1. Mejorando las habilidades en la Solución de Problemas a
través de Ambientes de Aprendizaje y Entrenamiento
Adaptativos y en Línea
LUIS NERI1, JULIETA NOGUEZ2, VÍCTOR ROBLEDO-RELLA1, GILBERTO HUESCA2
1
Departamento de Física y Matemáticas, Escuela de Ingeniería y Arquitectura, Tecnológico de
Monterrey, Campus Ciudad de México, Mexico. E-mail: neri@itesm.mx, vrobledo@itesm.mx
2
Departamento de Computación, Escuela de Ingeniería y Arquitectura, Tecnológico de Monterrey,
Campus Ciudad de México, Mexico. E-mail: jnoguez@itesm.mx
Resumen
En este estudio se evalúa la eficacia de un sistema de entrenamiento adaptativo en
línea, cuyo objetivo es mejorar la capacidad de los estudiantes para resolver
problemas de Física. El sistema muestra un conjunto de problemas de selección
múltiple, junto con la respuesta correcta y varios distractores cuidadosamente
diseñados, los cuales corresponden a los errores típicos que los estudiantes de
licenciatura cometen con más frecuencia, según la experiencia docente de los
autores. Dependiendo de la respuesta que un estudiante elija, el sistema le
proporciona retroalimentación adecuada y oportuna, adaptando el ambiente para el
despliegue de otros problemas relacionados, para incrementar su confianza y sus
habilidades de resolución de los mismos. De esta manera, el estudiante deberá
resolver un conjunto diferente de problemas, de diferentes niveles de dificultad, de
acuerdo a sus resultados y necesidades particulares de aprendizaje. El sistema
también tiene la capacidad de proveer otros recursos didácticos, tales como
tutoriales o entornos virtuales de aprendizaje, o como simuladores para el
aprendizaje activo, permitiendo repasar o mejorar la comprensión de los conceptos y
su aplicación a la solución de los problemas. Debido a su estructura flexible, el
sistema permite el intercambio de bancos de problemas y recursos didácticos entre
los distintos cursos y profesores. Adicionalmente, el sistema realiza un seguimiento
del desempeño del estudiante y genera informes específicos. Este software ha sido
probado con una muestra de 169 estudiantes universitarios de ingeniería inscritos en
el curso de Física I. Se aplicaron exámenes de conocimientos previos y posteriores
al uso del sistema. Después del examen previo se permitió a la mitad de los
estudiantes (definidos aleatoriamente) utilizar el sistema durante dos semanas. El
estudio mostró que los estudiantes que utilizaron el sistema Aaprender (el grupo
foco) tuvieron en promedio un aumento mayor en sus calificaciones, comparados
con los estudiantes que no utilizaron el sistema (el grupo de control). Esta
conclusión se apoya en un análisis estadístico basado en la prueba Z.
Palabras clave: Enseñanza de la Ingeniería, Solución de Problemas de Física,
Entrenamiento adaptativo en línea, Ganancias de aprendizaje
Introducción
La resolución de problemas es una de las técnicas más comunes usadas para
evaluar la comprensión de los estudiantes de conceptos físicos y su capacidad de
plantear y resolver problemas específicos en los cursos de Física, en diferentes
niveles de enseñanza. De hecho, los libros de texto típicos de Física incluyen una
serie de ejercicios y problemas al final del capítulo, para que los estudiantes puedan
practicar sus habilidades para resolver problemas (por ejemplo, [1], [2], [3]). Sin
embargo, cuando los estudiantes tratan de resolver un problema dado que a
menudo enfrentan grandes dificultades debido a la falta de una metodología para
abordarla o a dificultades en el procedimiento para resolverlo. Además, debido a sus
múltiples actividades, los profesores no suelen estar disponibles para ayudar

2. adecuadamente a los estudiantes cuando se encuentran con dificultades en la
resolución de problemas. Muchas veces los ayudantes del profesor no siempre son
la mejor opción para este fin. Por lo tanto, un sistema de entrenamiento para
resolución de problemas en línea disponible para los estudiantes, en cualquier
momento y en cualquier lugar, podría ser muy útil para apoyar el aprendizaje de los
estudiantes.
Hoy en día, el uso de herramientas en línea para ayudar a la enseñanza y el
aprendizaje de varias disciplinas de la Ingeniería, incluyendo la Física y las
Matemáticas, se está convirtiendo en una práctica común entre los profesores que
enseñan cursos de nivel licenciatura en las universidades más importantes del
mundo (por ejemplo, [4], [5], [6]). Es muy común encontrar publicaciones
relacionadas con el uso de entornos de aprendizaje basados en la Web para la
evaluación y capacitación para el trabajo del estudiante (por ejemplo, [7], [8], [9]). En
muchos casos una mejora significativa el desempeño del estudiante se informa (por
ejemplo, [8], [9], [10]). Sin embargo, como ha señalado [11], es importante
mencionar que estos sistemas por sí mismos no contribuyen significativamente al
proceso de aprendizaje, y es necesario un buen marco pedagógico para desarrollar
verdaderamente el aprendizaje efectivo del estudiante. También, es necesario un
sistema adaptativo que responde a las necesidades individuales del estudiante, de
forma progresiva y facilite la adquisición de conocimiento y habilidades, de acuerdo
al nivel de los estudiantes y a su dominio de un tema determinado, con el fin de
proporcionarles la mejor asistencia pedagógica, a través de su interacción con el
sistema [8], [9].
En el caso de la enseñanza de la Física, los llamados Sitios Web de
acompañamiento (Companion Websites), cuyos servicios se incluyen en los libros
de texto vendidos por las principales editoriales se han convertido en una
herramienta muy útil tanto para profesores y estudiantes. Ejemplos de estas
herramientas en línea incluyen MasteringPhysics (Pearson Inc.) [12], WileyPlus
(Wiley & Sons, Inc.) [13], Connect (McGraw-Hill, Inc.) [14], CengageNOW (Cengage)
[15], y WebAssign (Advance Sistemas de Instrucción Inc.) [16]. Estos sitios web
ofrecen el profesor y el estudiante con un amplio conjunto de ejercicios
especialmente diseñados y problemas agrupados, ya sea por disciplina o por libro
de texto. Ofrecen una herramienta útil al profesor para construir en línea pruebas,
tareas y exámenes que se califican automáticamente por el sistema. Estos sistemas
permiten dar seguimiento al desempeño de cada estudiante y mostrar las
estadísticas del curso en diferentes maneras, para que los profesores puedan
estudiar el comportamiento y revisar el avance de sus grupos. Sin embargo, la
retroalimentación dada a los estudiantes cuando se incurra en un error, ya sea de la
física o las matemáticas, todavía es demasiado general y se puede mejorar y si se
enfocara a acuerdo a las necesidades del cada estudiante en particular, teniendo en
cuenta su historial de interacción con el sistema.
Con este objetivo en mente, el Grupo de Investigación en e-Learning del
Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México, ha desarrollado un sistema
de entrenamiento en línea destinado a ayudar a los profesores para definir y
gestionar conjuntos apropiados de los problemas, por un lado, y para ayudar a los
estudiantes utilizar estos problemas para mejorar sus conocimientos y sus
habilidades para resolver problemas en el otro. Este sistema también permite el
intercambio de contenidos específicos de los diferentes profesores y cursos, y
genera informes específicos sobre el desempeño de los estudiantes. Este sistema
de entrenamiento adaptativo en línea se llama "Aaprender" y las versiones
preliminares de la misma se puede encontrar en [17] y [18]. El objetivo principal de
este trabajo es presentar la estructura básica de Aaprender y cómo fue utilizado
para promover habilidades de los estudiantes para resolver problemas de pregrado
Física.

