Este documento presenta los conceptos fundamentales sobre los planos en el espacio tridimensional. Explica cómo tres puntos no colineales determinan un plano y cómo se pueden expresar los planos a través de ecuaciones vectoriales, paramétricas, normales y cartesianas. Además, define conceptos como paralelismo, perpendicularidad, ángulo entre planos, distancia de un punto a un plano e intersección de planos.

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EL PLANO EN EL ESPACIO
Matemática Básica, 2022 - II
Docente: LUCIO CACERES ESPINOZA

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante:
Reconoce las formas de expresar la plano en el espacio ,así como las
posiciones relativas del plano en el espacio tridimensional como el
paralelismo , perpendicularidad e intersección de los planos.

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Consideremos la siguiente
proposición:
Tres puntos no colineales
determina un plano ,tal como
se observa la figura, con dichos
Generamos dos vectores no
Paralelos.
Con estas consideraciones
Definiremos el plano en el espacio
tridimensional

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
ECUACION VECTORIAL DEL PLANO
Consideremos los vectores
𝐮 y 𝐯 vectores no paralelos,
y el vector 𝐀𝐁 ,este vector lo
Escribimos de la siguiente
Forma:
𝐀𝐁 = 𝐭𝐮 + 𝐬𝐯 ,se deduce que
𝐁 = 𝐀 + 𝐭𝐮 + 𝐬𝐯 ,donde t y s∈ ℝ
Por consiguiente la ecuación
𝛑: 𝐁 = 𝐀 + 𝐭𝐮 + 𝐬𝐯 se le llama
Ecuación vectorial de la recta

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Ejercicio: Hallar la ecuación vectorial del plano determinado por
los puntos A(3,-1,2) , B(0,2,1) y C(5,4,6)

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
OBSERVACION
Los valores de s y t se le llaman parámetros los cuales son de tipo real
ECUACION PARAMETRICA DEL PLANO
Considemos la ecuación vectorial del plano:
𝛑: 𝐁 = 𝐀 + 𝐭𝐮 + 𝐬𝐯
Si 𝐁=(x,y,z) , A=(𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎) , 𝐮=(𝐮𝟏, 𝐮𝟐, 𝐮𝟑) y 𝐯=(𝐯𝟏, 𝐯𝟐, 𝐯𝟑),entonces se
tiene:
𝛑:
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒕𝐮𝟏 + 𝒔𝐯𝟏
𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒕𝐮𝟐 + 𝒔𝐯𝟐
𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝒕𝐮𝟑 + 𝒔𝐯𝟑

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
ECUACION NORMAL DEL PLANO
Consideremos los vectores que
Generan el plano P, 𝐮 𝒚 𝐯 ,dado
El producto vectorial 𝐧 = 𝐮 × 𝐯
Este vector es normal al plano P
Y perpendicular al vector 𝐀𝐁 es
Decir 𝐧. 𝐀𝐁 =0 ,de este resultado
Se define la ecuación normal del
Plano P:
P: 𝐧. 𝐀𝐁 =0

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
OBSERVACIONES
De la ecuación P: 𝐧. 𝐀𝐁 =0 se deduce
P:𝐧𝟏 𝐱 − 𝐱𝟎 + 𝐧𝟐 𝐲 − 𝐲𝟎 + 𝐧𝟑 𝐳 − 𝐳𝟎 =0
De la observación anterior se tiene:
P:𝐧𝟏𝐱 + 𝐧𝟐𝐲+ 𝐧𝟑𝐳 = 𝐃
Esta ecuación se denomina la ecuación cartesiana del plano P

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Ejercicio:

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
PARALELISMO ENTRE DOS PLANOS
Sean dos planos Q: 𝐏 = 𝐏𝟎 + 𝐭𝐮 + 𝐬𝐯 , R: 𝐏 = 𝐐𝟎 + 𝐭𝐰 + 𝐬𝐦 , se dice
que dichos planos son paralelos ,si sus vectores normales son
paralelos es decir:
𝑸 ∥ 𝑹 ⟺ 𝒏𝟏 ∥ 𝒏𝟐 ⟺ 𝐧𝟏 = 𝐫𝐧𝟐 o 𝐧𝟐 = 𝐬𝐧𝟏
OBSERVACIONES
𝐧𝟏 = 𝐀𝟏, 𝐁𝟏, 𝐂𝟏 = 𝐮 × 𝐯 𝐲 𝐧𝟐 = 𝐀𝟐, 𝐁𝟐, 𝐂𝟐 = 𝐰 × 𝐦 son los vectores
normales de los planos
Las ecuaciones cartesianas de dichos planos se expresa por:
Q:𝐀𝟏𝐱 + 𝐁𝟏𝐲+ 𝐂𝟏𝐳 = 𝐃𝟏 y P: 𝐀𝟐𝐱 + 𝐁𝟐𝐲+ 𝐂𝟐𝐳 = 𝐃𝟐

