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“INTEGRALES DE SUPERFICIE. INTEGRALES DE FLUJO”
- 1. ANÁLISIS MATEMÁTICO II CIENCIASBÁSICAS TRABAJO PRÁCTICO 18 “INTEGRALES DE SUPERFICIE. INTEGRALES DE FLUJO” CLASE: 11 FECHA: 20/03/2024 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL LA PLATA
- 2. Integral de superficie Sepretende evaluar una función de tres variables sobre una superficie en el espacio. Estas integrales se expresan como: ඵ 𝑆 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 Para evaluarla necesitamos parametrizar la superficie S y luego realizar la integral sobre el dominio de los parámetros, resultando: ඵ 𝑆 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 = ඵ 𝐷 𝑓 𝑥 𝑢, 𝑣 ; 𝑦 𝑢, 𝑣 ; 𝑧(𝑢, 𝑣) ҧ 𝑟𝑢𝑥 ҧ 𝑟𝑣 𝑑𝐴 D: Es el dominio definido por los intervalos de ambos parámetros. ҧ 𝑟𝑢𝑥 ҧ 𝑟𝑣 : Es el modulo del product vectorial de las derivadas parciales de la función vectorial dada por la paramatrizacion de la superficie S.
- 3. Cálculo del áreade una superficie en el espacio mediante integral de superficie Si queremos calcular el área de una superficie, la función a integrar debe ser 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 Por lo tanto: 𝐴𝑆 = ඵ 𝑆 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 = ඵ 𝑆 𝑑𝑆 Para evaluarla necesitamos parametrizar la superficie S y luego realizar la integral sobre el dominio de los parámetros, resultando: 𝐴𝑆 = ඵ 𝑆 𝑑𝑆 = ඵ 𝐷 ҧ 𝑟𝑢𝑥 ҧ 𝑟𝑣 𝑑𝐴 D: Es el dominio definido por los intervalos de ambos parámetros. ҧ 𝑟𝑢𝑥 ҧ 𝑟𝑣 : Es el modulo del product vectorial de las derivadas parciales de la función vectorial dada por la paramatrizacion de la superficie S.
- 4. Campos vectoriales • Áreade una superficie • Integrales de Superficie • Integrales de Flujo
- 5. Campos vectoriales • Áreade una superficie • Integrales de Superficie • Integrales de Flujo
- 6. Ejercicio 1: Calcularel área de las siguientes superficies c) ҧ 𝑟 𝑢, 𝑣 = 2 cos 𝑢 𝑖 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑗 + 𝑣𝑘 ; con 0 ≤ 𝑣 ≤ 4 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑢 , 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋 TRABAJO PRÁCTICO 18 ቐ 𝑥 = 2cos(𝑢) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑧 = 𝑣 Tomando las 2 primeras ecuaciones, obtenemos: 𝑥2 + 𝑦2 = 4 Se trata de un cilindro circular recto de eje z y radio 2 Considerando la igualdad z=v y los límites del parámetro v, obtenemos: z = 4 − 𝑦 ; 𝑧 = 0 Ambos planos que limitan el cilindro.
