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- 1. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados LÍMITES LATERALES. LÍMITES AL INFINITO. LÍMITES INFINITOS. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN MATEMÁTICA II DOCENTE: HAYDEÉ VERÓNICA TÚLLUME HUAYANAY
- 2. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD LÍMITES LATERALES Sea 𝒇: ℝ ⟶ ℝ una función real de variable real El límite lateral de la función 𝒇 por la izquierda de 𝐚, se presenta cuando el análisis se realiza restringiendo el dominio de la función 𝒇 al subconjunto 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∩ −∞, 𝐚 Definición. - 𝑳 es el límite lateral de 𝒇 cuando 𝒙 tiende a 𝐚 por la izquierda, se denota por si: ∀𝜺 > 𝟎: ∃𝜹 > 𝟎 𝐚 − 𝜹 < 𝒙 < 𝐚 ⟶ 𝒇 𝒙 − 𝑳 < 𝜺 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝐚− 𝒇(𝒙) = 𝑳
- 3. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 3 El límite lateral de la función 𝒇 por la derecha de 𝐚, se presenta cuando el análisis se realiza restringiendo el dominio de la función 𝒇 al subconjunto 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∩ 𝐚, +∞ . Definición. - 𝑳 es el límite lateral de 𝒇 cuando 𝒙 tiende a 𝐚 por la derecha se denota por: si 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝐚+ 𝒇(𝒙) = 𝑳 ∀𝜺 > 𝟎: ∃𝜹 > 𝟎 𝒙𝟎 < 𝒙 < 𝒙𝟎 + 𝜹 ⟶ 𝒇 𝒙 − 𝑳 < 𝜺
- 4. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 13/04/2024 4 Teorema . – Una función 𝒇 tiene límite en 𝒂 , si los límites laterales en 𝒂 existen y son iguales, esto es: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝑳 ⟺ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂− 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂+ 𝒇(𝒙) = 𝑳 Observación. – Del teorema anterior podemos decir que una función 𝑓 se dice que no tiene límite en 𝑥0 cuando los límites laterales existen y son diferentes o si uno de los límites laterales no existe.
- 5. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD Ejemplo. – Dada la función 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝟓, 𝒙 < −𝟏 𝒙𝟐 + 𝟏, −𝟏 < 𝒙 < 𝟐 𝟔 − 𝒙, 𝒙 > 𝟐 calcular en caso de existir cada uno de los siguientes límites a) 𝐥𝐢𝐦 𝒙⟶−𝟏 𝒇 𝒙 b) 𝐥𝐢𝐦 𝒙⟶𝟐 𝒇 𝒙 Solución a) De la definición de 𝑓 tenemos 𝒍𝒊𝒎 𝒙⟶−𝟏− 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙⟶−𝟏− (𝟑𝒙 Como 𝒍𝒊𝒎 𝒙⟶−𝟏− 𝒇 𝒙 = 𝟐 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙⟶−𝟏+ 𝒇 𝒙 luego por el teorema anterior 𝒍𝒊𝒎 𝒙⟶−𝟏 𝒇 𝒙 = 𝟐
- 6. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 6 b) Del mismo modo 𝒍𝒊𝒎 𝒙⟶𝟐− 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙⟶𝟐− 𝒙𝟐 + 𝟏 = (𝟐)𝟐 +𝟏 = 𝟓 𝒍𝒊𝒎 𝒙⟶𝟐+ 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙⟶𝟐− 𝟔 − 𝒙 = 𝟔 − 𝟐 = 𝟒 En este caso tenemos 𝒍𝒊𝒎 𝒙⟶𝟐− 𝒇 𝒙 = 𝟓 ≠ 𝟒 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙⟶𝟐+ 𝒇 𝒙 luego por el teorema anterior 𝒍𝒊𝒎 𝒙⟶𝟐 𝒇 𝒙 no existe
- 7. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 13/04/2024 7 Ejemplo. – Sea 𝒇 𝒙 = 𝟑 𝒙 − 𝟓 halle: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟓 𝒇 𝒙 si existe 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟓 𝒇 𝒙 Solución Haciendo uso de la definición de valor absoluto tenemos: 𝑓 𝑥 = −3 𝑥 − 5 , 𝑥 < 5 3 𝑥 − 5 , 𝑥 ≥ 5 De este modo: a) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟓− 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟓− 𝒙<𝟓 −𝟑(𝒙 − 𝟓) = −𝟑 𝟎 = 𝟎 b) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟓+ 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟓+ 𝒙>𝟐 𝟑(𝒙 − 𝟓) = 𝟑 𝟎 = 𝟎 Notamos que 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟓− 𝒇 𝒙 = 𝟎 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟓+ 𝒇 𝒙 , luego por teorema: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟓 𝒇 𝒙 = 𝟎
- 8. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 8 Ejemplo. – Sea 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟏, 𝒙 ≥ 𝟐 𝒙 + 𝟏, 𝒙 < 𝟐 halle, 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝒇 𝒙 si existe. Solución. – Hallando los límites laterales de 𝑓 a) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐− 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐− (𝒙 + 𝟏) = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑 b) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐+ 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐+ (𝒙 − 𝟏) = 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 De los resultados anteriores notamos que 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐− 𝒇 𝒙 ≠ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐+ 𝒇 𝒙 De este resultado por teorema concluimos que 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝒇 𝒙 no existe