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
ORTOGONALIDAD DE PLANOS
Sean dos planos Q: 𝐏 = 𝐏𝟎 + 𝐭𝐮 + 𝐬𝐯 , R: 𝐏 = 𝐐𝟎 + 𝐭𝐰 + 𝐬𝐦 , se dice
que dichos planos son ortogonales o perpendiculares ,si sus vectores
normales son perpendiculares es decir:
𝑸 ⊥ 𝑹 ⟺ 𝒏𝟏 ⊥ 𝒏𝟐 ⟺ 𝐧𝟏. 𝐧𝟐=0
OBSERVACIONES
𝐧𝟏 = 𝐀𝟏, 𝐁𝟏, 𝐂𝟏 = 𝐮 × 𝐯 𝐲 𝐧𝟐 = 𝐀𝟐, 𝐁𝟐, 𝐂𝟐 = 𝐰 × 𝐦 son los vectores
normales de los planos , la ortogonalidad de dichos planos se expresa
por:
𝐧𝟏. 𝐧𝟐=0 ⟺ 𝐀𝟏, 𝐁𝟏, 𝐂𝟏 . 𝐀𝟐, 𝐁𝟐, 𝐂𝟐 =0 ⟺ 𝐀𝟏 𝐀𝟐+ 𝐁𝟏 𝐁𝟐+ 𝐂𝟏 𝐂𝟐=0

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
GRAFICA DEL PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD DE PLANOS

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Ejercicio:

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Ejercicio:

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
ANGULO DIEDRO ENTRE PLANOS
Dos planos P y Q forman dos ángulos diedros 𝛉 𝒚 𝟏𝟖𝟎𝟎- 𝛉 ,tal como
la figura se muestra ,es suficiente conocer uno de los angulos.Uno de
estos ángulos es igual al ángulo formado por los vectores normales,
entonces:
𝐜𝐨𝐬 𝛉 =
𝐧𝟏. 𝐧𝟐
∥ 𝐧𝟏 ∥∥ 𝐧𝟐 ∥

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
REPRESENTACION GRAFICA DEL ANGULO ENTRE DOS PLANOS

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Ejercicio
Halle el ángulo entre los planos 𝜋1 𝑦𝜋2

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
Consideremos un plano Q en su
forma cartesiana A𝐱 + 𝐁𝐲+ C𝐳 = 𝐃
y 𝐏𝟏(𝐱𝟏, 𝐲𝟏, 𝐳𝟏) un punto en el
espacio.
Si d es la distancia del punto 𝐏𝟏 𝐱𝟏, 𝐲𝟏, 𝐳𝟏
al plano Q esta definida por:
𝐝 =
𝐀 𝐱𝟏 − 𝐱𝟎 + 𝐁 𝐲𝟏 − 𝐲𝟎 + 𝐂(𝐳𝟏 − 𝐳𝟎)
𝐀𝟐 + 𝐁𝟐 + 𝐂𝟐
donde 𝐏𝟎 𝐱𝟎, 𝐲𝟎, 𝐳𝟎 es un punto del plano

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
OBSERVACIONES
La distancia del punto al plano Q se expresa por:
𝐝 =
𝐀𝐱𝟏 + 𝐁𝐲𝟏 + 𝐂𝐳𝟏 + 𝐃
𝐀𝟐 + 𝐁𝟐 + 𝐂𝟐
La distancia entre dos planos paralelos esta dado por:
A𝐱 + 𝐁𝐲+ C𝐳 = 𝐃𝟏 𝐲 A𝐱 + 𝐁𝐲+ C𝐳 = 𝐃𝟐
𝐝 =
𝑫𝟏−𝑫𝟐
𝐀𝟐+𝐁𝟐+𝐂𝟐

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
INTERSECCION DE PLANOS
Dos planos P y Q no son paralelos ,entonces su intersección es una
recta ,es decir:
𝐏 ∩ 𝐐 = 𝐋

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El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Ejercicio: Halle la intersección de los siguientes planos

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