3. La siguiente sección está dedicada a la estructura de Aaprender y cómo la
información de un determinado curso o materia se introduce en el sistema. Un
estudio de caso aplicado a varios cursos de licenciatura de Física se presenta en la
Sección 3. La Sección 4 describe el proceso de evaluación, mientras que en la
Sección 5 se presentan los resultados en términos de la Ganancia de Aprendizaje
Relativa Integrada, para los estudiantes que utilizaron Aaprender y para los
estudiantes que no lo utilizaron (en lo sucesivo "el grupo foco" y "el grupo de
control", respectivamente). En la última sección se presentan las principales
conclusiones de este estudio y el trabajo futuro.
2. AAPRENDER: Un ambiente de aprendizaje y entrenamiento adaptativo y en
línea
Aaprender se construye sobre la base de módulos definidos previamente para un
curso determinado (ya sea para un curso de Física o Matemáticas), vinculados a
través de redes jerárquicas para facilitar la navegación interior, y está destinado a
dar información oportuna adaptada a cada alumno según su interacción con el
sistema. Las principales características de Aaprender son:
§ Se basa en una estructura pedagógica para un curso impartido en donde los
conceptos se clasifican en un esquema jerárquico apropiado. Esta estructura
permite a los profesores para incorporar y compartir diversos recursos
pedagógicos (por ejemplo, problemas, ejercicios, simuladores, videos y
tutoriales) entre los diferentes módulos de un curso determinado o entre
diferentes cursos,
§ Proporciona información de adaptación a los estudiantes de acuerdo a sus
errores en particular,
§ Ofrece otros problemas la práctica con el fin de reforzar las habilidades de
los estudiantes para resolver problemas, donde la complejidad de los
problemas adicionales depende de las necesidades individuales del
estudiante y de la historia del estudiante de la interacción con el sistema, y
§ Proporciona informes estudiantes adecuado "desempeño para el profesor. La
estructura del sistema es flexible, adaptable y se puede aumentar con el fin
de satisfacer otros requisitos pedagógicos.
Aaprender ofrece diferentes servicios de acuerdo a la función de usuario. Cada
grupo de usuario (función) tiene permisos de entrada diferentes que definen el tipo
de funcionalidad que ofrece el sistema. La figura 1 muestra las principales funciones
del sistema permite al administrador, al jefe de departamento y el papel de profesor.
Un administrador es capaz de proporcionar acceso a todos los otros tipos de
usuario: jefe de departamento, profesores o estudiantes. El gerente también
establece el período de disponibilidad de los cursos y puede generar informes de
control específicos. El jefe del departamento le da permiso profesor para acceder al
sistema, el registro de la base de problemas del conocimiento (véase más adelante),
y consultar las estadísticas e informes sobre el rendimiento de los estudiantes. El
profesor, por el contrario, hace que el registro de los problemas de ejercicio por el
tema, el nivel de dificultad y el período; define los comentarios correspondientes
para el estudiante y los recursos de los medios de comunicación relacionados con
un ejercicio, y obtiene las estadísticas y los informes de sus grupos.

4.
Figura 1. Casos de uso funcionales de Aaprender
Para utilizar el sistema, el alumno puede optar por ingresar o un área de
entrenamiento o de un área de evaluación. A continuación, Aaprender muestra la
funcionalidad se muestra en la Figura 2. A continuación, el sistema muestra al
estudiante las diferentes áreas de contenido previamente definido por el profesor, y
cuando él/ella elija un módulo dado, el sistema muestra un conjunto de ejercicios
previamente definidas para ese módulo y el período en un orden aleatorio. El
estudiante puede tratar de resolver cada ejercicio varias veces, y cada vez el
sistema le brinda una retroalimentación adecuada para este ejercicio y una ruta de
navegación personalizado para continuar resolviendo los problemas de la lista dada.
Figura 2. Casos de uso del estudiante de Aaprender
Aaprender permite a los profesores crear un banco de problemas y recursos
didácticos que pueden ser compartidos entre los distintos cursos y resuelto en línea
por los estudiantes. La arquitectura del sistema está basada en SOA [19] como se
muestra en la Figura 3. Esta arquitectura tiene como objetivo proporcionar una
estructura para administrar los ejercicios o problemas de acuerdo a una estructura
previamente definida en el conocimiento del curso.

