Metodo Simplex

1. METODO SIMPLEX
Luis Medina Aquino

2. METODO SIMPLEX
• Es un método sistemático y eficiente
para encontrar y probar soluciones
situadas en los vértices de
optimalidad. El método Simplex
termina una vez se haya encontrado
la solución óptima.

3. METODO SIMPLEX
Ejemplo:
Se tiene el siguiente programa lineal, en su forma canónica:
Maximizar Z = 200 X1 + 240 X2
Sujeto a:
6 X1 + 12 X2 120
8 X1 + 4 X2  64
X1 0, X2 0
El conjunto de soluciones factibles está
determinado por el polígono ABCD, en
donde:
Para A (0, 10) Z = 2,400
Para B (4, 8) Z = 2,720
Para C (8, 0) Z = 1,600
Para D (0, 0) Z = 0
Solución Gráfica

4. METODO SIMPLEX
• El método Simplex requiere que las
restricciones sean ecuaciones (o restricciones
con relación de igualdad) en vez de
inecuaciones (o restricciones con relación de
desigualdad).
• Cualquier inecuación puede ser convertida en
una ecuación agregando una cantidad no
negativa en el lado de menor valor de la
inecuación. Esta cantidad no negativa se llama
variable de holgura.

5. METODO SIMPLEX
En la restricción 1 será: 6 X1 + 12 X2 + S1 = 120
En la restricción 2 será: 8 X1 + 4 X2 + S2 = 64
El problema de programación lineal incorporando las
variables de holgura se convierte en su forma
estándar:
Maximizar Z = 200 X1 + 240 X2 + 0 S1 + 0 S2
Sujeto a:
6 X1 + 12 X2 + 1 S1 + 0 S2 = 120  1a
8 X1 + 4 X2 + 0 S1 + 1 S2 = 64  2a
X1, X2, S1, S2  0

6. METODO SIMPLEX
• Variables Básicas y Soluciones Básicas Factibles
• El conjunto de soluciones básicas en el problema dado
en 1a y 2a:
• Solución (1): X1 = 0, X2 = 0, S1 = 120, S2 = 64
• Solución (2): X1 = 8, X2 = 0, S1 = 72, S2 = 0
• Solución (3): X1 = 0, X2 = 1, S1 = 108, S2 = 60
• Observe que las soluciones (1), (2) y (3) satisfacen
también las restricciones de no negatividad. Por tanto,
son soluciones factibles

7. METODO SIMPLEX
• Si tenemos más variables que ecuaciones,
podemos tener un conjunto extra de variables
iguales a cero, obteniendo así un sistema con
igual número de variables y restricciones. Una
solución así es llamada una solución básica.
• Una solución básica factible para las
ecuaciones 1a y 2a es una solución que tenga a
lo sumo dos (= número de ecuaciones) variables
con valores positivos y el resto de variables con
valores iguales a cero.
•

8. METODO SIMPLEX
• Las soluciones (1) y (2) son soluciones básicas factibles.
•
• Solución (1): X1 = 0, X2 = 0 S1 = 120, S2 = 64
• Variables no básicas (= 0) Variables básicas (> 0)
•
• Solución (2): X2 = 0, S2 = 0 X1 = 8, S1 = 72
• Variables no básicas (= 0) Variables básicas (> 0)
•
• Solución (3): X1 = 0, X2 = 1, S1 = 108, S2 = 60
• En la solución 3 hay tres variables que son positivas, por tanto, es una
solución factible pero no una solución básica factible.

9. METODO SIMPLEX
Maximizar Z = C1 X1 + C2 X2 + .... + Cn Xn + Cn+1 Xn+1 + .... + Cn+m Xn+m
Sujeto a :
a11 X1 + a12 X2 + .... + a1n Xn + Xn+1 (=S1) = b1
a21 X1 + a22 X2 + .... + a2n Xn + Xn+2 (=S2) = b2
…… ……. …….. ….
am1 X1 + am2 X2 + .... + amn Xn + Xn+m (=Sm) = bm
Xj > 0  j = 1, 2, 3, ...., m+n

10. TABLA SIMPLEX
Cj C1 C2 .... Cn Cn+1 Cn+2 ....Cn+m
CB VB X1 X2 .... Xn Xn+1 Xn+2 ....Xn+m B
Cn+1 Xn+1 a11 a12 ....a1n 1 0 ....0 b1
Cn+2 Xn+2 a21 a22 ....a2n 0 1 ....0 b2
.... .... .... .... .... .... .... .... ....
.... .... .... .... .... .... .... .... ....
Cn+m Xn+m am1 am2 ....amn 0 0 ....1 bm
Zj Z1 Z2 ....Zn Zn+1 Zn+2 ....Zn+m CBTB
Cj - Zj C1-Z1 C2-Z2 ....Cn-Zn Cn+1-Zn+1 Cn+2-Zn+2 Cn+m-Zn+m
En este problema habrá m variables básicas con un valor
positivo y n variables no básicas con valor cero, para que
exista una solución básica factible.

