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Epistemología de las Matemáticas - Cod: 551103
Grupo: 38
Victor Manuel Mendoza (tutor)
Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD)
13 de octubre 2020
CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS
MATEMÁTICOS
Antecedentes:
En matemática, el surgimiento de dificultades esenciales
dio lugar a teorías revolucionarias más amplias. Durante
más de 2000 años los axiomas de la geometría Euclidiana
sirvieron como fundamento para el desarrollo de la de las
matemáticas, no obstante, el salto de las matemáticas de
las antiguas civilizaciones a unas matemáticas más
consistentes, con fundamentos, gran significado y
profundidad. Se comenzó a dar en la antigua Grecia
hacia el siglo VI a.C. con grandes personajes como Tales,
Pitágoras, Euclides, Apolonio y sobre todo Arquimedes.
La probabilidad de que el universo podía ser explicado
con los números naturales y racionales sufrió un gran
golpe en el seno de la escuela pitagórica (Ortiz, 1988).
Año 430 a.C.
Zenón y Eudoxo pensadadores grandes de la antigüedad
reflexionaron sobre el problema del infinito.
▪ Zenón: proclamó que el movimiento no existe tras
analizar en forma aguda, una serie infinita de etapas.
De igual manera proclamó que la mitad del tiempo
puede ser igual al doble del mismo.
A partir de estos y de otros argumentos dados en ese
entonces, se encierran ideas revolucionarias que solo
salen a la luz muchísimos siglos después.
Siglos: XVII y XVIII
El desarrollo de la matemática fue acelerado por las
profundas ideas del cálculo infinitesimal y la geometría
analítica, esto fue debido al estímulo de innumerables
problemas que provenían de la física, la ingeniería y de
la naciente tecnología. Todo trascurrió muy rápido, con gran
descuido y sin ningún rigor en las ideas (Ortiz, 1988).
▪ Rene descartes (1596 – 16509).
introduce la geometría analítica o cartesiana en esta nueva
geometría se identifican los puntos del plano como pares de
números (x, y): el cual consiste en un sistema de
coordenadas en el que cada par nos da la posición de un
punto con respecto a dos rectas perpendiculares, llamadas
ejes de coordenadas. (García y Arias, 2018).
Isaac Newton y Gottfried Leibniz descubren el cálculo
infinitesimal.
▪ Newton (1642 – 1727).
✓ descubrió y desarrollo el cálculo de fluxiones al igual que
desarrolla simultáneamente el cálculo diferencial e integral.
✓ concibió dos conceptos matemáticos revolucionarios:
el de derivada e integral.
▪ Leibniz 1646 – 1716).
✓ Descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo
diferencial en 167.
✓ vio a la derivada como una razón de diferencias
innitesimales y llamo al consciente diferencial
(Saavedra, 2008).
Esto se hizo posible gracias al concepto de límite,
considerando la idea más importante de la matemática.
Sin embargo, la formulación precisa del concepto de
limite no se produjo si no hasta el siglo XIX.
Ambos descubrimientos fueron independientes y tomaron
rumbos muy diferentes, tanto desde el punto de vista
conceptual como desde el punto de vista
metodológico.
aaa
Siglo XIX
Periodo de gran intensidad matemática y rigorización de
las mismas.
✓ Se crean teorías fundamentales y se busca esclarecer
algunos conceptos como: las nociones de funciones,
derivada, continuidad e integral etc.. y definirlos de
mejor manera.
Así mismo también se buscaba dar un tratamiento más
consistente a las series, puesto que durante el siglo XVIII
no se ponía mucho cuidado de si estas eran convergentes o
divergentes; de hecho, se llegaba a contradicciones
importantes. de un período en el que se desarrollaron
nuevas geometrías y se potenció la abstracción en el
álgebra. Puede decirse que sería un período en el que iban a
perder su asidero propiedades tan importantes de los
sistemas numéricos conocidos como la conmutatividad, o
una geometría que daba cuenta de manera natural de
aaa
representar nuestras percepciones de la realidad exterior,
la euclidiana, y también se iba a expandir un nuevo
carácter de las matemáticas. (Ruiz., sfd). el desencanto que
generó la dificultad de fundamentar el análisis en la
geometría euclidiana, fue lo que volcó los ojos hacia a la
aritmética.
