Curso Geometría 2016

1. GEOMETRÍA
EL LENGUAJE DEL ESPACIO Y LAS FORMAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Ms. Ana María Teresa LUCCA
matematicaconhistoria.jimdo.com

2. MATEMÁTICA Y ARTE
DURANTE EL RENACIMIENTO
GEOMETRÍA – El lenguaje del Espacio y las Formas

3. 1000 años después de…
Pappus de Alejandría
Siglo III d.C.

4. Geometría proyectiva
Siglo XV
Surge una nueva geometría a partir de los
esfuerzos de los artistas del Renacimiento
para dibujar y pintar el mundo tal cual
como aparece a la vista.
Arte representativo o figurativo

5. Arte europeo – Edad Media

6. Arte europeo – Edad Media

7. Arte europeo – Edad Media

9. TÉCNICA
Arquitectos
Científicos
Matemáticos
Inventores

10. Geometría proyectiva
La principal dificultad en hacer
arte representacional es que el artista
se esfuerza por proyectar
una imagen bidimensional
de un objeto tridimensional.

11. Leonardo da Vinci
Andrea del Verrocchio
(1435 – 1488)
(1452 – 1519)

12. El bautismo de Cristo – 1474/5

13. Notas de Leonardo
(1508 – 1509)

14. Notas de Leonardo

15. Notas de Leonardo

16. A través de los cuadernos de Leonardo
aprendemos sus ideas sobre
la base matemática para la pintura
y el dibujo figurativo.

17. Antecesores…
León Battista Alberti
(1404 – 1472)
Piero della Francesco
(1420 – 1492)

18. Para Leonardo…

19. Ángulos y distancias cambian

20. Alberto Durero
Michael Wolgemut
(1434 – 1519)
(1471 – 1528)

21. Curso en el Arte de la Medida
 Importancia de la geometría y la medición
en el arte figurativo
Aplica la matemática a
problemas de perspectiva.

22. Durero
Escribe sobre el problema de duplicar un cubo.
Demuestra familiaridad con las secciones
cónicas.
Quiere analizar y hacer accesible a sus
contemporáneos en el norte de Europa la teoría
detrás del arte que estaba siendo creado.

23. Melancolía

24. Pero Durero…
nos dice cómo construir lo que hoy
llamaríamos una proyección
–y lo que Leonardo imaginó
como un panel de vidrio–
entre el observador y el objeto.

26. Consecuencias…
Fue un primer paso importante en el desarrollo
de la geometría proyectiva.
Proporcionaron un contexto para su posterior
estudio, así como los primeros ejemplos
concretos de proyecciones.
A pesar de que no se demostraron teoremas, su
trabajo sirvió de base para investigaciones
matemáticas más rigurosas.

27. LOS PRIMEROS TEOREMAS
GEOMETRÍA – El lenguaje del Espacio y las Formas

28. ¿Qué es un teorema?
Un teorema es una afirmación
que no es evidente por sí misma
y que se ha demostrado verdadera.

29. Gérard Desargues
Marin Mersenne
(1588–1648)
(1591–1661)

30. Desargues…
inventó su propio vocabulario.

31. Recordemos…
una proyección de una imagen suele
cambiar tanto los ángulos como las
longitudes que uno encuentra en la
imagen original.

32. ¿cuáles, si las hay,
son las propiedades
que siguen siendo
las mismas de una
proyección a la
siguiente?

33. Muy evidente!!!
Aunque ni la forma ni el
tamaño del triángulo son
preservadas, la imagen de
cualquier triángulo bajo una
proyección es siempre
otro triángulo.

34. Tratado sobre la Sección Perspectiva
Contiene el primer teorema de la
geometría proyectiva.
Demuestra la existencia de una propiedad
no obvia de una transformación
proyectiva.

35. Teorema de Desargues
𝐴
𝐵
𝐶
𝐴′
𝐵′
𝐶′

36. Teorema de Desargues
Dados dos triángulos, si las líneas determinadas
por los pares de vértices correspondientes
todas se reúnen en un punto común,
entonces los puntos determinados por los lados
correspondientes se encuentran todos
a lo largo de una línea común.

37. ¿qué se
preserva?

38. Resultados en
Anteproyecto de un intento
de hacer frente
a los eventos de la reunión
de un cono con un plano.

39. Desargues descubre que…
No importa cómo
es proyectada una sección cónica,
el resultado es otra sección cónica.

40. Desargues demostró que…
La imagen de una elipse bajo una
proyección debe ser
una elipse,
una parábola o
una hipérbola.
No existen otras posibilidades.
parábola
hipérbola

41. Conclusión:
Una proyección de una sección cónica
es siempre una sección cónica,
y es en este sentido que
todas las cónicas son "lo mismo"
en la geometría proyectiva.

42. Blaise Pascal
Etienne Pascal
(1588 – 1651)
(1623 – 1662)

43. Ensayo sobre Cónicas
 Expone sus conclusiones a partir de la búsqueda de otras
propiedades de las figuras geométricas que fueran
invariantes bajo proyecciones.