5. Graphical user
interface
Use rs
Web browser
Service interface
Problem Problem
management grading
Knowledge
Didactical
item
resources
management
management
Data access
interface
Ser ver
[ No n - co rr ec t]
[ On ly w eig ht fo rc e is
af fec tin g at p oi nt C? ]
[Ro llin g ]
[An in te rac tiv e F lash
sim u lat ion o f r oll ing
to pi c]
Didactic
Knowledge Problem Resource
Base Base Base
Figura 3. Arquitectura de software Aaprender
Este sistema utiliza tres bases de datos: una base de conocimientos, una base de
problemas y una base de recursos didácticos. En la base de conocimientos, los
profesores pueden definir la estructura de conocimiento de un curso. Esta estructura
es una organización gráfica jerárquica que indica las relaciones entre los principales
conceptos que se enseñan en un curso. Por ejemplo, la Figura 4 se muestra un
segmento de la gráfica jerárquica para el módulo movimiento de rotación de cuerpos
rígidos, de un curso básico de licenciatura de Física de nuestra institución.
Topic Rotational
Motion of Rigid
Bodies
Subtopic
Rotational Angular
Rotational Momentum
Kinematics
Dynamics
Concept
Energy Newton’s
conservation Fixed
Momentum Laws
Rolling Axes
of Inertia
Item
Center of Center of
Rotational
Torque Mass’ Mass’
Kinetic
acceleration Velocity
Energy
Figura 4. Segmento de la gráfica jerárquica del curso de Mecánica Clásica
El profesor con derechos de gestión utiliza la base de conocimientos, la base de
problemas, y la selección del profesor para permitir una clasificación de cada
conjunto de problemas en tres niveles que corresponden a su dificultad: Alto (H),
Intermedio (I) y baja (L). Estas categorías se utilizan para dar una navegación
adaptativa de los ejercicios, dependiendo de los resultados del estudiante y de la
historia de interacción con el sistema.
A los estudiantes se les pide resolver una primera serie de ejercicios (por lo general
de nivel I) del conjunto de problemas base. Cada problema puede tener asociados
problemas de menor grado de dificultad, correspondientes a los distractores o
respuestas incorrectas del problema original. De esta manera los estudiantes
pueden identificar el origen de sus errores y aprender con un ejercicio más simple.
En algunos casos, cuando la respuesta del alumno es correcta, se le pide resolver

6. un problema con el nivel de dificultad mayor, con el fin de motivar a los estudiantes
presentándoles nuevos desafíos. Si el alumno resuelve el problema relacionado con
el éxito, el sistema muestra el siguiente ejercicio del conjunto inicial. La Figura 5
muestra esta navegación adaptativa.
Higher difficulty exercises
Exercise 2-
A-H
Initial exercise set
Exercise 1 Exercise 2 Exercise n
Lower difficulty exercises
Exercise 1- Exercise 1-
a-L b-L
Figura 5. Navegación adaptativa de los ejercicios
La base de datos de recursos didácticos se utiliza para almacenar las herramientas
didácticas que ayudarán a los estudiantes en su proceso de aprendizaje. A través de
un módulo de gestión de recursos didácticos, el profesor puede almacenar un
conjunto de recursos didácticos, tales como laboratorios virtuales construidos con
Java, simuladores de Flash, vídeos, tutoriales u otros ambientes de aprendizaje.
Para cada elemento de este tipo, el profesor puede definir el conjunto de variables
que se pueden explorar en el experimento. Estos recursos didácticos pueden ser
vinculados a un problema para enriquecer el proceso de aprendizaje de los
estudiantes. Los recursos didácticos también pueden ser compartidos entre todos
los profesores con el acceso al sistema a fin de ser utilizados en sus cursos
específicos.
Los recursos didácticos tutoriales definen los conceptos básicos necesarios para
entender un fenómeno incluido en una declaración del problema. También se
pueden incluir explicaciones complementarias o ejemplos para reforzar lo aprendido
en el aula. Para cada lección, un profesor debe definir el nodo en el curso de los
conocimientos de base que se aborda en el tutorial. El objetivo principal de esta
organización es que los tutoriales se asignan directamente a los problemas (y
viceversa) para que los estudiantes y profesores puedan encontrar fácilmente los
recursos asignados a la estructura del curso.
Una vez que un problema o un tutorial se definen en el sistema, los profesores
pueden asignar a sus grupos. Cuando se selecciona un grupo de profesores de su
lista de cursos, el sistema muestra todos los problemas y tutoriales que están
disponibles para ese curso. Dado que los problemas se definen en una base de
datos común, esta lista contiene todos los problemas unidos a la base de la
estructura de los conocimientos del curso, que han sido previamente definidos por
los profesores con acceso al sistema. De esta lista, los profesores pueden
seleccionar los problemas a resolver por los alumnos y los tutoriales que también
puede tener acceso a ellos. Este proceso se puede repetir para todos los cursos que
un profesor tiene acceso.
Después de este proceso se lleva a cabo, los alumnos registrados pueden entrar en
el sistema para elegir un curso dentro de la lista de cursos en los que están inscritos.
A continuación, tendrán acceso a los problemas seleccionados por el profesor
correspondiente a dicho módulo del curso o cursos. Cuando los estudiantes hagan
clic en el botón "Responder", el sistema muestra el enunciado del problema
seleccionado. La vista del problema está dividida en tres partes. La primera parte
contiene la información del problema general. La segunda parte muestra el
enunciado del problema y la imagen asociada. La última parte incluye la respuesta