✓ A partir de allí se da la afirmación de la deducción y el
rigor lógicos como fundamento de las matemáticas o
criterio de validación dentro de estas comunidades
científicas.
Ya en la Grecia antigua el criterio de la demostración había
alcanzado el sentido de prescripción que posteriormente
buscaría la mayor parte de matemáticos. Sin embargo,
muchas veces la lógica que se desarrollaba dejaba espacios
a la intuición y a una visión sensibles del mundo externo.
aaa
Años (1979 – 1897).
Cauchy, Weierstrass, Dedekind entre otros matemáticos
logran por primera vez establecer con claridad y precisión
los conceptos de número real, de limite, de infinitesimal, de
continuidad y de convergencia.
Cauchy: desarrolla los contenidos básicos en la teoría de
funciones toma como noción primordial el cálculo
diferencial la de derivada, definida como límite del
consciente de incrementos, y construye de forma rigurosa
todo el cálculo. Por otra parte, también se plantea la
necesidad de demostrar la existencia de la integral definida,
entendida como el área del recinto de ordenadas de la
función a integrar, y lo consigue para funciones
continuas. (Bombal, 2010).
Weierstrass: establece la definición de límite, sin ninguna
noción a los infinitésimos. (Bombal, 2010).
aaa
En el algebra, la resolubilidad de ecuaciones de grado superior
llevó a los cimientos de la teoría de grupos. Por el lado de la
lógica, las algebras de Boole fueron un aporte con
proyecciones a nuestro siglo. La geometría es revisada en sus
fundamentos; el quinto postulado es cuestionado siguiendo las
geometrías no euclidianas; la geometría se vuelve un concepto
abstracto (Ortiz, 1988).
Siglo XX
Surgen una serie de matemáticos que pretendieron fortalecer la
lógica y replantear radicalmente la cuestión ontológica
examinando el significado de “existencia” en matemáticas. Y
con ello surgen varias posiciones que podrían agruparse en tres
tendencias: el logicismo, el formalismo y el intuicionismo.
Georg Cantor: inicia la formulación de la teoría de conjuntos.
Partiendo de las colecciones de objetos; y rápidamente, aunque
no sin resistencias, dicha teoría se convierte en el candidato
ideal para ser usado como fundamento de la matemática.
aaa
GottlobFrege y Bertrand Russell: fundadores del logicismo
ficha clave para el desarrollo de la geometría analítica en el
siglo xx. Frege elabora un método axiomático en el concepto
grafía que revoluciono la lógica. Frege desarrolla un lenguaje
universal, esto es, la lógica simbólica, con la idea de eliminar
toda posibilidad de malentendido del lenguaje natural. Su
intención consiste en basar toda la matemática en la pura
lógica. En 1902 Frege recibe una carta de Russell en la que
expone que sus axiomas eran inconsistentes, dando lugar a la
desde entonces llamada “paradoja de Russell”, que demuestra
que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y
Frege es contradictoria (Cherubini, 2015).
Russell y Alfred North: publican Principia Mathematica en
tres volúmenes en 1910, 1912, 1913. Es en donde exponen que
los objetos matemáticos son objetos puramente lógicos y los
principios matemáticos son leyes lógicas o derivados de leyes
lógicas. “teoría de conjuntos, teoría números ordinales y teoría
números reales”. (Cherubini, 2015).
aaa
David Hilbert, (1862-1943): de pensamiento formalista,
plantea los 23 problemas no resueltos que, según su pensar,
constituirían el gran desafío para los matemáticos del siglo
XX. Establece los axiomas desde los cuales puede
desarrollarse toda la geometría, tanto euclídea como la no
euclídea, mediante pura deducción. En esta serie aparece en
primer lugar planteado el problema ¿cuál es el cardinal del
continuo? (Cherubini, 2015). Hilbert desarrolló un gran
abanico de ideas, como la teoría de invariantes,
la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de
Hilbert.
Ernst Zermelo (1871-1953): de pensamiento formalista
publica la primera axiomatización de la teoría de conjuntos,
pero no consigue demostrar su consistencia. “cardinales
transfinitos y teorema de buen orden”. (Cherubini, 2015).
aaa
Leopold Kronecker: de pensamiento intuicionista,
Kronecker considera que los números enteros positivos son
entidades que existen, pero los racionales, los irracionales,
los imaginarios, los trascendentes, etc., son símbolos
“funciones elípticas, algebra”. (Cherubini, 2015).
Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1854-1912): Fundador de
la filosofía matemática del intuicionismo, critico
constantemente las llamadas pruebas de existencia
matemáticas pura basada en el principio lógico del medio
excluido, “teoría de conjuntos, análisis complejo y teoría
métrica”. (Brower, 1979).
Referenciasbibliográficas
• Cherubini, E. (2015). LA NOCIÓN DEL CONTINUO MATEMÁTICO DE HERMANN WEYL
CONCILIANDO FORMALISMO E INTUICIONISMO. Revista Síntesis, 14-16. Recuperado a partir
de https://revistas.unc.edu.ar/index.php/sintesis/article/view/12220
• mathVideoLectures.com. (2005). Los fundamentos de la matemática [video]. Recuperado de
https://www.youtube.com/watch?v=l1ziaLBvLf0&feature=youtu.be
• García, A y Pérez, T. (2018). Descartes y el renacimiento de la geometría. Recuperado de
https://www.bbvaopenmind.com/ciencia/matematicas/descartes-y-el-renacimiento-de-la-geometria/
• Saavedra, P. (2008). El cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz. Recuperado de
http://62.204.194.45/fez/eserv/bibliuned:masterFilosofiaFilosofiaPractica-
Pespejo/Espejo_Saavedra_Roca_Pedro_TFM.pdf
• Mandelbrot. (sfd). Avances matemáticos durante el siglo XVII. Recuperado
de https://www.uv.es/~teamar3/Historia04.htm
• Ruiz, A. (s.f.d). El rigor de las matemáticas [blog educativo]. Recuperado
de http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap22/Capitulo_22.
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• Ortiz Fernández, A. (1988). Crisis en los fundamentos de la matemática. Pro Mathematica, 2(3), 31-47.
Recuperado a partir de http://revistas.pucp.edu.pe/index.php/promathematica/article/view/6053
• Bombal, F. (s,f.d). rigor y demostración matemática. Recuperado de https://rac.es/ficheros/doc/01155.pdf

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Unidad 2 | Teorías de la Comunicación | MCDIU
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El PROGRAMA DE TUTORÍAS PARA EL APRENDIZAJE Y LA FORMACIÓN INTEGRAL PTA/F
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Apunte de clase Pisos y Revestimientos 3
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Línea de tiempo crisis fundamentos matemáticos

  • 1. LÍNEA DE TIEMPO Naddali Montero Medina – Cod: 1193078856 Marleny Parra Romero – Cod: 1071580006 Epistemología de las Matemáticas - Cod: 551103 Grupo: 38 Victor Manuel Mendoza (tutor) Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) 13 de octubre 2020
  • 2. CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Antecedentes: En matemática, el surgimiento de dificultades esenciales dio lugar a teorías revolucionarias más amplias. Durante más de 2000 años los axiomas de la geometría Euclidiana sirvieron como fundamento para el desarrollo de la de las matemáticas, no obstante, el salto de las matemáticas de las antiguas civilizaciones a unas matemáticas más consistentes, con fundamentos, gran significado y profundidad. Se comenzó a dar en la antigua Grecia hacia el siglo VI a.C. con grandes personajes como Tales, Pitágoras, Euclides, Apolonio y sobre todo Arquimedes. La probabilidad de que el universo podía ser explicado con los números naturales y racionales sufrió un gran golpe en el seno de la escuela pitagórica (Ortiz, 1988).
  • 3. Año 430 a.C. Zenón y Eudoxo pensadadores grandes de la antigüedad reflexionaron sobre el problema del infinito. ▪ Zenón: proclamó que el movimiento no existe tras analizar en forma aguda, una serie infinita de etapas. De igual manera proclamó que la mitad del tiempo puede ser igual al doble del mismo. A partir de estos y de otros argumentos dados en ese entonces, se encierran ideas revolucionarias que solo salen a la luz muchísimos siglos después. Siglos: XVII y XVIII El desarrollo de la matemática fue acelerado por las profundas ideas del cálculo infinitesimal y la geometría analítica, esto fue debido al estímulo de innumerables
  • 4. problemas que provenían de la física, la ingeniería y de la naciente tecnología. Todo trascurrió muy rápido, con gran descuido y sin ningún rigor en las ideas (Ortiz, 1988). ▪ Rene descartes (1596 – 16509). introduce la geometría analítica o cartesiana en esta nueva geometría se identifican los puntos del plano como pares de números (x, y): el cual consiste en un sistema de coordenadas en el que cada par nos da la posición de un punto con respecto a dos rectas perpendiculares, llamadas ejes de coordenadas. (García y Arias, 2018). Isaac Newton y Gottfried Leibniz descubren el cálculo infinitesimal. ▪ Newton (1642 – 1727). ✓ descubrió y desarrollo el cálculo de fluxiones al igual que desarrolla simultáneamente el cálculo diferencial e integral.