44. Teorema de Pascal
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝑅
𝑃
𝑄

45. Con Desargues y Pascal…
la geometría proyectiva tuvo un comienzo
prometedor.
Desafortunadamente sus descubrimientos
fueron, en su mayor parte, ignorados.

46. 1639 – 1951
Anteproyecto de un intento
de hacer frente
a los eventos de la reunión
de un cono con un plano.

47. REDESCUBRIMIENTO DE LA
GEOMETRÍA PROYECTIVA
GEOMETRÍA – El lenguaje del Espacio y las Formas

48. ¿Qué pasó en 150 años?

49. Gaspard Monge
(1746 – 1818)

50. Monge el incansable
 Desarrolló la geometría descriptiva.
 Escribió sobre análisis matemático, química, óptica,
meteorología, metalurgia, reforma educativa y otros temas.
 Era maestro en la Escuela Militar de Mézières
 Aceptó un segundo puesto de enseñanza simultáneo en la
Academia de Ciencias de París.
 Aceptó un tercer puesto simultáneo como examinador de
cadetes navales.
 Ayudó a establecer el sistema métrico decimal en Francia.

51. Monge
Priorizó la geometría por sobre el análisis.
Utilizó métodos geométricos para expresar y
resolver problemas en análisis.

52. Mayor legado de Monge…
sus estudiantes.

53. Charles-Jules Brianchon
Redescubrió el
Teorema de Pascal
(1785 – 1864)

54. Teorema de Pascal Teorema de Brianchon
Comparamos?
Dado un hexágono inscrito
dentro de una sección
cónica, los puntos de
intersección de los lados
opuestos del hexágono están
contenidos en una sola recta.
Dado un hexágono
circunscrito alrededor de
una sección cónica, las rectas
que conectan vértices
opuestos del hexágono se
intersecan en un solo punto.

55. Teorema de Brianchon

56. Jean-Victor Poncelet
(1788 – 1867)

57. Obras de Poncelet
Aplicaciones de Análisis y Geometría
1862/4
Tratado sobre las propiedades proyectivas
de las figuras
1814

58. Poncelet
Padre de la geometría proyectiva
 Fue quien primero identificó muchas de las características
más importantes de las figuras que se preservan bajo
proyecciones.

59. Razón cruzada
 No se preserva:
𝑨𝑩/𝑩𝑪
 Sí se preserva:
𝑨𝑪
𝑪𝑩
𝑨𝑫
𝑫𝑩
𝑨𝑩/𝑩𝑪 ≠ 𝑨′
𝑩′
/𝑩′
𝑪′
𝑨𝑪
𝑪𝑩
𝑨𝑫
𝑫𝑩
=
𝑨′
𝑪′
𝑪′ 𝑩′
𝑨′ 𝑫′
𝑫′ 𝑩′

60. Importancia…
 Cualquier transformación del espacio que preserva la razón
cruzada es una transformación proyectiva.
En otras palabras, los conceptos de razón cruzada y
proyección están íntimamente relacionados.
 La razón cruzada se puede utilizar para comprender cómo
las posiciones de los puntos cambian bajo las proyecciones.

61. Teorema de Pascal Teorema de Brianchon
Recordemos!!!
Dado un hexágono inscrito
dentro de una sección
cónica, los puntos de
intersección de los lados
opuestos del hexágono están
contenidos en una sola recta.
Dado un hexágono
circunscrito alrededor de
una sección cónica, las rectas
que conectan vértices
opuestos del hexágono se
intersecan en un solo punto.

62. Teorema de Desargues
Dados dos triángulos, si las líneas determinadas
por los pares de vértices correspondientes
todas se reúnen en un punto común,
entonces los puntos determinados por los lados
correspondientes se encuentran todos
a lo largo de una línea común.
los puntos determinados
lados
todos se encuentran en una recta
las rectas determinadas vértices
intersectan todas
en un punto

63. Principio de dualidad

64. Atención!!!
No hay un principio de dualidad en
la geometría euclidiana, aunque podemos
encontrar declaraciones duales aisladas,
tales como el Teorema de Pappus.

65. Principio de dualidad
Joseph Díaz Gergonne
(1771 – 1859)

66. El diario de Gergonne
Annales de mathématique pures et appliqués
Annales de Gergonne

67. Mejor manera de expresar la geometría
geometría sintética
métodos analíticos - álgebra

68. Karl Georg Christian von Staudt
 Carl Friedrich Gauss
(1798 – 1867)

69. Aporte de von Staudt
Demostró que la geometría proyectiva
es una rama independiente de la geometría.

70. Felix Klein
(1849 – 1925)

71. Klein se preguntó…
¿Cuáles son
las relaciones
entre estas
geometrías?

72. Álgebra

73. Principios de 1800
Evariste Galois
(1811 – 1832)
Niels Henrik Abel
(1802 – 1829)
Nueva forma de pensar la matemática.