- 7. Ejercicio 1: Calcularel área de las siguientes superficies c) ҧ 𝑟 𝑢, 𝑣 = 2 cos 𝑢 𝑖 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑗 + 𝑣𝑘 ; con 0 ≤ 𝑣 ≤ 4 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑢 , 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋 TRABAJO PRÁCTICO 18 S: ቊ 𝑥2 + 𝑦2 = 4 z = 0; 𝑧 = 4 − 2𝑦 Cilindro circular recto de eje z y radio 2 Planos 𝐴𝑆 = ඵ 𝑆 𝑑𝑆 = ඵ 𝐷 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 𝑑𝐴 ҧ 𝑟 𝑢, 𝑣 = 2 cos 𝑢 𝑖 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑗 + 𝑣𝑘 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑖 + 2𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑗 + 0𝑘 ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 = 0𝑖 + 0𝑗 + 𝑘 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘 −2𝑠𝑒𝑛(𝑢) 2cos(𝑢) 0 0 0 1 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 = 2 cos 𝑢 𝑖 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑗 + 0𝑘 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 = 4𝑐𝑜𝑠2𝑢 + 4𝑠𝑒𝑛2𝑢 + 0 = 2 𝐴𝑆 = න 0 2𝜋 න 0 4−2𝑠𝑒𝑛𝑢 2𝑑𝑣𝑑𝑢 = න 0 2𝜋 ۂ 2𝑣 4 − 2𝑠𝑒𝑛𝑢 0 𝑑𝑢 = න 0 2𝜋 8 − 4𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑢 = ۂ 8𝑢 − 4𝑐𝑜𝑠𝑢 2𝜋 0 = 16𝜋 𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎
- 8. Campos vectoriales • Áreade una superficie • Integrales de Superficie • Integrales de Flujo
- 9. Campos vectoriales • Áreade una superficie • Integrales de Superficie • Integrales de Flujo
- 10. Ejercicio 2: Calcularla integral de superficie c) 𝐟 𝐱, 𝒚, 𝒛 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ; 1 = 𝑥2 + 𝑦2 con 1 ≤ 𝑧 ≤ 2 TRABAJO PRÁCTICO 18 ඵ 𝑆 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 S: ቊ 𝑥2 + 𝑦2 = 1 z = 1 ; 𝑧 = 2 Cilindro circular recto de eje z y radio 1 Planos paralelos al xy La superficie sobre la que vamos a integrar es la porción Del cilindro entre los planos z=1 y z=2 Parametrizamos la superficie teniendo en cuenta su proyección Sobre el plano xy: ቐ 𝑥 = 1 cos(𝑢) 𝑦 = 1 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑧 = 𝑣 𝑢 1 ≤ 𝑣 ≤ 2 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋 ҧ 𝑟 𝑢, 𝑣 = cos 𝑢 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑗 + 𝑣𝑘
- 11. Ejercicio 4: Calcularla integral de superficie c) 𝐟 𝐱, 𝒚, 𝒛 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ; 1 = 𝑥2 + 𝑦2 con 1 ≤ 𝑧 ≤ 2 TRABAJO PRÁCTICO 18 ඵ 𝑆 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 ඵ 𝑆 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 = ඵ 𝐷 𝑓 𝑟(𝑢, 𝑣) ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 𝑑𝐴 ҧ 𝑟 𝑢, 𝑣 = cos 𝑢 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑗 + 𝑣𝑘 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 = −𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑗 + 0𝑘 ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 = 0𝑖 + 0𝑗 + 𝑘 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘 −𝑠𝑒𝑛(𝑢) cos(𝑢) 0 0 0 1 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 = cos 𝑢 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑗 + 0𝑘 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2𝑢 + 𝑠𝑒𝑛2𝑢 + 0 = 1 ඵ 𝑆 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑆 = න 0 2𝜋 න 1 2 (cos 𝑢 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑣) 1. 𝑑𝑣. 𝑑𝑢 ҧ 𝑟 𝑢, 𝑣 = cos 𝑢 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑗 + 𝑣𝑘