- 9. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 9 Ejemplo. – Halle si existe 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙. 𝟏 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 Solución. – Notemos que (∗) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙. 𝟏 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙. 𝟏 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 𝟐𝒙𝟐 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙. 𝟏 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 𝟐𝒙𝟐 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙. 𝟏 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 𝟐 𝒙 Analizando los límites laterales 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎− 𝒙. 𝟏 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎− 𝒙. 𝟏 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 𝟐 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎− 𝒙. 𝟏 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 𝟐. (−𝒙) = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎− − 𝟏 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 𝟐 = − 𝟏 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎+ 𝒙. 𝟏 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎+ 𝒙. 𝟏 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 𝟐 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎+ 𝒙. 𝟏 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 𝟐. (𝒙) = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎+ 𝟏 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐
- 10. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 10 De los resultados anteriores notamos que 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎− 𝒙. 𝟏 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 = −𝟏 𝟐 ≠ 𝟏 𝟐 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎+ 𝒙. 𝟏 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 Luego por teorema 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒙. 𝟏 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 no existe
- 11. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 11 Límites al infinito. Cuando la variable 𝒙 de alguna función crece sin límite o toma valores muy grandes, diremos cuando 𝒙 tiende a +∞ Definición. – Sea 𝒇: ℝ ⟶ ℝ una función real de variable real, definida al menos en el intervalo 𝒙𝟎, +∞ y 𝑳 un número real. El límite de 𝒇(𝒙) cuando 𝒙 tiende a +∞ es 𝑳 , se escribe así 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒇(𝒙) = 𝑳 y se define mediante: ∀𝜺 > 𝟎, ∃𝑵 > 𝟎 𝒙 > 𝑵 ⟶ 𝒇 𝒙 − 𝑳 < 𝜺 Interpretación gráfica
- 12. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 12 Definición. – Sea 𝒇: ℝ ⟶ ℝ una función real de variable real definida al menos en el intervalo −∞, 𝒙𝟎 y 𝑳 un número real. El límite de 𝒇(𝒙) cuando 𝒙 tiende a − ∞ es 𝑳 , se denota así Cuando la variable 𝒙 de alguna función decrece sin límite, sin control diremos cuando 𝒙 tiende a −∞ y se define mediante 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒇(𝒙) = 𝑳 ∀𝜺 > 𝟎, ∃𝑵 > 𝟎 𝒙 < −𝑵 ⟶ 𝒇 𝒙 − 𝑳 < 𝜺 Interpretación gráfica
- 13. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD Teorema Si 𝑛 ∈ ℤ+ entonces se verifican: 𝒊) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝟏 𝒙𝒏 = 𝟎 𝒊𝒊) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝟏 𝒙𝒏 = 𝟎 Observación. – Si 𝒂 ∈ ℝ y 𝒏 ∈ ℤ+ entonces: 𝒊) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒂 𝒙𝒏 = 𝟎 Ejemplos. – Halle cada uno de los límites indicados: a) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 𝟑𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟏 𝟕𝒙𝟐−𝟏 lim 𝑥→+∞ 3𝑥2 − 2𝑥 + 1 7𝑥2 − 1 = Artificio algebraico propiedad lim 𝑥→+∞ 3𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑥2 7𝑥2 − 1 𝑥2 = lim 𝑥→+∞ 3 − 2 𝑥 + 1 𝑥2 7 − 1 𝑥2 = 3 7 𝒊𝒊) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒂 𝒙𝒏 = 𝟎