74. Cómo?
Ellos comenzaron reconociendo la existencia
de ciertas estructuras lógicas que son compartidas
por diferentes tipos de matemática.
aritmética y análisis
geometría y álgebra

75. Estructura más interesante…
Es una herramienta muy útil para ayudar
a los matemáticos a entender cómo
"funciona" la matemática.

76. Para tener en cuenta…
 Un grupo es un conjunto de símbolos que se pueden
combinar, sujeto a ciertas restricciones, para producir otros
símbolos que también están en el grupo.
 La interpretación que le damos a los símbolos depende de
las preguntas que estamos haciendo y de qué objetos
deseamos estudiar.
 Hay ciertos criterios que cada grupo satisface, y hay otros
criterios en los que un grupo puede diferir de otro.
clasificar grupos

77. ¿Qué hizo Klein?
Examinó el conjunto de movimientos que es
característico de cada geometría.
El conjunto de todos estos movimientos
característicos formaba un grupo.
Cada geometría podría estar asociada con un
grupo de movimientos.

78. Ejemplo…
Geometría euclidiana
 El conjunto de movimientos que definen la geometría es el
conjunto de todas las rotaciones y traslaciones que se pueden
aplicar a cualquier figura.
movimientos euclidianos
 Las propiedades geométricas de la geometría euclidiana son
exactamente aquellas propiedades que se mantienen sin
cambios bajo todo movimiento euclidiano.
longitud y medidas angulares

79. Ejemplo…
Geometría euclidiana
 Dos de tales movimientos se pueden combinar para producir
un tercer movimiento.
producto de movimientos
 El conjunto de todos estos movimientos, cuando son
combinados de esta manera, forma un grupo.
grupo de movimientos euclidianos

80. Klein descubrió que…
 el conjunto de todos los movimientos proyectivos también
forma un grupo.
 los elementos en este grupo de movimientos
dejan otras propiedades –por ejemplo,
la razón cruzada o la propiedad de
ser una cónica– sin cambios.

81. Klein descubrió también que…
En comparación con
el grupo de movimientos euclidianos,
el grupo de todos los movimientos
proyectivos tiene una estructura
un poco más complicada.

82. Revelaciones…
La geometría euclidiana y la geometría
proyectiva están relacionadas entre sí.
La geometría euclidiana es en realidad un caso
muy especial en el campo más grande y más
inclusivo de la geometría proyectiva.

83. Programa de Erlangen

84. GEOMETRÍA NO-EUCLIDIANA
GEOMETRÍA – El lenguaje del Espacio y las Formas

85. Siglo XIX

86. Nikolai Ivanovich Lobachevsky
 Universidad de Kazan
(1792 – 1856)

87. Postulado de las paralelas
Si una (recta) transversal cae en dos rectas de tal
manera que los ángulos interiores en un lado de la
transversal son menores que dos ángulos rectos,
entonces las rectas se encuentran en ese lado en el
que los ángulos son menos que dos ángulos rectos.

88. Objetivo…
Demostrar que las rectas se intersectarán
utilizando todos los axiomas y postulados
de Euclides excepto el quinto postulado.

89. Muchos intentos fallidos

90. Hacia el 1700
 Euclides estaba en lo correcto después de todo.
Se había empezado a pensar que matemáticamente hablando el quinto
postulado no era una consecuencia lógica de cualquier otra cosa en la
geometría euclidiana, sino que era una idea independiente.

91. Versión de Lobachevsky
Dada una recta, 𝑙, y un punto, 𝑃, no sobre 𝑙,
es posible construir exactamente una recta
que pasa por 𝑃 y es paralela a 𝑙.

92. Versión alternativa de Lobachevsky
Dada una recta, 𝑙, y un punto, 𝑃, no sobre 𝑙,
existen al menos dos líneas rectas que
pasan por 𝑃 y son paralelas a 𝑙.

93. Nueva geometría

94. Aquí…
La suma de los ángulos interiores
de un triángulo es
siempre menor que 180°.

95. Aquí…
pseudoesfera

96. János Bolyai
Farkas Bolyai
(1775 – 1856)
(1802 – 1860)

97. Postulado de Bolyai
Dada una recta y un punto
no sobre la recta, existen una
infinidad de rectas distintas
a través del punto dado
y paralelas a la recta dada.

98. Sus resultados en…
Ciencia absoluta del espacio
Un intento de introducir estudios jóvenes a los
elementos de las matemáticas puras.
János Bolyai
Farkas Bolyai

99. Aquí…
Disco de Poincaré

100. Carl Friedrich Gauss
(1777 – 1855)
Ferdinand Karl Schweikart
(1780 – 1859)

101. ¿Nuestro mundo
es euclidiano?

102. Gauss sabía que…
Una de las consecuencias de la geometría
no euclidiana descrita por Lobachevsky
es que la suma de los ángulos interiores de
un triángulo es siempre menor que 180°.

103. Además…
La suma de las medidas de los ángulos interiores
de un triángulo disminuye a medida que
el área del triángulo aumenta.

104. Gauss el topógrafo

105. Nos vemos la próxima…