- 12. ඵ 𝑆 (𝑥 + 𝑦+ 𝑧)𝑑𝑆 = න 0 2𝜋 න 1 2 (cos 𝑢 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑣) 1. 𝑑𝑣. 𝑑𝑢 = න 0 2𝜋 cos 𝑢 𝑣 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑣 + 𝑣2/2 2 1 𝑑𝑢 = න 0 2𝜋 cos 𝑢 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 3 2 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 − cos 𝑢 + 3 2 𝑢 2𝜋 0 = 0 − 1 + 3𝜋 + 1 = 3𝜋 Ejercicio 4: Calcular la integral de superficie c) 𝐟 𝐱, 𝒚, 𝒛 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ; 1 = 𝑥2 + 𝑦2 con 1 ≤ 𝑧 ≤ 2 TRABAJO PRÁCTICO 18
- 13. Campos vectoriales • Áreade una superficie • Integrales de Superficie • Integrales de Flujo
- 14. Campos vectoriales • Áreade una superficie • Integrales de Superficie • Integrales de Flujo
- 15. Integral de flujo Unade las aplicaciones principales que emplean la forma vectorial de una integral de superficie se refiere al flujo de un fluido a través de una superficie S. Estas integrales se expresan como: ඵ 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ො 𝑛𝑑𝑆 Para evaluar esta integral también debemos recurrir a parametrización de S. El versor normal lo calcularemos a partir del producto vectorial entre las derivadas parciales de la función vectorial dividiendolo por su módulo: ො 𝑛 = ҧ 𝑟𝑢⋀ ҧ 𝑟𝑣 ҧ 𝑟𝑢⋀ ҧ 𝑟𝑣 Recordando que dS = ҧ 𝑟𝑢𝑥 ҧ 𝑟𝑣 𝑑𝐴 La integral se calculará como: ඵ 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ො 𝑛𝑑𝑆 = ඵ 𝐷 ത 𝐹 𝑥 𝑢, 𝑣 ; 𝑦 𝑢, 𝑣 ; 𝑧(𝑢, 𝑣) ҧ 𝑟𝑢⋀ ҧ 𝑟𝑣 ҧ 𝑟𝑢⋀ ҧ 𝑟𝑣 ҧ 𝑟𝑢𝑥 ҧ 𝑟𝑣 𝑑𝐴
- 16. Superficies orientadas. Es unasuperficie que tiene dos lados bien definidos, de modo tal que recorrerla, siempre se finaliza el recorrido en el mismo lado de partida. Una superficie no orientada es la cinta de Möbius. Cuando la superficie es cerrada, se considera positiva la orientación hacia el exterior de la misma La superficie orientada tiene dos caras y el vector normal puede apuntar en ambos sentidos. Puede ser que apunte hacia el lado interno de la superficie, es decir hacia «adentro» o hacia el lado externo o hacia «afuera». Cuando se obtenga el vector normal, a través del signo de sus componentes se determina cual de los dos es. Por defecto, el vector que se considera como «positivo» y se usa en los cálculos es el vector que apunta al lado externo de la superficie. En caso de necesitar el contrario, se cambia el signo de todas las componentes del vector y de esa manera obtenemos el vector en sentido opuesto.
- 17. hacia abajo) Ejercicio 3: Calcularla integral de flujo b) ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑦, −𝑥, 𝑧) ; 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 con 0 ≤ 𝑧 ≤ 3 (ො 𝑛 hacia abajo) TRABAJO PRÁCTICO 18 ඵ 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ො 𝑛𝑑𝑆 S: ቊ 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 z = 0; 𝑧 = 3 Comenzamos por identificar la superficie S: La superficie S será la porción del cono circular de eje z, por encima del plano xy y por debajo del plano z=3 Parametrizamos S : ቐ 𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑧 = 𝑟 Revisamos cómo se evalúa la integral de flujo: ඵ 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ො 𝑛𝑑𝑆 = ඵ 𝐷 ത 𝐹 ҧ 𝑟 𝑟, 𝜃 ҧ 𝑟𝑟⋀ ҧ 𝑟𝜃 ҧ 𝑟𝑟⋀ ҧ 𝑟𝜃 ҧ 𝑟𝑟⋀ ҧ 𝑟𝜃 dA ҧ 𝑟 𝑟, 𝜃 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗 + 𝑟𝑘 0 ≤ 𝑟 ≤ 3; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