- 14. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD b) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞ (𝟕𝒙−𝟏)𝟐(𝟐𝒙+𝟏)𝟑 (𝟐−𝒙𝟑)(𝟑𝒙𝟐+𝟓) lim 𝑥→−∞ (7𝑥 − 1)2 (2𝑥 + 1)3 2 − 𝑥3 3𝑥2 + 5 = lim 𝑥→−∞ (7𝑥 − 1)2 (2𝑥 + 1)3 𝑥5 (2 − 𝑥3)(3𝑥2 + 5) 𝑥5 = lim 𝑥→−∞ (7𝑥 − 1)2 𝑥2 . (2𝑥 + 1)3 𝑥3 (2 − 𝑥3) 𝑥3 . (3𝑥2 + 5) 𝑥2 = lim 𝑥→−∞ 7 − 1 𝑥 2 . 2 + 1 𝑥 3 2 𝑥3 − 1 . 3 + 5 𝑥2 = 72 . 23 (−1)(3) = −392 3 c) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞ 𝟓𝒙𝟐−𝟑𝒙 𝟑𝒙+𝟕 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞ 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 𝟑𝒙 + 𝟕 = lim 𝒙→−∞ 𝒙𝟐 𝟓 − 𝟑 𝒙 𝟑𝒙 + 𝟕 = lim 𝒙→−∞ 𝒙 𝟓 − 𝟑 𝒙 𝟑𝒙 + 𝟕 = lim 𝒙→−∞ −𝒙 𝟓 − 𝟑 𝒙 𝟑𝒙 + 𝟕 = lim 𝑥→−∞ − 5 − 3 𝑥 3 + 7 𝑥 = − 5 3
- 15. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 13/04/2024 15 Limites infinitos Definición. – (Funciones que crecen sin límite) Sean 𝒇: ℝ → ℝ una función real de variable real definida en un intervalo abierto, 𝒙𝟎 ∈ ℝ (𝒙𝟎 puede pertenecer o no al dominio de 𝒇). El límite de 𝒇 tiende a +∞ o crece sin límite cuando 𝒙 tiende a 𝑥0 se denota por: ∀𝑴 > 𝟎: ∃𝜹 > 𝟎 𝟎 < 𝒙 − 𝒙𝟎 < 𝜹 ⟶ 𝒇 𝒙 > 𝑴 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒙) = +∞ y se define mediante Interpretación gráfica
- 16. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 13/04/2024 16 Definición. –(Funciones que decrecen sin límite) Sean 𝒇: ℝ ⟶ ℝ una función real de variable real definida en un intervalo abierto, 𝒙𝟎 ∈ ℝ (𝒙𝟎 puede pertenecer o no al dominio de 𝒇). El límite de 𝒇 tiende a −∞ o decrece sin límite cuando 𝒙 tiende a 𝒙𝟎 se denota por 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒙) = −∞ y se define mediante ∀𝑀 > 0: ∃𝛿 > 0 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 ⟶ 𝑓 𝑥 < −𝑀 Interpretación gráfica
- 17. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 13/04/2024 17 Teorema 7. Si 𝑛 ∈ ℤ+ entonces se verifica: i) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎+ 𝟏 𝒙𝒏 = +∞ , 𝒏 ∈ ℤ+ ii) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎− 𝟏 𝒙𝒏 = +∞ , si 𝒏 es par iii) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎− 𝟏 𝒙𝒏 = −∞ , si 𝒏 es impar Ejemplos. – 𝟏) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎+ 𝟏 𝒙𝟓 = +∞ 2) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎− 𝟏 𝒙𝟒 = +∞ 3) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎− 𝟏 𝒙𝟑 = −∞
- 18. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 19 Ejemplos. – Determine cada uno de los limites que se dan a) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎− −𝟐 𝒙𝟓 = +∞ −2 < 0, 𝑥5 ⟶ 0− b) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎+ −𝟖 𝒙 = −8 < 0, 𝑥 ⟶ 0+ −∞ c) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐+ 𝒙−𝟏 𝒙−𝟐 = 𝑥 − 1 ⟶ 1 > 0, 𝑥 − 2 ⟶ 0+ +∞ d) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐− 𝒙𝟑 𝟒−𝒙𝟐 = 𝑥3 ⟶ 8 > 0, 4 − 𝑥2 ⟶ 0+ +∞
- 19. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 20 Asíntotas de una curva La asíntota de una curva 𝑪 es la recta 𝑳 cuya posición está definida por el límite de la distancia 𝒅 de un punto 𝑷 (que se mueve a lo largo de la curva 𝑪) a dicha recta, que es cero, cuando 𝑷 se aproxima a ∞.
- 20. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD Definición. – (Asíntota Horizontal) Sea 𝒇 una función real de variable real. Se dice que la recta 𝑳: 𝒚 = 𝒌 es una asíntota horizontal de la gráfica de 𝒚 = 𝒇(𝒙) , en al menos uno de los siguientes casos: i) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 𝒇(𝒙) = 𝒌 ii) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−∞ 𝒇(𝒙) = 𝒌
- 21. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD Definición. – (Asíntota Vertical) Sea 𝒇 una función real de variable real y 𝒙𝟎 un número real. Se dice que la recta 𝑳: 𝒙 = 𝒙𝟎 es una asíntota vertical de la gráfica de 𝒚 = 𝒇(𝒙) en al menos uno de los siguientes casos: i) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 = ± ∞
- 22. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD ii) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 + 𝒇 𝒙 = ± ∞
- 23. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD iii) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 − 𝒇 𝒙 = ± ∞ Observación. – Si la función real de variable real 𝒇 es racional, luego las posibles asíntotas verticales se obtienen en los valores de 𝒙 que anulan el denominador de 𝒇. Una vez hallado estos valores, se debe comprobar si su límite es infinito.
