Temáticas a desarrollar: - Límite de una función - Propiedades fundamentales de los límites - Límites unilaterales - Continuidad de una función - Cálculo de los límites

1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS
A continuación, sepresentanlos ejercicios gráficas y problemasde la tarea 3 asignadosen este grupode trabajo.
1. De acuerdo con la definición de derivada de una función 𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:
Ejercicio
Estudiante 1 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 2𝑥
Estudiante 2 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 2𝑥2
Estudiante 3 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
− 𝑥
Estudiante 4 𝑓(𝑥) = 4𝑥3
+ 4𝑥
Estudiante 5 𝑓(𝑥) = 2𝑥3
+ 2𝑥2
En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.
2.
Ejercicio
Estudiante 1 𝑓(𝑥) = (𝑥2
− 3)(√𝑥 + 2)
Estudiante 2 𝑓(𝑥) = (√𝑥 − 𝑥)(2𝑥2
− 2)
Estudiante 3 𝑓(𝑥) = (√𝑥 + 2)(2𝑥3
− 𝑥)
Estudiante 4 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)(2𝑥2
− √𝑥)
Estudiante 5 𝑓(𝑥) = (√𝑥 − 𝑥)(𝑒𝑥
+ 𝑥)
3.
Ejercicio
Estudiante 1
𝑓(𝑥) =
√𝑥 − 2
2𝑥2 + 3
Estudiante 2
𝑓(𝑥) =
√𝑥 + 1
2𝑥2 − 4
Estudiante 3
𝑓(𝑥) =
𝑥3
− 1
√𝑥 − 1

2. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS
Estudiante 4
𝑓(𝑥) =
𝑥2
− 3
𝑥2 − √𝑥
Estudiante 5
𝑓(𝑥) =
𝑒𝑥
− 𝑥
√𝑥 − 3
4.
Ejercicio
Estudiante 1 𝑓(𝑥) = (2𝑥2
+ 3)3
. (3𝑥)2𝑥
Estudiante 2 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 5)𝑥
. 𝑥3
Estudiante 3 𝑓(𝑥) = (3𝑥2
− 5𝑥)3
. (𝑥2
− 2)2𝑥
Estudiante 4 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 5𝑥)3𝑥 (2𝑥 − 2)2
Estudiante 5 𝑓(𝑥) = (2𝑥2
− 𝑥)𝑥 (1 − 𝑥)2
5. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.
Ejercicio
Estudiante 1 𝑥𝑦 + √1 − 𝑥2 = 20
Estudiante 2 𝑦2
− 2𝑥2
+ 6𝑥𝑦 − 4𝑥 = 5
Estudiante 3 𝑥4
+ 3𝑦3
− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2
Estudiante 4 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) = 3
Estudiante 5 ln(𝑥𝑦)2
− 𝑦3
= 25
6. Calcule las siguientes derivadas de orden superior.
Ejercicio Derivada de orden superior
Estudiante 1
𝑓(𝑥) = 𝑥5
+
3
5
𝑥4
− 3𝑥3
+ 6𝑥2 𝑓′′
(𝑥) =?
Estudiante 2 𝑓(𝑥) = 𝑒−5𝑥
+ 2𝑥2
𝑓′′′
(𝑥) =?
Estudiante 3 𝑓(𝑥) = 𝑥4
+ 2𝑥2
+ √𝑥 𝑓′′
(𝑥) =?

3. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS
Estudiante 4 𝑓(𝑥) = 𝑥6
+ 2𝑥5
+ √𝑥 − 3 𝑓′′′
(𝑥) =?
Estudiante 5 𝑓(𝑥) = (𝑥3
)(𝑥4
+ 1) 𝑓′′′
(𝑥) =?
Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la
función original, obtendrá la función derivada (ver contenido OVI derivadas en GeoGebra entorno de conocimiento Unidad 3).
Estudiante 1 a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 3𝑥 b. 𝑓(𝑥) = √𝑥
Estudiante 2 a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 4𝑥 b. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥)
Estudiante 3 a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 2𝑥 b. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
Estudiante 4 a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 3𝑥 b. 𝑓(𝑥) = cos(𝑥)
Estudiante 5 a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 5𝑥 b. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
Asignación Problemas
Estudiante 1
A Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) =
1
6
𝑥3
− 3𝑥 + 2
B El costo de producción de 𝑥 cantidad de producto en una fábrica está determinado por la expresión:
𝐶(𝑥) = 0.05𝑥3
+ 0.03𝑥2
+ 60
a. Encuentre la función de costo marginal 𝐶´(𝑥)
b. Encuentre el costo marginal cuando 2000 unidades son producidas.
Estudiante 2
A Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) =
1
6
𝑥3
− 3𝑥 + 3
B Una partícula se mueve en línea recta describiendo un recorrido dado por:
𝑠(𝑡) = 𝑡3
+ 4𝑡 + 4 , donde s está dado en m y t en segundos. Encuentre la velocidad para los tiempos t=2s y t=4s
Estudiante 3
A Una partícula se mueve en línea recta con posición relativa al origen dado por 𝑥(𝑡) = 40 − 𝑡2
+ 6𝑡 donde x se da en
metros y t está dado en segundos, con 𝑡 ≥ 0,

4. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS
a. Encuentre una expresión para la aceleración de la partícula.
b. Encuentre la aceleración de la partícula cuando t=8s
B Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) =
1
6
𝑥4
− 5𝑥 + 3
Estudiante 4
A El crecimiento de una palma de aceite está determinado por la expresión:
ℎ(𝑡) = 60 −
300
𝑡+20
, 𝑐𝑜𝑛 𝑡 𝑒𝑛 𝑎ñ𝑜𝑠 .
Encuentre la razón de crecimiento de la palma a los 3 años de haber sido plantada.
B
Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) =
1
6
𝑥3
− 𝑥 + 5
Estudiante 5
A La velocidad a la que se desplaza un auto deprotivo entre las o y 4 horas de de recorrido se representa con la expresión
𝑣(𝑡) = (2 − 𝑡). 𝑒𝑡
, donde t es el tiempo en horas y 𝑣(𝑡) es a velocidad en cientos de kilómetros/hora. Hallar en que
momento del intervalo [0,3]circula a la velocidad máxima, calcular dicha velocidad y la aceleración en ese instante. ¿Se
detuvo alguna vez? ¿En qué instante?
B Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) =
1
2
𝑥3
− 2𝑥 + 4