- 18. hacia abajo) Ejercicio 3: Calcularla integral de flujo b) ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑦, −𝑥, 𝑧) ; 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 con 0 ≤ 𝑧 ≤ 3 (ො 𝑛 hacia abajo) TRABAJO PRÁCTICO 18 ඵ 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ො 𝑛𝑑𝑆 ඵ 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ො 𝑛𝑑𝑆 = ඵ 𝐷 ത 𝐹 ҧ 𝑟 𝑟, 𝜃 ҧ 𝑟𝑟⋀ ҧ 𝑟𝜃 ҧ 𝑟𝑟⋀ ҧ 𝑟𝜃 ҧ 𝑟𝑟⋀ ҧ 𝑟𝜃 dA ത 𝐹 𝑟 𝑟, 𝜃 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑖 + −𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗 + 𝑟 𝑘 ො 𝑛 = ҧ 𝑟𝑟⋀ ҧ 𝑟𝜃 ҧ 𝑟𝑟⋀ ҧ 𝑟𝜃 ҧ 𝑟𝑟 𝑟, 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗 + 1𝑘 ҧ 𝑟𝜃 𝑟, 𝜃 = −𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗 + 0𝑘 ҧ 𝑟𝑟 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝜃 𝑢, 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 −𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 0 ҧ 𝑟𝑟 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝜃 𝑢, 𝑣 = −𝑟 cos 𝜃 𝑖 − 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗 + 𝑟𝑘 ҧ 𝑟𝑟 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝜃 𝑢, 𝑣 = 𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑟2 = 2𝑟 ො 𝑛 = − 𝑟 cos 𝜃 𝑖 − 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗 + 𝑟𝑘 2𝑟 = +𝑟 cos 𝜃 𝑖 + 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗 − 𝑟𝑘 2𝑟 𝑑𝑆 = ҧ 𝑟𝑟⋀ ҧ 𝑟𝜃 𝑑𝐴 = 2𝑟. 𝑑𝐴 ඵ 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ො 𝑛𝑑𝑆 = ඵ 𝐷 ത 𝐹 ҧ 𝑟 𝑟, 𝜃 ҧ 𝑟𝑟⋀ ҧ 𝑟𝜃 ҧ 𝑟𝑟⋀ ҧ 𝑟𝜃 ҧ 𝑟𝑟⋀ ҧ 𝑟𝜃 dA (hacia abajo) = ඵ 𝐷 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑖 + −𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗 + 𝑟 𝑘 𝑟 cos 𝜃 𝑖 + 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗 − 𝑟𝑘 drd𝜃
- 19. Ejercicio 3: Calcularla integral de flujo b) ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑦, −𝑥, 𝑧) ; 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 con 0 ≤ 𝑧 ≤ 3 (ത 𝑛 hacia abajo) TRABAJO PRÁCTICO 18 ඵ 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ത 𝑛𝑑𝑆 ඵ 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ො 𝑛𝑑𝑆 = ඵ 𝐷 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑖 + −𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗 + 𝑟 𝑘 𝑟 cos 𝜃 𝑖 + 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗 − 𝑟𝑘 drd𝜃 ඵ 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ො 𝑛𝑑𝑆 = ඵ 𝐷 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟2 drd𝜃 ඵ 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ො 𝑛𝑑𝑆 = ඵ 𝐷 −𝑟2 drd𝜃 = න 0 2𝜋 න 0 3 −𝑟2𝑑𝑟𝑑𝜃 = − න 0 2𝜋 ቤ 𝑟3 3 3 0 𝑑𝜃 = − න 0 2𝜋 9𝑑𝜃 = −9 𝜃 2𝜋 0 = −18𝜋
- 20. ANÁLISIS MATEMÁTICO II CIENCIASBÁSICAS TRABAJO PRÁCTICO 18 “TEOREMA DE GAUSS. TEOREMA DE STOKES” CLASE: 11 FECHA: 20/03/2024 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL LA PLATA
- 21. Campos vectoriales • Teoremade Gauss o de la Divergencia • Teorema de Stokes
- 22. Campos vectoriales • Teoremade Gauss o de la Divergencia • Teorema de Stokes
- 23. Permite relacionar unaintegral de superficie con una integral triple, mediante la expresión: Teorema de la Divergencia o de Gauss 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ො 𝑛𝑑𝑆 = ම 𝑄 𝑑𝑖𝑣 ത 𝐹 𝑑𝑉 El flujo de ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 a través de una superficie cerrada 𝑆 es igual a la integral triple de la 𝑑𝑖𝑣 ത 𝐹 sobre el volumen 𝑄 que tiene por frontera a la superficie 𝑆. Este teorema nos otorga otro camino para calcular la integral de superficie. Es fundamental que: • La superficie sea cerrada • Las componentes del campo sean diferenciables sobre todo el sólido 𝑄, ya que debemos integrar la divergencia del campo, la cual involucra las derivadas parciales.