11. ITERACION 0
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
6 12 1 0 120
8 4 0 1 64
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Maximizar Z = 200 X1 + 240 X2 + 0 S1 + 0 S2
Sujeto a:
6 X1 + 12 X2 + 1 S1 + 0 S2 = 120
8 X1 + 4 X2 + 0 S1 + 1 S2 = 64
X1, X2, S1, S2  0

12. ITERACION 0
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Maximizar Z = 200 X1 + 240 X2 + 0 S1 + 0 S2
Sujeto a:
6 X1 + 12 X2 + 1 S1 + 0 S2 = 120
8 X1 + 4 X2 + 0 S1 + 1 S2 = 64
X1, X2, S1, S2  0

13. ITERACION 0
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj Cj-Zj<0
R0
1
R0
2

14. ITERACION 0
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2

15. ITERACION 0
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Vértice D
Solución básica. Vértice D: X1=0, X2=0, S1=120, S2=64
Para A (0, 10) Z = 2,400
Para B (4, 8) Z = 2,720
Para C (8, 0) Z = 1,600
Para D (0, 0) Z = 0

16. ITERACION 0
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Columna
pivote

17. ITERACION 0
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Columna
pivote
120/12 =10
64/4 =16

18. ITERACION 0
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Columna
pivote
120/12 =10 √
64/4 =16

19. ITERACION 0
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Columna
pivote
Fila pivote

20. ITERACION 1
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1 0
0 S2 0 1
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 0
R1
1
R1
2

21. ITERACION 1
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1 0
0 S2 0 1
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 0
R1
1
R1
2
R1
1 = R0
1/12

22. ITERACION 1
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 0 1
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 0
R1
1
R1
2
R1
1 = R0
1/12

23. ITERACION 1
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 0 1
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 0
R1
1
R1
2
R1
2= R0
2 - 4 R1
1
R0
2 8 4 0 1 64
-4R1
1
R1
2

24. ITERACION 1
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 0 1
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 0
R1
1
R1
2
R1
2= R0
2 - 4 R1
1
R0
2 8 4 0 1 64
-4R1
1 -2 -4 -1/3 0 -40
R1
2

25. ITERACION 1
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 0 1
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 0
R1
1
R1
2
R1
2= R0
2 - 4 R1
1
R0
2 8 4 0 1 64
-4R1
1 -2 -4 -1/3 0 -40
R1
2 6 0 -1/3 1 24

26. ITERACION 1
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 6 0 -1/3 1 24
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 0
R1
1
R1
2
R1
2= R0
2 - 4 R1
1
R0
2 8 4 0 1 64
-4R1
1 -2 -4 -1/3 0 -40
R1
2 6 0 -1/3 1 24

27. ITERACION 1
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 6 0 -1/3 1 24
Zj 120 240 20 0 2400
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 0
R1
1
R1
2

28. ITERACION 1
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
0 S1 6 12 1 0 120
0 S2 8 4 0 1 64
Zj 0 0 0 0 0
Cj - Zj 200 240 0 0 Cj-Zj<0
R0
1
R0
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 6 0 -1/3 1 24
Zj 120 240 20 0 2400
Cj - Zj 80 0 -20 0 Cj-Zj<0
ITERACION 0
R1
1
R1
2

29. Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 6 0 -1/3 1 24
Zj 120 240 20 0 2400
Cj - Zj 80 0 -20 0 Cj-Zj<0
R1
1
R1
2
ITERACION 1
Vértice A
Solución básica. Vértice A: X1=0, X2=10, S1=0, S2=24
Para A (0, 10) Z = 2,400
Para B (4, 8) Z = 2,720
Para C (8, 0) Z = 1,600
Para D (0, 0) Z = 0

30. ITERACION 2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 6 0 -1/3 1 24
Zj 120 240 20 0 2400
Cj - Zj 80 0 -20 0 Cj-Zj<0
R1
1
R1
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 1
R2
1
R2
2
Columna pivote
10/(1/2) = 20
24/6 = 4