7. correcta, cuatro distractores, y un botón para enviar la respuesta seleccionada de los
estudiantes. Estas cinco opciones se muestran en un orden aleatorio cada vez que
un estudiante solicita que esta página para evitar la simple memorización o la copia
entre los estudiantes.
Cuando los estudiantes hacen clic en el botón "Calificar", el sistema realiza la
evaluación del problema, mediante la comparación de la respuesta dada por el
alumno y la respuesta correcta indicada por el profesor. Entonces, el sistema
almacena el intento y la información de la ruta de navegación, necesaria para crear
informes, tanto para el estudiante como para el profesor. Por último, el sistema
muestra los comentarios asociados a la respuesta seleccionada. Si hay un recurso
didáctico asociado al problema, la simulación, de vídeo, o el medio ambiente de
aprendizaje este se muestra. Los estudiantes pueden practicar con el recurso
didáctico con el fin de comprender mejor el fenómeno implícito en el problema.
Después de trabajar con el recurso didáctico, el alumno puede tratar de resolver el
problema original de nuevo.
Con el fin de poder dar seguimiento al proceso de aprendizaje de los estudiantes,
el sistema puede proporcionar a los profesores tres diferentes tipos de informes
acerca de las interacciones de los estudiantes dentro del sistema: un informe por
estudiante, un informe por problema y un informe por respuesta. Todos estos
informes pueden ser generados por un período específico de tiempo y se puede
descargar siempre que sea necesario. En la siguiente sección, se describe un caso
de estudio para un curso de Física.
3. CASO DE ESTUDIO: AAPRENDER APLICADO A UN CURSO DE FÍSICA.
El primer paso en este estudio fue definir los módulos y submódulos del curso
Física I (Mecánica Clásica) para los estudiantes de Ingeniería de nuestra institución.
Los módulos principales para este curso son los siguientes: I. Vectores y conceptos
básicos; II. Cinemática; III. Dinámica de la partícula; IV. Trabajo y energía, y V. Los
sistemas de partículas; VI. Movimiento de rotación de cuerpos rígidos y VII.
Equilibrio. Hasta ahora, la atención se ha centrado en los módulos III y VI, que
contienen los temas centrales del curso. Para estos dos módulos, se definió un
esquema jerárquico de elementos de conocimiento incluyendo los principales temas,
subtemas, conceptos y elementos específicos de conocimiento (“ítems”) del módulo,
así como las principales asociaciones entre estos conceptos. El esquema
correspondiente para el Módulo VI se muestra en la Figura 4. Estos esquemas
sirven como una guía para seleccionar problemas adecuados para los estudiantes.
Con el fin de alimentar el sistema de entrenamiento en línea, se seleccionó
cuidadosamente una serie de problemas para los módulos III y VI. Para el módulo
III, estos problemas cubren los temas de Dinámica lineal sin fricción, Dinámica lineal
con fricción y Dinámica del Movimiento Circular, mientras que para el Módulo VI, los
problemas cubren los temas de Torca, Momento de Inercia, Rotación del cuerpo
rígido alrededor de un eje fijo y Rodadura. Los problemas tienen una estructura y un
nivel similar a los de los problemas típicos incluidos en la mayoría de los libros de
texto de Física para ciencias e ingeniería (por ejemplo, [1], [2] y [3]).
Como se explicó en la sección anterior, cuando los estudiantes entran por
primera vez a Aaprender y eligen un grupo y luego un módulo, el sistema despliega
una lista de problemas iniciales a resolver de dicho módulo, previamente
seleccionados por el profesor. Estos "problemas iniciales" tienen un nivel de
dificultad similar al de los asignados para las tareas o exámenes mensuales por el
profesor y cubren los principales temas del módulo. Cada problema inicial tiene
cinco posibles respuestas: la respuesta correcta y cuatro distractores
cuidadosamente diseñados para que coincidan con los errores más comunes que
los estudiantes tienen para este tipo de problemas. La selección de distractores se

8. basa en la experiencia docente de los autores de más de 20 años trabajando con
estudiantes de ingeniería. De esta forma, para cada distractor se define una
retroalimentación específica. Esta retroalimentación será utilizada por el sistema con
el fin de ayudar a los estudiantes identificar el origen de sus errores. Una discusión
preliminar sobre los criterios seguidos para el diseño de los distractores se presenta
en [20].
Como se indicó en el párrafo anterior, la retroalimentación para cada
distractor consiste de una pregunta simple, aseveración, o sugerencia con el fin de
ayudar a los estudiantes a averiguar el origen de su error. En algunos casos,
también se pide a los estudiantes que resuelvan un problema asociado o “sub-
problema” diseñado para reforzar aquellos conceptos erróneos específicos
asociados con el distractor. De esta manera, un problema inicial puede tener varios
sub-problemas asociados, cada uno de ellos correspondiente a uno o varios
distractores para este problema inicial en particular. En la mayoría de los casos, el
nivel de dificultad del sub-problema es menor que la de su problema inicial
correspondiente, con el objetivo de que los estudiantes puedan identificar el origen
de sus errores en un ejercicio más simple. Una vez que los estudiantes han resuelto
correctamente el sub-problema, se les pide que intenten resolver otra vez el
problema inicial. Es conveniente mencionar que no todos los problemas iniciales
tienen necesariamente sub-problemas asociados. De hecho, para los problemas
iniciales más simples, la sugerencia o retroalimentación dada por el sistema debería
ser suficiente para que los estudiantes encuentren la fuente de su error. Sin
embargo, en algunos casos, cuando la respuesta del alumno al problema inicial es
correcta, se le pide ahora resolver un problema retador con un nivel de dificultad
superior. El objetivo de esto es mantenerlo motivado, como se mencionó antes.
Cada sub-problema también a su vez puede tener hasta cinco opciones
posibles, cada una con retroalimentación específica correspondiente. Una vez que el
estudiante encuentra la respuesta correcta para el sub-problema, el sistema le pide
que vuelva a resolver el problema original. Si la respuesta para el problema original
es correcta, entonces el sistema pide al estudiante que resuelva el siguiente
problema de la lista de problemas del módulo. De esta forma, para un módulo dado,
todos los estudiantes deberán resuelto todos los problemas de la lista inicial del
modulo, pero solamente un subconjunto de los sub-problemas del modulo,
dependiendo de los distractores que haya seleccionado para cada reactivo. De esta
manera, cada estudiante tendrá su propia ruta de navegación e información dentro
de la lista de problemas del módulo, proporcionándosele así una guía personalizada
para desarrollar sus habilidades particulares de resolución de problemas y
ayudándolo a comprender el origen de sus errores y conceptos erróneos
particulares. Se espera que esta forma de trabajo motive a los estudiantes para que
estudien y aprendan por su propia cuenta, esto es, se pretende promover su auto-
aprendizaje, lo cual es muy deseable para ellos.
Para ilustrar mejor cómo funciona el sistema Aaprender, en la Figura 6 se
incluye el mapa de navegación específico para los problemas del módulo VI. Un
mapa similar fue diseñado para el Módulo III. Los problemas iniciales se presentan
en la columna central, y los sub-problemas asociados correspondientes, de mayor y
menor dificultad, se presentan en las columnas izquierda y derecha,
respectivamente. Como se mencionó antes, el nivel de dificultad de cada problema
se indica mediante la letra final (H = Alta, I = Intermedio, L = Bajo). Los conceptos
asociados a cada problema particular del Módulo VI se indican en la Tabla 1.