- 24. Ejercicio 1: Aplicarel teorema de la divergencia (Gauss) para calcular el flujo de ത 𝐹 hacia el exterior a través de la frontera de Q a) ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑦 − 𝑥)𝑖 + (𝑧 − 𝑦)𝑗 + (𝑦 − 𝑥)𝑘 donde Q es el cubo limitado por −1 ≤ 𝑥 ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1; −1 ≤ 𝑧 ≤ 1 TRABAJO PRÁCTICO 19 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ො 𝑛𝑑𝑆 = ම 𝑄 𝑑𝑖𝑣 ത 𝐹 𝑑𝑉 Q: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3/−1 ≤ 𝑥 ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1; −1 ≤ 𝑧 ≤ 1 Comenzamos por identificar el recinto Q: El teorema de Gauss nos permite calcular la integral de flujo sobre la superficie cerrada S, utilizando una integral triple: Ahora, identificamos las componentes del Campo Vectorial para determinar la divergencia: ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑦 − 𝑥)𝑖 + (𝑧 − 𝑦)𝑗 + (𝑦 − 𝑥)𝑘 𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦 − 𝑥 N 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧 − 𝑦 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑖𝑣 ത 𝐹 = 𝜕𝑀 𝜕𝑥 + 𝜕𝑁 𝜕𝑦 + 𝜕𝑃 𝜕𝑧 = −1 − 1 + 0 = −2
- 25. hacia abajo) TRABAJO PRÁCTICO 19 Apartir del Teorema װ 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ො 𝑛𝑑𝑆 = 𝑄 𝑑𝑖𝑣 ത 𝐹 𝑑𝑉 planteamos la integral triple: 𝑆 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 ො 𝑛𝑑𝑆 = ම 𝑄 𝑑𝑖𝑣 ത 𝐹 𝑑𝑉 = −16 Ejercicio 1: Aplicar el teorema de la divergencia (Gauss) para calcular el flujo de ത 𝐹 hacia el exterior a través de la frontera de Q a) ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑦 − 𝑥)𝑖 + (𝑧 − 𝑦)𝑗 + (𝑦 − 𝑥)𝑘 donde Q es el cubo limitado por −1 ≤ 𝑥 ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1; −1 ≤ 𝑧 ≤ 1 Q: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3/−1 ≤ 𝑥 ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 1; −1 ≤ 𝑧 ≤ 1 𝑑𝑖𝑣 ത 𝐹 = −2 = න −1 1 න −1 1 ȁ −2𝑥 1 −1 𝑑𝑦𝑑𝑧 = න −1 1 න −1 1 −4𝑑𝑦𝑑𝑧 = න −1 1 ȁ −4𝑦 1 −1 𝑑𝑧 = න −1 1 −8 𝑑𝑧 = −16 ම 𝑄 𝑑𝑖𝑣 ത 𝐹 𝑑𝑉 = න −1 1 න −1 1 න −1 1 −2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
- 26. Campos vectoriales • Teoremade Gauss o de la Divergencia • Teorema de Stokes
- 27. Campos vectoriales • Teoremade Gauss o de la Divergencia • Teorema de Stokes
- 28. Relaciona una integralsobre una curva cerrada con una integral de superficie, mediante la expresión: Teorema de Stokes La integral de la componente tangencial del campo a lo largo de una curva cerrada, recorrida una vez en sentido positivo, es igual a la integral de flujo del rotacional del campo vectorial sobre la superficie que tiene como borde a la curva cerrada. Debemos identificar la curva cerrada que es borde de la superficie y las componentes del campo deben ser diferenciables sobre la superficie ya que debemos integrar el rotacional, que involucra a las derivadas parciales. El vector normal en la integral de flujo siempre se toma el externo, pero luego en la integral curvilínea se debe recorrer la curva de forma tal que al aplicar la regla de la mano derecha, si cerramos en el sentido de recorrido, el pulgar apunte en el sentido del vector normal. ර 𝐶 ത 𝐹𝑑 ҧ 𝑟 = ඵ 𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐹 ො 𝑛𝑑𝑆
