandelbrot. Como bien describe el Dr. Mandelbrot, existen objetos en la naturaleza que no pueden ser descritos, de manera exacta, por la geometría tradicional. Sin embargo, dada su naturaleza irregular y fragmentada son ideales para ser descritos por la geometría fractal. Dada la naturaleza de los fractales, la geometría que los describe puede ser denominada como la geometría de la autosemejanza, sin embargo es mucho más que eso pues en ella se usa un término mucho más abstracto de la dimensión que en el caso de tales objetos puede ser un número fraccionario.
  • 4. Cabe destacar que mucho antes de que el Dr. Mandelbrot acuñara el termino fractal dichos objetos eran conocidos y estudiados por los matemáticos, entre estos matemáticos podemos destacar a: Gaston M. Julia (1893 – 1978); Wacław F. Sierpiński (1882 – 1969) ; Helge von Koch (1870 – 1924). Algunos Fractales Copo de nieve de Koch, con dos iteraciones. (Ilustración Xavier cid). Triángulo de Sierpiński, con tres iteraciones. (Ilustración Xavier Cid).
  • 5. Árbol de Pitágoras, fractal creado por Albert E. Bosman en 1942. ( Ilustración Xavier Cid) Fractal creado a partir de la iteración de triángulos rectángulos. (Ilustración Xavier Cid). Cada vez son más las aplicaciones prácticas que se encuentran en la geometría fractal. Gran parte del desarrollo de los fractales ha sido posible gracias a los ordenadores y a la vez los fractales han sido cruciales para la mejora en la calidad de las imágenes que en ellos se generan, por lo que podemos decir que existe un beneficio mutuo entre las partes. En un principio, considerados como simples curiosidades matemáticas los fractales han recorrido un largo camino hasta que fueron reconocidos por el Dr. Mandelbrot como parte esencial de una nueva geometría, los fractales se abren cada vez mas paso en las matemáticas modernas. “El matemático de corazón no distingue las matemáticas puras de las aplicadas. En su mundo, hasta los objetos más abstractos pueden ser usados para describir la realidad.” José Acevedo J.
  • 6. Referencias bibliográficas: Frank Ayres, Jr. Geometría Proyectiva Teoría y 200 Problemas Resueltos. Ed. McGraw-Hill. USA. 1970. Ediciones Larousse. El Pequeño Larousse Ilustrado 2011. Ediciones Larousse, S. A. de C. V. Wikipedia, la enciclopedia libre. Charles H. Lehmann. Geometría Analítica. USA. 1959.