9. 15.1A -I 15.1 -L
15.2A -I 15.2 -L
16.1-I 16.1a -L
16.2-I 16.2a -L
17.1-I 17.1a -L
17.2-L
17.5A -H 17.5-I 17.5a -L
18.1-H 18.1a -L
18.2-I 18.2a -L
18.3-I 18.3a -L
Problemas de Lista inicial Problemas de
Nivel Alto de Problemas Nivel Bajo
Figura 6. Mapa de navegación para los problemas iniciales y los sub-problemas
asociados para el módulo de Movimiento de Rotación de Cuerpos Rígidos
Tabla 1. Relación entre los problemas y los conceptos asociados para el módulo de
Rotación de Cuerpos Rígidos.
Problemas Concepto
15.1-L, 15.1A-I, 15.2-L, 15.2A-I Cinemática Rotacional
16.1-I, 16.1a-L, 16.2-I, 16.2a-L Torca
17.1-I, 17.1a-L, 17.2-L Momento de Inercia
17.5A-H, 17.5-I, 17.5a-L Eje Fijo
18.1-H, 18.1a-L, 18.2-I, 18.2a-I, 18.3-I, 18.3a-L Rodadura
Como ejemplo de la navegación dentro del sistema, la relación entre los
problemas 17.5-I, 17.5AH y 17.5aL se muestra en la figura 6 (véase el cuadro de
líneas discontinuas). Los enunciados, las respuestas correctas, los distractores, los
comentarios e instrucciones que deben seguir los estudiantes se presentan en la
Figura 7.
Problema 17.5-I – Un volante de radio R = 10 cm y momento de inercia I = 0.5 kg·m2 puede girar libremente sobre baleros sin
fricción alrededor de un eje fijo. Se enrolla una cuerda alrededor del volante y se amarra a un bloque de masa M = 2 kg block por
el otro extreme, como se muestra. El bloque reposa sobre una superficie horizontal sin fricción y está también conectado a un
resorte ligero de constante de fuerza k = 500 N/m, el cual a su vez está amarrado a una pared vertical fija. El sistema está
inicialmente en reposo y el resorte está en su posición de equilibrio. Se hace girar el volante con una manivela externa en la
dirección de las manecillas del reloj, enrollando así una porción adicional de cuerda alrededor del volante, desplazando
simultáneamente al bloque hacia la izquierda y alargando de esta forma el resorte una distancia d = 20 cm. En esta posición el
resorte se suelta del reposo. Encuentra la rapidez del bloque cuando pasa de regreso por suposición inicial.
a) 0.620 m/s b) 3.16 m/s c) 1.96 m/s d) 62.0 m/s e) 2.83 m/s
R
I
M k

10. Opción Guía o Retroalimentación
Respuesta ¡Felicidades! Ahora resuelve el problema 17.5A-H y después continúa con el problema 18.1-H.
correcta: “a”
Distractor “b” ¿Qué pasó con la energía cinética del volante? Resuelve el problema 17.5a-L antes de intentar de nuevo el
problema 17.5-I.
Distractor “c” No confundir la fuerza del resorte con su energía potencial elástica .
Distractor “d” Cuidado: v = ω r
Distractor “e” No confundir la velocidad inicial del bloque con la velocidad angular del volante.
Respuesta correcta “a” D
i
Problema 17.5A-H. Repite el problema 17.5-I suponiendo ahora que existe un coeficiente s
de fricción cinética µk = 0.3 entre el bloque y la superficie horizontal. t
a) 0.582 m/s b) 0.620 m/s c) 0.398 m/s d) 0.656 m/s
r
Opción Guía o retroalimentación a
Respuesta ¡Felicidades! Puedes continuar ahora con el problema 18.1-H.
correcta: “a”
c
Distractor “b” ¿Qué pasó con el trabajo realizado por la fuerza de fricción? t
Distractor “c” ¿Cuáles son las unidades del trabajo realizado por la fuerza de fricción? o
Distractor “d” ¿Cuál es el signo del trabajo realizado por la fuerza de fricción? ¿La r
velocidad del bloque con fricción es mayor que sin fricción?
b
Problema 17.5a-L Un bloque de masa M = 5.00 kg cuelga de una cuerda ligera amarrada a una polea, como se muestra. La
polea puede girar libremente alrededor de un eje horizontal sin fricción dirigido hacia fuera del plano de la figura. El momento de
inercia de la polea con respecto a este eje es I = 0.100 kg·m2. La cuerda no se resbala sobre la polea y el sistema se suelta del
reposo. ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando cae una distancia de 90.0 cm?
a) 2.43 m/s b) 4.20 m/s c) 1.88 m/s d) 4.01 m/s
I
R
M
Opción Guía o retroalimentación
Respuesta ¡Felicidades! Puedes continuar ahora con el problema 17.5-I otra vez.
correcta: “a”
Distractor “b” ¿Está el bloque en caída libre? ¿Qué pasó con la energía cinética de la polea?
Distractor “c” ¿Cómo se calculó la energía cinética rotacional de la polea?
Distractor “d” ¿Cómo se calculó la energía cinética rotacional de la polea?
Figura 7. Problema 17.5-I y los sub-problemas asociados 17.5A-H y 17.5a-L
Hay 5 opciones en la solución del problema inicial 17.5 I. El proceso de
navegación es como sigue:
i) Si los estudiantes seleccionan la respuesta correcta (opción "a"), se les
felicita y se les pide que resuelvan ahora el sub-problema 17.5H, que es de mayor
nivel de dificultad. Este sub-problema se ha diseñado específicamente para que los
estudiantes comprendan el efecto que se produce al incluir fuerzas de fricción en el
problema 17.5-I. Como se muestra en la Figura 7, el sub-problema 17.5AH también
tiene, a su vez, varias opciones de respuesta, cada una con su retrolimentación
correspondiente. Se requiere que los estudiantes resuelvan este sub-problema
correctamente antes de continuar con el siguiente problema de la lista: el problema
18.1-H.
ii) Si los estudiantes seleccionan la opción incorrecta "b", el sistema les
proporciona cierta guía o retroalimentación adecuada para este distractor (en este
ejemplo, el no haber incluido la energía cinética de rotación), y se les pide que
resuelvan el sub-problema 17.5aL, de menor nivel de dificultad, antes de volver a
intentar resolver otra vez el problema 17.5-I. En este caso, el sub-problema 17.5aL
ha sido diseñado específicamente para que los estudiantes revisen el concepto de
energía cinética de rotación en un caso más sencillo que el del problema 17.5-I.
Obsérvese que el sub-problema 17.5aL también tiene varias opciones de respuesta
asociadas, cada una con una guía para que los estudiantes puedan encontrar el
origen se sus errores, en su caso.
iii) Si los estudiantes seleccionan las opciones (incorrectas) "c", "d" o "e", el
sistema les proporciona información para ayudarles a encontrar el origen de su error
y les solicitará intentar resolver el problema de 17.5-I otra vez. No hay sub-
problemas asociados a estos tres distractores.