  • 5. ✓ concibió dos conceptos matemáticos revolucionarios: el de derivada e integral. ▪ Leibniz 1646 – 1716). ✓ Descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 167. ✓ vio a la derivada como una razón de diferencias innitesimales y llamo al consciente diferencial (Saavedra, 2008). Esto se hizo posible gracias al concepto de límite, considerando la idea más importante de la matemática. Sin embargo, la formulación precisa del concepto de limite no se produjo si no hasta el siglo XIX. Ambos descubrimientos fueron independientes y tomaron rumbos muy diferentes, tanto desde el punto de vista conceptual como desde el punto de vista metodológico.
  • 6. aaa Siglo XIX Periodo de gran intensidad matemática y rigorización de las mismas. ✓ Se crean teorías fundamentales y se busca esclarecer algunos conceptos como: las nociones de funciones, derivada, continuidad e integral etc.. y definirlos de mejor manera. Así mismo también se buscaba dar un tratamiento más consistente a las series, puesto que durante el siglo XVIII no se ponía mucho cuidado de si estas eran convergentes o divergentes; de hecho, se llegaba a contradicciones importantes. de un período en el que se desarrollaron nuevas geometrías y se potenció la abstracción en el álgebra. Puede decirse que sería un período en el que iban a perder su asidero propiedades tan importantes de los sistemas numéricos conocidos como la conmutatividad, o una geometría que daba cuenta de manera natural de
  • 7. aaa representar nuestras percepciones de la realidad exterior, la euclidiana, y también se iba a expandir un nuevo carácter de las matemáticas. (Ruiz., sfd). el desencanto que generó la dificultad de fundamentar el análisis en la geometría euclidiana, fue lo que volcó los ojos hacia a la aritmética. ✓ A partir de allí se da la afirmación de la deducción y el rigor lógicos como fundamento de las matemáticas o criterio de validación dentro de estas comunidades científicas. Ya en la Grecia antigua el criterio de la demostración había alcanzado el sentido de prescripción que posteriormente buscaría la mayor parte de matemáticos. Sin embargo, muchas veces la lógica que se desarrollaba dejaba espacios a la intuición y a una visión sensibles del mundo externo.
  • 8. aaa Años (1979 – 1897). Cauchy, Weierstrass, Dedekind entre otros matemáticos logran por primera vez establecer con claridad y precisión los conceptos de número real, de limite, de infinitesimal, de continuidad y de convergencia. Cauchy: desarrolla los contenidos básicos en la teoría de funciones toma como noción primordial el cálculo diferencial la de derivada, definida como límite del consciente de incrementos, y construye de forma rigurosa todo el cálculo. Por otra parte, también se plantea la necesidad de demostrar la existencia de la integral definida, entendida como el área del recinto de ordenadas de la función a integrar, y lo consigue para funciones continuas. (Bombal, 2010). Weierstrass: establece la definición de límite, sin ninguna noción a los infinitésimos. (Bombal, 2010).
  • 9. aaa En el algebra, la resolubilidad de ecuaciones de grado superior llevó a los cimientos de la teoría de grupos. Por el lado de la lógica, las algebras de Boole fueron un aporte con proyecciones a nuestro siglo. La geometría es revisada en sus fundamentos; el quinto postulado es cuestionado siguiendo las geometrías no euclidianas; la geometría se vuelve un concepto abstracto (Ortiz, 1988). Siglo XX Surgen una serie de matemáticos que pretendieron fortalecer la lógica y replantear radicalmente la cuestión ontológica examinando el significado de “existencia” en matemáticas. Y con ello surgen varias posiciones que podrían agruparse en tres tendencias: el logicismo, el formalismo y el intuicionismo. Georg Cantor: inicia la formulación de la teoría de conjuntos. Partiendo de las colecciones de objetos; y rápidamente, aunque no sin resistencias, dicha teoría se convierte en el candidato ideal para ser usado como fundamento de la matemática.