- 24. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD Definición. – (Asíntota Oblicua) Sea 𝒇 una función real de variable real, se dice que la recta 𝑳: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 con 𝒎 ≠ 𝟎 es una asíntota oblicua de la gráfica 𝒚 = 𝒇(𝒙) en al menos uno de los siguientes casos. i) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒇(𝒙) 𝒙 = 𝒎 y 𝒍𝒊𝒎 𝒙→+∞ 𝒇 𝒙 − 𝒎𝒙 = 𝒃 ii) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒇(𝒙) 𝒙 = 𝒎 y 𝒍𝒊𝒎 𝒙→−∞ 𝒇 𝒙 − 𝒎𝒙 = 𝒃
- 25. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD Ejemplos. – 1. Del gráfico mostrado, determine las asíntotas, horizontales, verticales y oblicuas Del gráfico notamos que lim 𝑥→2− 𝑓(𝑥) = −∞ lim 𝑥→2+ 𝑓(𝑥) = +∞ Luego, la recta 𝑳: 𝒙 = 𝟐 es una asíntota vertical. y También notamos que la recta 𝑳: 𝒚 = 𝒙 𝟐 + 𝟏 es una asíntota oblicua.
- 26. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 2. Halle las asíntotas de la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 𝒙𝟐+𝒙−𝟐 Solución. – De la definición de 𝑓 tenemos 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 𝑥 ∈ ℝ 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 = ℝ − 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 0 = ℝ − −2,1 Asíntota vertical: Por una observación hecha 𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = −𝟐 anulan el denominador de 𝑓 , además 𝑥3 ⟶ −8 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) ⟶ 0+ lim 𝑥→−2+ 𝑥3 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 𝑥3 ⟶ −8 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) ⟶ 0− 𝑳: 𝒙 = −𝟐, es A.V. lim 𝑥→−2− 𝑥3 𝑥2 + 𝑥 − 2 = lim 𝑥→−2− 𝑥3 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = −∞ lim 𝑥→−2+ 𝑥3 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = +∞
- 27. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD lim 𝑥→1− 𝑥3 𝑥2 + 𝑥 − 2 𝑥3 ⟶ 1 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) ⟶ 0− lim 𝑥→1+ 𝑥3 𝑥2 + 𝑥 − 2 𝑥3 ⟶ 1 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) ⟶ 0+ 𝑳: 𝒙 =1, es A.V. Asíntota horizontal lim 𝑥→+∞ 𝑥3 𝑥2 + 𝑥 − 2 lim 𝑥→−∞ 𝑥3 𝑥2 + 𝑥 − 2 Luego, no existe A. H. = lim 𝑥→1− 𝑥3 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) =−∞ = lim 𝑥→1+ 𝑥3 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = +∞ = lim 𝑥→+∞ 1 1 𝑥 + 1 𝑥2 − 2 𝑥3 = 1 0+ = +∞ = lim 𝑥→−∞ 1 1 𝑥 + 1 𝑥2 − 2 𝑥3 = 1 0− = −∞
- 28. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD Asíntota Oblicua 𝑚 = lim 𝑥→±∞ 𝑥3 𝑥2 + 𝑥 − 2 𝑥 𝑏 = lim 𝑥→±∞ 𝑥3 𝑥2 + 𝑥 − 2 − 𝑥 Por lo tanto: 𝑳: 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 es A.O. = lim 𝑥→±∞ 𝑥3 𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 = lim 𝑥→±∞ 1 1 + 1 𝑥 − 2 𝑥2 = 1 = lim 𝑥→∞ 𝑥3 − 𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 𝑥2 + 𝑥 − 2 = lim 𝑥→±∞ −𝑥2 + 2𝑥 𝑥2 + 𝑥 − 2 = lim 𝑥→±∞ −1 + 2 𝑥 1 + 1 𝑥 − 2 𝑥2 = −1
- 29. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 1. Varberg, D. Purcell, J y Rigdon, S. (2007) “Cálculo”. Ed. Prentice-Hall. 9na Edición. México. 2. Mitacc, M y Toro, L. “Tópicos de Cálculo” Vol 1. 3° Edición. Referencias 3. Villena M.(sf.).Cálculo Diferencial e Integral. Descargado de https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/781/1/1485.pdf
- 30. Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD 04RG-2021-UNTELS-V.ACAD Universidad Tecnológica de Lima Sur – UNTELS 2021. Todos los derechos reservados CONSULTAS 945111660 htullume@untels.edu.pe HAYDEÉ V. TÚLLUME HUAYANAY