11. De esta manera, los estudiantes deben completar el ciclo incluido en cada
problema o sub-problema, hasta que los hayan resuelto correctamente. Una vez
logrado esto, el sistema pide a los estudiantes que continúen con el siguiente
problema en la lista original del modulo (en el ejemplo, el problema 18.1H). De esta
manera, los estudiantes practican con problemas de diferente nivel de dificultad y
fortalecen de esta forma su habilidad de resolución de problemas y su
autoaprendizaje.
4. PROCESO DE EVALUACIÓN.
Con el fin de evaluar el impacto de Aaprender en el desarrollo de habilidades para la
resolución de problemas, se escogió a los estudiantes de ingeniería inscritos en
cuatro clases del curso de Física I del Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de
México, de los semestres agosto-diciembre de 2008 y enero- mayo de 2009. Estas
clases fueron impartidas por dos profesores diferentes (dos de los autores), cada
uno a cargo de dos grupos académicos. La muestra total de estudiantes se dividió
en dos grupos de estudio: un grupo foco el cual tuvo acceso al sistema Aaprender
(NFOCO = 64 estudiantes) y un grupo de control que no utilizó este software (NCONTROL
= 105 estudiantes), constituyéndose así una muestra total de N = 169 estudiantes.
Los estudiantes se distribuyeron aleatoriamente entre estos dos grupos, cuidando
tener una distribución equitativa de alumnos de diferentes rendimientos académicos
en ambos grupos de estudio. Además, se tuvo cuidado de tener la misma
proporción, tanto en el grupo foco como en el grupo de control, de estudiantes de
cada grupo académico y de cada profesor. Aaprender se aplicó en tres periodos de
prueba o corridas, uno en el semestre agosto-diciembre de 2008 y dos en el
semestre enero-mayo de 2009. Las poblaciones de estudiantes que participaron en
cada periodo de prueba se muestran en la Tabla 2.
Tabla 2. Fechas y poblaciones de estudiantes que participaron en los tres periodos
de pruebas, o corridas, de Aaprender.
Periodo de prueba Semestre NFOCO NCONTROL
A Aug - Dec 2008 31 35
B Jan - May 2009 20 38
C Jan - May 2009 13 33
Total 64 105
En cada periodo de prueba se aplicó un examen previo (pre-test) y un
examen posterior (post-test) tanto al grupo foco como al grupo de control con el fin
de comparar los resultados de estas dos poblaciones. El pre-test y el post-test
fueron muy similares tanto en su estructura como en su nivel de dificultad.
Asimismo, el nivel de dificultad de los problemas incluidos en estos exámenes fue
muy similar al de los problemas que se incluyeron en el sistema Aaprender, y al de
los problemas típicos que se incluyen al final del capítulo de la mayoría de libros de
texto de Física para estudiantes de ingeniería (por ejemplo, [1], [2], [3]). El pre-test y
post-test fueron diseñados específicamente para medir las habilidades del
estudiante para resolver problemas. En efecto, para encontrar la respuesta correcta
el estudiante necesita entender el problema, hacer un planteamiento adecuado del
mismo, y llevar a cabo las operaciones matemáticas correspondientes para
encontrar las incógnitas requeridas.
El pre-test y el post-test consistieron de tres problemas de Física de opción
múltiple, con cinco opciones para cada problema. Ambos exámenes fueron
aplicados en el aula y todos los estudiantes (tanto foco como de control) tuvieron

12. aproximadamente 20 minutos para contestar el examen. Con el fin de preservar la
uniformidad de los datos, todos los exámenes de los tres periodos de prueba fueron
calificados por el mismo profesor, siguiendo el mismo criterio para calificar cada
problema. La escala de calificación de los exámenes fue de 0 a 100 puntos.
Se tuvo cuidado en procurar condiciones similares, tanto como fuese posible,
para la aplicación del pre-test y del post-test en los grupos foco y de control. El pre-
test se aplicó en todos los periodos de prueba antes de que el profesor comenzara a
discutir los temas correspondientes en la clase. Posteriormente, a los estudiantes
del grupo foco se les permitió tener acceso al sistema Aaprender y se les dieron
instrucciones específicas para practicar con el sistema durante las siguientes dos
semanas. Simultáneamente se entregó material escrito con problemas similares a
los estudiantes del grupo de control. Mientras tanto, el profesor continuó exponiendo
normalmente los temas de sus clases en sus grupos académicos. Después de este
período de pruebas de dos semanas, se aplicó el post-test a ambos grupos de
estudio: foco y de control. Es conveniente mencionar que los alumnos de los grupos
foco pudieron usar el sistema Aaprender tantas veces como quisieran dentro del
periodo previsto de dos semanas, mientras que a los estudiantes de control se les
pidió que practicaran con problemas similares en papel durante el mismo plazo. No
se solicitó ningún tiempo mínimo de la práctica ni a los estudiantes foco ni a los de
control. Se observó que el número promedio de accesos por estudiante foco al
sistema Aaprender durante el período de pruebas fue de aproximadamente 10, con
algunos estudiantes que entraron al sistema incluso más de 20 veces. De hecho, es
interesante observar que muchos estudiantes foco se sintieron muy motivados para
dedicar un tiempo extra para la práctica con el software, lo que indica que el uso del
sistema los alentó a que dedicaran más tiempo estudiando en comparación con los
estudiantes de control.
5. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
a) Ganancias relativas individuales del estudiante. Con el fin de analizar los
resultados de este estudio, calculamos primero las ganancias relativas individuales
del estudiante de manera similar a [21]:
!"#$! !!"#!
Ganancia relativa para el estudiante “i”: !! = (1)
!""!!"#!
Donde Prei y Posti son las calificaciones del pre-test y del post-test obtenidas por el
estudiante “i”, respectivamente. En la figura 8 se grafican las ganancias relativas
individuales de cada estudiante en dos secuencias diferentes: una para los
estudiantes del grupo foco (rombos sólidos) y otra para los estudiantes del grupo de
control (triángulos vacíos). Por claridad, se han superpuesto ambas secuencias
ordenadas por ganancia creciente. Se encontró que los estudiantes del grupo foco
tienen una proporción mayor de ganancias positivas comparados con los
estudiantes del grupo de control.