  • 10. aaa GottlobFrege y Bertrand Russell: fundadores del logicismo ficha clave para el desarrollo de la geometría analítica en el siglo xx. Frege elabora un método axiomático en el concepto grafía que revoluciono la lógica. Frege desarrolla un lenguaje universal, esto es, la lógica simbólica, con la idea de eliminar toda posibilidad de malentendido del lenguaje natural. Su intención consiste en basar toda la matemática en la pura lógica. En 1902 Frege recibe una carta de Russell en la que expone que sus axiomas eran inconsistentes, dando lugar a la desde entonces llamada “paradoja de Russell”, que demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria (Cherubini, 2015). Russell y Alfred North: publican Principia Mathematica en tres volúmenes en 1910, 1912, 1913. Es en donde exponen que los objetos matemáticos son objetos puramente lógicos y los principios matemáticos son leyes lógicas o derivados de leyes lógicas. “teoría de conjuntos, teoría números ordinales y teoría números reales”. (Cherubini, 2015).
  • 11. aaa David Hilbert, (1862-1943): de pensamiento formalista, plantea los 23 problemas no resueltos que, según su pensar, constituirían el gran desafío para los matemáticos del siglo XX. Establece los axiomas desde los cuales puede desarrollarse toda la geometría, tanto euclídea como la no euclídea, mediante pura deducción. En esta serie aparece en primer lugar planteado el problema ¿cuál es el cardinal del continuo? (Cherubini, 2015). Hilbert desarrolló un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert. Ernst Zermelo (1871-1953): de pensamiento formalista publica la primera axiomatización de la teoría de conjuntos, pero no consigue demostrar su consistencia. “cardinales transfinitos y teorema de buen orden”. (Cherubini, 2015).
  • 12. aaa Leopold Kronecker: de pensamiento intuicionista, Kronecker considera que los números enteros positivos son entidades que existen, pero los racionales, los irracionales, los imaginarios, los trascendentes, etc., son símbolos “funciones elípticas, algebra”. (Cherubini, 2015). Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1854-1912): Fundador de la filosofía matemática del intuicionismo, critico constantemente las llamadas pruebas de existencia matemáticas pura basada en el principio lógico del medio excluido, “teoría de conjuntos, análisis complejo y teoría métrica”. (Brower, 1979).
  • 13. Referenciasbibliográficas • Cherubini, E. (2015). LA NOCIÓN DEL CONTINUO MATEMÁTICO DE HERMANN WEYL CONCILIANDO FORMALISMO E INTUICIONISMO. Revista Síntesis, 14-16. Recuperado a partir de https://revistas.unc.edu.ar/index.php/sintesis/article/view/12220 • mathVideoLectures.com. (2005). Los fundamentos de la matemática [video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=l1ziaLBvLf0&feature=youtu.be • García, A y Pérez, T. (2018). Descartes y el renacimiento de la geometría. Recuperado de https://www.bbvaopenmind.com/ciencia/matematicas/descartes-y-el-renacimiento-de-la-geometria/ • Saavedra, P. (2008). El cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz. Recuperado de http://62.204.194.45/fez/eserv/bibliuned:masterFilosofiaFilosofiaPractica- Pespejo/Espejo_Saavedra_Roca_Pedro_TFM.pdf • Mandelbrot. (sfd). Avances matemáticos durante el siglo XVII. Recuperado de https://www.uv.es/~teamar3/Historia04.htm
  • 14. • Ruiz, A. (s.f.d). El rigor de las matemáticas [blog educativo]. Recuperado de http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap22/Capitulo_22. htm • Ortiz Fernández, A. (1988). Crisis en los fundamentos de la matemática. Pro Mathematica, 2(3), 31-47. Recuperado a partir de http://revistas.pucp.edu.pe/index.php/promathematica/article/view/6053 • Bombal, F. (s,f.d). rigor y demostración matemática. Recuperado de https://rac.es/ficheros/doc/01155.pdf