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00042591082IE01S11086394SEMANA12(CORREGIDO).pptx

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  1. 1. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados EL PLANO EN EL ESPACIO Matemática Básica, 2022 - II Docente: LUCIO CACERES ESPINOZA
  2. 2. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante: Reconoce las formas de expresar la plano en el espacio ,así como las posiciones relativas del plano en el espacio tridimensional como el paralelismo , perpendicularidad e intersección de los planos.
  3. 3. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Consideremos la siguiente proposición: Tres puntos no colineales determina un plano ,tal como se observa la figura, con dichos Generamos dos vectores no Paralelos. Con estas consideraciones Definiremos el plano en el espacio tridimensional
  4. 4. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL ECUACION VECTORIAL DEL PLANO Consideremos los vectores 𝐮 y 𝐯 vectores no paralelos, y el vector 𝐀𝐁 ,este vector lo Escribimos de la siguiente Forma: 𝐀𝐁 = 𝐭𝐮 + 𝐬𝐯 ,se deduce que 𝐁 = 𝐀 + 𝐭𝐮 + 𝐬𝐯 ,donde t y s∈ ℝ Por consiguiente la ecuación 𝛑: 𝐁 = 𝐀 + 𝐭𝐮 + 𝐬𝐯 se le llama Ecuación vectorial de la recta
  5. 5. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Ejercicio: Hallar la ecuación vectorial del plano determinado por los puntos A(3,-1,2) , B(0,2,1) y C(5,4,6)
  6. 6. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL OBSERVACION Los valores de s y t se le llaman parámetros los cuales son de tipo real ECUACION PARAMETRICA DEL PLANO Considemos la ecuación vectorial del plano: 𝛑: 𝐁 = 𝐀 + 𝐭𝐮 + 𝐬𝐯 Si 𝐁=(x,y,z) , A=(𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎) , 𝐮=(𝐮𝟏, 𝐮𝟐, 𝐮𝟑) y 𝐯=(𝐯𝟏, 𝐯𝟐, 𝐯𝟑),entonces se tiene: 𝛑: 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒕𝐮𝟏 + 𝒔𝐯𝟏 𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒕𝐮𝟐 + 𝒔𝐯𝟐 𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝒕𝐮𝟑 + 𝒔𝐯𝟑
  7. 7. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL ECUACION NORMAL DEL PLANO Consideremos los vectores que Generan el plano P, 𝐮 𝒚 𝐯 ,dado El producto vectorial 𝐧 = 𝐮 × 𝐯 Este vector es normal al plano P Y perpendicular al vector 𝐀𝐁 es Decir 𝐧. 𝐀𝐁 =0 ,de este resultado Se define la ecuación normal del Plano P: P: 𝐧. 𝐀𝐁 =0
  8. 8. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL OBSERVACIONES De la ecuación P: 𝐧. 𝐀𝐁 =0 se deduce P:𝐧𝟏 𝐱 − 𝐱𝟎 + 𝐧𝟐 𝐲 − 𝐲𝟎 + 𝐧𝟑 𝐳 − 𝐳𝟎 =0 De la observación anterior se tiene: P:𝐧𝟏𝐱 + 𝐧𝟐𝐲+ 𝐧𝟑𝐳 = 𝐃 Esta ecuación se denomina la ecuación cartesiana del plano P
  9. 9. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Ejercicio:
  10. 10. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