13. Relative Gain for individual students
Focus Group Control Group
0.90
Student relative gain, g_i
0.70
0.50
0.30
0.10
-0.10 0 20 40 60 80 100
-0.30
-0.50
Student
Figura 8. Ganancias relativas de los estudiantes, gi, para el grupo foco (diamantes) y
para el grupo de control (triángulos). Ambas secuencias están ordenadas por orden
creciente de ganancia.
b) Pre-test, post-test y ganancias relativas promedio. Con el fin de comparar a mayor
detalle las ganancias del grupo foco y del grupo de control, se calculó también el
promedio del pre-test, del post-test y de las ganancias relativas para cada grupo de
estudio, definidos de la siguiente manera, donde N es el número de estudiantes en
un grupo dado.
Promedio de la calificación del pre-test (2).
Promedio de la calificación del post-test (3).
Promedio de la ganancia relativa individual (4).
Dado que el tipo de muestras y procesos de medición empleados fueron
similares durante el estudio, se agruparon las muestras de los tres periodos de
prueba para obtener una muestra mayor. Los resultados obtenidos se presentan en
la tabla 3, que incluye las poblaciones totales del grupo foco y del grupo de control, y
los correspondientes pre-test promedio, post-test promedio y ganancias relativas
promedio. Se incluyen también las desviaciones estándar correspondientes. Como
se muestra en la tabla 3, el promedio de la calificación del pre-test es muy similar
para los grupos foco y los grupos de control, lo cual indica que las habilidades
iniciales de resolución de problemas de los estudiantes antes de la utilización del
software son similares para ambos grupos, como se esperaba (36 y 37,
respectivamente). Sin embargo, el promedio de la calificación del post-test, es mayor
para el grupo foco que para el grupo de control (69 vs 57, respectivamente), lo cual
indica que los estudiantes del grupo foco obtuvieron ganancias de aprendizaje
mayores que los estudiantes del grupo de control. Debido a que las desviaciones
estándar obtenidas son bastante grandes, y con el fin de probar esta última
hipótesis, aplicamos una prueba estadística Z para comprobar si la diferencia de

14. estas dos cantidades promedio es o no significativa (ver [22]). Se encontró que, con
una certeza del 95%, la diferencia (<Pre>FOCO – <Pre>CONTROL) no es significativa,
pero la diferencia (<Post>FOCO – <Post>CONTROL) sí es significativa y se encuentra en
el intervalo [4.4, 19]. Este resultado muestra que la calificación promedio del post-
test obtenida por el grupo foco es estadísticamente mayor que la calificación
promedio obtenida por el grupo de control.
Tabla 3. Promedio y Desviación estándar del Pre-test, Post-test y Ganancias
relativas, para el grupo foco y el grupo de control.
Grupo N <Pre> <Post> <gi>
Foco 64 36 ± 18 69 ± 24 0.51 ± 0.37
Control 105 37 ± 18 57 ± 25 0.26 ± 0.54
La tabla 3 también muestra que la ganancia relativa promedio es mayor para
los estudiantes del grupo foco, <gi>FOCO, que para los estudiantes del grupo de
control, <gi>CONTROL. Al igual que antes, se realizó una prueba Z con estos datos y se
encontró que la diferencia entre las dos ganancias relativas promedio también es
significativa, con una confiabilidad del 95%, y se encuentra en el intervalo [0.12,
0.39], lo que indica que la ganancia relativa promedio para el grupo foco es
estadísticamente mayor que la del grupo de control.
c) Ganancia relativa integrada. Además de las ganancias relativas de los
estudiantes, se calculó también la ganancia relativa “integrada”, G, para cada
periodo de prueba (A, B and C), y para la muestra completa, tanto para el grupo foco
como para el grupo de control, definida en [21]:
!!"#$!!!!"#!
Ganancia relativa integrada para un grupo dado: != (5).
!""!!!"#!
Las tablas 4 y 5 muestran los resultados obtenidos para los grupos foco y de
control, respectivamente. De manera similar a [21], en la figura 9 se muestra una
gráfica de la ganancia relativa integrada vs. el promedio del pre-test, para cada
periodo de prueba A, B y C, y para la muestra total. La ganancia relativa integrada
de los grupos foco se muestran con símbolos llenos, mientras que la ganancia
relativa integrada de los grupos de control se muestran con símbolos vacíos. A partir
de la figura 9 se concluye que la ganancia integrada promedio es mayor para los
grupos foco que para los grupos de control en cada una de los tres periodos de
prueba, al igual que para la muestra completa. Como es de esperarse, este
resultado es consistente con las pruebas Z mencionadas anteriormente. De hecho,
para la muestra completa encontramos que GFOCO = 0.51 mientras que GCONTROL =
0.32 (ver tablas 4 and 5).
Tabla 4. Ganancias relativas para los tres periodos de prueba A, B y C, y para el
número total de estudiantes del grupo foco.
Periodo de prueba N <Pre> <Post> G
(FOCO)
A 31 31 71 0.58
B 20 35 66 0.47
C 13 49 68 0.37
Total 64 36 69 0.51
Tabla 5. Ganancias relativas para los tres periodos de prueba A, B y C, y para el
número total de estudiantes del grupo de control.

15. Run N < Pre > < Pos > G
(CONTROL)
A 35 31 64 0.48
B 37 35 54 0.29
C 33 46 53 0.13
Total (All) 105 37 57 0.32
Integrated Relative Gain vs. Pre-Test
A - Focus B - Focus C - Focus Total - Focus
A - Control B - Control C - Control Total - Control
1
0.9
0.8
Integrated Relative Gain, G
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 20 40 60 80 100
Pre-Test
Figura 9. Ganancia relativa integrada vs. Calificación del Pre-test para lospreriodos
de prueba A (cuadrados), B (diamantes), C (triángulos) y para la muestra total
(circles). Los símbolos llenos y vacíos indican datos para los grupos foco y de
control, respectivamente.
Los resultados de este estudio basados en las mediciones de pre-test y de
post-test muestran que los estudiantes del grupo foco obtuvieron ganancias de
aprendizaje mayores comparados con los estudiantes del grupo de control. Esto
sugiere que el uso del sistema Aaprender mejora las habilidades de resolución de
problemas de los estudiantes y promueve la comprensión de conceptos por parte de
los estudiantes. Vale la pena mencionar que dos profesores adicionales del
Tecnológico de Monterrey también utilizaron el software durante el período agosto-
diciembre de 2009 en un curso de Introducción a la Física. Los resultados
preliminares obtenidos son consistentes con la afirmación de que los estudiantes del
grupo foco obtienen ganancias de aprendizaje mayores que los estudiantes del
grupo de control (trabajo en preparación…).
6. CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO
Un factor clave en la enseñanza de la ingeniería es la práctica de resolución de
problemas. Aaprender, es una herramienta de aprendizaje en línea que ofrece a los
estudiantes la oportunidad de adquirir confianza en sí mismos antes de realizar
tareas formales o exámenes de evaluación. El sistema proporciona información
adecuada y oportuna a los estudiantes para alentarlos a que continúen su
aprendizaje mediante la resolución de ejercicios. Los ejercicios contenidos en