31. ITERACION 2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 6 0 -1/3 1 24
Zj 120 240 20 0 2400
Cj - Zj 80 0 -20 0 Cj-Zj<0
R1
1
R1
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 1
R2
1
R2
2
Columna pivote
10/(1/2) = 20
24/6 = 4 √

32. ITERACION 2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 6 0 -1/3 1 24
Zj 120 240 20 0 2400
Cj - Zj 80 0 -20 0 Cj-Zj<0
R1
1
R1
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 0 1
200 X1 1 0
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 1
R2
1
R2
2
Columna pivote
Fila pivote

33. ITERACION 2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 6 0 -1/3 1 24
Zj 120 240 20 0 2400
Cj - Zj 80 0 -20 0 Cj-Zj<0
R1
1
R1
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 0 1
200 X1 1 0
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 1
R2
1
R2
2
R2
2 = R1
2/6

34. ITERACION 2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 6 0 -1/3 1 24
Zj 120 240 20 0 2400
Cj - Zj 80 0 -20 0 Cj-Zj<0
R1
1
R1
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 0 1
200 X1 1 0 -1/18 1/6 4
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 1
R2
1
R2
2
R2
2 = R1
2/6

35. ITERACION 2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 6 0 -1/3 1 24
Zj 120 240 20 0 2400
Cj - Zj 80 0 -20 0 Cj-Zj<0
R1
1
R1
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 0 1
200 X1 1 0 -1/18 1/6 4
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 1
R2
1
R2
2
R2
1= R1
1 – 1/2 R2
2
R1
1 1/2 1 1/12 0 10
-1/2R2
2
R2
1

36. ITERACION 2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 6 0 -1/3 1 24
Zj 120 240 20 0 2400
Cj - Zj 80 0 -20 0 Cj-Zj<0
R1
1
R1
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 0 1
200 X1 1 0 -1/18 1/6 4
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 1
R2
1
R2
2
R2
1= R1
1 – 1/2 R2
2
R1
1 1/2 1 1/12 0 10
-1/2R2
2 -1/2 0 1/36 -1/12 -2
R2
1

37. ITERACION 2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 6 0 -1/3 1 24
Zj 120 240 20 0 2400
Cj - Zj 80 0 -20 0 Cj-Zj<0
R1
1
R1
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 0 1
200 X1 1 0 -1/18 1/6 4
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 1
R2
1
R2
2
R2
1= R1
1 – 1/2 R2
2
R1
1 1/2 1 1/12 0 10
-1/2R2
2 -1/2 0 1/36 -1/12 -2
R2
1 0 1 1/9 -1/12 8

38. ITERACION 2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 6 0 -1/3 1 24
Zj 120 240 20 0 2400
Cj - Zj 80 0 -20 0 Cj-Zj<0
R1
1
R1
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 0 1 1/9 -1/12 8
200 X1 1 0 -1/18 1/6 4
Zj
Cj - Zj Cj-Zj<0
ITERACION 1
R2
1
R2
2
R2
1= R1
1 – 1/2 R2
2
R1
1 1/2 1 1/12 0 10
-1/2R2
2 -1/2 0 1/36 -1/12 -2
R2
1 0 1 1/9 -1/12 8

39. ITERACION 2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 1/2 1 1/12 0 10
0 S2 6 0 -1/3 1 24
Zj 120 240 20 0 2400
Cj - Zj 80 0 -20 0 Cj-Zj<0
R1
1
R1
2
Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 0 1 1/9 -1/12 8
200 X1 1 0 -1/18 1/6 4
Zj 200 240 140/9 40/3 2720
Cj - Zj 0 0 -140/9 -40/3 Cj-Zj<0
ITERACION 1
R2
1
R2
2

40. Cj 200 240 0 0
CB VB X1 X2 S1 S2 B
240 X2 0 1 1/9 -1/12 8
200 X1 1 0 -1/18 1/6 4
Zj 200 240 140/9 40/3 2720
Cj - Zj 0 0 -140/9 -40/3 Cj-Zj<0
ITERACION 2
R2
1
R2
2
Ya que todos los Cj – Zj,  0 entonces la tabla es óptima.
La respuesta final es: X1 = 4 y X2 = 8 (variables básicas) y
S1 = S2 = 0 (variables no básicas), y el valor de Z = 2720.
Vértice B
Para A (0, 10) Z = 2,400
Para B (4, 8) Z = 2,720
Para C (8, 0) Z = 1,600
Para D (0, 0) Z = 0

41. GRACIAS
Ing. Luis
Medina