- 29. C Ejercicio 3: Aplicarel teorema Stokes para calcular la integral b) ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧𝑥2 𝑖 + 𝑧𝑒𝑥𝑦 − 𝑥 𝑗 + 𝑥𝐿𝑛𝑦2 𝑘 donde S es la porción de 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 sobre el plano xy TRABAJO PRÁCTICO 19 Lo que debemos hallar es el resultado de la integral de superficie de la componente normal del rotacional del campo, utilizando la integral de línea de la componente tangencial del campo sobre la curva frontera de la superficie: ඵ 𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐹ത 𝑛𝑑𝑆 Comenzamos por identificar la curva C y parametrizarla: ቐ 𝑥 = cos(𝑡) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑧 = 0 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 ቐ 𝑥 = cos 𝑡 → 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑑𝑡 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 → 𝑑𝑦 = cos 𝑡 𝑑𝑡 𝑧 = 0 → 𝑑𝑧 = 0 Graficando tenemos: un paraboloide circular y un plano horizontal, la curva cerrada (y borde de la superficie) surge como intersección del plano y el paraboloide. C: es la circunferencia de radio 1, centrada en el origen, ubicada sobre el plazo z=0 ර 𝐶 ത 𝐹𝑑 ҧ 𝑟 = ඵ 𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐹 ො 𝑛𝑑𝑆 (1) Calcularemos (1)
- 30. Ejercicio 3: Aplicarel teorema Stokes para calcular la integral b) ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧𝑥2 𝑖 + 𝑧𝑒𝑥𝑦 − 𝑥 𝑗 + 𝑥𝐿𝑛𝑦2 𝑘 donde S es la porción de 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 sobre el plano xy TRABAJO PRÁCTICO 19 ඵ 𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐹ത 𝑛𝑑𝑆 ර 𝐶 ത 𝐹𝑑𝑟 = ර 𝐶 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑧 ර 𝐶 ത 𝐹𝑑𝑟 = න 0 2𝜋 0𝑑𝑥 + −cos(𝑡) cos 𝑡 𝑑𝑡 + 0 ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧𝑥2 𝑖 + 𝑧𝑒𝑥𝑦 − 𝑥 𝑗 + 𝑥𝐿𝑛𝑦2 𝑘 ത 𝐹 𝑡 = 0𝑖 + −cos(𝑡) 𝑗 + cos(𝑡)𝐿𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑡 2 𝑘 ර 𝐶 ത 𝐹𝑑𝑟 = න 0 2𝜋 −𝑐𝑜𝑠2 𝑡𝑑𝑡 = න 0 2𝜋 − 1 2 1 + cos(2𝑡) 𝑑𝑡 = − 1 2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 2 2𝜋 0 = − 1 2 2𝜋 + 𝑠𝑒𝑛 4𝜋 2 ර 𝐶 ത 𝐹𝑑𝑟 = −𝜋
- 31. Ejemplo: Verificar elcumplimiento del Teorema de Stokes para calcular la integral b) ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧𝑥2 𝑖 + 𝑧𝑒𝑥𝑦 − 𝑥 𝑗 + 𝑥𝐿𝑛𝑦2 𝑘 donde S es la porción de 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 sobre el plano xy TRABAJO PRÁCTICO 19 ර 𝐶 ത 𝐹𝑑 ҧ 𝑟 = ඵ 𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐹 ො 𝑛𝑑𝑆 Ahora, calcularemos la integral de superficie para verificar el teorema: Comenzamos por parametrizar la superficie S: ቐ 𝑥 = 𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑣) 𝑦 = 𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑣) 𝑧 = 0 0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝑢 ≤ 1 ҧ 𝑟 𝑢, 𝑣 = ucos 𝑣 Ƹ 𝑖 + 𝑢𝑠𝑒𝑛 𝑣 Ƹ 𝑗 + 0 𝑘 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 = cos 𝑣 Ƹ 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝑣 Ƹ 𝑗 + 0 𝑘 ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 = −𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑣) Ƹ 𝑖 + 𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑣) Ƹ 𝑗 + 0 𝑘 ඵ 𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐹 ො 𝑛𝑑𝑆 = ඵ 𝐷 𝑟𝑜𝑡𝐹 ҧ 𝑟𝑢𝑥 ҧ 𝑟𝑣 ҧ 𝑟𝑢𝑥 ҧ 𝑟𝑣 ҧ 𝑟𝑢𝑥 ҧ 𝑟𝑣 𝑑𝐴 = ඵ 𝐷 𝑟𝑜𝑡𝐹 ҧ 𝑟𝑢𝑥 ҧ 𝑟𝑣 𝑑𝐴 Observamos que la curva es frontera tanto del paraboloide como del plano horizontal, pudiendo utilizar cualquiera de las superficies para el cálculo. Siendo el plano más sencillo es el que utilizaremos. Tenemos superficie con proyección regular y si bien se trata de un plano, la región de proyección es circular, por lo tanto podemos asociar con coord. cilíndricas
- 32. Ejercicio 3: Aplicarel teorema Stokes para calcular la integral b) ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧𝑥2 𝑖 + 𝑧𝑒𝑥𝑦 − 𝑥 𝑗 + 𝑥𝐿𝑛𝑦2 𝑘 donde S es la porción de 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 sobre el plano xy TRABAJO PRÁCTICO 19 ඵ 𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐹ത 𝑛𝑑𝑆 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 = cos 𝑣 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝑣 𝑗 − 2𝑢𝑘 ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 = −𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑣)𝑖 + 𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑣)𝑗 + 0𝑘 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝑐𝑜𝑠(𝑣) se𝑛(𝑣) 0 −𝑢𝑠𝑒𝑛(𝑣) 𝑢𝑐𝑜𝑠(𝑣) 0 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 = 0 𝑖 + 0 𝑗 + 𝑢 𝑐𝑜𝑠2 𝑣 + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑣) 𝑘 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 = 0𝑖 + 0𝑗 + 𝑢𝑘 Calculamos el rotacional del campo: 𝑟𝑜𝑡𝐹 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕/𝜕𝑥 𝜕/𝜕𝑦 𝜕/𝜕𝑧 𝑧𝑥2 𝑧𝑒𝑥𝑦 − 𝑥 𝑥𝐿𝑛𝑦2 = 2𝑦 𝑦2 𝑥 − 𝑧𝑒𝑥𝑦 𝑖 − 𝐿𝑛𝑦2 − 𝑥2 𝑗 + 𝑧𝑦𝑒𝑥𝑦 − 1 𝑘 Calculamos el producto vectorial de las derivadas parciales de la función vectorial:
- 33. Ejercicio 3: Aplicarel teorema Stokes para calcular la integral b) ത 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧𝑥2 𝑖 + 𝑧𝑒𝑥𝑦 − 𝑥 𝑗 + 𝑥𝐿𝑛𝑦2 𝑘 donde S es la porción de 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 sobre el plano xy TRABAJO PRÁCTICO 19 ඵ 𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐹ത 𝑛𝑑𝑆 ҧ 𝑟𝑢 𝑢, 𝑣 ∧ ҧ 𝑟𝑣 𝑢, 𝑣 = 0𝑖 + 0𝑗 + 𝑢𝑘 Utilizamos lo calculado para plantear la integral: 𝑟𝑜𝑡𝐹 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕/𝜕𝑥 𝜕/𝜕𝑦 𝜕/𝜕𝑧 𝑧𝑥2 𝑧𝑒𝑥𝑦 − 𝑥 𝑥𝐿𝑛𝑦2 = 2𝑦 𝑦2 𝑥 − 𝑧𝑒𝑥𝑦 𝑖 − 𝐿𝑛𝑦2 − 𝑥2 𝑗 + 𝑧𝑦𝑒𝑥𝑦 − 1 𝑘 ඵ 𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐹 ത 𝑛𝑑𝑆 = ඵ 𝐷 𝑟𝑜𝑡𝐹 ҧ 𝑟𝑢𝑥 ҧ 𝑟𝑣 𝑑𝐴 = ඵ 𝐷 𝑟𝑜𝑡𝐹 ҧ 𝑟𝑢𝑥 ҧ 𝑟𝑣 𝑑𝐴 = න 0 1 න 0 2𝜋 −1 𝑢 𝑑𝑣𝑑𝑢 = න 0 1 −𝑢 2𝜋𝑑𝑢 = −𝜋 𝐶𝑜𝑚𝑜 ර 𝐶 ത 𝐹𝑑 ҧ 𝑟 = −𝜋 = ඵ 𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐹 ത 𝑛𝑑𝑆 , 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐ó 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑇. 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑜𝑘𝑒𝑠.