16. Aaprender fueron diseñados cuidadosamente, así como los distractores y las
acciones tutoriales correspondientes. Dada la interacción del estudiante con el
sistema, se le presenta a cada estudiante un recorrido de navegación diferente
dentro del sistema y cada estudiante debe resolver un conjunto diferente de
problemas dentro de un módulo dado, de acuerdo a su necesidades individuales de
aprendizaje. De esta manera se promueve el auto-aprendizaje en los estudiantes.
Estas conclusiones apoyan la idea de que esta herramienta de
entrenamiento en línea permite que el tiempo que el estudiante invierte en su
estudio sea más productivo. De hecho, los estudiantes se mostraron motivados por
usar el sistema y se sentían más comprometidos en la solución de los problemas,
comparados con los alumnos que no lo utilizaron. Definitivamente, las generaciones
actuales de estudiantes están más familiarizados con el uso de tecnologías de
información y comunicaciones que las generaciones anteriores. Es por esto que el
uso de un sistema como Aaprender puede ser muy útil para promover el auto-
aprendizaje de los estudiantes. Otro factor que motivó a los estudiantes que
utilizaron el sistema es que dado que está el sistema usa la computadora, permite el
uso de tutoriales y simuladores de aprendizaje activo. Estamos en proceso de
ampliar nuestra investigación y extender el sistema para crear ambientes más ricos
de capacitación en línea para apoyar el proceso de enseñanza - aprendizaje.
Los resultados derivados del estudio de caso animan a los autores de este
trabajo para aumentar el número de problemas contenidos en cada uno de los
módulos, así como el número de recursos didácticos y tutoriales asociados. En
particular, consideramos que deben añadirse más recursos visuales (simuladores,
vídeos, etc.) para reforzar el aprendizaje. Debido a su flexibilidad y capacidades, el
sistema Aaprender también se puede utilizar para otras disciplinas de ingeniería,
tales como Matemáticas y Ciencias de la Computación. Estamos actualmente
desarrollando un conjunto de problemas, distractores y tutoriales asociados para
usar Aaprender en cursos de Matemáticas y Ciencias de la Computación en el
campus Ciudad de México.
Desde el punto de vista educativo, se encontró que: a) la herramienta de
evaluación utilizada pre-test/ post-test permite poner a prueba la utilidad y eficacia
del sistema, b) los resultados obtenidos usando una muestra de 169 estudiantes de
pregrado en cursos de Física apuntan en la dirección correcta, en el sentido de que
los estudiantes que utilizaron el sistema obtuvieron una ganancia de aprendizaje
integrada promedio mayor que los alumnos que no lo utilizaron, c) las encuestas de
opinión de los estudiantes sobre la usabilidad del sistema también fueron
satisfactorias. Además, los recursos didácticos relacionados con los problemas
refuerzan el proceso de aprendizaje de los estudiantes de acuerdo a los objetivos
pedagógicos del curso.
Por otra parte, desde el punto de vista tecnológico, las ventajas del sistema
son: a) permite la creación de bancos de reactivos y la utilización de recursos
didácticos de diferentes tipos (videos, simulaciones en Flash, entornos de
aprendizaje en Java) que pueden compartirse entre diferentes profesores y/o cursos,
b) ofrece al estudiante acceso en línea a estos recursos, sin restricciones de tiempo
ni lugar, y c) proporciona retroalimentación pertinente y oportuna a los estudiantes.
Algunos proyectos futuros relacionados con esta investigación incluyen:
a) Llevar a cabo un análisis detallado de la distribución de ocurrencia de los
distractores. Esto permitirá mejorar la estrategia utilizada en el diseño de los
reactivos, así como de los distractores y la retroalimentación hacia el alumno
correspondiente a cada distractor.
b) El desarrollo de una versión mejorada de Aaprender que contendrá conjuntos de
problemas dinámicos generados algorítmicamente, como se muestra en [23]. En
esta versión, los valores numéricos de las variables de un problema dado cambian

17. dentro de un rango previamente establecido cada vez que un estudiante
interacciona con el sistema. Esto combate que los estudiantes copien, así como la
simple memorización de resultados y ejercicios (más frecuente de lo que uno
desearía…). Además esta versión mejorada, no es de opción múltiple, sino que el
estudiante debe introducir la respuesta numérica correcta incluyendo sus unidades,
con un formato específico, dentro de un campo (o campos) provisto(s) para este fin.
c) La integración de Aaprender con dispositivos móviles (mLearning) de modo que
tanto los estudiantes como los profesores puedan beneficiarse del acceso a los
recursos del sistema a través de dispositivos móviles aprovechando así los “tiempos
muertos”…
d) La creación de un conjunto de herramientas de autoría con el fin de ayudar a los
profesores a construir un grafo instruccional que definirá la secuencia de problemas
que debe resolver cada estudiante. Estas herramientas de autoría usarán la
representación gráfica jerárquica del curso con el fin de ayudar en la creación de
modelos de dominio y en modelos del estudiante destinados para desarrollar un
Sistema Tutor Inteligente asociado con los recursos didácticos.
El acceso al sistema Aaprender para el curso de Física está disponible en:
http://elearning2.ccm.itesm.mx:8080/Aaprender (contactar a Julieta Noguez:
jnoguez@itesm.mx)
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo fue apoyado por el Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de
México, a través de la cátedra de investigación en eLearning. Los autores desean
agradecer al Dr. Gerardo Aguilar Sánchez por su ayuda en la aplicación de las
pruebas Z.
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