  11. 11. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL PARALELISMO ENTRE DOS PLANOS Sean dos planos Q: 𝐏 = 𝐏𝟎 + 𝐭𝐮 + 𝐬𝐯 , R: 𝐏 = 𝐐𝟎 + 𝐭𝐰 + 𝐬𝐦 , se dice que dichos planos son paralelos ,si sus vectores normales son paralelos es decir: 𝑸 ∥ 𝑹 ⟺ 𝒏𝟏 ∥ 𝒏𝟐 ⟺ 𝐧𝟏 = 𝐫𝐧𝟐 o 𝐧𝟐 = 𝐬𝐧𝟏 OBSERVACIONES 𝐧𝟏 = 𝐀𝟏, 𝐁𝟏, 𝐂𝟏 = 𝐮 × 𝐯 𝐲 𝐧𝟐 = 𝐀𝟐, 𝐁𝟐, 𝐂𝟐 = 𝐰 × 𝐦 son los vectores normales de los planos Las ecuaciones cartesianas de dichos planos se expresa por: Q:𝐀𝟏𝐱 + 𝐁𝟏𝐲+ 𝐂𝟏𝐳 = 𝐃𝟏 y P: 𝐀𝟐𝐱 + 𝐁𝟐𝐲+ 𝐂𝟐𝐳 = 𝐃𝟐
  12. 12. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL ORTOGONALIDAD DE PLANOS Sean dos planos Q: 𝐏 = 𝐏𝟎 + 𝐭𝐮 + 𝐬𝐯 , R: 𝐏 = 𝐐𝟎 + 𝐭𝐰 + 𝐬𝐦 , se dice que dichos planos son ortogonales o perpendiculares ,si sus vectores normales son perpendiculares es decir: 𝑸 ⊥ 𝑹 ⟺ 𝒏𝟏 ⊥ 𝒏𝟐 ⟺ 𝐧𝟏. 𝐧𝟐=0 OBSERVACIONES 𝐧𝟏 = 𝐀𝟏, 𝐁𝟏, 𝐂𝟏 = 𝐮 × 𝐯 𝐲 𝐧𝟐 = 𝐀𝟐, 𝐁𝟐, 𝐂𝟐 = 𝐰 × 𝐦 son los vectores normales de los planos , la ortogonalidad de dichos planos se expresa por: 𝐧𝟏. 𝐧𝟐=0 ⟺ 𝐀𝟏, 𝐁𝟏, 𝐂𝟏 . 𝐀𝟐, 𝐁𝟐, 𝐂𝟐 =0 ⟺ 𝐀𝟏 𝐀𝟐+ 𝐁𝟏 𝐁𝟐+ 𝐂𝟏 𝐂𝟐=0
  13. 13. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL GRAFICA DEL PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD DE PLANOS
  14. 14. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Ejercicio:
  15. 15. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Ejercicio:
  16. 16. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL ANGULO DIEDRO ENTRE PLANOS Dos planos P y Q forman dos ángulos diedros 𝛉 𝒚 𝟏𝟖𝟎𝟎- 𝛉 ,tal como la figura se muestra ,es suficiente conocer uno de los angulos.Uno de estos ángulos es igual al ángulo formado por los vectores normales, entonces: 𝐜𝐨𝐬 𝛉 = 𝐧𝟏. 𝐧𝟐 ∥ 𝐧𝟏 ∥∥ 𝐧𝟐 ∥
  17. 17. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL REPRESENTACION GRAFICA DEL ANGULO ENTRE DOS PLANOS
  18. 18. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Ejercicio Halle el ángulo entre los planos 𝜋1 𝑦𝜋2
  19. 19. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO Consideremos un plano Q en su forma cartesiana A𝐱 + 𝐁𝐲+ C𝐳 = 𝐃 y 𝐏𝟏(𝐱𝟏, 𝐲𝟏, 𝐳𝟏) un punto en el espacio. Si d es la distancia del punto 𝐏𝟏 𝐱𝟏, 𝐲𝟏, 𝐳𝟏 al plano Q esta definida por: 𝐝 = 𝐀 𝐱𝟏 − 𝐱𝟎 + 𝐁 𝐲𝟏 − 𝐲𝟎 + 𝐂(𝐳𝟏 − 𝐳𝟎) 𝐀𝟐 + 𝐁𝟐 + 𝐂𝟐 donde 𝐏𝟎 𝐱𝟎, 𝐲𝟎, 𝐳𝟎 es un punto del plano
  20. 20. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL OBSERVACIONES La distancia del punto al plano Q se expresa por: 𝐝 = 𝐀𝐱𝟏 + 𝐁𝐲𝟏 + 𝐂𝐳𝟏 + 𝐃 𝐀𝟐 + 𝐁𝟐 + 𝐂𝟐 La distancia entre dos planos paralelos esta dado por: A𝐱 + 𝐁𝐲+ C𝐳 = 𝐃𝟏 𝐲 A𝐱 + 𝐁𝐲+ C𝐳 = 𝐃𝟐 𝐝 = 𝑫𝟏−𝑫𝟐 𝐀𝟐+𝐁𝟐+𝐂𝟐
  21. 21. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL INTERSECCION DE PLANOS Dos planos P y Q no son paralelos ,entonces su intersección es una recta ,es decir: 𝐏 ∩ 𝐐 = 𝐋
  22. 22. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD El PLANO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Ejercicio: Halle la intersección de los siguientes planos
  23. 23. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados Datos de contacto ---------------------- Lcaceres untels Docente:LUCIO CACERES E.

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